Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r yt . Существуют разные модификации формулы линейного коэффициента корреляции.

Следует иметь в виду, что величина линейного коэффициента корреляции оценивает тесноту связи рассматриваемых признаков в её линейной форме. Поэтому близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю ещё не означает отсутствия связи между признаками.

Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции r yt 2 , называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака у t , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака.

Уравнение нелинейной регрессии, так же как и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции R.

Парабола второго порядка, как и полином более высокого порядка, при лианеризации принимает вид уравнения множественной регрессии. Если же нелинейное относительно объясняемой переменной уравнение регрессии при линеаризации принимает форму линейного уравнения парной регрессии, то для оценки тесноты связи может быть использован линейный коэффициент корреляции, величина которого в этом случае совпадёт с индексом корреляции.

Иначе обстоит дело, когда преобразования уравнения в линейную форму связаны с зависимой переменной. В этом случае линейный коэффициент корреляции по преобразованным значениям признаков даёт лишь приближённую оценку тесноты связи и численно не совпадает с индексом корреляции. Так, для степенной функции

после перехода к логарифмически линейному уравнению

lny = lna + blnx

может быть найден линейный коэффициент корреляции не для фактических значений переменных х и у, а для их логарифмов, то есть r lnylnx . Соответственно квадрат его значения будет характеризовать отношение факторной суммы квадратов отклонений к общей, но не для у, а для его логарифмов:

Между тем при расчёте индекса корреляции используются суммы квадратов отклонений признака у, а не их логарифмов. С этой целью определяются теоретические значения результативного признака, то есть, как антилогарифм рассчитанной по уравнению величины и остаточная сумма квадратов как.

В знаменателе расчёта R 2 yx участвует общая сумма квадратов отклонений фактических значений у от их средней величины, а в расчёте r 2 lnxlny участвует. Соответственно различаются числители и знаменатели рассматриваемых показателей:

• - в индексе корреляции и
• - в коэффициенте корреляции.

Вследствие близости результатов и простоты расчётов с использованием компьютерных программ для характеристики тесноты связи по нелинейным функциям широко используется линейный коэффициент корреляции.

Несмотря на близость значений R и r или R и r в нелинейных функциях с преобразованием значения признака у, следует помнить, что если при линейной зависимости признаков один и тот же коэффициент корреляции характеризует регрессию, как следует помнить, что если при линейной зависимости признаков один и тот же коэффициент корреляции характеризует регрессию как, так и, так как, то при криволинейной зависимости для функции y=j(x) не равен для регрессии x=f(y).

Поскольку в расчёте индекса корреляции используется соотношение факторной и общей суммы квадратов отклонений, то имеет тот же смысл, что и коэффициент детерминации. В специальных исследованиях величину для нелинейных связей называют индексом детерминации.

Оценка существенности индекса корреляции проводится, так же как и оценка надёжности коэффициента корреляции.

Индекс корреляции используется для проверки существенности в целом уравнения нелинейной регрессии по F-критерию Фишера.

Величина m характеризует число степеней свободы для факторной суммы квадратов, а (n - m - 1) - число степеней свободы для остаточной суммы квадратов.

Для степенной функции m = 1 и формула F - критерия примет тот же вид, что и при линейной зависимости:

Для параболы второй степени

y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +еm = 2

Расчёт F-критерия можно вести и в таблице дисперсионного анализа результатов регрессии, как это было показано для линейной функции.

Индекс детерминации можно сравнивать с коэффициентом детерминации для обоснования возможности применения линейной функции. Чем больше кривизна линии регрессии, тем величина коэффициента детерминации меньше индекса детерминации. Близость этих показателей означает, что нет необходимости усложнять форму уравнения регрессии и можно использовать линейную функцию.

Практически, если величина разности между индексом детерминации и коэффициентом детерминации не превышает 0,1, то предположение о линейной форме связи считается оправданным.

Если t факт >t табл, то различия между рассматриваемыми показателями корреляции существенны и замена нелинейной регрессии уравнением линейной функции невозможна. Практически, если величина t < 2, то различия между R yx и r yx несущественны, и, следовательно, возможно применение линейной регрессии, даже если есть предположения о некоторой нелинейности рассматриваемых соотношений признаков фактора и результата.

Экономические явления, как правило, определяются большим числом одновременно и совокупно действующих факторов. В связи с этим часто возникает задача исследования зависимости переменной у от нескольких объясняющих переменных (х 1, х 2 ,…, х k) которая может быть решена с помощью множественного корреляционно-регрессионного анализа.

При исследовании зависимости методами множественной регрессии задача формируется так же, как и при использовании парной регрессии, т.е. требуется определить аналитическое выражение формы связи между результативным признаком у и факторными признаками х, х 2 , ..., х k , найти функцию , где k – число факторных признаков

Множественная регрессия широко используется в решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целом ряде других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия – один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

Из-за особенностей метода наименьших квадратов во множественной регрессии, как и в парной, применяются только линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейному виду путем преобразования переменных. Чаще всего используется линейное уравнение, которое можно записать следующим образом:

a 0 , a 1, …, a k – параметры модели (коэффициенты регрессии);

ε j – случайная величина (величина остатка).

Коэффициент регрессии а j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак у, если переменную х j увеличить на единицу измерения при фиксированном (постоянном) значении других факторов, входящих в уравнение регрессии. Параметры при x называются коэффициентами «чистой» регрессии .

Пример.

Предположим, что зависимость расходов на продукты питания по совокупности семей характеризуется следующим уравнением:

y – расходы семьи за месяц на продукты питания, тыс. руб.;

x 1 – месячный доход на одного члена семьи, тыс. руб.;

x 2 – размер семьи, человек.

Анализ данного уравнения позволяет сделать выводы – с ростом дохода на одного члена семьи на 1 тыс. руб. расходы на питание возрастут в среднем на 350 руб. при том же среднем размере семьи. Иными словами, 35% дополнительных семейных расходов тратится на питание. Увеличение размера семьи при тех же ее доходах предполагает дополнительный рост расходов на питание на 730 руб. Первый параметр не подлежит экономической интерпретации.

Оценивание достоверности каждого из параметров модели осуществляется при помощи t-критерия Стьюдента. Для любого из параметров модели а j значение t-критерия рассчитывается по формуле , где

S ε – стандартное (среднее квадратическое) отклонение уравнения регрессии)

определяется по формуле

Коэффициент регрессии а j считается достаточно надежным, если расчетное значение t- критерия с (n - k - 1 ) степенями свободы превышает табличное, т.е. t расч > t а jn - k -1 . Если надеж­ность коэффициента регрессии не подтверждается, то следует; вывод о несущественности в модели факторного j признака и необходимости его устранения из модели или замены на другой факторный признак.

Важную роль при оценке влияния факторов играют коэффициенты регрессионной модели. Однако непосредственно с их помощью нельзя сопоставлять факторные признаки по степени их влияния на зависимую переменную из-за различия единиц измерения и разной степени колеблемости. Для устранения таких различий применяются частные коэффициенты эластичности Э j и бета-коэффициенты β j .

Формула для расчета коэффициента эластичности

где

a j – коэффициент регрессии фактора j ,

Среднее значение результативного признака

Среднее значение признака j

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется зависимая переменная у при изменении фактора j на 1 %.

Формула определения бета - коэффициента.

, где

S xj – среднее квадратическое отклонение фактора j ;

S y - среднее квадратическое отклонение фактора y.

β - коэффициент показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения S y из­менится зависимая переменная у с изменением со­ответствующей независимой переменной х j на величину своего среднего квадратического отклонения при фиксированном значении остальных неза­висимых переменных.

Долю влияния определенного фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта-коэффициентов Δ j .

Указанные коэффициенты позволяют проранжировать факторы по степени влияния факторов на зависимую переменную.

Формула определения дельта - коэффициента.

r yj – коэффициент парной корреляции между фактором j и зависимой переменной;

R 2 – множественный коэффициент детерминации.

Коэффициент множественной детерминации используют для оценки качества множественных регрессионных моделей.

Формула определения коэффициента множественной детерминации.

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием факторных признаков, т.е. опре­деляет, какая доля вариации признака у учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов, включенных в модель. Чем ближе R 2 к единице, тем выше качество модели

При добавлении независимых переменных значение R 2 уве­личивается, поэтому коэффициент R 2 должен быть скорректи­рован с учетом числа независимых переменных по формуле

Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера. Он определяется по формуле

Если расчетное значение критерия с γ 1 , = k и γ 2 = (n - k- 1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

В качестве меры точностимодели применяют стандартную ошибку, которая представляет собой отношение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величине (n - k -1):

Классический подход к оцениванию параметров линейной модели основан на методе наименьших квадратов (МНК) . Система нормальных уравнений имеет вид:

Решение системы может быть осуществлено по одному из известных способов: Метод Гаусса, метод Крамера и т.д.

Пример15.

По четырем предприятиям региона (таблица 41) изучается зависимость выработки продукции на одного работника y (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%). Требуется написать уравнение множественной регрессии.

Таблица 41 – Зависимость выработки продукции на одного работника

Проверить значимость параметров уравнения регрессии можно, используя t-статистику .

Задание:
По группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматриваются функции издержек:
y = α + βx;
y = α x β ;
y = α β x ;
y = α + β / x;
где y – затраты на производство, тыс. д. е.
x – выпуск продукции, тыс. ед.

Требуется:
1. Построить уравнения парной регрессии y от x:

• линейное;
• степенное;
• показательное;
• равносторонней гиперболы.

Решение :

1. Уравнение имеет вид y = α + βx
1. Параметры уравнения регрессии.
Средние значения

Дисперсия

Среднеквадратическое отклонение

Коэффициент корреляции

Связь между признаком Y фактором X сильная и прямая
Уравнение регрессии

Коэффициент детерминации
R 2 = 0.94 2 = 0.89, т.е. в 88.9774 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - высокая

Примечание: значения y(x) находятся из полученного уравнения регрессии:
y(1) = 4.01*1 + 99.18 = 103.19
y(2) = 4.01*2 + 99.18 = 107.2
... ... ...

2. Оценка параметров уравнения регрессии
Значимость коэффициента корреляции

По таблице Стьюдента находим Tтабл
T табл (n-m-1;α/2) = (11;0.05/2) = 1.796
Поскольку Tнабл > Tтабл, то отклоняем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициента корреляции статистически - значим.

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии





S a = 0.1712
Доверительные интервалы для зависимой переменной

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X = 1
(-20.41;56.24)
Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии
1) t-статистика


Статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается

Статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии
Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:
(a - t S a ; a + t S a)
(1.306;1.921)
(b - t b S b ; b + t b S b)
(-9.2733;41.876)
где t = 1.796
2) F-статистики


Fkp = 4.84
Поскольку F > Fkp, то коэффициент детерминации статистически значим

Что такое регрессия?

Рассмотрим две непрерывные переменные x=(x 1 , x 2 , .., x n), y=(y 1 , y 2 , ..., y n).

Разместим точки на двумерном графике рассеяния и скажем, что мы имеем линейное соотношение , если данные аппроксимируются прямой линией.

Если мы полагаем, что y зависит от x , причём изменения в y вызываются именно изменениями в x , мы можем определить линию регрессии (регрессия y на x ), которая лучше всего описывает прямолинейное соотношение между этими двумя переменными.

Статистическое использование слова "регрессия" исходит из явления, известного как регрессия к среднему, приписываемого сэру Френсису Гальтону (1889).

Он показал, что, хотя высокие отцы имеют тенденцию иметь высоких сыновей, средний рост сыновей меньше, чем у их высоких отцов. Средний рост сыновей "регрессировал" и "двигался вспять" к среднему росту всех отцов в популяции. Таким образом, в среднем высокие отцы имеют более низких (но всё-таки высоких) сыновей, а низкие отцы имеют сыновей более высоких (но всё-таки довольно низких).

Линия регрессии

Математическое уравнение, которое оценивает линию простой (парной) линейной регрессии:

x называется независимой переменной или предиктором.

Y - зависимая переменная или переменная отклика. Это значение, которое мы ожидаем для y (в среднем), если мы знаем величину x , т.е. это «предсказанное значение y »

• a - свободный член (пересечение) линии оценки; это значение Y , когда x=0 (Рис.1).
• b - угловой коэффициент или градиент оценённой линии; она представляет собой величину, на которую Y увеличивается в среднем, если мы увеличиваем x на одну единицу.
• a и b называют коэффициентами регрессии оценённой линии, хотя этот термин часто используют только для b .

Парную линейную регрессию можно расширить, включив в нее более одной независимой переменной; в этом случае она известна как множественная регрессия .

Рис.1. Линия линейной регрессии, показывающая пересечение a и угловой коэффициент b (величину возрастания Y при увеличении x на одну единицу)

Метод наименьших квадратов

Мы выполняем регрессионный анализ, используя выборку наблюдений, где a и b - выборочные оценки истинных (генеральных) параметров, α и β , которые определяют линию линейной регрессии в популяции (генеральной совокупности).

Наиболее простым методом определения коэффициентов a и b является метод наименьших квадратов (МНК).

Подгонка оценивается, рассматривая остатки (вертикальное расстояние каждой точки от линии, например, остаток = наблюдаемому y - предсказанный y , Рис. 2).

Линию лучшей подгонки выбирают так, чтобы сумма квадратов остатков была минимальной.

Рис. 2. Линия линейной регрессии с изображенными остатками (вертикальные пунктирные линии) для каждой точки.

Предположения линейной регрессии

Итак, для каждой наблюдаемой величины остаток равен разнице и соответствующего предсказанного Каждый остаток может быть положительным или отрицательным.

Можно использовать остатки для проверки следующих предположений, лежащих в основе линейной регрессии:

• Остатки нормально распределены с нулевым средним значением;

Если допущения линейности, нормальности и/или постоянной дисперсии сомнительны, мы можем преобразовать или и рассчитать новую линию регрессии, для которой эти допущения удовлетворяются (например, использовать логарифмическое преобразование или др.).

Аномальные значения (выбросы) и точки влияния

"Влиятельное" наблюдение, если оно опущено, изменяет одну или больше оценок параметров модели (т.е. угловой коэффициент или свободный член).

Выброс (наблюдение, которое противоречит большинству значений в наборе данных) может быть "влиятельным" наблюдением и может хорошо обнаруживаться визуально, при осмотре двумерной диаграммы рассеяния или графика остатков.

И для выбросов, и для "влиятельных" наблюдений (точек) используют модели, как с их включением, так и без них, обращают внимание на изменение оценки (коэффициентов регрессии).

При проведении анализа не стоит отбрасывать выбросы или точки влияния автоматически, поскольку простое игнорирование может повлиять на полученные результаты. Всегда изучайте причины появления этих выбросов и анализируйте их.

Гипотеза линейной регрессии

При построении линейной регрессии проверяется нулевая гипотеза о том, что генеральный угловой коэффициент линии регрессии β равен нулю.

Если угловой коэффициент линии равен нулю, между и нет линейного соотношения: изменение не влияет на

Для тестирования нулевой гипотезы о том, что истинный угловой коэффициент равен нулю можно воспользоваться следующим алгоритмом:

Вычислить статистику критерия, равную отношению , которая подчиняется распределению с степенями свободы, где стандартная ошибка коэффициента

,

- оценка дисперсии остатков.

Обычно если достигнутый уровень значимости нулевая гипотеза отклоняется.

где процентная точка распределения со степенями свободы что дает вероятность двустороннего критерия

Это тот интервал, который содержит генеральный угловой коэффициент с вероятностью 95%.

Для больших выборок, скажем, мы можем аппроксимировать значением 1,96 (то есть статистика критерия будет стремиться к нормальному распределению)

Оценка качества линейной регрессии: коэффициент детерминации R 2

Из-за линейного соотношения и мы ожидаем, что изменяется, по мере того как изменяется , и называем это вариацией, которая обусловлена или объясняется регрессией. Остаточная вариация должна быть как можно меньше.

Если это так, то большая часть вариации будет объясняться регрессией, а точки будут лежать близко к линии регрессии, т.е. линия хорошо соответствует данным.

Долю общей дисперсии , которая объясняется регрессией называют коэффициентом детерминации , обычно выражают через процентное соотношение и обозначают R 2 (в парной линейной регрессии это величина r 2 , квадрат коэффициента корреляции), позволяет субъективно оценить качество уравнения регрессии.

Разность представляет собой процент дисперсии который нельзя объяснить регрессией.

Нет формального теста для оценки мы вынуждены положиться на субъективное суждение, чтобы определить качество подгонки линии регрессии.

Применение линии регрессии для прогноза

Можно применять регрессионную линию для прогнозирования значения по значению в пределе наблюдаемого диапазона (никогда не экстраполируйте вне этих пределов).

Мы предсказываем среднюю величину для наблюдаемых, которые имеют определенное значение путем подстановки этого значения в уравнение линии регрессии.

Итак, если прогнозируем как Используем эту предсказанную величину и ее стандартную ошибку, чтобы оценить доверительный интервал для истинной средней величины в популяции.

Повторение этой процедуры для различных величин позволяет построить доверительные границы для этой линии. Это полоса или область, которая содержит истинную линию, например, с 95% доверительной вероятностью.

Простые регрессионные планы

Простые регрессионные планы содержат один непрерывный предиктор. Если существует 3 наблюдения со значениями предиктора P , например, 7, 4 и 9, а план включает эффект первого порядка P , то матрица плана X будет иметь вид

а регрессионное уравнение с использованием P для X1 выглядит как

Y = b0 + b1 P

Если простой регрессионный план содержит эффект высшего порядка для P , например квадратичный эффект, то значения в столбце X1 в матрице плана будут возведены во вторую степень:

а уравнение примет вид

Y = b0 + b1 P2

Сигма -ограниченные и сверхпараметризованные методы кодирования не применяются по отношению к простым регрессионным планам и другим планам, содержащим только непрерывные предикторы (поскольку, просто не существует категориальных предикторов). Независимо от выбранного метода кодирования, значения непрерывных переменных увеличиваются в соответствующей степени и используются как значения для переменных X . При этом перекодировка не выполняется. Кроме того, при описании регрессионных планов можно опустить рассмотрение матрицы плана X , а работать только с регрессионным уравнением.

Пример: простой регрессионный анализ

Этот пример использует данные, представленные в таблице:

Рис. 3. Таблица исходных данных.

Данные составлены на основе сравнения переписей 1960 и 1970 в произвольно выбранных 30 округах. Названия округов представлены в виде имен наблюдений. Информация относительно каждой переменной представлена ниже:

Рис. 4. Таблица спецификаций переменных.

Задача исследования

Для этого примера будут анализироваться корреляция уровня бедности и степень, которая предсказывает процент семей, которые находятся за чертой бедности. Следовательно мы будем трактовать переменную 3 (Pt_Poor ) как зависимую переменную.

Можно выдвинуть гипотезу: изменение численности населения и процент семей, которые находятся за чертой бедности, связаны между собой. Кажется разумным ожидать, что бедность ведет к оттоку населения, следовательно, здесь будет отрицательная корреляция между процентом людей за чертой бедности и изменением численности населения. Следовательно мы будем трактовать переменную 1 (Pop_Chng ) как переменную-предиктор.

Просмотр результатов

Коэффициенты регрессии

Рис. 5. Коэффициенты регрессии Pt_Poor на Pop_Chng.

На пересечении строки Pop_Chng и столбца Парам. не стандартизованный коэффициент для регрессии Pt_Poor на Pop_Chng равен -0.40374 . Это означает, что для каждого уменьшения численности населения на единицу, имеется увеличение уровня бедности на.40374. Верхний и нижний (по умолчанию) 95% доверительные пределы для этого не стандартизованного коэффициента не включают ноль, так что коэффициент регрессии значим на уровне p<.05 . Обратите внимание на не стандартизованный коэффициент, который также является коэффициентом корреляции Пирсона для простых регрессионных планов, равен -.65, который означает, что для каждого уменьшения стандартного отклонения численности населения происходит увеличение стандартного отклонения уровня бедности на.65.

Распределение переменных

Коэффициенты корреляции могут стать существенно завышены или занижены, если в данных присутствуют большие выбросы. Изучим распределение зависимой переменной Pt_Poor по округам. Для этого построим гистограмму переменной Pt_Poor .

Рис. 6. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Как вы можете заметить, распределение этой переменной заметно отличается от нормального распределения. Тем не менее, хотя даже два округа (два правых столбца) имеют высокий процент семей, которые находятся за чертой бедности, чем ожидалось в случае нормального распределения, кажется, что они находятся "внутри диапазона."

Рис. 7. Гистограмма переменной Pt_Poor.

Это суждение в некоторой степени субъективно. Эмпирическое правило гласит, что выбросы необходимо учитывать, если наблюдение (или наблюдения) не попадают в интервал (среднее ± 3 умноженное на стандартное отклонение). В этом случае стоит повторить анализ с выбросами и без, чтобы убедиться, что они не оказывают серьезного эффекта на корреляцию между членами совокупности.

Диаграмма рассеяния

Если одна из гипотез априори о взаимосвязи между заданными переменными, то ее полезно проверить на графике соответствующей диаграммы рассеяния.

Рис. 8. Диаграмма рассеяния.

Диаграмма рассеяния показывает явную отрицательную корреляцию (-.65 ) между двумя переменными. На ней также показан 95% доверительный интервал для линии регрессии, т.е., с 95% вероятностью линия регрессии проходит между двумя пунктирными кривыми.

Критерии значимости

Рис. 9. Таблица, содержащая критерии значимости.

Критерий для коэффициента регрессии Pop_Chng подтверждает, что Pop_Chng сильно связано с Pt_Poor , p<.001 .

Итог

На этом примере было показано, как проанализировать простой регрессионный план. Была также представлена интерпретация не стандартизованных и стандартизованных коэффициентов регрессии. Обсуждена важность изучения распределения откликов зависимой переменной, продемонстрирована техника определения направления и силы взаимосвязи между предиктором и зависимой переменной.

Корреляционный анализ .

Уравнение парной регрессии .

Использование графического метода .

Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X.

Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции .

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε

Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение).

Причины существования случайной ошибки:

1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных;

2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры.

3. Неправильное описание структуры модели;

4. Неправильная функциональная спецификация;

5. Ошибки измерения.

Так как отклонения ε i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то:

1) по наблюдениям x i и y i можно получить только оценки параметров α и β

2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке;

Тогда оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = bx + a + ε, где e i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε i , а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии.

Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x).

Формально критерий МНК можно записать так:

S = ∑(y i - y * i) 2 → min

Система нормальных уравнений.

a n + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x 2 = ∑y x

Для наших данных система уравнений имеет вид

15a + 186.4 b = 17.01

186.4 a + 2360.9 b = 208.25

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -0.07024, a = 2.0069

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = -0.07024 x + 2.0069

Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β i , а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

1. Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

1.1. Коэффициент корреляции

Ковариация .

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от –1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < r xy < 0.3: слабая;

0.3 < r xy < 0.5: умеренная;

0.5 < r xy < 0.7: заметная;

0.7 < r xy < 0.9: высокая;

0.9 < r xy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X высокая и обратная.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = -0.0702 x + 2.01

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = -0.0702 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y понижается в среднем на -0.0702.

Коэффициент a = 2.01 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 – прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь обратная.

1.3. Коэффициент эластичности .

Коэффициенты регрессии (в примере b) нежелательно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на результативный признак в том случае, если существует различие единиц измерения результативного показателя у и факторного признака х.

Для этих целей вычисляются коэффициенты эластичности и бета - коэффициенты.

Средний коэффициент эластичности E показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

Коэффициент эластичности находится по формуле:

Коэффициент эластичности меньше 1. Следовательно, при изменении Х на 1%, Y изменится менее чем на 1%. Другими словами - влияние Х на Y не существенно.

Бета – коэффициент

Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения S x приведет к уменьшению среднего значения Y на 0.82 среднеквадратичного отклонения S y .

1.4. Ошибка аппроксимации .

Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.