Objem pyramídy.

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak máš záujem táto práca, stiahnite si plnú verziu.

Ciele lekcie.

Vzdelávacie: Odvoďte vzorec na výpočet objemu pyramídy

Rozvojové: rozvíjať kognitívny záujem študentov o akademické disciplíny, schopnosť aplikovať svoje vedomosti v praxi.

Vzdelávacie: kultivovať pozornosť, presnosť, rozširovať obzory žiakov.

Vybavenie a materiál: počítač, plátno, projektor, prezentácia „Volume of the Pyramid“.

1. Frontálny prieskum. Snímky 2, 3

Čo sa nazýva pyramída, základ pyramídy, rebrá, výška, os, apotém. Ktorá pyramída sa nazýva pravidelná, štvorstenná, zrezaná pyramída?

Pyramída je mnohosten pozostávajúci z plochy mnohouholník, bodov, neležiacu v rovine tohto mnohouholníka a všetky segmenty, spájajúci tento bod s bodmi mnohouholníka.

Tento bod volal top pyramídy a základňou pyramídy je plochý mnohouholník. Segmenty spájajúce vrchol pyramídy s vrcholmi základne sú tzv rebrá . Výška pyramídy - kolmý, spustený z vrcholu pyramídy do roviny základne. Apothem - výška bočnej hrany správna pyramída. Pyramída, ktorá na základni je správne n-uholník, A výškový základ sa zhoduje s stred základne volal správne n-gonálna pyramída. Os pravidelnej pyramídy je priamka obsahujúca jej výšku. Pravidelná trojuholníková pyramída sa nazýva štvorsten. Ak pyramídu pretína rovina, rovnobežne s rovinou základňu, potom odreže pyramídu, podobný daný. Zvyšná časť je tzv zrezaná pyramída.

2. Odvodenie vzorca na výpočet objemu pyramídy V=SH/3 Snímky 4, 5, 6

1. Nech SABC je trojuholníková pyramída s vrcholom S a základňou ABC.

2. Pridajme túto pyramídu na trojuholníkový hranol s rovnakou základňou a výškou.

3. Tento hranol sa skladá z troch pyramíd:

1) daný pyramídy SABC.

2) pyramídy SCC 1 B 1.

3) a pyramídy SCBB 1.

4. Pri druhej a tretej pyramíde rovnaké dôvody CC 1 B 1 a B 1 BC a celková výška nakreslená od vrcholu S k ploche rovnobežníka BB 1 C 1 C. Preto majú rovnaký objem.

5. Prvá a tretia pyramída majú tiež rovnaké základne SAB a BB 1 S a zhodné výšky nakreslené od vrcholu C k ploche rovnobežníka ABB 1 S. Preto majú aj rovnaké objemy.

To znamená, že všetky tri pyramídy majú rovnaký objem. Keďže súčet týchto objemov sa rovná objemu hranola, objemy pyramíd sa rovnajú SH/3.

Objem akejkoľvek trojuholníkovej pyramídy sa rovná jednej tretine súčinu plochy základne a výšky.

3. Konsolidácia nového materiálu. Riešenie cvičení.

1) Problém № 33 z učebnice A.N. Pogorelovej. Snímky 7, 8, 9

Na základnej strane? a bočnej hrany b nájdite objem pravidelnej pyramídy, ktorej základňa leží:

1) trojuholník,

2) štvoruholník,

3) šesťuholník.

V pravidelnej pyramíde výška prechádza stredom kružnice opísanej okolo základne. Potom: (príloha)

4. Historické informácie o pyramídach. Snímky 15, 16, 17

Prvý z našich súčasníkov, ktorý založil sériu nezvyčajné javy spojený s pyramídou bol francúzsky vedec Antoine Bovy. Pri skúmaní Cheopsovej pyramídy v 30. rokoch dvadsiateho storočia zistil, že telá malých zvierat, ktoré náhodne spadli do kráľovská izba, mumifikované. Bovey si dôvod vysvetlil tvarom pyramídy a ako sa ukázalo, nemýlil sa. Jeho diela tvorili základ moderný výskum, v dôsledku čoho sa za posledných 20 rokov objavilo množstvo kníh a publikácií, ktoré potvrdzujú, že energia pyramíd môže mať praktický význam.

Záhada pyramíd

Niektorí vedci tvrdia, že pyramída obsahuje obrovské množstvo informácií o štruktúre Vesmíru, slnečnej sústavy a človeku, zakódovaných v jej geometrickom tvare, presnejšie povedané, v tvare osemstenu, ktorého polovicu pyramída predstavuje. Pyramída s vrcholom nahor symbolizuje život, s vrcholom nadol – smrť, iný svet. Rovnako ako zložky Dávidovej hviezdy (Magen David), kde trojuholník smerujúci nahor symbolizuje vzostup k Vyššej mysli, Bohu a trojuholník s vrcholom nadol symbolizuje zostup duše na Zem, hmotnú existenciu...

Digitálna hodnota kódu, ktorým sú v pyramíde zašifrované informácie o Vesmíre, číslo 365, nebola zvolená náhodou. V prvom rade ide o ročný životný cyklus našej planéty. Tiež číslo 365 sa skladá z troch číslic 3, 6 a 5. Čo znamenajú? Ak v slnečná sústava Slnko prechádza na čísle 1, Merkúr - 2, Venuša - 3, Zem - 4, Mars - 5, Jupiter - 6, Saturn - 7, Urán - 8, Neptún - 9, Pluto - 10, potom 3 je Venuša, 6 - Jupiter a 5 – Mars. V dôsledku toho je Zem s týmito planétami spojená zvláštnym spôsobom. Sčítaním čísel 3, 6 a 5 dostaneme 14, z ktorých 1 je Slnko a 4 je Zem.

Vo všeobecnosti má číslo 14 celosvetový význam: na tom je založená najmä štruktúra ľudských rúk, celkový počet falangy prstov každého z nich sú tiež 14. Tento kód sa tiež vzťahuje na súhvezdie Ursa Major, ktorá zahŕňa naše Slnko a v ktorej bola kedysi ďalšia hviezda, ktorá zničila Phaethon, planétu nachádzajúcu sa medzi Marsom a Jupiterom, po ktorej sa v slnečnej sústave objavilo Pluto a vlastnosti zvyšných planét sa zmenili.

Mnohé ezoterické zdroje tvrdia, že ľudstvo na Zemi už štyrikrát zažilo celosvetovú katastrofu. Tretia lemurská rasa poznala božskú vedu o vesmíre, potom bola táto tajná doktrína odovzdaná iba zasvätencom. Na začiatku cyklov a polcyklov hviezdneho roka postavili pyramídy. Boli blízko k objaveniu kódu života. Civilizácii Atlantídy sa podarilo veľa vecí, no na určitej úrovni poznania ich zastavila ďalšia planetárna katastrofa, sprevádzaná zmenou rás. Pravdepodobne nám zasvätenci chceli oznámiť, že pyramídy obsahujú poznatky o kozmických zákonoch...

Špeciálne zariadenia v podobe pyramíd neutralizujú negatívne elektromagnetické žiarenie na človeka z počítača, televízora, chladničky a iných elektrospotrebičov.

Jedna z kníh popisuje prípad, keď pyramída inštalovaná v priestore pre cestujúcich znížila spotrebu paliva a znížila obsah CO vo výfukových plynoch.

Semená záhradných plodín chovaných v pyramídach mali lepšiu klíčivosť a výnos. Publikácie dokonca odporúčali semená pred výsevom namočiť do pyramídovej vody.

Zistilo sa, že pyramídy majú priaznivé účinky na environmentálna situácia. Odstráňte patogénne zóny v bytoch, kanceláriách a letných chatách a vytvorte pozitívnu auru.

Holandský výskumník Paul Dickens vo svojej knihe uvádza príklady liečivých vlastností pyramíd. Všimol si, že s ich pomocou môžete zmierniť bolesti hlavy, kĺbov, zastaviť krvácanie z malých rezných rán a že energia pyramíd stimuluje metabolizmus a posilňuje imunitný systém.

Niektoré moderné publikácie uvádzajú, že lieky držané v pyramíde skracujú priebeh liečby a obväzový materiál nasýtený pozitívnou energiou podporuje hojenie rán.

Kozmetické krémy a masti zlepšujú ich účinok.

Nápoje, vrátane alkoholických, zlepšujú ich chuť a voda obsiahnutá v 40% vodke sa stáva liečivou. Pravda, na nabitie bežnej 0,5 litrovej fľaše pozitívnou energiou budete potrebovať vysokú pyramídu.

V jednom novinovom článku sa píše, že ak sú šperky uložené pod pyramídou, samočistia sa a získavajú zvláštny lesk, pričom drahokamy a polodrahokamy akumulujú pozitívnu bioenergiu a následne ju postupne uvoľňujú.

Podľa amerických vedcov potravinové produkty, ako sú obilniny, múka, soľ, cukor, káva, čaj, po pobyte v pyramíde zlepšujú ich chuť a lacné cigarety sa stávajú podobnými ich ušľachtilým bratom.

Pre mnohých to nemusí byť relevantné, ale v malej pyramíde sa staré žiletky brúsia a vo veľkej pyramíde voda nezamŕza pri -40 stupňoch Celzia.

Podľa väčšiny výskumníkov je toto všetko dôkazom existencie pyramídovej energie.

Za 5000 rokov svojej existencie sa pyramídy stali akýmsi symbolom, zosobňujúcim túžbu človeka dosiahnuť vrchol poznania.

5. Zhrnutie lekcie.

Bibliografia.

1) http://schools.techno.ru

2) Pogorelov A.V. Geometria 10-11, vydavateľstvo Prosveshchenie.

3) Encyklopédia „Strom poznania“ Marshall K.

Veta. Objem pyramídy rovná produktu plocha jeho základne je jedna tretina jeho výšky.

Najprv dokážeme túto vetu pre trojuholníkovú pyramídu a potom pre polygonálnu.

1) Na základe trojuholníkového ihlana SABC (obr. 102) zostrojíme hranol SABCDE, ktorého výška sa rovná výške ihlana a jeden bočné rebro sa zhoduje s okrajom SB. Dokážme, že objem pyramídy je tretinou objemu tohto hranola. Oddeľme túto pyramídu od hranola. Potom to zostane štvorhranná pyramída SADEC (ktorý je kvôli prehľadnosti zobrazený samostatne). Narysujme v ňom rovinu rezu cez vrchol S a uhlopriečku podstavy DC. Výsledné dve trojuholníkové pyramídy majú spoločný top S a rovnaké základne DEC a DAC ležiace v rovnakej rovine; To znamená, že podľa vyššie dokázanej pyramídovej lemy sú tieto rovnako veľké. Porovnajme jednu z nich, konkrétne SDEC, s touto pyramídou. Základ pyramídy SDEC možno považovať za \(\Delta\)SDE; potom bude jeho vrchol v bode C a jeho výška sa bude rovnať výške danej pyramídy. Keďže \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)ABC, potom podľa tej istej lemy sú pyramídy SDEC a SABC rovnako veľké.

Hranol ABCDES sme rozdelili na tri rovnako veľké pyramídy: SABC, SDEC a SDAC. (Je zrejmé, že každý trojuholníkový hranol môže byť vystavený takejto priečke. Toto je jedna z dôležité vlastnosti trojboký hranol.) Súčet objemov troch pyramíd, ktoré sa rovnajú tejto veľkosti, teda tvorí objem hranola; teda,

$$ V_(SABC) = \frac(1)(3) V_(SDEABC) = \frac(S_(ABC)\cdot H)(3) = S_(ABC)\frac(H)(3) $$

kde H je výška pyramídy.

2) Cez nejaký vrchol E (obr. 103) podstavy polygonálneho ihlanu SABCDE nakreslíme uhlopriečky EB a EC.

Potom nakreslíme roviny rezu cez hranu JV a každú z týchto uhlopriečok. Potom sa polygonálna pyramída rozdelí na niekoľko trojuholníkových, ktorých výška je spoločná s danou pyramídou. Po určení oblastí základní trojuholníkové pyramídy cez b 1 ,b 2 ,b 3 a výšku cez H, budeme mať:

Objem SABCDE = 1/3 b 1H + 1/3 b 2H + 1/3 b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H/3=

= (plocha ABCDE) H/3.

Dôsledok. Ak V, B a H znamenajú čísla vyjadrujúce v zodpovedajúcich jednotkách objem, základnú plochu a výšku ktorejkoľvek pyramídy, potom

Veta. Objem zrezaná pyramída rovná súčtu objemy troch pyramíd, ktoré majú rovnakú výšku ako výška zrezanej pyramídy, a základne: jedna je spodná základňa tejto pyramídy, druhá je horná základňa a základná plocha tretej pyramídy sa rovná priemer geometrické oblasti horná a spodná základňa.

Plochy podstav zrezaného ihlana (obr. 104) nech sú B a b, výška H a objem V (zrezaná pyramída môže byť trojuholníková alebo mnohouholníková - na tom nezáleží).

Je potrebné to dokázať

V = 1/3 BH + 1/3 b H+1/3H√B b= 1/3H (B+ b+√B b ),

kde √B b je geometrický priemer medzi B a b.

Na dôkaz menšia základňa Umiestnime malú pyramídu, ktorá dopĺňa túto zrezanú pyramídu, na úplnú. Potom môžeme objem zrezanej pyramídy V považovať za rozdiel dvoch objemov - plná pyramída a horná prídavná.

Po označení výšky dodatočnej pyramídy písmenom X, to nájdeme

V = 1/3 V (H+ X) - 1 / 3 bx= 1/3 (BH + B x - bx) = 1/3 [ВH+ (В- b)X].

Ak chcete zistiť výšku X Využime vetu z , podľa ktorej môžeme napísať rovnicu:

$$ \frac(B)(b) = \frac((H + x)^3)(x^2) $$

Aby sme túto rovnicu zjednodušili, extrahujeme jej aritmetiku z oboch strán Odmocnina:

$$ \frac(\sqrt(B))(\sqrt(b)) = \frac(H + x)(x) $$

Z tejto rovnice (ktorú možno považovať za podiel) dostaneme:

$$ x\sqrt(B) = H\sqrt(b) + x\sqrt(b) $$

$$ (\sqrt(B) - \sqrt(b))x = H\sqrt(b) $$

a preto

$$ x = \frac(H\sqrt(b))(\sqrt(B) - \sqrt(b)) $$

Nahradením tohto výrazu do vzorca, ktorý sme odvodili pre objem V, zistíme:

$$ V = \frac(1)(3)\vľavo $$

Od B- b= (√B + √ b) (√B - √ b), potom znížením zlomku o rozdiel √B - √ b dostaneme:

$$ V = \frac(1)(3) BH +(\sqrt(B) + \sqrt(b))H\sqrt(b) =\\= \frac(1)(3)(BH+H\ sqrt(Bb)+Hb) =\\= \frac(1)(3)H(B+b+\sqrt(Bb)) $$

t.j. dostaneme vzorec, ktorý bolo potrebné dokázať.

Veta.

Objem pyramídy sa rovná jednej tretine súčinu plochy základne a výšky.

dôkaz:

1. Uvažujme trojuholníkovú pyramíduOABCs objemom V, základná plochaS a výška h. Nakreslíme os oh (OM2- výška), zvážte rezA1 B1 C1pyramída s rovinou kolmou na osOha teda rovnobežné s rovinou základne. Označme podľaXúsečka M1 priesečník tejto roviny s osou x a cezS(X)- plocha prierezu. Vyjadrime sa S(X) cez S, h A X. Všimnite si, že trojuholníky A1 IN1 S1 A ABC sú podobné. Skutočne A1 IN1 II AB, teda trojuholník OA 1 IN 1 podobný trojuholníku OAB. S preto A1 IN1 : AB= OA 1: OA .

Pravé trojuholníky OA 1 IN 1 a OAV sú tiež podobné (majú spoločné ostrý roh s vrcholom O). Preto OA 1: OA = O 1 M1 : OM = x: h. Teda A 1 IN 1 : A B = x: h.Podobne je dokázané, žeB1 C1:slnko = X: h A A1 C1:AC = X: h.Takže trojuholníkA1 B1 C1 A ABCpodobné s koeficientom podobnosti X: h.Preto S(x): S = (x: h)², príp S(x) = S x²/ h².

Poďme sa teraz prihlásiť základný vzorec na výpočet objemov telies pria= 0, b =h dostaneme

Objem pôvodnej pyramídy je teda 1/3Sh. Veta bola dokázaná.

Dôsledok:

Objem V zrezaného ihlana, ktorého výška je h a základné plochy sú S a S1 , sa vypočítavajú podľa vzorca

h - výška pyramídy

S top - plocha hornej základne

S nižšie - oblasť spodnej základne