Derivácia funkcie sa rovná nule, keď. Aplikácia derivácie pri štúdiu funkcií

Štúdium funkcie pomocou jej derivácie. V tomto článku budeme analyzovať niektoré úlohy súvisiace so štúdiom grafu funkcie. V takýchto úlohách je daný graf funkcie y = f (x) a vznikajú otázky týkajúce sa určenia počtu bodov, v ktorých je derivácia funkcie kladná (alebo záporná), ako aj iné. Sú klasifikované ako úlohy o aplikácii derivácií na štúdium funkcií.

Riešenie takýchto problémov a vo všeobecnosti problémov súvisiacich s výskumom je možné len s úplným pochopením vlastností derivácie na štúdium grafov funkcií a derivácie. Preto vám dôrazne odporúčam naštudovať si príslušnú teóriu. Môžete študovať a aj pozerať (obsahuje však krátke zhrnutie).

V budúcich článkoch zvážime aj problémy, v ktorých je uvedený derivačný graf, nenechajte si to ujsť! Takže úlohy:

Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f (x), definovanej na intervale (−6; 8). Definuj:

1. Počet celočíselných bodov, v ktorých je derivácia funkcie záporná;

2. Počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s priamkou y = 2;

1. Derivácia funkcie je záporná na intervaloch, na ktorých funkcia klesá, teda na intervaloch (−6; –3), (0; 4,2), (6,9; 8). Obsahujú celočíselné body −5, −4, 1, 2, 3, 4 a 7. Získame 7 bodov.

2. Priame r= 2 rovnobežne s osouOhr= 2 iba v extrémnych bodoch (v bodoch, kde graf mení svoje správanie z rastúceho na klesajúci alebo naopak). Existujú štyri takéto body: –3; 0; 4,2; 6.9

Rozhodnite sa sami:

Určte počet celočíselných bodov, v ktorých je derivácia funkcie kladná.

Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f (x), definovanej na intervale (−5; 5). Definuj:

2. Počet celočíselných bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s priamkou y = 3;

3. počet bodov, pri ktorých je derivácia nula;

1. Z vlastností derivácie funkcie je známe, že je kladná na intervaloch, na ktorých funkcia rastie, teda na intervaloch (1.4; 2.5) a (4.4; 5). Obsahujú iba jeden celočíselný bod x = 2.

2. Priame r= 3 rovnobežne s osouOh. Dotyčnica bude rovnobežná s priamkour= 3 iba v extrémnych bodoch (v bodoch, kde graf mení svoje správanie z rastúceho na klesajúci alebo naopak).

Existujú štyri takéto body: –4,3; 1,4; 2,5; 4.4

3. Derivácia je nula pri štyri body(v extrémnych bodoch), sme ich už naznačili.

Rozhodnite sa sami:

Určte počet celočíselných bodov, v ktorých je derivácia funkcie f(x) záporná.

Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f (x), definovanej na intervale (−2; 12). Nájsť:

1. Počet celočíselných bodov, v ktorých je derivácia funkcie kladná;

2. počet celočíselných bodov, v ktorých je derivácia funkcie záporná;

3. Počet celočíselných bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s priamkou y = 2;

4. Počet bodov, pri ktorých je derivácia nula.

1. Z vlastností derivácie funkcie je známe, že je kladná na intervaloch, na ktorých funkcia rastie, teda na intervaloch (–2; 1), (2; 4), (7; 9) a ( 10; 11). Obsahujú celočíselné body: –1, 0, 3, 8. Celkovo sú štyri.

2. Derivácia funkcie je záporná na intervaloch, na ktorých funkcia klesá, teda na intervaloch (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Obsahujú celočíselné body 5 a 6. Získame 2 body.

3. Priame r= 2 rovnobežne s osouOh. Dotyčnica bude rovnobežná s priamkour= 2 iba v extrémnych bodoch (v bodoch, kde graf mení svoje správanie z rastúceho na klesajúci alebo naopak). Existuje sedem takýchto bodov: 1; 2; 4; 7; 9; 10; jedenásť.

4. Derivácia sa rovná nule v siedmich bodoch (v extrémnych bodoch), už sme ich naznačili.

Definícia. Nech je funkcia \(y = f(x)\) definovaná v určitom intervale obsahujúcom bod \(x_0\). Dajme argumentu prírastok \(\Delta x \) tak, aby neopustil tento interval. Nájdeme zodpovedajúci prírastok funkcie \(\Delta y \) (pri pohybe z bodu \(x_0 \) do bodu \(x_0 + \Delta x \)) a zostavíme vzťah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Ak existuje limit pre tento pomer na \(\Delta x \rightarrow 0\), potom sa zadaný limit nazýva derivácia funkcie\(y=f(x) \) v bode \(x_0 \) a označte \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbol y sa často používa na označenie derivácie. Všimnite si, že y" = f(x) je nová funkcia, ale prirodzene súvisí s funkciou y = f(x), definovanou vo všetkých bodoch x, v ktorých existuje vyššie uvedená limita. Táto funkcia sa volá takto: derivácia funkcie y = f(x).

Geometrický význam derivát je nasledujúca. Ak je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie y = f(x) v bode s os x=a, ktorý nie je rovnobežný s osou y, potom f(a) vyjadruje sklon dotyčnice. :
\(k = f"(a)\)

Keďže \(k = tg(a) \), potom platí rovnosť \(f"(a) = tan(a) \).

Teraz poďme interpretovať definíciu derivácie z pohľadu približných rovnosti. Nech funkcia \(y = f(x)\) má deriváciu v konkrétny bod\(X\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znamená, že blízko bodu x je približná rovnosť \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \približne f"(x)\), t.j. \(\Delta y \približne f"(x) \cdot\ Delta x\). Zmysluplný význam výslednej približnej rovnosti je nasledovný: prírastok funkcie je „takmer úmerný“ prírastku argumentu a koeficient úmernosti je hodnota derivácie v daný bod X. Napríklad pre funkciu \(y = x^2\) platí približná rovnosť \(\Delta y \cca 2x \cdot \Delta x \). Ak dôkladne analyzujeme definíciu derivátu, zistíme, že obsahuje algoritmus na jeho nájdenie.

Poďme to sformulovať.

Ako nájsť deriváciu funkcie y = f(x)?

1. Opravte hodnotu \(x\), nájdite \(f(x)\)
2. Dajte argumentu \(x\) prírastok \(\Delta x\), prejdite na nový bod\(x+ \Delta x \), nájdite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Nájdite prírastok funkcie: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Vytvorte vzťah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Vypočítajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Táto limita je deriváciou funkcie v bode x.

Ak funkcia y = f(x) má deriváciu v bode x, potom sa nazýva diferencovateľná v bode x. Zavolá sa procedúra na nájdenie derivácie funkcie y = f(x). diferenciácia funkcie y = f(x).

Poďme diskutovať o nasledujúcej otázke: ako spolu súvisí spojitosť a diferencovateľnosť funkcie v bode?

Nech je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x. Potom je možné ku grafu funkcie v bode M(x; f(x)) nakresliť dotyčnicu a pripomíname, že uhlový koeficient dotyčnice sa rovná f "(x). Takýto graf sa nemôže „rozbiť“ v bode M, teda funkcia musí byť spojitá v bode x.

Boli to „praktické“ argumenty. Uveďme dôslednejšie zdôvodnenie. Ak je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x, potom platí približná rovnosť \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Ak v tejto rovnosti \(\Delta x \) inklinuje k nule, potom \(\Delta y \) bude inklinovať k nule, a to je podmienka spojitosti funkcie v bode.

takže, ak je funkcia diferencovateľná v bode x, potom je v tomto bode spojitá.

Opačné tvrdenie nie je pravdivé. Napríklad: funkcia y = |x| je všade spojitá, najmä v bode x = 0, ale dotyčnica ku grafu funkcie v „bode spojenia“ (0; 0) neexistuje. Ak v určitom bode nemožno nakresliť tangens ku grafu funkcie, potom derivácia v tomto bode neexistuje.

Ešte jeden príklad. Funkcia \(y=\sqrt(x)\) je spojitá na celej číselnej osi, vrátane bodu x = 0. A dotyčnica ku grafu funkcie existuje v akomkoľvek bode, vrátane bodu x = 0 Ale v tomto bode sa dotyčnica zhoduje s osou y, t.j. je kolmá na os x, jej rovnica má tvar x = 0. Takáto priamka nemá uhlový koeficient, čo znamená, že \(f "(0)\) neexistuje.

Zoznámili sme sa teda s novou vlastnosťou funkcie – diferencovateľnosťou. Ako možno z grafu funkcie vyvodiť záver, že je diferencovateľná?

Odpoveď je vlastne uvedená vyššie. Ak je v určitom bode možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie, ktorá nie je kolmá na os x, potom je funkcia v tomto bode diferencovateľná. Ak v určitom bode dotyčnica ku grafu funkcie neexistuje alebo je kolmá na os x, potom funkcia v tomto bode nie je diferencovateľná.

Pravidlá diferenciácie

Operácia nájdenia derivátu sa nazýva diferenciácia. Pri vykonávaní tejto operácie musíte často pracovať s kvocientmi, súčtami, súčinmi funkcií, ako aj „funkciami funkcií“, teda komplexnými funkciami. Na základe definície derivátu vieme odvodiť pravidlá diferenciácie, ktoré túto prácu uľahčia. Ak C- konštantné číslo a f=f(x), g=g(x) sú niektoré diferencovateľné funkcie, potom platí nasledovné pravidlá diferenciácie:

Tabuľka derivácií niektorých funkcií

Ukázanie súvislosti medzi znamienkom derivácie a povahou monotónnosti funkcie.

Prosím, buďte veľmi opatrní pri nasledujúcich veciach. Pozri, rozvrh ČOHO ti je daný! Funkcia alebo jej derivát

Ak je daný graf derivácie, potom nás budú zaujímať len znamienka a nuly funkcie. V zásade nás nezaujímajú žiadne „kopce“ alebo „dutiny“!

Úloha 1.

Na obrázku je znázornený graf funkcie definovanej na intervale. Určte počet celočíselných bodov, v ktorých je derivácia funkcie záporná.

Riešenie:

Na obrázku sú farebne zvýraznené oblasti klesajúcej funkcie:

Tieto klesajúce oblasti funkcie obsahujú 4 celočíselné hodnoty.

Úloha 2.

Na obrázku je znázornený graf funkcie definovanej na intervale. Nájdite počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s priamkou alebo sa s ňou zhoduje.

Riešenie:

Akonáhle je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná (alebo sa zhoduje) s priamkou (alebo, čo je tá istá vec), ktorá má sklon , rovná nule, potom má aj dotyčnica uhlový koeficient.

To zase znamená, že dotyčnica je rovnobežná s osou, pretože sklon je dotyčnicou uhla sklonu dotyčnice k osi.

Na grafe teda nájdeme extrémne body (maximálne a minimálne body) – práve v týchto bodoch budú funkcie dotýkajúce sa grafu rovnobežné s osou.

Existujú 4 také body.

Úloha 3.

Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie definovanej na intervale. Nájdite počet bodov, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s priamkou alebo sa s ňou zhoduje.

Riešenie:

Keďže dotyčnica ku grafu funkcie je rovnobežná (alebo sa zhoduje) s priamkou, ktorá má sklon, potom má aj dotyčnica sklon.

To zase znamená, že na dotykových bodoch.

Preto sa pozrieme na to, koľko bodov na grafe má súradnicu rovnú .

Ako vidíte, existujú štyri takéto body.

Úloha 4.

Na obrázku je znázornený graf funkcie definovanej na intervale. Nájdite počet bodov, v ktorých je derivácia funkcie 0.

Riešenie:

Derivácia sa rovná nule v extrémnych bodoch. Máme ich 4:

Úloha 5.

Na obrázku je znázornený graf funkcie a jedenásť bodov na osi x:. V koľkých z týchto bodov je derivácia funkcie záporná?

Riešenie:

Na intervaloch klesajúcej funkcie naberá jej derivácia záporné hodnoty. A funkcia v bodoch klesá. Existujú 4 také body.

Úloha 6.

Na obrázku je znázornený graf funkcie definovanej na intervale. Nájdite súčet extrémnych bodov funkcie.

Riešenie:

Extrémne body– ide o maximálny počet bodov (-3, -1, 1) a minimálny počet bodov (-2, 0, 3).

Súčet extrémnych bodov: -3-1+1-2+0+3=-2.

Úloha 7.

Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie definovanej na intervale. Nájdite intervaly nárastu funkcie. Vo svojej odpovedi uveďte súčet celočíselných bodov zahrnutých v týchto intervaloch.

Riešenie:

Obrázok zvýrazňuje intervaly, v ktorých je derivácia funkcie nezáporná.

Na malom rastúcom intervale nie sú žiadne celočíselné body, na rastúcom intervale sú štyri celočíselné hodnoty: , , a .

Ich súčet:

Úloha 8.

Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie definovanej na intervale. Nájdite intervaly nárastu funkcie. Vo svojej odpovedi uveďte dĺžku najväčšieho z nich.

Riešenie:

Na obrázku sú všetky intervaly, na ktorých je derivácia kladná, farebne zvýraznené, čo znamená, že samotná funkcia sa na týchto intervaloch zvyšuje.

Dĺžka najväčšieho z nich je 6.

Úloha 9.

Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie definovanej na intervale. V ktorom bode segmentu nadobúda najväčšiu hodnotu?

Riešenie:

Pozrime sa, ako sa graf správa na segmente, čo nás zaujíma iba znamienko derivátu .

Znamienko derivácie je mínus, pretože graf na tomto segmente je pod osou.

Úloha B9 poskytuje graf funkcie alebo derivácie, z ktorej musíte určiť jednu z nasledujúcich veličín:

1. Hodnota derivátu v určitom bode x 0,
2. Maximálny alebo minimálny počet bodov (extrémne body),
3. Intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií (intervaly monotónnosti).

Funkcie a derivácie uvedené v tomto probléme sú vždy spojité, čo značne uľahčuje riešenie. Napriek tomu, že úloha patrí do oddielu matematická analýza, je to celkom v silách aj tých najslabších študentov, keďže tam nie sú žiadne hlboké teoretické vedomosti tu sa nevyžaduje.

Na nájdenie hodnoty derivácie, extrémnych bodov a intervalov monotónnosti existujú jednoduché a univerzálne algoritmy – o všetkých sa bude diskutovať nižšie.

Pozorne si prečítajte podmienky úlohy B9, aby ste sa vyhli hlúpym chybám: niekedy narazíte na dosť zdĺhavé texty, ale dôležité podmienky, ktoré ovplyvňujú priebeh rozhodovania, je málo.

Výpočet hodnoty derivátu. Dvojbodová metóda

Ak je problém daný grafom funkcie f(x), dotyčnica k tomuto grafu v určitom bode x 0 a je potrebné nájsť hodnotu derivácie v tomto bode, použije sa nasledujúci algoritmus:

1. Nájdite dva „adekvátne“ body na dotyčnicovom grafe: ich súradnice musia byť celé číslo. Označme tieto body ako A (x 1 ; y 1) a B (x 2 ; y 2). Zapíšte si súradnice správne - to je kľúčový moment riešenia a akákoľvek chyba tu vedie k nesprávnej odpovedi.
2. Keď poznáme súradnice, je ľahké vypočítať prírastok argumentu Δx = x 2 − x 1 a prírastok funkcie Δy = y 2 − y 1 .
3. Nakoniec nájdeme hodnotu derivácie D = Δy/Δx. Inými slovami, musíte vydeliť prírastok funkcie prírastkom argumentu – a toto bude odpoveď.

Ešte raz si všimnime: body A a B treba hľadať presne na dotyčnici, a nie na grafe funkcie f(x), ako sa to často stáva. Dotyková čiara bude nevyhnutne obsahovať aspoň dva takéto body - inak nebude problém správne formulovaný.

Zvážte body A (−3; 2) a B (−1; 6) a nájdite prírastky:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Zistime hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x 0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x 0 .

Zvážte body A (0; 3) a B (3; 0), nájdite prírastky:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Teraz nájdeme hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf funkcie y = f(x) a dotyčnica k nej v bode s os x 0. Nájdite hodnotu derivácie funkcie f(x) v bode x 0 .

Zvážte body A (0; 2) a B (5; 2) a nájdite prírastky:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Zostáva nájsť hodnotu derivácie: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Od posledný príklad môžeme sformulovať pravidlo: ak je dotyčnica rovnobežná s osou OX, derivácia funkcie v bode dotyku je nulová. V tomto prípade nemusíte ani nič počítať - stačí sa pozrieť na graf.

Výpočet maximálneho a minimálneho počtu bodov

Niekedy namiesto grafu funkcie dáva úloha B9 graf derivácie a vyžaduje nájdenie maximálneho alebo minimálneho bodu funkcie. V tejto situácii je dvojbodová metóda zbytočná, ale existuje iný, ešte jednoduchší algoritmus. Najprv si definujme terminológiu:

1. Bod x 0 sa nazýva maximálny bod funkcie f(x), ak v niektorom okolí tohto bodu platí nerovnosť: f(x 0) ≥ f(x).
2. Bod x 0 sa nazýva minimálny bod funkcie f(x), ak v niektorom okolí tohto bodu platí nerovnosť: f(x 0) ≤ f(x).

Ak chcete nájsť maximum a minimum bodov z derivačného grafu, postupujte podľa týchto krokov:

1. Prekreslite derivačný graf a odstráňte všetky nepotrebné informácie. Ako ukazuje prax, nepotrebné údaje len zasahujú do rozhodnutia. Preto upozorňujeme na súradnicová os nuly derivácie - to je všetko.
2. Zistite znamienka derivácie na intervaloch medzi nulami. Ak je pre nejaký bod x 0 známe, že f'(x 0) ≠ 0, potom sú možné len dve možnosti: f'(x 0) ≥ 0 alebo f'(x 0) ≤ 0. Znamienko derivácie je ľahko určiť z pôvodného nákresu: ak derivačný graf leží nad osou OX, potom f'(x) ≥ 0. A naopak, ak derivačný graf leží pod osou OX, potom f'(x) ≤ 0.
3. Opäť skontrolujeme nuly a znamienka derivácie. Tam, kde sa znamienko zmení z mínus na plus, je minimálny bod. Naopak, ak sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus, ide o maximálny bod. Počítanie sa vždy vykonáva zľava doprava.

Táto schéma funguje len pre spojité funkcie - v úlohe B9 nie sú žiadne iné.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−5; 5]. Nájdite minimálny bod funkcie f(x) na tomto segmente.

Zbavme sa nepotrebných informácií a ponechajme len hranice [−5; 5] a nuly derivácie x = −3 a x = 2,5. Všímame si aj tieto znaky:

Je zrejmé, že v bode x = −3 sa znamienko derivácie zmení z mínus na plus. Toto je minimálny bod.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−3; 7]. Nájdite maximálny bod funkcie f(x) na tomto segmente.

Prekreslíme graf a ponecháme len hranice [−3; 7] a nuly derivácie x = −1,7 a x = 5. Všimnime si znamienka derivácie na výslednom grafe. Máme:

Je zrejmé, že v bode x = 5 sa znamienko derivácie zmení z plus na mínus - to je maximálny bod.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x), definovanej na intervale [−6; 4]. Nájdite maximálny počet bodov funkcie f(x) patriacich segmentu [−4; 3].

Z podmienok úlohy vyplýva, že stačí uvažovať len časť grafu obmedzenú úsečkou [−4; 3]. Preto staviame nový rozvrh, na ktorom vyznačíme len hranice [−4; 3] a nuly derivácie v ňom. Konkrétne body x = −3,5 a x = 2. Dostaneme:

Na tomto grafe je len jeden maximálny bod x = 2. Práve v tomto bode sa mení znamienko derivácie z plus na mínus.

Malá poznámka o bodoch s neceločíselnými súradnicami. Napríklad v posledná úloha bod x = −3,5 bol uvažovaný, ale s rovnakým úspechom môžeme vziať x = −3,4. Ak je problém zostavený správne, takéto zmeny by nemali ovplyvniť odpoveď, pretože body „bez trvalého bydliska“ neakceptujú priama účasť pri riešení problému. Samozrejme, tento trik nebude fungovať s celočíselnými bodmi.

Hľadanie intervalov rastúcich a klesajúcich funkcií

V takom probléme, ako je maximálny a minimálny bod, sa navrhuje použiť derivačný graf na nájdenie oblastí, v ktorých sa samotná funkcia zvyšuje alebo znižuje. Najprv si definujme, čo je zvyšovanie a znižovanie:

1. O funkcii f(x) sa hovorí, že je rastúca na segmente, ak pre ľubovoľné dva body x 1 a x 2 z tohto segmentu platí nasledujúce tvrdenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Inými slovami, čím väčšia je hodnota argumentu, tým väčšia je hodnota funkcie.
2. O funkcii f(x) sa hovorí, že je na segmente klesajúca, ak pre ľubovoľné dva body x 1 a x 2 z tohto segmentu platí nasledujúce tvrdenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2) . Tie. vyššiu hodnotu zhody argumentov nižšia hodnota funkcie.

Poďme formulovať dostatočné podmienky vzostupne a zostupne:

1. Za účelom nepretržitá funkcia f(x) rastie na segmente , stačí, aby jeho derivácia vo vnútri segmentu bola kladná, t.j. f’(x) ≥ 0.
2. Aby sa spojitá funkcia f(x) na segmente zmenšila, stačí, aby jej derivácia vo vnútri segmentu bola záporná, t.j. f'(x) ≤ 0.

Prijmime tieto vyhlásenia bez dôkazov. Získame tak schému hľadania intervalov zvyšovania a znižovania, ktorá je v mnohom podobná algoritmu na výpočet extrémnych bodov:

1. Odstráňte všetky nepotrebné informácie. V pôvodnom grafe derivácie nás primárne zaujímajú nuly funkcie, preto necháme len tie.
2. Označte znamienka derivácie v intervaloch medzi nulami. Kde f'(x) ≥ 0, funkcia sa zvyšuje a kde f'(x) ≤ 0 sa znižuje. Ak problém nastavuje obmedzenia na premennú x, dodatočne ich označíme na novom grafe.
3. Teraz, keď poznáme správanie funkcie a obmedzenia, zostáva vypočítať množstvo požadované v úlohe.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x) definovanej na intervale [−3; 7,5]. Nájdite intervaly poklesu funkcie f(x). Vo svojej odpovedi uveďte súčet celých čísel zahrnutých v týchto intervaloch.

Ako obvykle, prekreslíme graf a označíme hranice [−3; 7,5], ako aj nuly derivácie x = −1,5 a x = 5,3. Potom si všimneme znaky derivácie. Máme:

Keďže derivácia je záporná na intervale (− 1,5), ide o interval klesajúcej funkcie. Zostáva sčítať všetky celé čísla, ktoré sú v tomto intervale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Úloha. Na obrázku je znázornený graf derivácie funkcie f(x), definovanej na intervale [−10; 4]. Nájdite intervaly nárastu funkcie f(x). Vo svojej odpovedi uveďte dĺžku najväčšieho z nich.

Zbavme sa nepotrebných informácií. Ponechajme len hranice [−10; 4] a nuly derivácie, ktoré boli tentokrát štyri: x = −8, x = −6, x = −3 a x = 2. Označme znamienka derivácie a získame nasledujúci obrázok:

Zaujímajú nás intervaly rastúcej funkcie, t.j. také, kde f’(x) ≥ 0. Na grafe sú dva takéto intervaly: (−8; −6) a (−3; 2). Vypočítajme ich dĺžku:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l2 = 2 − (−3) = 5.

Keďže potrebujeme nájsť dĺžku najväčšieho z intervalov, zapíšeme si ako odpoveď hodnotu l 2 = 5.

Pri rozhodovaní rôzne úlohy geometria, mechanika, fyzika a ďalšie oblasti vedomostí sa stali nevyhnutnými pomocou rovnakého analytického procesu z tejto funkcie y=f(x) prijímať Nová funkcia ktorá sa volá derivačná funkcia(alebo jednoducho derivácia) danej funkcie f(x) a je označený symbolom

Proces, ktorým z danej funkcie f(x) získať novú funkciu f" (x), volal diferenciácia a pozostáva z nasledujúcich troch krokov: 1) uveďte argument X prírastok  X a určiť zodpovedajúci prírastok funkcie  y = f(x+ x) -f(x); 2) vytvoriť vzťah

3) počítanie X konštantný a  X0, nájdeme
, ktoré označujeme f" (x), akoby zdôrazňoval, že výsledná funkcia závisí len od hodnoty X, pri ktorej ideme na doraz. Definícia: Derivát y " =f " (x) daná funkcia y=f(x) pre dané x sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu za predpokladu, že prírastok argumentu smeruje k nule, ak samozrejme táto limita existuje, t.j. konečný. teda
, alebo

Všimnite si, že ak pre nejakú hodnotu X, napríklad keď x=a, postoj
pri  X0 nemá tendenciu konečný limit, potom v tomto prípade hovoria, že funkcia f(x) pri x=a(alebo v bode x=a) nemá žiadnu deriváciu alebo nie je v bode diferencovateľná x=a.

2. Geometrický význam derivácie.

Uvažujme graf funkcie y = f (x), diferencovateľnej v blízkosti bodu x 0

f(x)

Uvažujme ľubovoľnú priamku prechádzajúcu bodom na grafe funkcie - bod A(x 0, f (x 0)) a pretínajúci graf v nejakom bode B(x;f(x)). Takáto čiara (AB) sa nazýva sečna. Z ∆ABC: ​​​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Od AC || Ox, potom ALO = BAC = β (ako zodpovedá paralelu). Ale ALO je uhol sklonu sečnice AB ku kladnému smeru osi Ox. To znamená, že tanβ = k je sklon priamky AB.

Teraz znížime ∆х, t.j. ∆х→ 0. V tomto prípade sa bod B priblíži k bodu A podľa grafu a sečna AB sa bude otáčať. Limitnou polohou sečnice AB pri ∆x→ 0 bude priamka (a), nazývaná dotyčnica ku grafu funkcie y = f (x) v bode A.

Ak prejdeme na limitu ako ∆x → 0 v rovnosti tgβ =∆y/∆x, dostaneme
ortg =f "(x 0), keďže
-uhol sklonu dotyčnice ku kladnému smeru osi Ox
, podľa definície derivátu. Ale tg = k je uhlový koeficient dotyčnice, čo znamená k = tg = f "(x 0).

Geometrický význam derivátu je teda nasledujúci:

Derivácia funkcie v bode x 0 rovná sklon dotyčnica ku grafu funkcie nakreslenej v bode s os x 0 .

3. Fyzikálny význam derivátu.

Zvážte pohyb bodu pozdĺž priamky. Nech je daná súradnica bodu v ľubovoľnom čase x(t). Je známe (z kurzu fyziky), že priemerná rýchlosť za určité časové obdobie sa rovná pomeru prejdenej vzdialenosti za toto časové obdobie k času, t.j.

Vav = ∆x/∆t. Poďme na limitu v poslednej rovnosti ako ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - okamžitá rýchlosť v čase t 0, ∆t → 0.

a lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (podľa definície derivátu).

Takže (t) =x"(t).

Fyzikálny význam derivácie je nasledovný: derivácia funkcier = f(X) v bodeX 0 je rýchlosť zmeny funkcief(x) v bodeX 0

Derivát sa používa vo fyzike na nájdenie rýchlosti známa funkcia súradnice verzus čas, zrýchlenie podľa známej funkcie rýchlosti verzus čas.

(t) = x"(t) - rýchlosť,

a(f) = "(t) - zrýchlenie, príp

Ak je známy zákon pohybu hmotného bodu v kruhu, potom je možné nájsť uhlovú rýchlosť a uhlové zrýchlenie pri rotačnom pohybe:

φ = φ(t) - zmena uhla v čase,

ω = φ"(t) - uhlová rýchlosť,

ε = φ"(t) - uhlové zrýchlenie, alebo ε = φ"(t).

Ak je známy zákon o rozdelení hmoty nehomogénnej tyče, potom možno nájsť lineárnu hustotu nehomogénnej tyče:

m = m(x) - hmotnosť,

x  , l - dĺžka tyče,

p = m"(x) - lineárna hustota.

Pomocou derivácie sa riešia problémy z teórie pružnosti a harmonických kmitov. Teda podľa Hookovho zákona

F = -kx, x – premenná súradnica, k – koeficient pružnosti pružiny. Ak dáme ω 2 =k/m, dostaneme diferenciálnu rovnicu pružinového kyvadla x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

kde ω = √k/√m frekvencia kmitov (l/c), k - tuhosť pružiny (H/m).

Rovnica v tvare y" + ω 2 y = 0 sa nazýva rovnica harmonických kmitov (mechanických, elektrických, elektromagnetických). Riešením takýchto rovníc je funkcia

y = Asin(ωt + φ 0) alebo y = Acos(ωt + φ 0), kde

A - amplitúda kmitov, ω - cyklická frekvencia,

φ 0 - počiatočná fáza.