Дараалал ба функцийн хязгаарын тухай ойлголт. Дарааллын хязгаарыг олох шаардлагатай үед дараах байдлаар бичнэ: lim xn=a. Ийм дарааллаар xn нь a руу, n нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг. Дарааллыг ихэвчлэн цуврал хэлбэрээр илэрхийлдэг, жишээлбэл:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Дараалал нь өсөлт, бууралт гэж хуваагддаг. Жишээ нь:
xn=n^2 - нэмэгдэж буй дараалал
yn=1/n - дараалал
Жишээлбэл, xn=1/n^ дарааллын хязгаар:
lim 1/n^2=0
x→∞
n→∞, 1/n^2 дараалал нь тэг рүү чиглэдэг тул энэ хязгаар нь тэгтэй тэнцүү байна.
Ер нь х хувьсах хэмжигдэхүүн нь хязгаарлагдмал хязгаарт хүрэх хандлагатай байдаг бөгөөд х нь а руу байнга ойртож байдаг ба a хэмжигдэхүүн нь тогтмол байдаг. Үүнийг дараах байдлаар бичнэ: limx =a, харин n нь тэг эсвэл хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Хязгааргүй функцүүд байдаг бөгөөд тэдгээрийн хувьд хязгаар нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Бусад тохиолдолд, жишээлбэл, функц нь галт тэрэгний хөдөлгөөнийг удаашруулж байх үед хязгаарыг тэглэх хандлагатай байдаг.
Хязгаарлалт нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг. Дүрмээр бол аливаа функц зөвхөн нэг хязгаартай байдаг. Энэ бол хязгаарын гол шинж чанар юм. Бусад нь доор жагсаагдсан байна:
* Төлбөрийн хязгаар нь хязгаарын нийлбэртэй тэнцүү байна:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Бүтээгдэхүүний хязгаар нь хязгаарын үржвэртэй тэнцүү байна:
lim(xy)=lim x*lim y
* Хэмжилтийн хязгаар нь хязгаарын хуваарьтай тэнцүү байна:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Тогтмол хүчин зүйлийг хязгаарын тэмдэгээс гадуур авна:
lim(Cx)=C lim x
x →∞ 1 /x функц өгөгдсөн бол түүний хязгаар нь тэг болно. Хэрэв x→0 бол ийм функцийн хязгаар нь ∞ байна.
Тригонометрийн функцүүдийн хувьд эдгээр дүрмийн зарим нь байдаг. sin x функц нь тэг рүү ойртох үед үргэлж нэгдмэл байх хандлагатай байдаг тул ижил төстэй байдал нь үүнд хамаарна:
lim sin x/x=1
Хэд хэдэн функцэд хязгаарыг тооцоолохдоо тодорхойгүй байдал үүсдэг функцүүд байдаг - хязгаарыг тооцоолох боломжгүй нөхцөл байдал. Энэ байдлаас гарах цорын ганц арга бол L'Hopital. Хоёр төрлийн тодорхойгүй байдал байдаг:
* 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал
* ∞/∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал
Жишээлбэл, lim f(x)/l(x), f(x0)=l(x0)=0 гэсэн хэлбэрийн хязгаарыг өгсөн. Энэ тохиолдолд 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал үүсдэг. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд хоёр функцийг ялгаж, дараа нь үр дүнгийн хязгаарыг олно. 0/0 төрлийн тодорхойгүй байдлын хувьд хязгаар нь:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0 үед)
Үүнтэй ижил дүрэм ∞/∞ төрлийн тодорхойгүй байдлын хувьд ч мөн адил байна. Гэхдээ энэ тохиолдолд дараах тэгш байдал үнэн болно: f(x)=l(x)=∞
L'Hopital-ийн дүрмийг ашигласнаар та тодорхой бус байдал гарч ирэх аливаа хязгаарын утгыг олох боломжтой. Урьдчилсан нөхцөл
эзлэхүүн - дериватив олоход алдаа гарахгүй. Жишээлбэл, (x^2)" функцийн дериватив нь 2x-тэй тэнцүү байна. Эндээс бид дараах дүгнэлтийг хийж болно.
f"(x)=nx^(n-1)
Зарим жишээг авч үзье.
X нь тоон хувьсагч, X нь түүний өөрчлөлтийн талбар байцгаая. Хэрэв X-д хамаарах х тоо бүр тодорхой у тоотой холбоотой бол тэд X олонлог дээр функц тодорхойлогдсон гэж хэлээд y = f(x) гэж бичнэ.
Энэ тохиолдолд X багц нь 0X ба 0Y гэсэн хоёр координатын тэнхлэгээс бүрдэх хавтгай юм. Жишээлбэл, y = x 2 функцийг дүрсэлье. 0X ба 0Y тэнхлэгүүд нь X-ийг үүсгэдэг - түүний өөрчлөлтийн талбай. Зураг нь функц хэрхэн ажилладагийг тодорхой харуулж байна. Энэ тохиолдолд y = x 2 функц нь X олонлог дээр тодорхойлогддог гэж тэд хэлдэг.
Функцийн бүх хэсэгчилсэн утгуудын Y олонлогийг f(x) утгын олонлог гэнэ. Өөрөөр хэлбэл утгуудын багц нь функцийг тодорхойлсон 0Y тэнхлэгийн дагуух интервал юм. Дүрсэлсэн парабол нь f(x) > 0 гэдгийг тодорхой харуулж байна, учир нь x2 > 0. Тиймээс утгын хүрээ нь . Бид олон утгыг 0Y-ээр хардаг.
Бүх x-ийн олонлогийг f(x)-ийн муж гэнэ. Бид олон тодорхойлолтыг 0X-ээр хардаг бөгөөд бидний хувьд зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ нь [-; +].
Хэрэв а цэгийн аль ч орчимд а-аас өөр X олонлогийн цэгүүд байвал a (a-д хамаарах эсвэл X) цэгийг X олонлогийн хязгаарын цэг гэнэ.
Функцийн хязгаар гэж юу болохыг ойлгох цаг болсон уу?
Х нь а тоо руу чиглэдэг шиг функц нь чиглэдэг цэвэр b-г гэнэ функцийн хязгаар. Үүнийг дараах байдлаар бичсэн байна.
Жишээлбэл, f(x) = x 2. Бид x 2 үед функц ямар хандлагатай байгааг (тэнцүү биш) олж мэдэх хэрэгтэй. Эхлээд бид хязгаарыг бичнэ.
Графикийг харцгаая.
0X тэнхлэгийн 2-р цэгээр 0Y тэнхлэгтэй параллель шугам татъя. Энэ нь (2;4) цэг дээр бидний графикийг огтолно. Энэ цэгээс 0Y тэнхлэг рүү перпендикуляр буулгаж, 4-р цэг рүү орцгооё. Манай функц x 2 дээр үүнийг зорьдог. Хэрэв бид одоо f(x) функцэд 2-ын утгыг орлуулах юм бол хариулт нь ижил байх болно. .
Одоо цааш явахаасаа өмнө хязгаарын тооцоо, үндсэн тодорхойлолтуудыг танилцуулъя.
19-р зуунд Францын математикч Августин Луи Коши танилцуулсан.
f(x) функц нь x = A цэгийг агуулсан тодорхой интервал дээр тодорхойлогддог гэж үзье, гэхдээ f(A)-ийн утгыг тодорхойлох нь огт шаардлагагүй юм.
Дараа нь Кошигийн тодорхойлолтоор функцийн хязгаарХэрэв C > 0 бүрт D > 0 тоо байвал f(x) нь тодорхой B тоо байх бөгөөд х нь А руу чиглэдэг.
Тэдгээр. хэрэв x А цэг дэх f(x) функц нь В хязгаараар хязгаарлагдах бол үүнийг хэлбэрээр бичнэ
Дарааллын хязгаарХэрэв дурын жижиг эерэг тоо B > 0 тохиолдолд n > N тохиолдолд бүх утгууд тэгш бус байдлыг хангадаг N тоо байвал тодорхой А тоог дуудна.
Энэ хязгаар нь иймэрхүү харагдаж байна.
Хязгаарлалттай дарааллыг конвергент гэж нэрлэнэ, хэрэв үгүй бол бид үүнийг дивергент гэж нэрлэнэ.
Та аль хэдийн анзаарсанчлан хязгаарыг lim дүрсээр зааж өгсөн бөгөөд үүний доор хувьсагчийн зарим нөхцөл бичигдсэн бөгөөд дараа нь функц өөрөө бичигдсэн байдаг. Ийм олонлогийг “... хамаарах функцийн хязгаар” гэж уншина. Жишээ нь:
- функцийн хязгаар нь x нь 1 рүү чиглэдэг.
"1-д ойртож байна" гэсэн илэрхийлэл нь x нь 1-д хязгааргүй ойртсон утгыг дараалан авдаг гэсэн үг юм.
Одоо энэ хязгаарыг тооцоолохын тулд 1 утгыг x-д орлуулахад хангалттай болох нь тодорхой боллоо.
Тодорхой тоон утгаас гадна x нь мөн хязгааргүй хандлагатай байдаг. Жишээ нь:
Х илэрхийлэл нь х байнга нэмэгдэж, хязгааргүй хязгааргүйд ойртож байна гэсэн үг юм. Тиймээс x-ийн оронд хязгааргүйг орлуулбал 1-x функц нь эсрэг тэмдгээр байх хандлагатай болох нь тодорхой болно.
Тиймээс, хязгаарын тооцооЭнэ нь түүний тодорхой утгыг эсвэл хязгаараар хязгаарлагдсан функц унах тодорхой хэсгийг олоход хүргэдэг.
Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн хязгаарыг тооцоолохдоо хэд хэдэн дүрмийг ашиглах нь чухал юм.
Ойлголт хязгаарын мөн чанарболон үндсэн дүрэм хязгаарын тооцоо, та тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар гол ойлголттой болох болно. Хэрэв ямар нэгэн хязгаарлалт танд хүндрэл учруулж байвал сэтгэгдэл дээр бичээрэй, бид танд туслах болно.
Тайлбар: Хууль зүй бол зөрчилдөөн болон бусад амьдралын бэрхшээлүүдэд тусалдаг хуулийн шинжлэх ухаан юм.
Хязгаарыг тооцоолохдоо та үүнийг анхаарч үзэх хэрэгтэй дараах үндсэн дүрмүүд:
1. Функцийн нийлбэрийн (ялгаа) хязгаар нь нэр томъёоны хязгаарын нийлбэртэй (ялгаатай) тэнцүү байна.
2. Функцийн үржвэрийн хязгаар нь хүчин зүйлсийн хязгаарын үржвэртэй тэнцүү байна.
3. Хоёр функцийн харьцааны хязгаар нь эдгээр функцүүдийн хязгаарын харьцаатай тэнцүү байна.
.
4. Тогтмол хүчин зүйлийг хязгаарын тэмдэгээс хэтрүүлэн авч болно.
.
5. Тогтмолын хязгаар нь тогтмолтой тэнцүү байна.
6. Тасралтгүй функцүүдийн хувьд хязгаар болон функцийн тэмдэгтүүдийг сольж болно:
.
Функцийн хязгаарыг олохдоо тухайн функцийн илэрхийлэлд утгыг орлуулах замаар эхлэх ёстой. Түүнчлэн, хэрэв 0 эсвэл ¥ тоон утгыг авсан бол хүссэн хязгаарыг олсон болно.
Жишээ 2.1.Хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл.
.
, , , , , хэлбэрийн илэрхийллийг дуудна тодорхойгүй байдал.
Хэрэв та маягтын тодорхойгүй байдлыг олж авбал хязгаарыг олохын тулд энэ тодорхойгүй байдлыг илрүүлэхийн тулд функцийг хувиргах хэрэгтэй.
Хоёр олон гишүүнтийн харьцааны хязгаарыг өгсөн тохиолдолд хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг ихэвчлэн олж авдаг. Энэ тохиолдолд хязгаарыг тооцоолохын тулд олон гишүүнтийг хүчин зүйлээр тооцож, тэдгээрийг нийтлэг хүчин зүйлээр багасгахыг зөвлөж байна. Энэ үржүүлэгч нь хязгаарын утга дээр тэг байна X .
Жишээ 2.2.Хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл.
-ийг орлуулахад бид тодорхойгүй байдлыг олж авна:
.
Тоолуур ба хуваагчийг үржүүлье:
;
Нийтлэг хүчин зүйлээр багасгаж, авъя
.
Хоёр олон гишүүнтийн харьцааны хязгаарыг өгөгдсөн үед хэлбэрийн тодорхойгүй байдал гарна. Энэ тохиолдолд үүнийг тооцоолохын тулд олон гишүүнтийг хоёуланг нь хуваахыг зөвлөж байна X ахлах зэрэгт.
Жишээ 2.3.Хязгаарыг тооцоол.
Шийдэл.∞-г орлуулахдаа бид хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг олж авдаг тул илэрхийллийн бүх нөхцөлийг дараахь байдлаар хуваана. x 3.
.
Үүнийг энд харгалзан үзсэн болно.
Үндэс агуулсан функцийн хязгаарыг тооцоолохдоо функцийг коньюгатаар нь үржүүлж хуваахыг зөвлөж байна.
Жишээ 2.4.Хязгаарыг тооцоолох
Шийдэл.
(1) ∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдлыг илрүүлэхийн тулд хязгаарыг тооцоолохдоо эхний болон хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг ихэвчлэн ашигладаг.
Тодорхой хэмжээний тасралтгүй өсөлттэй холбоотой олон асуудал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарт хүргэдэг.
Тооны тайлбарыг Я.И.Перелманы жишээг авч үзье днийлмэл хүүгийн асуудалд. Хадгаламжийн банкинд жил бүр хүүгийн мөнгийг үндсэн хөрөнгөд нэмж оруулдаг. Хэрэв нэгдэх нь илүү олон удаа хийгдвэл сонирхол үүсэхэд илүү их хэмжээний хөрөнгө оролцдог тул хөрөнгө илүү хурдан өсдөг. Цэвэр онолын, маш хялбаршуулсан жишээг авч үзье.
100 үгүйсгэгчийг банкинд хадгалуулъя. нэгж жилийн 100% дээр үндэслэсэн. Хэрэв хүүгийн мөнгийг жилийн дараа л үндсэн капиталд нэмбэл энэ хугацаанд 100 дэн болно. нэгж 200 мөнгөний нэгж болж хувирна.
Одоо 100 далайчин юу болж хувирахыг харцгаая. нэгж, хэрэв хүүгийн мөнгийг зургаан сар тутамд үндсэн капиталд нэмбэл. Зургаан сарын дараа 100 ден. нэгж 100 × 1.5 = 150, өөр зургаан сарын дараа - 150 × 1.5 = 225 (нэгж) өсөх болно. Хэрэв элсэлтийг жилийн 1/3 тутамд хийдэг бол жилийн дараа 100 ден. нэгж 100 × (1 +1/3) 3 "237 (ден. нэгж) болж хувирна.
Хүүгийн мөнгийг 0,1 жил хүртэл, 0,01 жил хүртэл, 0,001 жил хүртэл гэх мэт нөхцөлийг нэмэгдүүлнэ. Дараа нь 100 дентээс. нэгж жилийн дараа энэ нь:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (нэгж),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (нэгж),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. нэгж).
Хүү нэмэх нөхцөлийг хязгааргүй бууруулснаар хуримтлагдсан хөрөнгө нь хязгааргүй өсөхгүй, харин ойролцоогоор 271-тэй тэнцэх тодорхой хязгаарт ойртоно. Жилийн 100% хадгалуулсан хөрөнгө нь хуримтлагдсан хүү байсан ч 2.71 дахин өсөх боломжгүй. Учир нь секунд тутамд нийслэлд нэмэгдэж байсан
Жишээ 2.5.Функцийн хязгаарыг тооцоол
Шийдэл.
Жишээ 2.6.Функцийн хязгаарыг тооцоол 
.
Шийдэл.Орлуулснаар бид тодорхойгүй байдлыг олж авна:
.
Тригонометрийн томъёог ашиглан бид тоологчийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргадаг.
Үүний үр дүнд бид авдаг
Энд хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг харгалзан үзнэ.
Жишээ 2.7.Функцийн хязгаарыг тооцоол
Шийдэл.
.
Маягтын тодорхойгүй байдлыг илрүүлэхийн тулд та дараах теорем дээр үндэслэсэн L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглаж болно.
Теорем.Хязгааргүй жижиг буюу хязгааргүй том хоёр функцийн харьцааны хязгаар нь тэдгээрийн деривативуудын харьцааны хязгаартай тэнцүү байна.
Энэ дүрмийг хэд хэдэн удаа дараалан хэрэглэж болно гэдгийг анхаарна уу.
Жишээ 2.8.Хай
Шийдэл.Орлуулах үед бид хэлбэрийн тодорхойгүй байдал үүсдэг. L'Hopital-ийн дүрмийг ашигласнаар бид олж авна
Функцийн тасралтгүй байдал
Функцийн чухал шинж чанар бол тасралтгүй байдал юм.
Тодорхойлолт.Функцийг авч үздэг тасралтгүй, хэрэв аргументийн утгын бага зэрэг өөрчлөлт нь функцийн утгыг бага зэрэг өөрчлөхөд хүргэдэг.
Математикийн хувьд үүнийг дараах байдлаар бичдэг: хэзээ 
ба гэдэг нь хувьсагчдын өсөлт, өөрөөр хэлбэл дараагийн болон өмнөх утгуудын зөрүүг илэрхийлнэ: , (Зураг 2.3)
 Зураг 2.3 – Хувьсагчийн өсөлт |
Тухайн цэг дээрх тасралтгүй функцийн тодорхойлолтоос дараахь зүйлийг гаргана 
. Энэ тэгш байдал нь гурван нөхцөл хангагдсан гэсэн үг юм. 
Шийдэл.Функцийн хувьд цэг тасалдсан нь сэжигтэй, үүнийг шалгаж, нэг талын хязгаарыг олъё
Тиймээс, 
, гэсэн үг - таслах цэг
Функцийн дериватив
Функцийн хязгаар- тоо аХэрэв энэ хувьсах хэмжигдэхүүн өөрчлөгдөх явцад тодорхойгүй хугацаагаар ойртвол зарим хувьсах хэмжигдэхүүний хязгаар болно. а.
Эсвэл өөрөөр хэлбэл тоо Ань функцийн хязгаар юм у = f(x)цэг дээр x 0, хэрэв функцийн тодорхойлолтын мужаас ямар нэгэн цэгийн дарааллын хувьд тэнцүү биш x 0, аль нь цэгт нийлдэг x 0 (lim x n = x0), харгалзах функцийн утгуудын дараалал нь тоонд нийлдэг А.
Хязгааргүй байх хандлагатай аргументыг өгвөл хязгаар нь тэнцүү байх функцийн график Л:
Утга Абайна функцийн хязгаар (хязгаарлалтын утга). f(x)цэг дээр x 0ямар ч дараалсан цэгийн хувьд 
, аль нь нийлдэг x 0, гэхдээ агуулаагүй x 0түүний элементүүдийн нэг болгон (жишээ нь цоорсон ойролцоо x 0), функцийн утгуудын дараалал 
-д нийлдэг А.
Кошигийн дагуу функцийн хязгаар.
Утга Абайх болно функцийн хязгаар f(x)цэг дээр x 0хэрэв урьдчилан авсан сөрөг бус тооны хувьд ε харгалзах сөрөг бус тоог олох болно δ = δ(ε) аргумент бүрийн хувьд x, нөхцөлийг хангаж байна 0 < | x - x0 | < δ , тэгш бус байдал хангагдана | f(x)A |< ε .
Хэрэв та хязгаарын мөн чанар, түүнийг олох үндсэн дүрмийг ойлговол энэ нь маш энгийн байх болно. Функцийн хязгаар гэж юу вэ f (x)цагт xтэмүүлж байна атэнцүү байна А, ингэж бичсэн байна:
Түүнээс гадна хувьсагчийн хандлагатай утга x, зөвхөн тоо биш, мөн хязгааргүй (∞), заримдаа +∞ эсвэл -∞ байж болно, эсвэл огт хязгааргүй байж болно.
Яаж гэдгийг ойлгохын тулд функцийн хязгаарыг ол, шийдлүүдийн жишээг үзэх нь дээр.
Функцийн хязгаарыг олох шаардлагатай f (x) = 1/xхаягаар:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Эхний хязгаарын шийдлийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд та зүгээр л орлуулж болно xтүүний хандлагатай тоо, i.e. 2, бид авна:
Функцийн хоёр дахь хязгаарыг олъё. Энд оронд нь цэвэр 0-ийг орлуулна xболомжгүй, учир нь Та 0-д хувааж болохгүй. Гэхдээ бид тэгтэй ойролцоо утгыг авч болно, жишээлбэл, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 гэх мэт, мөн функцийн утга f (x)нэмэгдэх болно: 100; 1000; 10000; 100,000 гэх мэт. Тиймээс хэзээ гэж ойлгож болно x→ 0 Хязгаарын тэмдгийн доор байгаа функцийн утга хязгааргүй өсөх болно, i.e. хязгааргүй рүү тэмүүл. Энэ нь:
Гурав дахь хязгаарын тухайд. Өмнөх тохиолдолтой ижил нөхцөл байдал, үүнийг орлуулах боломжгүй юм ∞ хамгийн цэвэр хэлбэрээр. Хязгааргүй өсөлтийн асуудлыг авч үзэх хэрэгтэй x. Бид 1000-ыг нэг нэгээр нь орлуулдаг; 10000; 100000 гэх мэтчилэн бидэнд функцийн утга байна f (x) = 1/xбуурах болно: 0.001; 0.0001; 0.00001; гэх мэтээр тэг рүү тэмүүлдэг. Тийм учраас:
Функцийн хязгаарыг тооцоолох шаардлагатай 
Хоёр дахь жишээг шийдэж эхлэхэд бид тодорхойгүй байдлыг харж байна. Эндээс бид тоологч ба хуваагчийн хамгийн дээд зэргийг олдог - энэ бол x 3, бид үүнийг тоологч болон хуваагч дахь хаалтнаас гаргаж аваад дараа нь дараах байдлаар бууруулна.
Хариулах 
Эхний алхам энэ хязгаарыг олох, оронд нь 1 утгыг орлуулна уу x, үр дүнд нь тодорхойгүй байдал үүсдэг. Үүнийг шийдэхийн тулд тоологчийг үржвэрлэж, квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох аргыг ашиглан хийцгээе. x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Тиймээс тоологч нь:
Хариулах 
Энэ нь түүний тодорхой утгын тодорхойлолт эсвэл хязгаараар хязгаарлагддаг функц унадаг тодорхой хэсэг юм.
Хязгаарыг шийдэхийн тулд дараах дүрмийг баримтална уу.
Үүний мөн чанар, гол зүйлийг ойлгосон хязгаарыг шийдвэрлэх дүрэм, та тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар үндсэн ойлголттой болно.
