Динамик, онолын механикийн нэр томъёо, тодорхойлолт. Динамикийн ерөнхий теоремууд

Тогтмол координатын системтэй харьцуулахад материаллаг объектуудын тодорхой системийн хөдөлгөөнийг авч үзье, хэрэв систем чөлөөтэй биш бол системд тавьсан холболтыг устгаж, тэдгээрийн үйлдлийг харгалзах урвалаар солих юм бол үүнийг чөлөөтэй гэж үзэж болно.

Системд хэрэглэсэн бүх хүчийг гадаад ба дотоод гэж хуваацгаая; аль аль нь хаягдсан хариу үйлдлийг агуулж болно

холболтууд. А цэгтэй харьцах гадаад хүчний гол вектор ба гол моментийг авч тэмдэглэ.

1. Импульсийн өөрчлөлтийн тухай теорем.Хэрэв системийн хөдөлгөөний хэмжээ бол (харна уу)

өөрөөр хэлбэл теорем хүчинтэй байна: системийн импульсийн цаг хугацааны дериватив нь бүх гадаад хүчний гол вектортой тэнцүү байна.

Системийн масс, массын төвийн хурд гэсэн илэрхийлэлээр векторыг орлуулбал (4.1) тэгшитгэлийг өөр хэлбэрээр өгч болно.

Энэ тэгш байдал нь системийн массын төв нь системийн масстай тэнцүү, системийн бүх гадаад хүчний гол вектортой геометрийн хувьд тэнцүү хүч үйлчлэх материаллаг цэг шиг хөдөлдөг гэсэн үг юм. Сүүлийн мэдэгдлийг системийн массын төвийн (инерцийн төв) хөдөлгөөний тухай теорем гэж нэрлэдэг.

Хэрэв (4.1) -ээс үзвэл импульсийн вектор хэмжээ болон чиглэлд тогтмол байна. Үүнийг координатын тэнхлэг дээр төлөвлөхөд бид гурван скаляр эхний интеграл, системийн давхар бүрхүүлийн дифференциал тэгшитгэлийг олж авна.

Эдгээр интегралуудыг импульсийн интеграл гэж нэрлэдэг. Массын төвийн хурд тогтмол байх үед, өөрөөр хэлбэл жигд, шулуунаар хөдөлдөг.

Хэрэв аль нэг тэнхлэг дээрх гадаад хүчний гол векторын проекц нь жишээлбэл тэнхлэг дээр тэгтэй тэнцүү бол бид нэг эхний интегралтай, эсвэл үндсэн векторын хоёр проекц тэгтэй тэнцүү бол хоёр байна. импульсийн интегралууд.

2. Кинетик импульсийн өөрчлөлтийн тухай теорем.Хөдөлгөөний бүх хугацаанд системийн ямар нэгэн тодорхой материаллаг цэгтэй давхцах албагүй орон зайн дурын цэг (хөдөлгөөнт эсвэл хөдөлгөөнгүй) A гэж үзье. Тогтмол координатын систем дэх түүний хурдыг бид А цэгтэй харьцуулахад материаллаг системийн кинетик моментийн өөрчлөлтийн тухай теорем нь дараах хэлбэртэй байна.

Хэрэв А цэг тогтмол байвал тэгш байдал (4.3) нь илүү энгийн хэлбэртэй болно.

Энэ тэгш байдал нь тогтсон цэгтэй харьцуулахад системийн өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теоремыг илэрхийлдэг: зарим тогтмол цэгтэй харьцуулахад системийн өнцгийн импульсийн цаг хугацааны дериватив нь харьцангуй бүх гадаад хүчний үндсэн моменттой тэнцүү байна. энэ хүртэл.

Хэрэв (4.4)-ийн дагуу өнцгийн импульсийн вектор хэмжээ болон чиглэлд тогтмол байна. Үүнийг координатын тэнхлэгүүд дээр төсөөлж, бид давхар системийн дифференциал тэгшитгэлийн скаляр эхний интегралуудыг олж авна.

Эдгээр интегралуудыг импульсийн интеграл эсвэл талбайн интеграл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв А цэг нь системийн массын төвтэй давхцаж байвал тэгшитгэлийн баруун талын эхний гишүүн (4.3) алга болж, өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теорем нь (4.4)-тэй адил бичих хэлбэртэй байна. тогтмол цэг A. Анхаарна уу (х. 4 § 3-ыг үзнэ үү), авч үзэж буй тохиолдолд тэгш байдлын зүүн талд байгаа системийн үнэмлэхүй өнцгийн импульс (4.4) нь системийн ижил өнцгийн импульсээр сольж болно. массын төвтэй харьцуулахад түүний хөдөлгөөнд.

Системийн массын төвийг дайран өнгөрөх зарим тогтмол тэнхлэг эсвэл тогтмол чиглэлийн тэнхлэгийг энэ тэнхлэгтэй харьцуулахад системийн кинетик момент гэж үзье. (4.4)-ээс дараах зүйл гарч байна

тэнхлэгтэй харьцуулахад гадны хүчний момент хаана байна. Хэрэв бүхэл бүтэн хөдөлгөөний явцад бид эхний интегралтай бол

С.А.Чаплыгины бүтээлүүдэд кинетик импульсийн өөрчлөлтийн талаархи теоремын хэд хэдэн ерөнхий дүгнэлтийг олж авсан бөгөөд дараа нь бөмбөг өнхрөхтэй холбоотой хэд хэдэн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигласан. Механик моментийн өөрчлөлтийн талаархи теоремын цаашдын ерөнхий дүгнэлт, тэдгээрийг хатуу биеийн динамикийн асуудалд хэрэглэхийг уг бүтээлд багтаасан болно. Эдгээр ажлын гол үр дүн нь хөдөлж буй А цэгийг байнга дайран өнгөрөх хөдөлгөөнтэй харьцуулахад кинетик импульсийн өөрчлөлтийн тухай теоремтой холбоотой. Энэ тэнхлэгийн дагуу чиглэсэн нэгж вектор байг. Тэгш байдлын хоёр тал (4.3)-аар скаляраар үржүүлж, хоёр хэсэгт нэр томъёог нэмбэл бид олж авна.

Кинематик нөхцөл хангагдсан үед

(4.5) тэгшитгэл (4.7)-аас үүснэ. Хэрэв бүх хөдөлгөөний явцад (4.8) нөхцөл хангагдсан бол эхний интеграл (4.6) бий болно.

Хэрэв системийн холболтууд нь хамгийн тохиромжтой бөгөөд виртуал шилжилтийн дунд системийг тэнхлэгийн эргэн тойронд хатуу биет байдлаар эргүүлэх боломжийг олгодог бол тэнхлэгтэй харьцуулахад урвалын гол момент нь тэгтэй тэнцүү байх ба дараа нь утгыг . тэгшитгэлийн баруун тал (4.5) нь тэнхлэгт хамаарах бүх гадаад идэвхтэй хүчний гол момент ба . Интеграл (4.6) байх хангалттай нөхцөлийг авч үзсэн тохиолдолд энэ моментийн тэгтэй тэнцүү байх ба (4.8) хамаарлын хүчинтэй байх болно.

Хэрэв тэнхлэгийн чиглэл тогтмол байвал (4.8) нөхцөлийг хэлбэрээр бичнэ

Энэ тэгш байдал нь массын төвийн хурд ба А цэгийн тэнхлэг ба үүнтэй перпендикуляр хавтгай дээрх хурдны проекцууд параллель байна гэсэн үг юм. С.А.Чаплыгиний бүтээлд (4.9)-ийн оронд X нь дурын тогтмол утга байх үед бага ерөнхий нөхцөлийг биелүүлэх шаардлагатай.

(4.8) нөхцөл нь цэгийн сонголтоос хамаарахгүй гэдгийг анхаарна уу. Үнэн хэрэгтээ P нь тэнхлэг дээрх дурын цэг байг. Дараа нь

тиймээс

Дүгнэж хэлэхэд, (4.1) ба (4.4) тэгшитгэлийн Резалын геометрийн тайлбарыг тэмдэглэв: векторуудын төгсгөлийн үнэмлэхүй хурдны векторууд нь А цэгтэй харьцуулахад бүх гадаад хүчний гол вектор ба гол моменттой тус тус тэнцүү байна. .

(МЕХАНИК СИСТЕМ) – IV сонголт

1. Мэдэгдэж байгаа материаллаг цэгийн динамикийн үндсэн тэгшитгэлийг тэгшитгэлээр илэрхийлнэ. Хүчийг хуваах хоёр аргын дагуу чөлөөт бус механик системийн дурын цэгүүдийн хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэлийг хоёр хэлбэрээр бичиж болно.

(1) , энд k=1, 2, 3, … , n – материаллаг системийн цэгүүдийн тоо.

(2)

k-р цэгийн масс хаана байна; - k-р цэгийн радиус вектор, - k-р цэгт үйлчлэх өгөгдсөн (идэвхтэй) хүч эсвэл k-р цэгт үйлчилж буй бүх идэвхтэй хүчний үр дүн. - k-р цэг дээр ажиллаж буй бондын урвалын хүчний үр дүн; - k-р цэгт үйлчлэх дотоод хүчний үр дүн; - k-р цэгт үйлчлэх гадны хүчний үр дүн.

(1) ба (2) тэгшитгэлийг ашиглан динамикийн эхний болон хоёр дахь асуудлыг хоёуланг нь шийдвэрлэхийг хичээж болно. Гэсэн хэдий ч системийн динамикийн хоёр дахь асуудлыг шийдвэрлэх нь зөвхөн математикийн үүднээс төдийгүй үндсэн бэрхшээлүүдтэй тулгардаг тул маш төвөгтэй байдаг. Эдгээр нь систем (1) ба (2) системийн аль алиных нь хувьд тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос хамаагүй бага байдагтай холбоотой юм.

Тиймээс, хэрэв бид (1) -ийг ашиглавал хоёр дахь (урвуу) бодлогын мэдэгдэж буй динамик нь ба, үл мэдэгдэх нь ба болно. Вектор тэгшитгэл нь " n”, мөн үл мэдэгдэх нь - "2n".

Хэрэв бид (2) тэгшитгэлийн системээс гарвал гадны хүчний зарим нь мэдэгдэж байна. Яагаад хэсэг? Баримт нь гадны хүчний тоонд үл мэдэгдэх холболтын гадаад урвалууд орно. Үүнээс гадна, .

Тиймээс систем (1) ба систем (2) хоёулаа ХААЛТГҮЙ байна. Холболтын тэгшитгэлийг харгалзан тэгшитгэлийг нэмэх шаардлагатай бөгөөд магадгүй холболтод өөрсдөө зарим хязгаарлалт тавих шаардлагатай байж магадгүй юм. Юу хийх вэ?

Хэрэв бид (1) -ээс эхэлбэл эхний төрлийн Лагранжийн тэгшитгэл зохиох замыг дагаж болно. Гэхдээ энэ зам нь оновчтой биш, учир нь асуудал энгийн байх тусам (эрх чөлөөний түвшин бага байх тусам математикийн үүднээс шийдвэрлэхэд хэцүү байдаг.

Дараа нь (2) системд анхаарлаа хандуулцгаая, хаана - үргэлж үл мэдэгдэх. Системийг шийдвэрлэх эхний алхам бол эдгээр үл мэдэгдэх зүйлсийг арилгах явдал юм. Дүрмээр бол систем хөдөлж байх үед бид дотоод хүчийг сонирхдоггүй, өөрөөр хэлбэл систем хөдөлж байх үед системийн цэг бүр хэрхэн хөдөлж байгааг мэдэх шаардлагагүй гэдгийг санах нь зүйтэй, гэхдээ энэ нь хангалттай юм. систем бүхэлдээ хэрхэн хөдөлж байгааг мэдэх.

Тиймээс, хэрэв бид (2) системээс үл мэдэгдэх хүчийг янз бүрийн аргаар хасах юм бол бид зарим харилцааг олж авдаг, өөрөөр хэлбэл системийн зарим ерөнхий шинж чанарууд гарч ирдэг бөгөөд энэ талаархи мэдлэг нь систем ерөнхийдөө хэрхэн хөдөлж байгааг дүгнэх боломжийг олгодог. Эдгээр шинж чанаруудыг гэгддэг зүйлийг ашиглан нэвтрүүлсэн динамикийн ерөнхий теоремууд. Ийм дөрвөн теорем байдаг:

1. тухай теорем механик системийн массын төвийн хөдөлгөөн;

2. тухай теорем механик системийн импульсийн өөрчлөлт;

3. тухай теорем механик системийн кинетик моментийн өөрчлөлт;

4. тухай теорем механик системийн кинетик энергийн өөрчлөлт.

Лекц 3. Динамикийн ерөнхий теоремууд

Материаллаг цэгүүдийн системийн динамиконолын механикийн чухал салбар юм. Энд бид үндсэндээ хязгаарлагдмал тооны эрх чөлөөний зэрэгтэй механик системүүдийн (материалын цэгүүдийн систем) хөдөлгөөний талаархи асуудлуудыг авч үздэг - системийн байрлалыг тодорхойлдог бие даасан параметрүүдийн хамгийн их тоо. Системийн динамикийн гол ажил бол хатуу бие ба механик системийн хөдөлгөөний хуулиудыг судлах явдал юм.

Системийн хөдөлгөөнийг судлах хамгийн энгийн арга нь НМатериаллаг цэгүүд нь системийн бие даасан цэг бүрийн хөдөлгөөнийг харгалзан үздэг. Энэ тохиолдолд системийн цэг бүрт үйлчилж буй бүх хүчийг, түүний дотор цэгүүдийн харилцан үйлчлэлийн хүчийг тодорхойлох шаардлагатай.

Ньютоны 2-р хуулийн дагуу (1.2) цэг тус бүрийн хурдатгалыг тодорхойлохдоо бид цэг бүрт хоёр дахь эрэмбийн хөдөлгөөний гурван скаляр дифференциал хуулийг олж авна. 3 Н бүхэл системийн хөдөлгөөний дифференциал хуулиуд.

Системийн цэг бүрийн өгөгдсөн хүч, анхны нөхцөл дээр үндэслэн механик системийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийг олохын тулд үүссэн дифференциал хуулиудыг нэгтгэх шаардлагатай. Бүх нийтийн таталцлын хуулийн дагуу зөвхөн харилцан үйлчлэлийн хүчний нөлөөн дор хөдөлдөг хоёр материаллаг цэгийн хувьд ч (хоёр биеийн бодлого), харилцан үйлчлэлийн гурван цэгийн хувьд (гурван биеийн бодлого) энэ асуудал маш хэцүү байдаг. ).

Тиймээс, шийдвэрлэх боломжтой тэгшитгэлд хүргэх асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг хайж олох, механик системийн хөдөлгөөний талаар ойлголт өгөх шаардлагатай байна. Хөдөлгөөний дифференциал хуулиудын үр дагавар болох динамикийн ерөнхий теоремууд нь интегралчлалын явцад үүсэх нарийн төвөгтэй байдлаас зайлсхийх, шаардлагатай үр дүнг авах боломжийг олгодог.

3. 1. Ерөнхий тэмдэглэл

Бид механик системийн цэгүүдийг индексээр дугаарлана би, j, кгэх мэт бүх утгыг дамждаг 1, 2, 3… Н, Хаана Н - системийн цэгүүдийн тоо. холбоотой физик хэмжигдэхүүнүүд кр цэгийг тухайн цэгтэй ижил индексээр тэмдэглэнэ. Жишээлбэл, радиус вектор ба хурдыг тус тус илэрхийл кр цэг.

Системийн цэг бүр дээр хоёр гарал үүслийн хүч үйлчилдэг: нэгдүгээрт, эх үүсвэрүүд нь системийн гадна байрладаг хүчнүүд. гадаадхүч ба томилогдсон; хоёрдугаарт, өгөгдсөн системийн бусад цэгүүдийн хүч гэж нэрлэгддэг дотоодхүч болон томилогдсон . Дотоод хүч нь Ньютоны гурав дахь хуулийг хангадаг. Аливаа төлөвт бүхэл бүтэн механик системд үйлчлэх дотоод хүчний хамгийн энгийн шинж чанарыг авч үзье.

Анхны өмч. Системийн бүх дотоод хүчний геометрийн нийлбэр (дотоод хүчний гол вектор) тэгтэй тэнцүү байна..

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв бид системийн дурын хоёр цэгийг авч үзвэл, жишээ нь ба (Зураг 3.1), дараа нь тэдний хувьд , учир нь Үйлдэл ба урвалын хүч нь харилцан үйлчлэлийн цэгүүдийг холбосон эсрэг чиглэлд үйл ажиллагааны нэг шугамын дагуу үргэлж тэнцүү хэмжээтэй байдаг. Дотоод хүчний гол вектор нь харилцан үйлчлэх цэгүүдийн хос хүчүүдээс бүрддэг

(3.1)

Хоёр дахь өмч. Орон зайн дурын цэгтэй харьцуулахад бүх дотоод хүчний моментуудын геометрийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү байна..

Цэгтэй харьцуулахад хүчний моментуудын системийг авч үзье ТУХАЙ(Зураг 3.1). -аас (Зураг 3.1). гэдэг нь ойлгомжтой

,

учир нь хоёр хүч нь ижил гар, вектор моментуудын эсрэг чиглэлтэй байна. Цэгтэй харьцуулахад дотоод хүчний үндсэн момент ТУХАЙИйм илэрхийллийн вектор нийлбэрээс бүрдэх ба тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс,

-аас бүрдсэн механик системд үйлчилж байгаа гадаад ба дотоод хүчнүүд байг Ноноо (Зураг 3.2). Хэрэв гадаад хүчний үр дүн ба бүх дотоод хүчний үр дүнг системийн цэг бүрт хэрэглэвэл аль ч хэсэгт ксистемийн 1-р цэг дээр хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэлийг гаргаж болно. Нийтдээ ийм тэгшитгэл байх болно Н:

тогтмол координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцуудад 3 Н:

(3.4)

Вектор тэгшитгэл (3.3) эсвэл эквивалент скаляр тэгшитгэл (3.4) нь бүхэл системийн материаллаг цэгүүдийн хөдөлгөөний дифференциал хуулиудыг илэрхийлдэг. Хэрэв бүх цэгүүд нэг хавтгай эсвэл нэг шулуун шугамтай зэрэгцээ хөдөлж байвал эхний тохиолдолд тэгшитгэлийн тоо (3.4) байна. 2 Н, хоёрдугаарт Н.

Жишээ 1.Хоёр массыг блокоор шидсэн сунадаггүй кабелиар холбодог (Зураг 3.3). Үрэлтийн хүч, түүнчлэн блок ба кабелийн массыг үл тоомсорлож, ачааллын хөдөлгөөний хууль ба кабелийн хурцадмал байдлыг тодорхойлдог.

Шийдэл. Систем нь нэг тэнхлэгт параллель хөдөлж буй хоёр материаллаг биетээс (сунгадаггүй кабелиар холбогдсон) бүрдэнэ. X.Тэнхлэг дээрх проекц дахь хөдөлгөөний дифференциал хуулиудыг бичье Xбие бүрийн хувьд.

Баруун жинг хурдатгалаар бууруул, тэгвэл зүүн жин нь хурдатгалаар нэмэгдэнэ. Бид оюун санааны хувьд холболтоос (кабель) чөлөөлөгдөж, түүнийг урвалаар солино (Зураг 3.3). Биеийг чөлөөтэй гэж үзээд тэнхлэгт проекцоор хөдөлгөөний дифференциал хуулиудыг гаргая. X(утасны хурцадмал байдал нь дотоод хүч, ачааны жин нь гадаад байна гэсэн үг):

Учир нь ба (биеүүд нь сунадаггүй кабелиар холбогдсон) бид олж авдаг

Хурдатгал ба кабелийн хурцадмал байдлын хувьд эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Т, бид авдаг

.

Кабелийн хурцадмал байдал нь харгалзах ачааллын хүндийн хүчтэй тэнцүү биш гэдгийг анхаарна уу.

3. 2. Массын төвийн хөдөлгөөний тухай теорем

Хавтгай дахь хатуу бие ба механик систем нь нэлээд төвөгтэй хөдөлж чаддаг гэдгийг мэддэг. Биеийн болон механик системийн хөдөлгөөний талаархи анхны теоремыг дараах байдлаар олж авч болно: k.-l шид. хоорондоо бэхлэгдсэн олон цул биетүүдээс тогтсон биет. Тэр параболоор нисэх нь тодорхой. Энэ нь цэгийн хөдөлгөөнийг судлахад илэрсэн. Гэсэн хэдий ч одоо объект нь цэг биш юм. Энэ нь параболын дагуу хөдөлдөг үр дүнтэй төвийн эргэн тойронд нислэгийн үеэр эргэлдэж, эргэлддэг. Нарийн төвөгтэй объектуудын хөдөлгөөний талаархи эхний теорем нь тодорхой үр дүнтэй төв нь хөдөлж буй объектын массын төв юм. Массын төв нь биед байх албагүй; энэ нь түүний гадна талд байрладаг.

Теорем. Механик системийн массын төв нь бүхэл системийн масстай тэнцэх масстай материаллаг цэг болон хөдөлдөг бөгөөд үүнд системд үйлчилж буй бүх гадны хүч үйлчилдэг.

Теоремыг батлахын тулд бид хөдөлгөөний дифференциал хуулиудыг (3.3) дараах хэлбэрээр дахин бичнэ.

(3.5)

Хаана Н - системийн цэгүүдийн тоо.

Тэгшитгэлүүдийг үе тус бүрээр нь нэмье:

(A)

Сонгосон координатын системтэй харьцуулахад механик системийн массын төвийн байрлалыг (2.1) томъёогоор тодорхойлно. Хаана М- системийн масс. Дараа нь тэгш байдлын зүүн тал (a) бичигдэнэ

Тэгш байдлын баруун талд байгаа эхний нийлбэр (a) нь гадаад хүчний гол вектортой тэнцүү, сүүлчийнх нь дотоод хүчний шинж чанараар тэгтэй тэнцүү байна. Дараа нь (b) -ийг харгалзан тэгш байдлыг (a) дахин бичнэ

, (3.6)

тэдгээр. Системийн масс ба түүний массын төвийн хурдатгалын үржвэр нь системд үйлчилж буй бүх гадны хүчний геометрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

(3.6) тэгшитгэлээс харахад дотоод хүч нь массын төвийн хөдөлгөөнд шууд нөлөөлдөггүй. Гэсэн хэдий ч зарим тохиолдолд тэдгээр нь системд хэрэглэсэн гадны хүчний харагдах шалтгаан болдог. Ийнхүү машины жолоодлогын дугуйг эргүүлэх дотоод хүч нь дугуйны обуд руу наалдсан гадны хүч түүнд нөлөөлдөг.

Жишээ 2.Босоо хавтгайд байрлах механизмыг хэвтээ гөлгөр хавтгайд суурилуулж, гадаргуу дээр хатуу бэхэлсэн баараар бэхэлсэн. TOТэгээд Л (Зураг 3.4).

Диск 1 радиус Рхөдөлгөөнгүй. Диск 2 масс мба радиус r бүлүүрт бэхлэгдсэн, урт Р+ rцэг дээр C 2. Тахир нь тогтмол эргэлддэг

өнцгийн хурд. Эхний мөчид бүлүүр нь баруун хэвтээ байрлалыг эзэлжээ. Дугуйны массыг үл тоомсорлож, хүрээ ба дугуйны 1-ийн нийт масс тэнцүү бол бааранд үйлчлэх хамгийн их хэвтээ ба босоо хүчийг тодорхойлно уу. М.Мөн баар байхгүй үед механизмын зан үйлийг анхаарч үзээрэй.

Шийдэл. Систем нь хоёр массаас бүрдэнэ ( Н=2 ): рамтай, хөдлөх дисктэй суурин диск 1 2. Тэнхлэгийг чиглүүлнэ цагтХөдөлгөөнгүй дискний хүндийн төвөөр дамжуулан босоо дээш, тэнхлэг X– хэвтээ хавтгай дагуу.

Массын төвийн хөдөлгөөний тухай теоремыг (3.6) координат хэлбэрээр бичье

Энэ системийн гадаад хүч нь: хүрээ ба суурин дискний жин - Mg, хөдөлж буй дискний жин - мг, - боолтны нийт хэвтээ урвал, - онгоцны ердийн нийт урвал. Тиймээс,

Дараа нь хөдөлгөөний хуулиуд (б) дахин бичигдэнэ

Механик системийн массын төвийн координатыг тооцоолъё.

; (G)

-аас харж болно (Зураг 3.4), , , (бүх өнцөг), . Эдгээр илэрхийлэлийг (d)-д орлуулж, хоёр дахь деривативуудыг цаг хугацааны хувьд тооцно т, -ээс бид үүнийг авдаг

(г)

(c) ба (e)-г (b)-д орлуулснаар бид олно

Бааранд үйлчлэх хэвтээ даралт нь хамгийн их бөгөөд хамгийн бага үед cos = 1 үүний дагуу, өөрөөр хэлбэл.

Хэвтээ хавтгай дээрх механизмын даралт нь хамгийн их ба хамгийн бага утгатай байна нүгэл үүний дагуу, өөрөөр хэлбэл.

Үнэн хэрэгтээ динамикийн анхны асуудал шийдэгдсэн: системийн массын төвийн хөдөлгөөний мэдэгдэж буй тэгшитгэлийн дагуу (d) хөдөлгөөнд оролцож буй хүчнүүд сэргээгддэг.

Баар байхгүй үед КТэгээд Л (Зураг 3.4), механизм нь хэвтээ хавтгайгаас дээш үсэрч эхэлж болно. Энэ нь тухайн үед тохиолдох болно, i.e. үед, механизмын үсэрч буй бүлүүрийн эргэлтийн өнцгийн хурд нь тэгш байдлыг хангах ёстой.

.

3. 3. Массын төвийн хөдөлгөөн хадгалагдах хууль

Хэрэв системд нөлөөлж буй гадны хүчний гол вектор нь тэгтэй тэнцүү бол, i.e. , дараа нь(3.6)Үүнээс үзэхэд массын төвийн хурдатгал тэгтэй тэнцүү тул массын төвийн хурд нь хэмжээ, чиглэлд тогтмол байна. Хэрэв эхний мөчид массын төв тайван байдалд байгаа бол гадны хүчний гол вектор тэгтэй тэнцүү байх үед бүхэл бүтэн хугацаанд тайван байна.

Энэ теоремоос хэд хэдэн үр дагавар гарч ирдэг.

· Зөвхөн дотоод хүч нь системийн массын төвийн хөдөлгөөний мөн чанарыг өөрчилж чадахгүй.

· Хэрэв системд үйлчилж буй гадны хүчний гол вектор нь тэг байвал массын төв нь тайван байдалд байна эсвэл жигд, шулуунаар хөдөлдөг.

· Хэрэв системийн гадаад хүчний гол векторын зарим тогтмол тэнхлэг дээрх проекц нь тэгтэй тэнцүү бол системийн массын төвийн энэ тэнхлэг дээрх хурдны проекц өөрчлөгдөхгүй.

· Хатуу биед хэрэглэсэн хос хүч нь түүний массын төвийн хөдөлгөөнийг өөрчилж чадахгүй (энэ нь зөвхөн массын төвийг тойрон биеийг эргүүлэхэд хүргэдэг).

Массын төвийн хөдөлгөөний хадгалагдах хуулийг харуулсан жишээг авч үзье.

Жишээ 3.Хоёр массыг блокоор шидсэн сунадаггүй утсаар холбодог (Зураг 3.5), масстай шаантаг дээр бэхлэгдсэн М.Шаантаг нь гөлгөр хэвтээ хавтгай дээр байрладаг. Эхний үед систем амарч байсан. Эхний ачааг өндрөөр буулгах үед хавтгай дагуух шаантагны шилжилтийг ол Н.Блок ба утаснуудын массыг үл тоомсорло.

Шийдэл.Ачааны хамт шаантаг дээр үйлчлэх гадны хүч нь таталцал, ба Mg, түүнчлэн гөлгөр хэвтээ гадаргуугийн хэвийн урвал N. Иймээс,

Эхний үед систем амарч байсан тул бид .

Системийн массын төвийн координатыг тухайн үед болон тухайн агшинд тооцож үзье т 1 ачаалал жинлэх үед gөндөрт буух болно Х.

Одоогоор:

,

Хаана , , X- g, g жинтэй ачааны массын төвийн координат ба шаантаг жинтэй Мg.

Цагийн агшинд шаантаг тэнхлэгийн эерэг чиглэлд хөдөлдөг гэж үзье Үхэрхэмжээгээр Л, ачааны жин өндрөөс доош буувал Н.Тэгвэл түр зуур

учир нь ачааны хамт шаантаг руу шилжих болно Лбаруун тийш, ачаа шаантаг дагуу дээшээ хөдөлнө. , дараа нь тооцооны дараа бид авах болно

.

3.4. Системийн хөдөлгөөний хэмжээ

3.4.1. Системийн импульсийн тооцоо

Материаллаг цэгийн импульс нь тухайн цэгийн масс ба хурдны векторын үржвэртэй тэнцүү вектор хэмжигдэхүүн юм.

Импульсийн хэмжилтийн нэгж -

Механик системийн импульс нь системийн бие даасан цэгүүдийн импульсийн вектор нийлбэр юм.

Хаана Н - системийн цэгүүдийн тоо.

Механик системийн импульсийг системийн массаар илэрхийлж болно Мба массын төвийн хурд. Үнэхээр,

тэдгээр. Системийн импульс нь бүхэл системийн масс ба түүний массын төвийн хурдны үржвэртэй тэнцүү байна.Чиглэл нь чиглэлтэй ижил байна (Зураг 3.6)

Тэгш өнцөгт тэнхлэгүүдийн проекц дээр бид байна

Энд , , нь системийн массын төвийн хурдны төсөөлөл юм.

Энд М- механик системийн масс; систем хөдөлж байх үед өөрчлөгдөхгүй.

Эдгээр үр дүн нь хатуу биетүүдийн хөдөлгөөний хэмжигдэхүүнийг тооцоолоход ашиглахад ялангуяа тохиромжтой байдаг.

Томъёо (3.7)-аас харахад хэрэв механик систем массын төв нь хөдөлгөөнгүй хэвээр байвал системийн импульс тэгтэй тэнцүү байх болно.

3.4.2. Анхан шатны болон бүрэн хүчний импульс

Цаг хугацааны явцад материаллаг цэгт үзүүлэх хүчний үйлчлэл dtэнгийн импульсээр тодорхойлогддог. Цаг хугацааны нийт хүчний импульс т, эсвэл томьёогоор тодорхойлогддог хүчний импульс

эсвэл тэнхлэгийн координат дээрх проекцоор

(3.8а)

Хүчний импульсийн нэгж нь .

3.4.3. Системийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теорем

Системийн цэгүүдэд гадаад ба дотоод хүчийг ашигла. Дараа нь системийн цэг бүрт хөдөлгөөний дифференциал хуулийг (3.3) хэрэглэж болно. :

.

Системийн бүх цэгүүдийг нэгтгэн дүгнэж үзвэл бид олж авна

Дотоод хүчний шинж чанар, тодорхойлолтоор бидэнд байгаа

(3.9)

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлбэл dt, бид импульсийн өөрчлөлтийн тухай теоремыг дифференциал хэлбэрээр олж авна.

, (3.10)

тэдгээр. механик системийн дифференциал импульс нь механик системийн цэгүүдэд үйлчилж буй бүх гадаад хүчний элементар импульсийн вектор нийлбэртэй тэнцүү байна.

Хоёр талын интегралыг (3.10) 0-ээс цаг хүртэлх хугацаанд тооцоолох т, бид теоремыг төгсгөлтэй буюу интеграл хэлбэрээр олж авдаг

(3.11)

Координатын тэнхлэгүүдийн төсөөлөлд бид байх болно

Цаг хугацааны явцад механик системийн импульсийн өөрчлөлтт, нь ижил хугацаанд механик системийн цэгүүдэд үйлчлэх гадны хүчний бүх импульсийн векторын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 4.Жин ачаалах м хүчний нөлөөн дор тайван байдлаас налуу хавтгайгаар доош бууна Ф, цагтай пропорциональ: , хаана (Зураг 3.7). Дараа нь бие ямар хурдтай болох вэ т хөдөлгөөн эхэлснээс хойш секундын дараа, хэрэв налуу хавтгай дээрх ачааны гулсалтын үрэлтийн коэффициент тэнцүү бол е.

Шийдэл.Ачаалал дээр үзүүлсэн хүчийг дүрсэлж үзье. мг - ачааны хүндийн хүч, Нхавтгайн хэвийн урвал, хавтгай дээрх ачааны гулсах үрэлтийн хүч, . Бүх хүчний чиглэлийг харуулсан болно (Зураг 3.7).

Тэнхлэгээ чиглүүлье Xналуу хавтгайн дагуу доошоо. Тэнхлэг дээрх проекцын импульсийн өөрчлөлтийн тухай теоремыг (3.11) бичье X:

(A)

Нөхцөл байдлын дагуу, учир нь эхний мөчид ачаалал тайван байдалд байсан. Бүх хүчний импульсийн проекцын нийлбэр x тэнхлэгт тэнцүү байна

Тиймээс,

,

.

3.4.4. Импульс хадгалагдах хуулиуд

Хадгаламжийн хуулиудыг импульсийн өөрчлөлтийн тухай теоремын тусгай тохиолдлоор олж авдаг. Хоёр онцгой тохиолдол байж болно.

· Хэрэв системд хэрэглэсэн бүх гадны хүчний векторын нийлбэр тэгтэй тэнцүү бол, өөрөөр хэлбэл. , тэгвэл теоремоос энэ нь дагалддаг (3.9) , Юу ,

тэдгээр. хэрэв системийн гадаад хүчний гол вектор тэг байвал системийн хөдөлгөөний хэмжээ хэмжээ, чиглэлийн хувьд тогтмол байна.

· Хэрэв ямар нэгэн координатын тэнхлэг дээрх гадны хүчний гол векторын проекц тэгтэй тэнцүү бол, жишээлбэл Ox, i.e. , тэгвэл энэ тэнхлэг дээрх импульсийн проекц нь тогтмол утга болно.

Импульс хадгалагдах хуулийг хэрэглэх жишээг авч үзье.

Жишээ 5.Баллистик дүүжин нь урт утас дээр дүүжлэгдсэн масстай бие юм (Зураг 3.8).

Хурдтай хөдөлж буй массын сум Вмөн хөдөлгөөнгүй биеийг мөргөж, дотор нь гацаж, бие нь хазайдаг. Бие нь өндөрт гарсан бол сумны хурд ямар байв h ?

Шийдэл.Сум гацсан биеийг хурдтай болго. Дараа нь хоёр биеийн харилцан үйлчлэлийн үед импульс хадгалагдах хуулийг ашиглан бид бичиж болно .

Механик энерги хадгалагдах хуулийг ашиглан хурдыг тооцоолж болно . Дараа нь . Үүний үр дүнд бид олдог

.

Жишээ 6. Ус суурин суваг руу ордог (Зураг 3.9)хэвтээ чиглэлд өнцгөөр хурдтай хувьсах хөндлөн огтлол; үүдэнд байгаа сувгийн хөндлөн огтлолын талбай; сувгаас гарах усны хурд нь давхрагатай өнцөг үүсгэдэг.

Усны сувгийн хананд үзүүлэх урвалын хэвтээ бүрэлдэхүүнийг тодорхойлно. Усны нягт .

Шийдэл.Усны сувгийн хананд үзүүлэх урвалын хэвтээ бүрэлдэхүүнийг бид тодорхойлно. Энэ хүч нь хэмжээнээрээ тэнцүү бөгөөд хүссэн хүчнийхээ эсрэг утгатай байна. Бид (3.11a) дагуу

. (A)

Бид t хугацаанд суваг руу орж буй шингэний эзэлхүүний массыг тооцоолно.

rAV 0 хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг хоёр дахь масс - нэгж хугацаанд хоолойн аль ч хэсэгт урсах шингэний масс.

Яг ижил хугацаанд ижил хэмжээний ус сувагнаас гардаг. Эхний болон эцсийн хурдыг нөхцөл байдалд өгсөн болно.

Системд (ус) үйлчлэх гадны хүчний хэвтээ тэнхлэгт үзүүлэх төсөөллийн нийлбэрийг тодорхойлдог тэгш байдлын (a) баруун талыг тооцоолъё. Цорын ганц хэвтээ хүч нь үр дүнд үүссэн хананы урвалын хэвтээ бүрэлдэхүүн хэсэг юм R x. Усны тогтвортой хөдөлгөөнд энэ хүч тогтмол байдаг. Тийм ч учраас

. (V)

(a)-д (b) ба (c)-г орлуулснаар бид олж авна

3.5. Системийн кинетик момент

3.5.1. Системийн импульсийн гол момент

Төв гэж нэрлэгддэг ямар нэг А цэгтэй харьцуулахад системийн масстай цэгийн радиус вектор гэж үзье (Зураг 3.10).

Цэгийн импульсийн момент (кинетик момент). А төвтэй харьцуулахадвектор гэж нэрлэдэг , томъёогоор тодорхойлно

. (3.12)

Энэ тохиолдолд вектор төвийг дайран өнгөрөх хавтгайд перпендикуляр чиглэнэ Аба вектор .

Тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгийн импульсийн момент (кинетик момент).Энэ тэнхлэгт сонгосон аливаа төвтэй харьцуулахад цэгийн импульсийн моментийн энэ тэнхлэг дээрх проекц гэж нэрлэдэг.

А төвтэй харьцуулахад системийн импульсийн гол момент (кинетик момент).тоо хэмжээ гэж нэрлэдэг

(3.13)

Тэнхлэгтэй харьцуулахад системийн импульсийн гол момент (кинетик момент).үүн дээр сонгогдсон аль нэгтэй харьцуулахад системийн импульсийн үндсэн моментийн энэ тэнхлэг дээрх проекц гэж нэрлэгддэг төв тэнхлэг.

3.5.2. Эргэлтийн тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж буй хатуу биеийн кинетик момент

Тогтсон цэгийг тэгшлээрэй ТУХАЙэргэлтийн тэнхлэг дээр хэвтэж буй бие ТУХАЙz, координатын системийн гарал үүсэлтэй Өөz, тэнхлэгүүд нь их биетэй хамт эргэлддэг (Зураг 3.11). Биеийн цэгийн координатын эхтэй харьцуулахад радиус вектор нь тэнхлэг дээрх проекцийг , , гэж тэмдэглэнэ. Биеийн өнцгийн хурдны векторын проекцийг 0, 0, () -тэй ижил тэнхлэгүүд дээр тэмдэглэнэ.

Хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэлийн системийг нэгтгэхгүйгээр механик системийн хөдөлгөөний чухал шинж чанарыг тодорхойлох боломжтой байдаг. Энэ нь динамикийн ерөнхий теоремуудыг хэрэглэснээр хүрдэг.

5.1. Үндсэн ойлголт, тодорхойлолт

Гадаад ба дотоод хүч.Механик системийн цэг дээр үйлчилж буй аливаа хүч нь заавал идэвхтэй хүч эсвэл холбох урвал юм. Системийн цэгүүдэд үйлчилж буй бүх хүчийг хоёр төрөлд хувааж болно: гадаад хүч ба дотоод хүч (индекс e ба i - латин хэлний externus - гадаад ба internus - дотоод гэсэн үгнээс). Гадны хүч гэдэг нь тухайн системийн нэг хэсэг биш цэгүүд болон биетүүдээс системийн цэгүүдэд үйлчилдэг хүч юм. Харж байгаа системийн цэг ба биетүүдийн харилцан үйлчлэлийн хүчийг дотоод гэж нэрлэдэг.

Энэхүү хуваагдал нь судалж буй механик системд судлаач ямар материаллаг цэг, биетүүдийг оруулахаас хамаарна. Хэрэв бид нэмэлт цэг, биетүүдийг оруулан системийн бүрэлдэхүүнийг өргөжүүлбэл өмнөх системийн хувьд гадаад байсан зарим хүч нь өргөтгөсөн системийн хувьд дотоод болж болно.

Дотоод хүчний шинж чанарууд.Эдгээр хүч нь системийн хэсгүүдийн хоорондын харилцан үйлчлэлийн хүч тул үйл ажиллагааны урвалын аксиомын дагуу зохион байгуулагдсан "хоёр" доторх дотоод хүчний бүрэн системд ордог. Ийм "хоёр" бүр давуу талтай

дурын төвийн гол вектор ба гол момент тэгтэй тэнцүү байна. Дотоод хүчний бүрэн систем нь зөвхөн "хоёр"-оос бүрддэг тул

1) дотоод хүчний системийн гол вектор нь тэг,

2) дурын цэгтэй харьцуулахад дотоод хүчний системийн гол момент тэгтэй тэнцүү байна.

Системийн масс нь системийг бүрдүүлж буй бүх цэг ба биеийн массын mk-ийн арифметик нийлбэр юм.

Массын төвМеханик системийн (инерцийн төв) нь радиус вектор ба координатыг томъёогоор тодорхойлдог геометрийн цэг С юм.

Системийг бүрдүүлж буй цэгүүдийн радиус векторууд ба координатууд хаана байна.

Нэг төрлийн таталцлын талбарт байрладаг хатуу биетийн хувьд массын төв ба хүндийн төвийн байрлал нь бусад тохиолдолд өөр өөр геометрийн цэгүүд юм.

Инерцийн лавлагааны системтэй хамт орчуулгатай хөдөлж буй инерциал бус лавлагааны системийг ихэвчлэн нэгэн зэрэг авч үздэг. Түүний координатын тэнхлэгүүд (König тэнхлэгүүд) нь C гарал үүсэл нь механик системийн массын төвтэй байнга давхцаж байхаар сонгогддог. Тодорхойлолтын дагуу массын төв нь Коенигийн тэнхлэгт хөдөлгөөнгүй бөгөөд координатын эхэнд байрладаг.

Системийн инерцийн моменттэнхлэгтэй харьцуулахад гэдэг нь системийн бүх цэгийн mk массын үржвэрийн нийлбэрийг тэдгээрийн тэнхлэг хүртэлх зайны квадратаар тэнцүүлэх скаляр хэмжигдэхүүн юм.

Хэрэв механик систем нь хатуу биетэй бол 12-ыг олохын тулд та томъёог ашиглаж болно

нягтрал хаана байна, биеийн эзэлхүүн.

БНТУ-ын ХӨДӨӨ АЖ АХУЙ, ХҮНСНИЙ ЯАМ

Боловсролын байгууллага "Беларусын улсын хөдөө аж ахуйн

ТЕХНИКИЙН ИХ СУРГУУЛЬ"

Механизм ба машины онолын механик, онолын тэнхим

ОНОЛЫН МЕХАНИК

мэргэжлийн оюутнуудад зориулсан арга зүйн цогцолбор

74 06 Агроинженер

2 хэсэгтэй 1-р хэсэг

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7 T 33

Эмхэтгэсэн:

Физик-математикийн шинжлэх ухааны нэр дэвшигч, дэд профессор Ю. С.Биза, техникийн шинжлэх ухааны нэр дэвшигч, дэд профессор Н. Ракова, ахлах багш Л. А.Тарасевич

Шүүгчид:

"Беларусийн Үндэсний Техникийн Их Сургууль" боловсролын байгууллагын онолын механикийн тэнхим (дарга

БНТУ-ын Онолын механикийн тэнхим Физик-математикийн ухааны доктор, профессор А. V. Чигарев);

Механик инженерийн нэгдсэн хүрээлэнгийн УДЭТ-ын Механик системийн чичиргээнээс хамгаалах лабораторийн эрдэм шинжилгээний тэргүүлэх ажилтан

Беларусийн NAS", техникийн шинжлэх ухааны нэр дэвшигч, дэд профессор A. M. Goman

Онолын механик. "Динамик" хэсэг: боловсролын

T33 арга. цогцолбор. 2 хэсэг. 1-р хэсэг / Эмхэтгэсэн: Ю.Л.Ракова, И.А.Тарасевич. – Минск: BGATU, 2013. – 120 х.

ISBN 978-985-519-616-8.

Сургалт арга зүйн цогцолбор нь "Онолын механик" хичээлийн 1-р хэсэг болох "Динамик" хэсгийг судлах материалыг толилуулж байна. Лекцийн курс, практик хичээл хийх үндсэн материал, бие даан ажиллах даалгавар, даалгаврын дээж, өдрийн болон цагийн оюутнуудын боловсролын үйл ажиллагаанд хяналт тавих.

UDC 531.3(07) BBK 22.213ya7

ТАНИЛЦУУЛГА

Онолын механик нь материаллаг биетүүдийн механик хөдөлгөөн, тэнцвэр, харилцан үйлчлэлийн ерөнхий хуулиудын тухай шинжлэх ухаан юм.

Энэ бол ерөнхий шинжлэх ухааны физик-математикийн үндсэн салбаруудын нэг юм. Энэ бол орчин үеийн технологийн онолын үндэс юм.

Онолын механикийг судлах нь бусад физик, математикийн хичээлүүдийн хамт шинжлэх ухааны цар хүрээг өргөжүүлж, тодорхой болон хийсвэр сэтгэлгээний чадварыг хөгжүүлж, ирээдүйн мэргэжилтний техникийн ерөнхий соёлыг дээшлүүлэхэд тусалдаг.

Онолын механик нь бүх техникийн салбаруудын шинжлэх ухааны үндэс суурь болж, хөдөө аж ахуй, газар тариалангийн машин, тоног төхөөрөмжийн ашиглалт, засвар, дизайнтай холбоотой инженерийн асуудлыг оновчтой шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулдаг.

Харж буй асуудлын мөн чанараас хамааран механикийг статик, кинематик, динамик гэж хуваадаг. Динамик нь хэрэглэсэн хүчний үйлчлэл дор материаллаг биетүүдийн хөдөлгөөнийг судалдаг онолын механикийн салбар юм.

IN боловсрол, арга зүйнцогцолбор (UMK) нь "Динамик" хэсгийг судлах материалыг толилуулж байгаа бөгөөд үүнд лекцийн курс, практик ажлын үндсэн материал, бие даан ажиллах даалгавар, дээж, өдрийн болон хагас цагийн оюутнуудын боловсролын үйл ажиллагаанд хяналт тавих болно.

IN "Динамик" хэсгийг судалсны үр дүнд оюутан динамикийн онолын үндсийг эзэмшиж, динамикийн асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг эзэмшсэн байх ёстой.

Динамикийн асуудлыг шийдвэрлэх арга, динамикийн ерөнхий теорем, механикийн зарчмуудыг мэдэх;

Биеийн хөдөлгөөний хуулиудыг түүнд үйлчлэх хүчнээс хамаарч тодорхойлох чадвартай байх; асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд механикийн хууль, теоремуудыг ашиглах; биеийн хөдөлгөөнийг хязгаарлаж буй холболтын статик ба динамик урвалыг тодорхойлох.

"Онолын механик" хичээлийн хөтөлбөрт танхимын нийт 136 цаг, үүний дотор "Динамик" хичээлийг судлах 36 цаг багтсан болно.

1. БОЛОВСРОЛ, АРГА ЗҮЙН ЦОГЦОЛБОРЫН ШИНЖЛЭХ УХААН, ОНОЛЫН АГУУЛГА.

1.1. Тайлбар толь

Статик бол хүчний ерөнхий сургаалыг тодорхойлсон механикийн нэг салбар бөгөөд хүчний нарийн төвөгтэй системийг хамгийн энгийн хэлбэрт оруулахыг судалж, янз бүрийн хүчний тогтолцооны тэнцвэрт байдлыг бий болгох нөхцлийг бүрдүүлдэг.

Кинематик бол энэ хөдөлгөөнийг үүсгэсэн шалтгаанаас үл хамааран материаллаг объектын хөдөлгөөнийг судалдаг онолын механикийн салбар юм.

Динамик нь хэрэглэсэн хүчний үйлчлэл дор материаллаг биетүүдийн (цэг) хөдөлгөөнийг судалдаг онолын механикийн салбар юм.

Материаллаг цэг- цэгүүдийн хөдөлгөөний ялгаа нь ач холбогдолгүй материаллаг бие.

Биеийн масс гэдэг нь тухайн биед агуулагдах бодисын хэмжээнээс хамаарах скаляр эерэг хэмжигдэхүүн бөгөөд хөрвүүлэх хөдөлгөөний үед түүний инерцийн хэмжүүрийг тодорхойлдог.

Лавлах систем нь өөр биеийн хөдөлгөөнийг судалдаг биетэй холбоотой координатын систем юм.

Инерцийн систем– динамикийн нэг ба хоёрдугаар хуулиудыг хангасан систем.

Хүчний импульс нь тодорхой хугацааны туршид үзүүлэх хүчний үйл ажиллагааны вектор хэмжигдэхүүн юм.

Материаллаг цэгийн импульс - цэгийн масс ба хурдны векторын үржвэртэй тэнцүү, түүний хөдөлгөөний вектор хэмжигдэхүүн.

Кинетик энерги– механик хөдөлгөөний скаляр хэмжүүр.

Хүчний үндсэн ажилхүчний векторын скаляр үржвэр ба хүчний хэрэглээний цэгийн хязгааргүй бага шилжилтийн вектортой тэнцүү хязгааргүй жижиг скаляр хэмжигдэхүүн юм.

Кинетик энерги– механик хөдөлгөөний скаляр хэмжүүр.

Материаллаг цэгийн кинетик энерги нь скаляр энерги юм

цэгийн масс ба түүний хурдны квадратын үржвэрийн хагастай тэнцэх эерэг хэмжигдэхүүн.

Механик системийн кинетик энерги - арифме-

Энэ системийн бүх материаллаг цэгүүдийн кинетик энергийн tic нийлбэр.

Хүч нь бие махбодийн механик харилцан үйлчлэлийн хэмжүүр бөгөөд түүний эрч хүч, чиглэлийг тодорхойлдог.

1.2. Лекцийн сэдэв, агуулга

Хэсэг 1. Динамикийн танилцуулга. Үндсэн ойлголтууд

сонгодог механик

Сэдэв 1. Материаллаг цэгийн динамик

Материаллаг цэгийн динамикийн хуулиуд (Галилей-Ньютоны хуулиуд). Материаллаг цэгийн хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл. Материаллаг цэгийн динамикийн хоёр үндсэн асуудал. Динамикийн хоёр дахь асуудлын шийдэл; интегралын тогтмолууд ба тэдгээрийг анхны нөхцлөөр тодорхойлох.

Уран зохиол:, 180-196-р тал, 12-26-р тал.

Сэдэв 2. Материалын харьцангуй хөдөлгөөний динамик

Материаллаг цэгийн харьцангуй хөдөлгөөн. Цэгийн харьцангуй хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл; зөөврийн болон Кориолис инерцийн хүч. Сонгодог механик дахь харьцангуйн зарчим. Харьцангуй амар амгалангийн тохиолдол.

Уран зохиол: , х.180-196, , 127-155-р тал.

Сэдэв 3. Массын геометр. Механик системийн массын төв

Системийн масс. Системийн массын төв ба түүний координатууд.

Уран зохиол:, 86-93, 264-265

Сэдэв 4. Хатуу биеийн инерцийн момент

Тэнхлэг ба туйлтай харьцуулахад хатуу биеийн инерцийн моментууд. Инерцийн радиус. Зэрэгцээ тэнхлэгүүдийн инерцийн моментуудын тухай теорем. Зарим биеийн инерцийн тэнхлэгийн моментууд.

Биеийн тэгш бус байдлын шинж чанар болох инерцийн төвөөс зугтах момент.

Уран зохиол: , х.265-271, , 155-173-р тал.

2-р хэсэг. Материаллаг цэгийн динамикийн ерөнхий теоремууд

ба механик систем

Сэдэв 5. Системийн массын төвийн хөдөлгөөний тухай теорем

Системийн массын төвийн хөдөлгөөний тухай теорем. Системийн массын төвийн хөдөлгөөний тухай теоремын үр дүн.

Уран зохиол: , х.274-277, , 175-192-р тал.

Сэдэв 6. Материаллаг цэгийн импульс

ба механик систем

Материаллаг цэг ба механик системийн хөдөлгөөний хэмжээ. Хязгаарлагдмал хугацааны үндсэн импульс ба хүчний импульс. Дифференциал ба интеграл хэлбэрийн цэг ба системийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теорем. Импульс хадгалагдах хууль.

Уран зохиол: , х.280-284, , 192-207-р тал.

Сэдэв 7. Материаллаг цэгийн импульс

төв ба тэнхлэгтэй харьцуулахад механик систем

Төв ба тэнхлэгтэй харьцуулахад цэгийн импульсийн момент. Цэгийн өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теорем. Төв ба тэнхлэгтэй харьцуулахад механик системийн кинетик момент.

Эргэлтийн тэнхлэгийг тойрон эргэлдэж буй хатуу биеийн кинетик момент. Системийн өнцгийн импульсийн өөрчлөлтийн тухай теорем. Өнцгийн импульс хадгалагдах хууль.

Уран зохиол: , х.292-298, , 207-258-р тал.

Сэдэв 8. Хүчний ажил ба хүч

Хүчний үндсэн ажил, түүний аналитик илэрхийлэл. Эцсийн зам дээр хүчний хийсэн ажил. Хүндийн хүчний ажил, уян хатан хүч. Хатуу биед үйлчилж буй дотоод хүчний гүйцэтгэсэн ажлын нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна. Тогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлддэг хатуу биед үйлчлэх хүчний ажил. Хүч. Үр ашиг.

Уран зохиол: , х.208-213, , 280-290-р тал.

Сэдэв 9. Материаллаг цэгийн кинетик энерги

ба механик систем

Материаллаг цэг ба механик системийн кинетик энерги. Хөдөлгөөний янз бүрийн тохиолдолд хатуу биеийн кинетик энергийн тооцоо. Коенигийн теорем. Дифференциал ба интеграл хэлбэрийн цэгийн кинетик энергийн өөрчлөлтийн тухай теорем. Дифференциал ба интеграл хэлбэрээр механик системийн кинетик энергийн өөрчлөлтийн тухай теорем.

Уран зохиол: , х.301-310, , 290-344-р тал.

Сэдэв 10. Боломжит хүчний орон ба потенциал

Хүчний талбайн тухай ойлголт. Боломжит хүчний орон ба хүчний функц. Боломжит хүчний талбар дахь цэгийн эцсийн шилжилтийн хүчний ажил. Боломжит энерги.

Уран зохиол: , х.317-320, , 344-347-р тал.

Сэдэв 11. Хатуу биеийн динамик

Хатуу биеийн хөрвүүлэх хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл. Тогтмол тэнхлэгийн эргэн тойронд хатуу биетийн эргэлтийн хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл. Физик дүүжин. Хатуу биеийн хавтгай хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл.

Уран зохиол: , х.323-334, , 157-173-р тал.

Хэсэг 1. Динамикийн танилцуулга. Үндсэн ойлголтууд

сонгодог механик

Динамик нь хэрэглэсэн хүчний үйлчлэл дор материаллаг биетүүдийн (цэг) хөдөлгөөнийг судалдаг онолын механикийн салбар юм.

материаллаг бие- масстай бие.

Материаллаг цэг- цэгүүдийн хөдөлгөөний ялгаа нь ач холбогдолгүй материаллаг бие. Энэ нь хөдөлгөөний явцад хэмжээсийг нь үл тоомсорлож болох бие эсвэл орчуулгын дагуу хөдөлдөг бол хязгаарлагдмал хэмжээст бие байж болно.

Материаллаг цэгүүдийг мөн хатуу биетийн зарим динамик шинж чанарыг тодорхойлохдоо оюун санааны хувьд задрах бөөмс гэж нэрлэдэг. Материаллаг цэгүүдийн жишээ (Зураг 1): a – Нарыг тойрон дэлхийн хөдөлгөөн. Дэлхий бол материаллаг цэг b – хатуу биеийн хөрвүүлэх хөдөлгөөн. Хатуу бие - ээж

аль цэг, учир нь V B = V A ; a B = a A ; в - тэнхлэгийг тойрон биеийг эргүүлэх.

Биеийн бөөмс бол материаллаг цэг юм.

Инерци гэдэг нь хэрэглэсэн хүчний нөлөөн дор хөдөлгөөний хурдыг илүү хурдан эсвэл удаан өөрчлөх материаллаг биетүүдийн өмч юм.

Биеийн масс гэдэг нь тухайн биед агуулагдах бодисын хэмжээнээс хамаарах скаляр эерэг хэмжигдэхүүн бөгөөд хөрвүүлэх хөдөлгөөний үед түүний инерцийн хэмжүүрийг тодорхойлдог. Сонгодог механикийн хувьд масс нь тогтмол хэмжигдэхүүн юм.

Хүч гэдэг нь биетүүд эсвэл бие (цэг) ба орон (цахилгаан, соронзон гэх мэт) хоорондын механик харилцан үйлчлэлийн тоон хэмжүүр юм.

Хүч нь хэмжээ, хэрэглээний цэг, чиглэл (үйл ажиллагааны шугам) -аар тодорхойлогддог вектор хэмжигдэхүүн юм (Зураг 2: А - хэрэглээний цэг; AB - хүчний үйл ажиллагааны шугам).

Цагаан будаа. 2

Динамикт тогтмол хүчний зэрэгцээ хувьсах хүчнүүд байдаг бөгөөд тэдгээр нь t хугацаа, хурд, зайны хэмжигдэхүүн, эсвэл эдгээр хэмжигдэхүүний хослолоос хамаарч болно.

F = const;

F = F(t) ;

F = F(ϑ ) ;

F = F(r) ;

F = F(t, r, ϑ) .

цахилгаан зүтгүүр; c − F = F (r) – О төвөөс түлхэх хүч буюу түүнийг татах хүч.

Лавлах систем нь өөр биеийн хөдөлгөөнийг судалдаг биетэй холбоотой координатын систем юм.

Инерцийн систем гэдэг нь динамикийн нэг ба хоёрдугаар хуулиудыг хангасан систем юм. Энэ нь тогтмол координатын систем эсвэл жигд, шугаман хөдөлгөөнтэй систем юм.

Механик дахь хөдөлгөөн нь бусад биетэй харьцуулахад орон зай, цаг хугацааны биеийн байрлалын өөрчлөлт юм.

Сонгодог механик дахь орон зай нь Евклидийн геометрт захирагддаг гурван хэмжээст юм.

Хугацаа нь аливаа лавлагааны системд ижил тэнцүү урсдаг скаляр хэмжигдэхүүн юм.

Нэгжийн систем гэдэг нь физик хэмжигдэхүүнийг хэмжих нэгжийн багц юм. Бүх механик хэмжигдэхүүнийг хэмжихийн тулд урт, цаг, масс эсвэл хүч гэсэн гурван үндсэн нэгж хангалттай.

Механик хэмжигдэхүүнийг хэмжих бусад бүх нэгжүүд эдгээрээс гарна. Хоёр төрлийн нэгжийн системийг ашигладаг: олон улсын нэгжийн систем SI (эсвэл түүнээс бага - GHS) ба нэгжийн техникийн систем - ICGSS.

Сэдэв 1. Материаллаг цэгийн динамик

1.1. Материаллаг цэгийн динамикийн хуулиуд (Галилей-Ньютоны хуулиуд)

Эхний хууль (инерцийн хууль).

Гадны нөлөөллөөс тусгаарлагдсан материаллаг цэг нь амрах төлөвөө хадгалдаг эсвэл хэрэглэсэн хүч нь түүнийг энэ төлөвийг өөрчлөх хүртэл жигд, шулуун замаар хөдөлдөг.

Хүч байхгүй эсвэл тэнцвэртэй хүчний системийн үйл ажиллагааны дор цэгийн гүйцэтгэх хөдөлгөөнийг инерцийн хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, биеийн гөлгөр дагуух хөдөлгөөн (үрэлтийн хүч тэг байна)

хэвтээ гадаргуу (Зураг 4: G - биеийн жин; N - ердийн хавтгай урвал).

G = − N тул G + N = 0 байна.

ϑ 0 ≠ 0 үед бие ижил хурдтай хөдөлдөг; ϑ 0 = 0 үед бие амарч байна (ϑ 0 нь анхны хурд).

Хоёр дахь хууль (динамикийн үндсэн хууль).

Тухайн цэгийн масс ба өгөгдсөн хүчний нөлөөн дор хүлээн авсан хурдатгалын үржвэр нь энэ хүчтэй тэнцүү бөгөөд түүний чиглэл нь хурдатгалын чиглэлтэй давхцдаг.

a b

Математикийн хувьд энэ хуулийг вектор тэгшитгэлээр илэрхийлдэг

F = 0,a 0 = 0 = ϑ 0 = const үед цэг жигд ба шулуунаар хөдөлдөг эсвэл ϑ 0 = 0 үед - тайван байдалд байна (инерцийн хууль). Хоёрдугаарт

Энэ хууль нь дэлхийн гадаргын ойролцоо байрлах биеийн m масс ба түүний жин G .G = mg хооронд холбоо тогтоох боломжийг олгодог.

таталцлын хурдатгал.

Гурав дахь хууль (үйлдэл, хариу үйлдэлийн тэгш байдлын хууль). Хоёр материаллаг цэг нь хоорондоо тэнцүү хэмжээтэй, холбох шулуун шугамын дагуу чиглэсэн хүчээр үйлчилдэг

эдгээр цэгүүд эсрэг чиглэлд байна.

F 1 = − F 2 хүчийг өөр өөр цэгүүдэд хэрэглэж байгаа тул хүчний систем (F 1 , F 2 ) тэнцвэртэй биш, өөрөөр хэлбэл (F 1 , F 2 )≈ 0 (Зураг 6).

харилцан үйлчлэх цэгүүдийн масс нь тэдний хурдатгалтай урвуу пропорциональ байна.

Дөрөв дэх хууль (хүчний үйл ажиллагааны бие даасан байдлын хууль). Нэг цэг дээр нэгэн зэрэг үйлчилж байх үед хүлээн авсан хурдатгал

Харин хүч тус бүрийг тус тусад нь тус тусад нь хэрэглэвэл тухайн цэгийн хүлээн авах хурдатгалын геометрийн нийлбэртэй тэнцүү хэд хэдэн хүч.

Тайлбар (Зураг 7).

т а н

a 1 a kF n

Үр дүнгийн хүч R (F 1 ,...F k ,...F n ) .

ma = R,F 1 = ma 1, ...,F k = ma k, ...,F n = man, тэгвэл

a = a 1 + ...+ a k + ...+ a n = ∑ a k, өөрөөр хэлбэл дөрөв дэх хууль нь тэнцүү байна

k = 1

хүч нэмэх дүрэм.

1.2. Материаллаг цэгийн хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл

Тогтмол ба хувьсах хүчин зүйлүүд байдаг материаллаг цэг дээр хэд хэдэн хүч нэгэн зэрэг үйлчилдэг.

Динамикийн хоёрдугаар хуулийг маягтаар бичье

цэгүүд, дараа нь (1.2) нь r-ийн деривативуудыг агуулсан бөгөөд вектор хэлбэрийн материаллаг цэгийн хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл эсвэл материаллаг цэгийн динамикийн үндсэн тэгшитгэл юм.

Векторын тэгш байдлын төсөөлөл (1.2): - декарт координатын тэнхлэг дээр (Зураг 8, а)

Байгалийн тэнхлэг дээр (Зураг 8, b)

mab = m0 = ∑ Fk b

k = 1

M t oM oa

Тэгшитгэл (1.3) ба (1.4) нь декартын координатын тэнхлэг ба натурал тэнхлэг дэх материаллаг цэгийн хөдөлгөөний дифференциал тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл цэгийн муруйн хөдөлгөөнд ихэвчлэн ашиглагддаг байгалийн дифференциал тэгшитгэлүүд юм. цэг ба түүний муруйлтын радиусыг мэддэг.

1.3. Материаллаг цэгийн динамикийн хоёр үндсэн асуудал ба тэдгээрийн шийдэл

Эхний (шууд) даалгавар.

Хөдөлгөөний хууль ба цэгийн массыг мэдэж, цэг дээр үйлчлэх хүчийг тодорхойлно.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд та цэгийн хурдатгалыг мэдэх хэрэгтэй. Энэ төрлийн асуудалд үүнийг шууд зааж өгөх эсвэл цэгийн хөдөлгөөний хуулийг зааж өгч болно, үүний дагуу үүнийг тодорхойлж болно.

1. Тэгэхээр, хэрэв цэгийн хөдөлгөөнийг декарт координатаар тодорхойлсон бол

x = f 1 (t), y = f 2 (t) ба z = f 3 (t) бол хурдатгалын төсөөлөл тодорхойлогдоно.