Гурвалжин бол гурван тал, гурван оройноос бүрддэг хамгийн энгийн геометрийн дүрс юм. Энгийн байдлаас шалтгаалан гурвалжинг эрт дээр үеэс янз бүрийн хэмжилт хийхэд ашиглаж ирсэн бөгөөд өнөөдөр энэ дүрс нь практик болон өдөр тутмын асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэг болно.

Гурвалжны онцлог

Энэ зургийг эрт дээр үеэс тооцоололд ашиглаж ирсэн, тухайлбал газар судлаачид, одон орон судлаачид гурвалжны шинж чанарыг ашиглан газар нутаг, зайг тооцоолоход ашигладаг. Энэ зургийн талбайгаар ямар ч n-гонын талбайг илэрхийлэхэд хялбар байдаг бөгөөд энэ шинж чанарыг эртний эрдэмтэд олон өнцөгтийн талбайн томъёог гаргахад ашигладаг байжээ. Гурвалжин, ялангуяа тэгш өнцөгт гурвалжинтай тогтмол ажиллах нь математикийн бүхэл бүтэн салбар болох тригонометрийн үндэс суурь болсон.

Гурвалжингийн геометр

Геометрийн дүрсийн шинж чанарыг эрт дээр үеэс судалж ирсэн: гурвалжны тухай хамгийн анхны мэдээлэл нь 4000 жилийн өмнөх Египетийн папирусаас олдсон. Дараа нь уг дүрсийг Эртний Грекд судалж, гурвалжингийн геометрт хамгийн их хувь нэмэр оруулсан нь Евклид, Пифагор, Херон нар юм. Гурвалжны судалгаа хэзээ ч зогссонгүй бөгөөд 18-р зуунд Леонхард Эйлер дүрсийн ортоцентр ба Эйлерийн тойрог гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн. 19-20-р зууны зааг дээр гурвалжны талаар бүх зүйл мэдэгдэж байсан мэт санагдах үед Фрэнк Морли өнцгийн трисекторын теоремыг, Ваклав Сиерпински фрактал гурвалжинг санал болгов.

Сургуулийн геометрийн хичээлээс бидэнд танил болсон хэд хэдэн төрлийн хавтгай гурвалжин байдаг.

цочмог - зургийн бүх булангууд нь хурц;
мохоо - зураг нь нэг мохоо өнцөгтэй (90 градусаас дээш);
тэгш өнцөгт - зураг нь 90 градустай тэнцүү нэг зөв өнцгийг агуулна;
isosceles - хоёр тэнцүү талтай гурвалжин;
тэгш талт - бүх тэгш талуудтай гурвалжин.
Бодит амьдрал дээр бүх төрлийн гурвалжин байдаг бөгөөд зарим тохиолдолд геометрийн дүрсийн талбайг тооцоолох шаардлагатай болдог.

Гурвалжны талбай

Талбай гэдэг нь тухайн зураг хавтгайн хэр их хэсгийг хамарч байгааг тооцоолдог. Гурвалжны талбайг бичээстэй эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн талууд, өндөр, өнцөг, радиус, түүнчлэн Хероны томъёог ашиглан эсвэл хавтгайг хязгаарласан шугамын дагуу давхар интегралыг тооцоолох замаар зургаан аргаар олж болно. Гурвалжны талбайг тооцоолох хамгийн энгийн томъёо нь:

a нь гурвалжны тал, h нь түүний өндөр.

Гэсэн хэдий ч бодит байдал дээр геометрийн дүрсийн өндрийг олох нь бидэнд үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Манай тооны машины алгоритм нь дараахь зүйлийг мэдэж байгаа талбайг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

гурван тал;
хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг;
нэг тал ба хоёр булан.

Гурван талын талбайг тодорхойлохын тулд бид Хероны томъёог ашиглана:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

Энд p нь гурвалжны хагас периметр.

Хоёр тал ба өнцгийн талбайг сонгодог томъёогоор тооцоолно.

S = a × b × sin(alfa),

альфа нь a ба b талуудын хоорондох өнцөг юм.

Талбайг нэг тал ба хоёр өнцгөөр тодорхойлохын тулд бид дараахь харьцааг ашиглана.

a / нүгэл (альфа) = б / нүгэл (бета) = в / нүгэл (гамма)

Энгийн пропорцийг ашиглан бид хоёр дахь талын уртыг тодорхойлж, дараа нь S = a × b × sin (alfa) томъёог ашиглан талбайг тооцоолно. Энэхүү алгоритм нь бүрэн автоматжуулсан бөгөөд та зөвхөн заасан хувьсагчдыг оруулаад үр дүнгээ авах хэрэгтэй. Хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Амьдралаас авсан жишээнүүд

Хучилтын хавтан

Та шалыг гурвалжин хавтангаар хучимаар байна гэж бодъё, шаардлагатай материалын хэмжээг тодорхойлохын тулд та плитаны талбай, шалны талбайг мэдэх хэрэгтэй. Хэмжээ нь a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см хэмжээтэй хавтанг ашиглан 6 квадрат метр гадаргууг боловсруулах шаардлагатай гэж бодъё, гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд тооцоолуур Хероны томъёог ашигладаг. үр дүн:

Тиймээс нэг хавтангийн элементийн талбай нь 0.021 хавтгай дөрвөлжин метр байх бөгөөд шалыг сайжруулахын тулд танд 6 / 0.021 = 285 гурвалжин хэрэгтэй болно. 20, 21, 29 тоонууд нь Пифагорын гурвалсан тоог бүрдүүлдэг. Энэ нь зөв, манай тооны машин гурвалжны бүх өнцгийг тооцоолсон бөгөөд гамма өнцөг нь яг 90 градус байна.

Сургуулийн даалгавар

Сургуулийн асуудлын хувьд та гурвалжны талбайг олох хэрэгтэй, учир нь тал нь a = 5 см, альфа ба бета өнцөг нь тус тус 30 ба 50 градус байна. Энэ асуудлыг гараар шийдэхийн тулд эхлээд харьцааны харьцаа ба эсрэг өнцгийн синусыг ашиглан b талын утгыг олж, дараа нь S = a × b × sin(alfa) энгийн томъёогоор талбайг тодорхойлно. Цаг хэмнэж, тооцоолуурын маягт руу өгөгдлийг оруулаад шууд хариулт авцгаая

Тооцоологчийг ашиглахдаа өнцөг болон талыг зөв зааж өгөх нь чухал бөгөөд эс тэгвээс үр дүн нь буруу байх болно.

Дүгнэлт

Гурвалжин бол бодит амьдрал дээр ч, хийсвэр тооцоололд ч олддог өвөрмөц дүрс юм. Ямар ч төрлийн гурвалжны талбайг тодорхойлохын тулд манай онлайн тооцоолуурыг ашиглана уу.

Геометрийн дүрсийн талбай- энэ зургийн хэмжээг харуулсан геометрийн дүрсийн тоон шинж чанар (энэ зургийн хаалттай контураар хязгаарлагдсан гадаргуугийн хэсэг). Талбайн хэмжээг түүнд агуулагдах квадрат нэгжийн тоогоор илэрхийлнэ.

Гурвалжингийн талбайн томъёо

Гурвалжны талбайн хажуу ба өндрийн томъёо
Гурвалжны талбайгурвалжны хажуугийн урт ба энэ тал руу татсан өндрийн уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү
Гурван тал ба тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо
Гурван тал ба бичээстэй тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо
Гурвалжны талбайгурвалжны хагас периметр ба бичээстэй тойргийн радиусын үржвэртэй тэнцүү байна.

Квадрат талбайн томъёо

Хажуугийн урттай дөрвөлжин талбайн томъёо
Дөрвөлжин талбайтүүний хажуугийн уртын квадраттай тэнцүү байна.
Диагональ уртын дагуу квадратын талбайн томъёо
Дөрвөлжин талбайтүүний диагональ уртын квадратын хагастай тэнцүү байна.
S= 1 2
2

Тэгш өнцөгтийн талбайн томъёо

Тэгш өнцөгтийн талбай

Параллелограммын талбайн томьёо

Хажуугийн урт ба өндрийг харгалзан параллелограммын талбайн томъёо
Параллелограммын талбай
Хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг дээр суурилсан параллелограммын талбайн томъёо
Параллелограммын талбайталуудын уртыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
a b sin α

Ромбын талбайн томъёо

Хажуугийн урт ба өндрөөс хамааран ромбын талбайн томъёо
Ромбын талбайтүүний хажуугийн урт ба энэ тал руу буулгасан өндрийн уртын үржвэртэй тэнцүү байна.
Хажуугийн урт ба өнцгийг харгалзан ромбын талбайн томъёо
Ромбын талбайнь түүний хажуугийн уртын квадрат ба ромбын талуудын хоорондох өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү байна.
Диагональуудын урт дээр үндэслэн ромбын талбайн томъёо
Ромбын талбайтүүний диагональуудын уртын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна.

Трапец хэлбэрийн талбайн томъёо

Трапецын Хэроны томъёо
Энд S нь трапецын талбай,
- трапецын суурийн урт;
- трапецын хажуугийн урт;

Заримдаа амьдралд мартагдсан сургуулийн мэдлэгийг хайж олохын тулд ой санамжаа гүнзгийрүүлэх шаардлагатай болдог. Жишээлбэл, та гурвалжин хэлбэртэй газрын талбайг тодорхойлох, эсвэл орон сууц эсвэл хувийн байшинд дахин засвар хийх цаг болсон, мөн гадаргуу дээр хэр их материал шаардагдахыг тооцоолох хэрэгтэй. гурвалжин хэлбэр. Та ийм асуудлыг хэдхэн минутын дотор шийдэж чаддаг байсан үе байсан, гэхдээ одоо та гурвалжингийн талбайг хэрхэн тодорхойлохоо санах гэж маш их хичээж байна уу?

Үүнд санаа зовох хэрэггүй! Эцсийн эцэст, хүний тархи удаан ашиглагдаагүй мэдлэгийг хаа нэгтээ алслагдсан булан руу шилжүүлэхээр шийдсэн нь хэвийн үзэгдэл бөгөөд заримдаа үүнийг олж авахад тийм ч хялбар байдаггүй. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд мартагдсан сургуулийн мэдлэгийг хайж олохгүй байхын тулд энэ нийтлэлд гурвалжны шаардлагатай хэсгийг олоход хялбар болгох янз бүрийн аргуудыг багтаасан болно.

Гурвалжин бол хамгийн бага боломжит талуудын тоогоор хязгаарлагддаг олон өнцөгт хэлбэр гэдгийг сайн мэддэг. Зарчмын хувьд аливаа олон өнцөгтийг оройг нь хажуу талыг нь огтолдоггүй сегментүүдээр холбосноор хэд хэдэн гурвалжинд хувааж болно. Тиймээс гурвалжинг мэддэг тул та бараг ямар ч зургийн талбайг тооцоолж болно.

Амьдралд тохиолдож болох бүх гурвалжнуудын дотроос дараахь төрлүүдийг ялгаж салгаж болно: тэгш өнцөгт.

Гурвалжны талбайг тооцоолох хамгийн хялбар арга бол түүний өнцгийн аль нэг нь зөв, өөрөөр хэлбэл тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд юм. Энэ нь хагас тэгш өнцөгт гэдгийг харахад хялбар байдаг. Тиймээс түүний талбай нь бие биентэйгээ тэгш өнцөг үүсгэдэг талуудын бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна.

Хэрэв бид гурвалжны аль нэг оройгоос эсрэг тал руу буулгасан өндрийг ба суурь гэж нэрлэдэг энэ талын уртыг мэддэг бол талбайг өндөр ба суурийн үржвэрийн хагасаар тооцно. Үүнийг дараах томъёогоор бичнэ.

S = 1/2*b*h, үүнд

S - гурвалжны шаардлагатай талбай;

b, h - гурвалжны өндөр ба суурь тус тус.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолоход маш хялбар байдаг, учир нь өндөр нь эсрэг талыг хоёр хуваах бөгөөд хэмжихэд хялбар байдаг. Хэрэв талбайг тодорхойлсон бол тэгш өнцөг үүсгэгч талуудын аль нэгний уртыг өндрөөр авах нь тохиромжтой.

Энэ бүхэн мэдээж сайн, гэхдээ гурвалжны аль нэг өнцөг зөв эсэхийг яаж тодорхойлох вэ? Хэрэв бидний зургийн хэмжээ бага бол бид барилгын өнцөг, зургийн гурвалжин, ил захидал эсвэл тэгш өнцөгт хэлбэртэй өөр зүйлийг ашиглаж болно.

Харин гурвалжин газартай бол яах вэ? Энэ тохиолдолд дараах байдлаар ажиллана уу: зөв өнцгийн дээд талаас нэг талаас 3-ын үржвэр (30 см, 90 см, 3 м) зайг тоолж, нөгөө талаас 4-ийн үржвэрийг ижил хэмжээгээр хэмжинэ. пропорциональ (40 см, 160 см, 4 м). Одоо та эдгээр хоёр сегментийн төгсгөлийн цэгүүдийн хоорондох зайг хэмжих хэрэгтэй. Хэрэв үр дүн нь 5-ын үржвэр (50 см, 250 см, 5 м) байвал өнцөг нь зөв гэж хэлж болно.

Хэрэв бидний зургийн гурван тал бүрийн урт нь мэдэгдэж байгаа бол гурвалжны талбайг Хероны томъёогоор тодорхойлж болно. Үүнийг илүү энгийн хэлбэртэй болгохын тулд хагас периметр гэж нэрлэгддэг шинэ утгыг ашигладаг. Энэ бол манай гурвалжны бүх талуудын нийлбэрийг хагасаар хуваасан юм. Хагас периметрийг тооцоолсны дараа та томъёог ашиглан талбайг тодорхойлж эхэлж болно.

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), хаана

sqrt - квадрат язгуур;

p - хагас периметрийн утга (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - гурвалжны ирмэг (тал).

Гэхдээ гурвалжин жигд бус хэлбэртэй байвал яах вэ? Энд хоёр боломжит арга бий. Тэдний эхнийх нь ийм дүрсийг хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин болгон хуваахыг оролдох бөгөөд тэдгээрийн талбайн нийлбэрийг тусад нь тооцож, дараа нь нэмнэ. Эсвэл хоёр талын өнцөг ба эдгээр талуудын хэмжээ нь мэдэгдэж байгаа бол дараах томъёог хэрэглэнэ.

S = 0.5 * ab * sinC, хаана

a,b - гурвалжны талууд;

c нь эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн хэмжээ.

Сүүлчийн тохиолдол нь практикт ховор тохиолддог боловч амьдралд бүх зүйл боломжтой байдаг тул дээрх томъёо нь илүүц байх болно. Таны тооцоололд амжилт хүсье!

Заавар

Намуудба өнцгийг үндсэн элементүүд гэж үздэг А. Гурвалжин нь гурван тал, нэг тал ба хоёр өнцөг, эсвэл хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг гэсэн үндсэн элементүүдийн аль нэгээр нь бүрэн тодорхойлогддог. Оршихуйн төлөө гурвалжин a,b,c гурван тал өгөгдсөн бол тэгш бус байдал гэж нэрлэгддэг тэгш бус байдлыг хангахад шаардлагатай бөгөөд хангалттай. гурвалжин:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Бариулахын тулд гурвалжин a, b, c гурван тал дээр CB = a сегментийн C цэгээс луужин ашиглан b радиустай тойрог зурах шаардлагатай. Дараа нь ижил аргаар В цэгээс в талтай тэнцүү радиустай тойрог зурна. Тэдний огтлолцлын цэг А нь хүссэн хэсгийн гурав дахь орой юм гурвалжин ABC, энд AB=c, CB=a, CA=b - талууд гурвалжин. Хэрэв a, b, c талууд тэгш бус байдлыг хангаж байвал асуудал нь байна гурвалжин 1-р алхамд заасан.

Ийм байдлаар баригдсан S талбай гурвалжин A, b, c талуудтай ABC-ийг Хероны томъёогоор тооцоолно.
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
энд a, b, c талууд байна гурвалжин, p - хагас периметр.
p = (a+b+c)/2

Хэрэв гурвалжин тэгш талт бол түүний бүх талууд тэнцүү байна (a=b=c).Талбай гурвалжинтомъёогоор тооцоолно:
S=(a^2 v3)/4

Хэрэв гурвалжин нь тэгш өнцөгт, өөрөөр хэлбэл түүний нэг өнцөг нь 90 ° -тай тэнцүү бөгөөд түүнийг бүрдүүлж буй талууд нь хөл бол гурав дахь тал нь гипотенуз юм. Энэ тохиолдолд дөрвөлжинхоёр хуваагдсан хөлийн үржвэртэй тэнцүү байна.
S=ab/2

олохын тулд дөрвөлжин гурвалжин, та олон томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно. Ямар өгөгдөл аль хэдийн мэдэгдэж байгаагаас хамааран томьёог сонгоно уу.

Танд хэрэгтэй болно

гурвалжны талбайг олох томъёоны талаархи мэдлэг

Заавар

Хэрэв та талуудын аль нэгнийх нь хэмжээ, түүний эсрэг талын өнцгөөс энэ тал руу буулгасан өндрийн утгыг мэдэж байгаа бол та дараахь зүйлийг ашиглан талбайг олох боломжтой: S = a*h/2, S нь талбай юм. гурвалжны, a нь гурвалжны талуудын нэг, h - өндөр, тал нь.

Гурвалжны гурван тал нь мэдэгдэж байгаа бол түүний талбайг тодорхойлох алдартай арга байдаг. Энэ бол Хероны томъёо юм. Түүний бичлэгийг хялбарчлахын тулд завсрын утгыг нэвтрүүлсэн - хагас периметр: p = (a+b+c)/2, энд a, b, c - . Тэгвэл Хероны томъёо дараах байдалтай байна: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ экспоненциал.

Та гурвалжны нэг тал ба гурван өнцгийг мэддэг гэж бодъё. Дараа нь гурвалжны талбайг олоход хялбар байдаг: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), энд β нь а талын эсрэг талын өнцөг, α ба γ нь хажуугийн хажуугийн өнцөг юм.

Сэдвийн талаархи видео

Анхаарна уу

Бүх тохиолдолд тохиромжтой хамгийн ерөнхий томъёо бол Хероны томъёо юм.

Эх сурвалжууд:

Зөвлөгөө 3: Гурвалжны талбайг гурван тал дээр үндэслэн хэрхэн олох вэ

Гурвалжны талбайг олох нь сургуулийн планиметрийн хамгийн түгээмэл асуудлуудын нэг юм. Гурвалжны гурван талыг мэдэх нь ямар ч гурвалжны талбайг тодорхойлоход хангалттай. Адил талт гурвалжны онцгой тохиолдолд хоёр ба нэг талын уртыг мэдэхэд хангалттай.

Танд хэрэгтэй болно

гурвалжны талуудын урт, Хэроны томъёо, косинусын теорем

Заавар

Гурвалжны талбайн хувьд Хероны томъёо дараах байдалтай байна: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Хэрэв бид хагас периметр p-г бичвэл бид дараахийг авна: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Жишээлбэл, косинусын теоремыг ашигласнаар та гурвалжны талбайн томъёог гаргаж болно.

Косинусын теоремоор AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Оруулсан тэмдэглэгээг ашиглан тэдгээрийг дараах хэлбэрээр бичиж болно: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Тиймээс cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Гурвалжны талбайг мөн S = a*c*sin(ABC)/2 томъёогоор хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ашиглан олно. ABC өнцгийн синусыг тригонометрийн үндсэн ижилтүүлэгчийг ашиглан илэрхийлж болно: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Талбайн томьёонд синусын орлуулж, бичнэ үү. , та ABC гурвалжны талбайн томъёонд хүрч болно.

Сэдвийн талаархи видео

Засварын ажлыг гүйцэтгэхийн тулд хэмжилт хийх шаардлагатай байж болно дөрвөлжинхана Энэ нь шаардлагатай хэмжээний будаг эсвэл ханын цаасыг тооцоолоход хялбар болгодог. Хэмжилтийн хувьд соронзон хэмжүүр эсвэл хэмжих соронзон хальс ашиглах нь хамгийн сайн арга юм. Хэмжилтийг дараа нь хийх ёстой ханатэгшлэв.

Танд хэрэгтэй болно

- рулет;
- шат.

Заавар

Тоолох дөрвөлжинхананы хувьд та таазны өндрийг яг нарийн мэдэж, шалан дээрх уртыг хэмжих хэрэгтэй. Үүнийг дараах байдлаар хийнэ: нэг сантиметрийг авч, тавцан дээр тавь. Ихэвчлэн нэг сантиметр нь бүхэл бүтэн уртад хангалтгүй байдаг тул буланд бэхлээд дараа нь хамгийн их урттай болтол нь суллана. Энэ үед харандаагаар тэмдэглэгээ хийж, олж авсан үр дүнг бичиж, хамгийн сүүлийн хэмжилтийн цэгээс эхлэн дараагийн хэмжилтийг ижил аргаар гүйцэтгэнэ.

Стандарт тааз нь байшингаас хамаарч 2 метр 80 сантиметр, 3 метр, 3 метр 20 сантиметр байна. Хэрэв байшинг 50-аад оноос өмнө барьсан бол бодит өндөр нь заасан хэмжээнээс арай доогуур байх магадлалтай. Хэрэв та тооцоолж байгаа бол дөрвөлжинзасварын ажилд зориулж, дараа нь жижиг нийлүүлэлт нь гэмтэхгүй - стандартад үндэслэн анхаарч үзээрэй. Хэрэв та жинхэнэ өндрийг мэдэх шаардлагатай хэвээр байвал хэмжилт хийнэ үү. Энэ зарчим нь уртыг хэмжихтэй төстэй боловч танд шат хэрэгтэй болно.

Үүссэн үзүүлэлтүүдийг үржүүлээрэй - энэ бол дөрвөлжинчинийх хана. Үнэн, будах эсвэл будахдаа хасах шаардлагатай байдаг дөрвөлжинхаалга, цонхны нээлхий. Үүнийг хийхийн тулд нээлхийн дагуу нэг сантиметрийг тавина. Хэрэв бид таны дараа өөрчлөх гэж байгаа хаалганы тухай ярьж байгаа бол зөвхөн анхааралдаа авч хаалганы хүрээг салгах хэрэгтэй. дөрвөлжиншууд нээлтийн өөрөө. Цонхны талбайг түүний хүрээний периметрийн дагуу тооцоолно. Дараа нь дөрвөлжинТооцоолсон цонх, хаалганы үр дүнг өрөөний нийт талбайгаас хасна.

Өрөөний урт, өргөнийг хэмжих ажлыг хоёр хүн гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь сантиметр эсвэл соронзон хэмжүүрийг засахад хялбар болгож, үүний дагуу илүү нарийвчлалтай үр дүнг авах болно гэдгийг анхаарна уу. Таны авсан тоо үнэн зөв эсэхийг шалгахын тулд ижил хэмжилтийг хэд хэдэн удаа хийнэ.

Сэдвийн талаархи видео

Гурвалжны эзэлхүүнийг олох нь үнэхээр энгийн зүйл биш юм. Гурвалжин бол хоёр хэмжээст дүрс, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь бүхэлдээ нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд энэ нь ердөө л эзлэхүүнгүй гэсэн үг юм. Мэдээжийн хэрэг, та байхгүй зүйлийг олж чадахгүй. Гэхдээ бууж өгөхгүй байцгаая! Бид дараах таамаглалыг хүлээн зөвшөөрч болно: хоёр хэмжээст дүрсийн эзэлхүүн нь түүний талбай юм. Бид гурвалжны талбайг хайх болно.

Танд хэрэгтэй болно

хуудас, харандаа, захирагч, тооны машин

Заавар

Захирагч, харандаа ашиглан цаасан дээр зур. Гурвалжныг сайтар судалж үзээд, энэ нь хавтгай дээр зурсан тул гурвалжин байхгүй гэдэгт итгэлтэй байж болно. Гурвалжны талуудыг тэмдэглэ: нэг тал нь "a", нөгөө тал нь "b", гурав дахь тал нь "c" байх ёстой. Гурвалжны оройг "A", "B", "C" үсгээр тэмдэглэ.

Гурвалжны аль ч талыг захирагчаар хэмжиж, үр дүнг бич. Үүний дараа хэмжсэн тал руу перпендикулярыг түүний эсрэг талын оройноос сэргээж, ийм перпендикуляр нь гурвалжны өндөр байх болно. Зурагт үзүүлсэн тохиолдолд перпендикуляр "h" нь "A" оройноос "c" тал руу сэргээгддэг. Үүссэн өндрийг захирагчаар хэмжиж, хэмжилтийн үр дүнг бичнэ үү.

Яг перпендикулярыг сэргээх нь танд хэцүү байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд та өөр томъёог ашиглах хэрэгтэй. Гурвалжны бүх талыг захирагчаар хэмжинэ. Үүний дараа "p" гурвалжны хагас периметрийг тооцоолохдоо үүссэн талуудын уртыг нэмж, тэдгээрийн нийлбэрийг хагасаар хуваана. Хагас периметрийн утгыг таны мэдэлд байгаа бол та Хэроны томъёог ашиглаж болно. Үүнийг хийхийн тулд та дараах язгуурыг авах хэрэгтэй: p(p-a)(p-b)(p-c).

Та гурвалжны шаардлагатай талбайг авсан. Гурвалжны эзэлхүүнийг олох асуудал шийдэгдээгүй ч дээр дурдсанчлан эзлэхүүн нь шийдэгдээгүй байна. Гурван хэмжээст ертөнцөөс үндсэндээ гурвалжин болох эзэлхүүнийг олж болно. Хэрэв бид анхны гурвалжин гурван хэмжээст пирамид болсон гэж төсөөлвөл ийм пирамидын эзэлхүүн нь түүний суурийн уртыг бидний олж авсан гурвалжны талбайн үржвэр болно.

Анхаарна уу

Хэдий чинээ нарийвчлалтай хэмжилт хийх тусам таны тооцоо илүү нарийвчлалтай болно.

Эх сурвалжууд:

Тооны машин "Бүх зүйлд" - лавлагаа утгын портал
2019 онд гурвалжингийн хэмжээ

Декартын координатын систем дэх гурвалжинг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог гурван цэг нь түүний оройнууд юм. Координатын тэнхлэг тус бүртэй харьцуулахад тэдгээрийн байрлалыг мэдэхийн тулд та энэ хавтгай зургийн дурын параметрүүдийг, түүний дотор периметрээр хязгаарлагдахыг тооцоолж болно. дөрвөлжин. Үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно.

Заавар

Талбайг тооцоолохдоо Хэроны томъёог ашиглана уу гурвалжин. Энэ нь зургийн гурван талын хэмжээсийг багтаасан тул тооцоогоо . Тал бүрийн урт нь координатын тэнхлэг дээрх проекцуудын уртын квадратуудын нийлбэрийн үндэстэй тэнцүү байх ёстой. Хэрэв бид A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) ба C(X₃,Y₃,Z₃) координатуудыг тэмдэглэвэл тэдгээрийн талуудын уртыг дараах байдлаар илэрхийлж болно: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд туслах хувьсагчийг оруулаарай - хагас периметр (P). Энэ нь бүх талуудын уртын нийлбэрийн тал хувь учраас: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй цэгүүдийг холбосон гурван шулуун шугамаас бүрдэх геометрийн дүрс юм. Шугамын холболтын цэгүүд нь латин үсгээр (жишээлбэл, A, B, C) тэмдэглэгдсэн гурвалжны оройнууд юм. Гурвалжны холбосон шулуун шугамуудыг сегмент гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийг ихэвчлэн латин үсгээр тэмдэглэдэг. Дараах төрлийн гурвалжингуудыг ялгадаг.

Тэгш өнцөгт.
Бүдүүн.
Хурц өнцөг.
Олон талт.
Тэгш талт.
Хоёр талт.

Гурвалжны талбайг тооцоолох ерөнхий томъёо

Урт ба өндрөөс хамааран гурвалжны талбайн томъёо

S= a*h/2,
Энд a - талбайг олох шаардлагатай гурвалжны хажуугийн урт, h - суурь руу татсан өндрийн урт.

Хероны томъёо

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
Энд √ квадрат язгуур, p нь гурвалжны хагас периметр, a,b,c гурвалжны тал бүрийн урт. Гурвалжны хагас периметрийг p=(a+b+c)/2 томъёогоор тооцоолж болно.

Сегментийн өнцөг ба урт дээр үндэслэн гурвалжны талбайн томъёо

S = (a*b*sin(α))/2,
Үүнд b,c нь гурвалжны талуудын урт, sin(α) нь хоёр талын өнцгийн синус юм.

Гурвалжны талбайн томъёог бичээстэй тойрог ба гурван талын радиусыг өгсөн

S=p*r,
Энд p нь талбайг олох шаардлагатай гурвалжны хагас периметр, r нь энэ гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус юм.

Гурван тал ба түүнийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн радиус дээр суурилсан гурвалжны талбайн томъёо

S= (a*b*c)/4*R,
Үүнд: a,b,c нь гурвалжны тал бүрийн урт, R нь гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус юм.

Цэгүүдийн декарт координатыг ашиглан гурвалжны талбайн томъёо

Цэгүүдийн декарт координатууд нь xOy систем дэх координатууд бөгөөд энд x нь абсцисса, у нь ординат юм. Хавтгай дээрх xOy декартын координатын систем нь О цэг дээрх нийтлэг гарал үүсэлтэй Ox ба Oy харилцан перпендикуляр тоон тэнхлэгүүд юм. Хэрэв энэ хавтгай дээрх цэгүүдийн координатыг A(x1, y1), B(x2, y2) хэлбэрээр өгвөл ) ба C(x3, y3 ), дараа нь та гурвалжны талбайг хоёр векторын вектор үржвэрээс гаргаж авсан дараах томъёог ашиглан тооцоолж болно.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
хаана || модуль гэсэн үг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Тэгш өнцөгт гурвалжин нь 90 градусын өнцөгтэй гурвалжин юм. Гурвалжин нь зөвхөн нэг ийм өнцөгтэй байж болно.

Хоёр талдаа тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёо

S= a*b/2,
Үүнд: a,b нь хөлний урт. Хөл нь зөв өнцгөөр зэргэлдээх талууд юм.

Гипотенуз ба хурц өнцөгт суурилсан тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёо

S = a*b*sin(α)/ 2,
Үүнд: a, b нь гурвалжны хөл, sin(α) нь a, b шулуунуудын огтлолцох өнцгийн синус юм.

Хажуу ба эсрэг өнцөгт суурилсан тэгш өнцөгт гурвалжны талбайн томъёо

S = a*b/2*tg(β),
Энд a, b нь гурвалжны хөл, tan(β) нь a, b хөлүүдийн холбогдсон өнцгийн тангенс юм.

Хоёр талт гурвалжны талбайг хэрхэн тооцоолох вэ

Хоёр тал нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Эдгээр талуудыг талууд гэж нэрлэдэг бөгөөд нөгөө тал нь суурь юм. Хоёр талт гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд та дараах томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно.

Хоёр талт гурвалжны талбайг тооцоолох үндсэн томъёо

S=h*c/2,
Энд c нь гурвалжны суурь, h нь гурвалжны суурь руу буулгасан өндөр.

Хажуу ба суурь дээр суурилсан ижил өнцөгт гурвалжны томъёо

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
Энд c нь гурвалжны суурь, a нь тэгш өнцөгт гурвалжны аль нэг талын хэмжээ юм.

Тэгш талт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ

Адил талт гурвалжин нь бүх тал нь тэнцүү гурвалжин юм. Тэгш талт гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд та дараах томъёог ашиглаж болно.
S = (√3*a*a)/4,
Үүнд: a нь тэгш талт гурвалжны хажуугийн урт.

Дээрх томьёо нь гурвалжны шаардлагатай талбайг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Гурвалжны талбайг тооцоолохын тулд гурвалжны төрөл, тооцоололд ашиглаж болох өгөгдлийг анхаарч үзэх хэрэгтэй гэдгийг санах нь чухал юм.