Východisko zo slepej uličky našiel dánsky vedec Niels Bohr v roku 1913, ktorý dostal nobelová cena v roku 1922.
Bohr urobil predpoklady, ktoré boli tzv Bohrove postuláty.
· Prvý postulát (postulát stacionárne stavy ):elektróny sa pohybujú len pozdĺž určitých(stacionárne)obežných dráhach. V čom, aj keď sa pohybujete rýchlosťou,nevyžarujú energiu.
· Druhý postulát (frekvenčné pravidlo):emisia a absorpcia energie vo forme kvanta svetla (hn) sa vyskytuje iba vtedy, keď elektrón prechádza z jedného stacionárneho stavu do druhého. Rozsah svetelné kvantum rovná rozdielu energií týchto stacionárnych stavov,medzi ktorými preskočí elektrón: .
Z toho vyplýva, že zmena atómovej energie spojenej so žiarením, keď je fotón absorbovaný, je úmerná frekvencii ν:
Pravidlo kvantovania obežnej dráhy : Zo všetkých dráh elektrónov sú možné len tie,pre ktorú sa moment hybnosti rovná celočíselnému násobku Planckovej konštanty:
| , | (6.3.2) |
Kde n= 1, 2, 3,... – hlavné kvantové číslo.
Získame výraz pre energiu elektrónu v atóme.
Uvažujme elektrón (obr. 6.6a) pohybujúci sa rýchlosťou v poli atómové jadro s poplatkom Ze(at Z= 1 – atóm vodíka).
 | |||
| A | b |
Pohybová rovnica elektrónu má tvar:
 .
|
(6.3.3) |
Zo vzorca (6.3.3) je zrejmé, že odstredivá sila rovná Coulombova sila, Kde .
Dosadíme hodnotu υ z (6.3.2) do (6.3.3) a získame výraz pre polomery stacionárne dráhy(Obr. 6.6, b):
| . | (6.3.4) |
Polomer prvej dráhy atómu vodíka sa nazýva Bohrov polomer . O n =1, Z= 1 pre vodík máme:
Å = 0,529·10 –10 m.
Vnútorná energia atómu sa skladá z kinetickej energie elektrónu (jadro je nehybné) a potenciálna energia interakcia elektrónu s jadrom:
.
Z rovnice pohybu elektrónov vyplýva, že t.j. Kinetická energia rovná potenciálu. Potom môžeme napísať:
.
Nahradíme tu výraz pre polomer prvej obežnej dráhy a dostaneme:
 .
|
(6.3.5) |
Tu sa berie do úvahy, že Planckova konštanta, t.j. .
Pre atóm vodíka pri Z= 1 máme:
 .
|
(6.3.6) |
Zo vzorca (6.3.6) je zrejmé, že iba akceptuje diskrétne hodnoty energiu, pretože n = 1, 2, 3….
Schéma energetické hladiny, definovaný rovnicou (6.3.6) je znázornený na obr. 6.1 a 6.7.
Keď elektrón v atóme vodíka prechádza zo stavu n v stave k je emitovaný fotón s energiou:
.
Emisná frekvencia:
.
Bol získaný všeobecný Balmerov vzorec, ktorý dobre súhlasí s experimentom. Výraz pred zátvorkami, ako už bolo spomenuté, sa nazýva Rydbergova konštanta :
.
Veľkým úspechom Bohrovej teórie bol výpočet Rydbergovej konštanty pre vodíkové systémy a vysvetlenie ich štruktúry. čiarové spektrá. Bohr dokázal vysvetliť čiary spektra ionizované hélium Teoreticky vypočítal pomer hmotnosti protónu k hmotnosti elektrónu, čo bolo v súlade s experimentom, dôležitým potvrdením hlavných myšlienok obsiahnutých v jeho teórii. Bohrova teória zohrala pri stvorení obrovskú úlohu atómová fyzika. V období svojho rozvoja (1913–1925) dôležité objavy, navždy zaradený do pokladnice svetovej vedy.
Spolu s úspechmi sa však v Bohrovej teórii hneď od začiatku objavili aj výrazné nedostatky. Najdôležitejší z nich bol vnútorná nejednotnosť teórie: mechanické spojenie klasickej fyziky s kvantovými postulátmi. Teória nedokázala vysvetliť otázku intenzity spektrálne čiary. Vážnym zlyhaním bola absolútna nemožnosť použiť teóriu na vysvetlenie spektier atómu hélia obsahujúceho dva elektróny na obežnej dráhe, tým menej na viacelektrónové atómy(obr. 6.8).
Ukázalo sa, že Bohrova teória bola len prechodným štádiom na ceste k vytvoreniu všeobecnejšej a správnejšej teórie. Takouto teóriou bola kvantová mechanika.
Ak chcete zobraziť ukážky, kliknite na príslušný hypertextový odkaz:
| M |
| Q |
| R |
| O |
| Obr.15 |
| z |
| O |
| r |
| X |
Bodka O nazývaný pôvod. Prvá os sa nazýva os Oh, alebo os x, druhá – os OU, alebo ordináta, tretia – os Oz, alebo os. Rovina prechádzajúca dvoma z troch osí Oh, OU, Oz, sa nazýva súradnicová rovina; Existujú 3 súradnicové roviny Sú označené nasledovne: yOz, zOx A xOy.
Nechaj M – ľubovoľný bod priestor. Označme podľa R premietanie bodu M na os Oh rovnobežne s rovinou yOz a cez X– súradnica bodu R na osi Oh. Cez Q označme priemet bodu M na os OU rovnobežne s rovinou zOx a cez pri– súradnica bodu Q na osi OU. Cez R označme priemet bodu M na os Oz rovnobežne s rovinou xOy a cez z– súradnica bodu R na osi Oz(Pozri obrázok 15).
Tri čísla X, r, z prijaté v tomto poradí sa nazývajú všeobecné karteziánske (alebo afinné) súradnice bodu M. Prvá súradnica sa nazýva úsečka bodu M, druhý pri– súradnica bodu M a tretí z– bod aplikácie M. Bodka M so súradnicami X, r, z označené M(X, r, z).
Abscisa bodky M sa rovná nule práve vtedy, ak bod M leží v lietadle yOz. Podobne o ordináte a aplikácii.
Z toho vyplýva, že bod M(X, r, z) leží na osi Oh vtedy a len vtedy pri=z=0, podobne pre osi OU, Oz. Pre pôvod X=pri=z=0.
Body , sa nazývajú jednotkové body súradnicových osí. Bod sa volá jediný bod súradnicové systémy.
Rovnobežník s vrcholom v počiatku O a s hranami sa nazýva mierkový hranol. Segmenty sú stupnicové segmenty osí Ox, Oy, Oz, resp. vektory
sa nazývajú mierkové vektory osí Ox, resp, OU, Oz.
Pomocou všeobecného karteziánskeho súradnicového systému sa vytvorí korešpondencia jedna ku jednej medzi množinou všetkých bodov v priestore a množinou všetkých usporiadaných trojíc. reálne čísla. Tu na vykreslenie pointy M so súradnicami dané čísla X, pri, z, urobte toto: ak stavajú na osiach Oh, OU, Oz bodov P, Q, R so zodpovedajúcimi rovnakými súradnicami na týchto osiach X, pri, z a prejsť cez body P, Q, R roviny rovnobežné so súradnicovými rovinami yOz, zOx, xOy; bodka M– je priesečník týchto rovín.
Kartézsky pravouhlý súradnicový systém v priestore je usporiadaná trojica párových kolmých súradnicových osí s spoločný začiatok súradnice O na každej z nich a s rovnakým segmentom mierky pre každú os (pozri obrázok).
Kartézske pravouhlé súradnice bodu M sú definované podobne. Ide o ortogonálne projekcie bodu M na osi Oh, OU, Oz.
Všimnite si, že často mierkové vektory osí Oh, OU, Oz v kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme sú označené.
), pomocou ktorého sa rozsvieti poloha svietidiel a pomocných bodov nebeská sféra. V astronómii používajú rôzne systémy nebeské súradnice. Každý z nich je v podstate sférický súradnicový systém (bez radiálnej súradnice) s vhodne zvolenou základnou rovinou a počiatkom. V závislosti od výberu základnej roviny sa nebeský súradnicový systém nazýva horizontálny (horizontálna rovina), rovníkový (rovníková rovina), ekliptický (rovina ekliptiky) alebo galaktický (galaktická rovina).
Je možné zadať súradnice v rovine a v priestore nekonečné číslo rôzne cesty. Riešenie toho či onoho matematického resp fyzický problém pomocou súradnicovej metódy môžete použiť rôzne súradnicové systémy, výberom toho, v ktorom sa problém rieši v tomto konkrétnom prípade jednoduchšie alebo pohodlnejšie. Známym zovšeobecnením súradnicových systémov sú referenčné systémy a referenčné systémy.
Encyklopedický YouTube
1 / 5
Model karteziánskeho súradnicového systému.
Geometria 11. ročník - Obdĺžnikový súradnicový systém v priestore
Súradnicová rovina ➽ Algebra 7. ročník ➽ Video lekcia
Video tutoriál " Polárny systém súradnice"
Pravouhlý súradnicový systém v priestore. Vektorové súradnice. Video lekcia o geometrii 11. ročník
titulky
Základné systémy
Táto časť poskytuje vysvetlenie najbežnejšie používaných súradnicových systémov v elementárnej matematike.
Kartézske súradnice
Umiestnenie bodu P v rovine je určená Kartézske súradnice pomocou niekoľkých čísel (x , y): (\displaystyle (x, y):)
Vo vesmíre už potrebujete 3 súradnice (x, y, z) : (\displaystyle (x,y,z):)
Polárne súradnice
IN polárny súradnicový systém, aplikovaný na rovinu, poloha bodu P je určená jeho vzdialenosťou od začiatku r= |OP| a uhol φ jej vektora polomeru k osi Vôl .
Vo vesmíre platia zovšeobecnenia polárne súradnice - cylindrický A guľovitý súradnicové systémy.
Cylindrické súradnice
Cylindrické súradnice- trojrozmerný analóg polárnych, v ktorom je bod P sa javí ako usporiadaná trojka (r, φ, z). (\displaystyle (r,\varphi ,z).)
Poznámka: v literatúre sa niekedy pre prvú (radiálnu) súradnicu používa označenie ρ, pre druhú (uhlovú alebo azimutálnu) súradnicu označenie θ a pre tretiu súradnicu označenie θ. h .Polárne súradnice majú jednu nevýhodu: hodnota φ nie je definovaná kedy r = 0 .
Cylindrické súradnice sú užitočné na štúdium systémov, ktoré sú symetrické okolo nejakej osi. Napríklad dlhý valec s polomerom R v karteziánskych súradniciach (s os z, ktorá sa zhoduje s osou valca) má rovnicu x 2 + y 2 = R 2, (\displaystyle x^(2)+y^(2)=R^(2),) pričom vo valcových súradniciach to vyzerá oveľa jednoduchšie, napr r = R .
Sférické súradnice
Sférické súradnice- trojrozmerný analóg polárnych.
V sférickom súradnicovom systéme je poloha bodu P je určená tromi zložkami: (ρ, φ, θ). (\displaystyle (\rho ,\varphi ,\theta).) Z hľadiska karteziánskeho súradnicového systému
Poznámka: V literatúre sa azimut niekedy označuje θ a polárny uhol φ. Niekedy sa používa pre radiálnu súradnicu r namiesto ρ. Okrem toho možno rozsah uhlov pre azimut zvoliť ako (−180°, +180°] namiesto rozsahu , nie ako rozsah . Niekedy sa poradie súradníc v trojici vyberie inak, ako je opísané; napr. napríklad polárny a azimutový uhol je možné zameniť.Sférický súradnicový systém má tiež nevýhodu: φ a θ nie sú definované, ak ρ = 0; Uhol φ tiež nie je definovaný pre hraničné hodnoty θ = 0 a θ = 180° (alebo pre θ = ±90°, ak je pre tento uhol prijatý vhodný rozsah).
Nakresliť bod P podľa jeho sférických súradníc je potrebné od pólu pozdĺž kladnej poloosi z odložte úsečku rovnú ρ, otočte ju o uhol θ okolo osi r X a potom sa otočte o uhol θ okolo osi z v smere kladnej poloosi r .
Sférické súradnice sú užitočné pri štúdiu systémov, ktoré sú symetrické podľa bodu. Teda rovnica gule s polomerom R v karteziánskych súradniciach s počiatkom v strede gule vyzerá x 2 + y 2 + z 2 = R 2, (\displaystyle x^(2)+y^(2)+z^(2)=R^(2),) keďže v sférické súradnice je to oveľa jednoduchšie: ρ = R. (\displaystyle \rho =R.)
Iné spoločné súradnicové systémy
- Afinný (šikmý) súradnicový systém- priamočiary súradnicový systém v afinnom priestore. V rovine je špecifikovaný východiskovým bodom súradníc O a dva usporiadané nekolineárne vektory, ktoré predstavujú afinný základ. Súradnicové osi v v tomto prípade sa nazývajú priame čiary prechádzajúce počiatočným bodom rovnobežným so základnými vektormi, ktoré zase určujú kladný smer osí. V trojrozmernom priestore, resp. afinný systém súradnice sú zadané lineárne trojkou nezávislé vektory a východiskový bod. Na určenie súradníc určitého bodu M vypočítajú sa koeficienty rozšírenia vektora OM pomocou bázových vektorov.
- Barycentrické súradnice boli prvýkrát predstavené v roku 1827 A. Moebiusom, ktorý vyriešil problém ťažiska hmôt nachádzajúcich sa vo vrcholoch trojuholníka. Sú afinne invariantné a reprezentujú špeciálny prípad spoločné homogénne súradnice. Bod s barycentrickými súradnicami sa nachádza v n-rozmerný vektorový priestor E n a samotné súradnice odkazujú na pevný systém bodov, ktoré neležia v ( n−1)-rozmerný podpriestor. Barycentrické súradnice sa používajú aj v algebraickej topológii vo vzťahu k simplexným bodom.
- Biangulárne súradnice- špeciálny prípad bicentrických súradníc, súradnicový systém na rovine vymedzenej dvoma pevnými bodmi S 1 a S 2, cez ktorý je vedená priamka, pôsobiaca ako os x. Poloha nejakého bodu P, ktorá neleží na tejto priamke, je určená uhlami PC 1 C 2 a PC 2 C 1 .
- Bipolárne súradnice sa vyznačujú tým, že v tomto prípade dve rodiny kružníc s pólmi pôsobia ako súradnicové čiary v rovine A A B, ako aj skupinu kruhov, ktoré sú k nim ortogonálne. Prevod bipolárnych súradníc na karteziánske pravouhlé súradnice sa vykonáva pomocou špeciálnych vzorcov. Bipolárne súradnice v priestore sa nazývajú bisférické; v tomto prípade sú súradnicovými plochami gule, plochy tvorené rotáciou kruhových oblúkov, ako aj polroviny prechádzajúce osou. Oz .
- Bicentrické súradnice- každý súradnicový systém, ktorý je založený na dvoch pevných bodoch a v rámci ktorého je poloha niektorého iného bodu určená spravidla stupňom jeho odstránenia alebo vo všeobecnosti jeho polohou vzhľadom na tieto dva hlavné body. Systémy tohto druhu môžu byť veľmi užitočné určitých oblastiach vedecký výskum.
- Bicylindrické súradnice- súradnicová sústava, ktorá vzniká ako bipolárna súradnicová sústava na rovine Oxy rovnobežne s osou Oz. V tomto prípade sú súradnicové povrchy skupinou párov kruhových valcov, ktorých osi sú rovnobežné, rodina k nim kolmá. kruhové valce, ako aj lietadlo. Previesť bicyklické súradnice na karteziánske pravouhlé pre trojrozmerný priestor používajú sa aj špeciálne vzorce.
- Kužeľové súradnice- trojrozmerný ortogonálny systém súradnice pozostávajúce zo sústredných gúľ, ktoré sú opísané ich polomerom, a dvoch skupín kolmých kužeľov umiestnených pozdĺž osí X A z .
- Rindlerove súradnice sa používajú predovšetkým v rámci teórie relativity a popisujú tú časť plochého časopriestoru, ktorá sa zvyčajne nazýva Minkowského priestor. V špeciálnej teórii relativity je rovnomerne sa zrýchľujúca častica v hyperbolickom pohybe a pre každú takúto časticu v Rindlerových súradniciach možno zvoliť referenčný bod, voči ktorému je v pokoji.
- Parabolické súradnice je dvojrozmerný ortogonálny súradnicový systém, v ktorom súradnice sú množinou konfokálnych parabol. Trojrozmerná modifikácia parabolických súradníc je konštruovaná rotáciou dvojrozmerného systému okolo osi symetrie týchto parabol. Parabolické súradnice majú tiež určité spektrum potenciálu praktické aplikácie: najmä môžu byť použité vo vzťahu k Starkovmu efektu. Parabolické súradnice určitým spôsobom súvisia s pravouhlými karteziánskymi súradnicami.
- Projektívne súradnice existujú podľa názvu v projektívnom priestore P n (TO) a predstavujú korešpondenciu jedna ku jednej medzi jej prvkami a triedami konečných podmnožín prvkov tela TO, charakterizované vlastnosťami ekvivalencie a usporiadania. Na určenie projektívnych súradníc projektívnych podpriestorov stačí určiť zodpovedajúce súradnice bodov projektívny priestor. IN všeobecný prípad vzhľadom na nejaký základ sa projektívne súradnice zavádzajú čisto projektívnymi prostriedkami.
- Toroidný súradnicový systém- trojrozmerný ortogonálny súradnicový systém získaný rotáciou dvojrozmerného bipolárneho súradnicového systému okolo osi oddeľujúcej jeho dve ohniská. Ohniská bipolárneho systému sa podľa toho premenia na kruh s polomerom A, ležiaci v lietadle xy toroidný súradnicový systém, zatiaľ čo os z sa stáva osou rotácie systému. Ohniskový krúžok sa niekedy nazýva aj základný kruh.
- Trilineárne súradnice sú jednou zo vzoriek homogénne súradnice a sú založené na danom trojuholníku, takže poloha určitého bodu je určená vzhľadom na strany tohto trojuholníka - hlavne stupňom vzdialenosti od nich, aj keď sú možné aj iné variácie. Trilineárne súradnice možno pomerne jednoducho previesť na barycentrické súradnice; okrem toho sú tiež konvertibilné na dvojrozmerné pravouhlé súradnice, na čo sa používajú zodpovedajúce vzorce.
- Cylindrické parabolické súradnice- trojrozmerný ortogonálny súradnicový systém získaný ako výsledok priestorovej transformácie dvojrozmerného parabolického súradnicového systému. Súradnicové povrchy sú teda konfokálne parabolické valce. Cylindrické parabolické súradnice majú určitý vzťah s pravouhlými súradnicami a možno ich použiť v mnohých oblastiach vedeckého výskumu.
- Elipsoidné súradnice- eliptické súradnice v priestore. Súradnicovými plochami sú v tomto prípade elipsoidy, jednovrstvové hyperboloidy, ako aj dvojvrstvové hyperboloidy, ktorých stredy sa nachádzajú v počiatku. Systém je ortogonálny. Každá trojica čísel, ktoré sú elipsoidnými súradnicami, zodpovedá ôsmim bodom, ktoré sú relatívne k rovinám systému. Oxyz navzájom symetrické.
Prechod z jedného súradnicového systému do druhého
karteziánske a polárne
Kde u 0 - Heaviside funkcia s u 0 (0) = 0, (\displaystyle u_(0)(0)=0,) a sgn je funkcia signum. Tu sú funkcie u 0 a sgn sa používajú ako "logické" prepínače, podobne ako príkazy "if...else" v programovacích jazykoch. Niektoré programovacie jazyky majú špeciálnu funkciu atan2 ( r , X), ktorý vráti správne φ v požadovanom kvadrante definovanom súradnicami X A r .
Kartézsky a valcový
x = r cos φ , (\displaystyle x=r\,\cos \varphi ,) y = r sin φ , (\displaystyle y=r\,\sin \varphi ,) r = x 2 + y 2 , (\displaystyle r=(\sqrt (x^(2)+y^(2))),) φ = arctg y x + π u 0 (− x) sgn y , (\displaystyle \varphi =\operatorname (arctg) (\frac (y)(x))+\pi u_(0)(-x)\ ,\meno operátora (sgn) y,) z = z. (\displaystyle z=z.\quad ) (d x d y d z) = (r cos θ − r sin φ 0 r sin θ r cos φ 0 0 0 1) ⋅ (d r d φ d z) , (\displaymat\dy (\)\begin dz\end(pmatrix))=(\začiatok (pmatrix)r\cos \theta &-r\sin \varphi &0\\r\sin \theta &r\cos \varphi &0\\0&0&1\end(pmatrix))\ cdot (\begin(pmatrix)dr\\d\varphi \\dz\end(pmatrix)),) (d r d φ d z) = (x x 2 + y 2 y x 2 + y 2 0 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0 0 0 1) ⋅ (d x d y d z) . (\displaystyle (\begin(pmatrix)dr\\d\varphi \\dz\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)(\frac (x)(\sqrt (x^(2)+y^( 2))))&(\frac (y)(\sqrt (x^(2)+y^(2))))&0\\(\frac (-y)(\sqrt (x^(2)+ y^(2))))&(\frac (x)(\sqrt (x^(2)+y^(2))))&0\\0&0&1\end(pmatrix))\cdot (\začiatok(pmatrix )dx\\dy\\dz\end(pmatrix)).)Kartézsky a sférický
x = ρ sin θ cos φ , (\displaystyle (x)=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad ) y = ρ sin θ sin φ , (\displaystyle (y)=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad ) z = ρ cos θ; (\displaystyle (z)=\rho \,\cos \theta ;\quad ) ρ = x 2 + y 2 + z 2, (\displaystyle (\rho )=(\sqrt (x^(2)+y^(2)+z^(2))),) θ = arccos z ρ = arctg x 2 + y 2 z , (\displaystyle (\theta )=\arccos (\frac (z)(\rho ))=\názov operátora (arctg) (\frac (\sqrt ( x^(2)+y^(2)))(z)),) φ = arktan y x + π u 0 (− x) sgn y . (\displaystyle (\varphi )=\názov operátora (arctg) (\frac (y)(x))+\pi \,u_(0)(-x)\,\názov operátora (sgn) y.) (d x d y d z) = (sin θ cos φ ρ cos θ cos φ − ρ sin θ sin φ sin θ sin φ ρθ s φ ρθ sin cos s φ cos θ − ρ sin θ 0) ⋅ (d ρ d θ d φ) , (\displaystyle (\začiatok(pmatrix)dx\\dy\\dz\end(pmatrix))=(\začiatok(pmatrix)\sin \theta \ cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix)),) (d ρ d θ d φ) = (x / ρ y / ρ z / ρ x z ρ 2 x 2 + y 2 y z ρ 2 x 2 + y 2 − (x 2 + y 2) ρ 2 x 2 + y 2 − y x 2 + y 2 x x 2 + y 2 0) ⋅ (d x d y d z) . (\displaystyle (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)x/\rho &y/\rho &z/\rho \\( \frac (xz)(\rho ^(2)(\sqrt (x^(2)+y^(2)))))&(\frac (yz)(\rho ^(2)(\sqrt (x ^(2)+y^(2))))&(\frac (-(x^(2)+y^(2)))(\rho ^(2)(\sqrt (x^(2) +y^(2))))\\(\frac (-y)(x^(2)+y^(2)))&(\frac (x)(x^(2)+y^( 2)))&0\end(pmatrix))\cdot (\začiatok(pmatrix)dx\\dy\\dz\end(pmatrix)).)Valcový a guľový
r = ρ sin θ , (\displaystyle (r)=\rho \,\sin \theta,) φ = φ , (\displaystyle (\varphi )=\varphi ,\quad ) z = ρ cos θ; (\displaystyle (z)=\rho \,\cos \theta ;) ρ = r 2 + z 2 , (\displaystyle (\rho )=(\sqrt (r^(2)+z^(2))),) θ = arctg z r + π u 0 (− r) sgn z , (\displaystyle (\theta )=\meno operátora (arctg) (\frac (z)(r))+\pi \,u_(0)( -r)\,\názov operátora (sgn) z,) φ = φ. (\displaystyle (\varphi )=\varphi .\quad ) (d r d φ d h) = (sin θ ρ cos θ 0 0 0 1 cos θ − ρ sin θ 0) ⋅ (d ρ d θ d φ) , (\displaymat\ (\)be d\varphi \\dh\end(pmatrix))=(\začiatok(pmatrix)\sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta &-\rho \sin \theta &0\ end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix)),) (d ρ d θ d φ) = (r r 2 + z 2 0 z r 2 + z 2 − z r 2 + z 2 0 r r 2 + z 2 0 1 0) ⋅ (d r d φ d z) . (\displaystyle (\begin(pmatrix)d\rho \\d\theta \\d\varphi \end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)(\frac (r)(\sqrt (r^(2) +z^(2))))&0&(\frac (z)(\sqrt (r^(2)+z^(2))))\\(\frac (-z)(r^(2)+ z^(2)))&0&(\frac (r)(r^(2)+z^(2)))\\0&1&0\end(pmatrix))\cdot (\begin(pmatrix)dr\\d\ varphi \\dz\end(pmatrix)).)Konštrukcia karteziánskeho pravouhlého súradnicového systému
na povrchu
Kartézsky pravouhlý súradnicový systém v rovine tvoria dve vzájomne kolmé súradnicové osi VÔL 1 A VÔL 2 , ktoré sa v bode pretínajú O, nazývaný pôvod (obr. 1). Na každej osi je zvolený kladný smer označený šípkami a jednotka merania pre segmenty na osiach. Jednotky sú zvyčajne rovnaké pre všetky osi (čo nie je povinné). IN pravostranný súradnicový systém, kladný smer osí sa volí tak, že keď je os nasmerovaná VÔL 2 hore, os VÔL 1 pozrel doprava. VÔL 1 -- vodorovná os, VÔL 2 -- ordinačná os. Štyri rohy (I, II, III, IV) tvorené súradnicovými osami VÔL 1 A VÔL 2 , sa nazývajú súradnicové uhly resp kvadrantoch.
Bodka B A na súradnicovú os VÔL 1 ;
Bodka C - ortografická projekcia bodov A na súradnicovú os VÔL 2 ;
Konštrukcia karteziánskeho pravouhlého súradnicového systému vo vesmíre
Kartézsky pravouhlý súradnicový systém v priestore tvoria tri vzájomne kolmé súradnicové osi VÔL, OY A OZ. Súradnicové osi sa pretínajú v bode O, ktorý sa nazýva počiatok súradníc, na každej osi je vybraný kladný smer označený šípkami a jednotka merania pre segmenty na osiach. Jednotky sú zvyčajne rovnaké pre všetky osi (čo nie je povinné). VÔL-- vodorovná os, OY-- ordinačná os, OZ-- os aplikátora.
Ak palec pravá ruka nabrať smer X, index - pre smer Y a stredná je pre smer Z, potom sa vytvorí správny súradnicový systém. Podobné prsty ľavej ruky tvoria ľavý súradnicový systém. Inými slovami, kladný smer osí je zvolený tak, že keď sa os otáča VÔL proti smeru hodinových ručičiek o 90° sa jeho kladný smer zhoduje s kladným smerom osi OY, ak je toto otáčanie pozorované z kladného smeru osi OZ. Nie je možné kombinovať pravý a ľavý súradnicový systém tak, aby sa zodpovedajúce osi zhodovali (obr. 2). Bodka F- kolmý priemet bodu A na súradnicová rovina OXY; Bodka E- kolmý priemet bodu A do súradnicovej roviny OYZ; Bodka G- kolmý priemet bodu A do súradnicovej roviny VÔL Z ;
Reprezentácia usporiadania karteziánskeho pravouhlého súradnicového systému vo vesmíre znázornené na obrázkoch 3, 4 a 5.
Určenie súradníc bodu v kartézskom pravouhlom súradnicovom systéme
Hlavnou otázkou každého súradnicového systému je otázka určenia súradníc bodu umiestneného v jeho rovine alebo priestore.
Určenie súradníc bodu v rovine Kartézsky súradnicový systém
Poloha bodu A na rovine je určená dvoma súradnicami - X A r (obr. 5). Koordinovať X rovná dĺžke segmentu O.B., koordinovať r -- dĺžka segmentu O.C. vo vybraných merných jednotkách. Segmenty O.B. A O.C. sú určené čiarami vedenými z bodu A rovnobežne s osami OY A VÔL resp. Koordinovať X nazývaná abscisa (lat. úsečka- segment), súradnica r -- ordináta (lat. ordináty- umiestnený v poradí) body A. Napíšte to takto:
Ak bod A leží v súradnicový uhol Ja, potom to má kladnú úsečku a ordinátu. Ak bod A leží v súradnicovom uhle II, potom je záporná úsečka a kladná y. Ak bod A leží v súradnicovom uhle III, potom má zápornú úsečku a ordinátu. Ak bod A leží v súradnicovom uhle IV, potom je kladná úsečka a záporná y.
Takto sa určujú súradnice v karteziánskom súradnicovom systéme v rovine.
Usporiadaný systém dvoch alebo troch na seba kolmých pretínajúcich sa osí so spoločným počiatkom (počiatkom súradníc) a spoločnou jednotkou dĺžky sa nazýva pravouhlý karteziánsky súradnicový systém .
Všeobecný karteziánsky súradnicový systém (afinný súradnicový systém) nemusí nevyhnutne zahŕňať kolmé osi. Na počesť francúzsky matematik René Descartes (1596-1662) pomenoval práve taký súradnicový systém, v ktorom sa na všetkých osiach meria spoločná jednotka dĺžky a osi sú priame.
Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v rovine má dve osi a pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v priestore - tri osi. Každý bod v rovine alebo v priestore je definovaný usporiadanou množinou súradníc - čísel zodpovedajúcich jednotke dĺžky súradnicového systému.
Všimnite si, že ako vyplýva z definície, existuje kartézsky súradnicový systém na priamke, teda v jednom rozmere. Zavedenie karteziánskych súradníc na priamke je jedným zo spôsobov, ako je akýkoľvek bod na priamke spojený s dobre definovaným reálnym číslom, teda súradnicou.
Súradnicová metóda, ktorá vznikla v dielach René Descartesa, znamenala revolučnú reštrukturalizáciu celej matematiky. Bolo možné interpretovať algebraické rovnice(alebo nerovností) vo forme geometrických obrázkov (grafov) a naopak hľadať riešenie geometrické problémy pomocou analytických vzorcov a sústav rovníc. Áno, nerovnosť z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy a nachádza sa nad touto rovinou o 3 jednotky.
Pomocou karteziánskeho súradnicového systému príslušnosť bodu na danej krivke zodpovedá skutočnosti, že čísla X A r splniť nejakú rovnicu. Takže súradnice bodu na kružnici so stredom v daný bod (a; b) splniť rovnicu (X - a)² + ( r - b)² = R² .
Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v rovine
Dve kolmé osi v rovine so spoločným počiatkom a rovnakou jednotkou mierky karteziánsky pravouhlý systém súradnice na rovine . Jedna z týchto osí sa nazýva os Vôl, alebo os x , druhý - os Oj, alebo os y . Tieto osi sa tiež nazývajú súradnicové osi. Označme podľa MX A Mr respektíve priemet ľubovoľného bodu M na osi Vôl A Oj. Ako získať projekcie? Prejdime cez pointu M Vôl. Táto priamka pretína os Vôl v bode MX. Prejdime cez pointu M priamka kolmá na os Oj. Táto priamka pretína os Oj v bode Mr. To je znázornené na obrázku nižšie.
X A r bodov M budeme podľa toho nazývať hodnoty smerovaných segmentov OMX A OMr. Hodnoty týchto smerovaných segmentov sa vypočítajú podľa toho ako X = X0 - 0 A r = r0 - 0 . Kartézske súradnice X A r bodov M úsečka A ordinát . Skutočnosť, že bod M má súradnice X A r, sa označuje takto: M(X, r) .
Súradnicové osi rozdeľujú rovinu na štyri kvadrant , ktorých číslovanie je znázornené na obrázku nižšie. Zobrazuje tiež usporiadanie značiek pre súradnice bodov v závislosti od ich umiestnenia v konkrétnom kvadrante.
Okrem karteziánskych pravouhlých súradníc v rovine sa často zvažuje aj polárny súradnicový systém. O spôsobe prechodu z jedného súradnicového systému do druhého - v lekcii polárny súradnicový systém .
Pravouhlý karteziánsky súradnicový systém v priestore
Kartézske súradnice v priestore sú zavedené úplne analogicky s karteziánskymi súradnicami v rovine.
Tri vzájomne kolmé osi v priestore ( súradnicové osi) so spoločným začiatkom O a s rovnakou jednotkou mierky, ktorú tvoria Kartézsky pravouhlý súradnicový systém v priestore .
Jedna z týchto osí sa nazýva os Vôl, alebo os x , druhý - os Oj, alebo os y , tretia - os Oz, alebo os aplikovať . Nechaj MX, Mr Mz- projekcie ľubovoľného bodu M priestor na osi Vôl , Oj A Oz resp.
Prejdime cez pointu M VôlVôl v bode MX. Prejdime cez pointu M rovina kolmá na os Oj. Táto rovina pretína os Oj v bode Mr. Prejdime cez pointu M rovina kolmá na os Oz. Táto rovina pretína os Oz v bode Mz.
Kartézske pravouhlé súradnice X , r A z bodov M budeme podľa toho nazývať hodnoty smerovaných segmentov OMX, OMr A OMz. Hodnoty týchto smerovaných segmentov sa vypočítajú podľa toho ako X = X0 - 0 , r = r0 - 0 A z = z0 - 0 .
Kartézske súradnice X , r A z bodov M sa nazývajú podľa toho úsečka , ordinát A aplikovať .
Súradnicové osi v pároch sú umiestnené v súradnicových rovinách xOy , yOz A zOx .
Problémy o bodoch v karteziánskom súradnicovom systéme
Príklad 1
A(2; -3) ;
B(3; -1) ;
C(-5; 1) .
Nájdite súradnice priemetov týchto bodov na súradnicovú os.
Riešenie. Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na úsečku sa nachádza na samotnej úsečke, teda na osi. Vôl, a preto má úsečku rovnajúcu sa úsečke samotného bodu a ordinátu (súradnicu na osi Oj, ktorú os x pretína v bode 0), rovná nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice týchto bodov na osi x:
Ax(2;0);
Bx(3;0);
Cx (-5; 0).
Príklad 2 V karteziánskom súradnicovom systéme sú body dané v rovine
A(-3; 2) ;
B(-5; 1) ;
C(3; -2) .
Nájdite súradnice priemetov týchto bodov na súradnicovú os.
Riešenie. Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na ordinátovú os sa nachádza na samotnej ordinátovej osi, teda na osi. Oj, a preto má súradnicu rovnajúcu sa súradnici samotného bodu a úsečku (súradnicu na osi Vôl, ktorý súradnicová os pretína v bode 0), ktorý sa rovná nule. Takže dostaneme nasledujúce súradnice týchto bodov na osi y:
Ay(0;2);
By(0;1);
Cy(0;-2).
Príklad 3 V karteziánskom súradnicovom systéme sú body dané v rovine
A(2; 3) ;
B(-3; 2) ;
C(-1; -1) .
Vôl .
Vôl Vôl Vôl, bude mať rovnakú úsečku ako daný bod, a súradnica rovná absolútna hodnota súradnica daného bodu a jeho opačné znamienko. Takže dostaneme nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na os Vôl :
A"(2; -3) ;
B"(-3; -2) ;
C"(-1; 1) .
Vyriešte problémy pomocou karteziánskeho súradnicového systému sami a potom sa pozrite na riešenia
Príklad 4. Určte, v ktorých kvadrantoch (štvrtiny, kresba s kvadrantmi - na konci odseku „Obdĺžnikový kartézsky súradnicový systém v rovine“) sa môže nachádzať bod M(X; r) , Ak
1) xy > 0 ;
2) xy < 0 ;
3) X − r = 0 ;
4) X + r = 0 ;
5) X + r > 0 ;
6) X + r < 0 ;
7) X − r > 0 ;
8) X − r < 0 .
Príklad 5. V karteziánskom súradnicovom systéme sú body dané v rovine
A(-2; 5) ;
B(3; -5) ;
C(a; b) .
Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na os Oj .
Pokračujme v riešení problémov spoločne
Príklad 6. V karteziánskom súradnicovom systéme sú body dané v rovine
A(-1; 2) ;
B(3; -1) ;
C(-2; -2) .
Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na os Oj .
Riešenie. Otočte o 180 stupňov okolo osi Oj smerový segment od osi Oj až do tohto bodu. Na obrázku, kde sú naznačené kvadranty roviny, vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na os Oj, bude mať rovnakú os ako daný bod a úsečka sa v absolútnej hodnote rovná úsečke daného bodu a má opačné znamienko. Takže dostaneme nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na os Oj :
A"(1; 2) ;
B"(-3; -1) ;
C"(2; -2) .
Príklad 7. V karteziánskom súradnicovom systéme sú body dané v rovine
A(3; 3) ;
B(2; -4) ;
C(-2; 1) .
Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na počiatok.
Riešenie. Nasmerovaný segment smerujúci z počiatku do daného bodu otočíme o 180 stupňov okolo počiatku. Na obrázku, kde sú naznačené kvadranty roviny, vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na počiatok súradníc bude mať úsečku a ordinátu rovnú v absolútnej hodnote úsečke a ordináde daného bodu, ale opačne v znamení. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na počiatok:
A"(-3; -3) ;
B"(-2; 4) ;
C(2; -1) .
Príklad 8.
A(4; 3; 5) ;
B(-3; 2; 1) ;
C(2; -3; 0) .
Nájdite súradnice priemetov týchto bodov:
1) v lietadle Oxy ;
2) v lietadle Oxz ;
3) do lietadla Oyz ;
4) na osi x;
5) na zvislej osi;
6) na osi aplikácie.
1) Priemet bodu do roviny Oxy sa nachádza v tejto rovine samotnej, a preto má úsečku a ordinátu rovnú úsečke a osi daného bodu a aplikáciu rovnú nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oxy :
Axy (4; 3; 0);
Bxy (-3; 2; 0);
Cxy(2;-3;0).
2) Priemet bodu do roviny Oxz sa nachádza v tejto rovine samotnej, a preto má úsečku a aplikáciu rovnajúcu sa úsečke a aplikácii daného bodu a ordinátu rovnú nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oxz :
Axz (4; 0; 5);
Bxz (-3; 0; 1);
Cxz (2; 0; 0).
3) Priemet bodu do roviny Oyz sa nachádza v tejto rovine samotnej, a preto má súradnicu a aplikáciu rovnajúcu sa súradnici a aplikácii daného bodu a súradnicu rovnajúcu sa nule. Dostaneme teda nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na Oyz :
Ayz(0; 3; 5);
Byz (0; 2; 1);
Cyz (0; -3; 0).
4) Ako vyplýva z teoretickej časti tejto lekcie, priemet bodu na úsečku sa nachádza na samotnej úsečke, teda na osi. Vôl, a preto má úsečku rovnajúcu sa úsečke samotného bodu a ordináta a aplikácia projekcie sa rovnajú nule (keďže os ordinát a aplikovaná os pretínajú úsečku v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na os x:
Ax (4; 0; 0);
Bx (-3; 0; 0);
Cx(2;0;0).
5) Priemet bodu na ordinátovú os sa nachádza na samotnej ordinátovej osi, teda na osi. Oj, a preto má súradnicu rovnajúcu sa súradnici samotného bodu a súradnica a aplikovaná projekcia sa rovnajú nule (keďže súradnica a aplikovaná os pretínajú os súradnice v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na súradnicovú os:
Ay(0; 3; 0);
By (0; 2; 0);
Cy(0;-3;0).
6) Priemet bodu na os aplikácie sa nachádza na samotnej osi aplikácie, teda na osi. Oz, a preto má aplikáciu rovnajúcu sa aplikácii samotného bodu a úsečka a ordináta projekcie sa rovnajú nule (keďže os x a ordináta pretínajú os aplikácie v bode 0). Získame nasledujúce súradnice priemetov týchto bodov na os aplikácie:
Az (0; 0; 5);
Bz (0; 0; 1);
Cz(0; 0; 0).
Príklad 9. V karteziánskom súradnicovom systéme sú body dané v priestore
A(2; 3; 1) ;
B(5; -3; 2) ;
C(-3; 2; -1) .
Nájdite súradnice bodov symetrických k týmto bodom vzhľadom na:
1) lietadlo Oxy ;
2) lietadlá Oxz ;
3) lietadlá Oyz ;
4) osi x;
5) súradnicové osi;
6) aplikujte osi;
7) pôvod súradníc.
1) „Presuňte“ bod na druhej strane osi Oxy Oxy, bude mať úsečku a zvislú os rovnajúcu sa úsečke a zvislej osi daného bodu a aplikáciu rovnajúcu sa veľkosti aplikátu daného bodu, ale opačné znamienko. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrické k údajom vzhľadom na rovinu Oxy :
A"(2; 3; -1) ;
B"(5; -3; -2) ;
C"(-3; 2; 1) .
2) „Presuňte“ bod na druhej strane osi Oxz do rovnakej vzdialenosti. Z obrázku zobrazujúceho súradnicový priestor vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na os Oxz, bude mať úsečku a aplikáciu rovnajúcu sa úsečke a aplikácii daného bodu a ordinátu rovnajúcu sa veľkosti osy daného bodu, ale opačného znamienka. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrické k údajom vzhľadom na rovinu Oxz :
A"(2; -3; 1) ;
B"(5; 3; 2) ;
C"(-3; -2; -1) .
3) „Presuňte“ bod na druhej strane osi Oyz do rovnakej vzdialenosti. Z obrázku zobrazujúceho súradnicový priestor vidíme, že bod symetrický k danému bodu vzhľadom na os Oyz, bude mať súradnicu a aplikát rovné súradnici a aplikátu daného bodu a úsečku rovnajúcu sa hodnote súradnice daného bodu, ale opačné znamienko. Dostaneme teda nasledujúce súradnice bodov symetrické k údajom vzhľadom na rovinu Oyz :
A"(-2; 3; 1) ;
B"(-5; -3; 2) ;
C"(3; 2; -1) .
Analogicky s symetrické body na rovine a bodoch v priestore symetrických k údajom vzhľadom na roviny, poznamenávame, že v prípade symetrie vzhľadom na niektorú os kartézskeho súradnicového systému v priestore bude súradnica na osi, vzhľadom na ktorú je symetria daná, zachovajú si svoje znamienko a súradnice na ďalších dvoch osiach budú mať v absolútnom vyjadrení rovnakú hodnotu ako súradnice daného bodu, ale opačného znamienka.
4) Úsečka si zachová svoje znamienko, ale ordináta a aplikácia zmenia znamienka. Získame teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na os x:
A"(2; -3; -1) ;
B"(5; 3; -2) ;
C"(-3; -2; 1) .
5) Súradnica si zachová svoje znamienko, ale úsečka a aplikácia zmenia znamienka. Získame teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na súradnicovú os:
A"(-2; 3; -1) ;
B"(-5; -3; -2) ;
C"(3; 2; 1) .
6) Žiadosť si zachová svoje znamienko, ale úsečka a os zmenia znamienka. Získame teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na os aplikácie:
A"(-2; -3; 1) ;
B"(-5; 3; 2) ;
C"(3; -2; -1) .
7) Analogicky so symetriou v prípade bodov v rovine, v prípade symetrie o počiatku súradníc budú všetky súradnice bodu symetrického k danému bodu v absolútnej hodnote rovnaké ako súradnice daného bodu, ale opačne v znamení. Získame teda nasledujúce súradnice bodov symetrických k údajom vzhľadom na počiatok.
