Základné pojmy. Vety o sčítaní a násobení.
Vzorce plná pravdepodobnosť, Bayes, Bernoulli. Laplaceove vety.
Otázky
- Predmet teórie pravdepodobnosti.
- Typy udalostí.
- Klasická definícia pravdepodobnosti.
- Štatistická definícia pravdepodobnosti.
- Geometrická definícia pravdepodobnosti.
- Pravdepodobný teorém sčítania nie spoločné akcie.
- Veta o násobení pravdepodobnosti nie je závislé udalosti.
- Podmienená pravdepodobnosť.
- Násobenie závislých udalostí.
- Doplnenie spoločných akcií.
- Vzorec celkovej pravdepodobnosti.
- Bayesov vzorec.
13. Binomický, polynomický zákon rozdelenia.
- Predmet teórie pravdepodobnosti. Základné pojmy.
Udalosť v teórii pravdepodobnosti je akákoľvek skutočnosť, ktorá môže nastať ako výsledok nejakej skúsenosti (testu).
Napríklad: Strelec strieľa na cieľ. Výstrel je skúška, zasiahnutie cieľa je udalosť. Udalosti sú zvyčajne určené
Jedna náhodná udalosť je dôsledkom mnohých náhodných príčin, ktoré sa veľmi často nedajú brať do úvahy. Ak však vezmeme do úvahy hromadné homogénne udalosti (pozorované mnohokrát počas experimentu za rovnakých podmienok), potom sa ukáže, že podliehajú určitým vzorcom: ak hodíte mincou v rovnakých podmienkach veľakrát, môžete predpovedať s malou chybou, že počet výskytov erbu sa bude rovnať polovici počtu hodov.
Predmetom teórie pravdepodobnosti je štúdium pravdepodobnostných vzorcov hromadných homogénnych náhodných udalostí. Metódy teórie pravdepodobnosti sú široko používané v teóriách spoľahlivosti, streľby, automatického riadenia atď. Teória pravdepodobnosti slúži ako základ pre matematické a aplikovanej štatistiky, ktorý sa zase používa pri plánovaní a organizovaní výroby, pri analýze technologických procesov atď.
Definície.
1. Ak v dôsledku zážitku udalosť
a) sa stane vždy, potom je to spoľahlivá udalosť,
b) sa nikdy nestane, potom - nemožná udalosť,
c) môže sa stať, nemusí sa stať, vtedy ide o náhodnú (možnú) udalosť.
2. Udalosti sa nazývajú rovnako možnými, ak existuje dôvod domnievať sa, že žiadna z týchto udalostí nenastala viac šancí vychádzajú zo skúseností ako ostatní.
3. Udalosti a sú spoločné (nezlučiteľné), ak výskyt jedného z nich nevylučuje (vylučuje) výskyt druhého.
4. Skupina podujatí je kompatibilná, ak sú aspoň dve udalosti z tejto skupiny kompatibilné, inak je nekompatibilná.
5. Skupina udalostí sa nazýva úplná, ak jedna z nich v dôsledku zážitku určite nastane.
Príklad 1 Na terč sa strieľajú tri výstrely: Let - trafiť (minúť) na prvý výstrel - na druhý výstrel - na tretí výstrel. Potom
a) - spoločná skupina rovnako možných udalostí.
b) - úplná skupina nezlučiteľných udalostí. - dej, ktorý je opačný.
c) - ucelená skupina podujatí.
Klasické a štatistická pravdepodobnosť
Klasický spôsob určenie pravdepodobnosti sa aplikuje na úplnú skupinu rovnako možných nekompatibilných udalostí.
Každá udalosť v tejto skupine sa bude nazývať prípad alebo elementárny výsledok. Vo vzťahu ku každej udalosti sa prípady delia na priaznivé a nepriaznivé.
Definícia 2. Pravdepodobnosť udalosti je množstvo
kde je počet prípadov priaznivý pre výskyt udalosti, je celkový počet rovnako možných túto skúsenosť prípadoch.
Príklad 2 Dve hodené kocky. Nech sa udalosť - súčet stratených bodov rovná . Nájsť .
a) Nesprávne rozhodnutie. Existujú len 2 možné prípady: a - úplná skupina nekompatibilných udalostí. Priaznivý je len jeden prípad, t.j. 
To je chyba, pretože nie sú rovnako možné.
b) Celkový počet rovnako možných prípadov. Priaznivé prípady: prolaps
Slabé stránky klasickej definície sú:
1. - počet prípadov je konečný.
2. Výsledok experimentu veľmi často nemožno reprezentovať vo forme súboru elementárnych udalostí (prípadov).
3. Je ťažké uviesť dôvody, prečo sa prípady považujú za rovnako možné.
Nechajte vykonať sériu testov.
Definícia 3. Relatívna frekvencia udalosti je množstvo
kde je počet pokusov, v ktorých došlo k udalostiam, a je celkový počet pokusov.
Dlhodobé pozorovania ukázali, že v rôzne skúsenosti pri dostatočne veľkom
Mení sa málo, kolíše okolo určitého konštantné číslo, ktorú nazývame štatistická pravdepodobnosť.
Pravdepodobnosť má nasledujúce vlastnosti:
Algebra udalostí
7.3.1 Definície.
8. Súčet alebo spojenie viacerých podujatí je podujatie pozostávajúce aspoň z jedného z nich.
9. Produktom viacerých udalostí je udalosť pozostávajúca zo spoločného výskytu všetkých týchto udalostí.
Z príkladu 1. 
- aspoň jeden zásah tromi ranami, - zásah prvým a druhým výstrelom a chybný zásah tretím.
Presne jeden zásah.
Aspoň dva zásahy.
10. Dve udalosti sa nazývajú nezávislé (závislé), ak pravdepodobnosť jednej z nich nezávisí (závisí) od výskytu alebo nenastávania druhej.
11. Niekoľko udalostí sa nazýva kolektívne nezávislých, ak každá z nich a akákoľvek lineárna kombinácia zostávajúcich udalostí sú nezávislé udalosti.
12. Podmienená pravdepodobnosť 
je pravdepodobnosť udalosti vypočítaná za predpokladu, že udalosť nastala.
7.3.2 Veta o násobení pravdepodobnosti.
Pravdepodobnosť spoločného výskytu (výroby) viacerých udalostí sa rovná súčinu pravdepodobnosti jednej z nich o podmienené pravdepodobnosti zostávajúce udalosti vypočítané za predpokladu, že sa odohrali všetky predchádzajúce udalosti
Dôsledok 1. Ak - sú spoločne nezávislé, potom
Skutočne: od .
Príklad 3 V urne je 5 bielych, 4 čierne a 3 modré loptičky. Každý test pozostáva z náhodného vytiahnutia jednej loptičky z urny. Aká je pravdepodobnosť, že pri prvom teste bude biela guľa, s druhou - čiernou guľou, s treťou - modrou guľou, ak
a) zakaždým, keď sa lopta vráti do urny.
- v urne po prvej skúške loptičiek sú 4 biele. . Odtiaľ
b) lopta sa nevráti do urny. Potom - nezávislé v súhrne a
7.3.3 Veta o sčítaní pravdepodobnosti.
Pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej z udalostí sa rovná
Dôsledok 2. Ak sú udalosti párovo nekompatibilné, potom
Skutočne v tomto prípade
Príklad 4. Na jeden terč sa strieľajú tri výstrely. Pravdepodobnosť zásahu pri prvom výstrele je , pri druhom - , pri treťom - . Nájdite pravdepodobnosť aspoň jedného zásahu.
Riešenie. Nech je zásah na prvý výstrel, na druhý, na tretí a aspoň jeden zásah na tri výstrely. Potom , kde sú spoločné nezávislé v súhrne. Potom
Dôsledok 3. Ak sa vytvoria párovo nekompatibilné udalosti celá skupina, To
Dôsledok 4. Pre opačné udalosti
Niekedy je pri riešení problémov jednoduchšie nájsť pravdepodobnosť opačnej udalosti. Napríklad v príklade 4 - miss s tromi ranami. Vzhľadom k tomu, nezávislé v súhrne, a potom
Ako je uvedené vyššie, klasická definícia pravdepodobnosť predpokladá, že všetky elementárne výsledky sú rovnako možné. Rovnosť experimentálnych výsledkov sa uzatvára kvôli úvahám o symetrii. Problémy, pri ktorých možno použiť úvahy o symetrii, sú v praxi zriedkavé. V mnohých prípadoch je ťažké poskytnúť dôvody na presvedčenie, že všetky základné výsledky sú rovnako možné. V tejto súvislosti bolo potrebné zaviesť ďalšiu definíciu pravdepodobnosti, ktorá sa nazýva štatistická. Najprv predstavme pojem relatívnej frekvencie.
Relatívna frekvencia udalosti, alebo frekvencia, je pomer počtu experimentov, v ktorých k tejto udalosti došlo, k počtu všetkých vykonaných experimentov. Označme frekvenciu udalosti A cez W(A), Potom
Kde n– celkový počet pokusov; m– počet experimentov, v ktorých k udalosti došlo A.
Pri malom počte experimentov je frekvencia udalosti do značnej miery náhodná a môže sa výrazne líšiť od jednej skupiny experimentov k druhej. Napríklad pri desiatich hodoch je celkom možné, že sa erb objaví 2-krát (frekvencia 0,2), pri ďalších desiatich hodoch môžeme získať 8 erbov (frekvencia 0,8). S nárastom počtu experimentov však frekvencia udalosti čoraz viac stráca svoj náhodný charakter; náhodné okolnosti, ktoré sú vlastné každej individuálnej skúsenosti, sa v mase vyrušia a frekvencia má tendenciu stabilizovať sa a približovať sa s malými výkyvmi k určitému priemeru konštantná hodnota. Táto konštanta, ktorá je objektívna číselná charakteristika javy sa považujú za pravdepodobnosť danej udalosti.
Štatistická definícia pravdepodobnosti: pravdepodobnosť udalosti pomenúvajú číslo, okolo ktorého sú zoskupené hodnoty frekvencie danej udalosti v rôznych sériách veľké číslo testy.
Vlastnosť frekvenčnej stability, opakovane experimentálne testovaná a potvrdená skúsenosťami ľudstva, je jedným z najcharakteristickejších vzorov pozorovaných v náhodné udalosti. Medzi frekvenciou udalosti a jej pravdepodobnosťou existuje hlboká súvislosť, ktorú možno vyjadriť nasledovne: keď hodnotíme mieru možnosti udalosti, spájame toto hodnotenie s väčšou alebo menšou frekvenciou výskytu podobných udalostí v praxi. .
Geometrická pravdepodobnosť
Klasická definícia pravdepodobnosti predpokladá, že číslo elementárne výsledky určite. V praxi existujú experimenty, pri ktorých je množina takýchto výsledkov nekonečná. S cieľom prekonať túto nevýhodu klasickej definície pravdepodobnosti, ktorá spočíva v tom, že nie je použiteľná na testy s nekonečným počtom výsledkov, zavádzajú geometrické pravdepodobnosti – pravdepodobnosť pádu bodu do plochy.
Predpokladajme, že na rovine je daná kvadratická oblasť G, t.j. oblasť s oblasťou S G. V oblasti G obsahuje plochu g oblasť S g. Do regiónu G Náhodne sa hodí bodka. Budeme predpokladať, že hodený bod môže spadnúť do nejakej časti oblasti G s pravdepodobnosťou úmernou ploche tejto časti a nezávisle od jej tvaru a umiestnenia. Nechajte udalosť A– „hodený hrot zasiahne plochu g“, Potom geometrická pravdepodobnosť táto udalosť je určená vzorcom:
IN všeobecný prípad Pojem geometrickej pravdepodobnosti je zavedený nasledovne. Označme mieru plochy g(dĺžka, plocha, objem) cez mes g, a miera oblasti G- cez mes G ; nech tiež A– udalosť „hodený bod zasiahne oblasť g, ktorý je obsiahnutý v danej oblasti G" Pravdepodobnosť zasiahnutia oblasti g body hodené do oblasti G, sa určuje podľa vzorca
.
Úloha. Do kruhu je vpísaný štvorec. Do kruhu sa náhodne hodí bodka. Aká je pravdepodobnosť, že bod padne do štvorca?
Riešenie. Nech je polomer kruhu R, potom je plocha kruhu . Uhlopriečka štvorca je , potom strana štvorca je a plocha štvorca je . Pravdepodobnosť požadovanej udalosti je definovaná ako pomer plochy štvorca k ploche kruhu, t.j. 
.
Kontrolné otázky
1. Čo sa nazýva test (skúsenosť)?
2. Čo je to udalosť?
3. Aká udalosť sa nazýva a) spoľahlivá? b) náhodne? c) nemožné?
4. Aké udalosti sa nazývajú a) nezlučiteľné? b) spoločný?
5. Aké udalosti sa nazývajú opačné? Sú a) nezlučiteľné b) kompatibilné alebo náhodné?
6. Čo sa nazýva úplná skupina náhodných udalostí?
7. Ak sa všetky udalosti v dôsledku testu nemôžu stať spoločne, budú párovo nezlučiteľné?
8. Vytvárajte udalosti A a celá skupina?
9. Aké základné výsledky sú priaznivé? táto udalosť?
10. Aká definícia pravdepodobnosti sa nazýva klasická?
11. Aké sú hranice pravdepodobnosti akejkoľvek udalosti?
12. Za akých podmienok sa uplatňuje? klasická pravdepodobnosť?
13. Za akých podmienok sa uplatňuje geometrická pravdepodobnosť?
14. Aká definícia pravdepodobnosti sa nazýva geometrická?
15. Aká je frekvencia udalosti?
16. Aká definícia pravdepodobnosti sa nazýva štatistická?
1. Z písmen slova „konzervatórium“ sa náhodne vyberie jedno písmeno. Nájdite pravdepodobnosť, že toto písmeno je samohláska. Nájdite pravdepodobnosť, že ide o písmeno „o“.
2. Písmená „o“, „p“, „s“, „t“ sú napísané na rovnakých kartičkách. Nájdite pravdepodobnosť, že sa slovo „kábel“ objaví na kartách umiestnených náhodne v rade.
3. V tíme sú 4 ženy a 3 muži. Medzi brigádnikmi sú vyžrebované 4 vstupenky do divadla. Aká je pravdepodobnosť, že medzi držiteľmi lístkov budú 2 ženy a 2 muži?
4. Hodia sa dve kocky. Nájdite pravdepodobnosť, že súčet bodov na oboch kockách je väčší ako 6.
5. Na piatich rovnakých kartičkách sú napísané písmená l, m, o, o, t. Aká je pravdepodobnosť, že pri vyťahovaní kariet po jednej dostaneme slovo „kladivo“ v poradí, v akom sa objavili?
6. Z 10 tiketov vyhrávajú 2. Aká je pravdepodobnosť, že spomedzi piatich náhodne vybratých tiketov vyhrá jeden?
7. Aká je pravdepodobnosť, že v náhodne vybranom dvojciferné čísločísla sú také, že ich súčin je rovný nule.
8. Náhodne sa vyberie číslo nepresahujúce 30. Nájdite pravdepodobnosť, že toto číslo je deliteľom 30.
9. Náhodne sa vyberie číslo nepresahujúce 30. Nájdite pravdepodobnosť, že toto číslo je násobkom 3.
10. Náhodne sa vyberie číslo nepresahujúce 50. Nájdite pravdepodobnosť, že toto číslo je prvočíslo.
Index poradová korelácia Kendall, testujúc zodpovedajúcu hypotézu o význame vzťahu.
2.Klasická definícia pravdepodobnosti. Vlastnosti pravdepodobnosti.
Pravdepodobnosť je jedným zo základných pojmov teórie pravdepodobnosti. Existuje niekoľko definícií tohto pojmu. Uveďme definíciu, ktorá sa nazýva klasická. Ďalej uvádzame slabé stránky túto definíciu a uviesť ďalšie definície, ktoré nám umožňujú prekonať nedostatky klasickej definície.
Pozrime sa na príklad. Urna nech obsahuje 6 rovnakých, dôkladne premiešaných loptičiek, z toho 2 červené, 3 modré a 1 biela. Je zrejmé, že možnosť náhodného vytiahnutia farebnej (t.j. červenej alebo modrej) gule z urny je väčšia ako možnosť vytiahnutia bielej gule. Dá sa táto príležitosť kvantifikovať? Ukazuje sa, že je to možné. Toto číslo sa nazýva pravdepodobnosť udalosti (vzhľad farebnej gule). Pravdepodobnosť je teda číslo, ktoré charakterizuje mieru pravdepodobnosti výskytu udalosti.
Dajme si za úlohu dávať kvantifikácia možnosť, že náhodne vybratá loptička je zafarbená. Vzhľad farebnej lopty sa bude považovať za udalosť A. Každý z možných výsledkov testu (test pozostáva z vybratia lopty z urny) bude tzv. elementárny výsledok (elementárna udalosť). Elementárne výsledky označujeme w 1, w 2, w 3 atď. V našom príklade je možných nasledujúcich 6 základných výsledkov: w 1 - objaví sa biela guľa; w 2, w 3 - objavila sa červená guľa; w 4, w 5, w 6 - objaví sa modrá guľa. Je ľahké vidieť, že tieto výsledky tvoria kompletnú skupinu párovo nekompatibilných udalostí (objaví sa iba jedna loptička) a sú rovnako možné (lopta je náhodne vylosovaná, loptičky sú identické a dôkladne premiešané).
Budeme nazývať tie elementárne výsledky, v ktorých nastane udalosť, ktorá nás zaujíma priaznivý táto udalosť. V našom príklade nasledujúcich 5 výsledkov uprednostňuje udalosť A (vzhľad farebnej gule): w 2, w 3, w 4, w 5, w 6.
Udalosť A je teda pozorovaná, ak sa v teste vyskytne jeden zo základných výsledkov v prospech A, bez ohľadu na to, ktorý z nich; v našom príklade sa A pozoruje, ak sa vyskytne w2 alebo w3, alebo w4, alebo w5 alebo w6. V tomto zmysle je dej A rozdelený na niekoľko elementárnych dejov (w 2, w 3, w 4, w 5, w 6); elementárna udalosť sa nerozdeľuje na ďalšie udalosti. Toto je rozdiel medzi udalosťou A a elementárnou udalosťou (elementárnym výsledkom).
Pomer počtu elementárnych výsledkov priaznivých pre udalosť A k ich celkový počet sa nazýva pravdepodobnosť udalosti A a označuje sa P (A). V uvažovanom príklade je 6 základných výsledkov; 5 z nich uprednostňuje udalosť A. Pravdepodobnosť, že odoberaná loptička bude farebná, sa teda rovná P (A) = 5 / 6. Toto číslo dáva kvantitatívne hodnotenie miery možnosti výskytu farebnej loptičky, ktorú chcel nájsť. Uveďme teraz definíciu pravdepodobnosti.
Pravdepodobnosť udalosti A nazývajú pomer počtu výsledkov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu všetkých rovnako možných nekompatibilných elementárnych výsledkov, ktoré tvoria kompletnú skupinu. Pravdepodobnosť udalosti A je teda určená vzorcom
kde m je počet elementárnych výsledkov priaznivých pre A; n je počet všetkých možných výsledkov elementárneho testu.
Tu sa predpokladá, že elementárne výsledky sú nezlučiteľné, rovnako možné a tvoria ucelenú skupinu. Z definície pravdepodobnosti vyplývajú tieto vlastnosti:
S približne s t približne 1. Pravdepodobnosť spoľahlivá udalosť rovný jednej.
V skutočnosti, ak je udalosť spoľahlivá, potom každý elementárny výsledok testu podporuje udalosť. V tomto prípade teda m = n
P(A) = m/n = n/n = 1.
S asi s t asi 2. Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová.
V skutočnosti, ak je udalosť nemožná, potom žiadny z elementárnych výsledkov testu nepodporuje danú udalosť. V tomto prípade m = 0, teda
P(A) = m/n = 0/n = 0.
S približne s t približne o 3. Pravdepodobnosť náhodná udalosť Existuje kladné číslo, uzavreté medzi nulou a jednotkou.
V skutočnosti je náhodná udalosť zvýhodnená iba časťou celkového počtu základných výsledkov testu. V tomto prípade 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 < Р (А) < 1
Pravdepodobnosť akejkoľvek udalosti teda spĺňa dvojitú nerovnosť
Poznámka: Moderné rigorózne kurzy teórie pravdepodobnosti sú postavené na teoretickom základe. Obmedzme sa na prezentovanie vyššie diskutovaných konceptov v jazyku teórie množín.
Nech ako výsledok testu nastane len jedna z udalostí w i, (i = 1, 2, ..., n). Udalosti w i sa nazývajú elementárne udalosti (elementárne výsledky). Už z toho vyplýva, že elementárne udalosti sú párovo nekompatibilné. Volá sa množina všetkých elementárnych udalostí, ktoré sa môžu v teste vyskytnúť priestor elementárnych udalostí W, a samotné elementárne udalosti sú body priestoru W.
Udalosť A je identifikovaná s podmnožinou (priestoru W), ktorej prvky sú elementárne výsledky priaznivé pre A; udalosť B je podmnožinou W, ktorej prvky sú výsledky priaznivé pre B atď. Množina všetkých udalostí, ktoré sa môžu vyskytnúť v teste, je teda množinou všetkých podmnožín W. W samotné sa vyskytuje pre akýkoľvek výsledok testu, preto W je spoľahlivá udalosť; prázdna podmnožina priestoru W je nemožná udalosť (nevyskytuje sa pri žiadnom výsledku testu).
Všimnite si, že elementárne udalosti sa líšia od všetkých udalostí tým, že každá z nich obsahuje iba jeden prvok W.
Každému elementárnemu výsledku w i je priradené kladné číslo p i je pravdepodobnosť tohto výsledku a
Podľa definície sa pravdepodobnosť P(A) udalosti A rovná súčtu pravdepodobností elementárnych výsledkov priaznivých pre A. Odtiaľ je ľahké získať, že pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej, nemožná udalosť je rovná nule a ľubovoľná udalosť je medzi nulou a jednotkou.
Uvažujme o dôležitom špeciálny prípad keď sú všetky výsledky rovnako možné. Počet výsledkov je n, súčet pravdepodobností všetkých výsledkov je rovný jednej; preto je pravdepodobnosť každého výsledku 1/n. Nech je udalosť A zvýhodnená m výsledkami. Pravdepodobnosť udalosti A sa rovná súčtu pravdepodobností výsledkov v prospech A:
P(A) = 1 / n + 1 / n + .. + 1 / n.
Vzhľadom na to, že počet členov sa rovná m, máme
P(A) = m/n.
Získa sa klasická definícia pravdepodobnosti.
Stavba logicky úplná teória pravdepodobnosti na základe axiomatická definícia náhodná udalosť a jej pravdepodobnosť. V systéme axióm navrhnutých A. N. Kolmogorovom sú nedefinovateľné pojmy elementárna udalosť a pravdepodobnosť. Tu sú axiómy, ktoré definujú pravdepodobnosť:
1. Každá udalosť A je spojená s nezápornou hodnotou Reálne číslo R (A). Toto číslo sa nazýva pravdepodobnosť udalosti A.
2. Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej:
3. Pravdepodobnosť výskytu aspoň jednej z párovo nekompatibilných udalostí sa rovná súčtu pravdepodobností týchto udalostí.
Na základe týchto axióm sa odvodzujú vlastnosti pravdepodobností a závislosti medzi nimi ako vety.
3.Statické určenie pravdepodobnosti, relatívna frekvencia.
Klasická definícia nevyžaduje experimentovanie. Zatiaľ čo skutočné aplikované problémy mať nekonečné číslo a klasická definícia v tomto prípade nemôže poskytnúť odpoveď. Preto v takýchto problémoch budeme používať statická definícia pravdepodobnosti, ktorá sa vypočíta po experimente alebo experimente.
Statická pravdepodobnosť w(A) alebo relatívna frekvencia je pomer počtu výsledkov priaznivých pre danú udalosť k celkovému počtu skutočne vykonaných testov.
w(A)=nm
Relatívna frekvencia udalosti má vlastnosť stability:
lim n→∞P(∣ ∣ nm−p∣ ∣ <ε)=1 (свойство устойчивости относительной частоты)
4. Geometrické pravdepodobnosti.
O geometrický prístup k definícii pravdepodobnostiľubovoľná množina sa považuje za priestor elementárnych udalostí konečná Lebesgueova miera na priamke, rovine alebo priestore. Udalosti sú tzv všetky druhy merateľné podmnožiny množiny.
Pravdepodobnosť udalosti A sa určuje podľa vzorca
kde označuje Lebesgueova miera množiny A. S touto definíciou udalostí a pravdepodobností, všetko Axiómy A.N. Kolmogorova sú splnené.
V konkrétnych úlohách, ktoré sa obmedzujú na vyššie uvedené pravdepodobnostná schéma, test sa interpretuje ako náhodný výber bodu v nejakej oblasti a event A– ako vybraný bod zasiahne určitý podoblasť A regiónu. V tomto prípade sa vyžaduje, aby všetky body v regióne mali rovnakú príležitosť byť vybraný. Táto požiadavka sa zvyčajne vyjadruje slovami „náhodne“, „náhodne“ atď.
Pojem pravdepodobnosti udalosti sa vzťahuje na základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Pravdepodobnosť je kvantitatívna miera možnosti výskytu náhodného javu A. Označuje sa P(A) a má nasledujúce vlastnosti.
Pravdepodobnosť je kladné číslo v rozsahu od nuly do jednej:
Pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová
Pravdepodobnosť spoľahlivej udalosti sa rovná jednej
Klasická definícia pravdepodobnosti. Nech = (1, 2,…, n) je priestor elementárnych udalostí, ktoré popisujú všetky možné elementárne výsledky a tvoria ucelenú skupinu nekompatibilných a rovnako možných udalostí. Nech udalosť A zodpovedá podmnožine m elementárnych výsledkov
tieto výsledky sa nazývajú priaznivé pre udalosť A. V klasickej definícii pravdepodobnosti sa verí, že pravdepodobnosť akéhokoľvek elementárneho výsledku
a pravdepodobnosť udalosti A v prospech m výsledkov sa rovná
Preto definícia:
Pravdepodobnosť udalosti A je pomer počtu výsledkov priaznivých pre túto udalosť k celkovému počtu všetkých rovnako možných nekompatibilných elementárnych výsledkov, ktoré tvoria kompletnú skupinu. Pravdepodobnosť je daná vzorcom
kde m je počet základných výsledkov priaznivých pre udalosť A a je počet všetkých možných základných výsledkov testu.
Klasická definícia pravdepodobnosti umožňuje v niektorých problémoch analyticky vypočítať pravdepodobnosť udalosti.
Nech sa vykoná experiment, v dôsledku ktorého môžu nastať určité udalosti. Ak tieto udalosti tvoria kompletnú skupinu párovo nekompatibilných a rovnako možných udalostí, potom sa hovorí, že skúsenosť má symetriu možných výsledkov a redukuje sa na „schému prípadov“. Pre experimenty, ktoré sú redukované na prípadovú schému, je použiteľný klasický vzorec pravdepodobnosti.
Príklad 1.13. V lotérii sa žrebuje 1000 tiketov vrátane 5 výherných. Určte pravdepodobnosť, že pri kúpe jedného tiketu lotérie získate výhru
Základnou udalosťou tohto zážitku je kúpa vstupenky. Každý žreb je jedinečný, keďže má svoje číslo a zakúpený tiket sa nevracia. Udalosťou A je zakúpenie výherného tiketu. Pri kúpe jedného z 1000 vstupeniek budú všetky možné výsledky tohto zážitku = 1000, výsledky tvoria ucelenú skupinu nekompatibilných podujatí. Počet výsledkov priaznivých pre udalosť A bude rovný = 5. Potom sa pravdepodobnosť výhry kúpou jedného tiketu rovná
P(A) = = 0,005
Na priamy výpočet pravdepodobností je vhodné použiť kombinatorické vzorce. Ukážme si to na príklade problému kontroly vzorkovania.
Príklad 1.14 Nech existuje šarža výrobkov, z ktorých niektoré sú chybné. Časť produktov sa vyberie na kontrolu. Aká je pravdepodobnosť, že medzi vybranými výrobkami budú práve chybné?
Základnou udalosťou v tomto experimente je výber elementárnej podmnožiny z pôvodnej elementárnej množiny. Výber ktorejkoľvek časti produktov zo série produktov možno považovať za rovnako možné udalosti, takže táto skúsenosť je zredukovaná na schému prípadov. Na výpočet pravdepodobnosti udalosti A = (medzi chybnými výrobkami, ak boli vybrané zo série chybných výrobkov), môžete použiť klasický vzorec pravdepodobnosti. Počet všetkých možných výsledkov experimentu je počet spôsobov, ktorými môžu byť produkty vybrané zo šarže, rovná sa počtu kombinácií prvkov podľa: . Udalosť priaznivá pre udalosť A pozostáva zo súčinu dvoch základných udalostí: (z chybných produktov sa vyberú _ (z _ sa vyberú štandardné produkty _). Počet takýchto udalostí v súlade s pravidlom násobenia kombinatoriky bude
Potom požadovaná pravdepodobnosť
Napríklad, nech =100, =10, =10, =1. Potom sa rovná pravdepodobnosť, že medzi vybranými 10 výrobkami bude práve jeden chybný výrobok
Štatistická definícia pravdepodobnosti. Pre uplatnenie klasickej definície pravdepodobnosti v podmienkach daného experimentu je potrebné, aby experiment zodpovedal vzoru prípadov a pre väčšinu reálnych problémov je prakticky nemožné tieto požiadavky splniť. Pravdepodobnosť udalosti je však objektívna realita, ktorá existuje bez ohľadu na to, či je klasická definícia použiteľná alebo nie. Existuje potreba inej definície pravdepodobnosti, ktorá by sa dala použiť, keď skúsenosť nezodpovedá vzoru prípadov.
Nech experiment pozostáva z vykonania série testov opakujúcich rovnaký experiment a nech sa udalosť A vyskytne raz v sérii experimentov. Relatívna frekvencia udalosti W(A) je pomer počtu experimentov, v ktorých došlo k udalosti A, k počtu všetkých vykonaných experimentov.
Experimentálne sa dokázalo, že frekvencia má vlastnosť stability: ak je počet experimentov v sérii dostatočne veľký, potom sa relatívne frekvencie javu A v rôznych sériách toho istého experimentu navzájom málo líšia.
Štatistická pravdepodobnosť udalosti je číslo, ku ktorému smerujú relatívne frekvencie, ak sa počet experimentov zvyšuje bez obmedzenia.
Na rozdiel od apriórnej (vypočítanej pred experimentom) klasickej pravdepodobnosti je štatistická pravdepodobnosť a posteriori (získaná po experimente).
Príklad 1.15 Meteorologické pozorovania počas 10 rokov v určitej oblasti ukázali, že počet daždivých dní v júli v rôznych rokoch bol: 2; 4; 3; 2; 4; 3; 2; 3; 5; 3. Určte pravdepodobnosť, že niektorý konkrétny deň v júli bude daždivý
Udalosťou A je, že v určitý deň v júli, napríklad 10. júla, bude pršať. Uvedené štatistiky neobsahujú informácie o tom, ktoré konkrétne dni v júli pršalo, takže môžeme predpokladať, že všetky dni sú pre túto udalosť rovnako možné. Nech je jeden rok jedna séria testov s 31 dňami. Celkovo je sérií 10. Relatívne frekvencie sérií sú:
Frekvencie sú rôzne, ale pozoruje sa, že sa zoskupujú okolo čísla 0,1. Toto číslo môžeme brať ako pravdepodobnosť udalosti A. Ak vezmeme všetky júlové dni po dobu desiatich rokov ako jednu sériu testov, potom sa štatistická pravdepodobnosť udalosti A bude rovnať
Geometrická definícia pravdepodobnosti. Táto definícia pravdepodobnosti zovšeobecňuje klasickú definíciu na prípad, keď priestor elementárnych výsledkov obsahuje nespočetné množstvo elementárnych udalostí a výskyt každej z nich je rovnako možný. Geometrická pravdepodobnosť udalosti A je pomer miery (A) regiónu priaznivého pre výskyt udalosti k miere () celého regiónu.
Ak plochy predstavujú a) dĺžky segmentov, b) plochy obrazcov, c) objemy priestorových obrazcov, potom sú geometrické pravdepodobnosti rovnaké
Príklad 1.16. Reklamy sú umiestnené v intervaloch 10 metrov pozdĺž nákupného radu. Niektorí zákazníci majú šírku pohľadu 3 metre. Aká je pravdepodobnosť, že si reklamu nevšimne, ak sa pohybuje kolmo na nákupný rad a môže cez rad v ktoromkoľvek bode prejsť?
Úsek nákupného radu, ktorý sa nachádza medzi dvoma inzerátmi, možno znázorniť ako rovný segment AB (obr. 1.6). Potom, aby si kupujúci všimol inzeráty, musí prejsť rovnými segmentmi AC alebo DV rovnými 3 m. Ak prejde cez nákupný rad na jednom z bodov segmentu SD, ktorého dĺžka je 4 m, reklamu si nevšimne. Pravdepodobnosť tejto udalosti bude
Náhodnosť výskytu udalostí je spojená s nemožnosťou predpovedať vopred výsledok konkrétneho testu. Ak však vezmeme do úvahy napríklad test: opakovaný hod mincou, ω 1, ω 2, ..., ω n, potom sa ukáže, že približne v polovici výsledkov ( n / 2) objaví sa určitý vzorec, ktorý zodpovedá pojmu pravdepodobnosti.
Pod pravdepodobnosť diania A sa chápe ako určitá číselná charakteristika možnosti vzniku udalosti A. Označme túto číselnú charakteristiku R(A). Existuje niekoľko spôsobov, ako určiť pravdepodobnosť. Hlavné sú štatistické, klasické a geometrické.
Nech sa vyrába n testy a zároveň nejaká akcia A už to prišlo n A krát. číslo n A sa volá absolútna frekvencia(alebo jednoducho frekvencia) udalosti A, a vzťah sa nazýva relatívna frekvencia výskytu udalosti A. Relatívna frekvencia akejkoľvek udalosti vyznačujúce sa nasledujúcimi vlastnosťami:
Základom aplikácie metód teórie pravdepodobnosti na štúdium reálnych procesov je objektívna existencia náhodných dejov, ktoré majú vlastnosť frekvenčnej stability. Viacnásobné pokusy skúmanej udalosti A ukázať, že na slobode n relatívna frekvencia ( A) zostáva približne konštantná.
Štatistická definícia pravdepodobnosti je taká, že pravdepodobnosť udalosti A sa považuje za konštantnú hodnotu p(A), okolo ktorej kolíšu hodnoty relatívnych frekvencií (A) s neobmedzeným zvyšovaním počtu testovn.
Poznámka 1. Všimnite si, že hranice zmeny pravdepodobnosti náhodnej udalosti z nuly na jednu zvolil B. Pascal pre pohodlie jej výpočtu a aplikácie. V korešpondencii s P. Fermatom Pascal naznačil, že ako indikovaný interval možno zvoliť akýkoľvek interval, napríklad od nuly do sto a ďalšie intervaly. V problémoch nižšie v tejto príručke sú pravdepodobnosti niekedy vyjadrené v percentách, t.j. od nuly do sto. V tomto prípade treba percentá uvedené v úlohách prepočítať na podiely, t.j. deliť 100.
Príklad 1 Uskutočnilo sa 10 sérií hodov mincou, každá po 1000 hodoch. Rozsah ( A) v každej sérii sa rovná 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Tieto frekvencie sú zoskupené okolo R(A) = 0,5.
Tento príklad potvrdzuje, že relatívna frekvencia ( A) je približne rovnaký R(A), t.j.
