Definícia 1. Číselná os (číselný rad, súradnicový rad) Ox je priamka, na ktorej je zvolený bod O pôvod (pôvod súradníc)(obr. 1), smer

O → X

uvedené ako pozitívny smer a označí sa segment, ktorého dĺžka sa berie ako jednotka dĺžky.

Definícia 2. Segment, ktorého dĺžka sa berie ako jednotka dĺžky, sa nazýva mierka.

Každý bod na číselnej osi má súradnicu, ktorá je Reálne číslo. Súradnica bodu O je nulová. Súradnica ľubovoľného bodu A ležiaceho na lúči Ox sa rovná dĺžke úsečky OA. Súradnica ľubovoľného bodu A číselnej osi, ktorý neleží na lúči Ox, je záporná av absolútnej hodnote sa rovná dĺžke segmentu OA.

Definícia 3. Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém Oxy v rovine zavolajte dvoch navzájom kolmýčíselné osi Ox a Oy s rovnakej mierke A spoločný začiatok odpočítavanie v bode O a tak, že rotácia od lúča Ox pod uhlom 90° k lúču Oy sa vykonáva v smere proti smeru hodinových ručičiek(obr. 2).

Poznámka. Nazýva sa pravouhlý karteziánsky súradnicový systém Oxy, znázornený na obrázku 2 pravý súradnicový systém, Na rozdiel od ľavé súradnicové systémy, v ktorom sa otáčanie lúča Ox pod uhlom 90° k lúču Oy uskutočňuje v smere hodinových ručičiek. V tomto návode sme uvažujeme len pravotočivé súradnicové systémy, bez toho, aby to bolo konkrétne uvedené.

Ak v rovine zavedieme nejaký systém pravouhlých karteziánskych súradníc Oxy, tak každý bod roviny získa dve súradnice – úsečka A ordinát, ktoré sa vypočítajú nasledovne. Nech A je ľubovoľný bod v rovine. Pustime kolmice z bodu A A.A. 1 a A.A. 2 na priamky Ox a Oy (obr. 3).

Definícia 4. Súradnica bodu A je súradnicou bodu A 1 na číselnej osi Ox, súradnica bodu A je súradnicou bodu A 2 na číselnej osi Oy.

Označenie Súradnice (osová a ordináta) bodu A v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme Oxy (obr. 4) sa zvyčajne označuje A(X;r) alebo A = (X; r).

Poznámka. Bod O, tzv pôvodu, má súradnice O(0 ; 0) .

Definícia 5. V pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme Oxy číselná os Ox sa nazýva súradnicová os a číselná os Oy sa nazýva ordináta (obr. 5).

Definícia 6. Každá je obdĺžniková karteziánsky systém súradnice rozdeľujú rovinu na 4 štvrtiny (kvadranty), ktorých číslovanie je znázornené na obrázku 5.

Definícia 7. Rovina, na ktorej je daný pravouhlý karteziánsky súradnicový systém, sa nazýva súradnicová rovina.

Poznámka. Os x je nastavená na súradnicová rovina rovnica r= 0, zvislá os je daná v rovine súradníc rovnicou X = 0.

Vyhlásenie 1. Vzdialenosť medzi dvoma bodmi súradnicová rovina

A 1 (X 1 ;r 1) A A 2 (X 2 ;r 2)

vypočítané podľa vzorca

Dôkaz . Zvážte obrázok 6.

teda

Q.E.D.

Rovnica kružnice v súradnicovej rovine

Uvažujme na rovine súradníc Oxy (obr. 7) kružnicu s polomerom R so stredom v bode A 0 (X 0 ;r 0) .

Inštrukcie

Zapíšte si matematické operácie v textovej forme a zadajte ich do poľa vyhľadávacieho dopytu na adrese domovskej stránke Stránka Google, ak nemôžete používať kalkulačku, ale máte prístup na internet. Tento vyhľadávač má vstavanú multifunkčnú kalkulačku, ktorá sa používa oveľa jednoduchšie ako ktorákoľvek iná. Neexistuje žiadne rozhranie s tlačidlami - všetky údaje je potrebné zadať v textovej forme do jedného poľa. Napríklad, ak je známy súradnice extrémne body segment v trojrozmernom súradnicovom systéme A(51,34 17,2 13,02) a A(-11,82 7,46 33,5), potom súradnice stredný bod segment C((51,34-11,82)/2 (17,2+7,46)/2 (13,02+33,5)/2). Zadaním (51.34-11.82)/2 do poľa vyhľadávacieho dopytu, potom (17.2+7.46)/2 a (13.02+33.5)/2 môžete použiť Google na získanie súradnice C(19,76 : 12,33 : 23,26).

Štandardná rovnica kruh vám umožňuje zistiť niekoľko dôležitá informácia o tomto obrazci napríklad súradnice jeho stredu, dĺžka polomeru. V niektorých problémoch naopak dané parametre musíte vytvoriť rovnicu.

Inštrukcie

Určte, aké informácie máte o kruhu na základe zadanej úlohy. Zapamätaj si to Konečný cieľ je potreba určiť súradnice stredu, ako aj priemer. Všetky vaše akcie by mali byť zamerané na dosiahnutie tohto konkrétneho výsledku.

Použite údaje o prítomnosti priesečníkov so súradnicovými čiarami alebo inými čiarami. Upozorňujeme, že ak kružnica prechádza cez úsečku, druhá bude mať súradnicu 0 a ak cez súradnicu, tak prvá. Tieto súradnice vám umožnia nájsť súradnice stredu kruhu a tiež vypočítať polomer.

Nezabudnite na základné vlastnosti sekán a dotyčníc. Najmä najužitočnejšia veta je, že v bode dotyku polomer a dotyčnica zvierajú pravý uhol. Upozorňujeme však, že vás môžu požiadať, aby ste dokázali všetky teorémy použité počas kurzu.

Vyriešte najštandardnejšie typy, aby ste sa naučili okamžite vidieť, ako použiť určité údaje pre rovnicu kruhu. Teda okrem už spomínaných úloh s priamo dané súradnice a tie, v ktorých sú uvedené informácie o prítomnosti priesečníkov, na zostavenie rovnice kruhu môžete použiť poznatky o strede kruhu, dĺžke tetivy a na ktorej leží táto tetiva.

Riešiť, konštruovať rovnoramenný trojuholník, ktorého základom bude daný akord, A rovnaké strany– polomery. Kompilácia, z ktorej ľahko nájdete potrebné údaje. Na to stačí použiť vzorec na zistenie dĺžky úsečky v rovine.

Video k téme

Kruh sa chápe ako útvar, ktorý pozostáva z mnohých bodov na rovine rovnako vzdialenej od jeho stredu. Vzdialenosť od stredu k bodom kruh nazývaný polomer.

Polárne súradnice

Číslo sa volá polárny polomer bodky alebo prvá polárna súradnica. Vzdialenosť nemôže byť záporná, takže polárny polomer ľubovoľného bodu je . Označuje sa aj prvá polárna súradnica Grécke písmeno("ro"), ale som zvyknutý na latinskú verziu a budem ju používať aj v budúcnosti.

Číslo sa volá polárny uhol daný bod resp druhá polárna súradnica. Polárny uhol sa zvyčajne mení v rámci (tzv hodnoty hlavného uhla). Je však celkom prijateľné použiť rozsah a v niektorých prípadoch je priama potreba zvážiť všetky hodnoty uhla od nuly po „plus nekonečno“. Mimochodom, odporúčam vám zvyknúť si na radiánovú mieru uhla, keďže pracujete so stupňami vyššia matematika nepovažuje sa za comme il faut.

Dvojica sa volá polárne súradnice bodky Dajú sa ľahko nájsť a konkrétne hodnoty. Tangenta ostrý uhol pravouhlý trojuholník - existuje vzťah opačná noha k susednej nohe: preto samotný uhol: . Podľa Pytagorovej vety druhá mocnina prepony rovná súčtuštvorce nôh: preto polárny polomer:

teda .

Jeden tučniak je dobrý, ale kŕdeľ je lepší:


Negatívne orientované rohy Pre každý prípad som ho označil šípkami, keby o tejto orientácii ešte niektorí z čitateľov nevedeli. V prípade potreby môžete ku každému z nich „naskrutkovať“ 1 otáčku (rad. alebo 360 stupňov) a získať tak, mimochodom, pohodlné tabuľkové hodnoty:

Ale nevýhodou týchto "tradične" orientovaných uhlov je, že sú "pretočené" príliš ďaleko (viac ako 180 stupňov) proti smeru hodinových ručičiek. Očakávam otázku: „prečo je nedostatok a prečo nejaký je negatívne uhly? V matematike najkratšia a racionálne spôsoby. No z hľadiska fyziky má často zásadný význam smer otáčania - každý z nás skúšal otvárať dvere potiahnutím kľučky v zlom smere =)

Poradie a technika konštrukcie bodov v polárnych súradniciach

Krásne obrázky sú krásne, ale postaviť ich v polárnom súradnicovom systéme je dosť namáhavá úloha. Neexistujú žiadne ťažkosti s bodmi, ktorých polárne uhly sú rovnaké , v našom príklade sú to body ; Hodnoty, ktoré sú násobkom 45 stupňov, tiež nespôsobujú veľké problémy: . Ako však správne a kompetentne skonštruovať povedzme bod?

Budete potrebovať kockovaný kus papiera, ceruzku a nasledujúce nástroje na kreslenie: pravítko, kompas, uhlomer. IN ako posledná možnosť, vystačíte si len s jedným pravítkom, alebo dokonca... aj bez neho! Čítajte ďalej a dostanete ďalší dôkaz, že táto krajina je neporaziteľná =)

Príklad 1

Zostrojte bod v polárnom súradnicovom systéme.

V prvom rade si to treba zistiť miera stupňa uhol Ak je roh neznámy alebo máte pochybnosti, je vždy lepšie ho použiť tabuľky alebo všeobecný vzorec na prevod radiánov na stupne. Náš uhol je teda (alebo).

Nakreslíme polárny súradnicový systém (pozri začiatok lekcie) a vezmeme uhlomer. Majitelia okrúhleho nástroja nebudú mať problémy s označením 240 stupňov, ale s vysoká pravdepodobnosť V rukách budete mať polkruhovú verziu zariadenia. Problém úplná absencia uhlomer, ak máte tlačiareň a nožnice riešené ručnou prácou.

Existujú dva spôsoby: otočte list a označte 120 stupňov alebo „skrutkujte“ o pol otáčky a skontrolujte opačný roh. Vyberme si metódu pre dospelých a urobme značku 60 stupňov:


Buď liliputánsky uhlomer, alebo obrovská klietka =) Na meranie uhla však mierka nie je dôležitá.

Ceruzkou nakreslite tenkú rovnú čiaru prechádzajúcu cez tyč a urobenú značku:


Vyriešili sme uhol, teraz je na rade polárny polomer. Vezmite kompas a pozdĺž čiary jeho riešenie nastavíme na 3 jednotky, najčastejšie sú to samozrejme centimetre:

Teraz opatrne položte ihlu na tyč a rotačný pohyb Vyrábame malý serif (červená farba). Požadovaný bod bol vytvorený:


Bez kružidla sa zaobídete tak, že pravítko priložíte priamo na zostrojenú priamku a zmeriate 3 centimetre. Ale ako uvidíme neskôr, pri problémoch týkajúcich sa konštrukcie v polárnom súradnicovom systéme typická situácia je, keď potrebujete označiť dve resp veľká kvantita body s rovnakým polárnym polomerom, takže je efektívnejšie kaliť kov. Najmä v našom výkrese, otočením ramena kompasu o 180 stupňov, je ľahké urobiť druhý zárez a vytvoriť bod symetrický vzhľadom na pól. Využime ho na prácu s materiálom v nasledujúcom odseku:

Vzťah medzi pravouhlým a polárnym súradnicovým systémom

Samozrejme pridajme do polárneho súradnicového systému, „bežnú“ súradnicovú mriežku a nakreslite bod na výkrese:

Pri kreslení v polárnych súradniciach je vždy užitočné mať na pamäti toto spojenie. Aj keď, chtiac-nechtiac, navrhne sa bez akéhokoľvek ďalšieho náznaku.

Stanovme vzťah medzi polárnymi a karteziánskymi súradnicami na príklade konkrétny bod. Uvažujme správny trojuholník, v ktorom sa prepona rovná polárnemu polomeru: a nohy sa rovnajú súradniciam „X“ a „Y“ bodu v karteziánskom súradnicovom systéme: .

Sínus ostrého uhla je pomer opačnej strany k prepone:

Kosínus ostrého uhla je pomer priľahlej nohy k prepone:

Zároveň sme si zopakovali definície sínusu, kosínusu (a o niečo skôr tangenty) z učiva 9. ročníka všeobecnej školy.

Do referenčnej knihy pridajte pracovné vzorce, ktoré vyjadrujú karteziánske súradnice bodu prostredníctvom jeho polárnych súradníc - budeme sa s nimi musieť zaoberať viackrát a nabudúce práve teraz =)

Nájdite súradnice bodu v pravouhlom súradnicovom systéme:

takto:

Výsledné vzorce otvárajú ďalšiu medzeru v konštrukčnom probléme, keď sa úplne zaobídete bez uhlomeru: najprv nájdeme kartézske súradnice bodu (samozrejme v návrhu), potom v duchu nájdeme požadované miesto na výkrese a označte tento bod. Zapnuté záverečná fáza nakreslite tenkú priamku, ktorá prechádza zostrojeným bodom a pólom. V dôsledku toho sa ukazuje, že uhol bol údajne meraný uhlomerom.

Je smiešne, že veľmi zúfalí študenti sa zaobídu aj bez pravítka, namiesto toho použijú hladký okraj učebnice, zošita resp. triedna kniha– veď výrobcovia notebookov si dali záležať na metrike, 1 bunka = 5 milimetrov.

Toto všetko mi pripomenulo známy vtip, v ktorom vynaliezaví piloti vykresľovali kurz pozdĺž svorky Belomorov =) Aj keď, žarty bokom, vtip nie je až taký vzdialený realite, pamätám si, že na jednom z domácich letov v ruskom Federácia, všetky navigačné prístroje v lietadle zlyhali a posádka úspešne pristála s lietadlom pomocou obyčajného pohára vody, ktorý ukazoval uhol lietadla voči zemi. A pristávacia dráha - tu je, viditeľná z čelného skla.

Pomocou Pytagorovej vety citovanej na začiatku lekcie je ľahké ju získať inverzné vzorce: , teda:

Samotný uhol „phi“ je štandardne vyjadrený prostredníctvom arkustangensu - úplne rovnaký ako argument komplexného čísla so všetkými svojimi problémami.

Druhú skupinu vzorcov je tiež vhodné umiestniť do referenčnej batožiny.

Po podrobná analýzaúlety s jednotlivými bodmi, prejdime k prirodzenému pokračovaniu témy:

Rovnica priamky v polárnych súradniciach

V podstate rovnica priamky v polárnom súradnicovom systéme je funkcia polárneho polomeru od polárneho uhla (argument). V tomto prípade sa berie do úvahy polárny uhol v radiánoch(!) A nepretržite preberá hodnoty od do (niekedy by sa malo uvažovať do nekonečna alebo v mnohých problémoch pre pohodlie od do). Každá hodnota uhla „phi“, ktorá je zahrnutá doména funkcie, zodpovedá jedinej hodnote polárneho polomeru.

Polárna funkcia sa dá porovnať s druhom radaru - keď sa lúč svetla vychádzajúci zo stĺpa otáča proti smeru hodinových ručičiek a „detekuje“ (kreslí) čiaru.

Štandardným príkladom polárnej krivky je Archimedova špirála. Ukazuje ju nasledujúci obrázok prvé kolo– keď polárny polomer sledujúci polárny uhol nadobúda hodnoty od 0 do:

Ďalej, prekročením polárnej osi v bode , sa špirála bude ďalej odvíjať a bude sa pohybovať nekonečne ďaleko od pólu. ale podobné prípady v praxi sú pomerne zriedkavé; viac typická situácia, keď pri všetkých nasledujúcich otáčkach „kráčame po tej istej línii“, ktorá bola získaná v rozsahu.

V prvom príklade narazíme na koncept doména definície polárna funkcia: keďže polárny polomer nie je záporný, nemožno tu brať do úvahy záporné uhly.

! Poznámka : v niektorých prípadoch je zvykom používať zovšeobecnené polárne súradnice, kde polomer môže byť záporný a tento prístup si stručne preštudujeme o niečo neskôr

Okrem Archimedovej špirály existuje mnoho ďalších slávnych kriviek, ale, ako sa hovorí, umenia sa nemôžete nabažiť, a tak som vybral príklady, ktoré sa veľmi často vyskytujú v skutočných praktických úlohách.

Najprv najjednoduchšie rovnice a najjednoduchšie čiary:

Rovnica tvaru špecifikuje rovnicu, ktorá vychádza z pólu Ray. Naozaj, premýšľajte o tom, ak je hodnota uhla Vždy(bez ohľadu na to, čo je to „er“) neustále, aká je potom línia?

Poznámka : v zovšeobecnenom polárnom súradnicovom systéme daná rovnica definuje priamku prechádzajúcu cez pól

Rovnica tvaru určuje... hádajte prvýkrát - ak pre hocikoho Polomer uhla "phi" zostáva konštantný? V skutočnosti toto je definícia kruh so stredom na póle polomeru .

Napríklad, . Pre názornosť nájdeme rovnicu tejto priamky v pravouhlom súradnicovom systéme. Pomocou vzorca získaného v predchádzajúcom odseku vykonáme náhradu:

Vyrovnajme obe strany:

– rovnica kruhu so stredom na začiatku polomeru 2, čo je potrebné skontrolovať.

Od vytvorenia a vydania článku o lineárnej závislosti a lineárnej nezávislosti vektorov Dostal som niekoľko listov od návštevníkov stránky, ktorí sa pýtali v duchu: „Existuje jednoduchý a pohodlný pravouhlý súradnicový systém, prečo potrebujeme ďalší šikmý? afinný prípad?. Odpoveď je jednoduchá: matematika sa snaží obsiahnuť všetko a všetkých! Okrem toho je v danej situácii dôležité pohodlie - ako vidíte, je oveľa výhodnejšie pracovať s kruhom v polárnych súradniciach kvôli extrémnej jednoduchosti rovnice.

A niekedy matematický model predpokladá vedecké objavy. Takže svojho času rektor Kazanskej univerzity N.I. Lobačevského prísne dokázané, cez ľubovoľný bod možno nakresliť roviny nekonečne veľa priamych čiar, paralelne s týmto. V dôsledku toho ho všetko očierňovalo vedecký svet, ale... vyvrátiť tento fakt nikto nemohol. Len o dobré storočie neskôr astronómovia zistili, že svetlo vo vesmíre sa pohybuje po zakrivených trajektóriách, kde začína fungovať Lobačevského neeuklidovská geometria, ktorú formálne vyvinul dlho pred týmto objavom. Predpokladá sa, že ide o vlastnosť samotného priestoru, ktorého zakrivenie je pre nás neviditeľné kvôli malým (na astronomické pomery) vzdialenostiam.

Pozrime sa na zmysluplnejšie stavebné úlohy:

Príklad 2

Zostavte líniu

Riešenie: v prvom rade nájdime doména. Keďže polárny polomer nie je záporný, nerovnosť musí platiť. Môžete si spomenúť na školský poriadok riešenia goniometrických nerovností, ale v jednoduché prípady ako tento, odporúčam rýchlejšie a vizuálna metóda riešenia:

Predstavte si kosínusový graf. Ak ešte nie je zaregistrovaný vo vašej pamäti, nájdite ho na stránke Grafy elementárnych funkcií. Čo nám hovorí nerovnosť? Hovorí nám, že by mal byť umiestnený kosínusový graf nie menej os x. A to sa deje v segmente. A preto interval nie je vhodný.

Oblasť definície našej funkcie je teda: , čiže graf sa nachádza napravo od pólu (v terminológii karteziánskeho systému - v pravej polrovine).

V polárnych súradniciach je často nejasná predstava o tom, ktorá čiara definuje konkrétnu rovnicu, takže na jej zostavenie musíte nájsť body, ktoré k nej patria - a čím viac, tým lepšie. Zvyčajne sú obmedzené na tucet alebo dva (alebo ešte menej). Najjednoduchší spôsob je, samozrejme, vziať hodnoty uhla tabuľky. Pre väčšiu prehľadnosť záporné hodnoty Jednu otáčku „zaskrutkujem“:

Vzhľadom na paritu kosínusu relevantné kladné hodnoty už nemusíš počítať:

Znázornime si polárny súradnicový systém a nakreslime nájdené body, zatiaľ čo rovnaké hodnoty Je vhodné odložiť „er“ naraz a urobiť párové zárezy pomocou kompasu pomocou technológie diskutovanej vyššie:

V zásade je čiara jasne nakreslená, ale aby sme úplne potvrdili odhad, nájdime jej rovnicu v karteziánskom súradnicovom systéme. Môžete použiť nedávno odvodené vzorce , ale poviem vám jeden prefíkanejší trik. Umelo vynásobíme obe strany rovnice „er“: a použijeme kompaktnejšie prechodové vzorce:

Zvýraznenie dokonalý štvorec, privedieme rovnicu priamky do rozpoznateľného tvaru:

– rovnica kruhu so stredom v bode, polomer 2.

Keďže podľa stavu bolo jednoducho potrebné vykonať stavbu a hotovo, nájdené body hladko spojíme čiarou:

Pripravený. Nevadí, ak to dopadne trochu nerovnomerne, nemuseli ste vedieť, že ide o kruh ;-)

Prečo sme nezohľadnili hodnoty uhla mimo intervalu? Odpoveď je jednoduchá: nemá zmysel. Vzhľadom na periodicitu funkcie nás čaká nekonečný beh po zostrojenej kružnici.

Je ľahké vykonať jednoduchú analýzu a dospieť k záveru, že rovnica tvaru špecifikuje kruh s priemerom so stredom v bode. Obrazne povedané, všetky takéto kruhy „sedia“ na polárnej osi a nevyhnutne prechádzajú cez pól. Ak potom vtipná spoločnosť bude migrovať doľava - na pokračovanie polárnej osi (zamyslite sa prečo).

Podobná úloha pre nezávislé rozhodnutie:

Príklad 3

Zostrojte priamku a nájdite jej rovnicu v pravouhlom súradnicovom systéme.

Poďme systematizovať postup riešenia problému:

Najprv nájdeme doménu definície funkcie, na ktorú je vhodné sa pozrieť sínusoida aby ste okamžite pochopili, kde je sínus nezáporný.

V druhom kroku vypočítame polárne súradnice bodov pomocou hodnoty uhla tabuľky; Analyzujte, či je možné znížiť počet výpočtov?

V treťom kroku nakreslíme body v polárnom súradnicovom systéme a opatrne ich spojíme čiarou.

A nakoniec nájdeme rovnicu priamky v karteziánskom súradnicovom systéme.

Približná vzorka riešenia na konci hodiny.

Všeobecný algoritmus a podrobne popisujeme stavebnú techniku ​​v polárnych súradniciach
a výrazne zrýchliť v druhej časti prednášky, ale ešte predtým sa zoznámime s ďalšou spoločnou líniou:

Polárna ruža

Správne, hovoríme o kvete s okvetnými lístkami:

Príklad 4

Zostrojte čiary dané rovnicami v polárnych súradniciach

Existujú dva prístupy k skonštruovaniu polárnej ruže. Najprv sledujme vrúbkovanú stopu za predpokladu, že polárny polomer nemôže byť záporný:

Riešenie:

a) Nájdite doménu definície funkcie:

Toto trigonometrická nerovnosť Nie je tiež ťažké vyriešiť graficky: z materiálov článku Geometrické transformácie grafov je známe, že ak sa argument funkcie zdvojnásobí, potom sa jej graf zmenší na zvislú os 2-krát. Nájdite graf funkcie v prvom príklade určenú lekciu. Kde sa nachádza táto sínusoida nad osou x? V intervaloch . V dôsledku toho je nerovnosť splnená zodpovedajúcimi segmentmi a doména naša funkcia: .

Vo všeobecnosti je riešením uvažovaných nerovností únia nekonečné číslo segmentov, ale opäť nás zaujíma len jedno obdobie.

Možno to niektorým čitateľom pôjde ľahšie analytická metóda keď nájdem doménu definície, podmienečne to nazvem „krájanie okrúhleho koláča“. Narežeme na rovnaké časti a v prvom rade nájsť hranice prvého dielu. Zdôvodňujeme to takto: sínus je nezáporný, Kedy jeho argument sa pohybuje od 0 do rad. vrátane. V našom príklade: . Vydelením všetkých častí dvojitej nerovnosti 2 dostaneme požadovaný interval:

Teraz začneme postupne „rezať rovnaké kusy po 90 stupňoch“ proti smeru hodinových ručičiek:

– nájdený segment je samozrejme zahrnutý do domény definície;

– ďalší interval – nie je zahrnutý;

– ďalší segment – ​​vrátane;

– a napokon, interval – nie je zahrnutý.

Presne ako sedmokráska – „miluje, nemiluje, miluje, nemiluje“ =) S tým rozdielom, že sa tu neveští. Áno, je to len nejaký druh lásky na čínsky spôsob...

takže, a čiara predstavuje ružu s dvoma rovnakými okvetnými lístkami. Je celkom možné nakresliť výkres schematicky, ale je veľmi vhodné ho správne nájsť a označiť vrcholy okvetných lístkov. Vrcholy zodpovedajú stredy segmentov domény definície, ktorý v v tomto príklade majú zrejmé uhlové súradnice . V čom dĺžky okvetných lístkov sú:

Tu je prirodzený výsledok starostlivého záhradníka:

Treba poznamenať, že dĺžku okvetného lístka je možné ľahko vidieť z rovnice - keďže sínus je obmedzený: , potom maximálna hodnota„Ehm“ určite nepresiahne dva.

b) Postavme čiaru, daný rovnicou. Je zrejmé, že dĺžka okvetného lístka tejto ruže je tiež dve, ale v prvom rade nás zaujíma oblasť definície. Použiteľné analytická metóda"reže": sínus je nezáporný, keď jeho argument je v rozsahu od nuly do „pí“ vrátane, v v tomto prípade: . Všetky časti nerovnosti vydelíme 3 a dostaneme prvý interval:

Ďalej začneme „krájať koláč na kúsky“ od rad. (60 stupňov):
– segment vstúpi do definičnej domény;
– interval – nebude zahrnutý;
– segment – ​​sa zmestí;
– interval – nebude zahrnutý;
– segment – ​​sa zmestí;
– interval – nebude zahrnutý.

Proces je úspešne dokončený pri 360 stupňoch.

Rozsah definície je teda: .

Úkony vykonané úplne alebo čiastočne sa dajú ľahko vykonať mentálne.

Stavebníctvo. Ak v predchádzajúcom odseku všetko fungovalo dobre s pravými uhlami a uhlami 45 stupňov, potom tu budete musieť trochu pohrať. Poďme nájsť vrcholy okvetných lístkov. Ich dĺžka bola viditeľná od samého začiatku úlohy; zostáva len vypočítať uhlové súradnice, ktoré sa rovnajú stredom segmentov definičnej domény:

Upozorňujeme, že medzi vrcholmi okvetných lístkov musia byť rovnaké medzery, v tomto prípade 120 stupňov.

Výkres je vhodné označiť do 60-stupňových sektorov (oddelených zelené čiary) a nakreslite smery vrcholov okvetných lístkov (sivé čiary). Samotné vrcholy je vhodné označiť pomocou kružidla - raz zmerajte vzdialenosť 2 jednotiek a urobte tri zárezy v nakreslených smeroch 30, 150 a 270 stupňov:

Pripravený. Chápem, že je to problematická úloha, ale ak chcete všetko zariadiť múdro, budete musieť stráviť čas.

Poďme formulovať všeobecný vzorec : rovnica tvaru , je prirodzené číslo), definuje polárnu ružu s lupienkami, ktorej dĺžka lupeňov sa rovná .

Napríklad rovnica špecifikuje štvorlístok s dĺžkou okvetného lístka 5 jednotiek, rovnica špecifikuje 5-listovú ružu s dĺžkou okvetného lístka 3 jednotky. atď.

Usporiadaný systém dvoch alebo troch na seba kolmých pretínajúcich sa osí so spoločným počiatkom (počiatkom súradníc) a spoločnou jednotkou dĺžky sa nazýva pravouhlý karteziánsky súradnicový systém .

Všeobecný karteziánsky súradnicový systém (afinný súradnicový systém) nemusí nevyhnutne zahŕňať kolmé osi. Na počesť francúzsky matematik René Descartes (1596-1662) pomenoval práve taký súradnicový systém, v ktorom sa na všetkých osiach meria spoločná jednotka dĺžky a osi sú priame.

Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v rovine má dve osi a pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v priestore - tri osi. Každý bod v rovine alebo v priestore je definovaný usporiadanou množinou súradníc - čísel zodpovedajúcich jednotke dĺžky súradnicového systému.

Všimnite si, že ako vyplýva z definície, existuje kartézsky súradnicový systém na priamke, teda v jednom rozmere. Zavedenie karteziánskych súradníc na priamke je jedným zo spôsobov, ako je akýkoľvek bod na priamke spojený s dobre definovaným reálnym číslom, teda súradnicou.

Súradnicová metóda, ktorá vznikla v dielach René Descartesa, znamenala revolučnú reštrukturalizáciu celej matematiky. Bolo možné interpretovať algebraické rovnice(alebo nerovností) vo forme geometrických obrázkov (grafov) a naopak hľadať riešenie geometrické problémy pomocou analytických vzorcov a sústav rovníc. Áno, nerovnosť z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy a nachádza sa nad touto rovinou o 3 jednotky.

Pomocou karteziánskeho súradnicového systému príslušnosť bodu na danej krivke zodpovedá skutočnosti, že čísla X A r splniť nejakú rovnicu. Súradnice bodu na kružnici so stredom v danom bode ( a; b) splniť rovnicu (X - a)² + ( r - b)² = R² .

Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v rovine

Dve kolmé osi v rovine so spoločným počiatkom a rovnakou jednotkou mierky karteziánsky pravouhlý systém súradnice na rovine . Jedna z týchto osí sa nazýva os Vôl, alebo os x , druhý - os Oj, alebo os y . Tieto osi sa tiež nazývajú súradnicové osi. Označme podľa MX A Mr respektíve priemet ľubovoľného bodu M na osi Vôl A Oj. Ako získať projekcie? Prejdime cez pointu M Vôl. Táto priamka pretína os Vôl v bode MX. Prejdime cez pointu M priamka kolmá na os Oj. Táto priamka pretína os Oj v bode Mr. To je znázornené na obrázku nižšie.

X A r bodov M budeme podľa toho nazývať hodnoty smerovaných segmentov OMX A OMr. Hodnoty týchto smerovaných segmentov sa vypočítajú podľa toho ako X = X0 - 0 A r = r0 - 0 . Kartézske súradnice X A r bodov M úsečka A ordinát . Skutočnosť, že bod M má súradnice X A r, sa označuje takto: M(X, r) .

Súradnicové osi rozdeľujú rovinu na štyri kvadrant , ktorých číslovanie je znázornené na obrázku nižšie. Zobrazuje tiež usporiadanie značiek pre súradnice bodov v závislosti od ich umiestnenia v konkrétnom kvadrante.

Okrem karteziánskych pravouhlých súradníc v rovine sa často zvažuje aj polárny súradnicový systém. O spôsobe prechodu z jedného súradnicového systému do druhého - v lekcii polárny súradnicový systém .

Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v priestore

Kartézske súradnice v priestore sú zavedené úplne analogicky s karteziánskymi súradnicami v rovine.

Tri vzájomne kolmé osi v priestore ( súradnicové osi) so spoločným začiatkom O a s rovnakou jednotkou mierky, ktorú tvoria Kartézsky pravouhlý súradnicový systém v priestore .

Jedna z týchto osí sa nazýva os Vôl, alebo os x , druhý - os Oj, alebo os y , tretia - os Oz, alebo os aplikovať . Nechaj MX, Mr Mz- projekcie ľubovoľného bodu M priestor na osi Vôl , Oj A Oz resp.

Prejdime cez pointu M VôlVôl v bode MX. Prejdime cez pointu M rovina kolmá na os Oj. Táto rovina pretína os Oj v bode Mr. Prejdime cez pointu M rovina kolmá na os Oz. Táto rovina pretína os Oz v bode Mz.

karteziánsky pravouhlé súradnice X , r A z bodov M budeme podľa toho nazývať hodnoty smerovaných segmentov OMX, OMr A OMz. Hodnoty týchto smerovaných segmentov sa vypočítajú podľa toho ako X = X0 - 0 , r = r0 - 0 A z = z0 - 0 .

Kartézske súradnice X , r A z bodov M sa nazývajú podľa toho úsečka , ordinát A aplikovať .

Súradnicové osi v pároch sú umiestnené v súradnicových rovinách xOy , yOz A zOx .

Problémy o bodoch v karteziánskom súradnicovom systéme

Príklad 1

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Nájdite súradnice priemetov týchto bodov na súradnicovú os.

Riešenie. Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na úsečku sa nachádza na samotnej úsečke, teda na osi. Vôl, a preto má úsečku rovnajúcu sa úsečke samotného bodu a ordinátu (súradnicu na osi Oj, ktorú os x pretína v bode 0), rovná nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice týchto bodov na osi x:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx (-5; 0).

Príklad 2 V karteziánskom súradnicovom systéme sú body dané v rovine

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Nájdite súradnice priemetov týchto bodov na súradnicovú os.

Riešenie. Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na ordinátovú os sa nachádza na samotnej ordinátovej osi, teda na osi. Oj, a preto má súradnicu rovnajúcu sa súradnici samotného bodu a úsečku (súradnicu na osi Vôl, ktorý súradnicová os pretína v bode 0), ktorý sa rovná nule. Takže dostaneme nasledujúce súradnice týchto bodov na osi y:

Ay(0;2);

By(0;1);

Cy(0;-2).

Príklad 3 V karteziánskom súradnicovom systéme sú body dané v rovine

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Vôl .

Vôl Vôl Vôl, bude mať rovnakú úsečku ako daný bod, a súradnica rovná absolútna hodnota súradnica daného bodu a jeho opačné znamienko. Takže dostaneme nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na os Vôl :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Vyriešte problémy pomocou karteziánskeho súradnicového systému sami a potom sa pozrite na riešenia

Príklad 4. Určte, v ktorých kvadrantoch (štvrtiny, kresba s kvadrantmi - na konci odseku „Obdĺžnikový kartézsky súradnicový systém v rovine“) sa môže nachádzať bod M(X; r) , Ak

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) X − r = 0 ;

4) X + r = 0 ;

5) X + r > 0 ;

6) X + r < 0 ;

7) X − r > 0 ;

8) X − r < 0 .

Príklad 5. V karteziánskom súradnicovom systéme sú body dané v rovine

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na os Oj .

Pokračujme v riešení problémov spoločne

Príklad 6. V karteziánskom súradnicovom systéme sú body dané v rovine

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na os Oj .

Riešenie. Otočte o 180 stupňov okolo osi Oj smerový segment od osi Oj až do tohto bodu. Na obrázku, kde sú naznačené kvadranty roviny, vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na os Oj, bude mať rovnakú os ako daný bod a úsečka sa v absolútnej hodnote rovná úsečke daného bodu a má opačné znamienko. Takže dostaneme nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na os Oj :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Príklad 7. V karteziánskom súradnicovom systéme sú body dané v rovine

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na počiatok.

Riešenie. Nasmerovaný segment smerujúci z počiatku do daného bodu otočíme o 180 stupňov okolo počiatku. Na obrázku, kde sú naznačené kvadranty roviny, vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na počiatok súradníc bude mať úsečku a ordinátu rovnú v absolútnej hodnote úsečke a ordináde daného bodu, ale opačne v znamení. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na počiatok:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Príklad 8.

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Nájdite súradnice priemetov týchto bodov:

1) v lietadle Oxy ;

2) v lietadle Oxz ;

3) do lietadla Oyz ;

4) na osi x;

5) na zvislej osi;

6) na osi aplikácie.

1) Priemet bodu do roviny Oxy sa nachádza v tejto rovine samotnej, a preto má úsečku a ordinátu rovnú úsečke a osi daného bodu a aplikáciu rovnú nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oxy :

Axy (4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Priemet bodu do roviny Oxz sa nachádza v tejto rovine samotnej, a preto má úsečku a aplikáciu rovnajúcu sa úsečke a aplikácii daného bodu a ordinátu rovnú nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Priemet bodu do roviny Oyz sa nachádza v tejto rovine samotnej, a preto má súradnicu a aplikáciu rovnajúcu sa súradnici a aplikácii daného bodu a súradnicu rovnajúcu sa nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oyz :

Ayz(0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na úsečku sa nachádza na samotnej úsečke, teda na osi. Vôl, a preto má úsečku rovnajúcu sa úsečke samotného bodu a ordináta a aplikácia projekcie sa rovnajú nule (keďže os ordinát a aplikovaná os pretínajú úsečku v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na os x:

Ax (4; 0; 0);

Bx (-3; 0; 0);

Cx(2;0;0).

5) Priemet bodu na ordinátovú os sa nachádza na samotnej ordinátovej osi, teda na osi. Oj, a preto má súradnicu rovnajúcu sa súradnici samotného bodu a súradnica a aplikovaná projekcia sa rovnajú nule (keďže súradnica a aplikovaná os pretínajú os súradnice v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na súradnicovú os:

Ay(0; 3; 0);

By (0; 2; 0);

Cy(0;-3;0).

6) Priemet bodu na os aplikácie sa nachádza na samotnej osi aplikácie, teda na osi. Oz, a preto má aplikáciu rovnajúcu sa aplikácii samotného bodu a úsečka a ordináta projekcie sa rovnajú nule (keďže os x a ordináta pretínajú os aplikácie v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na os aplikácie:

Az (0; 0; 5);

Bz (0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

Príklad 9. V karteziánskom súradnicovom systéme sú body dané v priestore

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na:

1) lietadlo Oxy ;

2) lietadlá Oxz ;

3) lietadlá Oyz ;

4) osi x;

5) súradnicové osi;

6) aplikujte osi;

7) pôvod súradníc.

1) „Presuňte“ bod na druhej strane osi Oxy Oxy, bude mať úsečku a zvislú os rovnajúcu sa úsečke a zvislej osi daného bodu a aplikáciu rovnajúcu sa veľkosti aplikátu daného bodu, ale opačné znamienko. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrické k údajom vzhľadom na rovinu Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) „Presuňte“ bod na druhej strane osi Oxz do rovnakej vzdialenosti. Z obrázku zobrazujúceho súradnicový priestor vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na os Oxz, bude mať úsečku a aplikáciu rovnajúcu sa úsečke a aplikácii daného bodu a ordinátu rovnajúcu sa veľkosti osy daného bodu, ale opačného znamienka. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrické k údajom vzhľadom na rovinu Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) „Presuňte“ bod na druhej strane osi Oyz do rovnakej vzdialenosti. Z obrázku zobrazujúceho súradnicový priestor vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na os Oyz, bude mať súradnicu a aplikát rovné súradnici a aplikátu daného bodu a úsečku rovnajúcu sa hodnote súradnice daného bodu, ale opačné znamienko. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrické k údajom vzhľadom na rovinu Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Analogicky s symetrické body na rovine a bodoch v priestore symetrických k údajom vzhľadom na roviny, poznamenávame, že v prípade symetrie vzhľadom na niektorú os kartézskeho súradnicového systému v priestore bude súradnica na osi, vzhľadom na ktorú je symetria daná, zachovajú si svoje znamienko a súradnice na ďalších dvoch osiach budú mať v absolútnom vyjadrení rovnakú hodnotu ako súradnice daného bodu, ale opačného znamienka.

4) Úsečka si zachová svoje znamienko, ale ordináta a aplikácia zmenia znamienka. Získame teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na os x:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Súradnica si zachová svoje znamienko, ale úsečka a aplikácia zmenia znamienka. Získame teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na súradnicovú os:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Žiadosť si zachová svoje znamienko, ale úsečka a os zmenia znamienka. Získame teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na os aplikácie:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Analogicky so symetriou v prípade bodov v rovine, v prípade symetrie o počiatku súradníc budú všetky súradnice bodu symetrického k danému bodu v absolútnej hodnote rovnaké ako súradnice daného bodu, ale opačne v znamení. Získame teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na počiatok.

Pravouhlý súradnicový systém v rovine tvoria dve vzájomne kolmé súradnicové osi X’X a Y’Y. Súradnicové osi sa pretínajú v bode O, ktorý sa nazýva počiatok, na každej osi je zvolený kladný smer. Kladný smer osí (v pravotočivom súradnicovom systéme) sa volí tak, že pri otáčaní osi X'X. proti smeru hodinových ručičiek o 90°, jeho kladný smer sa zhoduje s kladným smerom osi Y'Y. Štyri uhly (I, II, III, IV) tvorené súradnicovými osami X'X a Y'Y sa nazývajú súradnicové uhly (pozri obr. 1).

Poloha bodu A v rovine je určená dvoma súradnicami x a y. Súradnica x sa rovná dĺžke segmentu OB, súradnica y sa rovná dĺžke segmentu OC vo vybraných meracích jednotkách. Segmenty OB a OC sú definované čiarami vedenými z bodu A rovnobežnými s osami Y'Y ​​a X'X. Súradnica x sa nazýva úsečka bodu A, súradnica y sa nazýva súradnica bodu A. Zapisuje sa takto: A(x, y).

Ak bod A leží v súradnicový uhol Ja, potom bod A má kladnú úsečku a ordinátu. Ak bod A leží v súradnicovom uhle II, potom má bod A zápornú úsečku a kladnú os. Ak bod A leží v súradnicovom uhle III, potom bod A má zápornú úsečku a ordinátu. Ak bod A leží v súradnicovom uhle IV, potom má bod A kladnú os a zápornú osi.

Pravouhlý súradnicový systém v priestore je tvorený tromi navzájom kolmými súradnicovými osami OX, OY a OZ. Súradnicové osi sa pretínajú v bode O, ktorý sa nazýva počiatok, na každej osi je zvolený kladný smer označený šípkami a jednotkami merania segmentov na osiach. Jednotky merania sú rovnaké pre všetky osi. OX - os úsečky, OY - zvislá os, OZ - aplikovaná os. Kladný smer osí je zvolený tak, že pri otáčaní osi OX proti smeru hodinových ručičiek o 90° sa jej kladný smer zhoduje s kladným smerom osi OY, ak je táto rotácia pozorovaná z kladného smeru osi OZ. Takýto súradnicový systém sa nazýva pravotočivý. Ak palec pravá ruka vezmite smer X ako smer X, indexový ako smer Y a stredný ako smer Z, potom sa vytvorí pravotočivý súradnicový systém. Podobné prsty ľavej ruky tvoria ľavý súradnicový systém. Nie je možné kombinovať pravý a ľavý súradnicový systém tak, aby sa zodpovedajúce osi zhodovali (pozri obr. 2).

Poloha bodu A v priestore je určená tromi súradnicami x, y a z. Súradnica x sa rovná dĺžke segmentu OB, súradnica y je dĺžka segmentu OC, súradnica z je dĺžka segmentu OD vo vybraných merných jednotkách. Segmenty OB, OC a OD sú definované rovinami vedenými z bodu A rovnobežnými s rovinami YOZ, XOZ a XOY. Súradnica x sa nazýva úsečka bodu A, súradnica y sa nazýva súradnica bodu A, súradnica z sa nazýva aplikácia bodu A. Píše sa takto: A(a, b, c).

Orty

Obdĺžnikový súradnicový systém (akéhokoľvek rozmeru) je tiež opísaný množinou jednotkových vektorov zarovnaných so súradnicovými osami. Počet jednotkových vektorov sa rovná rozmeru súradnicového systému a všetky sú na seba kolmé.

V trojrozmernom prípade sa takéto jednotkové vektory zvyčajne označujú i j k alebo e X e r e z. Navyše v prípade správny systém súradnice sú platné nasledujúce vzorce s krížovým súčinom vektorov:

• [i j]=k ;
• [j k]=i ;
• [k i]=j .

Príbeh

Obdĺžnikový súradnicový systém prvýkrát predstavil René Descartes vo svojom diele „Discourse on Method“ v roku 1637. Preto sa pravouhlý súradnicový systém nazýva aj - Kartézsky súradnicový systém. Základ položila súradnicová metóda opisu geometrických objektov analytická geometria. Pierre Fermat tiež prispel k rozvoju súradnicovej metódy, ale jeho práce boli prvýkrát publikované až po jeho smrti. Descartes a Fermat použili súradnicovú metódu iba v rovine.

Súradnicová metóda pre trojrozmerný priestor prvýkrát použil Leonhard Euler v 18. storočí.

pozri tiež

Odkazy

Nadácia Wikimedia. 2010.

• Kartézsky súradnicový systém
• karteziánsky stupeň

Pozrite sa, čo sú „karteziánske súradnice“ v iných slovníkoch:

KARTEZÍNOVÉ SÚRADNICE- (karteziánsky súradnicový systém) súradnicový systém v rovine alebo v priestore, zvyčajne so vzájomne kolmými osami a rovnakými mierkami pozdĺž osí; Pomenovaný po R. Descartesovi... Veľký encyklopedický slovník

Kartézske súradnice- Súradnicový systém pozostávajúci z dvoch kolmých osí. Poloha bodu v takomto systéme je vytvorená pomocou dvoch čísel, ktoré určujú vzdialenosť od stredu súradníc pozdĺž každej z osí. Informačné témy...... Technická príručka prekladateľa

Kartézske súradnice- (karteziánsky súradnicový systém), súradnicový systém v rovine alebo v priestore, zvyčajne so vzájomne kolmými osami a rovnakými mierkami pozdĺž osí; Pomenovaný po R. Descartesovi... encyklopedický slovník

Kartézske súradnice- Dekarto koordinatės statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tiesinė plokštumos arba erdvės koordinačių sistema. Joje ašių masteliai paprastai būna lygūs. atitikmenys: angl. Kartézske súradnice vok. kartesische Koordinaten, f… Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

Kartézske súradnice- Dekarto koordinatės statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. karteziánske súradnice; súradnice mriežky vok. kartesische Koordinaten, fr rus. Kartézske súradnice, f pranc. coordonnées cartésiennes, f … Fizikos terminų žodynas

KARTEZÍNOVÉ SÚRADNICE- spôsob určenia polohy bodov v rovine podľa ich vzdialeností k dvom pevným kolmým priamym osám. Tento koncept je už viditeľný u Archimeda a Appologisa z Pergy pred viac ako dvetisíc rokmi a dokonca aj u starých Egypťanov. Prvýkrát toto...... Matematická encyklopédia

KARTEZÍNOVÉ SÚRADNICE- karteziánsky súradnicový systém [pomenovaný podľa franc. filozof a matematik R. Descartes (R. Descartes; 1596 1650)], súradnicový systém v rovine alebo v priestore, zvyčajne so vzájomne kolmými osami a rovnakými mierkami pozdĺž osí pravouhlých D ... Veľký encyklopedický polytechnický slovník

KARTEZÍNOVÉ SÚRADNICE- (karteziánsky súradnicový systém), súradnicový systém v rovine alebo v priestore, zvyčajne so vzájomne kolmými osami a rovnakými mierkami pozdĺž pravouhlých osí Pomenovaný podľa R. Descartesa... Prírodná veda. encyklopedický slovník

KARTEZÍNOVÉ SÚRADNICE- Systém na umiestnenie akéhokoľvek bodu nájdeného na kostiach vzhľadom na dve osi pretínajúce sa v pravých uhloch. Tento systém, ktorý vyvinul René Descartes, sa stal základom pre štandardné metódy grafické znázornenieúdajov. Horizontálna čiara… … Slovník v psychológii

Súradnice- Súradnice. V rovine (vľavo) a vo vesmíre (vpravo). SÚRADNICE (z lat. co spolu a ordinatus usporiadané), čísla určujúce polohu bodu na priamke, rovine, ploche, v priestore. Súradnice sú vzdialenosti... Ilustrovaný encyklopedický slovník