Časť obsahuje referenčný materiál o hlavných elementárnych funkciách a ich vlastnostiach. Klasifikácia je uvedená elementárne funkcie. Nižšie sú uvedené odkazy na podsekcie, ktoré pojednávajú o vlastnostiach konkrétnych funkcií – grafy, vzorce, derivácie, primitívne derivácie (integrály), rozšírenia radov, výrazy prostredníctvom komplexných premenných.
Referenčné stránky pre základné funkcie
Klasifikácia elementárnych funkcií
Algebraická funkcia je funkcia, ktorá spĺňa rovnicu:
,
kde je polynóm v závisle premennej y a nezávislej premennej x. Dá sa napísať ako:
,
kde sú polynómy.
Algebraické funkcie sa delia na polynómy (celé racionálne funkcie), racionálne funkcie a iracionálne funkcie.
Celá racionálna funkcia, ktorý sa tiež nazýva polynóm alebo polynóm, sa získa z premennej x a konečné čísločísla pomocou aritmetické operácie sčítanie (odčítanie) a násobenie. Po otvorení zátvoriek sa polynóm zredukuje na kanonickú formu:
.
Zlomková racionálna funkcia
, alebo jednoducho racionálna funkcia, sa získa z premennej x a konečného počtu čísel pomocou aritmetických operácií sčítania (odčítania), násobenia a delenia. Racionálna funkcia sa dá zredukovať na formu
,
kde a sú polynómy.
Iracionálna funkcia je algebraická funkcia, ktorá nie je racionálna. Spravidla podľa ir racionálna funkcia pochopiť korene a ich zloženie s racionálnymi funkciami. Koreň stupňa n je definovaný ako riešenie rovnice
.
Označuje sa takto:
.
Transcendentálne funkcie sa nazývajú nealgebraické funkcie. Sú to exponenciálne, trigonometrické, hyperbolické a ich inverzné funkcie.
Prehľad základných elementárnych funkcií
Všetky elementárne funkcie môžu byť reprezentované ako konečný počet operácií sčítania, odčítania, násobenia a delenia vykonaných na vyjadrení tvaru:
z t.
Inverzné funkcie možno vyjadriť aj pomocou logaritmov. Nižšie sú uvedené základné elementárne funkcie.
Funkcia napájania:
y(x) = x p ,
kde p je exponent. Závisí to od základne stupňa x.
Späť k výkonová funkcia je tiež výkonová funkcia:
.
Pri celočíselnej nezápornej hodnote exponentu p ide o polynóm. Pre celočíselnú hodnotu p - racionálna funkcia. o racionálny význam - iracionálna funkcia.
Transcendentálne funkcie
Exponenciálna funkcia:
y(x) = a x ,
kde a je základ stupňa. Závisí to od exponentu x.
Inverzná funkcia je logaritmus so základom a:
x = prihlásiť sa y.
Exponent, e k mocnine x:
y(x) = e x ,
Toto je exponenciálna funkcia, ktorej derivácia sa rovná samotnej funkcii:
.
Základom exponentu je číslo e:
≈ 2,718281828459045...
.
Inverzná funkcia je prirodzený logaritmus - logaritmus k základu čísla e:
x = ln y ≡ log e y.
Goniometrické funkcie:
Sínus: ;
Kosínus: ;
Tangenta: ;
Kotangens: ;
Tu som - pomyselná jednotka i2 = -1.
Inverzné goniometrické funkcie:
Arkásina: x = arcsin y,
;
Oblúkový kosínus: x = arccos y,
;
Arkustangens: x = arctan y,
;
Arkustangens: x = arcctg y,
.
1) Funkčná oblasť a funkčný rozsah.
Doména funkcie je množina všetkých platných skutočné hodnoty argument X(premenná X), pre ktoré je funkcia y = f(x) určený. Rozsah funkcie je množina všetkých reálnych hodnôt r, ktorú funkcia akceptuje.
IN elementárna matematika funkcie sa študujú iba na množine reálnych čísel.
2) Funkčné nuly.
Funkcia nula je hodnota argumentu, pri ktorej sa hodnota funkcie rovná nule.
3) Intervaly konštantného znamienka funkcie.
Intervaly konštantného znamienka funkcie sú množiny hodnôt argumentov, v ktorých sú hodnoty funkcie iba kladné alebo iba záporné.
4) Monotónnosť funkcie.
Rastúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia pre kt vyššiu hodnotu argument z tohto intervalu zodpovedá väčšej hodnote funkcie.
Klesajúca funkcia (v určitom intervale) je funkcia, ktorej zodpovedá väčšia hodnota argumentu z tohto intervalu nižšia hodnota funkcie.
5) Párna (nepárna) funkcia.
Párna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície rovnosti f(-x) = f(x). Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordináty.
Nepárna funkcia je funkcia, ktorej definičný obor je symetrický vzhľadom na pôvod a pre ľubovoľný X z oblasti definície platí rovnosť f(-x) = - f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu.
6) Obmedzené a neobmedzené funkcie.
Funkcia sa nazýva ohraničená, ak existuje taká kladné číslo M také, že |f(x)| ≤ M pre všetky hodnoty x. Ak takéto číslo neexistuje, funkcia je neobmedzená.
7) Periodicita funkcie.
Funkcia f(x) je periodická, ak existuje nenulové číslo T také, že pre ľubovoľné x z definičného oboru funkcie platí: f(x+T) = f(x). Toto najmenšie číslo sa nazýva perióda funkcie. Všetky goniometrické funkcie sú periodické. (trigonometrické vzorce).
19. Základné elementárne funkcie, ich vlastnosti a grafy. Aplikácia funkcií v ekonomike.
Základné elementárne funkcie. Ich vlastnosti a grafy
1. Lineárna funkcia.
Lineárna funkcia sa nazýva funkcia tvaru , kde x je premenná, a a b sú reálne čísla.
číslo A volal sklon rovno, on rovná sa dotyčnici uhol sklonu tejto priamky ku kladnému smeru osi x. Rozvrh lineárna funkcia je priamka. Je definovaný dvoma bodmi.
Vlastnosti lineárnej funkcie
1. Definičný obor - množina všetkých reálnych čísel: D(y)=R
2. Množina hodnôt je množina všetkých reálnych čísel: E(y)=R
3. Funkcia nadobúda nulovú hodnotu, keď alebo.
4. Funkcia rastie (klesá) v celom definičnom obore.
5. Lineárna funkcia je spojitá v celom definičnom obore, diferencovateľná a .
2. Kvadratická funkcia.
Volá sa funkcia tvaru, kde x je premenná, koeficienty a, b, c sú reálne čísla kvadratický.
Dĺžka segmentu súradnicová os sa nachádza podľa vzorca:
Dĺžka segmentu súradnicová rovina hľadá sa podľa vzorca:
Ak chcete zistiť dĺžku segmentu v trojrozmernom súradnicovom systéme, použite nasledujúci vzorec:
Súradnice stredu segmentu (pre súradnicovú os sa používa iba prvý vzorec, pre rovinu súradníc - prvé dva vzorce, pre trojrozmerný systém súradnice - všetky tri vzorce) sa vypočítajú pomocou vzorcov:
Funkcia– toto je zhoda s formulárom r= f(X) medzi premennými veličinami, vďaka ktorým každá uvažovala o hodnote niekt variabilná veľkosť X(argument alebo nezávislá premenná) zodpovedá určitej hodnote inej premennej, r(závislá premenná, niekedy sa táto hodnota nazýva jednoducho hodnota funkcie). Všimnite si, že funkcia predpokladá hodnotu jedného argumentu X môže zodpovedať iba jedna hodnota závislej premennej pri. Avšak rovnakú hodnotu pri možno získať s rôznymi X.
Funkčná doména- to sú všetky hodnoty nezávislej premennej (argument funkcie, zvyčajne toto X), pre ktorý je funkcia definovaná, t.j. jeho význam existuje. Oblasť definície je označená D(r). Autor: celkovo Tento pojem už poznáte. Doména funkcie sa tiež nazýva doména prijateľné hodnoty, alebo ODZ, ktoré už dávno nájdete.
Rozsah funkcií- to je všetko možné hodnoty závislá premenná tejto funkcie. Určené E(pri).
Funkcia sa zvyšuje na intervale, v ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá väčšej hodnote funkcie. Funkcia sa znižuje na intervale, v ktorom väčšia hodnota argumentu zodpovedá menšej hodnote funkcie.
Intervaly konštantného znamienka funkcie- sú to intervaly nezávislej premennej, nad ktorými si závislá premenná zachováva svoje kladné alebo záporné znamienko.
Funkčné nuly- to sú hodnoty argumentu, pri ktorých sa hodnota funkcie rovná nule. V týchto bodoch funkčný graf pretína os x (osa OX). Potreba nájsť nuly funkcie veľmi často znamená potrebu jednoducho vyriešiť rovnicu. Tiež často potreba nájsť intervaly stálosti znamienka znamená potrebu jednoducho vyriešiť nerovnosť.
Funkcia r = f(X) sa volajú dokonca X
To znamená, že pre akékoľvek opačné významy argument, hodnoty párnej funkcie sú rovnaké. Rozvrh dokonca funkciu vždy symetrické vzhľadom na súradnicovú os operačného zosilňovača.
Funkcia r = f(X) sa volajú zvláštny, ak je definovaný na symetrickej množine a pre ľubovoľnú X z oblasti definície platí rovnosť:
To znamená, že pre akékoľvek opačné hodnoty argumentu sú hodnoty nepárnej funkcie tiež opačné. Graf nepárnej funkcie je vždy symetrický podľa počiatku.
Súčet koreňov párnych a nepárne funkcie(priesečníky osi x OX) sa vždy rovná nule, pretože pre každý kladný koreň X musím negatívny koreň –X.
Je dôležité poznamenať: niektoré funkcie nemusia byť párne alebo nepárne. Existuje veľa funkcií, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takéto funkcie sú tzv funkcie všeobecný pohľad a pre nich nie je splnená žiadna z vyššie uvedených rovností alebo vlastností.
Lineárna funkcia je funkcia, ktorá môže byť daná vzorcom:
Grafom lineárnej funkcie je priamka a všeobecný prípad vyzerá takto (uvedený je príklad pre prípad, keď k> 0, v tomto prípade je funkcia rastúca; pre túto príležitosť k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graf kvadratickej funkcie (Parabola)
Graf paraboly je daný kvadratickou funkciou:
Kvadratická funkcia, ako každá iná funkcia, pretína os OX v bodoch, ktoré sú jej koreňmi: ( X 1; 0) a ( X 2; 0). Ak neexistujú žiadne korene, potom kvadratická funkcia nepretína os OX, ak existuje iba jeden koreň, potom v tomto bode (; X 0; 0) kvadratická funkcia sa iba dotýka osi OX, ale nepretína ju. Kvadratická funkcia vždy pretína os OY v bode so súradnicami: (0; c). Rozvrh kvadratickej funkcie(parabola) môže vyzerať takto (obrázok ukazuje príklady, ktoré nevyčerpávajú všetky možné typy parabol):
kde:
- ak koeficient a> 0, vo funkcii r = sekera 2 + bx + c, potom sú vetvy paraboly nasmerované nahor;
- ak a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Súradnice vrcholu paraboly sa dajú vypočítať z nasledujúce vzorce. X topy (p- na obrázkoch vyššie) paraboly (alebo bod, v ktorom kvadratická trojčlenka dosiahne svoju najväčšiu alebo najmenšiu hodnotu):
Igrek topy (q- na obrázkoch vyššie) paraboly alebo maximum, ak vetvy paraboly smerujú dole ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), hodnota kvadratická trojčlenka:
Grafy iných funkcií
Funkcia napájania
Tu je niekoľko príkladov grafov mocninových funkcií:
Nepriamo úmerné zavolajte funkciu daný vzorcom:
V závislosti od znamienka čísla k naplánovať späť proporcionálna závislosť môže mať dve základné možnosti:
Asymptota je priamka, ku ktorej sa graf funkcie nekonečne približuje, ale nepretína sa. Asymptoty pre grafy inverzná úmernosť na obrázku vyššie sú súradnicové osi, ku ktorým sa graf funkcie nekonečne približuje, ale nepretína ich.
Exponenciálna funkcia so základňou A je funkcia daná vzorcom:
a harmonogram exponenciálna funkcia môže mať dve základné možnosti (uvádzame aj príklady, pozri nižšie):
Logaritmická funkcia je funkcia daná vzorcom:
Podľa toho, či je číslo väčšie alebo menšie ako jedna a harmonogram logaritmická funkcia môže mať dve základné možnosti:
Graf funkcie r = |X| nasledovne:
Grafy periodických (trigonometrických) funkcií
Funkcia pri = f(X) sa nazýva periodické, ak niečo také existuje, nie rovná nule, číslo T, Čo f(X + T) = f(X), pre hocikoho X z domény funkcie f(X). Ak funkcia f(X) je periodické s bodkou T, potom funkcia:
Kde: A, k, b – konštantné čísla a k nerovná sa nule, tiež periodické s bodkou T 1, ktorý je určený vzorcom:
Väčšina príkladov periodické funkcie Toto sú goniometrické funkcie. Tu sú grafy hlavných goniometrické funkcie. Nasledujúci obrázok znázorňuje časť grafu funkcie r= hriech X(celý graf pokračuje nekonečne doľava a doprava), graf funkcie r= hriech X volal sínusoida:
Graf funkcie r=cos X volal kosínus. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Keďže sínusový graf pokračuje donekonečna pozdĺž osi OX doľava a doprava:
Graf funkcie r= tg X volal tangentoida. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických funkcií, tento rozvrh sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.
A nakoniec graf funkcie r=ctg X volal kotangentoid. Tento graf je znázornený na nasledujúcom obrázku. Rovnako ako grafy iných periodických a goniometrických funkcií, aj tento graf sa donekonečna opakuje pozdĺž osi OX doľava a doprava.
Úspešná, usilovná a zodpovedná implementácia týchto troch bodov vám umožní ukázať sa na CT výborný výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.
Našli ste chybu?
Ak si myslíte, že ste našli chybu v vzdelávacie materiály, potom o tom prosím napíšte e-mailom. Môžete tiež nahlásiť chybu na sociálna sieť(). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Tiež popíšte, o akú chybu ide. Váš list nezostane nepovšimnutý, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.
