Test č.1 z algebry v 9. ročníku

na tému „Funkcie a ich vlastnosti, kvadratický trinom“

možnosť 1

1. Daná funkcia f(X) = 17X- 51. Pri akých hodnotách argumentuf (X) =0, f (X) f (X) >

X 2 -14X+45; b) 3 pri 2 +7y- 6.

3. Znížte zlomok
.

4

Ryža.

Funkčná doména g (obr. 1) segment [-2; 6]. Nájdite nuly funkcie, intervaly zvyšovania a znižovania a rozsah hodnôt funkcie.

5. Suma kladné čísla A A b sa rovná 50. Pri akých hodnotách A Ab

Možnosť 2

1. Daná funkcia g (X) = -13X+ 65. Pri akých hodnotách argumentu g(X) = 0, g (X) g (X) > 0? Zvyšuje sa alebo klesá táto funkcia?

2. Faktor kvadratického trinomu: a) X 2 -10X+21; b) 5 pri 2 + 9y- 2.

3. Znížte zlomok
.

4. Funkčná doménaf (obr. 2) segment [-5; 4]. Nájdite nuly funkcie, intervaly zvyšovania a znižovania a zadajte hodnoty funkcie.

5

Ryža.

Súčet kladných čísel s A d sa rovná 70. Pri akých hodnotách s A d bude ich produkt najväčší?

Na základe učebnice „Algebra 9. ročník“ Autori: upravil Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorov. Vydavateľ: M., “Prosveshchenie”, 2008

Test č.2 z algebry v 9. ročníku

na túto tému" kvadratickej funkcie a jej rozvrh"

možnosť 1

1. Graf funkcie y = x 2 - 6X+ 5. Použite graf na nájdenie:

a) význam pri pri X= 0,5; b) hodnoty X, na ktorom pri = -1;

V) funkčné nuly; intervaloch, v ktorých pri> 0 a v ktorom pri

d) interval, v ktorom sa funkcia zvyšuje.

2. Nájdite najmenšiu hodnotu funkcie y = x 2 - 8X + 7.

y = x 2 - 6X- 13, kdeX [-2; 7].

y = x 2 a rovno pri= 5X-16. Ak existujú priesečníky, nájdite ich súradnice.

.

Možnosť 2

1. Graf funkcie pri= X 2 - 8X+ 13. Pomocou grafu nájdite:

a) význam pri pri X= 1,5; b) hodnoty X, na ktorom pri= 2;

c) nuly funkcie; intervaloch, v ktorých pri> 0 a v ktoromr

d) interval, v ktorom funkcia klesá.

2. Nájdite najvyššia hodnota funkcie y =-X 2 + 6X – 4.

3. Nájdite rozsah funkcie pri= X 2 - 4X - 7, kde x [-1; 5].

4. Bez vykonania akejkoľvek konštrukcie určite, či sa paraboly pretínajú y = x 2 a rovno pri=20-3X. Ak existujú priesečníky, nájdite ich súradnice.

5. Nájdite význam výrazu
.

Na základe učebnice „Algebra 9. ročník“ Autori: upravil Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorov. Vydavateľ: M., “Prosveshchenie”, 2008

Test č.3 z algebry v 9. ročníku

na tému „Rovnice a nerovnice s jednou premennou“

možnosť 1

1. Vyriešte rovnicu: a) X 3 - 81x = 0; b)
.

2. Vyriešte nerovnosť: a) 2 X 2 - 13X+ 6 x 2 > 9.

A) ( X + 8) (X - 4) (X-7) > 0; b)

X 4 - 19X 2 + 48 = 0.

5. Pri akých hodnotách T rovnica 3 X 2 + TX+ 3 = 0 má dva korene?

.

7. Nájdite súradnice priesečníkov grafov funkcií y =
A r = X 2 - 3X+1.

Možnosť 2

1. Vyriešte rovnicu: a)X 3 - 25X= 0; b)
.

2. Vyriešte nerovnosť: a) 2 X 2 - X-15 > 0; b) X 2

3. Riešte nerovnosť pomocou intervalovej metódy:

A) ( X + 11) (X + 2) (X - 9) > 0.

4. Rozhodnite sa bikvadratická rovnica X 4 - 4X 2 - 45 = 0.

5. Pri akých hodnotách P rovnica 2 X 2 + ph+ 8 = 0 nemá korene?

6. Nájdite doménu funkcie

7. Nájdite súradnice priesečníkov grafov funkcií y =
a y =
.

Na základe učebnice „Algebra 9. ročník“ Autori: upravil Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorov. Vydavateľ: M., “Prosveshchenie”, 2008

Test č.4 z algebry v 9. ročníku

na tému „Rovnice a nerovnice s dvoma premennými“

možnosť 1

1. Vyriešte sústavu rovníc:

2 X + r = 7,

X 2 - y = 1.

5. Vyriešte sústavu rovníc:

2 r - X = 7,

X 2 – xy - pri 2 = 20.

Možnosť 2

1. Riešte sústavu rovníc

X - 3r = 2,

xy + r = 6.

5. Vyriešte sústavu rovníc:

r - 3X= l,

X 2 - 2xy + y 2 = 9.

Na základe učebnice „Algebra 9. ročník“ Autori: upravil Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorov. Vydavateľ: M., “Prosveshchenie”, 2008

Test č.5 z algebry v 9. ročníku

na tému "Aritmetický postup"

možnosť 1

1. Nájdite dvadsiaty tretí termín aritmetická progresia (A n), Ak A 1 = -15 a d = 3.

2. Nájdite súčet prvých šestnástich členov aritmetickej postupnosti: 8; 4; 0; ....

3. Nájdite súčet prvých šesťdesiatich členov postupnosti (b n), daný vzorec b n = 3P - 1.

4. Je číslo 54,5 členom aritmetickej postupnosti ( A n), kde A 1 = 25,5 a A 9 = 5,5?

5. Nájdite súčet všetkých prirodzené čísla deliteľné tromi a nepresahujúce 100.

Možnosť 2

1. Nájdite osemnásty člen aritmetickej postupnosti ( A n),, Ak A 1 = 70 a d = -3.

2. Nájdite súčet prvých dvadsiatich členov aritmetickej postupnosti: -21; -18; -15; ....

3. Nájdite súčet prvých štyridsiatich členov postupnosti (b n), daný vzorec b n = 4P - 2.

4. Je číslo 30,4 členom aritmetickej postupnosti ( A n), kde A 1 = 11,6 a A 15 = 17,2?

5. Nájdite súčet všetkých prirodzených čísel deliteľných 7 a nepresahujúcimi 150.

Na základe učebnice „Algebra 9. ročník“ Autori: upravil Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorov. Vydavateľ: M., “Prosveshchenie”, 2008

Test č.6 z algebry v 9. ročníku

na tému "Geometrická progresia"

možnosť 1

1. Nájdite siedmy termín geometrická progresia (b n), Ak b 1 = -32 a q =
.

b n), sa rovná 2 a menovateľ sa rovná 3. Nájdite súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti.

3. Nájdite súčet nekonečnej geometrickej postupnosti: 24; -12; 6; ....

4. Nájdite súčet prvých deviatich členov geometrickej postupnosti (b n), b 2 = 0,04 a b 4 = 0,16.

5. Prezentujte to ako spoločný zlomok nekonečné desiatkový a) 0,(27); b) 0,5 (6).

Možnosť 2

1. Nájdite šiesty člen geometrickej postupnosti (b n), Ak b 1 = 0,81 A q = -
.

2. Prvý člen geometrickej postupnosti (b n), je 6 a menovateľ je 2. Nájdite súčet prvých siedmich členov tejto postupnosti.

3. Nájdite súčet nekonečnej geometrickej postupnosti: -40; 20; -10; ... .

4. Nájdite súčet prvých ôsmich členov geometrickej postupnosti (b n), s pozitívnymi výrazmi, vediac to b 2 = 1,2 a b 4 = 4,8.

5. Predstavte si nekonečný desatinný zlomok ako obyčajný zlomok: a) 0, (153); b) 0,3(2).

Na základe učebnice „Algebra 9. ročník“ Autori: upravil Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorov. Vydavateľ: M., “Prosveshchenie”, 2008

Test č.7 z algebry v 9. ročníku

na tému „Prvky kombinatoriky a teórie pravdepodobnosti“

možnosť 1

1. Koľkými spôsobmi sa do autobusu zmestí 5 ľudí na päť voľných miest?

2. Koľko trojciferné čísla, v ktorom nie sú žiadne zhodné čísla, možno vyrobiť z čísel 1, 2, 5, 7, 9?

3. Výherca súťaže milovníkov kníh si môže vybrať dve knihy z 10 rôznych kníh. Koľkými spôsobmi môže urobiť túto voľbu?

4. Budova má 90 bytov, ktoré sú rozdelené žrebom. Aká je pravdepodobnosť, že nájomca nedostane byt na prvom poschodí, ak je takýchto bytov 6?

5. Z 8 chlapcov a 5 dievčat by mali byť pridelení na prácu školská stránka 3 chlapci a 2 dievčatá. Koľkými spôsobmi sa to dá urobiť?

6. Čísla 1, 3, 5, 7 sú napísané na štyroch kartách Karty sa otočili a zamiešali. Potom tieto karty náhodne umiestnili do radu za sebou a otvorili ich. Aká je pravdepodobnosť, že výsledok bude 3157?

Možnosť 2

1. Koľko šesťciferných čísel možno zostaviť z číslic 1, 2, 3, 5, 7, 9 bez opakovania číslic?

2. Z 8 žiakov triedy, ktorí úspešne vystúpili školská olympiáda, na účasť v mestskej olympiáde je potrebné vybrať dvoch. Koľkými spôsobmi je možné túto voľbu uskutočniť?

3. Z 15 turistov si musíte vybrať službukonajúceho dôstojníka a jeho asistenta. Akými spôsobmi sa to dá urobiť?

4. Z 30 kníh na poličke je 5 učebníc a zvyšok umelecké práce. Náhodne zoberú jednu knihu z police. Aká je pravdepodobnosť, že to nebude učebnica?

5. Z 9 kníh a 6 časopisov si treba vybrať 2 knihy a 3 časopisy. Koľkými spôsobmi je možné túto voľbu uskutočniť?

6. Na piatich kartičkách sú napísané písmená a, b, i, l, s. Karty sa otočili a zamiešali. Potom boli tieto karty náhodne umiestnené v rade a otvorené. Aká je pravdepodobnosť, že výsledkom bude slovo „slivka“?

Na základe učebnice „Algebra 9. ročník“ Autori: upravil Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkova, S.B. Suvorov. Vydavateľ: M., “Prosveshchenie”, 2008

Finálny test algebra v 9. ročníku

možnosť 1

1. Zjednodušte výraz:
.

2. Vyriešte sústavu rovníc:

X - pri = 6,

xy = 16.

4. Predstavte si výraz
ako mocnosť so základom a.

5. Graf funkcie pri= X 2 - 4. Uveďte pri akých hodnotách X funkcia nadobúda kladné hodnoty.

6. B poľnohospodárstvo Pre pohánku boli pridelené dva pozemky. Z prvej parcely sa nazbieralo 105 centov pohánky a z druhej, ktorej výmera bola o 3 hektáre väčšia, 152 centov. Nájdite plochu každého pozemku, ak je známe, že výnos pohánky na prvom pozemku bol o 2 centy na 1 hektár vyšší ako na druhom.

5. Graf funkcie pri =-X 2 + 1. Uveďte v akých hodnotách X funkcia nadobúda záporné hodnoty.

6. Z bodu A ukázať IN, medzi ktorými je vzdialenosť 45 km, vyšiel cyklista. O 30 minút neskôr ho nasledoval druhý cyklista a dorazil na miestoB po dobu 15 minút skôr ako prvý. Aká je rýchlosť prvého cyklistu, ak je o 3 km/h menšia ako rýchlosť druhého?

V ktorých boli uvažované funkcie, ktoré obsahujú kvadratický trinom. Úlohy nájsť maximum (minimum) bodov alebo vypočítať najväčšiu (najmenšiu) hodnotu funkcie.

Nedávno som bol požiadaný, aby som povedal a ukázal, ako je možné takéto úlohy vyriešiť pomocou štandardného algoritmu, teda pomocou derivácie. Hneď poviem, že tento prístup k riešeniu je iracionálny, zaberá viac času a je „nepohodlný“. Prinášam ti to (aby si vedel).

Odporúčam pozrieť si článok „“, tiež si pamätajte, že funkcie musíte poznať naspamäť, v téme derivátov je to bez toho absolútne nemožné. Je tiež potrebné pochopiť, čo komplexná funkcia, vo vyššie uvedenom článku je video.

Zoberme si úlohy:

Nájdite maximálny bod funkcie

Najprv určme, pre ktoré x má funkcia zmysel (nájdime definičný obor funkcie). Keďže radikálny výraz je nezáporné číslo, riešime nerovnosť:

13 + 6x – x 2 ≥ 0

*Ako sa to rieši kvadratická nerovnosť môžete vidieť podrobne.

Tieto korene rozdeľujú os x na tri intervaly.

Pozrime sa, pre aké hodnoty x bude nerovnosť pravdivá. Do nerovnice dosadíme ľubovoľnú hodnotu x z každého intervalu:

To znamená, že riešením nerovnosti budú všetky hodnoty x patriace do intervalu (vrátane hraníc):

* Získané približné výrazy sú:

Doména definície tejto funkcie bola nájdená.

Vypočítajme deriváciu funkcie. Ide o komplexnú funkciu:

Nájdite nuly derivácie:

Zlomok sa rovná nule, keď je jeho čitateľom rovná nule, Znamená:

6 – 2x = 0

x = 3

Výsledná hodnota x vstupuje do definičnej domény a rozdeľuje ju na dva segmenty. Na každom z nich určme znamienka derivácie (do derivačného výrazu selektívne dosaďte ľubovoľné hodnoty), napríklad 2 a 4:

Zistili sme, že v bode x = 3 derivácia funkcie mení svoje znamienko z kladného na záporné, čo znamená, že daný bod existuje maximálny bod.

odpoveď: 3

Komentár: predložené riešenie je úplné, matematicky správne riešenie, teda také, aké má byť. o čom to hovorím? Ide o to, že zostaviť „ úplný obrázok“, v prvom rade je potrebné nájsť doménu definície. Samozrejme, môžete sa hádať. Ide o to, že môžete okamžite nájsť deriváciu, potom jej „nuly“ a potom určiť, či má funkcia hodnotu pre x. Potom určte znaky na „susedných“ bodoch a bude jasné, či je tento bod maximálny (alebo minimálny) bod. Áno, môžete to urobiť.

Každý, kto analyzoval všetky typy takýchto príkladov z jednej banky úloh jednotnej štátnej skúšky z matematiky, môže správne povedať, že stačí všeobecne nájsť nuly derivácie, výsledná (celočíselná) hodnota x bude želaná. Súhlasím! Je však potrebné pochopiť podstatu celého rozhodovacieho procesu od začiatku do konca.

Ak je v takejto úlohe na Jednotnej štátnej skúške otázka o výpočte najväčšej (najmenšej) hodnoty, bude to v bode x, získanom riešením f′(x) = 0, teda na „nule funkcie“.

Nájdite maximálny bod funkcie y =log 7 (–2 – 12x – x 2) + 10.

Vypočítajme deriváciu funkcie, použijeme vzorec na deriváciu logaritmu a deriváciu komplexnej funkcie:

Nájdite nuly derivácie:

Zlomok sa rovná nule práve vtedy, ak sa jeho čitateľ rovná nule:

– 2x –12 = 0

x = – 6

Táto hodnota zmení výraz podlogu na pozitívny:

–2 – 12∙(–6) – (–6) 2 = 34

to znamená, že patrí do oblasti definície funkcie.

Určme napríklad znamienka derivácie v „susedných“ bodoch zoberme si body–7 a –5:

Zistili sme, že v bode x = – 6 derivácia funkcie mení svoje znamienko z kladného na záporné, čo znamená, že tento bod je maximálnym bodom funkcie.

Odpoveď: -6

1. Všeobecné ustanovenia

1.1. S cieľom udržať obchodnej povesti a zabezpečenie súladu s normami federálnej legislatívy, FGAU State Research Institute of Technology "Informika" (ďalej len Spoločnosť) verí najdôležitejšia úloha zabezpečenie oprávnenosti spracúvania a bezpečnosti osobných údajov subjektov v obchodných procesoch Spoločnosti.

1.2. Na vyriešenie tohto problému Spoločnosť zaviedla, prevádzkuje a podstupuje pravidelnú kontrolu (monitorovanie) systému ochrany osobných údajov.

1.3. Spracúvanie osobných údajov v Spoločnosti je založené na dodržiavanie zásad:

Zákonnosť účelov a spôsobov spracovania osobných údajov a integrita;

Súlad účelov spracúvania osobných údajov s cieľmi vopred stanovenými a uvedenými pri získavaní osobných údajov, ako aj s právomocami Spoločnosti;

Súlad objemu a charakteru spracúvaných osobných údajov, spôsobov spracúvania osobných údajov s účelmi spracúvania osobných údajov;

Spoľahlivosť osobných údajov, ich relevantnosť a dostatočnosť na účely spracúvania, neprípustnosť spracúvania osobných údajov, ktorá je nadmerná vo vzťahu k účelom zhromažďovania osobných údajov;

Oprávnenosť organizačných a technických opatrení na zaistenie bezpečnosti osobných údajov;

Neustále zvyšovanie úrovne vedomostí zamestnancov Spoločnosti v oblasti zaistenia bezpečnosti osobných údajov pri ich spracúvaní;

Snaha o neustále zlepšovanie systému ochrany osobných údajov.

2. Účely spracúvania osobných údajov

2.1. Spoločnosť v súlade so zásadami spracovania osobných údajov určila zloženie a účely spracovania.

Účely spracúvania osobných údajov:

Záver, podpora, zmena, ukončenie pracovné zmluvy, ktoré sú podkladom pre vznik alebo zánik Pracovné vzťahy medzi Spoločnosťou a jej zamestnancami;

Poskytovanie portálu a služieb osobný účet pre žiakov, rodičov a učiteľov;

Ukladanie výsledkov vzdelávania;

Plnenie povinností stanovených federálnou legislatívou a inými regulačnými právnymi aktmi;

3. Pravidlá spracúvania osobných údajov

3.1. Spoločnosť spracúva iba tie osobné údaje, ktoré sú uvedené v schválenom Zozname osobných údajov spracúvaných vo Federálnom štátnom autonómnom ústave Štátny technologický výskumný ústav „Informika“

3.2. Spoločnosť nepovoľuje spracúvanie nasledujúcich kategórií osobných údajov:

rasa;

Politické názory;

filozofické presvedčenia;

O zdravotnom stave;

Štát intímny život;

národnosť;

Náboženská viera.

3.3. Spoločnosť nespracúva biometrické osobné údaje (informácie, ktoré charakterizujú fyziologické a biologické vlastnosti osoba, na základe čoho možno zistiť jej totožnosť).

3.4. Spoločnosť nevykonáva cezhraničný prenos osobných údajov (prenos osobných údajov na územie cudzieho štátu orgánu cudzieho štátu, zahraničnej fyzickej osobe alebo zahraničnej právnickej osobe).

3.5. Spoločnosť zakazuje prijímať rozhodnutia týkajúce sa dotknutých osôb výlučne na základe automatizované spracovanie ich osobné údaje.

3.6. Spoločnosť nespracúva údaje z registra trestov subjektov.

3.7. Spoločnosť nezverejňuje osobné údaje subjektu bez jeho predchádzajúceho súhlasu vo verejne dostupných zdrojoch.

4. Zavedené požiadavky na zaistenie bezpečnosti osobných údajov

4.1. Za účelom zaistenia bezpečnosti osobných údajov pri ich spracúvaní Spoločnosť implementuje nasledovné požiadavky: regulačné dokumenty Ruská federácia v oblasti spracovania a zaistenia bezpečnosti osobných údajov:

federálny zákon zo dňa 27. júla 2006 č. 152-FZ „O osobných údajoch“;

Vládne nariadenie Ruská federácia zo dňa 1.11.2012 N 1119 „O schválení požiadaviek na ochranu osobných údajov pri ich spracúvaní v r. informačné systémy osobné údaje";

Nariadenie vlády Ruskej federácie z 15. septembra 2008 č. 687 „O schválení Nariadení o špecifikách spracovania osobných údajov vykonávaného bez použitia nástrojov automatizácie“;

Príkaz FSTEC Ruska zo dňa 18.2.2013 N 21 „O schválení zloženia a obsahu organizačných a technických opatrení na zaistenie bezpečnosti osobných údajov pri ich spracúvaní v informačných systémoch osobných údajov“;

Základný model ohrozenia bezpečnosti osobných údajov pri ich spracúvaní v informačných systémoch osobných údajov (schválené zástupcom riaditeľa FSTEC Ruska 15. februára 2008);

Metodika zisťovania aktuálnych ohrození bezpečnosti osobných údajov pri ich spracúvaní v informačných systémoch osobných údajov (schválená zástupcom riaditeľa FSTEC Ruska 14. februára 2008).

4.2. Spoločnosť posudzuje ujmu, ktorá môže byť spôsobená dotknutým osobám a identifikuje ohrozenia bezpečnosti osobných údajov. V súlade s identifikovanými aktuálnymi hrozbami Spoločnosť uplatňuje nevyhnutné a dostatočné organizačné a technické opatrenia, vrátane využívania nástrojov informačnej bezpečnosti, odhaľovania neoprávneného prístupu, obnovy osobných údajov, stanovenia pravidiel prístupu k osobným údajom, ako aj monitorovania a hodnotenie účinnosti uplatňovaných opatrení.

4.3. Spoločnosť určila osoby zodpovedné za organizáciu spracovania a zaistenie bezpečnosti osobných údajov.

4.4. Vedenie Spoločnosti si uvedomuje potrebu a má záujem zabezpečiť primeranú úroveň bezpečnosti osobných údajov spracúvaných v rámci hlavnej činnosti Spoločnosti, a to tak z hľadiska požiadaviek regulačných dokumentov Ruskej federácie, ako aj opodstatnených z hľadiska posudzovania obchodných činností. riziká.

Štvorcová trojčlenka a jej aplikácia pri riešení úloh s parametrom.

Štvorcový trojčlen možno právom nazvať hlavnou funkciou študovanou v školskom kurze matematiky. Preto znalosť vlastností kvadratická trojčlenka a schopnosť ich aplikovať sú nevyhnutnou podmienkou úspechu absolvovanie jednotnej štátnej skúšky a papier na prijímacie skúšky.

Množstvo problémov z na prvý pohľad úplne odlišných oblastí matematiky (náuka extrémnych vlastností funkcií, goniometrické, logaritmické a exponenciálne rovnice, sústavy rovníc a nerovníc) často vedie k riešeniu kvadratických rovníc alebo štúdiu kvadratického trinomu.

Tento článok skúma teorémy o umiestnení koreňov štvorcového trojčlenu a ukazuje metódy riešenia problémov založených na vlastnostiach štvorcového trojčlenu a grafických obrazov.

Pojem kvadratického trinomu a jeho vlastnosti.

Štvorcový trojčlen nazývaný výraz v tvare ax 2 +bx+c, kde a0. Grafom zodpovedajúcej kvadratickej funkcie je parabola. Keď<0 ветви параболы направлены вниз; при a>0 vetví smeruje nahor.

Zavolá sa výraz x 2 +px+q redukovaný kvadratický trinom.

V závislosti od hodnoty diskriminantu D=b 2 - 4ac sú možné tieto prípady usporiadania grafu kvadratického trinomu:

pre D>0 existujú dva rôzne body priesečníka paraboly s osou Ox (dva rôzne korene trinómu);

pri D=0 sa tieto dva body spájajú do jedného, ​​to znamená, že parabola sa dotýka osi Ox (jeden koreň trojčlenky);

v D<0 точек пересечения с осью Ох нет (и корней трехчлена нет).

V druhom prípade pre a>0 leží parabola úplne nad osou Ox, pre a<0- целиком ниже оси Ох (см. приложение 1 , приложение 2 и приложение 3).

Znalosť vlastností kvadratického trinómu a schopnosť ich aplikácie sú nevyhnutnou podmienkou úspešného riešenia početných úloh elementárnej matematiky.

Pozrime sa na niektoré vlastnosti kvadratického trinomu.

Najdôležitejšou teorémou o koreňoch štvorcového trojčlenu je Vietova veta.

Vietov teorém. Medzi koreňmi štvorcovej trojčlennej osi 2 +bx+c a koeficientmi tohto

trojčlenné existujú vzťahy: x 1 + x 2 = -b/a,

Táto veta platí aj pre redukovaný kvadratický trinom x 2 +px+q: x 1 +x 2 = -p,

teorém, inverzná k Vietovej vete, platí len pre redukovaný kvadratický trojčlen.

Ak sú čísla x 1 a x 2 také, že x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 =q, potom x 1 a x 2 sú korene daného

štvorcový trojčlen.

Vietov teorém sa úspešne používa pri riešení rôznych problémov, najmä problémov so štúdiom znakov koreňov štvorcového trinomu. Je to výkonný nástroj na riešenie mnohých problémov s parametrami pre kvadratickú funkciu.

Vety o znamienkach koreňov štvorcového trojčlenu.

Veta 1. Aby korene kvadratického trinomu mali rovnaké znamienka, je potrebné a

stačí splniť nasledujúce vzťahy: D=b 2 -4ac0; x 1 x 2 = c/a > 0.

V tomto prípade budú oba korene kladné, ak je splnená dodatočná podmienka:

x 1 + x 2 = -b/a>0,

a oba korene budú záporné, ak x 1 + x 2 = -b/a<0.

Veta 2. Aby korene kvadratického trinomu mali rôzne znamienka, je to tiež potrebné

zvyšok vzťahu x 1 x 2 =c/a<0.

V tomto prípade nie je potrebné kontrolovať znamienko diskriminantu, pretože ak je splnená podmienka c/a<0 будет выполняться и условие c a<0, а это значит, что дискриминант D=b 2 -4ac>0.

Umiestnenie koreňov štvorcového trojčlenu (pozri prílohu).

Didaktický materiál pre žiakov.

1. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre každú z nich sú korene kvadratického trinomu x 2 + ax + 1 rôzne a ležia na segmente .

2. Pre aké hodnoty parametra a má rovnica x 2 -(2a-1)x+1-a=0 dva rôzne kladné korene?

3. Pre aké hodnoty parametra a má rovnica x 2 -(2a-6)+3a+9=0 korene rôznych znamienok?

4. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré sú korene rovnice x 2 + (a + 1) x-2a (a-1) = 0 menšie ako 1.

5. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré je jeden z koreňov rovnice x 2 -2(a+1)x+4a+1=0 menší ako 1 a druhý väčší ako 1?

6. Pre aké hodnoty parametra a má rovnica 2x 2 + (3a + 1)x + a 2 + a = 2 = 0 aspoň jeden koreň?

7. Pre aké hodnoty parametra a má rovnica (a 2 + a + 1) x 2 + (2a-3) x + a-5 = 0 dva korene, z ktorých jeden je väčší ako 1 a iné menej ako 1?

8. Pri akých hodnotách parametra a sú korene rovnice (a-1)x 2 -2ax +a=3=0 kladné?

9. Existujú také hodnoty parametra a, pre ktoré sú obidva korene rovnice x 2 -2(a-3)x-a+3=0 obsiahnuté v intervale (-3; 0)?

10. Pri akých hodnotách parametra a patria korene rovnice x 2 -2ax+(a+1) (a-1)=0 segmentu [-5; 5]?

11. Pri akých hodnotách parametra a je jeden koreň kvadratickej rovnice x 2 + (a + 1) x-a 2 = 0 väčší ako číslo 1/2 a druhý menší ako 1/2?

12. Pre aké hodnoty parametra a má rovnica x 2 -4x+(2-a) (2+a)=0 korene rôznych znamienok?

13. Pre aké hodnoty parametra a má rovnica x 2 +2(a+1)x+9=0 dva rôzne kladné korene?

14. Nájdite všetky hodnoty parametra a, pre ktoré sú všetky korene rovnice (2-a)x 2 -3ax+2a=0 väčšie ako 1/2?

15. Pri akých hodnotách parametra a sú všetky korene rovnice x 2 -2ax+a 2 -a=0 umiestnené na segmente [-2; 6]?

16. Pri akých hodnotách parametra a je súčet druhých mocnín koreňov rovnice x 2 -2ax+2(a+1)=0 rovný 20?

17. Pri akých hodnotách parametra a sa súčet koreňov rovnice x 2 -2a(x-1)-1=0 rovná súčtu druhých mocnín jej koreňov?

18. Pre aké hodnoty parametra a sú všetky výsledné korene rovnice (a-3)x 2 -2ax+6a=0 kladné?

19. Pri akých hodnotách parametra a sú všetky výsledné korene rovnice (1+a)x 2 -3ax+4a=0 väčšie ako 1?

Literatúra

ÚVOD

Téma „Štvorcový trojčlen“ zaujíma jedno z ústredných miest v kurze algebry. Zadania na túto tému sú nepostrádateľným atribútom každej skúšky a zvlášť prijímacích skúšok na vysokú školu.

Hlavným cieľom hodín matematiky je rozširovanie a prehlbovanie vedomostí, rozvíjanie záujmu žiakov o predmet a rozvíjanie ich matematických schopností. Proces učenia je založený na spoločných výskumných aktivitách študentov.

Štúdium témy „Štvorcový trojčlen“ zohráva významnú úlohu pri rozvoji matematického myslenia študentov v triede. Tento koncept je vo všeobecnosti jedným z hlavných v kurze školskej matematiky. Ale pri realizácii najmä tejto línie, ako? a kedy? Na zoznámenie študentov s pojmom „štvorcový trojčlen“ sú možné rôzne prístupy a uhly pohľadu.

Kvadratická trojčlenka sa prvýkrát preberá v 7. ročníku. Potom sa línia kvadratického trinomu neustále udržiava.

Preto kvadratická trojčlenka zohráva veľkú a dôležitú úlohu nielen v kurze školskej algebry, ale aj v ďalšom vzdelávaní vo vzdelávacích inštitúciách. Problémy na túto tému sú určite zahrnuté aj v možnostiach prijímacích skúšok na vysoké školy. A rád by som poznamenal, že dôležitosť tejto malej časti školského kurzu spočíva v jeho extrémne širokých oblastiach použitia.

Téma mojej práce v kurze: „Metodologické črty štúdia kvadratického trinomu na hodinách algebry v 7. - 9. ročníku.“

Cieľ štúdie: Analyzovať stupeň zvládnutia kvadratického trinomu na príkladoch úloh na opakovanie.

Študijný odbor - elementárna matematika.

Predmetom štúdia je algebra.

Predmetom štúdie je kvadratická funkcia.

Ciele výskumu:

Zvážte tematické plánovanie pomocou rôznych učebníc.

Rozoberte stupeň náročnosti úloh v niektorej z učebníc.

Analyzujte stupeň zvládnutia tejto témy pomocou príkladov úloh na opakovanie.

Hypotéza: Ak na každej hodine algebry budete so žiakmi plniť úlohy súvisiace s kvadratickou trojčlenkou, potom sa stupeň zvládnutia kvadratickej trojčlenky výrazne zlepší.

Kvadratické trojčlenky

Pojem kvadratického trinomu a kvadratickej funkcie

V rôznych zdrojoch sa pojem „štvorcový trojčlen“ uvádza rôznymi spôsobmi. V niektorých, kvadratická trojčlenka je polynóm druhého stupňa s jednou premennou

ax 2 + bx + c, (1)

kde x je premenná; a, b - koeficienty, c - voľný termín, a0. V iných je štvorcová trojčlenka vzhľadom na x vyjadrením tvaru ax 2 +bx+c, kde a,b,c sú nejaké čísla a a0. Čísla a,b,c sa nazývajú koeficienty kvadratického trinomu. V nasledujúcom budeme predpokladať, že a, b, c sú reálne čísla.

Hodnoty x, pri ktorých štvorcová trojčlenka ax 2 + bx + c zaniká, sa nazývajú korene trojčlenky. Ak teda chcete nájsť korene kvadratického trinomu, musíte vyriešiť kvadratickú rovnicu:

ax 2 + bx + c = 0. (2)

Pripomeňme si, ako sa nachádzajú korene kvadratickej rovnice; Zároveň trochu objasníme fakty zvyčajne prezentované v školskom kurze. Na vyriešenie kvadratickej rovnice používajú techniku ​​„výber úplného štvorca“, to znamená, že ju napíšu vo forme (pamätajte, že 0):

ax 2 + bx + c = a(x 2 + x) + c = a (x 2 + 2x) + c = a (x 2 + 2x +) + c - = a (x +) 2 -

Teda rovnicu ax2 + bx + c=0 možno zapísať ako:

Alebo (prenesenie zlomku na pravú stranu a delenie a) v tvare:

V tomto prípade je rovnica (3) ekvivalentná rovnici ax 2 + bx + c = 0, to znamená, že má rovnaké korene ako rovnica ax 2 + bx + c.

Skutočne, ak nejaké číslo x spĺňa rovnicu

ax 2 + bx + c = 0

potom, ako ukazujú vykonané výpočty, spĺňa aj rovnicu (3). Tieto výpočty sa však môžu vykonávať aj v opačnom poradí, to znamená, že ak číslo x spĺňa rovnicu (3), potom spĺňa aj rovnicu

ax 2 + bx + c = 0.

Inými slovami, rovnosť ax 2 + bx + c = 0 je neurčité tvrdenie, ktoré je pravdivé pre niektoré hodnoty x (konkrétne pre korene trojčlenky) a nepravdivé pre iné. Ekvivalencia rovníc

ax 2 + bx + c = 0 a (3) znamená, že tieto dve neurčité tvrdenia sú pravdivé aj nepravdivé. Zostáva teda vyriešiť rovnicu (3). Zvyčajne sa číslo b 2 - 4ac označuje "D" a volajú ho diskriminačnýštvorcový trojčlen.

Takže rovnica (3) môže byť napísaná takto:

(x +) 2 =, kde D = b 2 - 4ac (4)

Teraz sú ponúkané tri rôzne prípady v závislosti od toho, aké je číslo D:

A) Ak je číslo D kladné, potom je kladné. Preto existujú dve čísla, pričom druhá mocnina každého z nich je rovnaká: budú to čísla a - (kde, ako vždy, je aritmetický koreň kladného čísla D). Ale podľa (4) je x+ presne to číslo, ktorého druhá mocnina je rovnaká. To znamená, že x spĺňa rovnicu (4) v dvoch prípadoch:

1) ak x + = (a potom x =)

2) ak x + = (a potom x =)

Takže pre D>0 má rovnica (4), a teda aj rovnica ax 2 + bx + c = 0, dva korene:

X 1 =, X 2 =, kde D = b 2 -4ac (5)

Všimnite si, že v tomto prípade sú oba korene x 1 , x 2 skutočné a x 1 x 2 (to znamená, že rovnica má v skutočnosti dva korene).

B) ak je číslo D nula, potom rovnica (4) má tvar:

Ale druhá mocnina čísla je nula iba vtedy, ak je samotné číslo nula, a tak sa dostaneme odtiaľto

x = 0 alebo x = -.

Takže pre D=0 má rovnica (4), a teda aj rovnica x 2 + bx + c = 0 len jeden koreň x = -, tj existuje len jedno číslo(konkrétne -), ktoré spĺňajú túto rovnicu. V záujme jednotnosti sa však predpokladá, že v tomto prípade má rovnica ax 2 + bx + c = 0 dva korene, len sa oba zhodujú. Inými slovami, bežne sa verí, že aj pri D = 0 má rovnica ax 2 + bx + c = 0 dva korene:

Všimnite si, že to isté sa získa zo vzorcov (5), pretože D = 0. Ak teda súhlasíme s D = 0, že koreň X = - budeme považovať dvakrát (alebo, ako sa tiež hovorí, súhlasíme s tým, že ho budeme považovať za dvojitý koreň ), potom vzorce (5) pre korene zostávajú v tomto prípade v platnosti. Uvidíme, že v mnohých ďalších prípadoch sa táto dohoda (uvažujúc, že ​​koreň je dvojitý pre D = 0) ukáže ako veľmi výhodná: inak by bolo v mnohých vetách potrebné urobiť špeciálne výhrady týkajúce sa tohto prípadu. Preto sa v matematike vždy uznáva, že pre D = 0 má rovnica ax 2 + bx + c = 0 dva zhodné korene. Sme si však jasne vedomí toho, že ide len o to podmienečná dohoda: pre D = 0 zo všetkých reálnych čísel iba jedno (konkrétne -) spĺňa rovnicu ax 2 + bx + c = 0.

C) Zostáva zvážiť prípad, keď je D záporné. V tomto prípade je číslo záporné. A keďže druhá mocnina reálneho čísla nemôže byť záporná, znamená to, že v tomto prípade je rovnica ax 2 + bx + c = 0 nemá skutočné korene. Ako vieme, existujú dve komplexné čísla, pričom druhá mocnina každého z nich sa rovná zápornému číslu D. Tieto čísla sú čisto imaginárne a navyše konjugované. Ak súhlasíme s tým, že jeden z nich (bez ohľadu na to, ktorým) označíme, druhý sa bude rovnať

Potom čísla, z ktorých druhá mocnina sa rovná zápornému číslu, budú čisto imaginárne čísla a - (a žiadne iné takéto čísla neexistujú). Ale podľa (4) x + je číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná.

V dôsledku toho x spĺňa rovnicu (4), a teda aj rovnicu

ax 2 + bx + c = 0, v dvoch prípadoch:

1)Ak x + (a potom x =);

2)Ak x + (a potom x =).

Teda aj v tomto prípade (teda s D< 0) уравнение ax 2 + bx +c = 0

Má dva korene, vypočítané pomocou vzorcov (5) a sú komplexne združenými číslami. Dovoľte mi ešte raz zdôrazniť, že toto tvrdenie má iba podmienený význam – ak súhlasíme s označením ktoréhokoľvek komplexného čísla, ktorého druhá mocnina sa rovná zápornému číslu D. Toto je v skutočnosti iba podmienená dohoda, pretože znamienko „ “ sa podľa definície používa na označenie aritmetického koreňa kladného reálneho čísla a v komplexnej oblasti nemá tento znak jednoznačný význam. Pri riešení kvadratických rovníc so záporným diskriminantom sa však vždy predpokladá, že označuje jedno z dvoch čísel, ktorých druhá mocnina sa rovná D. Potom si vzorce (5) pre korene zachovajú svoj význam pre D<0.

Kvadratická trinómia úzko súvisí s kvadratickou funkciou.

Funkcia formulára

f (x) = ax 2 + bx + c (6)

kde a ?0, b a c sú konštanty a premenná x patrí do množiny R reálnych čísel, sa nazýva kvadratickej funkcie.

Z definície je zrejmé, že každá z funkcií je kvadratická

F(x) = ax 2 + bx, (kde b0, c?0),

y = ax 2 + c , (kde b = 0, c = 0)

VYHLÁSENIE #1

Ak a?0, potom

ax 2 +bx +c= a x+ (7)

Táto identita sa dá ľahko dokázať premenou pravej strany. Je trochu ťažšie transformovať ľavú stranu výberom presného štvorca. Pomocou tohto tvrdenia a rovnosti (6) môžeme napísať nasledujúcu schému:

Na základe rovnosti (7) je ľahké dokázať nasledujúce tvrdenie:

VYHLÁSENIE #2

Kvadratická funkcia pri:

A) a>0 má globálne minimum

yo =, pričom x 0 = -;

B) a<0 имеет глобальный максимум

y 0 = , pričom x 0 = -

Je zrejmé, že v každom z týchto dvoch prípadov je zodpovedajúci extrém jedinečný a zhoduje sa s najväčšou alebo najmenšou hodnotou funkcie na R. Výrok č. 2 možno interpretovať aj v súvislosti s grafom kvadratickej funkcie: s tradičným usporiadanie súradnicového systému v rovine. (-;) pre a>0 je najnižší bod funkčného grafu a pre a<0 - самой верхней точкой графика.

VYHLÁSENIE č. 3

Kvadratická funkcia pri:

a) a >0 klesá na intervale

D 1 = (- ?; -] a zvyšuje sa na intervale

D2 = [-; + ?);

b) a<0 возрастает на промежутке D 1 и убывает на промежутке D 2 .

DÔKAZ:

Dokážme, že ako 0 na intervale D 1 klesá. Uveďme ľubovoľne rôzne hodnoty x 1 a x 2 premennej a pre istotu nech

Označme a (x 1 +) + f (x 1) a a(x 2 +) 2 +

cez f (x 2). Potom stačí dokázať, že f (x 1) f (x 2).

Na základe (8) dôsledne zisťujeme

-(x 1 +) -(x 2 +) 0, (x 1 +) 2 (x 2 +) 2,

a (x 1 +) 2 + a (x 2 +) 2 +,

to znamená f (x 1) f (x 2). Následne na intervale D 1 kvadratická funkcia klesá.

K tomuto záveru možno stručne dospieť nasledujúcim odôvodnením:

f (x 2) - f (x 1) = a (x - x) + b (x 2 - x 1) =

(x 2 - x 1) (a (x 2 + x 1) + b) (x 2 - x 1) (a (x 2 - x 1) (a (-) + b) = 0,

odkiaľ, f (x 1) f (x 2).

Zostávajúce prípady zvažujeme podobným spôsobom. Pomocou derivácie funkcie dokážeme tvrdenie 3 pomocou nevyhnutnej a postačujúcej podmienky, aby sa funkcia znížila alebo zväčšila. Výrok 2 je dokázaný pomocou derivácie funkcie, presnejšie pomocou postačujúcej podmienky pre existenciu lokálneho extrému.

VYHLÁSENIE #4

Graf kvadratickej funkcie f(x) = ax 2 + bx + c je symetrický vzhľadom na priamku q 0, ktorá prechádza bodom A (-; 0) a je rovnobežná so zvislou osou (alebo sa s ňou zhoduje). ).

Na dôkaz tohto tvrdenia uvádzame dve ľubovoľné hodnoty x 1 a x 2 premennej, symetrické vzhľadom na bod x 0 = -, a pomocou rovnosti (7) zistíme, že zodpovedajúce hodnoty premennej funkcie sú rovnaké. Môžeme tiež dať premennej ľubovoľnú hodnotu x 3, čím získame bod P(x 3 ; f(x 3)) grafu funkcie a ukážeme, že bod Q je symetrický k bodu P vzhľadom na priamku q 0, patrí tiež do grafu.

Grafom kvadratickej funkcie je zakrivená čiara tzv parabola. Priamka q 0 a (-;) sa nazývajú os a vrchol paraboly. Je známe, že os x obsahuje len tie body, ktorých súradnice sa rovnajú 0. To znamená, že ak chcete zistiť, pri akých hodnotách argumentu x má kvadratická funkcia hodnoty rovné 0, musíte skontrolujte, či má parabola aspoň jeden spoločný bod s osou úsečky vtedy a len vtedy, keď je ordináta jej vrcholu? 0, to znamená, keď b 2 -4ac? 0. Číslo b 2 - 4ac označujeme D a nazývame diskriminantom kvadratickej funkcie aj kvadratickej rovnice:

ax 2 + bx + c = 0 (9)

Preto, ak a>0, potom:

Pre D>0 má rovnica (9) rôzne reálne korene x 1 a x 2 ;

Keď D=0, rovnica (9) má jeden skutočný koreň;

V D<0 уравнение (9) не имеет действительных корней.

Ak je 0, parabola má aspoň jeden spoločný bod s osou x vtedy a len vtedy, ak je ordináta jej vrcholu? 0, teda kedy

4ac - b 2 ? 0 alebo keď D? 0.

Takže opäť dostaneme rovnaký záver.

Z týchto argumentov a tvrdení 2 a 3 vyplýva, že pre a 0 sú možné tieto prípady:

A) Pre D 0 a x 1 x 2 má funkcia hodnoty rovné 0 pre hodnoty premennej x 1 a x 2, kladné hodnoty pre každú

x (- , x 1) (x 2 ; +),

záporné hodnoty pre každé x (x 1 ; x 2).

B) Keď D = 0, funkcia nadobúda hodnotu rovnú 0 len pre hodnoty premennej x 1 a x 2 = -, kladné hodnoty pre každé x -; B) Keď D 0, funkcia nadobúda kladnú hodnotu pre každú hodnotu premennej. Podobne, ak je 0, potom:

A) Pre D 0 a x 1 x 2 má funkcia hodnotu rovnajúcu sa 0 pre hodnoty premennej x 1 a x 2, záporné hodnoty pre každú

x (- ; x 1) (x 2 ; +), kladné hodnoty pre každý

x (- ; x 1) (x 2 ; +), kladné hodnoty pre každé x (x 1; x 2).

B) Keď D = 0, funkcia nadobúda hodnotu rovnú 0 len pre hodnotu premennej x 1 = x 2 = -, záporné hodnoty pre každé x - ;

C) Keď D 0, funkcia nadobúda záporné hodnoty pre každú hodnotu premennej.

Zvlášť možno poznamenať, že ak D 0, potom pre každú hodnotu premennej sa znamienko funkčnej hodnoty zhoduje so znamienkom koeficientu a.

Všetky tieto vlastnosti obsiahnuté vo výrokoch 1 - 3 môžu byť vyjadrené v diagrame znázornenom na obrázku (na každom z výkresov nie je znázornená ordinačná os, preto to pri zvažovaní týchto vlastností zvyčajne nemá podstatný význam).

Téma: „kvadratický trinom“ je teda hlavnou témou kurzu algebry, ktorá úzko súvisí s kvadratickou funkciou. Vyššie uvedený materiál je užitočný pre ďalšiu prácu s kvadratickými nerovnosťami (jeden možný spôsob pomocou grafu kvadratickej funkcie) a do určitej miery aj s kvadratickými rovnicami.