Множества, элементами которых являются точки, называются точечными множествами. Таким образом, можно говорить о точечных множествах на прямой, на плоскости, в каком-либо пространстве. Ради простоты мы ограничимся рассмотрением точечных множеств на прямой.

Между действительными числами и точками на прямой имеется тесная связь: каждому действительному числу можно отнести точку на прямой и обратно. Поэтому, говоря о точечных множествах, мы будем причислять к ним и множества, состоящие из действительных чисел - множества на числовой прямой. Обратно: для того чтобы задать точечное множество на прямой, мы будем обычно задавать координаты всех точек нашего множества.

Точечные множества (и, в частности, точечные множества на прямой) обладают рядом особых свойств, отличающих их от произвольных множеств и выделяющих теорию точечных множеств в самостоятельную математическую дисциплину. Прежде всего имеет смысл говорить о расстоянии между двумя точками. Далее, между точками на прямой можно установить соотношения порядка (левее, правее); в соответствии с этим говорят, что точечное множество на прямой является упорядоченным множеством. Наконец, как уже отмечалось выше, для прямой справедлив принцип Кантора; это свойство прямой принято характеризовать как полноту прямой.

Введем обозначения для простейших множеств на прямой.

Отрезок - это множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенствам .

Интервал - это множество точек, координаты которых удовлетворяют условиям .

Полуинтервалы и определяются соответственно условиями: и .

Интервалы и полуинтервалы могут быть несобственными . Именно, обозначает всю прямую, а, например, - множество всех точек, для которых .

Начнем с рассмотрения различных возможностей расположения множества в целом на прямой.

Ограниченные и неограниченные множества

Множество точек на прямой может либо состоять из точек, расстояния которых от начала координат не превосходят некоторого положительного числа, либо иметь точки, сколь угодно далекие от начала координат. В первом случае множество называется ограниченным , а во втором - неограниченным . Примером ограниченного множества может служить множество всех точек отрезка , а примером неограниченного множества-множество всех точек с целыми координатами.

Нетрудно видеть, что если - фиксированная точка на прямой, то множество будет ограничено в том и только в том случае., если расстояния от точки до любой точки не превосходят некоторого положительного числа.

Множества, ограниченные сверху и снизу

Пусть - множество точек на прямой. Если на прямой существует такая точка , что любая точка расположена левее точки , то говорят, что множество ограничено сверху . Аналогично, если на прямой существует такая точка , что любая точка расположена правее точки , то множество называется ограниченным снизу . Так, множество всех точек на прямой с положительными координатами ограничено снизу, а множество всех точек с отрицательными координатами ограничено сверху.

Ясно, что данное выше определение ограниченного множества эквивалентно следующему: множество точек на прямой называется ограниченным, если оно ограничено сверху и снизу. Несмотря на то, что эти два определения очень похожи друг на друга, между ними имеется существенное различие: первое основано на том, что между точками на прямой определено расстояние, а второе, что эти точки; образуют упорядоченное множество.

Можно также сказать, что множество ограничено, если оно целиком расположено на некотором отрезке .

Верхняя и нижняя грань множества

Пусть множество ограничено сверху. Тогда на прямой существуют точки , правее которых нет ни одной точки множества . Используя принцип Кантора, можно показать, что среди всех точек , обладающих этим свойством, найдется самая левая. Эта точка называется верхней гранью множества . Аналогично определяется нижняя грань точечного множества.

Если во множестве есть самая правая точка, то она, очевидно, и будет верхней гранью множества . Однако может случиться, что во множестве нет самой правой точки. Например, множество точек с координатами

ограничено сверху и не имеет самой правой точки. В таком случае верхняя грань не принадлежит множеству , но сколь угодно близко к имеются точки множества . В приведенном выше примере .

Расположение точечного множества вблизи какой-либо точки на прямой

Пусть - точечное множество и - какая-либо точка на прямой. Рассмотрим различные возможности расположения множества вблизи точки . Возможны следующие случаи:

1. Ни точка , ни достаточно близкие к ней точки не принадлежат множеству .

2. Точка не принадлежит , но сколь угодно близко к ней имеются точки множества .

3. Точка принадлежит , но все достаточно близкие к ней точки не принадлежат .

4. Точка принадлежит , и сколь угодно близко к ней имеются другие точки множества .

В случае 1 точка называется внешней к множеству , в случае 3 - изолированной точкой множества , а в случаях 2 и 4 -предельной точкой множества .

Таким образом, если , то точка может быть либо внешней к , либо предельной для него, а если , то она может быть либо изолированной точкой множества , либо его предельной точкой.

Предельная точка может принадлежать и не принадлежать множеству и характеризуется тем условием, что сколь угодно близко к ней имеются точки множества . Иными словами, точка является предельной точкой множества , если любой интервал , содержащий точку , содержит бесконечно много точек множества . Понятие предельной точки является одним из весьма важных понятий теории точечных множеств.

Если точка и все достаточно близкие к ней точки принадлежат множеству , то такая точка называется внутренней точкой множества . Всякая точка , которая не является для ни внешней, ни внутренней, называется граничной точкой множества .

Укажем несколько примеров, поясняющих все эти понятия.

Пример 1. Пусть множество состоит из точек с координатами

Тогда каждая точка этого множества является его изолированной точкой, точка 0 есть предельная точка (не принадлежащая этому множеству), а все остальные точки на прямой - внешние к .

Пример 2. Пусть множество состоит из всех рациональных точек отрезка . Это множество не имеет изолированных точек, каждая точка отрезка является предельной точкой , а все остальные точки на прямой - внешние к . Ясно, что среди предельных точек множества имеются как принадлежащие к нему, так и не принадлежащие ему.

Пример 3. Пусть множество состоит из всех точек отрезка . Как и в предыдущем примере, множество не имеет изолированных точек, и каждая точка отрезка является его предельной точкой. Однако, в отличие от предыдущего примера, все предельные точки принадлежат этому множеству.

Пример 4. Пусть множество состоит из всех точек с целыми координатами на прямой. Каждая точка является его изолированной точкой; множество не имеет предельных точек.

Отметим также, что в примере 3 всякая точка интервала является внутренней точкой , а в примере 2 всякая точка отрезка - граничная точка .

Из приведенных выше примеров видно, что бесконечное множество точек на прямой может иметь изолированные точки , а может их не иметь ; точно так же оно может иметь внутренние точки и может их не иметь . Что же касается предельных точек, то лишь множество примера 4 не имеет ни одной предельной точки. Как показывает следующая важная теорема, это связано с тем, что множество неограничено.

Теорема Больцано-Вейерштрасса

Всякое ограниченное бесконечное множество точек на прямой имеет хотя бы, одну предельную точку.

Докажем эту теорему. Пусть - ограниченное бесконечное множество точек на прямой. Так как множество ограничено, то оно целиком расположено на некотором отрезке . Разделим этот отрезок пополам. Так как множество бесконечно, то хотя бы в одном из полученных отрезков лежит бесконечно много точек множества . Обозначим этот отрезок через (если в обеих половинах отрезка лежит бесконечно много точек множества , то через можно обозначить, например, левую). Далее, разделим отрезок на два равных отрезка. Так как часть множества , расположенная на отрезке бесконечна, то хотя бы один из полученных отрезков содержит бесконечно много точек множества . Обозначим этот отрезок через . Продолжим неограниченно процесс деления отрезков пополам и будем каждый раз брать ту половину, которая содержит бесконечно много точек множества . Мы получим последовательность отрезков . Эта последовательность отрезков обладает такими свойствами: каждый следующий отрезок содержится в предыдущем ; каждый отрезок содержит бесконечно много точек множества ; длины отрезков стремятся к нулю. Первые два свойства последовательности непосредственно вытекают из её построения, а для доказательства последнего свойства достаточно заметить, что если длина отрезка равна , то длина отрезка равна . В силу принципа Кантора существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам . Покажем, что эта точка является предельной точкой множества . Для этого достаточно установить, что если есть некоторый интервал, содержащий точку , то он содержит бесконечно много точек множества . Так как каждый отрезок содержит точку и длины отрезков стремятся к нулю, то при достаточно большом отрезок будет целиком содержаться в интервале . Но по условию содержит бесконечно много точек множества . Поэтому и содержит бесконечно много точек множества . Итак, точка действительно является предельной точкой множества , и теорема Больцано-Вейерштрасса доказана.

Рассмотрим расположение графиков взаимно обратных функций в декартовой системе координат и докажем следующее утверждение.

Лемма 1.1. Еслиa, b R , то точкиM 1 (a, b), M 2 (b, a) плоскости симметричны относительно прямойy = x .

Если a = b, то точки M1 , M2 совпадают и лежат на прямой y = x. Будем считать, что a 6= b. Прямая, проходящая через точки M1 , M2 , имеет уравнение y = −x+a+b, а потому перпендикулярна прямой y = x.

Поскольку середина отрезка M1 M2 имеет координатыa + 2 b ,a + 2 b ! , то

она лежит на прямой y = x. Следовательно, точки M1 , M2

Cледствие. Если функцииf: X −→ Y иϕ : Y −→ X взаимно обратные, то их графики симметричны относительно прямойy = x , если они построены в одной системе координат.

Пусть f = {(x, f(x)) | x X},ϕ = {(y, ϕ(y)) | y Y } - графики функций f и ϕ соответственно. Так как

(a, b) f (b = f(a), a X) (a = ϕ(b), b Y) (b, a)ϕ ,

то в силу доказанной леммы графики f иϕ симметричны относительно прямой y = x.

1.6 Свойства числовых множеств

1.6.1 Ограниченные числовые множества

Определение 1.26. ПустьX - непустое числовое множество. МножествоX называется ограниченным сверху (снизу), если существует такое числоa , чтоx 6 a (x > a ) для любого элементаx X . При этом числоa называется верхней (нижней) границей множестваX . Множество, ограниченное снизу и сверху называют ограниченным.

С помощью логических символов ограниченность сверху множества X записывают следующим образом:

a R: x 6 a, x X.

Учитывая свойства модуля числа, можно дать следующее равносильное определение ограниченного множества.

Определение 1.27. Непустое числовое множествоX называют ограниченным, если существует такое положительное число M , что

Определение 1.28. Элементa из числового множестваX называют максимальным (минимальным) элементом вX , еслиx 6 a (соответственно,x > a ) для любогоx изX , и пишут:a = max X (соответственно,a = min X ).

В силу аксиомы порядка (3.b) легко показать, что если множество X в R имеет максимальный (минимальный) элемент, то он единственен.

Отметим, что если числовое множество X имеет максимальный (минимальный) элемент a, то оно ограничено сверху (снизу) и число a является верхней (нижней) границей множества X. Однако не всякое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет максимальный (минимальный) элемент.

Пример 1.5. Покажем, что множество X = = inf (а, b) = а.

Эти примеры показывают, в частности, что нижняя и верхняя грани могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.

В силу самого своего определения верхняя и нижняя грани множества единственны. В самом деле, если в некотором множестве, принадлежащем даже расширенной числовой прямой , существует наименьший (наибольший) элемент, то он единственен, так как из двух разных элементов множества больший из них не может быть наименьшим элементом, а меньший - наибольшим.

Всегда ли ограниченное сверху (снизу) множество имеет точную верхнюю (нижнюю) границу? Действительно, так как верхних (нижних) границ бесконечно много, а среди бесконечного множества чисел не всегда найдется наибольшее (наименьшее, то существование супремума (инфинума) требует специального доказательства.

Теорема 7.3(1)

Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое – нижнюю.

Доказательство

Пусть непустое числовое множество А ограничено сверху, В - множество всех чисел, ограничивающих сверху множество А. Если то из определения числа, ограничивающего сверху

множество, следует, что a≤b. Следовательно, по свойству непрерывности действительных чисел существует такое число β, что для всех будет выполняться неравенство a≤β≤b. Неравенство , означает, что число β ограничивает сверху множество А, а неравенство - что число β является наименьшим среди всех чисел, ограничивающих сверху множество А. Следовательно, β= sup A.

Аналогично доказывается, что ограниченное снизу числовое множество имеет нижнюю грань.

Ограниченное числовое множество

Множество вещественных чисел называется ограниченным сверху , если существует число , такое что все элементы не превосходят :

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Ограниченное множество" в других словарях:

1) О. м. в метрическом пространстве X(с метрикой) множество А, диаметр к рого конечен. 2) О. м. в топологич. векторном пространстве Е(над полем k) множество В, к рое поглощается каждой окрестностью нуля U(т. е. существует такое). М. И.… … Математическая энциклопедия

В метрическом пространстве то же, что вполне ограниченное подпространство данного метрич. пространства. См. Вполне ограниченное пространство. А. В. Архангельский … Математическая энциклопедия

В математическом анализе, и прилегающих разделах математики, ограниченное множество множество, которое в определенном смысле имеет конечный размер. Базовым является понятие ограниченности числового множества, которое обобщается на случай… … Википедия

множество - набор комплект — множество Одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое… … Справочник технического переводчика

Множество - одно из основных понятий современной математики, «произвольная совокупность определенных и различимых объектов, объединенных мысленно в единое целое». (Так определял множество основатель теории множеств, известный немецкий… … Экономико-математический словарь

См. Класс в логике. Философский энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия. Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов. 1983. МНОЖЕСТВО … Философская энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Множество (значения). Множество тип и структура данных в информатике, является реализацией математического объекта множество. Данные типа множество позволяют хранить ограниченное число значений… … Википедия

1) П. м. аналитической функции f(z) комплексных переменных z=(z1,...,zn), п 1, такое множество Рточек нек рой области Dкомплексного пространства С n, что: а) f(z) голоморфна всюду в; б) f(z) не продолжается аналитически ни в одну точку Р;в) для… … Математическая энциклопедия

генеральное множество (гм) текстов - объектом самого исследования выступает не сам подъязык, а некоторое множество текстов, являющееся в принципе бесконечным или, во всяком случае, открытым. Задается оно описательно, путем характеристики источников данных текстов. Именно они… … Толковый переводоведческий словарь