Násobenie polynómov. Rýchle násobenie polynómov pomocou Fourierovej transformácie je jednoduché

Späť dopredu

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak máš záujem táto práca, stiahnite si plnú verziu.

Ciele lekcie:(Prezentácia. Snímka 2)

Vzdelávacie:

odvodiť pravidlo pre násobenie polynómu mnohočlenom;
rozvíjať schopnosť uplatňovať toto pravidlo.

Vzdelávacie:

rozvoj pozornosti;
rozvíjanie schopnosti analyzovať a zovšeobecňovať poznatky o danej téme;
rozvoj mentálnych schopností počítania.

Vzdelávacie:

výchova k úhľadnosti;
pestovanie udržateľného záujmu o predmet.

Typ lekcie: Lekcia o štúdiu a počiatočnom upevňovaní nových vedomostí.

Počas vyučovania

ja Ústna práca(Prezentácia. Snímka 3)

Vykonajte násobenie.

a) a (x – y);

b) 2p (3 – q);

c) –2x (x – 4);

d) 4y (y3 + 0,25);

e) – 0,5 s2 (c 3 + 2);

e) –5x (3x 2 – 4);

g) 2a 4 (a 3 – 0,5);

h) –q 7 (q 3 – q 5).

II. Vysvetlenie nového materiálu (Prezentácia. Snímka 4)

Výklad prebieha v niekoľkých etapách podľa učebnicového materiálu.

1. Odvoďte pravidlo pre násobenie polynómu polynómom a vizuálne ho prezentujte na snímke (alebo tabuli):

2. Sformulujte výsledné pravidlo a požiadajte viacerých študentov, aby ho zopakovali.

3. Analyzujte príklady aplikácie pravidla.

Pretože táto téma je pre žiakov novinkou, je vhodné uviesť niekoľko jednoduchých príkladov priamej aplikácie pravidla o násobení dvoch polynómov. Je lepšie zvážiť príklady použitia tohto pravidla pri riešení množstva problémov v nasledujúcich lekciách.

Príklad 1(Prezentácia. Snímka 5) Vynásobte polynóm (3a – 2b) polynómom (2a + 3b).

Riešenie: (3a – 2b)(2a + 3b) = 3a * 2a + 3a * 3b + (– 2b) * 2a + (– 2b) * 3b = 6a 2 + 9ab – 4 ab – 6b 2 = 6a 2 + 5ab – 6b2.

Príklad 2(Prezentácia. Snímka 6) Zjednodušte výraz: (2x – 3)(5 – x) – 3x(4 – x).

Riešenie: (2x – 3)(5 – x) – 3x(4 – x) = 10x – 2x 2 – 15 + 3x – 12x + 3x 2 = x 2 + x – 15.

Príklad 3(Prezentácia. Snímka 7) Dokážme, že pre ktorýkoľvek prírodná hodnota n hodnota výrazu (n + 1)(n + 2) – (3n – 1)(n + 3) + 5n(n + 2) + n +7 je násobkom 3.

Riešenie: (p + 1)(p + 2) – (3p – 1)(p + 3) + 5p(p + 2) + p +7 = p 2 + 2p + p + 2 – 3p 2 – 9p + p + 3 + 5p 2 + 10p + p +7 = 3p 2 + 6p + 12 = 3 (p 2 + 2p + 4).

III. Formovanie schopností a zručností (Prezentácia. Snímka 8)

Počas hodiny by ste mali urobiť prieskum čo najväčšiemu počtu študentov, aby ste sa uistili, že sa naučili pravidlo na násobenie polynómu polynómom. Preto môžu byť k tabuli naraz privolaní traja žiaci, aby dokončili každú úlohu.

1. № 677, № 678.

V týchto úlohách polynomického násobenia je každý z faktorov lineárny. Je dôležité, aby žiaci sledovali správnosť aplikácie príslušného pravidla a nerobili chyby v znakoch.

2. № 680.

Tieto úlohy sú o niečo náročnejšie, pretože okrem aplikácie pravidiel pre násobenie polynómov si žiaci musia pamätať vlastnosti mocnín.

c) 12a 4 – a 2 b 2 – b 4;

e) 56p 3 – 51p 2 + 10p.

3. № 682 (a, c).

a) (x + 10) 2 = (x + 10) (x + 10) = x 2 + 10x + 10x + 100 = x 2 + 20x + 100;

c) (3a – 1) 2 = (3a – 1) (3a – 1) = 9a 2 – 3a – 3a – 1 = 9a 2 – 6a + 1.

IV. Zhrnutie lekcie (Prezentácia. Snímka 9)

– Ako vynásobiť jednočlen mnohočlenom?

– Sformulujte pravidlo pre násobenie polynómu polynómom.

– Aké znamienka budú mať členy získané vynásobením polynómov:

a) (x + y) (a – b);

b) (n – m) (p – q)?

V. Domáca úloha: (Prezentácia. Snímka 10)

Č. 679; č. 681; Č. 682 (b, d).

Použité učebnice a učebné pomôcky: (Prezentácia. Snímka 11)

Učebnica „Algebra 7“. Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova, editoval S.A. Telyakovsky. Moskva „Osvietenie“ 2010.
Rurukin A.N., Lupenko G.V., Maslennikova I.A. Vývoj založený na lekciách v algebre: 7. ročník.

Použitý dizajn.

Ak sú čísla označené rôznymi písmenami, potom je možné označiť iba produkt; Nech je napríklad potrebné vynásobiť číslo a číslom b - toto môžeme označiť buď a ∙ b alebo ab, ale o nejakom vykonaní tohto násobenia nemôže byť ani reč. Keď však už máme do činenia s monočlenmi, potom vďaka 1) prítomnosti koeficientov a 2) skutočnosti, že tieto monočleny môžu obsahovať faktory označené rovnakými písmenami, možno hovoriť o násobení monočlenov; Táto možnosť je ešte širšia pre polynómy. Pozrime sa na niekoľko prípadov, kedy je možné vykonať násobenie, počnúc najjednoduchším.

1. Násobenie síl s z rovnakých dôvodov . Nech sa vyžaduje napríklad a 3 ∙ a 5. Napíšme, poznajúc význam umocňovania, to isté podrobnejšie:

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Pri pohľade na toto podrobný záznam, vidíme, že sme napísali a s faktorom 8 krát, alebo skrátka 8 . Takže a 3 ∙ a 5 = a 8.

Nech sa vyžaduje b 42 ∙ b 28. Najprv by sme museli napísať faktor b 42-krát a potom znova faktor b 28-krát – vo všeobecnosti by sme dostali, že b sa berie ako faktor 70-krát. t.j. b 70. Takže b 42 ∙ b 28 = b 70. Odtiaľ je už jasné, že keď sa mocniny s rovnakými základmi vynásobia, základ stupňa zostane nezmenený a mocniny sa spočítajú. Ak máme a 8 ∙ a, potom musíme mať na pamäti, že faktor a implikuje exponent 1 („a k prvej mocnine“), teda a 8 ∙ a = a 9.

Príklady: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12; (a + b) 3* (a + b)4 = (a + b)7; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 atď.

Niekedy sa musíte vysporiadať s mocninami, ktorých exponenty sú označené písmenami, napríklad xn (x na mocninu n). Na takéto výrazy si treba zvyknúť. Tu sú príklady:

Vysvetlime si niektoré z týchto príkladov: b n – 3 ∙ b 5 musíte ponechať základ b nezmenený a pridať exponenty, t. j. (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Samozrejme, musíte sa naučiť vykonávať takéto dodatky rýchlo vo svojej hlave.

Ďalší príklad: x n + 2 ∙ x n – 2, – základ x treba ponechať nezmenený a pridať exponent, t.j. (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

Teraz môžete vyjadriť vyššie uvedené poradie, ako vykonať násobenie mocnín s rovnakými základmi, pomocou rovnosti:

a m ∙ a n = a m + n

2. Násobenie jednočlena jednočlenom. Nech je napríklad potrebné 3a²b³c ∙ 4ab²d². Vidíme, že jedno násobenie je tu označené bodkou, ale vieme, že rovnaký znak násobenia je medzi 3 a a², medzi a² a b³, medzi b³ a c, medzi 4 a a, medzi a a b², medzi b² a d². Preto tu vidíme súčin 8 faktorov a môžeme ich vynásobiť ľubovoľnými skupinami v ľubovoľnom poradí. Preusporiadajme ich tak, aby koeficienty a mocniny s rovnakými základňami boli blízko, t.j.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Potom môžeme vynásobiť 1) koeficienty a 2) mocniny s rovnakými základmi a dostaneme 12a³b5cd².

Takže pri násobení jednočlena jednočlenom môžeme koeficienty a mocniny vynásobiť rovnakými základmi, ale zvyšné činitele musíme prepísať bez zmien.

Ďalšie príklady:

3. Násobenie polynómu monomom. Predpokladajme, že najprv potrebujete vynásobiť nejaký polynóm, napríklad a – b – c + d, kladným celým číslom, napríklad +3. Keďže kladné čísla sa považujú za rovnaké ako aritmetické čísla, je to to isté ako (a – b – c + d) ∙ 3, t. j. vezmite a – b – c + d ako člen 3-krát, resp.

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

t.j. v dôsledku toho musel byť každý člen polynómu vynásobený 3 (alebo +3).

Z toho vyplýva:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

to znamená, že každý člen polynómu musel byť vydelený (+3). Zovšeobecnením tiež dostaneme:

a tak ďalej.

Teraz musíme vynásobiť (a – b – c + d) tým kladný zlomok, napríklad na +. Je to rovnaké ako pri násobení aritmetický zlomok, čo znamená odoberať časti z (a – b – c + d). Je ľahké vziať jednu pätinu tohto polynómu: musíte vydeliť (a – b – c + d) 5 a my už vieme, ako to urobiť, a dostaneme . Zostáva zopakovať výsledok 3 krát alebo vynásobiť 3, t.j.

Ako výsledok vidíme, že sme museli vynásobiť každý člen polynómu + alebo +.

Teraz musíme vynásobiť (a – b – c + d) tým záporné číslo, celé číslo alebo zlomok,

t.j. v tomto prípade musel byť každý člen polynómu vynásobený –.

Či už je číslo m akékoľvek, vždy existuje (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

Keďže každý jednočlen je číslo, vidíme tu označenie, ako vynásobiť mnohočlen jednočlenom – každý člen mnohočlenu musíme vynásobiť týmto jednočlenom.

4. Násobenie polynómu polynómom. Nech je to (a + b + c) ∙ (d + e). Keďže d a e znamenajú čísla, potom (d + e) vyjadruje jedno číslo.

(a + b + c) ∙ (d + e) = a (d + e) + b (d + e) + c (d + e)

(môžeme si to vysvetliť takto: máme právo dočasne brať d + e ako jednočlenný).

Ad + ae + bd + be + cd + ce

V tomto výsledku môžete zmeniť poradie členov.

(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,

to znamená, že na vynásobenie polynómu polynómom musí byť každý člen jedného polynómu vynásobený každým členom druhého. Je vhodné (na tento účel bolo vyššie zmenené poradie získaných členov) vynásobiť každý člen prvého polynómu najskôr prvým členom druhého (+d), potom druhým členom druhého (+ e), potom, ak bol jeden, tretím atď. d.; potom by ste mali urobiť sadru podobní členovia.

V týchto príkladoch sa dvojčlenka násobí dvojčlenkou; v každom dvojčlene sú pojmy usporiadané v zostupných mocninách písmena spoločných pre oba dvojčleny. Je ľahké vykonať takéto násobenia v hlave a okamžite zapísať konečný výsledok.

Vynásobením vedúceho člena prvého dvojčlenu vedúcim členom druhého, t. j. 4x² x 3x, dostaneme 12x³ vedúceho člena súčinu – zrejme žiadne podobné nebudú. Ďalej hľadáme násobenie ktorých členov bude výsledkom členov so stupňom písmena x, ktorý je o 1 menší, t. j. s x². Ľahko vidíme, že takéto členy získame vynásobením 2. člena prvého faktora prvým členom druhého a vynásobením prvého člena prvého člena druhým členom druhého (zátvorky na konci to naznačuje príklad). Vykonať tieto násobenia v hlave a tiež vykonať redukciu týchto dvoch podobných pojmov (po čom dostaneme pojem –19x²) nie je ťažké. Potom si všimneme, že ďalší člen, obsahujúci písmeno x o stupeň ešte 1 menšie, teda x až o 1. stupeň, dostaneme len vynásobením druhého členu druhým a žiadne podobné už nebudú.

Ďalší príklad: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

Je tiež ľahké spustiť si v hlave príklady, ako napríklad:

Vedúci člen sa získa vynásobením vedúceho člena vedúcim členom; nebudú mu podobné členy a je to = 2a³. Potom hľadáme, ktoré násobenia získajú členy s a² - z vynásobenia prvého člena (a²) druhým (–5) a z vynásobenia druhého člena (–3a) prvým (2a) - to je uvedené nižšie v zátvorkách ; Po vykonaní týchto násobení a spojení výsledných členov do jedného dostaneme –11a². Potom hľadáme, ktoré násobenia budú dávať členy od a do prvého stupňa - tieto násobenia sú označené zátvorkami navrchu. Po ich vyplnení a spojení výsledných výrazov do jedného dostaneme +11a. Nakoniec si všimneme, že najnižší člen súčinu (+10), ktorý vôbec neobsahuje a, sa získa vynásobením nízkeho člena (–2) jedného polynómu nízkym členom (–5) druhého.

Ďalší príklad: (4a 3 + 3a 2 – 2a) ∙ (3a 2 – 5a) = 12a 5 – 11a 4 – 21a 3 + 10a 2.

Zo všetkých predchádzajúcich príkladov tiež vychádzame celkový výsledok: vedúci člen produktu sa vždy získa vynásobením vedúcich členov faktorov a nemôžu existovať podobné termíny; Najnižší člen súčinu sa tiež získa vynásobením členov nižšieho rádu faktorov a nemôžu existovať ani podobné členy.

Zostávajúce členy získané vynásobením polynómu polynómom môžu byť podobné a môže sa dokonca stať, že všetky tieto členy sa navzájom zničia a zostane len starší a najmladší.

Tu sú príklady:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a 4 – b 4 (zapíšeme len výsledok)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1 atď.

Tieto výsledky sú pozoruhodné a užitočné na zapamätanie.

Obzvlášť dôležitý je nasledujúci prípad násobenia:

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
alebo (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
alebo (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9 atď.

Vo všetkých týchto príkladoch, keď ich aplikujeme na aritmetiku, máme súčin súčtu dvoch čísel a ich rozdielu a výsledkom je rozdiel druhých mocnín týchto čísel.

Ak vidíme podobný prípad, potom nie je potrebné vykonávať násobenie podrobne, ako bolo urobené vyššie, ale môžete ihneď zapísať výsledok.

Napríklad (3a + 1) ∙ (3a – 1). Tu je prvý faktor z hľadiska aritmetiky súčtom dvoch čísel: prvé číslo je 3a a druhé 1 a druhý faktor je rozdiel tých istých čísel; výsledok by teda mal byť: druhá mocnina prvého čísla (t.j. 3a ∙ 3a = 9a²) mínus druhá mocnina druhého čísla (1 ∙ 1 = 1), t.j.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

Tiež

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25 atď.

Tak si zaspomínajme

(a + b) (a – b) = a² – b²

teda súčin súčtu dvoch čísel a ich rozdielu sa rovná rozdielu druhých mocnín týchto čísel.

Medzi rôzne výrazy, ktoré sa uvažujú v algebre, dôležité miesto zaberajú súčty monomiálov. Tu sú príklady takýchto výrazov:
$5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8$
$xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5r - 2$

Súčet monočlenov sa nazýva polynóm. Termíny v polynóme sa nazývajú členy polynómu. Monómy sú tiež klasifikované ako polynómy, pričom monomály považujú za polynóm pozostávajúci z jedného člena.

Napríklad polynóm
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 $
možno zjednodušiť.

Predstavme si všetky termíny vo forme monomílov štandardného tvaru:
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = $
$= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16$

Uveďme podobné výrazy vo výslednom polynóme:
$8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 $
Výsledkom je polynóm, ktorého všetky členy sú monomály štandardného tvaru a medzi nimi neexistujú žiadne podobné. Takéto polynómy sa nazývajú polynómy štandardného tvaru.

vzadu stupeň polynómuštandardnej formy preberajú najvyššie právomoci svojich členov. Dvojčlenka $12a^2b - 7b$ má teda tretí stupeň a trojčlenka $2b^2 -7b + 6$ druhý stupeň.

Termíny polynómov štandardnej formy obsahujúce jednu premennú sú zvyčajne usporiadané v zostupnom poradí podľa exponentov. Napríklad:
$5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1$

Súčet viacerých polynómov možno transformovať (zjednodušiť) na polynóm štandardného tvaru.

Niekedy je potrebné členy polynómu rozdeliť do skupín, pričom každú skupinu uzatvoríme do zátvoriek. Keďže uzatváranie zátvoriek je inverznou transformáciou otváracích zátvoriek, je ľahké ho formulovať pravidlá otvárania zátvoriek:

Ak je znamienko „+“ umiestnené pred zátvorkami, výrazy v zátvorkách sú napísané rovnakými znamienkami.

Ak je pred zátvorkami umiestnený znak „-“, potom sú výrazy v zátvorkách napísané opačnými znakmi.

Transformácia (zjednodušenie) súčinu jednočlenu a mnohočlenu

Používaním distribučné vlastnosti násobenia možno previesť (zjednodušiť) na mnohočlen, súčin jednočlenu a mnohočlenu. Napríklad:
$9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = $
$= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = $
$= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 $

Súčin monočlenu a mnohočlenu sa zhodne rovná súčtu súčinov tohto monočlenu a každého z členov mnohočlenu.

Tento výsledok je zvyčajne formulovaný ako pravidlo.

Ak chcete vynásobiť monočlen polynómom, musíte tento monočlen vynásobiť každým z členov polynómu.

Toto pravidlo sme už niekoľkokrát použili na násobenie súčtom.

Súčin polynómov. Transformácia (zjednodušenie) súčinu dvoch polynómov

Vo všeobecnosti sa súčin dvoch polynómov rovná súčtu súčinu každého člena jedného polynómu a každého člena druhého.

Zvyčajne sa používa nasledujúce pravidlo.

Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého a pridať výsledné produkty.

Skrátené vzorce násobenia. Súčet druhých mocnín, rozdiely a rozdiel druhých mocnín

S niektorými výrazmi v algebraické transformácie musia riešiť častejšie ako ostatní. Snáď najbežnejšie výrazy sú $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ a $a^2 - b^2 $, t.j. druhá mocnina súčtu, druhá mocnina rozdiel a rozdiel štvorcov. Všimli ste si, že mená špecifikované výrazy akoby nebolo dokončené, napríklad $(a + b)^2 $ nie je, samozrejme, len druhá mocnina súčtu, ale druhá mocnina súčtu a a b. Druhá mocnina súčtu a a b sa však nevyskytuje príliš často, spravidla namiesto písmen a a b obsahuje rôzne, niekedy dosť zložité výrazy.

Výrazy $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ sa dajú jednoducho previesť (zjednodušiť) na polynómy štandardného tvaru, v skutočnosti ste sa s touto úlohou už stretli pri násobení polynómov:
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = $
$= a^2 + 2ab + b^2 $

Je užitočné zapamätať si výsledné identity a použiť ich bez medzivýpočtov. Pomáhajú tomu stručné slovné formulácie.

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $ - druhá mocnina súčtu rovná súčtuštvorčeky a zdvojnásobte súčin.

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $ - druhá mocnina rozdielu sa rovná súčtu druhých mocnín bez zdvojeného súčinu.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ - rozdiel štvorcov sa rovná súčinu rozdielu a súčtu.

Tieto tri identity umožňujú nahradiť jeho ľavé časti pravostrannými v transformáciách a naopak - pravé časti ľavostrannými. Najťažšie je vidieť zodpovedajúce výrazy a pochopiť, ako sa v nich nahrádzajú premenné a a b. Pozrime sa na niekoľko príkladov použitia skrátených vzorcov na násobenie.

Jednou z operácií s polynómami je násobenie polynómu polynómom. V tomto článku zvážime pravidlo takéhoto násobenia a použijeme ho na riešenie problémov.

Pravidlo pre násobenie polynómu polynómom

Definujme dva polynómy a + b a c + d a vykonať ich násobenie.

Najprv si zapíšeme súčin pôvodných polynómov: dáme medzi ne znamienko násobenia, pričom sme polynómy predtým uzavreli do zátvoriek. Dostaneme: (a + b) (c + d). Teraz označme faktor (c+d) Ako X, potom bude výraz vyzerať takto: (a + b) x, ktorý je v podstate súčinom mnohočlenu a jednočlenu. Urobme násobenie: (a + b) x = a x + b x a potom ho vymeňte späť X na (c + d): a · (c + d) + b · (c + d) . A opäť použitím pravidla násobenia polynómu monomom transformujeme výraz na: a · c + a · d + b · c + b · d. Suma sumárum: súčin daných polynómov a+b A c + d zodpovedá rovnosti (a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d.

Úvaha, ktorú sme uviedli vyššie, umožňuje vyvodiť dôležité závery:

Výsledkom násobenia polynómu polynómom je polynóm. Toto tvrdenie platí pre všetky násobiteľné polynómy.
Súčin polynómov je súčtom súčinov každého člena jedného polynómu každým členom druhého. Kde môžeme dospieť k záveru, že pri násobení polynómov obsahujúcich m A nčlenov podľa toho uvedený súčet súčinov členov pozostáva z m n podmienky.

Teraz môžeme formulovať pravidlo pre násobenie polynómov:

Definícia 1

Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom iného polynómu a nájsť súčet výsledných produktov.

Príklady násobenia polynómu polynómom

IN praktické riešenie problémy hľadania súčinu polynómov sa rozkladajú do niekoľkých po sebe idúcich akcií:

zaznamenávanie súčinu násobených mnohočlenov (polynómy sú uzavreté v zátvorkách a medzi ne sa píše znak násobenia);
zostrojenie súčtu súčinov každého člena prvého polynómu každým členom druhého. Na tento účel sa prvý člen prvého polynómu vynásobí každým členom druhého mnohočlenu, potom sa druhý člen prvého mnohočlenu vynásobí každým členom druhého mnohočlenu atď.
ak je to možné, výsledný súčet sa zapíše ako polynóm štandardného tvaru.

Príklad 1

Polynómy sú dané: 2 - 3 x A x 2 – 7 x + 1

Riešenie

Zapíšme si súčin pôvodných polynómov. Dostaneme: (2 – 3 x) (x 2 – 7 x + 1).

Ďalším krokom je zostavenie súčtu súčinov každého člena polynómu 2 - 3 x pre každý člen polynómu x 2 – 7 x + 1. Pozrime sa bližšie: vynásobíme prvý člen prvého polynómu (číslo 2) každým členom druhého mnohočlenu, dostaneme: 2 x 2, 2 (− 7 x) a 2 1. Potom vynásobíme druhý člen prvého polynómu každým členom druhého polynómu a dostaneme: − 3 x x 2, − 3 x (− 7 x) a - 3 x 1. Všetky výsledné výrazy zhromažďujeme do súčtu: 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1.

Skontrolujeme, či sme neprehliadli súčin niektorých členov: aby sme to urobili, prepočítame počet členov v zapísanom súčte, dostaneme 6. To je pravda, pretože pôvodné polynómy pozostávajú z 2 a 3 členov, čo dáva spolu 6.

Posledným krokom je transformácia zaznamenaného súčtu na polynóm štandardného tvaru: 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1 = 2 x 2 − 14 x + 2 − 3 x 3 + 21 x 2 − 3 x = = (2 x 2 + 21 x 2) + (− 14 x − 3 x) + 2 − 3 x 3 = 23 · x 2 − 17 · x + 2 − 3 · x 3

Stručne bez vysvetlenia, riešenie bude vyzerať takto:

(2 − 3 x) (x 2 − 7 x + 1) = 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1 = = 2 x 2 − 14 x + 2 − 3 x 3 + 21 x 2 − 3 x = = (2 x 2 + 21 x 2) + (− 14 x − 3 x) + 2 − 3 x 3 = 23 x 2 − 17 x + 2 - 3 x 3

odpoveď: (2 − 3 x) (x 2 − 7 x + 1) = 23 x 2 − 17 x + 2 − 3 x 3.

Ujasnime si, že keď sú zadané pôvodné polynómy neštandardná forma, pred nájdením ich práce je vhodné uviesť ich do štandardného formulára. Výsledok bude samozrejme rovnaký, ale riešenie bude pohodlnejšie a kratšie.

Príklad 2

Dané polynómy 1 7 x 2 (- 3) y + 3 x - 2 7 x y x a x y - 1. Musíte nájsť ich prácu.

Riešenie

Jeden z daných polynómov je napísaný v neštandardnom tvare. Opravme to tak, že to uvedieme do štandardného formulára:

1 7 x 2 (- 3) y + 3 x - 2 7 x x y x = - 3 7 x 2 + 3 x - 2 7 x 2 y = = - 3 7 x 2 y - 2 7 x 2 y + 3 x = - 5 7 x 2 r + 3 x

Teraz poďme nájsť požadovaný produkt:

5 7 x 2 y + 3 x x y - 1 = = - 5 7 x 2 y x y - 5 7 x 2 y (- 1) + 3 x x · y + 3 · x · (- 1) = = - 5 7 · x 3 · y 2 + 5 7 · x 2 · y + 3 · x 2 · y - 3 · x = - 5 7 · x 3 · y 2 + 3 5 7 x 2 y - 3 x

odpoveď:- 5 7 x 2 r + 3 x x y - 1 = - 5 7 x 3 r. 2 + 3 5 7 x 2 r - 3 x

Nakoniec si ujasnime situáciu, v ktorej je potrebné vynásobiť tri alebo viac polynómov. V tomto prípade sa nájdenie súčinu redukuje na postupné násobenie polynómov dvoma: t.j. Najprv sa vynásobia prvé dva polynómy; získaný výsledok sa vynásobí tretím polynómom; výsledkom tohto násobenia je štvrtý polynóm atď.

Príklad 3

Polynómy sú dané: x 2 + x · y − 1 , x + y a 2 · y − 3 . Musíte nájsť ich prácu.

Riešenie

Zaznamenáme prácu: (x 2 + x y − 1) (x + y) (2 y − 3).

Vynásobením prvých dvoch polynómov dostaneme: (x 2 + x y − 1) (x + y) = x 2 x + x 2 y + x y x + x y y − 1 x − 1 · y = = x 3 + 2 · x 2 · y + x · y 2 − x − y .

Počiatočný záznam diela má formu: (x 2 + x y − 1) (x + y) (2 r − 3) = (x 3 + 2 x 2 y + x y 2 − x − y) (2 r − 3).

Poďme nájsť výsledok tohto násobenia:

(x 3 + 2 x 2 y + x y 2 − x − y) (2 r − 3) = = x 3 2 y + x 3 (− 3) + 2 x 2 y 2 y + 2 x 2 y (− 3 ) + x y 2 2 y + + x y 2 (− 3) − x 2 y − x (− 3) − y · 2 · y − y · (− 3) = = 2 · x 3 · y − 3 · x 3 + 4 · x 2 · y 2 − 6 · x 2 · y + 2 · x · y 3 - − 3 x x y 2 − 2 x y + 3 x − 2 y 2 + 3 r.

odpoveď:

(x 2 + x y − 1) (x + y) (2 y − 3) = 2 x 3 y − 3 x 3 + 4 x 2 y 2 − 6 x 2 y + + 2 x y 3 − 3 x y 2 − 2 x y + 3 x − 2 y 2 + 3 r

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Pravidlo pre výpočet súčinu polynómov.

Aby sme zvážili súčin polynómov, najprv si spomeňme, ako vynásobiť monomický polynóm.

Súčin monomiálu a polynómu sa nachádza takto:

sa skladá súčin jednočlenu a mnohočlenu.
Zátvorky sa otvoria.
čísla sú zoskupené s číslami, ktoré sú rovnaké premenné priateľ s priateľom.
čísla sa vynásobia a sčítajú sa mocniny zodpovedajúcich identických premenných.

Uvažujme teraz o násobení dvoch polynómov pomocou príkladu:

Príklad 1

Vynásobme polynóm $x-y+z$ polynómom $\(xy)^5+y^6-(xz)^5$.

Najprv si napíšme súčin polynómov:

\[\left(x-y+z\right)((xy)^5+y^6-(xz)^5)\]

Urobme nasledujúcu výmenu. Nech $x-y+z=t$, dostaneme:

Získali sme súčin jednočlena a mnohočlenu. Nájdite to pomocou vyššie uvedeného pravidla.

Rozšírime zátvorky:

Urobme opačnú substitúciu:

\[(\left(x-y+z\right)xy)^5+(\left(x-y+z\right)y)^6-(\left(x-y+z\right)xz) ^5\]

IN tento výraz vidíme prítomnosť troch súčinov monočlenov a polynómu. Nájdite ich samostatne pomocou vyššie uvedeného pravidla:

\[(\left(x-y+z\right)xy)^5=x(xy)^5-y(xy)^5+z(xy)^5=(x^2y)^5-(xy )^6+z(xy)^5\] \[(\left(x-y+z\right)y)^6=xy^6-yy^6+zy^6=xy^6-y^7 +zy^6\] \[(\left(x-y+z\right)xz)^5=x(xz)^5-y(xz)^5+z(xz)^5=x^2z^ 5-xyz^5+(xz)^6\]

Prepíšme náš výraz:

\[\left((x^2y)^5-(xy)^6+z(xy)^5\right)+\left(xy^6-y^7+zy^6\right)-(x^ 2z^5-xyz^5+(xz)^6)\]

Otvoríme zátvorky. Pripomeňme, že ak je pred zátvorkami znamienko plus, znamienka v zátvorkách zostanú nezmenené a ak je pred zátvorkami znamienko mínus, znamienka v zátvorkách sa zmenia na opačný . Dostaneme

\[(x^2y)^5-(xy)^6+z(xy)^5+xy^6-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-(xz)^6 \]

Dostali sme polynóm. Zostáva len doviesť ho do štandardnej podoby. Celkovo bude odpoveď:

\[(x^2y)^5+xy^5z-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-(xz)^6\]

Pri bližšom pohľade na získaný výsledok dostaneme ďalšie pravidlo násobenie polynómu polynómom:

Pravidlo: Na vynásobenie polynómu polynómom je potrebné vynásobiť každý člen prvého mnohočlenu každým členom druhého mnohočlenu, sčítať výsledné súčiny a výsledný polynóm zredukovať do štandardného tvaru.

Príklad 2

Vynásobte $2x+y$ a $x^2+2y+3$.

Zapíšme si prácu:

\[\left(2x+y\right)(x^2+2y+3)\]

\[\left(2x+y\right)\left(x^2+2y+3\right)=2x^3+4xy+6x+x^2y+2y^2+3y\]

Vidíme, že výsledný polynóm má štandardný pohľad, potom je násobenie dokončené.