Pri rozvíjaní de Broglieho predstavy o vlnových vlastnostiach hmoty E. Schrödinger prijal jeho slávna rovnica. Schrödinger porovnával pohyb mikročastíc komplexná funkcia súradnice a čas, ktoré nazval vlnová funkcia a označil Grécke písmeno"psi" (). Nazvime to funkcia psi.

Funkcia psi charakterizuje stav mikročastice. Tvar funkcie sa získa z riešenia Schrödingerovej rovnice, ktorá vyzerá takto:

Tu je hmotnosť častíc, pomyselná jednotka, - Laplaceov operátor, ktorého výsledkom pôsobí na určitú funkciu súčet druhých parciálnych derivácií vzhľadom na súradnice:

Písmeno U v rovnici (21.1) označuje funkciu súradníc a času, ktorých gradient, braný s opačným znamienkom, určuje silu pôsobiacu na časticu. V prípade, že funkcia U nezávisí explicitne od času, má význam potenciálnej energie častice.

Z rovnice (21.1) vyplýva, že tvar funkcie psi je určený funkciou U, teda v konečnom dôsledku povahou síl pôsobiacich na časticu.

Schrödingerova rovnica je základná rovnica nerelativistickej kvantovej mechaniky. Nedá sa odvodiť z iných vzťahov. Treba ho považovať za východiskový základný predpoklad, ktorého platnosť dokazuje skutočnosť, že všetky dôsledky z toho plynúce sú v najpresnejšej zhode s experimentálnymi faktami.

Schrödinger stanovil svoju rovnicu na základe opticko-mechanickej analógie. Táto analógia spočíva v podobnosti rovníc, ktoré opisujú dráhu svetelných lúčov, s rovnicami, ktoré určujú trajektórie častíc v analytická mechanika. V optike dráha lúčov vyhovuje Fermatovmu princípu (pozri § 115 2. zväzku), v mechanike typ trajektórie vyhovuje takzvanému princípu najmenšej akcie.

Ak je silové pole, v ktorom sa častica pohybuje, stacionárne, potom funkcia V nezávisí explicitne od času a ako už bolo uvedené, má význam potenciálnej energie. V tomto prípade sa riešenie Schrödingerovej rovnice rozdelí na dva faktory, z ktorých jeden závisí iba od súradníc, druhý - iba od času:

Tu E je celková energia častice, ktorá v prípade stacionárne pole zostáva konštantná. Na overenie platnosti výrazu (21.3) ho dosadíme do rovnice (21.1). V dôsledku toho získame vzťah

Znížené o spoločný multiplikátor dospejeme k diferenciálnej rovnici definujúcej funkciu

Rovnica (21.4) sa nazýva Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy. Ďalej sa budeme zaoberať iba touto rovnicou a pre stručnosť ju nazveme jednoducho Schrödingerova rovnica. Rovnica (21.4) sa často píše v tvare

Vysvetlime, ako možno dospieť k Schrödingerovej rovnici. Pre jednoduchosť sa obmedzíme na jednorozmerný prípad. Uvažujme voľne sa pohybujúcu časticu.

Podľa predstavy de Broglieho ju treba spájať s rovinnou vlnou

(V kvantová mechanika Je zvykom brať exponent so znamienkom mínus). Nahradením v súlade s (18.1) a (18.2) cez E a sa dostaneme k výrazu

Získame diferenciáciu tohto výrazu raz vzhľadom na t a druhýkrát dvakrát vzhľadom na x

V nerelativistickej klasickej mechanike sú energia E a hybnosť voľnej častice spojené vzťahom

Dosadením výrazov (21.7) za E a do tohto vzťahu a následným zmenšením o , dostaneme rovnicu

ktorá sa zhoduje s rovnicou (21.1), ak do druhej vložíme

V prípade častice pohybujúcej sa v silovom poli charakterizovanom potenciálna energia U, energia E a hybnosť sú vo vzťahu

Rozšírením výrazov (21.7) pre E na tento prípad získame

Vynásobením tohto pomeru a posunutím člena doľava sa dostaneme k rovnici

sa zhoduje s rovnicou (21.1).

Uvedená úvaha nemá žiadnu dôkaznú silu a nemožno ju považovať za odvodenie Schrödingerovej rovnice. Ich cieľom je vysvetliť, ako sa dá dospieť k tejto rovnici.

V kvantovej mechanike hrá dôležitú úlohu pojem Operátor je pravidlo, podľa ktorého je jedna funkcia (označme ju) spojená s inou funkciou (označme ju). Symbolicky je to napísané takto:

Tu je symbolické označenie operátora (s rovnakým úspechom by sa dalo vziať akékoľvek iné písmeno, nad ktorým je napríklad „čiapka“ atď.). Vo vzorci (21.2) hrá úlohu Q funkcia F a úloha f je pravá strana vzorca.

Heisenberg bol vedený k záveru, že pohybová rovnica v kvantovej mechanike, ktorá popisuje pohyb mikročastíc v rôznych silové polia, musí existovať rovnica, z ktorej by vyplývali experimentálne pozorované hodnoty vlnové vlastnostičastice. Riadiaca rovnica musí byť rovnicou pre vlnovú funkciu Ψ (x, y, z, t), pretože je to práve toto, alebo presnejšie množstvo |Ψ| 2, určuje pravdepodobnosť prítomnosti častice v danom čase t v objeme Δ V, teda v oblasti so súradnicami X A x + dx, y A y + dу, z A z+ dz.

Základnú rovnicu nerelativistickej kvantovej mechaniky sformuloval v roku 1926 E. Schrödinger. Schrödingerova rovnica, podobne ako všetky základné rovnice fyziky (napríklad Newtonove rovnice v klasickej mechanike a Maxwellove rovnice pre elektromagnetického poľa), nie je odvodený, ale postulovaný. Správnosť tejto rovnice je potvrdená zhodou so skúsenosťami získanými z nej pomocou výsledkov, čo mu zase dáva charakter prírodného zákona.

Všeobecná Schrödingerova rovnica je:

Kde ? =h/(2π), m- hmotnosť častice, Δ - Laplaceov operátor , i- pomyselná jednotka, U(x, y, z, t) je potenciálna funkcia častice v silovom poli, v ktorom sa pohybuje, Ψ( x, y, z, t) - požadovaný vôl Nová funkciačastice.

Rovnica (1) platí pre akúkoľvek časticu (so spinom rovným 0), ktorá sa pohybuje nízkou (v porovnaní s rýchlosťou svetla) rýchlosťou, t.j. υ "S.

Je doplnená o podmienky, superponované na vlnovú funkciu:

1) vlnová funkcia musí byť konečná, jednoznačná a spojitá;

2) deriváty musí byť nepretržitý;

3) funkcia |Ψ| 2 musí byť integrovateľná (táto podmienka sa v najjednoduchších prípadoch redukuje na podmienku normalizácie pravdepodobností).

Rovnica (1) sa nazýva časovo závislá Schrödingerova rovnica.

Pre veľa fyzikálnych javov, vyskytujúce sa v mikrosvete, rovnicu (1) možno zjednodušiť odstránením závislosti Ψ na čase, t.j. nájdite Schrödingerovu rovnicu pre stacionárne stavy - stavy s pevnými hodnotami energie. Je to možné, ak je silové pole, v ktorom sa častica pohybuje, stacionárne, teda funkcia U = U(x, y,z) nezávisí výslovne od času a má význam potenciálnej energie. IN v tomto prípade riešenie Schrödingerovej rovnice možno znázorniť ako

. (2)

rovnica (2) nazývaná Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy.

Táto rovnica zahŕňa celkovú energiu ako parameter Ečastice. V teórii diferenciálnych rovníc je dokázané, že takéto rovnice majú nekonečný počet riešení, z ktorých uložením hraničné podmienky vybrať riešenia, ktoré majú fyzický význam. Pre Schrödingerovu rovnicu také podmienky sú podmienky pre pravidelnosť vlnových funkcií: Nové funkcie musia byť konečné, jednoznačné a spojité spolu s ich prvými deriváciami.

Skutočný fyzikálny význam teda majú len tie riešenia, ktoré sú vyjadrené regulárnymi funkciami Ψ. Ale pre žiadne hodnoty parametrov sa neuskutočňujú bežné riešenia E, ale len pre určitý ich súbor, charakteristický pre danú úlohu. Tieto energetické hodnoty sa nazývajú vlastné hodnoty . Riešenia, ktoré zodpovedajú vlastným hodnotám energie, sa nazývajú vlastné funkcie . Vlastné hodnoty E môžu tvoriť spojité aj diskrétne série. V prvom prípade hovoria o spojitom alebo pevnom spektre, v druhom o diskrétnom spektre.

Častica v jednorozmernej pravouhlej „potenciálnej studni“s nekonečne vysokými „stenami“

Poďme uskutočniť kvalitatívna analýza riešenia Schrödingerovej rovnice aplikované na časticu v jednorozmernej pravouhlej „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“. Takáto „diera“ je opísaná potenciálnou energiou formy (pre jednoduchosť predpokladáme, že častica sa pohybuje pozdĺž osi X)

Kde l je šírka „diery“ a energia sa počíta od jej dna (obr. 2).

Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy v prípade jednorozmernej úlohy bude napísaná v tvare:

. (1)

Podľa podmienok problému (nekonečne vysoké „steny“) častica neprenikne za „dieru“, preto je pravdepodobnosť jej detekcie (a následne aj vlnovej funkcie) mimo „diery“ nulová. Na hraniciach „jamy“ (at X= 0 a x = 1) funkcia spojitej vlny musí tiež zmiznúť.

Preto majú okrajové podmienky v tomto prípade tvar:

Ψ (0) = Ψ ( l) = 0. (2)

V rámci „jamy“ (0 ≤ X≤ 0) Schrödingerova rovnica (1) sa zredukuje na rovnicu:

alebo . (3)

Kde k2 = 2 mE/? 2.(4)

Spoločné rozhodnutie Diferenciálnej rovnice (3):

Ψ ( X) = A hriech kx + B cos kx.

Keďže podľa (2) Ψ (0) = 0, potom B = 0. Potom

Ψ ( X) = A hriech kx. (5)

Podmienka Ψ ( l) = A hriech kl= 0 (2) sa vykoná len vtedy, keď kl = nπ, Kde n- celé čísla, t.j. je to potrebné

k = nπ/l. (6)

Z výrazov (4) a (6) vyplýva, že:

(n = 1, 2, 3,…), (7)

t.j. stacionárna rovnica Schrödinger, ktorý opisuje pohyb častice v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“, je splnený iba pre vlastné hodnoty E p, v závislosti od celého čísla P. Preto tá energia E pčastice v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ akceptujú len istý diskrétne hodnoty, teda je kvantovaný.

Kvantované energetické hodnoty E p sa volajú energetické hladiny a číslo P, definovanie energetické hladinyčastice sa nazývajú hlavné kvantové číslo. Mikročastica v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ teda môže byť len na určitej energetickej úrovni. E p, alebo, ako sa hovorí, častica je v kvantovom stave P.

Nahradením do (5) hodnoty k z (6) nájdeme vlastné funkcie:

.

Konštanta integrácie A zistíme z normalizačnej podmienky, ktorá sa pre tento prípad zapíše v tvare:

.

V dôsledku integrácie dostaneme a vlastné funkcie budú mať tvar:

(n = 1, 2, 3,…). (8)

Grafy vlastných funkcií (8) zodpovedajúcich energetickým hladinám (7) pri n= 1,2,3, znázornené na obr. 3, A. Na obr. 3, b ukazuje hustotu pravdepodobnosti detekcie častice v rôznych vzdialenostiach od „steny“ otvoru, ktorá sa rovná ‌‌‌‌‌‌ Ψ n(X)‌2 = Ψ n(X)·Ψ n * (X) Pre n = 1, 2 a 3. Z obrázku vyplýva, že napríklad v kvantovom stave s n= 2, častica nemôže byť v strede „diery“, zatiaľ čo rovnako často môže byť v jej ľavom a pravé časti. Toto správanie častice naznačuje, že koncepty trajektórií častíc v kvantovej mechanike sú neudržateľné.

Z výrazu (7) vyplýva, že energetický interval medzi dvoma susednými úrovňami sa rovná:

Napríklad pre elektrón s rozmermi studne l= 10 -1 m ( voľných elektrónov v kove) , Δ E n ≈ 10 - 35 · n J ≈ 10-1 6 n eV, t.j. Energetické hladiny sú umiestnené tak blízko, že spektrum možno prakticky považovať za spojité. Ak sú rozmery studne porovnateľné s atómovými ( l ≈ 10 -10 m), potom pre elektrón Δ E n ≈ 10 -17 n J ≈ 10 2 n eV, t.j. Zjavne sa získajú diskrétne energetické hodnoty (čiarové spektrum).

Aplikácia Schrödingerovej rovnice na časticu v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ teda vedie ku kvantovaným energetickým hodnotám, zatiaľ čo klasická mechanika nekladie na energiu tejto častice žiadne obmedzenia.

Okrem toho kvantovo-mechanické zváženie tohto problému vedie k záveru, že častica „v potenciálovej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ nemôže mať energiu menšiu ako minimálnu energiu rovnajúcu sa π 2 ? 2 /(2t1 2). Prítomnosť nenulovej minimálnej energie nie je náhodná a vyplýva zo vzťahu neurčitosti. Neistota súradníc Δ Xčastice v "jame" širokej l rovná Δ X= l.

Potom podľa vzťahu neistoty impulz nemôže mať presnú, v tomto prípade nulovú hodnotu. Neistota hybnosti Δ R ≈ h/l. Tomuto rozpätiu hodnôt hybnosti zodpovedá Kinetická energia E min ≈(Δ p) 2 / (2m) = ? 2 / (2ml 2). Všetky ostatné úrovne ( p> 1) majú energiu presahujúcu túto minimálnu hodnotu.

Zo vzorcov (9) a (7) vyplýva, že pre veľké kvantové čísla ( n"1) Δ E n / E p ≈ 2/P„1, t. j. susedné úrovne sú umiestnené blízko: čím bližšie, tým viac P. Ak P je veľmi veľký, potom môžeme hovoriť o takmer nepretržitom slede úrovní a charakteristický znak kvantové procesy— diskrétnosť je vyhladená. Tento výsledok je špeciálnym prípadom Bohrovho korešpondenčného princípu (1923), podľa ktorého musia zákony kvantovej mechaniky veľké hodnoty kvantové čísla prejdite na zákony klasickej fyziky.

§ 217. Všeobecná Schrödingerova rovnica. Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy

Štatistická interpretácia da Broglieho vĺn (pozri § 216) a Heisenbergov vzťah neurčitosti (pozri § 215) viedli k záveru, že pohybová rovnica v kvantovej mechanike, ktorá popisuje pohyb mikročastíc v rôznych silových poliach, by mala byť rovnicou z ktorých sú pozorovateľné na experimentálnych vlnových vlastnostiach častíc. Riadiaca rovnica musí byť rovnica vzhľadom na vlnovú funkciu (x, y, z, t ), pretože práve toto, alebo presnejšie množstvo, určuje pravdepodobnosť, že častica bude v danom časet v objemedV , teda v oblasti so súradnicamiX A X + dx . r A r + D Y . zuz + dz . Keďže požadovaná rovnica musí zohľadňovať vlnové vlastnosti častíc, musí ísť o vlnovú rovnicu, podobnú rovnici popisujúcej elektromagnetické vlny.

Základná rovnicanerelativistická kvantová mechanika sformuloval v roku 1926 E. Schrödinger. Schrödingerova rovnica, podobne ako všetky základné rovnice fyziky (napríklad Newtonove rovnice v klasickej mechanike a Maxwellove rovnice pre elektromagnetické pole), nie je odvodená, ale postulovaná. Správnosť tejto rovnice je potvrdená zhodou so skúsenosťami s výsledkami získanými s jej pomocou, čo jej zase dáva charakter prírodného zákona. Schrödingerova rovnica má tvar

(217.1)

Kde,T - hmotnosť častíc, - Laplaceov operátor ,

- pomyselná jednotka,V (x, y, z , t ) - potenciálna funkcia častice v silovom poli, v ktorom sa pohybuje,(x, y, z, t ) - požadovaná vlnová funkcia častice.

Rovnica (217.1) platí pre akúkoľvek časticu (so spinom rovným 0; pozri § 225), ktorá sa pohybuje nízkou rýchlosťou (v porovnaní s rýchlosťou svetla), t.j. rýchlosťou Je doplnená o podmienky kladené na vlnu funkcia: 1) vlnová funkcia musí byť konečná, jednoznačná a spojitá (pozri § 216); 2) deriváty musí byť nepretržitý; 3) funkcia by mala byť

integrovateľný; táto podmienka sa v najjednoduchších prípadoch redukuje na podmienku pre normalizáciu pravdepodobností (216.3).

Aby sme dospeli k Schrödingerovej rovnici, uvažujme o voľne sa pohybujúcej častici, ktorá je podľa de Broglieho myšlienky spojená s rovinná vlna. Pre jednoduchosť uvažujeme jednorozmerný prípad. Rovnica rovinnej vlny šíriacej sa pozdĺž osi X, má tvar (pozri § 154), alebo v zloženom zápise Preto ploché

de Broglieho vlna má podobu

(217.2)

(berie sa do úvahy, že V kvantovej mechanike sa exponent berie so znamienkom mínus,

ale keďže má iba fyzický význam, toto (pozri (217.2)) nie je dôležité. Potom

kde

Použitie vzťahu medzi energiouE a impulz a nahrádzanie výrazov

(217.3), dostaneme diferenciálnu rovnicu

ktorá sa zhoduje s rovnicou (217.1) pre prípadU =0 (uvažovali sme o voľnej častici).

Ak sa častica pohybuje v silovom poli charakterizovanom potenciálnou energiouU , To

celková energiaE pozostáva z typický skutočné a potenciálne energie. Vykonávanie podobného

uvažovanie a používanie vzťahu medziE AR (pre tento prípad Vitaj

° na diferenciálnu rovnicu zhodnú s (217.1).

Vyššie uvedené úvahy by sa nemali považovať za odvodenie Schrödingerovej rovnice. Len vysvetľujú, ako sa dá dospieť k tejto rovnici. Dôkazom správnosti Schrödingerovej rovnice je zhoda so skúsenosťami so závermi, ku ktorým vedie.

Rovnica (217.1) je všeobecná Schrödingerova rovnica. Nazýva sa aj časovo závislá Schroednägerova rovnica. Pre mnohé fyzikálne javy vyskytujúce sa v mikrosvete možno rovnicu (217.1) zjednodušiť odstránením závislosti od času, inými slovami, nájdite Schrödingerovu rovnicu pre stacionárne stavy - stavy s pevnými energetickými hodnotami. Je to možné, ak je silové pole, v ktorom sa častica pohybuje, stacionárne, teda funkcia nezávisí vyslovene od času a má význam potenciálnej energie. V tomto prípade môže byť riešenie Schrödingerovej rovnice reprezentované ako súčin dvoch funkcií, z ktorých jedna je funkciou iba súradníc, druhá - iba času a závislosť od času je vyjadrená multiplikátorom.

Takže

KdeE je celková energia častice, konštantná v prípade stacionárneho poľa. Dosadením (217,4) do (217,1) dostaneme

odkiaľ, po vydelení spoločnými faktormi a zodpovedajúcimi transformáciami

dospejeme k rovnici definujúcej funkciu

(217.5)

Rovnica (217.5) sa nazýva Schrödingerova rovnica pre stacionárne stavy. Táto rovnica zahŕňa celkovú energiu ako parameter E častice. V teórii diferenciálnych rovníc je dokázané, že takéto rovnice majú nekonečný počet riešení, z ktorých sa uložením okrajových podmienok vyberajú riešenia, ktoré majú fyzikálny význam. Pre Schrödingerovu rovnicu sú takéto podmienky podmienkami pravidelnosti vlnových funkcií: vlnové funkcie musia byť konečné, jednohodnotové a spojité spolu s ich prvými deriváciami. Skutočný fyzikálny význam teda majú len tie riešenia, ktoré sú vyjadrené regulárnymi funkciami. Ale regulárne riešenia sa nevyskytujú pre žiadne hodnoty parametra E, ale len pre určitý ich súbor, charakteristický pre danú úlohu. Tieto energetické hodnoty sa nazývajú správne hodnoty. Riešenia, ktoré zodpovedajú vlastným hodnotám energie, sa nazývajú vlastné funkcie. Vlastné hodnoty E môžu tvoriť oboje trvalé

nespojité a diskrétne série. V prvom prípade hovoria o spojitom alebo pevnom spektre, v druhom o diskrétnom spektre.

§ 218. Princíp kauzality ■ kvantová mechanika

Zo vzťahu neurčitosti sa často vyvodzuje záver, že princíp kauzality nie je aplikovateľný na javy vyskytujúce sa v mikrokozme. Toto je založené na nasledujúcich úvahách. V klasickej mechanike, podľa princípu kauzality - princíp klasický determinizmus, založený na známom stave systému v určitom časovom okamihu (úplne určenom hodnotami súradníc a hybnosti všetkých častíc systému) a silách naň pôsobiacich, je možné úplne presne určiť jeho v ktoromkoľvek nasledujúcom okamihu. teda klasickej fyziky vychádza z nasledovného chápania kauzality: stav mechanický systém V počiatočný momentčas so známym zákonom o interakcii častíc je príčinou a jeho stav v nasledujúcom okamihu je dôsledkom.

Na druhej strane, mikroobjekty nemôžu mať súčasne určitú súradnicu aj určitú zodpovedajúcu projekciu hybnosti (nastavenú vzťahom neurčitosti (215.1)), preto sa usudzuje, že v počiatočnom okamihu je stav systému nie presne určené. Ak nie je stav systému určený v počiatočnom okamihu, potom nemožno predpovedať nasledujúce stavy, t. j. je porušený princíp kauzality.

Nepozoruje sa však žiadne porušenie princípu kauzality vo vzťahu k mikroobjektom, keďže v kvantovej mechanike nadobúda pojem stav mikroobjektu úplne iný význam ako v klasickej mechanike. V kvantovej mechanike je stav mikroobjektu úplne určený vlnovou funkciou (x, y,z, t), druhá mocnina modulu, ktorého(x, y,z, t)\ 2 určuje hustotu pravdepodobnosti nájdenia častice v bode so súradnicami x, y,z.

Vlnová funkcia (x, y,z, t) spĺňa Schrödingerovu rovnicu (217.1), obsahujúcu prvú deriváciu funkcie vzhľadom na čas. To tiež znamená, že špecifikácia funkcie (pre čas t 0) určuje jej hodnotu v nasledujúcich okamihoch. Preto v kvantovej mechanike počiatočný stav

Existuje príčina a stav v nasledujúcom okamihu je dôsledkom. Toto je forma princípu kauzality v kvantovej mechanike, t.j. špecifikácia funkcie predurčuje jej hodnoty pre akékoľvek nasledujúce momenty. Stav sústavy mikročastíc, definovaný v kvantovej mechanike, teda jednoznačne vyplýva z predchádzajúceho stavu, ako to vyžaduje princíp kauzality.

Podľa medzi fyzikmi tak rozšírenej ľudovej slovesnosti sa to stalo takto: v roku 1926 vystúpil na vedeckom seminári na univerzite v Zürichu menovaný teoretický fyzik. Hovoril o zvláštnych nových nápadoch vo vzduchu, o tom, ako sa mikroskopické objekty často správajú viac ako vlny než ako častice. Potom sa o slovo prihlásil starší učiteľ a povedal: „Schrödinger, nevidíš, že je to všetko nezmysel? Alebo všetci nevieme, že vlny sú len vlny, ktoré sa dajú opísať vlnovými rovnicami? Schrödinger to bral ako osobnú urážku a rozhodol sa vyvinúť vlnovú rovnicu na opis častíc v rámci kvantovej mechaniky – a s touto úlohou sa popasoval bravúrne.

Tu je potrebné uviesť vysvetlenie. V našom každodennom svete sa energia prenáša dvoma spôsobmi: hmotou pri pohybe z miesta na miesto (napríklad pohybujúca sa lokomotíva alebo vietor) - na takomto prenose energie sa podieľajú častice - alebo vlnami (napríklad rádiové vlny, ktoré sú vysielané výkonnými vysielačmi a zachytené anténami našich televízorov). To znamená, že v makrokozme, kde žijeme vy a ja, sú všetky energetické nosiče striktne rozdelené na dva typy - korpuskulárne (pozostávajúce z hmotných častíc) alebo vlnové. V tomto prípade je opísaná akákoľvek vlna špeciálny typ rovnice - vlnové rovnice. Všetky vlny bez výnimky sú vlny oceánu, seizmické vlny skaly, rádiové vlny zo vzdialených galaxií sú opísané rovnakým typom vlnových rovníc. Toto vysvetlenie je potrebné na to, aby bolo jasné, že ak chceme javy subatomárneho sveta znázorniť z hľadiska vĺn rozdelenia pravdepodobnosti (pozri Kvantová mechanika), tieto vlny musia byť tiež opísané príslušnou vlnovou rovnicou.

Schrödinger aplikoval klasickú diferenciálnu rovnicu vlnovej funkcie na koncept pravdepodobnostných vĺn a získal slávnu rovnicu, ktorá nesie jeho meno. Tak ako obvyklá rovnica vlnovej funkcie popisuje šírenie napríklad vlnenia na hladine vody, Schrödingerova rovnica popisuje šírenie vlny pravdepodobnosti nájdenia častice v danom bode priestoru. Vrcholy tejto vlny (body maximálnej pravdepodobnosti) ukazujú, kde vo vesmíre častica s najväčšou pravdepodobnosťou skončí. Hoci Schrödingerova rovnica patrí do regiónu vyššia matematika, je také dôležité pochopiť moderná fyzika, že ju tu ešte uvediem - v najjednoduchšej forme (tzv. “jednorozmerná stacionárna Schrödingerova rovnica”). Vyššie uvedená vlnová funkcia rozdelenia pravdepodobnosti, označená gréckym písmenom (psi), je riešením nasledujúcej diferenciálnej rovnice (je v poriadku, ak jej nerozumiete; verte, že táto rovnica ukazuje, že pravdepodobnosť sa správa ako vlna )::

Obrazom kvantových dejov, ktorý nám dáva Schrödingerova rovnica, sú elektróny a iné elementárne častice správajú sa ako vlny na hladine oceánu. V priebehu času sa vrchol vlny (zodpovedajúci miestu, kde sa s najväčšou pravdepodobnosťou nachádza elektrón) pohybuje v priestore v súlade s rovnicou, ktorá opisuje túto vlnu. To znamená, že to, čo sme tradične považovali za časticu, sa správa podobne ako vlna v kvantovom svete.

Keď Schrödinger prvýkrát zverejnil svoje výsledky, svet teoretickej fyziky v pohári vody sa strhla búrka. Faktom je, že takmer v rovnakom čase sa objavilo dielo Schrödingerovho súčasníka Wernera Heisenberga (pozri Heisenbergov princíp neurčitosti), v ktorom autor predložil koncept „maticovej mechaniky“, kde sa riešili rovnaké problémy kvantovej mechaniky. v inom, zložitejšom systéme. matematický bod zobraziť maticový formulár. Rozruch spôsobilo to, že vedci sa jednoducho báli, či dvaja v rovnako presvedčivé prístupy k popisu mikrosveta. Obavy boli márne. V tom istom roku sám Schrödinger dokázal úplnú ekvivalenciu oboch teórií – teda maticová rovnica vyplýva z vlnovej rovnice a naopak; výsledky sú identické. Dnes sa používa predovšetkým Schrödingerova verzia (niekedy nazývaná „vlnová mechanika“), pretože jeho rovnica je menej ťažkopádna a ľahšie sa učí.

Nie je však také ľahké predstaviť si a prijať, že niečo ako elektrón sa správa ako vlna. IN Každodenný život zrazíme sa buď s časticou alebo vlnou. Lopta je častica, zvuk je vlna a to je všetko. Vo svete kvantovej mechaniky nie je všetko také jednoduché. V skutočnosti – a experimenty to čoskoro ukázali – v kvantovom svete sa entity líšia od objektov, ktoré poznáme, a majú iné vlastnosti. Svetlo, ktoré považujeme za vlnu, sa niekedy správa ako častica (nazývaná fotón) a častice ako elektróny a protóny sa môžu správať ako vlny (pozri Princíp komplementarity).

Tento problém sa zvyčajne nazýva duálny alebo duálny časticový vlnový charakter kvantových častíc a je charakteristický pre všetky objekty subatomárneho sveta (pozri Bellovu vetu). Musíme pochopiť, že v mikrosvete jednoducho neplatia naše bežné intuitívne predstavy o tom, aké formy môže mať hmota a ako sa môže správať. Samotný fakt, že vlnovú rovnicu používame na opis pohybu toho, čo sme zvyknutí považovať za častice, je toho jasným dôkazom. Ako je uvedené v úvode, nie je v tom žiadny zvláštny rozpor. Koniec koncov, nemáme žiadne presvedčivé dôvody domnievať sa, že to, čo pozorujeme v makrokozme, by sa malo presne reprodukovať na úrovni mikrokozmu. Napriek tomu duálna povaha elementárnych častíc zostáva pre mnohých ľudí jedným z najzáhadnejších a najznepokojujúcejších aspektov kvantovej mechaniky a bez preháňania možno povedať, že všetky problémy začali Erwinom Schrödingerom.

Encyklopédia od Jamesa Trefila „The Nature of Science. 200 zákonov vesmíru."

James Trefil je profesorom fyziky na George Mason University (USA), jedným z najznámejších západných autorov populárno-vedeckých kníh.

K myšlienkam kvantovania energie prišiel Max Planck, jeden zo zakladateľov kvantovej mechaniky, ktorý sa pokúšal teoreticky vysvetliť proces interakcie medzi nedávno objavenými elektromagnetickými vlnami a atómami a tým vyriešiť problém žiarenia čierneho telesa. Uvedomil si, že na vysvetlenie pozorovaného emisného spektra atómov je potrebné brať ako samozrejmosť, že atómy vyžarujú a absorbujú energiu po častiach (ktoré vedec nazval kvantá) a len pri jednotlivých vlnových frekvenciách.

Absolútne čierne telo, úplne absorbuje elektromagnetická radiácia akejkoľvek frekvencie, keď sa zahreje, vyžaruje energiu vo forme vĺn rovnomerne rozložených v celom frekvenčnom spektre.

Slovo „quantum“ pochádza z latinského quantum („koľko, koľko“) a anglického quantum („množstvo, porcia, kvantum“). „Mechanika“ sa už dlho nazývala veda o pohybe hmoty. V súlade s tým pojem „kvantová mechanika“ znamená vedu o pohybe hmoty po častiach (alebo moderne povedané vedecký jazyk veda o pohybe kvantovanej hmoty). Termín „kvantový“ zaviedol nemecký fyzik Max Planck, aby opísal interakciu svetla s atómami.

Jedným z faktov subatomárneho sveta je, že jeho objekty – ako sú elektróny alebo fotóny – sa vôbec nepodobajú bežným objektom makrosveta. Nesprávajú sa ani ako častice, ani ako vlny, ale ako úplne špeciálne vzdelanie, vystavujúci ako vlnu, tak aj korpuskulárne vlastnosti v závislosti od okolností. Jedna vec je urobiť vyhlásenie, ale úplne iná je spojiť vlnové a časticové aspekty správania kvantových častíc a opísať ich presnou rovnicou. To je presne to, čo sa stalo vo vzťahu de Broglie.

V každodennom živote existujú dva spôsoby prenosu energie vo vesmíre – prostredníctvom častíc alebo vĺn. IN každodenný život Medzi týmito dvoma mechanizmami prenosu energie nie sú žiadne viditeľné rozpory. Takže basketbalová lopta je častica a zvuk je vlna a všetko je jasné. V kvantovej mechanike však veci nie sú také jednoduché. Aj z tých najjednoduchších pokusov s kvantové objekty veľmi skoro sa ukáže, že v mikrosvete neplatia princípy a zákony makrosveta, na ktoré sme zvyknutí. Svetlo, ktoré sme zvyknutí chápať ako vlnu, sa niekedy správa tak, ako keby pozostávalo z prúdu častíc (fotónov) a elementárne častice, ako je elektrón alebo dokonca masívny protón, často vykazujú vlastnosti vlny.

Einstein predovšetkým protestoval proti potrebe opisovať javy mikrosveta z hľadiska pravdepodobností a vlnových funkcií, a nie z bežnej polohy súradníc a rýchlostí častíc. To myslel tým „hádzanie kockou“. Uvedomil si, že popis pohybu elektrónov z hľadiska ich rýchlostí a súradníc je v rozpore s princípom neurčitosti. Einstein však tvrdil, že musia existovať nejaké ďalšie premenné alebo parametre, berúc do úvahy, ktoré kvantovo-mechanický obraz mikrosveta vráti na cestu integrity a determinizmu. To znamená, tvrdil, len sa nám zdá, že Boh s nami hrá kocky, pretože nerozumieme všetkému. Bol teda prvým, kto sformuloval hypotézu skrytej premennej v rovniciach kvantovej mechaniky. Spočíva v tom, že elektróny majú v skutočnosti pevné súradnice a rýchlosť ako Newtonove biliardové gule a princíp neurčitosti a pravdepodobnostný prístup k ich určovaniu v rámci kvantovej mechaniky sú výsledkom neúplnosti samotnej teórie, ktorá je prečo im to neumožňuje určité definovať.

Júlia Zotová

Dozviete sa: Aké technológie sa nazývajú kvantové a prečo. Aká je výhoda kvantových technológií oproti klasickým? Čo môže a nemôže kvantový počítač. Ako fyzici vyrábajú kvantový počítač. Kedy bude vytvorený.

Francúzsky fyzik Pierre Simon Laplace povedal dôležitá otázka, o tom, či je všetko na svete vopred dané predchádzajúcim stavom sveta, alebo či príčina môže spôsobiť viacero následkov. Ako očakávala filozofická tradícia, sám Laplace vo svojej knihe „Výklad svetového systému“ nekládol žiadne otázky, ale povedal hotovú odpoveď, že áno, všetko na svete je vopred dané, ako sa však vo filozofii často stáva, obraz sveta, ktorý navrhol Laplace, nepresvedčil každého, a preto jeho odpoveď vyvolala diskusiu o tejto otázke, ktorá trvá dodnes. Napriek názoru niektorých filozofov, že kvantová mechanika vyriešila táto otázka v prospech pravdepodobnostného prístupu sa však dodnes diskutuje o Laplaceovej teórii úplného predurčenia, alebo ako sa inak nazýva teória Laplaceovho determinizmu.

Gordey Lesovik

Pred časom sme so skupinou spoluautorov začali odvodzovať druhý termodynamický zákon z pohľadu kvantovej mechaniky. Napríklad v jednej z jeho formulácií, ktorá uvádza, že entropia uzavretý systém neklesá, zvyčajne sa zvyšuje a niekedy zostáva konštantná, ak je systém energeticky izolovaný. Použitie známych výsledkov kvantová teória informácie, odvodili sme niektoré podmienky, za ktorých je toto vyhlásenie pravdivé. Nečakane sa ukázalo, že tieto podmienky sa nezhodujú s podmienkou energetickej izolácie systémov.

Profesor fyziky Jim Al-Khalili skúma ten najpresnejší a jeden z najviac mätúcich vedeckých teórií- kvantová fyzika. Začiatkom 20. storočia vedci skúmali skryté hĺbky hmoty, subatomárne stavebné kamene sveta okolo nás. Objavili javy, ktoré sa líšili od všetkého, čo sme predtým videli. Svet, kde všetko môže byť na mnohých miestach súčasne, kde realita skutočne existuje len vtedy, keď ju pozorujeme. Albert Einstein odolal samotnej myšlienke, že jadrom prírody je náhodnosť. Kvantová fyzika znamená, že subatomárne častice môžu interagovať vyššiu rýchlosť svetlo, a to odporuje jeho teórii relativity.

Zo štatistickej interpretácie de Broglieho vĺn (pozri § a Heisenbergove vzťahy neurčitosti (pozri § 215) vyplynulo, že pohybová rovnica v kvantovej mechanike, popisujúca pohyb mikročastíc v rôznych silových poliach, by mala byť rovnicou, z ktorej by sa mali vychádzať pozorovania by nasledovali - experimentálne stanovené vlnové vlastnosti častíc.

Hlavná rovnica musí byť rovnica vzhľadom na vlnovú funkciu, pretože je to práve ona, alebo presnejšie hodnota |Ф|2, ktorá určuje pravdepodobnosť prítomnosti častice v danom čase. t v objeme dV, v oblasti so súradnicami a X+ dx, y+dy,

z a Keďže požadovaná rovnica musí zohľadňovať vlnové vlastnosti častíc, musí byť vlnová rovnica, podobne ako rovnica popisujúca elektromagnetické vlny. Základná rovnica nerelativistická kvantová mechanika sformuloval v roku 1926 E. Schrödinger. Schrödingerova rovnica, rovnako ako všetky základné rovnice fyziky (napríklad Newtonove rovnice v klasickej mechanike a Maxwellove rovnice pre elektromagnetické pole), nie je odvodená, ale postulovaná. Správnosť tejto rovnice je potvrdená zhodou so skúsenosťami s výsledkami získanými s jej pomocou, čo jej zase dáva charakter prírodného zákona. Rovnica

Schrödinger má formu

Imaginárna jednotka, y,z,t) -

Potenciálna funkciačastice v silovom poli, v ktorom sa pohybuje; z,t) - požadovaná vlnová funkcia

Rovnica platí pre akúkoľvek časticu (so spinom rovným 0; pozri § 225) pohybujúcu sa nízkou (v porovnaní s rýchlosťou svetla) rýchlosťou, t.j. v s. Dopĺňajú ju podmienky kladené na vlnovú funkciu: 1) vlnová funkcia musí byť konečná, jednoznačná a spojitá (pozri § 216);

2) deriváty -, -, --, musí-

dh doo

musíme byť nepretržití; 3) funkcia |Ф|2 musí byť integrovateľná; tento stav sa v najjednoduchších prípadoch znižuje na

Normalizačná podmienka (216,3).

Aby sme dospeli k Schrödingerovej rovnici, uvažujme voľne sa pohybujúcu časticu, ktorá je podľa de Broglieho asociovaná s. Pre jednoduchosť uvažujme jednorozmerný prípad. Rovnica rovinnej vlny šíriacej sa pozdĺž osi X, má formu (pozri § 154) t) = A cos - alebo komplexný zápis t)- Preto má rovina de Broglieho vlna tvar

(217.2)

(berie sa do úvahy, že - = -). V kvante

Exponent sa berie so znamienkom „-“, keďže iba |Ф|2 má fyzický význam, nie je to dôležité. Potom

Použitie vzťahu medzi energiou E a impulz = --) a dosadzovanie

výraz (217.3), dostaneme diferenciálnu rovnicu

čo sa zhoduje s rovnicou pre prípad U- O (uvažovali sme o voľnej častici).

Ak sa častica pohybuje v silovom poli charakterizovanom potenciálnou energiou u, potom celková energia E pozostáva z kinetickej a potenciálnej energie. Vykonávanie podobného uvažovania a používanie vzťahu medzi („pre

Prípady = EÚ), dospejeme k diferenciálnej rovnici, ktorá sa zhoduje s (217.1).

Vyššie uvedená úvaha by sa nemalo brať ako odvodenie Schrödingerovej rovnice. Len vysvetľujú, ako sa dá dospieť k tejto rovnici. Dôkazom správnosti Schrödingerovej rovnice je zhoda so skúsenosťami so závermi, ku ktorým vedie.

Rovnica (217.1) je všeobecná Schrödingerova rovnica. Je to aj tzv časovo závislá Schrödingerova rovnica. Pre mnohé fyzikálne javy vyskytujúce sa v mikrosvete možno rovnicu (217.1) zjednodušiť odstránením časovej závislosti, inými slovami, nájdite Schrödingerovu rovnicu pre stacionárne stavy - stavy s pevnými hodnotami energie. Je to možné, ak je silové pole, v ktorom sa častica pohybuje, stacionárne, teda funkcia U=z) nezávisí vyslovene od času a má význam potenciálnej energie.

V tomto prípade môže byť riešenie Schrödingerovej rovnice reprezentované ako súčin dvoch funkcií, z ktorých jedna je funkciou iba súradníc, druhá - iba času a závislosť od času je vyjadrená

Vynásobí sa e" = e, takže

(217.4)

Kde E je celková energia častice, konštantná v prípade stacionárneho poľa. Dosadením (217,4) do (217,1) dostaneme

Kde po vydelení spoločným faktorom e zodpovedajúcich transformácií

Formáciou sa dostávame k rovnici definujúcej funkciu

Rovnica rovnica

Schrödingerova teória pre stacionárne stavy. Táto rovnica zahŕňa celkovú energiu ako parameter Ečastice. V teórii diferenciálnych rovníc je dokázané, že takéto rovnice majú nekonečný počet riešení, z ktorých cez kladenie okrajových podmienok vybrať riešenia, ktoré majú fyzikálnu

Pre Schrödingerovu rovnicu také podmienky sú podmienky pre pravidelnosť vlnových funkcií: vlnové funkcie musia byť konečné, jednohodnotové a spojité spolu s ich prvými deriváciami.

Skutočný fyzikálny význam teda majú len tie riešenia, ktoré sú vyjadrené regulárnymi funkciami. Ale regulárne riešenia sa nevyskytujú pre žiadne hodnoty parametra E, ale len pre určitý ich súbor, charakteristický pre daný problém. Títo energetické hodnoty sa volajú vlastné. Riešenia, ktoré zodpovedajú vlastným energetickým hodnotám, sa nazývajú vlastné funkcie. Vlastné hodnoty E môžu tvoriť súvislý aj diskrétny rad. V prvom prípade hovoríme o nepretržitý, alebo spojité spektrum v druhom - asi diskrétne spektrum.

§ 218. Princíp kauzality v kvantovej mechanike

Zo vzťahu neistoty sa často usudzuje, že

princíp kauzality k javom vyskytujúcim sa v mikrokozme. Toto je založené na nasledujúcich úvahách. V klasickej mechanike sa podľa princíp kauzality - princíp klasického determinizmu, Autor: známy stav systému v určitom časovom okamihu (úplne určený hodnotami súradníc a hybnosti všetkých častíc systému) a silami, ktoré naň pôsobia, je možné úplne presne určiť jeho stav v každom nasledujúcom okamihu . V dôsledku toho je klasická fyzika založená na nasledujúcom chápaní kauzality: stav mechanického systému v počiatočnom okamihu so známym zákonom o interakcii častíc je príčinou a jeho stav v nasledujúcom okamihu je dôsledkom.

Na druhej strane, mikroobjekty nemôžu mať súčasne určitú súradnicu a určitú zodpovedajúcu projekciu hybnosti [sú dané vzťahom neurčitosti, preto sa usudzuje, že v počiatočnom okamihu nie je stav systému presne určený. Ak stav systému nie je istý v počiatočnom okamihu, potom nemožno predpovedať nasledujúce stavy, t. j. je porušený princíp kauzality.

Nie je však pozorované žiadne porušenie princípu kauzality vo vzťahu k mikroobjektom, keďže v kvantovej mechanike nadobúda pojem stav mikroobjektu úplne iný význam ako v klasickej mechanike. V kvantovej mechanike je stav mikroobjektu úplne určený vlnovou funkciou, ktorej modul je na druhú

2 určuje hustotu pravdepodobnosti nájdenia častice v bode so súradnicami x, y, z.

Vlnová funkcia zase spĺňa rovnicu

Schrödinger obsahujúci prvú deriváciu funkcie Ф vzhľadom na čas. To tiež znamená, že špecifikácia funkcie (na okamih určuje jej hodnotu v nasledujúcich okamihoch. V kvantovej mechanike je teda počiatočný stav príčinou a stav Ф v nasledujúcom okamihu je dôsledkom. Toto je forma principiálna kauzalita v kvantovej mechanike, teda špecifikácia funkcie predurčuje jej hodnoty pre akékoľvek nasledujúce momenty. Stav systému mikročastíc definovaný v kvantovej mechanike teda jednoznačne vyplýva z predchádzajúceho stavu, ako to vyžaduje princíp kauzality.

§ 219. Pohyb voľnej častice

Voľné častice - častica pohybujúca sa v neprítomnosti vonkajších polí. Keďže je voľný (nech sa pohybuje pozdĺž osi X) sily nepôsobia, potom potenciálna energia častice U(x) = const a dá sa to akceptovať rovná nule. Potom sa celková energia častice zhoduje s jej kinetickou energiou. V tomto prípade bude mať tvar Schrödingerova rovnica (217.5) pre stacionárne stavy

(219.1)

Priamou substitúciou môžeme overiť, že konkrétne riešenie rovnice (219.1) je funkciou - Kde A = konšt a Komu= const, s vlastná hodnota energie

Funkcia = = predstavuje iba súradnicovú časť vlnovej funkcie. Preto časovo závislá vlnová funkcia podľa (217.4),

(219.3) je rovinná monochromatická de Broglieho vlna [viď (217,2)].

Od výrazu (219.2) vyplýva, že závislosť energie od hybnosti

sa ukazuje ako obvyklé pre nerelativistické častice. Preto môže voľná častica brať energiu akékoľvek hodnoty(od vlnového čísla Komu môže nadobudnúť akékoľvek kladné hodnoty), teda energiu rozsah voľná častica je nepretržitý.

Tak voľný kvantová častica je opísaná rovinnou monochromatickou de Broglieho vlnou. To zodpovedá hustote pravdepodobnosti detekcie častice v danom bode priestoru na čase

to znamená, že všetky polohy voľnej častice v priestore sú rovnako pravdepodobné.

§ 220. Častica v jednorozmernej pravouhlej „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokým

"steny"

Urobme kvalitatívnu analýzu riešení Schrödingerovej rovnice pomocou

Ryža. 299

(220.4)

vzhľadom na časticu V jednorozmerná obdĺžniková „potenciálna studňa“ s nekonečne vysokými „stenami“. Takáto „studňa“ je opísaná potenciálnou energiou formy (pre jednoduchosť predpokladáme, že častica sa pohybuje pozdĺž osi X)

kde je šírka „jamy“, A energia sa počíta od jej dna (obr. 299).

Schrödingerova rovnica (217.5) pre stacionárne stavy v prípade jednorozmernej úlohy bude písaná v tvare

Podľa podmienok problému (nekonečne vysoké „steny“) častica neprenikne za „dieru“, takže pravdepodobnosť jej detekcie (a následne aj vlnovej funkcie) mimo „diery“ je nulová. Na hraniciach „jamy“ (at X- 0 a x = funkcia spojitej vlny musí tiež zmiznúť. V dôsledku toho majú okrajové podmienky v tomto prípade tvar

V rámci „jamy“ (0 X Schrödingerova rovnica (220.1) bude redukovaná na rovnicu

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice (220.3):

Keďže podľa (220.2) = 0, potom IN= 0.

(220.5)

Stav (220.2) = 0 sa vykoná len pre kde P- celé čísla, t.j. je potrebné, aby

Z výrazov (220.4) a (220.6) vyplýva,

t.j. stacionárna Schrödingerova rovnica, ktorá opisuje pohyb častice v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“, je splnená iba pre vlastné hodnoty v závislosti od celého čísla. P. Preto energia častíc v

„potenciálna studňa“ s nekonečne vysokými „stenami“ zaberá len určité diskrétne hodnoty, tie. kvantované.

Kvantované energetické hodnoty sa nazývajú energetické hladiny a číslo P, ktorý určuje energetické hladiny častice sa nazýva hlavné kvantové číslo. Mikročastica v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ teda môže byť len na určitej energetickej úrovni alebo, ako sa hovorí, častica je v kvante.

Nahradením hodnoty (220,5). Komu z (220.6) nájdeme vlastné funkcie:

Konštanta integrácie A zistíme z normalizačnej podmienky (216.3), ktorá sa pre tento prípad zapíše do formulára

IN výsledok integrácie polo-

A - A vlastné funkcie budú vyzerať

Ja Rafiki vlastné funkcie(220,8), čo zodpovedá úrovniam

energie (220,7) at n=1,2, 3 sú znázornené na obr. 300, A. Na obr. 300, b ukazuje hustotu pravdepodobnosti detekcie častice v rôznych vzdialenostiach od „steny“ otvoru, ktorá sa rovná =

Pre n= 1, 2 a 3. Z obrázku vyplýva, že napríklad v kvantovom stave s P= 2, častica nemôže byť v strede „studne“, zatiaľ čo rovnako často môže byť v jej ľavej a pravej časti. Toto správanie častice naznačuje, že predstavy o trajektóriách častíc v kvantovej mechanike sú neudržateľné. Z výrazu (220.7) vyplýva, že energetický interval medzi dvoma

Susedné úrovne sú rovnaké

Napríklad pre elektrón s rozmermi studne - 10"1 m (bezplatná el

Kovové tróny) 10 J

To znamená, že energetické hladiny sú umiestnené tak blízko, že spektrum možno prakticky považovať za spojité. Ak sú rozmery jamky úmerné atómovému m), potom pre elektrón J eV, t.j. Zjavne sa získajú diskrétne energetické hodnoty (čiarové spektrum).

Teda aplikácia Schrödingerovej rovnice na časticu v „potenciálnej studni“ s nekonečne vysokým

„steny“ vedú ku kvantovaným energetickým hodnotám, zatiaľ čo klasická mechanika neukladá žiadne obmedzenia na energiu tejto častice.

okrem toho

Zváženie tohto problému vedie k záveru, že častica je „v potenciálovej studni“ s nekonečne vysokou steny„Nemôžeme mať menej energie

Minimálne, rovné [pozri. (220,7)].

Prítomnosť nenulovej minimálnej energie nie je náhodná a vyplýva zo vzťahu neurčitosti. Neistota súradníc Ohčastice v "jame" širokej Ah= Potom podľa vzťahu neistoty impulz nemôže mať presnú, v tomto prípade nulovú hodnotu. Impulzová neistota

Také šírenie hodnôt

impulz zodpovedá kinetickej energii

Všetky ostatné úrovne (n > 1) majú energiu presahujúcu túto minimálnu hodnotu.

Od vzorcov (220.9) a (220.7) vyplýva, že pre veľké kvantové čísla

tj susedné úrovne sú umiestnené blízko: čím bližšie, tým viac P. Ak P je veľmi veľká, potom môžeme hovoriť o takmer nepretržitom slede úrovní a charakteristická vlastnosť kvantových procesov - diskrétnosť - je vyhladená. Tento výsledok je špeciálny prípad Bohrov princíp korešpondencie (1923), podľa ktorého by sa zákony kvantovej mechaniky mali transformovať na zákony klasickej fyziky pri veľkých hodnotách kvantových čísel.

Viac všeobecný výklad princípu korešpondencie: nejaké nové, viac všeobecná teória, ktorá je vývojom klasickej, ju úplne nezavrhuje, ale zahŕňa klasickú teóriu s vyznačením hraníc jej aplikácie a v určitých obmedzujúcich prípadoch nová teória ide do starého. Teda vzorce kinematiky a dynamiky špeciálna teória relativita prejde na v c na vzorce newtonovskej mechaniky. Napríklad, hoci da Broglieho hypotéza pripisuje vlnové vlastnosti všetkým telesám, v tých prípadoch, keď máme do činenia s makroskopickými telesami, možno ich vlnové vlastnosti zanedbať, t.j. uplatniť klasickej mechaniky Newton.

§ 221. Prechod častice cez potenciálnu bariéru.

Tunelový efekt

najjednoduchšiu potenciálovú bariéru pravouhlého tvaru (obr. pre jednorozmerné (po osi pohybu častice. Pre potenciálovú bariéru pravouhlého tvaru s výškou a šírkou / môžeme písať

Za daných podmienok problému klasická častica, ktorá má energiu E, alebo prejde bez prekážok cez bariéru (ak E > U), alebo sa od nej odrazí (ak E< U) sa nasťahuje opačná strana, t.j. nemôže preniknúť cez bariéru. Pre mikročasticu aj s E > U, k dispozícii vynikajúce od nuly pravdepodobnosť, že sa častica odrazí od bariéry a bude sa pohybovať opačným smerom. O E existuje aj nenulová pravdepodobnosť, že častica skončí v oblasti x> tie. prenikne cez bariéru. Podobné zdanlivo paradoxné závery vyplývajú priamo z riešenia Schrödingerovej rovnice, opis

412

popisujúci pohyb mikročastice za podmienok tohto problému.

Rovnica (217.5) pre stacionárne stavy pre každý zo zvýraznených obr. 301, A región má

(pre regióny

(pre oblasť

Všeobecné riešenia tieto diferenciálne rovnice:

Riešenie (221.3) obsahuje aj vlny (po vynásobení časovým faktorom) šíriace sa oboma smermi. Avšak v oblasti 3 existuje len vlna, ktorá prešla cez bariéru a šíri sa zľava doprava. Preto by sa koeficient vzorca (221.3) mal považovať za rovný nule.

V oblasti 2 rozhodnutie závisí od vzťahy E>U alebo E Fyzicky zaujímavý je prípad, keď je celková energia častice menšia ako výška potenciálnej bariéry, pretože pri E zákony klasickej fyziky zjavne nedovoľujú častici preniknúť cez bariéru. V tomto prípade podľa q= - imaginárne číslo, kde

(pre oblasť

(pre oblasť 2);

Význam q a 0, získame riešenia Schrödingerovej rovnice pre tri oblasti v nasledujúcom tvare:

(pre oblasť 3).

IN najmä pre región 1 úplná vlnová funkcia podľa (217.4) bude mať tvar

V tomto výraze prvý člen predstavuje rovinnú vlnu typu (219.3), ktorá sa šíri v kladnom smere osi X(zodpovedá častici pohybujúcej sa smerom k bariére) a druhá je vlna šíriaca sa opačným smerom, teda odrazená od bariéry (zodpovedá častici pohybujúcej sa od bariéry doľava).

(pre oblasť 3).

V oblasti 2 funkcia už nezodpovedá rovinným vlnám šíreným v oboch smeroch, keďže exponenty exponentov nie sú imaginárne, ale skutočné. Dá sa ukázať, že pre špeciálny prípad vysokej a širokej bariéry, keď 1,

Kvalitatívna povaha funkcií je znázornená na obr. 301, z čoho vyplýva, že vlna-

Funkcia sa nerovná nule ani vo vnútri bariéry, ale v regióne 3, ak bariéra nie je veľmi široká, bude mať opäť formu de Broglieho vĺn s rovnakým impulzom, t.j. s rovnakou frekvenciou, ale s menšou amplitúdou. Následne sme zistili, že častica má nenulovú pravdepodobnosť, že prejde cez potenciálnu bariéru konečnej šírky.

Kvantová mechanika teda vedie k zásadne novému špecifickému kvantovému javu, tzv tunelový efekt, v dôsledku čoho môže mikroobjekt „prejsť“ cez potenciálnu bariéru. via Spoločné riešenie rovníc pre pravouhlú potenciálnu bariéru dáva (za predpokladu, že koeficient priehľadnosti je malý v porovnaní s jednotkou)

kde je konštantný faktor, ktorý sa môže rovnať jednej; U- potenciálna výška bariéry; E - energia častíc; - šírka bariéry.

Z výrazu (221.7) vyplýva, že D silne závisí od hmotnosti Tčastice, šírka/bariéra a od (U -Čím je bariéra širšia, tým je menej pravdepodobné, že cez ňu častica prejde.

Pre potenciálnu bariéru ľubovoľného tvaru (obr. 302), spĺňajúcu podmienky tzv poloklasická aproximácia(celkom hladký tvar krivky), máme

Kde U = U(x).

Z klasického hľadiska je prechod častice cez potenciálnu bariéru pri E nemožné, pretože častica, ktorá sa nachádza v oblasti bariéry, by musela mať zápornú kinetickú energiu. Tunelový efekt je špecifický kvantový efekt.

Prechod častice oblasťou, do ktorej podľa zákonov klasickej mechaniky nemôže preniknúť, možno vysvetliť vzťahom neurčitosti. Neistota hybnosti Ar na segmente Ach = je Ar > -. Súvisí s týmto rozptylom hodnôt hybnosti kinetiky

302

Česká energetika môže byť

postačujúce na dokončenie

energia častíc sa ukázala byť väčšia ako potenciál.

Základy teórie tunelových prechodov sú položené v prácach L. I. Mandelshtama

Tunelovanie cez potenciálnu bariéru je základom mnohých javov vo fyzike pevných látok (napríklad javy v kontaktnej vrstve na hranici dvoch polovodičov), atómovej a jadrovej fyzike (napríklad rozpad, výskyt termonukleárnych reakcií).

§ 222. Lineárne harmonický oscilátor

V kvantovej mechanike

Lineárny harmonický oscilátor- systém prechádzajúci jednorozmerným pohybom pôsobením kvázi-elastickej sily je model používaný v mnohých problémoch klasickej a kvantovej teórie (pozri § 142). Príklady klasických harmonických oscilátorov sú pružinové, fyzikálne a matematické kyvadla.

Potenciálna energia harmonického oscilátora [pozri. (141,5)] sa rovná

Kde je vlastná frekvencia oscilátora; T - hmotnosť častíc.

Závislosť (222.1) má tvar paraboly (obr. 303), t.j. „Potenciálna studňa“ je v tomto prípade parabolická.

Amplitúda malých kmitov klasického oscilátora je určená jeho celkovou energiou E(pozri obr. 17).

Dinger berúc do úvahy výraz (222.1) pre potenciálnu energiu. Potom sú stacionárne stavy kvantového oscilátora určené Schrödingerovou rovnicou tvaru

= 0, (222.2)

Kde E - celková energia oscilátora. V teórii diferenciálnych rovníc

Je dokázané, že rovnicu (222.2) možno vyriešiť iba pre vlastné hodnoty energie

(222.3)

Vzorec (222.3) ukazuje, že energia kvantového oscilátora môže

mať len diskrétne hodnoty, t.j. kvantované. Energia je zdola obmedzená nenulovou minimálnou hodnotou energie, ako pri pravouhlej „studni“ s nekonečne vysokými „stenami“ (pozri § 220). = Su-

existencia minima energie – tzv energia vibrácií nulového bodu - je typický pre kvantové systémy a je priamym dôsledkom vzťahu neurčitosti.

Prítomnosť oscilácií nulového bodu znamená, že častica nemôže byť na dne „potenciálnej studne“ (bez ohľadu na tvar jamky). V skutočnosti je „pád na dno diery“ spojený s vymiznutím hybnosti častice a zároveň s jej neistotou. Potom sa neistota súradnice stane ľubovoľne veľkou, čo je v rozpore s prítomnosťou častice v

„potenciálnej diery“.

Záver o prítomnosti energie kmitov nulového bodu kvantového oscilátora je v rozpore so závermi klasickej teórie, podľa ktorej je najnižšia energia, ktorú môže oscilátor mať, nulová (zodpovedá častici v pokoji v rovnovážnej polohe). Napríklad podľa záverov klasickej fyziky at T= 0, energia vibračného pohybu atómov kryštálu by mala zaniknúť. V dôsledku toho by mal zmiznúť aj rozptyl svetla v dôsledku atómových vibrácií. Experiment však ukazuje, že intenzita rozptylu svetla s klesajúcou teplotou sa nerovná nule, ale má tendenciu k určitej limitnej hodnote, čo naznačuje, že keď T 0 vibrácií atómov v kryštáli sa nezastaví. To potvrdzuje prítomnosť nulových oscilácií.

Zo vzorca (222.3) tiež vyplýva, že energetické hladiny lineárneho harmonického oscilátora sú umiestnené v rovnakých vzdialenostiach od seba (pozri obr. 303), konkrétne vzdialenosť medzi susednými energetickými hladinami je rovná a minimálna hodnota energie je =

Dôsledné riešenie problému kvantového oscilátora vedie k ďalšiemu významnému rozdielu od klasického