Zásada najmenšieho konania v manažmente. Fyzika a aikido najmenšej akcie

Aikido je stelesnením princípu najmenšej akcie Naša psychológia a technológia sú do značnej miery poháňané konceptom veľmi blízkym myšlienke najmenšej akcie. Neustále sa snažíme uľahčovať si život. Dnešné počítače nie sú dostatočne rýchle; Oni musia

Keď som bol v škole, náš učiteľ fyziky, menom Bader, si ma raz po hodine zavolal k sebe a povedal: „Vyzeráš, akoby si bol zo všetkého strašne unavený; vypočuť si niečo zaujímavé." A povedal mi niečo, čo som považoval za skutočne fascinujúce. Aj teraz, hoci odvtedy ubehlo veľa času, ma neprestáva fascinovať. A vždy, keď si spomeniem na to, čo bolo povedané, vrátim sa do práce. A tentoraz, keď som sa pripravoval na prednášku, zistil som, že znova analyzujem všetky tie isté veci. A namiesto prípravy na prednášku som sa rozhodol Nová úloha. Téma, o ktorej hovorím, je zásada najmenšej akcie.

Tu je to, čo mi vtedy povedal môj učiteľ Bader: „Nech máte napríklad časticu v gravitačnom poli; táto častica, ktorá odniekiaľ odchádza, sa voľne pohybuje niekam do iného bodu. Hodil si ju, povedzme, hore a ona vzlietla a potom spadla.

Od počiatočného bodu do konečného bodu to trvalo nejaký čas. Skúste teraz nejaký iný pohyb. Predpokladajme, že aby sa presunula „odtiaľto sem“, neposunula sa ako predtým, ale takto:

ale aj tak skončil na správnom mieste v rovnakom čase ako predtým.

„A tak,“ pokračoval učiteľ, „ak vypočítate kinetickú energiu v každom časovom okamihu na dráhe častice, odčítate od nej potenciálnu energiu a integrujete rozdiel za celý čas, kedy k pohybu došlo, uvidíte, že číslo, ktoré dostanete, bude väčšie ako pri skutočnom pohybe častice.

Inými slovami, Newtonove zákony možno formulovať nie ako , ale takto: priemerná kinetická energia mínus priemerná potenciálna energia dosahuje najnižšiu hodnotu na trajektórii, po ktorej sa objekt skutočne pohybuje z jedného miesta na druhé.

Pokúsim sa ti to vysvetliť trochu jasnejšie.

Ak vezmeme gravitačné pole a označíme trajektóriu častice, kde je výška nad zemou (zatiaľ si vystačíme s jedným meraním; trajektóriu nechajme bežať len hore a dole a nie do strán), potom kinetická energia bude a potenciálna energia v ľubovoľnom časovom bode bude rovnaká.

Teraz, na chvíľu pohybu pozdĺž trajektórie, vezmem rozdiel medzi kinetickou a potenciálnou energiou a integrujem sa v priebehu celého času od začiatku do konca. Predpokladajme, že v počiatočnom okamihu pohyb začal v určitej výške a skončil v okamihu v inej určitej výške.

Potom je integrál

.

Skutočný pohyb sa uskutočňuje pozdĺž nejakej krivky (ako funkcia času je to parabola) a vedie k určitej určitej hodnote integrálu. Viete si však predstaviť nejaký iný pohyb: najprv prudký vzostup a potom nejaké bizarné výkyvy.

Poďme si to overiť. Na začiatok analyzujeme nasledujúci prípad: voľná častica nemá vôbec žiadnu potenciálnu energiu. Potom pravidlo hovorí, že pri prechode z jedného bodu do druhého po daný čas integrál kinetickej energie musí byť najmenší. A to znamená, že častica sa musí pohybovať rovnomerne. (A správne, vy aj ja vieme, že rýchlosť pri takomto pohybe je konštantná.) A prečo rovnomerne? Poďme na to. Ak by to bolo inak, potom by rýchlosť častice niekedy prekročila priemer a niekedy by bola pod ním a priemerná rýchlosť by bola rovnaká, pretože častica by sa musela dostať „odtiaľto sem“ v r. dohodnutý čas. Napríklad, ak sa potrebujete dostať z domu do školy autom určitý čas, potom to môžete urobiť rôznymi spôsobmi: najprv môžete jazdiť ako blázni a na konci spomaliť, alebo ísť rovnakou rýchlosťou, alebo najprv môžete dokonca ísť opačná strana, a až potom odbočiť ku škole atď. Vo všetkých prípadoch by mala byť priemerná rýchlosť samozrejme rovnaká - podiel vzdialenosti z domu do školy delený časom. Ale aj s týmto priemerná rýchlosť niekedy ste sa pohybovali príliš rýchlo a niekedy príliš pomaly. A priemerná štvorec niečoho, čo sa odchyľuje od priemeru, je známe, že je vždy väčšie ako druhá mocnina priemeru; to znamená, že integrál kinetickej energie pri kolísaní rýchlosti pohybu bude vždy väčší ako pri pohybe s konštantná rýchlosť. Vidíte, že integrál dosiahne minimum, keď sú otáčky konštantné (pri absencii síl). Správna cesta je.

Predmet vymrštený v gravitačnom poli stúpa najskôr rýchlo a potom stále pomalšie. Deje sa tak preto, lebo má aj potenciálnu energiu a rozdiel medzi kinetickou a potenciálnou energiou by mal dosahovať najmenšiu hodnotu. Pretože potenciálna energia stúpa, keď stúpate, potom sa dosiahne menší rozdiel, ak dosiahnete tie výšky, kde je potenciálna energia veľká čo najrýchlejšie. Potom odpočítaním tohto vysokého potenciálu od kinetickej energie dosiahneme zníženie priemeru. Takže je výhodnejšie ísť hore a dodať dobrý negatívny kus potenciálnej energie.

Ale na druhej strane sa nemôžete pohybovať príliš rýchlo ani stúpať príliš vysoko, pretože to bude vyžadovať príliš veľa kinetickej energie. Musíte sa pohybovať dostatočne rýchlo, aby ste šli hore a dole v časovom limite, ktorý máte k dispozícii. Nemali by ste sa teda snažiť lietať príliš vysoko, ale len potrebujete dosiahnuť nejakú rozumnú úroveň. V dôsledku toho sa ukazuje, že riešením je akási rovnováha medzi túžbou získať čo najviac potenciálnej energie a túžbou čo najviac znížiť množstvo kinetickej energie - to je túžba dosiahnuť maximálne zníženie v rozdiele medzi kinetickou a potenciálnou energiou.

To je všetko, čo mi môj učiteľ povedal, pretože bol veľmi dobrý učiteľ a vedel, kedy prestať. Žiaľ, ja taký nie som. Je pre mňa ťažké zastaviť sa v čase. A preto, namiesto toho, aby som len podnietil váš záujem mojím príbehom, vás chcem zastrašiť, chcem, aby vám prišlo zle zo zložitosti života – pokúsim sa dokázať, čo som povedal. Matematický problém, ktorý budeme riešiť, je veľmi ťažký a svojský. Existuje určitá hodnota nazývaná akcia. Rovná sa kinetickej energii mínus potenciálna energia integrovaná v čase:

.

Nezabudnite, že p.e. a k.e. sú obe funkcie času. Pre každú novú mysliteľnú cestu nadobúda táto akcia svoj definitívny význam. Matematickým problémom je určiť, pre ktorú krivku je toto číslo menšie ako pre ostatné.

Poviete: "Oh, to je len tak." bežný príklad na maximum a minimum. Akciu musíme spočítať, rozlíšiť a nájsť minimum.

Ale počkaj. Zvyčajne máme funkciu nejakej premennej a potrebujeme nájsť hodnotu premennej, pri ktorej sa funkcia stáva najmenšou alebo najväčšou. Povedzme, že v strede je tyč vyhrievaná. Teplo sa šíri pozdĺž nej a v každom bode tyče je nastavená teplota. Musíte nájsť bod, kde je najvyššie. Ale máme rozprávame sa o niečom úplne inom - každej dráhe v priestore zodpovedá jej vlastné číslo a má nájsť cestu, pre ktorú je toto číslo minimálne. Toto je úplne iná oblasť matematiky. Toto nie je obyčajný počet, ale variačný (ako sa tomu hovorí).

V tejto oblasti matematiky je veľa problémov. Povedzme, že kruh je zvyčajne definovaný ako geometrické miesto body, ktorých vzdialenosti od daného bodu sú rovnaké, ale kruh môže byť definovaný inak: je to jedna z kriviek danej dĺžky, ktorá sa obmedzuje najväčšia plocha. Akákoľvek iná krivka rovnakého obvodu ohraničuje oblasť menšiu ako kruh. Ak si teda nastavíte úlohu: nájdite krivku tento obvod obmedzením najväčšej plochy, potom budeme mať problém z variačného počtu, a nie z kalkulu, na ktorý ste zvyknutí.

Chceme teda vziať integrál pozdĺž cesty, ktorou telo prechádza. Urobme to takto. Ide o to, predstaviť si, že existuje skutočná cesta a že akákoľvek iná krivka, ktorú nakreslíme, nie je skutočnou cestou, takže ak pre ňu vypočítame akciu, dostaneme číslo väčšie, než aké dostaneme pre akciu zodpovedajúcu skutočná cesta.

Úlohou je teda nájsť pravú cestu. Kde behá? Jedným zo spôsobov by samozrejme bolo vypočítať akciu pre milióny a milióny ciest a potom zistiť, ktorá cesta má najmenšiu akciu. Toto je spôsob, akým je akcia minimálna a bude skutočná.

Tento spôsob je celkom možný. Dá sa to však zjednodušiť. Ak existuje veličina, ktorá má minimum (z bežných funkcií, povedzme teplotu), potom jednou z vlastností minima je, že pri pohybe od neho na vzdialenosť prvého rádu malosti sa funkcia odchyľuje od svojho minima. hodnotu len o hodnotu druhého rádu. A na akomkoľvek inom mieste krivky posun o malú vzdialenosť zmení hodnotu funkcie aj o hodnotu prvého rádu maličkosti. Mierne odchýlky do strany v prvom priblížení však minimálne nevedú k zmene funkcie.

Toto je vlastnosť, ktorú použijeme na výpočet skutočnej cesty.

Ak je dráha správna, potom krivka mierne odlišná od nej nevedie, ako prvé priblíženie, k zmene veľkosti pôsobenia. Všetky zmeny, ak to bolo naozaj minimum, nastanú až v druhom priblížení.

To sa dá ľahko dokázať. Ak pre nejakú odchýlku od krivky nastanú zmeny v prvom ráde, potom sú tieto zmeny v činnosti úmerné odchýlke. Pravdepodobne zvýšia činnosť; inak by to nebolo minimum. Ale keďže zmeny sú úmerné odchýlke, otočenie znamienka odchýlky zníži činnosť. Ukazuje sa, že pri odchýlke v jednom smere sa akcia zvyšuje a pri odchýlke v opačnom smere sa zmenšuje. Jedinou možnosťou, aby to bolo skutočne minimum, je, že ako prvá aproximácia nenastane žiadna zmena a zmena je úmerná druhej mocnine odchýlky od skutočnej cesty.

Pôjdeme teda po nasledujúcej ceste: označte (čiarkou nižšie) skutočnú cestu - tú, ktorú chceme nájsť. Urobte si skúšobnú cestu , ktorá sa od želanej líši o malú čiastku, ktorú označujeme .

Myšlienka je taká, že ak vypočítame akciu na ceste , potom rozdiel medzi touto a akciou, ktorú sme vypočítali pre cestu (pre jednoduchosť bude označená ), alebo rozdiel medzi a , by mal byť k prvému aproximácia, nula. Môžu sa líšiť v druhom poradí, ale v prvom poradí musí byť rozdiel nula.

A to treba dodržať pri každom . Nie však úplne pre každého. Metóda vyžaduje brať do úvahy iba tie cesty, ktoré všetky začínajú a končia v rovnakom páre bodov, t. j. každá cesta musí momentálne začínať v určitom bode a momentálne končiť v inom určitom bode. Tieto body a momenty sú pevné. Takže naša funkcia (odchýlka) musí byť na oboch koncoch nula: a . Za tejto podmienky sa náš matematický problém úplne definuje.

Ak ste nepoznali diferenciálny počet, mohli by ste urobiť to isté, aby ste našli minimum bežnej funkcie. Zamysleli by ste sa nad tým, čo sa stane, ak vezmete a pridáte k malej hodnote , a tvrdili by ste, že korekcia na v prvom poradí musí byť minimálne rovná nule. Nahradili by ste a rozložili by ste sa na prvý stupeň, jedným slovom, zopakovali by ste všetko, čo máme v úmysle urobiť s .

Takže naša predstava je, že nahrádzame do akčného vzorca

,

kde je potenciálna energia. Derivát je, samozrejme, derivát plus derivát , takže pre akciu dostanem tento výraz:

.

Teraz to treba rozpísať podrobnejšie. Pre kvadratický člen, chápem

.

Ale počkaj! O zákazky nad prvým sa predsa nemusím starať. Môžem odstrániť všetky výrazy, ktoré obsahujú a vyššie stupne, a nasypte ich do škatule s názvom „druhý a vyššie objednávky". Z tohto výrazu sa tam dostane len jeden druhý stupeň, ale vyššie môžu vstúpiť aj z niečoho iného. Takže časť kinetickej energie je:

Ďalej potrebujeme potenciál v bodoch . Považujem to za malé a môžem to rozšíriť na sériu Taylor. Približne to bude; v ďalšej aproximácii (vzhľadom na to, že sú tu bežné deriváty) sa korekcia rovná, vynásobená mierou zmeny vzhľadom na atď.:

.

Aby som ušetril miesto, označil som derivát vzhľadom na . Pojem c a všetko za ním spadá do kategórie „druhého a vyššieho rádu“. A už sa o nich niet čoho báť. Poďme spojiť všetko, čo zostalo:

Ak sa na to teraz pozrieme bližšie, uvidíme, že prvé dva tu napísané výrazy zodpovedajú akcii, ktorú by som napísal pre želané pravá cesta. Chcem zamerať vašu pozornosť na zmenu, t.j. na rozdiel medzi a tým, čo by sa stalo na skutočnej ceste. Tento rozdiel napíšeme ako a nazveme ho variácia. Vyradením „druhého a vyššieho rádu“ získame za

.

Teraz úloha vyzerá takto. Tu je predo mnou integrál. Zatiaľ neviem, čím to je, ale určite viem, že nech si vezmem čokoľvek, tento integrál musí byť nula. "No," možno si pomyslíte, "jediná možnosť je, aby sa multiplikátor at rovnal nule." Ale čo prvý termín, kde je ? Poviete: „Ak sa zmení na nič, potom aj jeho derivát nie je ničím; preto koeficient at musí byť tiež nula. No nie je to celkom pravda. Nie je to celkom pravda, pretože medzi odchýlkou ​​a jej odvodením existuje vzťah; nie sú úplne nezávislé, pretože obe musia byť nulové pre a pre .

Pri riešení všetkých úloh variačného počtu sa vždy používa jeden a ten istý všeobecný princíp. Mierne posuniete to, čo chcete obmieňať (podobne ako sme robili pridávanie ), mrknite na podmienky prvej objednávky a potom všetko usporiadajte tak, aby ste dostali integrál v tejto forme: „posunúť krát to, čo dostanete“, ale tak, neboli v ňom žiadne deriváty (žiadne). Je absolútne nevyhnutné premeniť všetko tak, aby sa „niečo“ vynásobilo . Teraz pochopíte, prečo je to také dôležité. (Existujú vzorce, ktoré vám povedia, ako to v niektorých prípadoch môžete urobiť bez akýchkoľvek výpočtov; nie sú však také všeobecné, aby sa ich oplatilo naučiť; najlepšie je robiť výpočty tak, ako to robíme my.)

Ako môžem prerobiť člena tak, aby sa objavil? Môžem to dosiahnuť integráciou po častiach. Ukazuje sa, že v počte variácií je celý trik zapísať variáciu a potom ju integrovať po častiach tak, aby deriváty zmizli. Vo všetkých problémoch, v ktorých sa objavujú deriváty, sa robí rovnaký trik.

Pamätajte na všeobecný princíp integrácie po častiach. Ak máte ľubovoľnú funkciu vynásobenú a integrovanú cez , potom nakreslite deriváciu:

.

Integrál, ktorý vás zaujíma, obsahuje len posledný člen, takže

.

V našom vzorci pre sa funkcia považuje za súčin ; tak dostávam za vyjadrenie

Hranice integrácie a musia byť dosadené do prvého termínu. Potom dostanem pod integrál člen z integrácie po častiach a posledný člen, ktorý zostal pri transformácii nezmenený.

A teraz sa stane to, čo sa stane vždy - integrovaná časť zmizne. (A ak nezmizne, potom treba princíp preformulovať a pridať podmienky, ktoré takéto zmiznutie zabezpečia!) Už sme povedali, že na koncoch cesty by sa mal rovnať nule. Koniec koncov, aký je náš princíp? V tom, že akcia je minimálna za predpokladu, že premenná krivka začína a končí vo vybraných bodoch. To znamená, že a . Preto sa integrovaný člen rovná nule. Zhromaždíme ostatných členov a píšeme

.

Variácia je teraz taká, ako sme chceli, aby bola: niečo je v zátvorkách (označme to ), a to všetko je vynásobené a integrované od do .

Ukázalo sa, že integrál nejakého výrazu, vynásobený , sa vždy rovná nule:

.

Existuje nejaká funkcia z ; Vynásobím to a integrujem to od začiatku do konca. A nech je to čokoľvek, dostanem nulu. To znamená, že funkcia je nulová. Vo všeobecnosti je to zrejmé, ale pre každý prípad vám ukážem jeden zo spôsobov, ako to dokázať.

Nech si vyberiem niečo, čo sa všade rovná nule, pre všetky okrem jednej vopred vybranú hodnotu . Ostane na nule, kým sa nedostanem k tomuto, potom na chvíľu poskočí a hneď cúva. Ak vezmete integrál tohto vynásobený nejakou funkciou, potom jediné miesto, kde dostanete niečo nenulové, je miesto, kde to skočilo; a získate hodnotu na tomto mieste na integrál skoku. Samotný skokový integrál nie je nulový, ale po vynásobení ním by mal dať nulu. To znamená, že funkcia v mieste, kde došlo k skoku, musí byť nulová. Ale skok mohol byť urobený kdekoľvek; takže všade musí byť nula.

Vidíme, že ak je náš integrál rovný nule pre ľubovoľný , potom koeficient at musí zmiznúť. Akčný integrál dosiahne minimum na dráhe, ktorá uspokojí takúto zložitú diferenciálnu rovnicu:

.

V skutočnosti to nie je také ťažké; už si ho stretol. Je to jednoduché . Prvý člen je hmotnosť krát zrýchlenie; druhá je derivácia potenciálnej energie, t.j. sily.

Ukázali sme teda (aspoň pre konzervatívny systém), že zásada najmenšej akcie vedie k správnej odpovedi; tvrdí, že cesta, ktorá má minimum účinku, je cesta, ktorá spĺňa Newtonov zákon.

Je potrebné urobiť ešte jednu poznámku. Nemám dokázané, že je to minimum. Možno toto je maximum. V skutočnosti to nemusí byť minimum. Tu je všetko rovnaké ako v „princípe najkratšieho času“, o ktorom sme diskutovali pri štúdiu optiky. Aj tam sme najskôr hovorili o „najkratšom“ čase. Ukázalo sa však, že sú situácie, v ktorých tento čas nemusí byť nevyhnutne „najkratší“. Základným princípom je, že pre akékoľvek odchýlky prvého poriadku od optická dráha zmeny v čase by boli nulové; rovnaký príbeh tu. Pod pojmom „minimum“ v skutočnosti rozumieme, že v prvom rade drobnosti by sa zmena veľkosti s odchýlkami od dráhy mala rovnať nule. A nemusí to byť „minimálne“.

Teraz chcem prejsť k niektorým zovšeobecneniam. Po prvé, celý tento príbeh by sa dal urobiť trojrozmerne. Namiesto jednoduchej by som potom mal , a obe funkcie a akcia by vyzerala komplikovanejšie. Pri 3D pohybe musíte použiť celkovú kinetickú energiu: krát druhú mocninu celkovej rýchlosti. Inými slovami,

.

Okrem toho je potenciálna energia teraz funkciou , a . Čo sa dá povedať o ceste? Cesta je určitá všeobecná krivka v priestore; nie je to také ľahké nakresliť, ale myšlienka zostáva rovnaká. A ako je to s? No má to tri zložky. Cestu možno posúvať pozdĺž , a pozdĺž , a pozdĺž , alebo vo všetkých troch smeroch súčasne. Takže teraz je to vektor. Z tohto silné komplikácie nie sú získané. Pretože iba variácie prvého rádu by sa mali rovnať nule, potom je možné vykonať výpočet postupne s tromi zmenami. Najprv sa môžete pohnúť iba smerom a povedať, že koeficient by mal ísť na nulu. Dostanete jednu rovnicu. Potom sa posunieme v smere a dostaneme druhý. Potom sa posunieme v smere a získame tretí. Všetko môžete robiť, ak chcete, v inom poradí. Nech je to akokoľvek, objaví sa trojica rovníc. Ale Newtonov zákon sú tiež tri rovnice v troch rozmeroch, jedna pre každú zložku. Sami sa môžete presvedčiť, že toto všetko funguje v troch rozmeroch (tu nie je veľa práce). Mimochodom, môžete si vziať akýkoľvek súradnicový systém, ktorý sa vám páči, polárny, akýkoľvek, a okamžite získate Newtonove zákony vo vzťahu k tomuto systému, berúc do úvahy, čo sa stane, keď dôjde k posunu pozdĺž polomeru alebo pozdĺž uhla atď.

Metódu možno zovšeobecniť aj na ľubovoľné čísločastice. Ak povedzme máte dve častice a medzi nimi pôsobia nejaké sily a existuje vzájomná potenciálna energia, tak jednoducho sčítate ich kinetické energie a od súčtu odčítate potenciálnu energiu interakcie. Čo variujete? Dráhy oboch častíc. Potom pre dve častice pohybujúce sa v troch rozmeroch vzniká šesť rovníc. Pozíciu častice 1 môžete meniť v smere , v smere a v smere a to isté urobiť s časticou 2, takže existuje šesť rovníc. A tak to má byť. Tri rovnice určujú zrýchlenie častice 1 z hľadiska sily, ktorá na ňu pôsobí, a tri ďalšie určujú zrýchlenie častice 2 v dôsledku sily, ktorá na ňu pôsobí. Vždy dodržiavajte rovnaké pravidlá hry a získate Newtonov zákon pre ľubovoľný počet častíc.

Povedal som, že získame Newtonov zákon. Nie je to celkom pravda, pretože Newtonov zákon zahŕňa aj nekonzervatívne sily, ako je trenie. Newton tvrdil, že každý . Princíp najmenšej akcie platí len pre konzervatívne systémy, napríklad tie, odkiaľ možno získať všetky sily potenciálna funkcia. Ale viete, že na mikroskopickej úrovni, teda na najhlbšej fyzickej úrovni, neexistujú žiadne nekonzervatívne sily. Nekonzervatívne sily (napríklad trenie) pochádzajú len zo skutočnosti, že zanedbávame komplexné mikroskopické efekty: na analýzu je jednoducho príliš veľa častíc. Základné zákony možno vyjadriť ako zásadu najmenšieho konania.

Dovoľte mi prejsť k ďalším zovšeobecneniam. Predpokladajme, že nás zaujíma, čo sa stane, keď sa častica pohne relativisticky. Kým nedostaneme správnu relativistickú pohybovú rovnicu; pravda len v nerelativistických pohyboch. Vynára sa otázka: existuje v relativistickom prípade zodpovedajúci princíp najmenšej akcie? Áno, existuje. Vzorec v relativistickom prípade je:

Prvá časť akčného integrálu je súčinom pokojovej hmotnosti a integrálu funkcie rýchlosti. Potom namiesto odčítania potenciálnej energie máme integrály skalárneho potenciálu a časov vektorového potenciálu . Tu sa samozrejme berú do úvahy iba elektromagnetické sily. Všetky elektrické a magnetické polia sú vyjadrené pomocou a . Takáto akčná funkcia dáva úplnú teóriu relativistického pohybu jednotlivá častica v elektromagnetickom poli.

Samozrejme, musíte pochopiť, že všade tam, kde som napísal , by ste pred výpočtami mali nahradiť atď. Tiež tam, kde som napísal len , , , si musíte momentálne predstaviť body: , , . Vlastne až po takýchto zámenách a zámenách dostanete vzorec na pôsobenie relativistickej častice. Nechajte tých najskúsenejších z vás dokázať, že tento vzorec akcie skutočne dáva správne pohybové rovnice pre relativitu. Dovoľte mi len poradiť, aby ste začali vyraďovať, t.j. zatiaľ sa zaobísť bez magnetických polí. Potom budete musieť získať zložky pohybovej rovnice, kde, ako si pravdepodobne pamätáte, .

Zahrnúť do úvahy vektorový potenciál oveľa ťažšie. Variácie sa potom stávajú neporovnateľne zložitejšími. Ale nakoniec sa ukáže, že sila sa rovná tomu, čo nasleduje: . Ale zabavte sa na tom sami.

Chcel by som zdôrazniť, že v všeobecný prípad(napríklad v relativistickom vzorci) pod integrálom v akcii už nie je rozdiel medzi kinetickou a potenciálnou energiou. Toto platilo len v nerelativistickej aproximácii. Napríklad člen nie je to, čo sa nazýva kinetická energia. Otázku, aká by mala byť žaloba pre svojvoľný konkrétny prípad, možno rozhodnúť po troche pokusov a omylov. Ide o problém rovnakého typu ako určiť, aké by mali byť pohybové rovnice. Musíte sa len pohrať s rovnicami, ktoré poznáte, a zistiť, či sa dajú napísať ako princíp najmenšej akcie.

Ešte jedna poznámka k terminológii. Funkcia, ktorá je v priebehu času integrovaná na získanie akcie, sa nazýva Lagrangian. Ide o funkciu, ktorá závisí len od rýchlosti a polohy častíc. Takže princíp najmenšej akcie možno napísať aj ako

,

kde pod a máme na mysli všetky zložky súradníc a rýchlostí. Ak niekedy budete niekoho počuť hovoriť o „Lagrangian“, vedzte, že hovorí o funkcii, ktorá sa používa na získanie . Pre relativistický pohyb v elektromagnetickom poli

.

Okrem toho musím poznamenať, že najpedantnejšie a pedantskí ľudia nie je nazývaná akcia. Označuje sa ako „prvá hlavná funkcia Hamiltona“. Ale prednášať o „princípe najmenej prvého hlavná funkcia Hamilton“ bol nad moje sily. Nazval som to "akcia". A okrem toho, stále viac ľudí tomu hovorí „akčné“. Viete, historicky sa akcia nazývala inak, nie až tak užitočná pre vedu, ale myslím si, že je zmysluplnejšie zmeniť definíciu. Teraz začnete menovať Nová funkcia akcia a čoskoro ju všetci vo všeobecnosti začnú nazývať týmto jednoduchým menom.

Teraz vám chcem k našej téme povedať niečo podobné, ako som viedol o princípe najkratšieho času. Je rozdiel v samotnej podstate zákona, ktorý hovorí, že nejaký integrál preberaný z jedného bodu do druhého má minimum – zákon, ktorý nám hovorí niečo o celej ceste naraz, a zákon, ktorý hovorí, že keď sa pohneš, tak , To znamená, že existuje sila, ktorá vedie k zrýchleniu. Druhý prístup vám hovorí o každom vašom kroku, sleduje vašu cestu palec po palci a prvý poskytuje naraz akési všeobecné vyhlásenie o celej prejdenej ceste. Keď už hovoríme o svetle, hovorili sme o prepojení týchto dvoch prístupov. Teraz vám chcem vysvetliť, prečo by mali existovať diferenciálne zákony, ak existuje taký princíp – princíp najmenšieho konania. Dôvod je tento: zvážte cestu skutočne prejdenú v priestore a čase. Ako doteraz si vystačíme s jednou dimenziou, takže bude možné nakresliť graf závislosti na . Pozdĺž skutočnej cesty dosiahne minimum. Predpokladajme, že máme túto cestu a že prechádza cez nejaký bod v priestore a čase a cez ďalší susedný bod.

Teraz, ak celý integrál od do dosiahol minimum, je potrebné, aby bol minimálny aj integrál pozdĺž malého úseku od do. Nemôže sa stať, že časť od do čo i len mierne presahuje minimum. V opačnom prípade by ste mohli na tomto úseku posúvať krivku tam a späť a trochu znížiť hodnotu celého integrálu.

To znamená, že ktorákoľvek časť cesta musí dať aj minimum. A to platí pre všetky malé segmenty cesty. Preto zásadu, že celá dráha musí dávať minimum, možno formulovať tak, že nekonečne malý úsek dráhy je aj taká krivka, na ktorej je pôsobenie minimálne. A ak vezmeme pomerne krátky úsek cesty – medzi bodmi, ktoré sú veľmi blízko pri sebe a – potom nezáleží na tom, ako sa potenciál zmení z bodu do bodu vzdialeného od tohto miesta, pretože keď prejdete celým svojím krátkym segmentom, takmer nikdy neopúšťa miesto. Jediná vec, ktorú musíte zvážiť, je zmena prvého rádu malosti v potenciáli. Odpoveď môže závisieť iba od derivácie potenciálu a nie od potenciálu inde. Výrok o vlastnosti celej cesty sa teda stáva výpoveďou o tom, čo sa deje na krátkom úseku cesty, teda diferenciálnym výrokom. A táto diferenciálna formulácia zahŕňa deriváty potenciálu, teda sily v danom bode. Ide o kvalitatívne vysvetlenie súvislosti medzi právom vo všeobecnosti a diferenciálnym právom.

Keď sme hovorili o svetle, diskutovali sme aj o otázke: ako si častica nájde správnu cestu? S rozdielový bod videnie je ľahko pochopiteľné. V každom okamihu častica zažíva zrýchlenie a vie len to, čo má v danom momente urobiť. Ale všetky vaše inštinkty príčiny a následku sa naštartujú, keď počujete, ako sa častica „rozhoduje“, ktorou cestou sa vydať, pričom má sklon k minimu akcie. Už to „očucháva“ susedné cestičky a premýšľa, kam povedú – k väčšej či menšej akcii? Keď sme do dráhy svetla umiestnili clonu, aby fotóny nemohli vyskúšať všetky dráhy, zistili sme, že sa nevedia rozhodnúť, ktorou cestou sa vydať, a dostali sme fenomén difrakcie.

Platí to však aj pre mechanikov? Je pravda, že častica nielenže „ide správnou cestou“, ale prehodnocuje všetky ostatné mysliteľné trajektórie? A čo ak mu kladením prekážok do cesty neumožníme pozerať sa dopredu, potom dostaneme nejakú analógiu fenoménu difrakcie? Najúžasnejšie na tom všetkom je, že všetko je naozaj takto. Toto hovoria zákony kvantovej mechaniky. Takže naša zásada najmenšieho konania nie je úplne sformulovaná. Nespočíva v tom, že si častica zvolí cestu najmenšieho účinku, ale v tom, že si „očuchne“ všetky susedné dráhy a vyberie si tú, po ktorej je pôsobenie minimálne, pričom spôsob tejto voľby je podobný ako napr. v ktorom svetlo vyberá najkratší čas. Pamätáte si, že spôsob, akým svetlo trvá najkratšie, je tento: ak svetlo ide cestou, ktorá si vyžaduje iný čas, potom príde s inou fázou. Celková amplitúda v určitom bode je súčtom príspevkov amplitúd pre všetky cesty, ktorými sa svetlo môže dostať. Všetky tie cesty, v ktorých sa fázy výrazne líšia, po pridaní nič nedávajú. Ale ak sa vám podarí nájsť celú postupnosť ciest, ktorých fázy sú takmer rovnaké, potom sa malé príspevky sčítajú a v mieste príchodu získa plná amplitúda výraznú hodnotu. Najdôležitejší spôsob sa stáva tým, v blízkosti ktorého je veľa blízkych ciest, ktoré dávajú rovnakú fázu.

Presne to isté sa deje v kvantovej mechanike. Kompletná kvantová mechanika (nerelativistická a zanedbávajúca spin elektrónu) funguje takto: pravdepodobnosť, že častica opúšťajúca bod 1 v čase , dosiahne bod 2 v čase , sa rovná druhej mocnine amplitúdy pravdepodobnosti. Celkovú amplitúdu možno zapísať ako súčet amplitúd všetkých možné spôsoby- pre akýkoľvek spôsob príchodu. Pre každú, ktorá by mohla vzniknúť pre akúkoľvek mysliteľnú imaginárnu trajektóriu, je potrebné vypočítať amplitúdu. Potom ich treba všetky zložiť. Čo berieme ako amplitúdu pravdepodobnosti určitej cesty? Náš akčný integrál nám hovorí, aká musí byť amplitúda individuálnej cesty. Amplitúda je úmerná , kde je akcia pozdĺž tejto dráhy. To znamená, že ak znázorníme fázu amplitúdy ako komplexné číslo, potom bude fázový uhol . Akcia má rozmer energie v čase a rovnaký rozmer má aj Planckova konštanta. Je to konštanta, ktorá určuje, kedy je potrebná kvantová mechanika.

A takto to celé funguje. Nech je akcia pre všetky cesty veľmi veľká v porovnaní s počtom . Nech nejaká cesta vedie k nejakej veľkosti amplitúdy. Fáza cesty položenej vedľa nej sa ukáže byť úplne iná, pretože pri obrovskej aj malé zmeny dramaticky menia fázu (napokon je extrémne malá). To znamená, že priľahlé cesty po pridaní zvyčajne zhasnú. A len v jednom regióne to tak nie je - v tom, kde cesta aj jej sused - majú v prvom priblížení rovnakú fázu (alebo presnejšie takmer rovnakú akciu, meniacu sa v rámci ). Do úvahy sa berú len takéto cesty. A v obmedzujúcom prípade, keď Planckova konštanta má tendenciu k nule, správne kvantovo-mechanické zákony možno zhrnúť takto: „Zabudnite na všetky tie amplitúdy pravdepodobnosti. Častica sa v skutočnosti pohybuje zvláštnym spôsobom- presne podľa toho, podľa ktorého sa v prvom priblížení nemení. Toto je spojenie medzi princípom najmenšej akcie a kvantovou mechanikou. Skutočnosť, že kvantovú mechaniku možno formulovať týmto spôsobom, objavil v roku 1942 študent toho istého učiteľa, pán Bader, o ktorom som vám hovoril. [Kvantová mechanika bola pôvodne formulovaná pomocou Diferenciálnej rovnice pre amplitúdu (Schrödinger) a tiež pomocou nejakej maticovej matematiky (Heisenberg).]

Teraz chcem hovoriť o iných princípoch minima vo fyzike. Existuje mnoho zaujímavých princípov tohto druhu. Nebudem ich vymenúvať všetky, ale vymenujem ešte jednu. Neskôr, keď sa dostaneme k jednému fyzikálnemu javu, pre ktorý existuje výborný minimálny princíp, poviem vám o ňom. A teraz chcem ukázať, že nie je potrebné popisovať elektrostatiku pomocou diferenciálnej rovnice pre pole; namiesto toho možno požadovať, aby nejaký integrál mal maximum alebo minimum. Na začiatok si vezmime prípad, keď je hustota náboja známa všade, ale potrebujeme nájsť potenciál v akomkoľvek bode vesmíru. Už viete, že odpoveď by mala byť:

Ďalší spôsob, ako povedať to isté, je nasledujúci: treba vypočítať integrál

;

je objemový integrál. Preberá sa v celom priestore. Pri správnom rozdelení potenciálu tento výraz dosahuje minimum.

Môžeme ukázať, že obe tieto tvrdenia týkajúce sa elektrostatiky sú ekvivalentné. Predpokladajme, že sme si vybrali ľubovoľnú funkciu. Chceme ukázať, že keď berieme ako správnu hodnotu potenciálu plus malú odchýlku , tak v prvom rade maličkosti bude zmena rovná nule. Tak píšeme

tu je to, čo hľadáme; ale budeme variovať, aby sme videli, čo to musí byť, aby variácia bola prvého rádu malosti. V prvom termíne musíme písať

Jediný termín prvého rádu, ktorý sa zmení, je:

V druhom termíne má integrand formu

meniaca sa časť tu je . Ak ponecháme len meniace sa členy, dostaneme integrál

.

Toto je potrebné integrovať znova a znova. A tu vzniká rovnaký trik: aby sme sa zbavili , integrujeme po častiach. To povedie k ďalšej diferenciácii vzhľadom na . Toto je rovnaká základná myšlienka, s ktorou sme sa zbavili derivátov vzhľadom na . Používame rovnosť

.

Integrovaný člen je nula, pretože ho v nekonečne považujeme za nulu. (Toto zodpovedá miznutiu pri a . Náš princíp je teda presnejšie vyjadrený takto: pre správne menej ako pre akékoľvek iné, ktoré majú rovnaké hodnoty v nekonečne.) Potom urobíme to isté s a s . Náš integrál sa stáva

.

Aby sa táto variácia rovnala nule pre ľubovoľnú ľubovoľnú hodnotu , koeficient at sa musí rovnať nule. znamená,

Sme späť pri našej starej rovnici. Náš „minimálny“ návrh je teda správny. Dá sa zovšeobecniť miernou zmenou výpočtov. Vráťme sa späť a integrujme po častiach, ale napíšme všetko komponent po komponente. Začnime napísaním nasledujúcej rovnice:

Odlíšením ľavej strany môžem ukázať, že sa presne rovná pravej strane. Táto rovnica je vhodná na integráciu po častiach. V našom integráli nahrádzame podľa a potom to integrovať do objemu. Divergenciu po integrácii objemu nahradíme plošným integrálom:

A keďže sa integrujeme cez celý priestor, povrch tohto integrálu leží v nekonečne. Tak a dostaneme predchádzajúci výsledok.

Až teraz začíname chápať, ako riešiť problémy, pri ktorých nevieme, kde sú všetky poplatky. Predpokladajme, že máme vodiče, na ktorých sú nejakým spôsobom rozložené náboje. Ak sú potenciály na všetkých vodičoch pevné, potom je stále dovolené uplatňovať náš minimálny princíp. Budeme sa integrovať iba v oblasti ležiacej mimo všetkých vodičov. Ale keďže sa nemôžeme zmeniť na vodičoch, potom na ich povrchu a na povrchu integrálu

sa tiež rovná nule. Integrácia zostávajúceho objemu

je potrebné vykonať iba v medzerách medzi vodičmi. A samozrejme opäť dostaneme Poissonovu rovnicu

Preto sme ukázali, že náš počiatočný integrál dosahuje minimum, aj keď je vypočítaný v priestore medzi vodičmi, z ktorých každý má pevný potenciál [to znamená, že každá skúšobná funkcia sa musí rovnať danému potenciálu vodiča , kedy - body povrchu vodiča ].

Existuje zaujímavé špeciálny prípad keď sa náboje nachádzajú len na vodičoch. Potom

a náš minimálny princíp nám hovorí, že v prípade, že každý vodič má svoj vopred určený potenciál, potenciály medzi nimi sa upravia tak, aby bol integrál čo najmenší. Čo je to integrál? Členom je elektrické pole. Integrál je teda elektrostatická energia. Správne pólo je jediné, ktoré zo všetkých polí získaných ako potenciálny gradient má najmenšiu celkovú energiu.

Chcel by som použiť tento výsledok na vyriešenie konkrétneho problému a ukázať vám, že všetky tieto veci majú skutočný praktický význam. Predpokladajme, že som vzal dva vodiče vo forme valcového kondenzátora.

Potenciál vnútorného vodiča je, povedzme, a potenciál vonkajšieho vodiča je nulový. Nech je polomer vnútorného vodiča rovný a vonkajší - . Teraz môžeme predpokladať, že rozloženie potenciálov medzi nimi je ľubovoľné. Ale ak vezmeme správnu hodnotu a vypočítame , potom by energia systému mala byť . Takže pomocou nášho princípu môžeme vypočítať aj kapacitu. Ak vezmeme nesprávne rozdelenie potenciálu a pokúsime sa odhadnúť kapacitu kondenzátora touto metódou, prídeme tiež na veľký význam kapacita pri pevnom . Akýkoľvek predpokladaný potenciál, ktorý sa presne nezhoduje s jeho skutočnou hodnotou, tiež povedie k nesprávnej hodnote , ktorá je väčšia, ako je potrebné. Ak je však nesprávne zvolený potenciál stále hrubou aproximáciou, potom sa kapacita už získa s dobrou presnosťou, pretože chyba v je hodnota druhého rádu v porovnaní s chybou v .

Predpokladajme, že nepoznám kapacitu valcového kondenzátora. Potom, aby som ju spoznal, môžem použiť tento princíp. Len budem skúšať rôzne funkcie ako potenciál, kým nedosiahnem najnižšiu hodnotu . Predpokladajme napríklad, že som si vybral potenciál zodpovedajúci konštantnému poľu. (Samozrejme, viete, že pole tu nie je v skutočnosti konštantné; mení sa ako .) Ak je pole konštantné, potom to znamená, že potenciál závisí lineárne od vzdialenosti. Aby bolo napätie na vodičoch také, aké treba, funkcia musí mať tvar

Aj keď (a to už vedie k pomerne veľkým rozdielom medzi konštantnými a lineárnymi poľami), stále dostanem celkom znesiteľnú aproximáciu. Odpoveď je, samozrejme, podľa očakávania trochu prehnaná. Ale ak je tenký drôt umiestnený vo vnútri veľkého valca, potom všetko vyzerá oveľa horšie. Potom sa pole veľmi silno zmení a jeho nahradenie trvalé pole nevedie k ničomu dobrému. Pri , preceňujeme odpoveď takmer dvakrát. U malých vyzerá situácia oveľa lepšie. V opačnom limite, keď medzera medzi vodičmi nie je príliš široká (povedzme na ), sa konštantné pole ukazuje ako veľmi dobrá aproximácia, dáva hodnotu s presnosťou na desatiny percenta.

A teraz vám poviem, ako tento výpočet vylepšiť. (Odpoveď na valec, samozrejme, poznáte, ale rovnaká metóda funguje aj pre niektoré iné neobvyklé tvary kondenzátorov, pre ktoré možno nepoznáte správnu odpoveď.) Ďalším krokom je nájsť najlepšiu aproximáciu skutočného potenciálu, ktorý nepoznáme. neviem. Povedzme, že môžete skúsiť konštantu plus exponent atď.Ale ako viete, že máte najlepšiu aproximáciu, ak nepoznáte pravdu? Odpoveď: Vypočítajte; čím je nižšie, tým je bližšie k pravde. Otestujme tento nápad. Nech potenciál nie je lineárny, ale povedzme kvadratický v , a elektrické pole nech nie je konštantné, ale lineárne. Najčastejšie kvadratická forma, ku ktorému sa priťahuje. Dostanem sa na dno. Odbočka k obvyklému diferenciálny počet, dbám na to, aby min

1.1 je odpoveď 10,492065 namiesto 10,492070. Tam, kde treba očakávať dobrú odpoveď, sa ukáže, že je veľmi, veľmi dobrá.

Všetky tieto príklady som uviedol, po prvé, aby som demonštroval teoretickú hodnotu princípu minimálneho pôsobenia a všetkých princípov minima vo všeobecnosti, a po druhé, aby som vám ukázal ich praktickú užitočnosť, a to vôbec nie na výpočet kapacity, ktoré už veľmi dobre poznáme. Pre akýkoľvek iný tvar môžete vyskúšať približné pole s niekoľkými neznámymi parametrami (napríklad ) a upraviť ich na minimum. Dostanete vynikajúce číselné výsledky v úlohách, ktoré sa nedajú riešiť iným spôsobom.

Zásada najmenšieho konania je v rodine najdôležitejšia; je to jedno z kľúčových ustanovení modernej fyziky.

Prvú formuláciu princípu dal P. Maupertuis (fr.) v roku 1744. Z toho odvodil zákony odrazu a lomu svetla.

Princíp najmenšej akcie v klasickej mechanike

Najprv si na príklade fyzikálneho systému s jednotkou pripomeňme, že , o ktorom sa tu diskutuje, je , t.j. pravidlo, ktoré spája určité číslo s každou funkciou x(t). Akcia vyzerá takto: S[x] = \int \mathcal(L)(x(t),\dot(x)(t),t) dt, Kde \mathcal(L)(x(t),\bodka(x)(t),t) existujú systémy, ktoré závisia od trajektórie (t. j. súradnice, ktorá zase závisí od času), jej prvej v čase a môžu tiež výslovne závisieť od .

Akciu je možné vypočítať pre úplne ľubovoľnú trajektóriu, bez ohľadu na to, aká „divoká“ a „neprirodzená“ môže byť. Medzi celým súborom možných trajektórií je však len jedna, po ktorej telo skutočne pôjde. Princíp najmenšej akcie len dáva odpoveď na otázku, ako sa bude telo v skutočnosti pohybovať:

To znamená, že ak je daný Lagrangian systému, potom môžeme pomocou neho presne určiť, ako sa bude telo pohybovať.

Všimnite si, že ak je z podmienok úlohy v zásade možné nájsť pohybový zákon, potom to automaticky znamená, že je možné zostrojiť funkcionál, ktorý má extrémnu hodnotu pre skutočný pohyb.

V krátkosti sme zhodnotili jeden z najpozoruhodnejších fyzikálnych princípov- zásada najmenšej akcie a zastavila sa pri príklade, ktorý, ako sa zdá, jej odporuje. V tomto článku tento princíp trochu viac pochopíme a uvidíme, čo sa v ňom deje tento príklad.

Tentokrát potrebujeme trochu viac matematiky. Hlavnú časť článku sa však pokúsim predstaviť na Základná úroveň. Trochu prísnejšie ťažké chvíle Farebne zvýrazním, možno ich preskočiť bez toho, aby bolo dotknuté hlavné chápanie článku.

Hraničné podmienky
Začnime tým najjednoduchším objektom – loptou voľne sa pohybujúcou v priestore, na ktorú nepôsobia žiadne sily. Takáto guľa, ako je známe, sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro. Pre jednoduchosť predpokladajme, že sa pohybuje pozdĺž osi

Na presný opis jeho pohybu sú spravidla uvedené počiatočné podmienky. Napríklad je špecifikované, že v počiatočnom okamihu

lopta bola na mieste

so súradnicou

a mal rýchlosť

Vzhľadom na počiatočné podmienky v tejto forme jednoznačne určujeme ďalší pohyb lopta - bude sa pohybovať konštantnou rýchlosťou a jej poloha v čase

sa bude rovnať počiatočnej polohe plus rýchlosť vynásobená uplynutým časom:

Tento spôsob nastavenia počiatočné podmienky veľmi prirodzené a intuitívne. Uviedli sme všetky potrebné informácie o pohybe lopty v počiatočnom časovom okamihu a potom je jej pohyb určený Newtonovými zákonmi.

To však nie je jediná cestaúlohy pohybu lopty. Ďalším alternatívnym spôsobom je nastavenie polohy lopty v dvoch rôznych časoch

Tie. nastaviť, že:
1) v tom čase

lopta bola na mieste

(so súradnicou

);
2) v čase

lopta bola na mieste

(so súradnicou

Výraz „bol na mieste

» neznamená, že lopta bola v bode v kľude

V danom čase

mohol preletieť cez bod

To znamená, že jeho pozícia v danom čase

zhodoval sa s bodkou

To isté platí pre bod

Tieto dve podmienky tiež jednoznačne určujú pohyb lopty. Jeho pohyb sa dá ľahko vypočítať. Na splnenie oboch podmienok musí byť rýchlosť lopty samozrejme

Vtedajšie postavenie lopty

bude sa opäť rovnať počiatočnej polohe plus rýchlosť vynásobená uplynutým časom:

Všimnite si, že v podmienkach problému sme nemuseli nastavovať počiatočná rýchlosť. Jednoznačne sa určil z podmienok 1) a 2).

Nastavenie podmienok druhým spôsobom vyzerá nezvyčajne. Možno nie je jasné, prečo je vôbec potrebné ich v tejto podobe nastavovať. V princípe najmenšej akcie sa však používajú práve podmienky vo forme 1) a 2), a nie vo forme úlohy. počiatočná poloha a počiatočná rýchlosť.

Trajektória s najmenšou akciou.
Teraz trochu odbočíme od skutočnosti voľný pohyb loptu a zvážte nasledujúci čisto matematický problém. Povedzme, že máme loptičku, ktorú môžeme ručne posúvať akýmkoľvek spôsobom. V tomto prípade musíme splniť podmienky 1) a 2). Tie. v časovom intervale medzi

musíme to posunúť od pointy

Dá sa to urobiť perfektne rôzne cesty. Každú takúto metódu budeme nazývať dráha lopty a možno ju opísať ako funkciu polohy lopty od času

Nakreslite niekoľko takýchto trajektórií do grafu polohy lopty v závislosti od času:

Môžeme napríklad pohybovať loptou rovnakou rýchlosťou, ktorá sa rovná

(zelená cesta). Alebo to môžeme nechať na mieste polovicu času

A potom dvojnásobnou rýchlosťou prejdite k veci

(modrá trajektória). Najprv ho môžete presunúť opačným smerom

stranu a potom prejdite na

(hnedá trajektória). Môžete ním pohybovať tam a späť (červená cesta). Vo všeobecnosti ho môžete presúvať, ako chcete, pokiaľ sú splnené podmienky 1) a 2).

Ku každej takejto trajektórii môžeme priradiť číslo. V našom príklade, t.j. pri absencii akýchkoľvek síl pôsobiacich na loptičku sa toto číslo rovná celkovej akumulovanej kinetickej energii za celý čas jej pohybu v časovom intervale medzi

a nazýva sa akcia.

IN tento prípad slovo „uložená“ kinetická energia presne nevyjadruje význam. V skutočnosti sa kinetická energia nikde neakumuluje, akumulácia sa používa iba na výpočet akcie pre dráhu. V matematike existuje pre takúto akumuláciu veľmi dobrý koncept - integrál:

Akcia je zvyčajne označená písmenom

znamená kinetickú energiu. Tento integrál znamená, že pôsobenie sa rovná akumulovanej kinetickej energii lopty za časový interval od

Ako príklad si vezmime 1 kg loptičku, nastavme nejaké okrajové podmienky a vypočítame akciu pre dve rôzne trajektórie. Nechajte bod

je vo vzdialenosti 1 meter od bodu

ďaleko od času

na 1 sekundu. Tie. musíme pohnúť loptou, ktorá bola v počiatočnom momente v bode

Za jednu sekundu vo vzdialenosti 1 m pozdĺž osi

V prvom príklade (zelená trajektória) sme loptičku pohybovali rovnomerne, t.j. s rovnakou rýchlosťou, ktorá by sa, samozrejme, mala rovnať:

pani. Kinetická energia lopty v každom časovom okamihu sa rovná:

1/2 J. Za jednu sekundu sa nahromadí 1/2 J

s kinetickou energiou. Tie. Akcia pre takúto trajektóriu je:

Teraz neprenášajme hneď loptu z bodu

A pol sekundy to držíme v bode

A potom na zostávajúci čas rovnomerne prenesieme do bodu

V prvej pol sekunde je lopta v pokoji a jej kinetická energia je nulová. Preto sa príspevok k pôsobeniu tejto časti trajektórie tiež rovná nule. V druhej polovici sekundy pohybujeme loptou dvojnásobnou rýchlosťou:

pani. Kinetická energia v tomto prípade bude rovná

2 J. Príspevok tohto časového intervalu k akcii sa bude rovnať 2 J krát pol sekundy, t.j. 1 J

s. Preto všeobecné opatrenie pre takú dráhu sa rovná

Podobne každá iná dráha s nami danými okrajovými podmienkami 1) a 2) zodpovedá nejakému číslu, ktoré sa rovná akcii pre túto dráhu. Spomedzi všetkých takýchto dráh existuje dráha s najmenšou akciou. Dá sa dokázať, že táto dráha je zelená dráha, t.j. rovnomerný pohyb lopty. Pre akúkoľvek inú trajektóriu, bez ohľadu na to, aká je zložitá, bude akcia väčšia ako 1/2.

V matematike také porovnanie pre každú funkciu určitý počet sa nazýva funkčný. Dosť často sa vo fyzike a matematike vyskytujú problémy podobné našim, t.j. nájsť takú funkciu, pre ktorú je hodnota určitého funkcionálu minimálna. Napríklad jedna z úloh, ktorá mala veľkú historický význam pre rozvoj matematiky je úlohou o bachistochróna. Tie. Nájdenie krivky, po ktorej sa loptička kotúľa najrýchlejšie. Opäť platí, že každá krivka môže byť reprezentovaná funkciou h(x) a každej funkcii môže byť priradené číslo, v tomto prípade čas kotúľania lopty. Opäť sa problém redukuje na nájdenie funkcie, pre ktorú je hodnota funkcionálu minimálna. Odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá takýmito problémami, sa nazýva variačný počet.

Princíp najmenšej akcie.
V príkladoch diskutovaných vyššie máme dve špeciálne trajektórie získané dvoma rôznymi spôsobmi.

Prvá dráha je získaná z fyzikálnych zákonov a zodpovedá skutočnej dráhe voľnej gule, na ktorú nepôsobia žiadne sily a pre ktorú sú okrajové podmienky uvedené v tvare 1) a 2).

Druhá dráha je odvodená od matematický problém nájdenie trajektórie s danými okrajovými podmienkami 1) a 2), pre ktoré je pôsobenie minimálne.

Princíp najmenšej akcie hovorí, že tieto dve cesty sa musia zhodovať. Inými slovami, ak je známe, že sa loptička pohybovala takým spôsobom, že boli splnené okrajové podmienky 1) a 2), potom sa nevyhnutne pohybovala po trajektórii, pre ktorú je akcia minimálna v porovnaní s akoukoľvek inou trajektóriou s rovnakými okrajovými podmienkami. .

To by sa dalo považovať za obyčajnú náhodu. Nikdy nepoznáte problémy, v ktorých sa objavujú jednotné trajektórie a priame čiary. Princíp najmenšej akcie sa však ukazuje ako veľmi všeobecný princíp, ktorý platí aj v iných situáciách, napríklad pre pohyb lopty v rovnomernom gravitačnom poli. Aby ste to dosiahli, stačí nahradiť kinetickú energiu rozdielom medzi kinetickou a potenciálnou energiou. Tento rozdiel sa nazýva Lagrangeova funkcia alebo Lagrangeova funkcia a akcia sa teraz rovná celkovému nahromadenému Lagrangeovi. V skutočnosti funkcia Lagrange obsahuje všetky potrebné informácie o dynamických vlastnostiach systému.

Ak loptičku spustíme v rovnomernom gravitačnom poli tak, že prejde bodom

v tom čase

a letel k veci

v tom čase

Potom podľa Newtonových zákonov poletí pozdĺž paraboly. Práve táto parabola sa bude zhodovať s trajektóriami, pri ktorých bude akcia minimálna.

Pre teleso pohybujúce sa v potenciálnom poli, napríklad v gravitačnom poli Zeme, sa teda Lagrangeova funkcia rovná:

Kinetická energia

závisí od rýchlosti telesa a potenciál závisí od jeho polohy, t.j. súradnice

IN analytická mechanika celý súbor súradníc, ktoré určujú polohu systému, sa zvyčajne označuje jedným písmenom

Pre loptičku, ktorá sa voľne pohybuje v gravitačnom poli,

znamená súradnice

Na označenie rýchlosti zmeny veličiny je vo fyzike veľmi bežné jednoducho umiestniť nad túto veličinu bodku. Napríklad,

označuje rýchlosť zmeny súradníc

Alebo, inými slovami, rýchlosť tela v smere

Pomocou týchto konvencií je rýchlosť našej lopty v analytickej mechanike označená ako

znamená zložky rýchlosti

Keďže Lagrangeova funkcia závisí od rýchlosti a súradníc a môže závisieť aj explicitne od času (explicitne závislá od času znamená, že hodnota

v rôznych časových okamihoch je rozdielna, pri rovnakých rýchlostiach a polohách lopty), potom sa akcia vo všeobecnosti zapíše ako

Nie vždy minimálne
Na konci predchádzajúcej časti sme sa však zaoberali príkladom, kde princíp najmenšej akcie zjavne nefunguje. Aby sme to urobili, opäť sme vzali voľnú guľu, na ktorú nepôsobia žiadne sily, a vedľa nej sme postavili odpruženú stenu.

Okrajové podmienky nastavíme tak, že body

zladiť sa. Tie. a v tom čase

a v tom čase

lopta musí skončiť v rovnakom bode

Jednou z možných trajektórií bude loptička stáť na mieste. Tie. celý časový interval medzi

zostáva pri bode

Kinetická a potenciálna energia sa v tomto prípade bude rovnať nule, takže akcia pre takúto dráhu bude tiež rovná nule.

Presne povedané, potenciálna energia sa môže rovnať nie nule, ale akémukoľvek číslu, pretože rozdiel v potenciálnej energii v rôzne body priestor. Zmena hodnoty potenciálnej energie však neovplyvňuje hľadanie trajektórie s minimálnou akciou. Ide len o to, že pre všetky trajektórie sa hodnota akcie zmení o rovnaké číslo a trajektória s minimálnou akciou zostane trajektóriou s minimálnou akciou. Pre pohodlie zvolíme pre našu loptu potenciálnu energiu rovnú nule.

Ďalšou možnou fyzikálnou dráhou s rovnakými okrajovými podmienkami je dráha, po ktorej loptička najprv letí doprava a míňa bod.

v tom čase

Potom sa zrazí s pružinou, stlačí ju, pružina sa narovná, zatlačí loptu späť a tá opäť preletí za bod

Môžete si zvoliť rýchlosť lopty tak, aby po odraze od steny preletela za bod

práve v tejto chvíli

Pôsobenie na takejto dráhe sa bude v zásade rovnať akumulovanej kinetickej energii počas letu medzi bodom

a stenou a zadnou stranou. Po určitom čase bude gulička stláčať pružinu a jej potenciálna energia sa zvýši a v tomto časovom období bude potenciálna energia negatívne prispievať k akcii. Takéto časové obdobie však nebude veľmi veľké a výrazne nezníži účinok.

Na obrázku sú znázornené obe fyzikálne možné dráhy lopty. Zelená dráha zodpovedá loptičke v pokoji, zatiaľ čo modrá zodpovedá loptičke, ktorá sa odráža od pružnej steny.

Len jeden z nich má však minimálny efekt, a to ten prvý! Druhá dráha má viac akcie. Ukazuje sa, že v tomto probléme sú dve fyzikálne možné trajektórie a iba jedna s minimálnou akciou. Tie. V tomto prípade zásada najmenšej akcie nefunguje.

Stacionárne body.
Aby sme pochopili, čo sa tu deje, odbočme nateraz od princípu najmenšej akcie a zaoberme sa bežnými funkciami. Zoberme si nejakú funkciu

a nakreslite jej graf:

Označil som na grafe v zelenej farbeštyri špeciálne body. Čo je spoločné pre tieto body? Predstavte si, že graf funkcie je skutočný sklz, po ktorom sa môže guľôčka kotúľať. Štyri určené body sú špeciálne v tom, že ak loptičku umiestnite presne na tento bod, potom sa nikam neodkotúľa. Vo všetkých ostatných bodoch, napríklad v bode E, nebude schopný stáť na mieste a začne sa šmýkať dole. Takéto body sa nazývajú stacionárne. Nájdenie takýchto bodov je užitočná úloha, pretože každé maximum alebo minimum funkcie, ak nemá ostré zlomy, musí byť nevyhnutne stacionárnym bodom.

Ak tieto body klasifikujeme presnejšie, tak bod A je absolútne minimum funkcie, t.j. jeho hodnota je menšia ako hodnota akejkoľvek inej funkcie. Bod B nie je ani maximum, ani minimum a nazýva sa sedlový bod. Bod C sa nazýva lokálne maximum, t.j. hodnota v ňom je väčšia ako v susedných bodoch funkcie. A bod D miestne minimum, t.j. hodnota v ňom je menšia ako v susedných bodoch funkcie.

Hľadaním takýchto bodov sa zaoberá oblasť matematiky zvaná kalkul. Iným spôsobom sa niekedy nazýva aj infinitezimálna analýza, pretože môže pracovať s nekonečne malými veličinami. Z pohľadu matematická analýza stacionárne body majú jednu špeciálnu vlastnosť, vďaka ktorej sa nachádzajú. Aby sme pochopili, čo je táto vlastnosť, musíme pochopiť, ako funkcia vyzerá vo veľmi malých vzdialenostiach od týchto bodov. Aby sme to urobili, vezmeme mikroskop a pozrieme sa na to v našich bodoch. Obrázok ukazuje, ako funkcia vyzerá v blízkosti rôznych bodov pri rôznych zväčšeniach.

Je vidieť, že pri veľmi veľkom zväčšení (t.j. pre veľmi malé odchýlky x) vyzerajú stacionárne body úplne rovnako a sú veľmi odlišné od nestacionárneho bodu. Je ľahké pochopiť, aký je tento rozdiel - graf funkcie v stacionárnom bode sa stáva striktne vodorovnou čiarou s nárastom a v nestacionárnom bode sa stáva naklonenou čiarou. To je dôvod, prečo sa loptička inštalovaná v stacionárnom bode nebude otáčať.

Horizontálnosť funkcie v stacionárnom bode sa dá vyjadriť aj inak: funkcia v stacionárnom bode sa pri veľmi malej zmene argumentu prakticky nemení.

Aj v porovnaní so zmenou samotného argumentu. Funkcia v nestacionárnom bode s malou zmenou

zmeny v pomere k zmene

A čím väčší je sklon funkcie, tým silnejšie sa funkcia mení pri zmene

V skutočnosti, ako sa funkcia zvyšuje, stáva sa viac a viac ako dotyčnica ku grafu v príslušnom bode.

Na prísnom matematický jazyk výraz „funkcia sa v bode prakticky nemení

s veľmi malou zmenou

“ znamená, že pomer zmeny funkcie a zmeny jej argumentu

má tendenciu k 0 at

sklon k 0:

$$zobraziť$$lim_(∆x až 0) frac (∆y(x_0))(∆x) = lim_(x až 0) frac (y(x_0+∆x)-y(x_0))(∆x) = 0$$zobraziť$$

Pre nestacionárny bod má tento pomer tendenciu k nenulovému číslu, ktoré sa rovná dotyčnici sklonu funkcie v tomto bode. To isté číslo sa nazýva derivácia funkcie v danom bode. Derivácia funkcie ukazuje, ako rýchlo sa funkcia mení okolo daného bodu, kedy malá zmena jej argument

Stacionárne body sú teda body, v ktorých je derivácia funkcie 0.

Stacionárne trajektórie.
Analogicky so stacionárnymi bodmi môžeme zaviesť pojem stacionárne trajektórie. Pripomeňme, že pre každú trajektóriu máme určitú hodnotu akcie, t.j. nejaké číslo. Potom je možné nájsť trajektóriu tak, že pre trajektórie blízko nej s rovnakými okrajovými podmienkami sa zodpovedajúce akčné hodnoty prakticky nebudú líšiť od akcie pre najstabilnejšiu trajektóriu. Takáto dráha sa nazýva stacionárna. Inými slovami, akákoľvek trajektória blízka stacionárnej bude mať akčnú hodnotu veľmi málo odlišnú od akcie pre túto stacionárnu trajektóriu.

Opäť, v matematickom jazyku, "trochu inak" má nasledovné presný význam. Predpokladajme, že máme funkčný

pre funkcie s požadovanými okrajovými podmienkami 1) a 2), t.j.

Predpokladajme, že trajektória

- stacionárny.

Môžeme prevziať akúkoľvek inú funkciu

Taký, že na koncoch nadobúda nulové hodnoty, t.j.

0. Vezmeme aj premennú

Čo budeme robiť čoraz menej. Z týchto dvoch funkcií a premennej

môžeme zostaviť tretiu funkciu

ktorý bude spĺňať aj okrajové podmienky

Pri znižovaní

trajektória, zodpovedajúcu funkciu

Bude sa približovať a približovať k trajektórii

V tomto prípade pre stacionárne trajektórie pri malých

hodnota funkcionálu pre trajektórie

sa bude veľmi málo líšiť od hodnoty funkčného pre

aj v porovnaní s

$$display$$lim_(ε to 0) frac (S(x"(t))-S(x(t)))ε=lim_(ε to 0) frac (S(x(t)+εg(t) ))-S(x(t)))ε = 0$$zobraziť$$

Okrem toho by to malo platiť pre akúkoľvek trajektóriu

Splnenie okrajových podmienok

Zmena funkcionálu s malou zmenou funkcie (presnejšie lineárna časť zmeny funkcionálu úmerná zmene funkcie) sa nazýva variácia funkcionálu a označuje sa ako zmena funkcie.

Od výrazu „variácia“ pochádza názov „počet variácií“.

Pre stacionárne trajektórie variácia funkcionálu

Metódu hľadania stacionárnych funkcií (nielen pre princíp najmenšej akcie, ale aj pre mnohé iné problémy) našli dvaja matematici – Euler a Lagrange. Ukazuje sa, že stacionárna funkcia, ktorej funkcionál je vyjadrený integrálom ako akčný integrál, musí spĺňať určitú rovnicu, teraz nazývanú Euler-Lagrangeova rovnica.

Princíp stacionárneho pôsobenia.
Situácia s minimom akcie pre trajektórie je podobná situácii s minimom pre funkcie. Aby mala dráha najmenšiu aktivitu, musí to byť stacionárna dráha. Nie všetky stacionárne trajektórie sú však trajektóriami s minimálnou akciou. Napríklad stacionárna trajektória môže mať lokálne minimálne pôsobenie. Tie. bude mať menej akcie ako ktorákoľvek iná susedná trajektória. Niekde ďaleko však môžu byť iné trajektórie, pre ktoré bude akcia ešte menšia.

Ukazuje sa, že skutočné telesá sa nemusia nevyhnutne pohybovať po trajektóriách s najmenšou aktivitou. Môžu sa pohybovať po širšom súbore špeciálnych trajektórií, konkrétne po stacionárnych trajektóriách. Tie. skutočná dráha telesa bude vždy nehybná. Preto sa princíp najmenšieho pôsobenia správnejšie nazýva princíp stacionárneho pôsobenia. Podľa zavedenej tradície sa však často nazýva princípom najmenšej akcie, čo znamená nielen minimalizáciu, ale aj stacionárnosť trajektórií.

Teraz môžeme napísať princíp stacionárneho konania v matematickom jazyku, ako sa zvyčajne píše v učebniciach:

Ide o zovšeobecnené súradnice, t.j. množina čísel, ktorá jednoznačne určuje polohu systému.

Rýchlosti zmeny zovšeobecnených súradníc.

Lagrangeova funkcia, ktorá závisí od zovšeobecnených súradníc, ich rýchlostí a prípadne času.

Akcia, ktorá závisí od konkrétnej trajektórie systému (t.j

Reálne trajektórie sústavy sú stacionárne, t.j. pre nich variácia akcie

Ak sa vrátime k príkladu s loptou a elastickou stenou, vysvetlenie tejto situácie je teraz veľmi jednoduché. Za dané hraničné podmienkyže lopta by mala a včas

a počas

byť na mieste

existujú dve stacionárne trajektórie. A lopta sa môže skutočne pohybovať po ktorejkoľvek z týchto trajektórií. Ak chcete explicitne vybrať jednu z trajektórií, môžeme nanútiť pohyb lopty dodatočná podmienka. Povedzme napríklad, že lopta by sa mala odraziť od steny. Potom bude dráha jednoznačne určená.

Z princípu najmenšieho (presnejšie stacionárneho) pôsobenia vyplývajú niektoré pozoruhodné dôsledky, o ktorých budeme diskutovať v ďalšej časti.