Nájdite hodnotu derivátu v bode x0 online. Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie

Úloha B9 poskytuje graf funkcie alebo derivácie, z ktorej musíte určiť jednu z nasledujúcich veličín:

1. Hodnota derivátu v určitom bode x 0,
2. Maximálny alebo minimálny počet bodov (extrémne body),
3. Intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií (intervaly monotónnosti).

Funkcie a derivácie uvedené v tomto probléme sú vždy spojité, čo značne uľahčuje riešenie. Napriek tomu, že úloha patrí do oddielu matematická analýza, zvládnu to aj najslabší žiaci, keďže tam nie sú žiadne hlboké teoretické vedomosti tu sa nevyžaduje.

Na nájdenie hodnoty derivácie, extrémnych bodov a intervalov monotónnosti existujú jednoduché a univerzálne algoritmy – o všetkých sa bude diskutovať nižšie.

Pozorne si prečítajte podmienky úlohy B9, aby ste sa vyhli hlúpym chybám: niekedy narazíte na dosť zdĺhavé texty, ale dôležité podmienky, ktoré ovplyvňujú priebeh rozhodovania, je málo.

Výpočet hodnoty derivátu. Dvojbodová metóda

Ak je problému daný graf funkcie f(x), dotyčnica k tomuto grafu v určitom bode x 0, a je potrebné nájsť hodnotu derivácie v tomto bode, použije sa nasledujúci algoritmus:

1. Nájdite dva „adekvátne“ body na dotyčnicovom grafe: ich súradnice musia byť celé číslo. Označme tieto body ako A (x 1 ; y 1) a B (x 2 ; y 2). Zapíšte si súradnice správne - to je kľúčový moment riešenia a akákoľvek chyba tu vedie k nesprávnej odpovedi.
2. Keď poznáme súradnice, je ľahké vypočítať prírastok argumentu Δx = x 2 − x 1 a prírastok funkcie Δy = y 2 − y 1 .
3. Nakoniec nájdeme hodnotu derivácie D = Δy/Δx. Inými slovami, musíte vydeliť prírastok funkcie prírastkom argumentu – a toto bude odpoveď.

Ešte raz si všimnime: body A a B treba hľadať presne na dotyčnici, a nie na grafe funkcie f(x), ako sa to často stáva. Dotyková čiara bude nevyhnutne obsahovať aspoň dva takéto body - inak nebude problém správne formulovaný.

Zvážte body A (−3; 2) a B (−1; 6) a nájdite prírastky:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Nájdite hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x 0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x 0 .

Zvážte body A (0; 3) a B (3; 0), nájdite prírastky:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Teraz nájdeme hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x 0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x 0 .

Zvážte body A (0; 2) a B (5; 2) a nájdite prírastky:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Zostáva nájsť hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Od posledný príklad môžeme sformulovať pravidlo: ak je dotyčnica rovnobežná s osou OX, derivácia funkcie v bode dotyku je nulová. V tomto prípade nemusíte ani nič počítať - stačí sa pozrieť na graf.

Výpočet maximálneho a minimálneho počtu bodov

Niekedy namiesto grafu funkcie dáva úloha B9 graf derivácie a vyžaduje nájdenie maximálneho alebo minimálneho bodu funkcie. V tejto situácii je dvojbodová metóda zbytočná, ale existuje iný, ešte jednoduchší algoritmus. Najprv si definujme terminológiu:

1. Bod x 0 sa nazýva maximálny bod funkcie f(x), ak v niektorom okolí tohto bodu platí nerovnosť: f(x 0) ≥ f(x).
2. Bod x 0 sa nazýva minimálny bod funkcie f(x), ak v niektorom okolí tohto bodu platí nerovnosť: f(x 0) ≤ f(x).

Ak chcete nájsť maximum a minimum bodov na derivačnom grafe, postupujte podľa týchto krokov:

1. Prekreslite derivačný graf a odstráňte všetky nepotrebné informácie. Ako ukazuje prax, nepotrebné údaje len zasahujú do rozhodnutia. Preto upozorňujeme na súradnicová os nuly derivácie - to je všetko.
2. Zistite znamienka derivácie na intervaloch medzi nulami. Ak je pre nejaký bod x 0 známe, že f'(x 0) ≠ 0, potom sú možné len dve možnosti: f'(x 0) ≥ 0 alebo f'(x 0) ≤ 0. Znamienko derivácie je ľahko určiť z pôvodného nákresu: ak derivačný graf leží nad osou OX, potom f'(x) ≥ 0. A naopak, ak derivačný graf leží pod osou OX, potom f'(x) ≤ 0.
3. Opäť skontrolujeme nuly a znamienka derivácie. Tam, kde sa znamienko zmení z mínus na plus, je minimálny bod. Naopak, ak sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus, ide o maximálny bod. Počítanie sa vždy vykonáva zľava doprava.

Táto schéma funguje len pre spojité funkcie - v probléme B9 nie sú žiadne iné.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−5; 5]. Nájdite minimálny bod funkcie f(x) na tomto segmente.

Zbavme sa nepotrebných informácií a ponechajme len hranice [−5; 5] a nuly derivácie x = −3 a x = 2,5. Všímame si aj tieto znaky:

Je zrejmé, že v bode x = −3 sa znamienko derivácie zmení z mínus na plus. Toto je minimálny bod.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−3; 7]. Nájdite maximálny bod funkcie f(x) na tomto segmente.

Prekreslíme graf a ponecháme len hranice [−3; 7] a nuly derivácie x = −1,7 a x = 5. Všimnime si znamienka derivácie na výslednom grafe. Máme:

Je zrejmé, že v bode x = 5 sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus - to je maximálny bod.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x), definovanej na intervale [−6; 4]. Nájdite počet maximálnych bodov funkcie f(x) patriacich segmentu [−4; 3].

Z podmienok úlohy vyplýva, že stačí uvažovať len časť grafu obmedzenú úsečkou [−4; 3]. Preto staviame nový rozvrh, na ktorom vyznačíme len hranice [−4; 3] a nuly derivácie v ňom. Konkrétne body x = −3,5 a x = 2. Dostaneme:

Na tomto grafe je len jeden maximálny bod x = 2. Práve v tomto bode sa mení znamienko derivácie z plusu na mínus.

Malá poznámka o bodoch s neceločíselnými súradnicami. Napríklad v posledná úloha bod x = −3,5 bol uvažovaný, ale s rovnakým úspechom môžeme vziať x = −3,4. Ak je problém zostavený správne, takéto zmeny by nemali ovplyvniť odpoveď, pretože body „bez trvalého bydliska“ neakceptujú priama účasť pri riešení problému. Samozrejme, tento trik nebude fungovať s celočíselnými bodmi.

Hľadanie intervalov rastúcej a klesajúcej funkcie

V takom probléme, ako je maximálny a minimálny bod, sa navrhuje použiť derivačný graf na nájdenie oblastí, v ktorých sa samotná funkcia zvyšuje alebo znižuje. Najprv si definujme, čo je zvyšovanie a znižovanie:

1. O funkcii f(x) sa hovorí, že je rastúca na segmente, ak pre ľubovoľné dva body x 1 a x 2 z tohto segmentu platí nasledujúce tvrdenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Inými slovami, čím väčšia je hodnota argumentu, tým väčšia je hodnota funkcie.
2. Funkcia f(x) sa nazýva klesajúca na úsečke, ak pre ľubovoľné dva body x 1 a x 2 z tejto úsečky platí nasledovné tvrdenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tie. vyššiu hodnotu zhody argumentov nižšia hodnota funkcie.

Poďme formulovať dostatočné podmienky vzostupne a zostupne:

1. Za účelom nepretržitá funkcia f(x) narastá na segmente , stačí, aby jeho derivácia vo vnútri segmentu bola kladná, t.j. f'(x) ≥ 0.
2. Aby sa spojitá funkcia f(x) na segmente zmenšila, stačí, aby jej derivácia vo vnútri segmentu bola záporná, t.j. f'(x) ≤ 0.

Prijmime tieto vyhlásenia bez dôkazov. Získame tak schému na nájdenie intervalov zvyšovania a znižovania, ktorá je v mnohom podobná algoritmu na výpočet extrémnych bodov:

1. Odstráňte všetky nepotrebné informácie. V pôvodnom grafe derivácie nás primárne zaujímajú nuly funkcie, preto necháme len tie.
2. Označte znamienka derivácie v intervaloch medzi nulami. Kde f'(x) ≥ 0, funkcia sa zvyšuje a kde f'(x) ≤ 0 sa znižuje. Ak problém nastavuje obmedzenia na premennú x, dodatočne ich označíme na novom grafe.
3. Teraz, keď poznáme správanie funkcie a obmedzenia, zostáva vypočítať množstvo požadované v úlohe.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−3; 7,5]. Nájdite intervaly poklesu funkcie f(x). Vo svojej odpovedi uveďte súčet celých čísel zahrnutých v týchto intervaloch.

Ako obvykle prekreslíme graf a označíme hranice [−3; 7,5], ako aj nuly derivácie x = −1,5 a x = 5,3. Potom si všimneme znaky derivácie. Máme:

Keďže derivácia je záporná na intervale (− 1,5), ide o interval klesajúcej funkcie. Zostáva sčítať všetky celé čísla, ktoré sú v tomto intervale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x), definovanej na intervale [−10; 4]. Nájdite intervaly nárastu funkcie f(x). Vo svojej odpovedi uveďte dĺžku najväčšieho z nich.

Zbavme sa nepotrebných informácií. Ponechajme len hranice [−10; 4] a nuly derivácie, ktoré boli tentokrát štyri: x = −8, x = −6, x = −3 a x = 2. Označme znamienka derivácie a získame nasledujúci obrázok:

Zaujímajú nás intervaly rastúcej funkcie, t.j. také, kde f’(x) ≥ 0. Na grafe sú dva takéto intervaly: (−8; −6) a (−3; 2). Vypočítajme ich dĺžku:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l2 = 2 − (−3) = 5.

Keďže potrebujeme nájsť dĺžku najväčšieho z intervalov, zapíšeme si ako odpoveď hodnotu l 2 = 5.

Príklad 1

Referencia: Nasledujúce spôsoby zápisu funkcie sú ekvivalentné: V niektorých úlohách je vhodné označiť funkciu ako „hra“ a v iných ako „ef z x“.

Najprv nájdeme derivát:

Príklad 2

Vypočítajte deriváciu funkcie v bode

, , úplné štúdium funkcie atď.

Príklad 3

Vypočítajte deriváciu funkcie v bode. Najprv nájdime derivát:

No to je úplne iná vec. Vypočítajme hodnotu derivácie v bode:

Ak nerozumiete, ako bola derivácia nájdená, vráťte sa k prvým dvom lekciám témy. Ak máte nejaké ťažkosti (neporozumenie) s arkustangentom a jeho významom, Nevyhnutne štúdium metodický materiál Grafy a vlastnosti elementárne funkcie – úplne posledný odsek. Pretože arctangentov na študentský vek je stále dosť.

Príklad 4

Vypočítajte deriváciu funkcie v bode.

Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie

Na posilnenie predchádzajúceho odseku zvážte problém nájdenia dotyčnice k funkčný graf v tomto bode. S touto úlohou sme sa stretli v škole a objavuje sa aj na vyššej matematike.

Pozrime sa na najjednoduchší „demonštračný“ príklad.

Napíšte rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie v bode úsečky. Hneď to prinesiem grafické riešenieúlohy (v praxi to vo väčšine prípadov nie je potrebné):

Presná definícia dotyčnice je uvedená pomocou definícia derivácie funkcie, ale zatiaľ zvládneme technickú časť problematiky. Určite takmer každý intuitívne chápe, čo je tangenta. Ak to vysvetlíte „na prstoch“, potom dotyčnica ku grafu funkcie je rovno, ktorá sa týka grafu funkcie v jediný bod. V tomto prípade sú všetky blízke body úsečky umiestnené čo najbližšie ku grafu funkcie.

Ako v našom prípade: v dotyčnici (štandardný zápis) sa graf funkcie dotýka v jednom bode.

A našou úlohou je nájsť rovnicu priamky.

Derivácia funkcie v bode

Ako nájsť deriváciu funkcie v bode? Zo znenia vyplývajú dva zrejmé body tejto úlohy:

1) Je potrebné nájsť deriváciu.

2) Je potrebné vypočítať hodnotu derivátu v daný bod.

Príklad 1

Vypočítajte deriváciu funkcie v bode

Pomoc: Nasledujúce spôsoby zápisu funkcie sú ekvivalentné:


V niektorých úlohách je vhodné označiť funkciu ako „hra“ a v iných ako „ef z x“.

Najprv nájdeme derivát:

Dúfam, že mnohí si už zvykli nachádzať takéto deriváty ústne.

V druhom kroku vypočítame hodnotu derivácie v bode:

Malý príklad na zahriatie, ako to vyriešiť sami:

Príklad 2

Vypočítajte deriváciu funkcie v bode

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Potreba nájsť deriváciu v bode vzniká pri týchto úlohách: zostrojenie dotyčnice ku grafu funkcie (ďalší odsek), štúdium funkcie pre extrém , štúdium funkcie na skloňovanie grafu , plne funkčné štúdium atď.

Ale predmetná úloha sa vyskytuje v testy a sám od seba. A spravidla je v takýchto prípadoch daná funkcia pomerne zložitá. V tejto súvislosti sa pozrime na ďalšie dva príklady.

Príklad 3

Vypočítajte deriváciu funkcie v bode .
Najprv nájdime derivát:

Derivát bol v zásade nájdený a môžete nahradiť požadovanú hodnotu. Ale naozaj sa mi nechce nič robiť. Výraz je veľmi dlhý a význam „x“ je zlomkový. Preto sa snažíme náš derivát čo najviac zjednodušiť. IN v tomto prípade skúsme viesť k spoločný menovateľ posledné tri termíny: v bode .

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami.

Ako zistiť hodnotu derivácie funkcie F(x) v bode Xo? Ako to vôbec riešite?

Ak je daný vzorec, nájdite deriváciu a nahraďte X-nula namiesto X. Vypočítajte
Ak hovoríme o o b-8 Jednotná štátna skúška, graf, potom musíte nájsť dotyčnicu uhla (ostrého alebo tupého), ktorý tvorí dotyčnica k osi X (pomocou mentálnej konštrukcie pravouhlého trojuholníka a určením dotyčnice uhla)

Timur Adilkhodzhaev

Najprv sa musíte rozhodnúť pre znamenie. Ak je bod x0 na dne súradnicová rovina, znamienko v odpovedi bude mínus a ak je vyššie, potom +.
Po druhé, musíte vedieť, v čom sú rozdiely obdĺžnikový obdĺžnik. A to je pomer opačnej strany (nohy) k priľahlá strana(tiež noha). Na maľbe je zvyčajne niekoľko čiernych škvŕn. Z týchto značiek urobíte správny trojuholník a nájdete tangens.

Ako zistiť hodnotu derivácie funkcie f x v bode x0?

IN všeobecný prípad Aby ste v ktoromkoľvek bode našli hodnotu derivácie ľubovoľnej funkcie vzhľadom na nejakú premennú, musíte danú funkciu vzhľadom na túto premennú diferencovať. Vo vašom prípade premennou X. Vo výslednom výraze namiesto X dajte hodnotu X v bode, pre ktorý potrebujete nájsť hodnotu derivácie, t.j. vo vašom prípade dosaďte nulu X a vypočítajte výsledný výraz.

Nuž, vaša túžba porozumieť tejto problematike si podľa mňa nepochybne zaslúži +, ktoré dávam s čistým svedomím.

Táto formulácia problému nájdenia derivátu sa často kladie na konsolidáciu materiálu geometrický význam derivát. Navrhuje sa graf určitej funkcie, úplne ľubovoľný a nie daný rovnicou a musíte nájsť hodnotu derivátu (nie samotného derivátu, pozor!) v určenom bode X0. Na tento účel zostrojte dotyčnicu k danú funkciu a nájde body jeho priesečníkov so súradnicovými osami. Potom sa rovnica tejto dotyčnice zostaví v tvare y=кx+b.

V tejto rovnici bude koeficient k a hodnotou derivácie. Ostáva už len nájsť hodnotu koeficientu b. Aby sme to dosiahli, nájdeme hodnotu y v x = o, nech sa rovná 3 - to je hodnota koeficientu b. Nahradiť v pôvodná rovnica hodnoty X0 a Y0 a nájdite k - našu hodnotu derivácie v tomto bode.

Definícia. Nech je funkcia \(y = f(x)\) definovaná v určitom intervale obsahujúcom bod \(x_0\). Dajme argumentu prírastok \(\Delta x \) tak, aby neopustil tento interval. Nájdeme zodpovedajúci prírastok funkcie \(\Delta y \) (pri pohybe z bodu \(x_0 \) do bodu \(x_0 + \Delta x \)) a zostavíme vzťah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Ak existuje limit pre tento pomer na \(\Delta x \rightarrow 0\), potom sa zadaný limit nazýva derivácia funkcie\(y=f(x) \) v bode \(x_0 \) a označte \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbol y sa často používa na označenie derivácie." Všimnite si, že y" = f(x) je Nová funkcia, ale prirodzene spojená s funkciou y = f(x), definovanou vo všetkých bodoch x, v ktorých existuje vyššie uvedená limita. Táto funkcia sa volá takto: derivácia funkcie y = f(x).

Geometrický význam derivácie je nasledujúca. Ak je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie y = f(x) v bode s os x=a, ktorý nie je rovnobežný s osou y, potom f(a) vyjadruje sklon dotyčnice. :
\(k = f"(a)\)

Keďže \(k = tg(a) \), potom platí rovnosť \(f"(a) = tan(a) \).

Teraz poďme interpretovať definíciu derivácie z pohľadu približných rovnosti. Nech funkcia \(y = f(x)\) má deriváciu v konkrétny bod\(X\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znamená, že blízko bodu x je približná rovnosť \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \približne f"(x)\), t.j. \(\Delta y \približne f"(x) \cdot\ Delta x\). Zmysluplný význam výslednej približnej rovnosti je nasledovný: prírastok funkcie je „takmer úmerný“ prírastku argumentu a koeficient úmernosti je hodnota derivácie v danom bode x. Napríklad pre funkciu \(y = x^2\) platí približná rovnosť \(\Delta y \cca 2x \cdot \Delta x \). Ak dôkladne analyzujeme definíciu derivátu, zistíme, že obsahuje algoritmus na jeho nájdenie.

Poďme to sformulovať.

Ako nájsť deriváciu funkcie y = f(x)?

1. Opravte hodnotu \(x\), nájdite \(f(x)\)
2. Dajte argumentu \(x\) prírastok \(\Delta x\), prejdite na nový bod\(x+ \Delta x \), nájdite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Nájdite prírastok funkcie: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Vytvorte vzťah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Vypočítajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Táto limita je deriváciou funkcie v bode x.

Ak funkcia y = f(x) má deriváciu v bode x, potom sa nazýva diferencovateľná v bode x. Zavolá sa procedúra hľadania derivácie funkcie y = f(x). diferenciácie funkcie y = f(x).

Poďme diskutovať o nasledujúcej otázke: ako spolu súvisí spojitosť a diferencovateľnosť funkcie v bode?

Nech je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x. Potom je možné ku grafu funkcie v bode M(x; f(x)) nakresliť dotyčnicu a pripomeňme si, že uhlový koeficient dotyčnice sa rovná f "(x). Takýto graf sa nemôže „rozbiť“ v bode M, teda funkcia musí byť spojitá v bode x.

Boli to „praktické“ argumenty. Uveďme dôslednejšie zdôvodnenie. Ak je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x, potom platí približná rovnosť \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\). Ak v tejto rovnosti \(\Delta x \) inklinuje k nule, potom \(\Delta y \) bude inklinovať k nule, a to je podmienka spojitosti funkcie v bode.

takže, ak je funkcia diferencovateľná v bode x, potom je v tomto bode spojitá.

Opačné tvrdenie nie je pravdivé. Napríklad: funkcia y = |x| je všade spojitá, najmä v bode x = 0, ale dotyčnica ku grafu funkcie v „bode spojenia“ (0; 0) neexistuje. Ak v určitom bode nemožno nakresliť tangens ku grafu funkcie, potom derivácia v tomto bode neexistuje.

Ešte jeden príklad. Funkcia \(y=\sqrt(x)\) je spojitá na celej číselnej osi, vrátane bodu x = 0. A dotyčnica ku grafu funkcie existuje v akomkoľvek bode, vrátane bodu x = 0 Ale v tomto bode sa dotyčnica zhoduje s osou y, to znamená, že je kolmá na os x, jej rovnica má tvar x = 0. Koeficient sklonu takýto riadok nemá, čo znamená, že neexistuje ani \(f"(0) \).

Zoznámili sme sa teda s novou vlastnosťou funkcie – diferencovateľnosťou. Ako možno z grafu funkcie usúdiť, že je diferencovateľná?

Odpoveď je vlastne uvedená vyššie. Ak je v určitom bode možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie, ktorá nie je kolmá na os x, potom je funkcia v tomto bode diferencovateľná. Ak v určitom bode dotyčnica ku grafu funkcie neexistuje alebo je kolmá na os x, potom funkcia v tomto bode nie je diferencovateľná.

Pravidlá diferenciácie

Operácia nájdenia derivátu sa nazýva diferenciácie. Pri vykonávaní tejto operácie musíte často pracovať s kvocientmi, súčtami, súčinmi funkcií, ako aj „funkciami funkcií“, teda komplexnými funkciami. Na základe definície derivátu vieme odvodiť pravidlá diferenciácie, ktoré túto prácu uľahčia. Ak C- konštantné číslo a f=f(x), g=g(x) sú niektoré diferencovateľné funkcie, potom platí nasledovné pravidlá diferenciácie:

Tabuľka derivácií niektorých funkcií