При изучении общественного здоровья и здравоохранения в научных и практических целях исследователю часто приходится проводить статистический анализ связей между факторными и результативными признаками статистический совокупности (причинно-следственная связь) или определение зависимости параллельных изменений нескольких признаков этой совокупности от какой либо третьей величины (от общей их причины). Необходимо уметь изучать особенности этой связи, определять ее размеры и направление, а также оценивать ее достоверность. Для этого используются методы корреляции.
- Виды проявления количественных связей между признаками
- функциональная связь
- корреляционная связь
- Определения функциональной и корреляционной связи
Функциональная связь - такой вид соотношения между двумя признаками, когда каждому значению одного из них соответствует строго определенное значение другого (площадь круга зависит от радиуса круга и т.д.). Функциональная связь характерна для физико-математических процессов.
Корреляционная связь - такая связь, при которой каждому определенному значению одного признака соответствует несколько значений другого взаимосвязанного с ним признака (связь между ростом и массой тела человека; связь между температурой тела и частотой пульса и др.). Корреляционная связь характерна для медико-биологических процессов.
- Практическое значение установления корреляционной связи
. Выявление причинно-следственной между факторными и
результативными признаками (при оценке физического развития, для определения связи между условиями труда, быта и состоянием
здоровья, при определении зависимости частоты случаев болезни от возраста, стажа, наличия производственных вредностей и др.)
Зависимость параллельных изменений нескольких признаков от какой-то третьей величины. Например, под воздействием высокой температуры в цехе происходят изменения кровяного давления, вязкости крови, частоты пульса и др.
- Величина, характеризующая направление и силу связи между признаками . Коэффициент корреляции, который одним числом дает представление о направлении и силе связи между признаками (явлениями), пределы его колебаний от 0 до ± 1
- Способы представления корреляционной связи
- график (диаграмма рассеяния)
- коэффициент корреляции
- Направление корреляционной связи
- прямая
- oбратная
- Сила корреляционной связи
- сильная: ±0,7 до ±1
- средняя: ±0,3 до ±0,699
- слабая: 0 до ±0,299
- Методы определения коэффициента корреляции и формулы
- метод квадратов (метод Пирсона)
- ранговый метод (метод Спирмена)
- Методические требования к использованию коэффициента корреляции
- измерение связи возможно только в качественно однородных совокупностях (например, измерение связи между ростом и весом в совокупностях, однородных по полу и возрасту)
- расчет может производиться с использованием абсолютных или производных величин
- для вычисления коэффициента корреляции используются не сгруппированные вариационные ряды (это требование применяется только при вычислении коэффициента корреляции по методу квадратов)
- число наблюдений не менее 30
- Рекомендации по применению метода ранговой корреляции (метод Спирмена)
- когда нет необходимости в точном установлении силы связи, а достаточно ориентировочных данных
- когда признаки представлены не только количественными, но и атрибутивными значениями
- когда ряды распределения признаков имеют открытые варианты (например, стаж работы до 1 года и др.)
- Рекомендации к применению метода квадратов (метод Пирсона)
- когда требуется точное установление силы связи между признаками
- когда признаки имеют только количественное выражение
- Методика и порядок вычисления коэффициента корреляции
1) Метод квадратов
2) Ранговый метод
- Схема оценки корреляционной связи по коэффициенту корреляции
- Вычисление ошибки коэффициента корреляции
- Оценка достоверности коэффициента корреляции,полученного методом ранговой корреляции и методом квадратов
Способ 1
Достоверность определяется по формуле:
Критерий t оценивается по таблице значений t с учетом числа степеней свободы (n - 2), где n - число парных вариант. Критерий t должен быть равен или больше табличного, соответствующего вероятности р ≥99%.
Способ 2
Достоверность оценивается по специальной таблице стандартных коэффициентов корреляции. При этом достоверным считается такой коэффициент корреляции, когда при определенном числе степеней свободы (n - 2), он равен или более табличного, соответствующего степени безошибочного прогноза р ≥95%.
Задание: вычислить коэффициент корреляции, определить направление и силу связи между количеством кальция в воде и жесткостью воды, если известны следующие данные (табл. 1). Оценить достоверность связи. Сделать вывод.
Таблица 1
Обоснование выбора метода. Для решения задачи выбран метод квадратов (Пирсона), т.к. каждый из признаков (жесткость воды и количество кальция) имеет числовое выражение; нет открытых вариант.
Решение
.
Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в таблице. Построив ряды из парных сопоставляемых
признаков, обозначить их через х (жесткость воды в градусах) и через у (количество кальция в воде в мг/л).
| Жесткость воды (в градусах) |
Количество кальция в воде (в мг/л) |
d х | d у | d х х d у | d x 2 | d y 2 |
| 4 8 11 27 34 37 |
28 56 77 191 241 262 |
-16 -12 -9 +7 +14 +16 |
-114 -86 -66 +48 +98 +120 |
1824 1032 594 336 1372 1920 |
256 144 81 49 196 256 |
12996 7396 4356 2304 9604 14400 |
| М х =Σ х / n | М у =Σ у / n | Σ d х x d у =7078 | Σ d х 2 =982 | Σ d y 2 =51056 | ||
| М х =120/6=20 | М y =852/6=142 | |||||
- Определить средние величины M x ряду вариант "х" и М у в ряду вариант "у" по формулам:
М х = Σх/n (графа 1) и
М у = Σу/n (графа 2) - Найти отклонение (d х и d у) каждой варианты от величины вычисленной средней в ряду "x" и в ряду "у"
d х = х - М х (графа 3) и d y = у - М у (графа4). - Найти произведение отклонений d x х d y и суммировать их: Σ d х х d у (графа 5)
- Каждое отклонение d x и d у возвести в квадрат и суммировать их значения по ряду "х" и по ряду "у": Σ d x 2 = 982 (графа 6) и Σ d y 2 = 51056 (графа 7).
- Определить произведение Σ d x 2 х Σ d y 2 и из этого произведения извлечь квадратный корень
- Полученные величины Σ (d x x d y) и √(Σd x 2 x Σd y 2) подставляем в формулу расчета коэффициента корреляции:
- Определить достоверность коэффициента корреляции:
1-й способ. Найти ошибку коэффициента корреляции (mr xy) и критерий t по формулам:
Критерий t = 14,1, что соответствует вероятности безошибочного прогноза р > 99,9%.
2-й способ. Достоверность коэффициента корреляции оценивается по таблице "Стандартные коэффициенты корреляции" (см. приложение 1). При числе степеней свободы (n - 2)=6 - 2=4, наш расчетный коэффициент корреляции r xу = + 0,99 больше табличного (r табл = + 0,917 при р = 99%).
Вывод. Чем больше кальция в воде, тем она более жесткая (связь прямая, сильная и достоверная : r ху = + 0,99, р > 99,9%).
на применение рангового методаЗадание: методом рангов установить направление и силу связи между стажем работы в годах и частотой травм, если получены следующие данные:
Обоснование выбора метода: для решения задачи может быть выбран только метод ранговой корреляции, т.к. первый ряд признака "стаж работы в годах" имеет открытые варианты (стаж работы до 1 года и 7 и более лет), что не позволяет использовать для установления связи между сопоставляемыми признаками более точный метод - метод квадратов.
Решение . Последовательность расчетов изложена в тексте, результаты представлены в табл. 2.
Таблица 2
Стаж работы в годах Число травм Порядковые номера (ранги) Разность рангов Квадрат разности рангов X Y d(х-у) d 2 До 1 года 24 1 5 -4 16 1-2 16 2 4 -2 4 3-4 12 3 2,5 +0,5 0,25 5-6 12 4 2,5 +1,5 2,25 7 и более 6 5 1 +4 16 Σ d 2 = 38,5 
Стандартные коэффициенты корреляции, которые считаются достоверными (по Л.С. Каминскому)
Число степеней свободы - 2 Уровень вероятности р (%) 95% 98% 99% 1 0,997 0,999 0,999 2 0,950 0,980 0,990 3 0,878 0,934 0,959 4 0,811 0,882 0,917 5 0,754 0,833 0,874 6 0,707 0,789 0,834 7 0,666 0,750 0,798 8 0,632 0,716 0,765 9 0,602 0,885 0,735 10 0,576 0,858 0,708 11 0,553 0,634 0,684 12 0,532 0,612 0,661 13 0,514 0,592 0,641 14 0,497 0,574 0,623 15 0,482 0,558 0,606 16 0,468 0,542 0,590 17 0,456 0,528 0,575 18 0,444 0,516 0,561 19 0,433 0,503 0,549 20 0,423 0,492 0,537 25 0,381 0,445 0,487 30 0,349 0,409 0,449 - Власов В.В. Эпидемиология. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. - 464 с.
- Лисицын Ю.П. Общественное здоровье и здравоохранение. Учебник для вузов. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2007. - 512 с.
- Медик В.А., Юрьев В.К. Курс лекций по общественному здоровью и здравоохранению: Часть 1. Общественное здоровье. - М.: Медицина, 2003. - 368 с.
- Миняев В.А., Вишняков Н.И. и др. Социальная медицина и организация здравоохранения (Руководство в 2 томах). - СПб, 1998. -528 с.
- Кучеренко В.З., Агарков Н.М. и др.Социальная гигиена и организация здравоохранения (Учебное пособие) - Москва, 2000. - 432 с.
- С. Гланц. Медико-биологическая статистика. Пер с англ. - М., Практика, 1998. - 459 с.
КУРСОВАЯ РАБОТА
Тема: Корреляционный анализ
Введение
1. Корреляционный анализ
1.1 Понятие корреляционной связи
1.2 Общая классификация корреляционных связей
1.3 Корреляционные поля и цель их построения
1.4 Этапы корреляционного анализа
1.5 Коэффициенты корреляции
1.6 Нормированный коэффициент корреляции Браве-Пирсона
1.7 Коэффициент ранговой корреляции Спирмена
1.8 Основные свойства коэффициентов корреляции
1.9 Проверка значимости коэффициентов корреляции
1.10 Критические значения коэффициента парной корреляции
2. Планирование многофакторного эксперимента
2.1 Условие задачи
2.2 Определение центр плана (основной уровень) и уровня варьирования факторов
2.3 Построение матрицы планирования
2.4 Проверка однородности дисперсии и равноточности измерения в разных сериях
2.5 Коэффициенты уравнения регрессии
2.6 Дисперсия воспроизводимости
2.7 Проверка значимости коэффициентов уравнения регрессии
2.8 Проверка адекватности уравнения регрессии
Заключение
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Планирование эксперимента -математико-статистическая дисциплина, изучающая методы рациональной организации экспериментальных исследований - от оптимального выбора исследуемых факторов и определения собственно плана эксперимента в соответствии с его целью до методов анализа результатов. Начало планирования эксперимента положили труды английского статистика Р.Фишера (1935), подчеркнувшего, что рациональное планирование экспериментадаёт не менее существенный выигрыш в точности оценок, чем оптимальная обработка результатов измерений. В 60-х годах 20 века сложилась современная теория планирования эксперимента. Её методы тесно связаны с теорией приближения функций и математическим программированием. Построены оптимальные планы и исследованы их свойства для широкого класса моделей.
Планирование эксперимента – выбор плана эксперимента, удовлетворяющего заданным требованиям, совокупность действий направленных на разработку стратегии экспериментирования (от получения априорной информации до получения работоспособной математической модели или определения оптимальных условий). Это целенаправленное управление экспериментом, реализуемое в условиях неполного знания механизма изучаемого явления.
В процессе измерений, последующей обработки данных, а также формализации результатов в виде математической модели, возникают погрешности и теряется часть информации, содержащейся в исходных данных. Применение методов планирования эксперимента позволяет определить погрешность математической модели и судить о ее адекватности. Если точность модели оказывается недостаточной, то применение методов планирования эксперимента позволяет модернизировать математическую модель с проведением дополнительных опытов без потери предыдущей информации и с минимальными затратами.
Цель планирования эксперимента – нахождение таких условий и правил проведения опытов при которых удается получить надежную и достоверную информацию об объекте с наименьшей затратой труда, а также представить эту информацию в компактной и удобной форме с количественной оценкой точности.
Среди основных методов планирования, применяемых на разных этапах исследования, используют:
Планирование отсеивающего эксперимента, основное значение которого выделение из всей совокупности факторов группы существенных факторов, подлежащих дальнейшему детальному изучению;
Планирование эксперимента для дисперсионного анализа, т.е. составление планов для объектов с качественными факторами;
Планирование регрессионного эксперимента, позволяющего получать регрессионные модели (полиномиальные и иные);
Планирование экстремального эксперимента, в котором главная задача – экспериментальная оптимизация объекта исследования;
Планирование при изучении динамических процессов и т.д.
Целью изучения дисциплины является подготовка студентов к производственно-технической деятельности по специальности с применением методов теории планирования и современных информационных технологий.
Задачи дисциплины: изучение современных методов планирования, организации и оптимизации научного и промышленного эксперимента, проведения экспериментов и обработки полученных результатов.
1. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
1.1 Понятие корреляционной связи
Исследователя нередко интересует, как связаны между собой две или большее количество переменных в одной или нескольких изучаемых выборках. Например, может ли рост влиять на вес человека или может ли давление влиять на качество продукции?
Такого рода зависимость между переменными величинами называется корреляционной, или корреляцией. Корреляционная связь - это согласованное изменение двух признаков, отражающее тот факт, что изменчивость одного признака находится в соответствии с изменчивостью другого.
Известно, например, что в среднем между ростом людей и их весом наблюдается положительная связь, и такая, что чем больше рост, тем больше вес человека. Однако из этого правила имеются исключения, когда относительно низкие люди имеют избыточный вес, и, наоборот, астеники, при высоком росте имеют малый вес. Причиной подобных исключений является то, что каждый биологический, физиологический или психологический признак определяется воздействием многих факторов: средовых, генетических, социальных, экологических и т.д.
Корреляционные связи - это вероятностные изменения, которые можно изучать только на представительных выборках методами математической статистики. Оба термина - корреляционная связь и корреляционная зависимость - часто используются как синонимы. Зависимость подразумевает влияние, связь - любые согласованные изменения, которые могут объясняться сотнями причин. Корреляционные связи не могут рассматриваться как свидетельство причинно-следственной зависимости, они свидетельствуют лишь о том, что изменениям одного признака, как правило, сопутствуют определенные изменения другого.
Корреляционная зависимость - это изменения, которые вносят значения одного признака в вероятность появления разных значений другого признака.
Задача корреляционного анализа сводится к установлению направления (положительное или отрицательное) и формы (линейная, нелинейная) связи между варьирующими признаками, измерению ее тесноты, и, наконец, к проверке уровня значимости полученных коэффициентов корреляции.
Корреляционные связи различаютсяпо форме, направлению и степени (силе).
По форме корреляционная связь может быть прямолинейной или криволинейной. Прямолинейной может быть, например, связь между количеством тренировок на тренажере и количеством правильно решаемых задач в контрольной сессии. Криволинейной может быть, например, связь между уровнем мотивации и эффективностью выполнения задачи (рисунок 1). При повышении мотивации эффективность выполнения задачи сначала возрастает, затем достигается оптимальный уровень мотивации, которому соответствует максимальная эффективность выполнения задачи; дальнейшему повышению мотивации сопутствует уже снижение эффективности.
Рисунок 1 - Связь между эффективностью решения задачи и силой мотивационной тенденции
По направлению корреляционная связь может быть положительной ("прямой") и отрицательной ("обратной"). При положительной прямолинейной корреляции более высоким значениям одного признака соответствуют более высокие значения другого, а более низким значениям одного признака - низкие значения другого (рисунок 2). При отрицательной корреляции соотношения обратные (рисунок 3). При положительной корреляции коэффициент корреляции имеет положительный знак, при отрицательной корреляции - отрицательный знак.
Рисунок 2 – Прямая корреляция
Рисунок 3 – Обратная корреляция
Рисунок 4 – Отсутствие корреляции
Степень, сила или теснота корреляционной связи определяется по величине коэффициента корреляции. Сила связи не зависит от ее направленности и определяется по абсолютному значению коэффициента корреляции.
1.2 Общая классификация корреляционных связей
В зависимости от коэффициента корреляции различают следующие корреляционные связи:
Сильная, или тесная при коэффициенте корреляции r>0,70;
Средняя (при 0,50 Умеренная (при 0,30 Слабая (при 0,20 Очень слабая (при r<0,19). 1.3 Корреляционные поля и цель их построения
Корреляция изучается на основании экспериментальных данных, представляющих собой измеренные значения (x i
, y i) двух признаков. Если экспериментальных данных немного, то двумерное эмпирическое распределение представляется в виде двойного ряда значений x i
и y i
. При этом корреляционную зависимость между признаками можно описывать разными способами. Соответствие между аргументом и функцией может быть задано таблицей, формулой, графиком и т. д. Корреляционный анализ, как и другие статистические методы, основан на использовании вероятностных моделей, описывающих поведение исследуемых признаков в некоторой генеральной совокупности, из которой получены экспериментальные значения x i
и y i
. Когда исследуется корреляция между количественными признаками, значения которых можно точно измерить в единицах метрических шкал (метры, секунды, килограммы и т.д.), то очень часто принимается модель двумерной нормально распределенной генеральной совокупности. Такая модель отображает зависимость между переменными величинами x i
и y i
графически в виде геометрического места точек в системе прямоугольных координат. Эту графическую зависимость называются также диаграммой рассеивания или корреляционным полем. При наличии двух рядов значений, подвергающихся ранжированию, рационально рассчитывать ранговую корреляцию Спирмена. Такие ряды могут представляться:
Метод предполагает проведение ранжирования показателей в отдельности для каждого из признаков. Наименьшее значение имеет наименьший ранг. Этот метод относится к непараметрическому статистическому методу, предназначенному для установления существования связи изучаемых явлений: Статистический метод, предназначенный для выявления существования зависимости между 2 и более случайными величинами (переменными), а также ее силы, получил название корреляционного анализа. Получил свое название от correlatio (лат.) – соотношение. При его использовании возможны варианты развития событий:
В случае установления зависимости между переменными речь идет об их коррелировании. Иными словами, можно сказать, что при изменении значения Х, обязательно будет наблюдаться пропорциональное изменение значения У. В качестве инструментов используются различные меры связи (коэффициенты). На их выбор оказывает влияние:
Существование корреляционной связи может отображаться графически (графики) и с помощью коэффициента (числовое отображение). Корреляционная связь характеризуется такими признаками:
Корреляционный анализ не позволяет установить причинную зависимость между исследуемыми переменными. Он проводится с целью:
Метод Пирсона применим для расчетов требующих точного определения силы, существующей между переменными. Изучаемые с его помощью признаки должны выражаться только количественно. Для применения метода Спирмена или ранговой корреляции нет жестких требований в выражении признаков – оно может быть, как количественным, так и атрибутивным. Благодаря этому методу получается информация не о точном установлении силы связи, а имеющая ориентировочный характер. В рядах переменных могут содержаться открытые варианты. Например, когда стаж работы выражается такими значениями, как до 1 года, более 5 лет и т.д. Статистическая величина характеризующая характер изменения двух переменных получила название коэффициента корреляции либо парного коэффициента корреляции. В количественном выражении он колеблется в пределах от -1 до +1. Наиболее распространены коэффициенты:
Получение недостоверных данных при расчете коэффициента корреляции возможно в тех случаях, когда:
Для оценки статистических величин используется понятие их значимости или же достоверности, характеризующей вероятность случайного возникновения величины либо крайних ее значений.
Наиболее распространенным методом определения значимости корреляции является определение критерия Стьюдента. Его значение сравнивается с табличным, количество степенней свободы принимается как 2. При получении расчетного значения критерия больше табличного, свидетельствует о значимости коэффициента корреляции. При проведении экономических расчетов достаточным считается доверительный уровень 0,05 (95%) либо 0,01 (99%). Коэффициент ранговой корреляции Спирмена позволяет статистически установить наличие связи между явлениями. Его расчет предполагает установление для каждого признака порядкового номера – ранга. Ранг может быть возрастающим либо убывающим. Количество признаков, подвергаемых ранжированию, может быть любым. Это достаточно трудоемкий процесс, ограничивающий их количество. Затруднения начинаются при достижении 20 признаков. Для расчета коэффициента Спирмена пользуются формулой:
в которой: n – отображает количество ранжируемых признаков; d – не что иное как разность между рангами по двум переменным; а ∑(d2) – сумма квадратов разностей рангов. Статистическое сопровождение психологических исследований позволяет сделать их более объективными и высоко репрезентативными. Статистическая обработка данных полученных в ходе психологических экспериментов способствует извлечению максимума полезной информации. Наиболее широкое применение в обработке их результатов получил корреляционный анализ. Уместным является проведение корреляционного анализа результатов, полученных при проведении исследований:
Проведение корреляционного анализа с использованием метода Спирмена выполняется по следующему алгоритму:
Необходимо установить наличие корреляционной связи между рабочим стажем и показателем травматизма при наличии следующих данных: Наиболее подходящим методом анализа является ранговый метод, т.к. один из признаков представлен в виде открытых вариантов: рабочий стаж до 1 года и рабочий стаж 7 и более лет. Решение задачи начинается с ранжирования данных, которые сводятся в рабочую таблицу и могут быть выполнены вручную, т.к. их объем не велик: Появление дробных рангов в колонке связано с тем, что в случае появления вариант одинаковых по величине находится среднее арифметическое значение ранга. В данном примере показатель травматизма 12 встречается дважды и ему присваиваются ранги 2 и 3, находим среднее арифметическое этих рангов (2+3)/2= 2,5 и помещаем это значение в рабочую таблицу для 2 показателей. Отрицательное значение коэффициента свидетельствует о наличии обратной связи между признаками и позволяет утверждать, что небольшой стаж работы сопровождается большим числом травм. Причем, сила связи этих показателей достаточно большая. Математические методы анализа и прогнозирования
Корреляционный анализ
Введение
2. Регрессионный анализ 3. Факторный анализ 4. Кластерный анализ 5. Анализ динамики и прогнозирования социально-правовых процессов Заключение Между социально-экономическими явлениями и процессами возможны два вида зависимости: функциональная и стохастическая. При или иных параметров, характеризующих различные явления. Примеры такого рода зависимостей в социальной среде практически не встречаются. При стохастической (вероятностной) зависимости конкретному значению зависимой переменной соответствует набор значений объясняющей переменной. Это связано, прежде всего, с тем, что на зависимую переменную оказывает влияние ряд неучтенных факторов. Кроме того, сказываются ошибки измерения переменных: вследствие случайного разброса значений их значения могут быть указаны лишь с определенной вероятностью. В социально-экономической сфере приходится сталкиваться со многими явлениями, имеющими вероятностную природу. Так, число совершенных и раскрытых преступлений за фиксированный отрезок времени, число дорожно-транспортных происшествий в каком-либо регионе за определенное время - все это случайные величины. Для изучения стохастических взаимосвязей существуют специальные методы, в частности корреляционный анализ ("корреляция" соотношение, связь между имеющимися явлениями и процессами). Корреляционный анализ
- это использование в определенной последовательности совокупности статистических методов обработки информации, позволяющее исследовать взаимосвязи между различными признаками. Задачей корреляционного анализа
как метода математической статистики является установление формы и направления связи, а также измерение тесноты этой связи между изучаемыми случайными признаками.
В статистике величина линейной зависимости между двумя признаками измеряется посредством простого (выборочного) коэффициента корреляции
. Величина линейной зависимости одной переменной от нескольких других измеряется коэффициентом множественной ми после устранение части линейной зависимости, обусловленной связью этих переменных с другими переменными. По форме корреляционные связи могут быть линейными (прямолинейными) и нелинейными (криволинейными), а по направлению Прямая связь
свидетельствует о том, что с увеличением (уменьшением) значений одного признака увеличиваются (уменьшаются) значения другого признака. При обратной связи
увеличение (уменьшение) значений одного признака ведет к уменьшению (увеличению) значений другого признака. Главная задача корреляционного анализа
- измерение тесноты связи - решается путем вычисления различных коэффициентов корреляции и проверки их значимости. Коэффициент корреляции может принимать значения при прямой связи от 0 до +1, а при обратной от -1 до 0. При коэффициентах, близких к 0, считается, что статистическая линейная связь между признаками отсутствует; при абсолютных значениях коэффициентов, меньших 0,3, - связь слабая; при значениях 0,3...0,5 связь умеренная; при 0,5...0,7 - связь значительная; при 0,7...0,9 - связь сильная; если значения коэффициентов больше 0,9, то связь считается очень сильной; если коэффициенты равны +1 или -1, то говорится о функциональной связи (что практически не встречается в статистических исследованиях). Однако такая упрощенная оценка силы связи не всегда корректна, так как степень уверенности в наличии статистической связи зависит от объема исследуемой совокупности. Чем меньше объем совокупности, тем большим должно быть значение коэффициента корреляции для принятия гипотезы о существовании зависимости между признаками. С целью количественного измерения степени уверенности в существовании линейной статистической связи между признаками введены понятия уровня значимости
и пороговых (критических) значений
коэффициента корреляции. Проверка значимости
полученного коэффициента корреляции состоит в сравнении расчетного значения с критическим. При данном числе измерений и задаваемом уровне значимости находится критическое значение, которое сравнивается с расчетным. Если расчетное больше критического, то связь значима, если меньше, то связь или отсутствует (а такое значение коэффициента корреляции объясняется случайными отклонениями), или выборка мала для ее выявления. Для определения существования и величины линейной зависимости
между двумя переменными X и Y необходимо осуществить две процедуры. Первая заключается в графическом отображении точек [{Xi,Yi},i=1,n] на плоскость . Полученный график называется допустимости предположения о линейной зависимости между переменными. Если такое предположение допустимо, то необходимо выразить в количественном виде величину линейной связи. Для этого используется выборочный коэффициент корреляции: где n - количество измерений, Xi,Yi - i-е значения, X,Y - средние значения, sx, sy - среднеквадратические отклонения переменных X и Y соответственно. В теории статистического анализа корреляционная связь определяется как линейная зависимость в условиях нормальности распределения анализируемых переменных. Поэтому для корректного применения корреляционных методов необходимо обосновать близость распределения переменных к нормальному и формы связи к линейной. В противном случае необходимо применять более сложные приемы анализа или другие коэффициенты связи. Достаточно простой в вычислительном отношении способ проверки нормальности эмпирического распределения состоит в оценке следующего отношения: где C - среднее абсолютное отклонение, s - среднеквадратическое отклонение. Если указанное неравенство выполняется, то можно говорить о нормальности эмпирических распределений и корректности применения коэффициента корреляции как меры линейной статистической связи между переменными. В общем случае на уровень преступности влияет множество факторных признаков. К ним относятся социально-экономические, географические и климатические, демографические и др., а также признаки, характеризующие силы и средства, степень организованности органа внутренних дел. Однако даже при наличии сильной статистически значимой связи между двумя переменными нельзя быть полностью уверенным в их причинно-следственной обусловленности, так как могут существовать другие причины (факторы), определяющие их совместную статистическую взаимосвязь. Статистические выводы должны быть всегда обоснованы надежной теоретической концепцией. В то же время отсутствие статистически значимой связи не говорит об отсутствии причинно-следственных отношений, а заставляет искать другие пути и средства ее выявления, если содержательная концепция и практический опыт указывают на ее возможное существование. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ
- совокупность методов оценки связи между случайными явлениями и событиями, основанных на математической теории корреляции. При этом используются простейшие характеристики, требующие минимума вычислений. Термин «корреляция» обычно отождествляется с понятиями «связь» и «взаимозависимость». Однако они не адекватны. Корреляция является только одним из видов связи между признаками, к-рая проявляется в среднем и носит линейный характер. Если между двумя величинами существует однозначная связь, то такая связь называется функциональной и по одной из величин (причине) можно однозначно определить значение другой величины (следствие). Функц, зависимость является частным выражением случайной (вероятностной, стохастической) зависимости, когда связь проявляется не для каждых значений двух величин, а только в среднем. К. а. применяется при изучении двух или большего количества случайных величин с целью выявления двух важнейших количественных характеристик: математического уравнения связи между этими величинами и оценки тесноты связи между ними. Исходными данными для определения этих характеристик служат синхронные результаты наблюдения (измерения, эксперимента), т. е. одновременно полученные из опыта статистические данные по признакам, связь между к-рыми изучается. Исходные данные могут быть заданы в виде таблиц с записями результатов наблюдения или их равноценных представлений на магнитной ленте, перфоленте или перфокартах. К. а. нашел широкое применение в медицине и биологии для определения тесноты и уравнений связи между различными признаками, напр, результаты анализов клин, признаков или специальных обследований, проведенных над здоровыми или больными людьми (см. Корреляция функций организма). Результаты К. а. используются для составления объективных прогнозов заболеваний, оценки состояния больного, течения болезни (см. Прогнозирование). Априори, только по результатам теоретических биол, и мед. исследований, трудно или вовсе невозможно предсказать, как связаны между собой изучаемые признаки. Для того чтобы ответить на этот вопрос, проводят наблюдение или специальный эксперимент. Двухмерный корреляционный анализ применяется при обработке опытных данных проявления каких-либо двух признаков. КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ТАБЛИЦА. Примечание. В таблице приведены интервалы признаков X и Y, а также частоты их появления (в центре таблицы), подсчитанные по результатам морфометрического анализа микроциркуляторного русла бульбоконъюнктивальной области, где Y - диаметр венулы, а X - диаметр артериолы (в ммк). Каждый результат опыта представляет собой случайную величину, а объективные закономерности проявляются только во всей совокупности результатов измерения. Поэтому выводы делаются по результатам обработки всей совокупности экспериментальных данных, а не по отдельным значениям, которые являются случайными. Для уменьшения влияния случайного события исходные данные объединяются в группы, что достигается путем составления корреляционной таблицы (см. табл.). Такая таблица содержит интервалы (или их середины) значений двух признаков - У и X, а также частоту появлений значений X и Y в соответствующем интервале этих значений. Эти частоты, подсчитанные по результатам опыта, представляют собой практическую оценку вероятности совместного появления значений X и Y конкретного интервала. Построение корреляционной таблицы является первым этапом обработки исходной информации. Построение корреляционных таблиц и их дальнейшую полную обработку осуществляют быстро на универсальных или специализированных ЭВМ (см. Электронная вычислительная машина). По сгруппированным данным корреляционной таблицы рассчитывают эмпирические характеристики уравнения и тесноты связи. Для определения уравнения связи между Y и X рассчитывают средние значения признака Y в каждом интервале признака X. Т. о. получают для каждого i-го интервала значение Yxi, соединение которых для всех i-интервалов дает эмпирическую линию регрессии, характеризующую форму связи признака Y с признаком X в среднем - график функции Yx= f(x). Если бы между признаками Y и X существовала однозначная связь, уравнения связи было бы достаточно для решения практических и теоретических задач, т. к. с его помощью всегда можно определить значение признака Y, если задано значение X. На практике же связь между Y и X не является однозначной, эта связь является случайной и одному значению X соответствует ряд значений Y. Поэтому необходима еще одна характеристика, измеряющая силу, тесноту связи между Y и X. Такими характеристиками являются дисперсионное (корреляционное) отношение ηух и коэффициент корреляции ryx. Первая из этих величин служит характеристикой тесноты связи между Y и X в произвольной функции f, а ryx - используется только в случае, когда f является линейной функцией. Величины ηyx и ryx также просто определяются по корреляционной таблице. Расчет обычно ведут в следующем порядке: определяют средние значения обоих признаков X и Y, их средние квадратические отклонения σx и σy, а затем ηxy по формуле: и ryx по формуле: где n - общее число опытов, Xcpi - среднее значение X i-го интервала, Ycpj - среднее значение Y j-го интервала, k, l - количество интервалов признаков X и Y соответственно, mi(x) - частота (количество) значений Xcpi. Количественными характеристиками точности определения ηyx и ryx служат их средние квадратические отклонения, которые равны Значения коэффициента η лежат в пределах между нулем и единицей (0=<ηyx=<1). Если ηyx= 0 (рис., а), то это свидетельствует о том, что признаки Y и X недисперсированы, т. е. регрессия Yx = f(x) не дает связи между признаками Y и X, а при ηyx = 1 существует однозначная связь между Y и X (рис., б, ж). Для ηyx<1 признак Y только частично определяется признаком X, и необходимо изучение дополнительных признаков для повышения достоверности определения Y (рис., г, д, е, и). Значение коэффициента r лежит в пределах между -1 и +1 (-1= Многомерный корреляционный анализ - определение уравнения и тесноты связи в случаях, когда число изучаемых признаков больше двух. Так, если Y является сложным признаком и его исход зависит от появления множества признаков Х1, Х2, ..., Хn, то, по экспериментальным данным, должны быть определены: а) уравнение связи признака Y с совокупностью признаков Х1, Х2,..., Хn, т.е. Yx1x2...xn = F(x1, x2...,xn) ; б) теснота связи между Y и совокупностью X1, Х2,..., Хn. Предварительная обработка результатов наблюдения при многомерном К. а. заключается в том, что для каждой пары признаков определяются значения дисперсионных отношений ηyxi (i = 1,2,..., n) и ηxixj (i!=j) коэффициентов корреляции ryxi и rxixj, а также парные регрессии Yxi = fi(xi). По этим данным затем определяются уравнения множественной регрессии Yx1x2...xn = F (x1,x2,...,xn), множественное дисперсионное отношение ηyx1x2...xn и множественный коэффициент корреляции Ryx1x2...xn. Уравнение множественной регрессии дает возможность определить значение признака Y по совокупности значений X1, Х2, ..., Xn, т. е. при наличии этого уравнения можно прогнозировать значения Y по результатам конкретных значений полученной совокупности (напр., результатов анализа по признакам X1, Х2...Хn). Значение ηyx1x2...xn используется в качестве характеристики тесноты связи между Y и совокупностью признаков Х1, Х2, ...Xn для произвольной функции F, a Ryx1x2...xn - для случая, когда функция F линейна. Коэффициенты ηyx1x2....xn и Ryx1x2...xn принимают значения между нулем и единицей. Включение в рассмотрение при многомерном К. а. дополнительных признаков дает возможность получить значения ηyx1x2...xn, Ryx1x2...xn ближе к единице и таким образом повысить точность прогноза признака Y по множественному уравнению регрессии. В качестве примера рассмотрим результаты парного К. а., а также уравнение множественной регрессии и множественный коэффициент корреляции между признаками: Y - устойчивый псевдопарез, X1 - латерализация моторного дефекта в конечностях справа, Х2 - то же в конечностях слева, Х3 - вегетативные кризы. Значения дисперсионных отношений и коэффициентов парной корреляции для них будут соответственно ηyx1 = 0,429, ηyx2 = 0,616, ηyx3 = -0,334, a ryx1 = 0,320, ryx2 = 0,586, ryx3 = -0,325. По уравнению множественной линейной регрессии Yх1х2х3 = 0,638 x1 + 0,839 x2 - 0,195 x3. Коэффициент множественной корреляции будет выражаться величиной Ryx1x2x3 =0,721. Из примера видно, что по данным Х1, Х2 и Х3 с достаточной для практики точностью можно прогнозировать устойчивый псевдопарез. Методы К. а. дают также возможность получить динамические характеристик и. В этом случае изучаемые признаки (напр., ЭКГ, ЭЭГ и т. д.) рассматриваются как случайные функции Y(t) и Х(t). По результатам наблюдения над этими функциями также определяются две важнейшие характеристики: а) оценка оператора связи (математического уравнения) между Y (t) и X(t); б) оценка тесноты связи между ними. В качестве характеристик тесноты связи принимаются дисперсионные и корреляционные функции случайных функций Y (t) и X(t). Эти функции представляют собой обобщение дисперсионных отношений и коэффициентов корреляции. Так, нормированная взаимная дисперсионная функция ηyx(t) каждого фиксированного значения t представляет собой дисперсионное отношение между значениями признаков Y (t) и Х(t). Аналогично нормированная взаимная корреляционная функция Ryx(t) представляет собой для каждого фиксированного значения t коэффициент корреляции между признаками Y(t) и X(t). Характеристика линейной связи (зависимости) для одной и той же исследуемой величины в различные моменты времени носит название автокорреляции. К. а. является одним из методов решения задачи идентификации, нашедшей широкое распространение при получении математических моделей и автоматизации мед.-биол, исследования и лечения. Библиография:
Вычислительные системы и автоматическая диагностика заболеваний сердца, под ред. Ц. Касереса и Л. Дрейфуса, пер. с англ., М., 1974; Гутман С. Р. О двух моделях электроэнцефалограммы, сходящихся к нормальному случайному процессу, в кн.: Управление и информ. процессы в живой природе, под ред. В. В. Ларина, с. 205, М., 1971; Заславская Р. М., Перепел-кин Е. Г. и Ахметов К. Ж. Корреляционные связи между показателями гемокоагуляции и липидного обмена у больных.стенокардией в течение суток, Кардиология, т. 17, № 6, с. 111, 1977; К р а м e р Г. Математические методы статистики, пер. с англ., М., 1975; Пастернак Е. Б. и др. Исследование электрической активности предсердий при мерцательной аритмии с помощью приборного корреляционного анализа, Кардиология, т. 17, Хя 7, с. 50, 1977; Синицын Б. С. Автоматические корреляторы и их применение, Новосибирск, 1964, библиогр.; У р-б а х В. Ю. Статистический анализ в биологических и медицинских исследованиях, М., 1975, библиогр. В. Н. Райбман, Н. С. Райбман.
Данная модель двумерного нормального распределения (корреляционное поле) позволяет дать наглядную графическую интерпретацию коэффициента корреляции, т.к. распределение в совокупности зависит от пяти параметров: μ x
, μ y
– средние значения (математические ожидания); σ x
,σ y
– стандартные отклонения случайных величин Х и Y и р – коэффициент корреляции, который является мерой связи между случайными величинами Х и Y.
Если р = 0, то значения, x i
, y i
, полученные из двумерной нормальной совокупности, располагаются на графике в координатах х, у в пределах области, ограниченной окружностью (рисунок 5, а). В этом случае между случайными величинами Х и Y отсутствует корреляция и они называются некоррелированными. Для двумерного нормального распределения некоррелированность означает одновременно и независимость случайных величин Х и Y.Корреляционный анализ
Цели корреляционного анализа
Методы корреляционного анализа
Данный анализ может выполняться с использованием:
Коэффициент корреляции
Ограничения использования коэффициента корреляции
Проверка значимости корреляции
Ранги Спирмена
Применение корреляционного анализа в психологии
Краткая инструкция к проведению корреляционного анализа по критерию Спирмена
Пример корреляции Спирмена
Рабочий стаж
Число травм
Порядковые номера
(ранги)
Разность рангов
Квадрат разности рангов
d(х-у)
до 1 года
24
1
5
-4
16
1-2
16
2
4
-2
4
3-4
12
3
2,5
+0,5
0,25
5-6
12
4
2,5
+1,5
2,5
7 и более
6
5
1
+4
16
Σ d2 = 38,5
Выполнив подстановку полученных значений в рабочую формулу и произведя несложные расчёты получаем коэффициент Спирмена равный -0,92
Следующим этапом расчётов является определение достоверности полученного коэффициента:
рассчитывается его ошибка и критерий Стьюдента
, 
