Objavy v kvantovej oblasti a iných oblastiach. Súčasne sa vymýšľajú nové zariadenia a zariadenia, prostredníctvom ktorých je možné vykonávať rôzne štúdie a vysvetliť javy mikrosveta. Jedným z takýchto mechanizmov je harmonický oscilátor, ktorého princíp fungovania bol známy predstaviteľom starovekých civilizácií.

Zariadenie a jeho typy

Harmonický oscilátor je mechanický systém v pohybe, ktorý je opísaný diferenciálom s konštantnými koeficientmi. Najjednoduchšími príkladmi takýchto zariadení sú závažie na pružine, kyvadlo, akustické systémy, pohyb molekulárne častice atď.

Bežne možno rozlíšiť nasledujúce typy tohto zariadenia:

Aplikácia zariadenia

Toto zariadenie sa používa v rôznych odboroch, hlavne na štúdium prírody oscilačné systémy. Na štúdium správania fotónových prvkov sa používa kvantový harmonický oscilátor. Výsledky experimentov môžu byť použité v rôznych oblastiach. Fyzici z amerického inštitútu teda zistili, že atómy berýlia umiestnené v dosť veľkých vzdialenostiach od seba môžu interagovať na kvantovej úrovni. Navyše sa tieto častice správajú podobne ako telesá (kovové guľôčky) v makrokozme, pohybujúce sa v vratnom smere dopredu, podobne ako harmonický oscilátor. Ióny berýlia, napriek tomu, že sú fyzicky dlhé vzdialenosti, vymenili najmenšie jednotky energie (kvantá). Tento objav umožňuje významný pokrok v IT technológiách a tiež poskytuje nové riešenie vo výrobe počítačového vybavenia a elektroniky.

Pri odhade sa používa harmonický oscilátor hudobných diel. Táto metóda sa nazýva spektroskopické vyšetrenie. Zistilo sa, že najstabilnejším systémom je skladba štyroch hudobníkov (kvarteto). A moderné diela Väčšina z nich je anharmonická.

Harmonický oscilátor.

Systém opísaný rovnicou , kde , budeme ho nazývať harmonický oscilátor. Riešenie tejto rovnice, ako je známe, má tvar:

.

Preto je harmonický oscilátor systém, ktorý vykonáva harmonické oscilácie okolo rovnovážnej polohy.

Pre harmonický oscilátor sú platné všetky výsledky získané skôr pre harmonické kmitanie.

Uvažujme a diskutujme o dvoch dodatočných otázkach.

nájdeme pulz harmonický oscilátor. Rozlišujme výraz o t a vynásobením výsledku hmotnosťou oscilátora dostaneme:

V každej polohe charakterizovanej odchýlkou ​​„x“ má oscilátor určitú hodnotu „p“. Ak chcete nájsť „p“ ako funkciu „x“, musíte vylúčiť „t“ z rovníc napísaných pre „p“ a „x“ Predstavme si tieto rovnice vo forme:

(8.9)

Umocnením týchto výrazov a ich pridaním dostaneme:

. (8.10)

Nakreslíme graf závislosti impulzu „p“ harmonického oscilátora na odchýlke „x“ (obr. 8.6). Súradnicová rovina("p", "x") sa zvyčajne nazýva fázová rovina a zodpovedajúci graf je fázová trajektória. Fázová trajektória harmonického oscilátora je elipsa s poloosami „A“ a „A m w 0“. Každý bod fázová trajektória zobrazuje stav oscilátora v určitom časovom bode (t.j. jeho odchýlku a hybnosť). V priebehu času sa bod reprezentujúci stav pohybuje pozdĺž fázovej trajektórie a vytvára úplný obvod počas periódy oscilácie. Okrem toho tento pohyb nastáva v smere hodinových ručičiek [konkrétne, ak v určitom časovom okamihu t¢ x=A, p=0, potom v ďalšom časovom okamihu "x" klesne a "p" nadobudne rastúci modul záporné hodnoty, t.j. pohyb obrazového bodu (t. j. bodu reprezentujúceho stav) nastane v smere hodinových ručičiek].

Teraz nájdime oblasť elipsy. Alebo

.

Tu , kde n 0 je vlastná frekvencia oscilátora, čo je konštantná hodnota pre daný oscilátor.

Preto, . Kde

teda celková energia harmonický oscilátor je úmerný ploche elipsy a koeficient proporcionality je prirodzená frekvencia oscilátora.

8.6. Malé oscilácie systému v blízkosti rovnovážnej polohy.

Uvažujme o ľubovoľnom mechanickom systéme, ktorého polohu je možné špecifikovať pomocou jedinej veličiny „x“. Hodnota „x“, ktorá určuje polohu systému, môže byť uhol meraný od určitej roviny alebo vzdialenosť meraná pozdĺž danej krivky.

Potenciálna energia takéhoto systému bude funkciou jednej premennej „x“: E p = E p (x).

Počiatok voľme tak, aby v rovnovážnej polohe x=0. Potom funkcia E p (x) bude mať minimum pri x=0.

(kvôli maličkosti „x“ zanedbávame zvyšné výrazy)

Pretože E p (x) v x=0 má minimum, potom , a . Označme E p(x) = b a , Potom .

Tento výraz je identický s výrazom pre potenciálnu energiu systému, v ktorom pôsobí kvázi-elastická sila (konštanta „b“ sa môže rovnať 0).

Sila pôsobiaca na systém môže byť určená vzorcom: . Získané s prihliadnutím na to, že práca sa vykonáva v dôsledku straty potenciálnej energie.

Potenciálna energia systému pre malé odchýlky od rovnovážnej polohy sa teda ukáže byť kvadratickej funkcie posunutie a sila pôsobiaca na systém má tvar kvázi elastická sila. V dôsledku toho, s malými odchýlkami od rovnovážnej polohy, bude akýkoľvek mechanický systém vykonávať vibrácie blízke harmonickým.

8.7. Matematické kyvadlo.

DEFINÍCIA: matematické kyvadlo budeme nazývať idealizovaný systém pozostávajúci z beztiažového a neroztiahnuteľného vlákna, na ktorom je zavesená hmota sústredená v jednom bode.

Odchýlka kyvadla z rovnovážnej polohy bude charakterizovaná uhlom j (obr. 8.7). Keď sa kyvadlo vychýli z rovnovážnej polohy, krútiaci moment , má taký smer, že má tendenciu vrátiť kyvadlo do rovnovážnej polohy, preto treba momentu M a uhlovému posunutiu j priradiť iné znamienka.

Prednáška 1

KÝVANIE. VLNY. OPTIKA

Prvými vedcami, ktorí študovali oscilácie, boli Galileo Galilei a Christiaan Huygens. Galileo stanovil nezávislosť periódy oscilácie od amplitúdy. Huygens vynašiel kyvadlové hodiny.

Každý systém, ktorý pri miernom vyrušení zo svojej rovnovážnej polohy vykazuje stabilné oscilácie, sa nazýva harmonický oscilátor. V klasickej fyzike sú takéto systémy matematickým kyvadlom v rámci malých uhlov vychýlenia, záťažou v rámci malých amplitúd kmitania, elektrický obvod, skladajúci sa z lineárne prvky kapacita a indukčnosť.

(1.1.1)

Kde X A

Rýchlosť kolísavá hmotný bod

A

.

Ak je periodicky sa opakujúci proces opísaný rovnicami, ktoré sa nezhodujú s (1.1.1), nazýva sa anharmonický. Systém, ktorý vykonáva anharmonické oscilácie, sa nazýva anharmonický oscilátor.

1.1.2 . Voľné vibrácie systémov s jedným stupňom voľnosti. Komplexná forma znázornenia harmonických vibrácií

V prírode sú malé oscilácie, ktoré systém robí v blízkosti svojej rovnovážnej polohy, veľmi bežné. Ak je systém odstránený z rovnovážnej polohy ponechaný sám sebe, to znamená, že sa naň nepôsobí vonkajšie sily, potom bude takýto systém vykonávať voľné netlmené kmity. Uvažujme systém s jedným stupňom voľnosti.

q

,

Kde

, (1.1.4)

Výraz (1.1.5) sa zhoduje s rovnicou (1.1.3) voľných harmonických kmitov za predpokladu, že

,

, Kde A = Xe-iα

1.1.3 . Príklady kmitavých pohybov rôzneho fyzikálneho charakteru

Harmonický oscilátor. Pružinové, fyzikálne a matematické kyvadla

Harmonický oscilátor sa nazýva sústava, ktorá kmitá, opísaná rovnicou v tvare (140.6);

Kmity harmonického oscilátora sú dôležitý príklad periodický pohyb a slúžia ako presný alebo približný model v mnohých problémoch klasickej a kvantová fyzika. Príkladmi harmonického oscilátora sú pružinové, fyzikálne a matematické kyvadla, oscilačný obvod(pre prúdy a napätia také malé, že prvky obvodu možno považovať za lineárne).

1. Pružinové kyvadlo- je nákladom hmoty T, zavesené na dokonale elastickej pružine a vykonávajúce harmonické kmity pôsobením elastickej sily F = – kx, Kde k- tuhosť pružiny. Pohybová rovnica kyvadla

Z výrazov (142.1) a (140.1) vyplýva, že pružinové kyvadlo vykonáva harmonické kmity podľa zákona x=A s s (w 0 t + j) s cyklickou frekvenciou

Vzorec (142.3) platí pre elastické vibrácie v medziach, v ktorých je splnený Hookov zákon (pozri (21.3)), t.j. keď je hmotnosť pružiny malá v porovnaní s hmotnosťou telesa. Potenciálna energia pružinové kyvadlo, podľa (141.5) a (142.2), sa rovná

2. Fyzikálne kyvadlo- tuhé teleso, ktoré vplyvom gravitácie kmitá okolo nehybného horizontálna os, prechádzajúci bodom O, nezhoduje sa s ťažiskom S telies (obr. 201).

Ak je kyvadlo vychýlené zo svojej rovnovážnej polohy o určitý uhol a, potom v súlade s dynamickou rovnicou rotačný pohyb pevný(18.3) moment M obnovujúca sila môže byť napísaná vo forme

Kde J- moment zotrvačnosti kyvadla voči osi prechádzajúcej bodom zavesenia Ach ja- vzdialenosť medzi ním a ťažiskom kyvadla, F t = – mg sin a » – mga. - obnovujúca sila (znamienko mínus je spôsobené tým, že smery Ft A a vždy opačne; hriech a » a zodpovedá malým kmitom kyvadla, t.j. malé odchýlky kyvadla od rovnovážnej polohy). Rovnicu (142.4) je možné zapísať ako

identické s (142.1), ktorého riešenie (140.1) je známe:

Z výrazu (142.6) vyplýva, že pre malé kmity fyzikálne kyvadlo vykonáva harmonické kmity s cyklickou frekvenciou w 0 (pozri (142.5)) a periódou

Kde L=J/(ml) - znížená dĺžka fyzické kyvadlo.

Bodka O' na pokračovaní priamky OS, vzdialený od bodu O zavesenie kyvadla vo vzdialenosti danej dĺžky L, volal hojdacie centrum fyzikálne kyvadlo (obr. 201). Aplikovaním Steinerovej vety (16.1) dostaneme

t.j. OO' vždy viac OS. Bod zavesenia O kyvadlo a hojdacie centrum O' mať vlastnosť zameniteľnosti: ak sa závesný bod presunie do stredu švihu, potom predchádzajúci bod O pozastavenie

sa stane novým centrom kývania a perióda oscilácie fyzického kyvadla sa nezmení.

3. Matematické kyvadlo- Toto idealizované systém pozostávajúci z hmotného bodu s hmotnosťou T, zavesené na neroztiahnuteľnom beztiažovom vlákne, a kmitajú pod vplyvom gravitácie. Dobrá aproximácia matematické kyvadlo je malá ťažká gulička zavesená na tenkej dlhej nite. Moment zotrvačnosti matematického kyvadla

Kde l- dĺžka kyvadla.

Keďže matematické kyvadlo môže byť reprezentované ako špeciálny prípad fyzického kyvadla, za predpokladu, že celá jeho hmotnosť je sústredená v jednom bode - ťažisku, potom dosadením výrazu (142.8) do vzorca (1417) dostaneme výraz pre periódu malých kmitov matematického kyvadla.

Pri porovnaní vzorcov (142.7) a (142.9) vidíme, že ak je zmenšená dĺžka L fyzické kyvadlo sa rovná dĺžke l matematického kyvadla, potom sú periódy kmitov týchto kyvadiel rovnaké. teda skrátená dĺžka fyzického kyvadla- to je dĺžka takého matematického kyvadla, ktorého perióda kmitania sa zhoduje s periódou kmitania daného fyzikálneho kyvadla.

Ideálny harmonický oscilátor. Rovnica ideálneho oscilátora a jej riešenie. Amplitúda, frekvencia a fáza kmitov

KÝVANIE

HARMONICKÉ VIBRÁCIE

Ideálny harmonický oscilátor. Rovnica ideálneho oscilátora a jej riešenie. Amplitúda, frekvencia a fáza kmitov

Oscilácia je jedným z najbežnejších procesov v prírode a technológii. Oscilácie sú procesy, ktoré sa v priebehu času opakujú. Váhať výškové budovy a drôty vysokého napätia pod vplyvom vetra, kyvadla navinutých hodín a auta na pružinách počas jazdy, hladina rieky počas celého roka a teplota Ľudské telo v prípade choroby. Zvuk je kolísanie tlaku vzduchu, rádiové vlny sú periodické zmeny intenzity elektrického a magnetického poľa, svetlo sú tiež elektromagnetické vibrácie. Zemetrasenia – vibrácie pôdy, príliv a odliv – zmeny hladín morí a oceánov spôsobené príťažlivosťou Mesiaca atď.

Kmity môžu byť mechanické, elektromagnetické, chemické, termodynamické atď. Napriek tejto rôznorodosti sú všetky oscilácie opísané rovnakými diferenciálnymi rovnicami.

Harmonický oscilátor možno považovať za lineárny, ak je posun z rovnovážnej polohy priamo úmerný rušivej sile. Frekvencia kmitov harmonického oscilátora nezávisí od amplitúdy. Pre oscilátor je splnený princíp superpozície - ak pôsobí niekoľko rušivých síl, potom účinok ich celkového pôsobenia možno získať ako výsledok sčítania účinkov z aktívnych síl oddelene.

Harmonické kmity sú opísané rovnicou (obr. 1.1.1)

(1.1.1)

Kde X- posunutie kmitajúcej veličiny z rovnovážnej polohy, A- amplitúda kmitov, rovná hodnote maximálny posun, - fáza kmitov, ktorá určuje posun v čase, - počiatočná fáza, ktorá určuje veľkosť posunu pri počiatočný momentčas, je cyklická frekvencia kmitov.

Čas jedného úplného kmitania sa nazýva perióda, kde je počet kmitov dokončených za čas.

Frekvencia kmitov určuje počet vykonaných kmitov za jednotku času, súvisí s cyklickou frekvenciou vzťahom , potom perióda.

Rýchlosť a zrýchlenie harmonického oscilátora sa teda mení aj podľa harmonický zákon s amplitúdami resp. V tomto prípade je rýchlosť pred fázovým posunom o , a zrýchlenie o (obr. 1.1.2).

Z porovnania pohybových rovníc harmonického oscilátora (1.1.1) a (1.1.2) vyplýva, že , resp.

Toto Diferenciálnej rovnice druhého rádu sa nazýva rovnica harmonického oscilátora. Jeho riešenie obsahuje dve konštanty A a , ktoré sú určené nastavením počiatočných podmienok

.

Stabilná rovnováha zodpovedá polohe systému, v ktorej má jeho potenciálna energia minimum ( q– zovšeobecnená súradnica systému). Vychýlenie systému z rovnovážnej polohy vedie k vzniku sily, ktorá má tendenciu vrátiť systém späť. Hodnota zovšeobecnenej súradnice zodpovedajúcej rovnovážnej polohe sa označí, potom odchýlka od rovnovážnej polohy

Spočítame potenciálnu energiu z minimálna hodnota. Akceptujme výslednú funkciu a rozviňme ju do Maclaurinovho radu a ponechajme prvý člen expanzie, máme: o

,

Kde . Potom, berúc do úvahy zavedené notácie:

, (1.1.4)

Ak vezmeme do úvahy výraz (1.1.4) pre silu pôsobiacu na systém, dostaneme:

Podľa druhého Newtonovho zákona má pohybová rovnica sústavy tvar: ,

a má dve nezávislé riešenia: a , takže všeobecné riešenie je:

,

Zo vzorca (1.1.6) vyplýva, že frekvencia je len určená vlastné vlastnosti mechanický systém a nezávisí od amplitúdy a počiatočných podmienok pohybu.

Závislosť súradníc oscilujúceho systému od času je možné určiť vo forme reálnej časti komplexný prejav , Kde A = Xe-iα– komplexná amplitúda, jej modul sa zhoduje s obvyklou amplitúdou a jej argument sa zhoduje s počiatočnou fázou.

Príručka pre chemika 21

Chémia a chemická technológia

Harmonický pohybový zákon

Mechanický, pri ktorom sa rotačný pohyb mení na kmitavý pohyb (hlavne excentrické a vačkové mechanizmy). Zákon pohybu poháňaného článku môže byť blízky harmonickej. Tieto budiče sa používajú v niektorých typoch sít, vibračných odstredivkách a závitovkových mixéroch.

V klasickej mechanike je na nájdenie zákona o pohybe systému bodov (súradníc qi ako funkcie času) potrebné vyriešiť systém Newtonových rovníc. Pri ľubovoľne zvolenom súradnicovom systéme všeobecné riešenie týchto rovníc s potenciálom (VII, 7) nevedie k harmonickému tvaru q (t). Je však ľahké ukázať, že pomocou lineárnych kombinácií súradníc q, - je možné zostrojiť nové súradnice, z ktorých každá sa mení podľa harmonického zákona s určitou frekvenciou (c. Takéto súradnice

V skutočnosti sú vibrácie dvoch atómov spojených väzbou podobné vibráciám dvojice gúľ, ktoré drží pohromade pružina. Pri malých posunoch je vratná sila úmerná posunutiu a ak sa takýto systém uvedie do pohybu, kmity budú opísané zákonom jednoduchého harmonického pohybu.

Najlepšie prevádzkové podmienky pre regenerátor by boli vytvorené, ak by sa tak nestalo harmonický pohyb, ale zastavil sa na konci každého ťahu. Pomerne vysokú účinnosť však možno dosiahnuť použitím harmonického zákona pohybu piestu, vzhľadom na jeho jednoduchosť.

Pri váhaní Pracovné prostredie v potrubí alebo v akomkoľvek inom tlakovom kanáli sa rozloženie rýchlostí prúdenia po priereze prúdenia líši od zákona, ktorý toto rozloženie popisuje v prípade ustáleného pohybu média. Keď teda laminárne prúdenie kvapaliny kmitá v okrúhlom valcovom potrubí, dochádza k narušeniu parabolického rozdelenia rýchlostí, čo je, ako je známe z hydrauliky, charakteristické pre laminárny ustálený pohyb kvapaliny v potrubí. o harmonická zmena tlakový gradient pozdĺž potrubia, rozdelenie rýchlosti možno nájsť pomocou vzorca (9.42). Ak to chcete urobiť, namiesto (s) by ste mali nahradiť Laplaceov obraz harmonického zákona zmeny tlakového gradientu vo vzorci a potom vykonať inverzná konverzia. Takto získaná funkcia (t, r) je uvedená v práci.

Je zrejmé, že pri konštrukciách priemyselných strojov nie je potrebné realizovať cyklus s prerušovaným pohybom piestov. Pre každý zákon pohybu piesta, najmä pre harmonický (pre kľukový pohon), je termodynamická účinnosť ideálneho Stirlingovho stroja rovná jednotke.

V týchto zariadeniach bol prijatý zjednodušený, takmer harmonický, zákon pohybu tyčí - kĺbové štvortyčové spojenie čerpacieho stroja bolo nahradené kľukovým mechanizmom. Tento predpoklad je všeobecne akceptovaný a ako ukázali experimenty, je pre podmienky experimentov úplne opodstatnený.

Vnútorný stav dvojatómová molekula definovaný, ak je špecifikovaný jeho stav elektrónový obal, ako aj charakteristiky rotačného pohybu molekuly ako celku a oscilačný pohyb jadrá. Rotácia a vibrácie sa považujú za prvú aproximáciu, ktorá je nezávislá od elektronického stavu molekuly. Najjednoduchším modelom na opis rotačných a vibračných pohybov dvojatómovej molekuly je model rigidného rotátora – harmonického oscilátora, podľa ktorého sa rotácia molekuly ako tuhého rotátora a vibrácie jadier podľa harmonického zákona uvažujú nezávisle. Klasický popis pre tento model pozri kap. IV., 5. Napíšme v rovnakej aproximácii výraz pre energiu dvojatómovej molekuly pomocou kvantovomechanických vzorcov (VII.19), (VII.20) a (UP.22)

Zmena amplitúdy vibrácií, ako aj prechod z harmonického na šokový režim vibrácií sa dosiahne inštaláciou vymeniteľných excentrov, ktorých profil je určený zákonom pohybu posúvača s pracovným stolom a blokom na ňom namontované koaxiálne valce.

V časti e bolo poznamenané, že ak je energia molekúl vyjadrená súčtom určitého počtu členov, ktoré sú kvadratické buď vzhľadom na priestorové súradnice () alebo vzhľadom na hybnosť (/z), potom tvar rozdelenia zákon nezávisí presne od toho, koľko pojmov je zahrnutých vo výraze pre kinetickú a koľko - vo výraze pre potenciálnu energiu. Odvodenie zákona je však zjednodušené, ak uvažujeme rovnaké číslo termíny vyjadrujúce potenciálnu kinetickú energiu. Fyzikálne to zodpovedá predpokladu, že celkový pohyb molekúl je reprezentovaný počtom 5 nezávislých harmonických oscilátorov. Energiu molekuly možno v tomto prípade zapísať takto:

V spektrometroch s konštantné zrýchlenie relatívna rýchlosť Pohyb zdroja a absorbéra sa periodicky mení podľa lineárneho alebo harmonického zákona, čo umožňuje zaznamenávať skúmané spektrum v danom rýchlostnom intervale. Typicky sa v takýchto spektrometroch informácie zaznamenávajú do pamäte viackanálového analyzátora pracujúceho v časovom režime, keď sa pamäťové kanály otvárajú synchrónne s rýchlostným cyklom.

Jeden z výrazov kvantové zákony je diskrétnosť energetických hladín tela vykonávajúceho periodické pohyby. Uvažujme ako príklad harmonické kmitanie oscilátora. Energia klasického harmonického oscilátora sa môže plynule meniť. Táto energia sa rovná yA2 ( najvyššia hodnota potenciálna energia pri x = A). Elastická konštanta

Nútené vibrácie. Uvažujme pozdĺžne vibrácie lineárna elastická sústava s jedným stupňom voľnosti pri pôsobení hnacej sily P if), meniaca sa podľa harmonického zákona. Spočiatku akceptujeme predpoklad, že neexistujú žiadne neelastické odporové sily. Pohybová rovnica v tomto prípade (obr. 3.7, a) má tvar tx = -Py + P (/), ktorý po zámenách P = cx, dm = sociálny a P (/) = Po sin (oi) dáva

Ak by sme sa zaoberali klasický systém, potom by za určitých počiatočných podmienok v princípe bolo možné vybudiť pohyb, pri ktorom by sa zmenila iba jedna normálna súradnica. úmerné tejto súradnici s koeficientmi by sa dodržali Ak by sa normálne súradnice menili podľa harmonického zákona, tak všetko geometrické parametre molekuly by sa tiež menili podľa harmonického zákona a všetky geometrické parametre by prešli svojimi rovnovážnymi hodnotami v rovnakej fáze Príklad normálnych vibrácií pre molekulu vodného typu XY2 je znázornený na obr

Ak sú elektróny látky mierne posunuté zo svojich rovnovážnych polôh, potom sú vystavené pôsobeniu obnovujúceho účinku, ktorého veľkosť sa považuje za úmernú posunutiu. V tomto prípade sa pohyb elektrónov ukáže ako jednoduchá harmonická oscilácia. Prechod svetla cez systém obsahujúci množstvo takýchto elektrických oscilátorov je ekvivalentný vzhľadu ďalšieho elektrická sila, čo sa podľa Maxwellovej teórie ukazuje ako jeden komponent PZ elektromagnetické vibrácie Sveta. Pri prechode svetla sa elektrické pole mení so zodpovedajúcou frekvenciou a ovplyvňuje pohyb kmitajúceho elektrónu podľa zákona zachovania energie. Rýchlosť (a teda kinetická energia) šírenia svetla v hmote je menšia ako vo vákuu, preto kinetická energia elektrónov interagujúcich so svetlom rastie. Svetlo má teda tendenciu meniť pohyb elektrónov v molekule a pôsobí v opačnom smere ako sila, ktorá má tendenciu udržiavať elektrón v jeho pôvodnej polohe.

Túto možnosť merania je možné realizovať aj pri torzných vibráciách rúrkovej vzorky, ak je vonkajší valec inštalovaný nehybne, vnútorný valec je namontovaný na torznej tyči a krútiaci moment naň pôsobiaci je nastavený podľa harmonického zákona. Ak teraz zmeriame fázový rozdiel medzi krútiacim momentom a uhlom natočenia valca, ako aj amplitúdu uhla natočenia, potom sa výpočtová schéma na určenie O zredukuje na vyššie uvedené vzorce (VI. 15) a (VI. 16). Ak však meriame pomer krútiaceho momentu k uhlovej rýchlosti valca, potom to zodpovedá problému o, b definícia impedancia systému.

Na záver poznamenávame, že z hľadiska úplného a fyzicky rozumného kvantitatívny popis dynamiky tekutín, všetky uvažované modely sú len prvou aproximáciou pre popis difúzie a oscilácií vo vode, keďže pri ich konštrukcii bolo použitých množstvo zjednodušení. Iba v rámci dlhých období sedavého života (môže to nastať, keď nízke teploty) alebo pri silnej elektrostrikcii molekúl vody v hydratačnom obale iónov dochádza k harmonickej aproximácii resp. jednoduchý model skoková difúzia [rovnica (4-5) tabuľka. 4] sú zákonné. o vysoké teploty a v roztokoch, v ktorých sú väzby medzi molekulami vody oslabené iónmi, sa vibrácie stávajú prudko anharmonickými, spomaľujú sa relaxačnými a difúznymi pohybmi. V tomto prípade je správanie kvapaliny viac v súlade so správaním systému voľných častíc [rovnica (37)]. Predpoklad, že neexistuje žiadna korelácia medzi difúznymi a oscilačnými pohybmi, je tiež sporná otázka. Nedávno Raman a spol.

V ďalšej časti. 11,3 riadok bude demontovaný jednoduché príklady, čo umožňuje odhadnúť príspevky k tepelnej kapacite jednotlivých stupňov voľnosti rozkladu. V tomto prípade bude väčšia pozornosť venovaná systému pozostávajúcim z častíc s dvoma možnými energetické stavy, a harmonický oscilátor, keďže na ich príklade je možné relatívne jednoducho a zároveň pomerne úplne analyzovať vzťah medzi molekulárnym pohybom a tepelnou kapacitou systému. Pre viac komplexné systémyčasto je ľahké odhadnúť tepelnú kapacitu pri priemerných teplotách na základe klasické právo Rovnomerné rozdelenie podľa stupňov voľnosti.

Zákony pohybu mikročastíc v kvantová mechanika výrazne odlišné od klasických. Na jednej strane sa správajú (napríklad pri zrážkach) ako častice s nedeliteľným nábojom a hmotnosťou, na druhej strane ako vlny s určitou frekvenciou (vlnovou dĺžkou) a vyznačujúce sa tzv. vlnová funkciaа1з - majetok, otral Pozrite si stránky, kde sa spomína pojem Harmonický zákon pohybu Notári v Novoalekseevke Bezplatné inzeráty v sekcii Notári v Novoalekseevke. Zatiaľ nie sú žiadne oznámenia, buďte prví! Predchodcov moderných notárov možno nájsť v starovekom Egypte, […]

Uvažujme kmity závažia m na pružine s koeficientom tuhosti k, ktorá leží na rovnom vodorovnom stole za predpokladu, že nedochádza k treniu závažia o povrch stola. Ak sa závažie odstráni zo svojej rovnovážnej polohy, bude oscilovať vzhľadom na túto polohu. Tieto kmity popíšeme časovo závislou funkciou, pričom uvážime, že určuje odchýlku závažia od jeho rovnovážnej polohy v čase t.

Vo vodorovnom smere pôsobí na závažie len jedna sila - elastická sila pružiny, určená známym Hookeovým zákonom.

Deformácia pružiny je funkciou času, vďaka čomu je tiež premenlivá.

Z druhého Newtonovho zákona máme

keďže zrýchlenie je druhá derivácia posunutia: .

Rovnicu (9) je možné prepísať do tvaru

Kde. Táto rovnica sa nazýva rovnica harmonického oscilátora.

Komentujte. V matematickej literatúre sa pri písaní diferenciálnej rovnice argument (t) zvyčajne neuvádza v blízkosti všetkých funkcií, ktoré od neho závisia. Táto závislosť sa predpokladá štandardne. Pri použití matematického balíka Maple v (10) je potrebné uviesť explicitnú závislosť funkcie.

Na rozdiel od predchádzajúceho príkladu pohybu tela pri akcii konštantná sila v našom prípade sa sila časom mení a rovnicu (10) už nie je možné vyriešiť bežným integračným postupom. Skúsme uhádnuť riešenie tejto rovnice s vedomím, že opisuje nejaký oscilačný proces. Ako jedno z možných riešení rovnice (10) si môžete vybrať nasledujúcu funkciu:

Diferenciačná funkcia (11), máme

Dosadením výrazu (12) do rovnice (10) sa presvedčíme, že je splnený zhodne pre akúkoľvek hodnotu t.

Funkcia (11) však nie je jediné riešenie rovnice harmonického oscilátora. Ako ďalšie riešenie si môžete zvoliť napríklad funkciu, ktorá sa tiež dá jednoducho skontrolovať podobným spôsobom. Navyše je možné skontrolovať, či ide o akúkoľvek lineárnu kombináciu týchto dvoch náhodne pomenovaných riešení

S konštantné koeficienty A a B sú tiež riešenia rovnice harmonického oscilátora.

Dá sa dokázať, že v závislosti od dvoch trvalé riešenie(13) je všeobecným riešením rovnice harmonického oscilátora (10). To znamená, že vzorec (13) vyčerpáva všetko možné riešenia túto rovnicu. Inými slovami, rovnica harmonického oscilátora nemá žiadne iné čiastkové riešenia okrem tých, ktoré sú získané zo vzorca (13) stanovením ľubovoľných konštánt A a B.

Všimnite si, že vo fyzike je najčastejšie potrebné hľadať nejaké konkrétne riešenia jednotlivých ODR alebo ich systémov. Pozrime sa na túto otázku podrobnejšie.

Môžete vybudiť oscilácie v systéme závažia na pružine, ktorú zvažujeme rôzne cesty. Stanovme si nasledujúce počiatočné podmienky

To znamená, že v počiatočnom okamihu bolo závažie stiahnuté z rovnovážnej polohy o hodnotu a a bolo voľne uvoľnené (t. j. začalo svoj pohyb s nulovou počiatočnou rýchlosťou). Možno si predstaviť mnoho rôznych iných spôsobov budenia, napríklad závažie v rovnovážnej polohe dostane určité „kliknutie“ štartovacia rýchlosť atď. [ všeobecný prípad, ].

Počiatočné podmienky (14) považujeme za niektoré dodatočné podmienky izolovať zo všeobecného riešenia (13) nejaké konkrétne riešenie zodpovedajúce našej metóde budenia kmitov závažia.

Za predpokladu, že t=0 vo výraze (13), máme, čo znamená, že B=a. Našli sme teda jednu z predtým ľubovoľných konštánt v riešení (13). Ďalej, diferenciáciou vo vzorci (13), máme

Za predpokladu t = 0 v tomto výraze a pri zohľadnení druhého počiatočný stav z (14), dostaneme, vyplýva, že A=0 a teda počiatočné partikulárne riešenie má tvar

Popisuje oscilačný režim uvažovaného mechanického systému, ktorý je určený podmienkami počiatočného budenia (14).

Od školský kurz fyzici vedia, že vo vzorci (16) je a amplitúda kmitov (udáva maximálnu hodnotu odchýlky závažia od jeho rovnovážnej polohy), je to cyklická frekvencia a je to fáza kmitov (počiatočná fáza sa ukáže ako byť rovná nule).

Rovnica harmonického oscilátora (10) je príkladom lineárnej ODR. To znamená, že neznáma funkcia a všetky jej derivácie sa objavujú v každom člene rovnice do prvého stupňa. Lineárne diferenciálne rovnice sú mimoriadne dôležité charakteristický znak: Spĺňajú princíp superpozície. To znamená, že každá lineárna kombinácia akýchkoľvek dvoch riešení lineárnej ODR je tiež jej riešením.

V príklade, ktorý uvažujeme o rovnici harmonického oscilátora, nie je ľubovoľná lineárna kombinácia dvoch konkrétnych riešení len nejakým novým riešením, ale všeobecným riešením tejto rovnice (vyčerpáva všetky možné riešenia).

Vo všeobecnosti to tak nie je. Napríklad, ak by sme sa zaoberali lineárnou diferenciálnou rovnicou tretieho rádu (t. j. ak by rovnica obsahovala tretiu deriváciu), potom by lineárna kombinácia akýchkoľvek dvoch jej čiastočných riešení bola tiež riešením tejto rovnice, ale nepredstavovala by predstavuje jeho všeobecné riešenie.

V kurze o diferenciálnych rovniciach je dokázaná veta, že všeobecné riešenie ODR N-tého rádu (lineárne alebo nelineárne) závisí od N ľubovoľných konštánt. Kedy nelineárna rovnica tieto ľubovoľné konštanty môžu vstupovať do všeobecného riešenia (na rozdiel od (13)) nelineárne.

Princíp superpozície hrá v teórii ODR výlučnú úlohu. dôležitá úloha, keďže s jeho pomocou je možné zostrojiť všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice vo forme superpozície jej partikulárnych riešení. Napríklad pre prípad lineárnych ODR s konštantnými koeficientmi a ich systémov (rovnica harmonického oscilátora sa vzťahuje konkrétne na tento typ rovníc) sa vyvinula teória diferenciálnych rovníc všeobecná metóda riešenia. Jeho podstata je nasledovná. Konkrétne riešenie sa hľadá vo forme. V dôsledku jeho nahradenia v pôvodná rovnica, všetky časovo závislé faktory sa zrušia a dospejeme k určitej charakteristickej rovnici, ktorá je pre ODR N-tého rádu algebraickou rovnicou N-tého stupňa. Jeho riešením tak nájdeme všetky možné čiastkové riešenia, ktorých ľubovoľná lineárna kombinácia dáva všeobecné riešenie pôvodnej ODR. Nebudeme sa ďalej venovať tejto problematike a odkážeme čitateľa na zodpovedajúce učebnice teórie diferenciálnych rovníc, v ktorých možno nájsť ďalšie podrobnosti, najmä úvahy o prípade, keď charakteristická rovnica obsahuje viacero koreňov.

Ak vezmeme do úvahy lineárnu ODR s variabilné kurzy, (jej koeficienty závisia od času), potom platí aj princíp superpozície, ale zostrojte nejakým spôsobom explicitné všeobecné riešenie tejto rovnice štandardná metóda, už nie je možné. K tejto problematike sa ešte vrátime a rozoberieme fenomén parametrickej rezonancie a Mathieuovu rovnicu spojenú s jej štúdiom.

Harmonický oscilátor(v klasickej mechanike) - systém, ktorý pri premiestnení z rovnovážnej polohy zažíva vratnú silu Fúmerné výtlaku X(podľa Hookovho zákona):

Kde k- koeficient tuhosti systému.

Ak F je jediná sila pôsobiaca na sústavu, vtedy sa sústava nazýva jednoduché alebo konzervatívny harmonický oscilátor. Voľné vibrácie takéhoto systému sú periodický pohyb v blízkosti rovnovážnej polohy (harmonické vibrácie). Frekvencia a amplitúda sú konštantné a frekvencia nezávisí od amplitúdy.

Mechanickými príkladmi harmonického oscilátora sú matematické kyvadlo (s malými uhlami vychýlenia), torzné kyvadlo a akustické systémy. Medzi inými analógmi harmonického oscilátora stojí za to zdôrazniť elektrický harmonický oscilátor (pozri obvod LC).

Encyklopedický YouTube

1 / 5

Elementárne častice | kvantová teória polia | etuda číslo 6 | kvantový oscilátor

Vynútené kmity lineárneho oscilátora | Všeobecná fyzika. Mechanika | Jevgenij Butikov

Elementárne častice | kvantová teória poľa | náčrt číslo 5 | klasický oscilátor

Oscilátory: čo sú to a ako ich používať? Školenie pre obchodníkov z I-TT.RU

Sytrus 01 z 16 Práca s tvarom oscilátora

titulky

Voľné vibrácie

Konzervatívny harmonický oscilátor

Ako model konzervatívneho harmonického oscilátora vezmeme hromadné zaťaženie m, pripevnený k pružine tuhosťou k .

Nechaj X- posunutie bremena vzhľadom na rovnovážnu polohu. Potom podľa Hookovho zákona naň bude pôsobiť obnovujúca sila:

Dosaďte do diferenciálnej rovnice.

Amplitúda je znížená. To znamená, že môže mať ľubovoľnú hodnotu (vrátane nuly – to znamená, že záťaž je v pokoji v rovnovážnej polohe). Môžete tiež znížiť sínus, pretože rovnosť musí platiť kedykoľvek t. Podmienka pre frekvenciu kmitov teda zostáva:

potom má celková energia konštantná hodnota

Jednoduchý harmonický pohyb- to je pohyb jednoduchého harmonický oscilátor, periodický pohyb, ktorý nie je nútený ani tlmený. Teleso v jednoduchom harmonickom pohybe je vystavené jedinej premenlivej sile, ktorá je v absolútnej hodnote priamo úmerná posunutiu X z rovnovážnej polohy a smeruje opačným smerom.

Tento pohyb je periodický: telo kmitá okolo rovnovážnej polohy podľa sínusového zákona. Každá nasledujúca oscilácia je rovnaká ako predchádzajúca a perióda, frekvencia a amplitúda oscilácií zostávajú konštantné. Ak predpokladáme, že rovnovážna poloha je v bode so súradnicou rovnou nule, potom posunutie X teleso z rovnovážnej polohy kedykoľvek je dané vzorcom:

Kde A- amplitúda kmitov, f- frekvencia, φ - počiatočná fáza.

Frekvencia pohybu je určená charakteristické vlastnosti sústavy (napríklad hmotnosť pohybujúceho sa telesa), pričom amplitúdu a počiatočnú fázu určujú počiatočné podmienky - posun a rýchlosť telesa v momente začiatku kmitov. Od týchto vlastností a podmienok závisia aj kinetické a potenciálne energie systému.

Jednoduchý harmonický pohyb si možno predstaviť ako matematický model rôzne druhy pohyby, ako je kmitanie pružiny. Ďalšie prípady, ktoré možno zhruba považovať za jednoduchý harmonický pohyb, sú pohyb kyvadla a vibrácie molekúl.

Jednoduchý harmonický pohyb je základom niektorých spôsobov analýzy zložitejších typov pohybu. Jednou z týchto metód je metóda založená na Fourierovej transformácii, ktorej podstata spočíva v expanzii viac komplexný typ pohyby do série jednoduchých harmonických pohybov.

Typickým príkladom systému, v ktorom dochádza k jednoduchému harmonickému pohybu, je idealizovaný systém hmota-pružina, v ktorom je hmota pripojená k pružine. Ak pružina nie je ani stlačená, ani natiahnutá, potom sa na zaťaženie nevyvíja žiadny vplyv. premenlivé sily a náklad je v dobrom stave mechanické vyváženie. Ak sa však záťaž z rovnovážnej polohy odstráni, pružina sa zdeformuje a z jej strany bude na záťaž pôsobiť sila, ktorá bude mať tendenciu vrátiť záťaž do rovnovážnej polohy. V prípade systému záťažových pružín je takouto silou elastická sila pružiny, ktorá sa riadi Hookovým zákonom:

Každý systém, v ktorom sa vyskytuje jednoduchý harmonický pohyb, má dve kľúčové vlastnosti:

1. Keď je systém vyhodený z rovnováhy, musí existovať obnovujúca sila, ktorá má tendenciu vrátiť systém do rovnováhy.
2. Vratná sila musí byť presne alebo približne úmerná posunutiu.

Systém záťažových pružín spĺňa obe tieto podmienky.

Akonáhle je posunuté bremeno vystavené vratnej sile, zrýchli ho a má tendenciu vrátiť ho do pôvodnej polohy. štartovací bod, teda do rovnovážnej polohy. Keď sa zaťaženie blíži k rovnovážnej polohe, vratná sila klesá a má tendenciu k nule. Avšak v situácii X = 0 zaťaženie má určitý pohyb (impulz), získaný pôsobením vratnej sily. Záťaž preto prekročí rovnovážnu polohu a začne pružinu opäť deformovať (ale už v nej opačný smer). Obnovovacia sila bude mať tendenciu ju spomaliť, kým rýchlosť nebude nulová; a sila sa bude opäť snažiť vrátiť záťaž do rovnovážnej polohy.

Pokiaľ v systéme nedôjde k žiadnej strate energie, záťaž bude oscilovať, ako je opísané vyššie; takýto pohyb sa nazýva periodický.

Ďalšia analýza ukáže, že v prípade zaťažovo-pružinového systému je pohyb jednoduchý harmonický.

Dynamika jednoduchého harmonického pohybu

Pre vibrácie v jednorozmernom priestore, berúc do úvahy druhý Newtonov zákon ( F= m  d² X/d t² ) a Hookov zákon ( F = −kx, ako je opísané vyššie), máme lineárnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu:

Riešenie tejto diferenciálnej rovnice je sínusové; jedno riešenie je:

Kde A, ω a φ sú konštantné veličiny a rovnovážna poloha sa berie ako počiatočná. Každá z týchto konštánt predstavuje dôležité fyzické vlastníctvo pohyby: A je amplitúda, ω = 2π f- kruhová frekvencia a φ - počiatočná fáza.

U (t) = 1 2 k x (t) 2 = 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ (ω t + φ) . (\displaystyle U(t)=(\frac (1)(2))kx(t)^(2)=(\frac (1)(2))kA^(2)\cos ^(2)(\ omega t+\varphi).)

Univerzálny kruhový pohyb

Jednoduchý harmonický pohyb možno v niektorých prípadoch považovať za jednorozmernú projekciu univerzálneho kruhového pohybu.

Ak sa objekt pohybuje konštantnou uhlovou rýchlosťou ω po kružnici s polomerom r, ktorého stred je počiatkom súradníc roviny x-y, potom takýto pohyb pozdĺž každého z súradnicové osi je jednoduchý harmonický s amplitúdou r a kruhová frekvencia ω.

Závažie ako obyčajné kyvadlo

Pri aproximácii malých uhlov je pohyb jednoduchého kyvadla blízky jednoduchej harmonickej. Perióda kmitania takéhoto kyvadla pripevneného k tyči dĺžky ℓ so zrýchlením voľný pád g je daný vzorcom

To ukazuje, že perióda kmitania nezávisí od amplitúdy a hmotnosti kyvadla, ale závisí od gravitačného zrýchlenia. g, teda pri rovnakej dĺžke kyvadla sa na Mesiaci bude hojdať pomalšie, keďže gravitácia je tam slabšia a menšiu hodnotu zrýchlenie voľného pádu.

Táto aproximácia je správna len pre malé uhly vychýlenia, pretože výraz pre uhlové zrýchlenie je úmerný sínusu súradnice:

Kde ja- moment zotrvačnosti ; V v tomto prípade ja = mℓ 2 .

čím je uhlové zrýchlenie priamo úmerné uhlu θ a to spĺňa definíciu jednoduchého harmonického pohybu.

Harmonický oscilátor s tlmením

Ak vezmeme za základ rovnaký model, pridáme k nemu silu viskózneho trenia. Sila viskózneho trenia je nasmerovaná proti rýchlosti pohybu bremena voči médiu a je priamo úmerná tejto rýchlosti. Potom plnú silu, pôsobiace na zaťaženie, je napísané takto:

Vykonaním podobných akcií získame diferenciálnu rovnicu popisujúcu tlmený oscilátor:

Označenie je uvedené tu: 2 γ = α m (\displaystyle 2\gamma =(\frac (\alpha )(m))). Koeficient γ (\displaystyle \gamma ) sa nazýva konštanta tlmenia. Má tiež rozmer frekvencie.

Riešenie je rozdelené do troch prípadov.

Kde ω f = ω 0 2 − γ 2 (\displaystyle \omega _(f)=(\sqrt (\omega _(0)^(2)-\gamma ^(2))))- frekvencia voľných kmitov.

Kde β 1 , 2 = γ ± γ 2 − ω 0 2 (\displaystyle \beta _(1,2)=\gamma \pm (\sqrt (\gamma ^(2)-\omega _(0)^(2)) ))).

Kritické tlmenie je pozoruhodné v tom, že práve pri kritickom tlmení sa oscilátor najrýchlejšie dostane do rovnovážnej polohy. Ak je trenie menšie ako kritické, dosiahne rovnovážnu polohu rýchlejšie, ale zotrvačnosťou ju „prestrelí“ a bude oscilovať. Ak je trenie väčšie ako kritické, potom bude oscilátor exponenciálne smerovať k rovnovážnej polohe, ale čím pomalšie, tým väčšie je trenie.

Preto sa v číselníkových indikátoroch (napríklad v ampérmetroch) zvyčajne pokúšajú zaviesť kritický útlm, aby sa ručička čo najrýchlejšie upokojila a odčítala jej hodnoty.

Tlmenie oscilátora je tiež často charakterizované bezrozmerným parametrom nazývaným ako faktor kvality. Faktor kvality sa zvyčajne označuje písmenom Q (\displaystyle Q). Podľa definície sa faktor kvality rovná:

Čím vyšší je faktor kvality, tým pomalšie doznievajú oscilácie oscilátora.

Oscilátor s kritickým tlmením má faktor kvality 0,5. V súlade s tým faktor kvality indikuje správanie oscilátora. Ak je faktor kvality väčší ako 0,5, potom voľný pohyb oscilátora predstavuje oscilácie; teoreticky časom prekročí rovnovážnu polohu neobmedzene veľakrát. Faktor kvality menší alebo rovný 0,5 zodpovedá neoscilačnému pohybu oscilátora; V voľný pohyb prekročí rovnovážnu polohu najviac raz.

Faktor kvality sa niekedy nazýva zisk oscilátora, pretože pri niektorých metódach budenia, keď sa frekvencia budenia zhoduje s frekvenciou rezonančných oscilácií, ich amplitúda je nastavená na približne Q (\displaystyle Q) krát viac ako pri vzrušení s rovnakou intenzitou pri nízkej frekvencii.

Faktor kvality sa tiež približne rovná počtu oscilačných cyklov, počas ktorých amplitúda oscilácií klesá o e (\displaystyle e) krát vynásobené π (\displaystyle \pi ).

V prípade kmitavého pohybu sa tlmenie vyznačuje aj takými parametrami, ako sú:

• Život vibrácie (aka čas rozpadu, je to rovnaké relaxačný čas) τ - čas, počas ktorého sa bude amplitúda kmitov znižovať v e raz.

Nútené vibrácie

Oscilácie oscilátora sa nazývajú vynútené, keď na ne pôsobí nejaký dodatočný vonkajší vplyv. Tento vplyv môže byť vyvolaný rôznymi prostriedkami a pomocou rôzne zákony. Napríklad silové budenie je účinok na zaťaženie silou, ktorá závisí iba od času podľa určitého zákona. Kinematické budenie je účinok na oscilátor pohybom bodu pripevnenia pružiny pozdĺž daný zákon. Postihnuté môže byť aj trenie, keď sa napríklad médium, s ktorým bremeno zažíva trenie, pohybuje podľa daného zákona.