Tak je to formulované typická úloha a zahŕňa nájdenie VŠETKÝCH asymptot grafu (vertikálne, šikmé/horizontálne). Aj keď, aby sme boli pri formulácii otázky presnejší, hovoríme o štúdii na prítomnosť asymptot (napokon nemusia byť žiadne).
Začnime niečím jednoduchým:
Príklad 1
Riešenie Je vhodné rozdeliť ho do dvoch bodov:
1) Najprv skontrolujeme, či existujú vertikálne asymptoty. Menovateľ zmizne pri , a hneď je jasné, že v tomto bode funkcia trpí nekonečná medzera a priamku daný rovnicou, je vertikálna asymptota grafu funkcie . Pred vyvodením takéhoto záveru je však potrebné nájsť jednostranné limity: 
Pripomínam vám techniku výpočtu, nad ktorou som sa tiež pozastavil v článku kontinuita funkcie. body zlomu. Vo výraze pod medzným znakom namiesto "x" dosadíme . V čitateli nie je nič zaujímavé:
.
Ale v menovateli to dopadá nekonečne malý záporné číslo
:
, určuje osud limitu.
Ľavá hranica je nekonečná a v zásade je už možné vyniesť verdikt o prítomnosti vertikálnej asymptoty. Ale nielen na to sú potrebné jednostranné limity – POMÁHAJÚ POMÁHAŤ POCHOPENIE AKO lokalizuje sa graf funkcie a vykreslí sa SPRÁVNE. Preto musíme vypočítať aj pravý limit: 
Záver: jednostranné limity sú nekonečné, čo znamená, že priamka je zvislou asymptotou grafu funkcie v bode .
Prvý limit konečný, čo znamená, že je potrebné „pokračovať v konverzácii“ a nájsť druhý limit:
Aj druhý limit konečný.
Takže naša asymptota je:
Záver: priamka daná rovnicou je horizontálna asymptota grafu funkcie v .
Na nájdenie horizontálnej asymptoty Môžete použiť zjednodušený vzorec:
Ak existuje konečná limita, potom je čiara horizontálnou asymptotou grafu funkcie v .
Je ľahké vidieť, že čitateľ a menovateľ funkcie jeden rád rastu, čo znamená, že požadovaný limit bude konečný: 
Odpoveď:
Podľa stavu nie je potrebné dokresľovať, ale ak je v plnom prúde funkčný výskum, potom na návrhu okamžite urobíme náčrt: 
Na základe troch nájdených limitov sa pokúste nezávisle zistiť, ako sa dá graf funkcie umiestniť. Celkom ťažké? Nájdite 5-6-7-8 bodov a označte ich na výkrese. Graf tejto funkcie je však skonštruovaný pomocou transformácie grafu elementárnej funkcie a čitatelia, ktorí pozorne preskúmali príklad 21 tohto článku, ľahko uhádnu, o aký druh krivky ide.
Príklad 2
Nájdite asymptoty grafu funkcie
Toto je príklad pre nezávislé rozhodnutie. Pripomínam vám, že proces je vhodne rozdelený do dvoch bodov - vertikálne asymptoty a šikmé asymptoty. Vo vzorovom riešení sa horizontálna asymptota nájde pomocou zjednodušenej schémy.
V praxi sa najčastejšie stretávame s frakčnými racionálnymi funkciami a po tréningu na hyperbolách si úlohu skomplikujeme:
Príklad 3
Nájdite asymptoty grafu funkcie 
Riešenie: Raz, dva a hotovo:
1) Vertikálne asymptoty sú v bodoch nekonečnej diskontinuity, takže musíte skontrolovať, či je menovateľ nulový. My sa rozhodneme kvadratická rovnica :
Diskriminant je kladný, takže rovnica má dva skutočné korene a výrazne sa pridáva práca =) 
Aby sa ďalej nachádzali jednostranné limity štvorcový trojčlen vhodné na faktorizáciu:
(pre kompaktný zápis bolo v prvej zátvorke zavedené „mínus“). Pre bezpečnostnú sieť vykonáme kontrolu, mentálne alebo na prievanu, otvorením zátvoriek.
Prepíšeme funkciu do formulára 
Nájdite jednostranné limity v bode: 
A v bode: 
Priamky sú teda zvislé asymptoty grafu uvažovanej funkcie.
2) Ak sa pozriete na funkciu 
, potom je celkom zrejmé, že limita bude konečná a máme horizontálnu asymptotu. Ukážme si to v skratke: 
Priamka (abscisa) je teda horizontálna asymptota grafu tejto funkcie.
Odpoveď:
Nájdené limity a asymptoty poskytujú veľa informácií o grafe funkcie. Skúste si v duchu predstaviť kresbu, berúc do úvahy nasledujúce skutočnosti: 
Načrtnite svoju verziu grafu na koncepte.
Samozrejme, nájdené limity neurčujú jednoznačne typ grafu a môžete sa pomýliť, ale samotné cvičenie vám bude neoceniteľnou pomocou počas úplné štúdium funkcie. Správny obrázok je na konci hodiny.
Príklad 4
Nájdite asymptoty grafu funkcie
Príklad 5
Nájdite asymptoty grafu funkcie 
Sú to úlohy pre nezávislé rozhodovanie. Oba grafy majú opäť horizontálne asymptoty, ktoré sú okamžite detekované pomocou nasledujúce znaky: v príklade 4 poradie rastu menovateľ je väčší ako poradie rastu čitateľa a v príklade 5 čitateľ a menovateľ jeden rád rastu. Vo vzorovom riešení je prvá funkcia skúmaná na prítomnosť šikmých asymptot v plnom rozsahu a druhá - cez limit .
Horizontálne asymptoty sú podľa môjho subjektívneho dojmu citeľne bežnejšie ako tie, ktoré sú „skutočne naklonené“. Dlho očakávaný všeobecný prípad:
Príklad 6
Nájdite asymptoty grafu funkcie 
Riešenie: klasika žánru:
1) Keďže menovateľ je kladný, funkcia nepretržitý na celej číselnej osi a neexistujú žiadne vertikálne asymptoty. …Je to dobré? Nie je to správne slovo - skvelé! Položka č. 1 je uzavretá.
2) Skontrolujte prítomnosť šikmých asymptot:
Prvý limit konečný, tak poďme ďalej. Počas výpočtu druhého limitu eliminovať neistota "nekonečno mínus nekonečno" privádzame výraz k spoločnému menovateľovi: 
Aj druhý limit konečný preto má graf uvažovanej funkcie šikmú asymptotu:
Záver:
Teda pre graf funkcie nekonečne blízko blíži sa k priamke: 
Všimnite si, že pretína svoju šikmú asymptotu v počiatku a takéto priesečníky sú celkom prijateľné - je dôležité, aby "všetko bolo normálne" v nekonečne (v skutočnosti tam prichádza diskusia o asymptotách).
Príklad 7
Nájdite asymptoty grafu funkcie
Riešenie: nie je nič zvláštne na komentár, tak vydám ukážková vzorkačistý roztok:
1) Vertikálne asymptoty. Poďme preskúmať pointu. 
Priamka je vertikálna asymptota grafu v .
2) Šikmé asymptoty: 
Priama čiara je šikmá asymptota grafu v .
Odpoveď: 
Nájdené jednostranné limity a asymptoty nám umožňujú s vysokou istotou predpokladať, ako vyzerá graf tejto funkcie. Správna kresba na konci hodiny.
Príklad 8
Nájdite asymptoty grafu funkcie
Toto je príklad nezávislého riešenia, pre uľahčenie výpočtu niektorých limitov môžete rozdeliť čitateľa menovateľom termínom. A znova, pri analýze výsledkov, skúste nakresliť graf tejto funkcie.
Je zrejmé, že vlastníkmi „skutočných“ šikmých asymptot sú ich grafy zlomkové racionálne funkcie, ktorého najvyššia mocnina čitateľa ešte jeden najvyšší stupeň menovateľa. Ak je viac, nebude existovať žiadna šikmá asymptota (napríklad ).
Ale v živote sa dejú aj iné zázraky:
Príklad 9
Riešenie: funkcia nepretržitý na celej číselnej osi, čo znamená, že neexistujú žiadne vertikálne asymptoty. Ale môžu tam byť aj svahy. Kontrolujeme:
Pamätám si, ako som narazil na podobnú funkciu na univerzite a jednoducho som neveril, že má šikmú asymptotu. Kým som nevyrátal druhú hranicu:
Presne povedané, existujú tu dve neistoty: a , ale tak či onak, musíte použiť metódu riešenia, o ktorej sa hovorí v príkladoch 5-6 v článku o limitoch zvýšená zložitosť . Vynásobte a vydeľte konjugovaným výrazom, aby ste použili vzorec:
Odpoveď:
Možno najobľúbenejšia šikmá asymptota.
Doteraz sa nekonečno darilo „rezať rovnakým štetcom“, no stáva sa, že graf funkcie dve rôznešikmé asymptoty pre a pre :
Príklad 10
Preskúmajte asymptoty v grafe funkcie 
Riešenie: koreňový výraz je kladný, čo znamená domény- akékoľvek skutočné číslo a nemôžu existovať žiadne vertikálne paličky.
Skontrolujme, či existujú šikmé asymptoty.
Ak má „x“ tendenciu k „mínus nekonečnu“, potom:
(pri pridaní „X“ pod Odmocnina musíte pridať znamienko mínus, aby ste nestratili záporný menovateľ)
Vyzerá to nezvyčajne, ale tu je neistota „nekonečno mínus nekonečno“. Vynásobte čitateľa a menovateľa pridruženým výrazom:
Priamka je teda šikmá asymptota grafu v .
S „plus infinity“ je všetko triviálnejšie: 
A priamka - na .
Odpoveď:
Ak ;
, ak .
Nemôžem odolať grafický obrázok:
Toto je jedna z vetiev hyperbola .
Nie je nezvyčajné, keď je potenciálna prítomnosť asymptot spočiatku obmedzená rozsah funkcie:
Príklad 11
Preskúmajte asymptoty v grafe funkcie
Riešenie: to je jasné 
, preto uvažujeme len pravú polrovinu, kde je graf funkcie.
1) Funkcia nepretržitý na intervale , čo znamená, že ak existuje vertikálna asymptota, potom to môže byť iba os y. Študujeme správanie funkcie v blízkosti bodu napravo:
Poznámka, nie je tu ŽIADNA dvojznačnosť(na takéto prípady bola pozornosť zameraná na začiatku článku Limitné metódy riešenia).
Teda priamka (os y) je vertikálna asymptota pre graf funkcie v .
2) Vyšetrenie šikmej asymptoty možno vykonať pomocou úplná schéma, ale v článku Lopitálne pravidlá zistili sme to lineárna funkcia viac vysoký poriadok rast ako logaritmický, preto: 
(pozri príklad 1 tej istej lekcie).
Záver: os x je horizontálna asymptota grafu funkcie v .
Odpoveď:
Ak ;
, ak .
Kreslenie pre prehľadnosť: 
Je zaujímavé, že zdanlivo podobná funkcia nemá vôbec žiadne asymptoty (kto si to želá, môže si to overiť).
Dva záverečné príklady na samostatné štúdium:
Príklad 12
Preskúmajte asymptoty v grafe funkcie 
Aby sme otestovali vertikálne asymptoty, musíme najprv nájsť rozsah funkcie a potom vypočítajte dvojicu jednostranných limitov na "podozrivých" bodoch. Nie sú vylúčené ani šikmé asymptoty, pretože funkcia je definovaná do „plus“ a „mínus“ nekonečna.
Príklad 13
Preskúmajte asymptoty v grafe funkcie
A tu môžu byť iba šikmé asymptoty a smery by sa mali posudzovať oddelene.
Dúfam, že ste našli správnu asymptotu =)
Prajem vám úspech!
Riešenia a odpovede:
Príklad 2:Riešenie
:
. Hľadajme jednostranné limity:
Rovno je vertikálna asymptota grafu funkcie at .
2) Šikmé asymptoty.
Rovno .
Odpoveď:
Kreslenie
k príkladu 3:
Príklad 4:Riešenie
:
1) Vertikálne asymptoty. Funkcia trpí nekonečným zlomom v bode . Vypočítajme jednostranné limity:
Poznámka: nekonečne malé záporné číslo na párnu mocninu sa rovná nekonečne malému kladnému číslu: .
Rovno je vertikálna asymptota grafu funkcie.
2) Šikmé asymptoty.
Rovno (abscisa) je horizontálna asymptota grafu funkcie at .
Odpoveď:
Hyperbola sa nazýva geometrické miesto bodov, ktorých rozdiel vzdialeností k dvom daným bodom, nazývaným ohniská, je konštantná hodnota (táto konštanta musí byť kladná a menšia ako vzdialenosť medzi ohniskami).
Túto konštantu označíme 2a, vzdialenosť medzi ohniskami a zvolíme súradnicové osi rovnako ako v § 3. Nech - ľubovoľný bod hyperbola.
Podľa definície hyperboly
Na pravej strane rovnosti musíte vybrať znamienko plus if a znamienko mínus, ak
Keďže posledná rovnosť môže byť zapísaná ako:
Toto je rovnica hyperboly vo zvolenom súradnicovom systéme.
Oslobodením sa od radikálov v tejto rovnici (ako v § 3) môžeme rovnicu zredukovať na najjednoduchšiu formu.
Prenesenie prvého radikálu do pravá strana rovnosť a kvadratúra oboch častí, po zrejmých transformáciách dostaneme:
Znova urobte kvadratúru oboch strán rovnosti, čím dôjde k zníženiu takýchto členov a delením podľa voľný člen, dostaneme:
Od , hodnota je kladná. Označuje to cez , t.j. nastavenie
dostaneme kanonická rovnica hyperbola.
Študujeme formu hyperboly.
1) Symetrie hyperboly. Keďže rovnica (3) obsahuje iba druhé mocniny aktuálnych súradníc, súradnicové osi sú osami symetrie hyperboly (pozri analogický výrok pre elipsu). Os symetrie hyperboly, na ktorej sa nachádzajú ohniská, sa nazýva ohnisková os. Priesečník osí symetrie – stred symetrie – sa nazýva stred hyperboly. Pre hyperbolu danú rovnicou (3) sa ohnisková os zhoduje s osou Ox a počiatkom je stred.
2) Priesečníky s osami symetrie. Nájdite priesečníky hyperboly s osami symetrie - vrcholy hyperboly. Za predpokladu, že v rovnici nájdeme úsečky priesečníkov hyperboly s osou
Preto sú body vrcholmi hyperboly (obr. 51); vzdialenosť medzi nimi je 2a. Aby sme našli priesečníky s osou Oy, vložíme rovnicu Získame rovnicu na určenie súradníc týchto bodov
teda pre y sme získali imaginárne hodnoty; to znamená, že os y nepretína hyperboly.
V súlade s tým sa nazýva os symetrie, ktorá pretína hyperbolu reálna os symetria (ohnisková os), os symetrie, ktorá nepretína hyperboly, sa nazýva pomyselná os symetrie. Pre hyperbolu danú rovnicou (3) je skutočnou osou symetrie os, imaginárnou osou symetrie je os Úsečka spájajúca vrcholy hyperboly, ako aj jej dĺžka 2a sa nazýva reálna os hyperbola. Ak na pomyselnej osi symetrie hyperboly sú po oboch stranách jej stredu O a dĺžky b rozložené úsečky OB, potom sa úsečka a aj jej dĺžka nazývajú imaginárnou osou hyperboly. Veličiny a a b sa nazývajú skutočné a imaginárne poloosi hyperboly.
3) Tvar hyperboly. Pri štúdiu tvaru hyperboly stačí zvážiť kladné hodnoty x a y, pretože krivka je symetrická podľa súradnicových osí.
Keďže z rovnice (3) vyplýva, že 1, potom sa môže meniť od a do Keď sa zvyšuje od a do potom Y rastie aj od 0 do Krivka má tvar znázornený na obr. 51. Nachádza sa mimo pásu ohraničeného priamkami a pozostáva z dvoch samostatných vetiev. Pre ľubovoľný bod M jednej z týchto vetiev (pravá vetva), pre ľubovoľný bod M inej vetvy (ľavá vetva).
4) Asymptoty hyperboly. Aby ste si jasnejšie predstavili formu hyperboly, zvážte dve priamky, ktoré s ňou úzko súvisia - takzvané asymptoty.
Za predpokladu, že x a y sú kladné, riešime rovnicu (3) hyperboly vzhľadom na y-ovú poradňu:
Porovnajme rovnicu s rovnicou priamky, pričom ako vhodné pomenujeme dva body nachádzajúce sa na tejto priamke a na hyperbole s rovnakou osou (obr. 51). Je zrejmé, že rozdiel Y - na súradniciach zodpovedajúcich bodov vyjadruje vzdialenosť medzi nimi, t.j.
Ukážme, že keď sa vzdialenosť MN donekonečna zväčšuje, keď zabíja, má tendenciu k nule. Naozaj,
Po zjednodušení dostaneme:
Z posledného vzorca vidíme, že s neobmedzeným nárastom úsečky sa vzdialenosť MN zmenšuje a má tendenciu k nule. Z toho vyplýva, že keď sa bod M, pohybujúci sa po hyperbole v prvom kvadrante, vzďaľuje do nekonečna, potom sa jeho vzdialenosť od priamky zmenšuje a má tendenciu k nule. Rovnaká okolnosť nastane, keď sa bod M bude pohybovať pozdĺž hyperboly v treťom kvadrante (v dôsledku symetrie okolo začiatku O).
Nakoniec vďaka symetrii hyperboly vzhľadom na os Oy dostaneme druhú priamku symetricky umiestnenú s priamkou, ku ktorej sa bude pri pohybe po hyperbole a vzďaľovaní do nekonečna neobmedzene približovať aj bod M ( v druhom a štvrtom kvadrante).
Tieto dve priamky sa nazývajú asymptoty hyperboly a ako sme videli, majú rovnice:
Je zrejmé, že asymptoty hyperboly sú umiestnené pozdĺž uhlopriečok obdĺžnika, ktorého jedna strana je rovnobežná s osou Ox a rovná sa 2a, druhá je rovnobežná s osou Oy a rovná sa a stred leží v počiatku ( pozri obr. 51).
Pri kreslení hyperboly podľa jej rovnice sa odporúča najprv zostrojiť jej asymptoty.
Rovnostranná hyperbola. V prípade hyperboly sa nazýva rovnostranná; jeho rovnica je získaná z (3) a má tvar:
Je zrejmé, že sklony asymptot pre rovnostrannú hyperbolu budú Preto asymptoty rovnostrannej hyperboly sú na seba kolmé a pretínajú uhly medzi jej osami symetrie.
Koľko asymptot môže mať graf funkcie?
Žiadna, jedna, dve, tri... alebo nekonečné číslo. Po príklady nepôjdeme ďaleko, budeme si pamätať elementárne funkcie. Parabola, kubická parabola, sínusoida nemajú vôbec žiadne asymptoty. exponenciálny graf, logaritmická funkcia má jedinečnú asymptotu. Arkustangens, arkotangens ich má dve a tangens kotangens ich má nekonečný počet. Nie je nezvyčajné, že graf má horizontálne aj vertikálne asymptoty. Hyperbola, vždy ťa bude milovať.
Čo znamená nájsť asymptoty grafu funkcie?
To znamená zistiť ich rovnice a nakresliť rovné čiary, ak si to podmienka problému vyžaduje. Proces zahŕňa nájdenie limitov funkcie.
Vertikálne asymptoty grafu funkcie
Vertikálna asymptota grafu je spravidla v bode nekonečnej diskontinuity funkcie. Je to jednoduché: ak v určitom bode funkcia utrpí nekonečný zlom, potom priamka daná rovnicou je vertikálna asymptota grafu.
Poznámka: Všimnite si, že notácia sa používa na úplné označenie dvoch rôzne koncepty. Bod je implikovaný alebo rovnica priamky - závisí od kontextu.
Na zistenie prítomnosti vertikálnej asymptoty v bode teda stačí ukázať, že aspoň jedna z jednostranných limitov je nekonečná. Najčastejšie je to bod, kde je menovateľ funkcie nula. V podstate sme už našli vertikálne asymptoty v nedávne príklady lekciu o spojitosti funkcie. Ale v mnohých prípadoch existuje iba jedna jednostranná hranica, a ak je nekonečná, potom znova - milujte a uprednostňujte vertikálnu asymptotu. Najjednoduchšia ilustrácia: a os y.
Vyplýva to aj z vyššie uvedeného zrejmý fakt: ak je funkcia nepretržite zapnutá, potom neexistujú žiadne vertikálne asymptoty. Z nejakého dôvodu mi napadla parabola. Naozaj, kde tu môžete „prilepiť“ rovnú čiaru? ... áno ... chápem ... stúpenci strýka Freuda sa chúlili v hysterii =)
Opačné vyhlásenie v všeobecný prípad nesprávne: napríklad funkcia nie je definovaná na celej číselnej osi, ale je úplne zbavená asymptot.
Šikmé asymptoty grafu funkcie
šikmé (ako špeciálny prípad- horizontálne) asymptoty možno nakresliť, ak má argument funkcie sklon k "plus nekonečno" alebo "mínus nekonečno". Preto graf funkcie nemôže mať viac ako 2 šikmé asymptoty. Napríklad graf exponenciálnej funkcie má jednu horizontálnu asymptotu v a graf arkustangensu v má dve takéto asymptoty a rôzne.
Ako prilepiť matematické vzorce na webovú stránku?
Ak niekedy potrebujete pridať jeden alebo dva matematické vzorce na webovú stránku, najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je popísaný v článku: matematické vzorce sa jednoducho vložia na stránku vo forme obrázkov, ktoré Wolfram Alpha automaticky generuje. Okrem jednoduchosti toto univerzálny spôsob pomôže zlepšiť viditeľnosť stránky v vyhľadávače. Funguje to už dlho (a myslím si, že bude fungovať navždy), ale je morálne zastarané.
Ak na svojej stránke neustále používate matematické vzorce, potom vám odporúčam použiť MathJax, špeciálnu knižnicu JavaScript, ktorá zobrazuje matematický zápis vo webových prehliadačoch používajúcich značky MathML, LaTeX alebo ASCIIMathML.
Existujú dva spôsoby, ako začať používať MathJax: (1) pomocou jednoduchého kódu môžete rýchlo pripojiť skript MathJax k svojej stránke, ktorá bude v správny moment automatické sťahovanie zo vzdialeného servera (zoznam serverov); (2) nahrajte skript MathJax zo vzdialeného servera na váš server a pripojte ho ku všetkým stránkam vášho webu. Druhý spôsob je zložitejší a časovo náročnejší a umožní vám zrýchliť načítavanie stránok vášho webu a ak sa materský server MathJax stane z nejakého dôvodu dočasne nedostupným, nijako to neovplyvní vašu vlastnú stránku. Napriek týmto výhodám som zvolil prvý spôsob, keďže je jednoduchší, rýchlejší a nevyžaduje technické zručnosti. Nasledujte môj príklad a do 5 minút budete môcť na svojej webovej stránke využívať všetky funkcie MathJax.
Skript knižnice MathJax môžete pripojiť zo vzdialeného servera pomocou dvoch možností kódu prevzatých z hlavnej webovej stránky MathJax alebo zo stránky dokumentácie:
Jednu z týchto možností kódu je potrebné skopírovať a vložiť do kódu vašej webovej stránky, najlepšie medzi značky
a alebo hneď za značkou . Podľa prvej možnosti sa MathJax načítava rýchlejšie a menej spomaľuje stránku. Ale druhá možnosť automaticky sleduje a načítava najnovšie verzie MathJax. Ak vložíte prvý kód, bude potrebné ho pravidelne aktualizovať. Ak prilepíte druhý kód, stránky sa budú načítavať pomalšie, ale nebudete musieť neustále sledovať aktualizácie MathJax.Najjednoduchší spôsob pripojenia MathJax je v službe Blogger alebo WordPress: na ovládacom paneli lokality pridajte miniaplikáciu určenú na vkladanie kódu JavaScript tretej strany, skopírujte do nej prvú alebo druhú verziu načítacieho kódu a umiestnite miniaplikáciu bližšie k začiatok šablóny (mimochodom, nie je to vôbec potrebné, pretože skript MathJax sa načítava asynchrónne). To je všetko. Teraz sa naučte syntax značiek MathML, LaTeX a ASCIIMathML a ste pripravení vložiť matematické vzorce do svojich webových stránok.
Akýkoľvek fraktál je postavený na isté pravidlo, ktorý sa postupne aplikuje neobmedzený počet krát. Každý takýto čas sa nazýva iterácia.
Iteračný algoritmus na zostavenie Mengerovej špongie je pomerne jednoduchý: pôvodná kocka so stranou 1 je rozdelená rovinami rovnobežnými s jej plochami na 27. rovnaké kocky. Odstráni sa z nej jedna centrálna kocka a 6 kociek, ktoré k nej priliehajú pozdĺž plôch. Vznikne sada pozostávajúca z 20 zostávajúcich menších kociek. Ak urobíme to isté s každou z týchto kociek, dostaneme súpravu pozostávajúcu zo 400 menších kociek. Pokračujúc v tomto procese donekonečna, dostaneme Mengerovu špongiu.
V mnohých prípadoch je vykreslenie funkcie jednoduchšie, ak najskôr vykreslíte asymptoty krivky.
Definícia 1. Asymptoty sa nazývajú také čiary, ku ktorým sa graf funkcie približuje tak blízko, ako si želáte, keď premenná smeruje k plus nekonečnu alebo mínus nekonečnu.
Definícia 2. Priamka sa nazýva asymptota grafu funkcie, ak je vzdialenosť od variabilný bod M graf funkcie až po túto čiaru má tendenciu k nule, keď sa bod nekonečne vzďaľuje M od začiatku súradníc pozdĺž ktorejkoľvek vetvy grafu funkcie.
Existujú tri typy asymptot: vertikálne, horizontálne a šikmé.
Vertikálne asymptoty
Definícia. Rovno X = a je vertikálna asymptota grafu funkcie ak bod X = a je bod zlomu druhého druhu pre túto funkciu.
Z definície vyplýva, že riadok X = a je vertikálna asymptota grafu funkcie f(X) ak je splnená aspoň jedna z týchto podmienok:
Zároveň funkcia f(X) nemusia byť vôbec definované, resp X ≥ a a X ≤ a .
komentár:
Príklad 1 Graf funkcií r=ln X má vertikálnu asymptotu X= 0 (t.j. zhoduje sa s osou Oj) na hranici definičného oboru, pretože limita funkcie, keďže x má tendenciu k nule vpravo, sa rovná mínus nekonečnu:
(obr. vyššie).
na vlastnú päsť a potom uvidíte riešenia
Príklad 2 Nájdite asymptoty grafu funkcie.
Príklad 3 Nájdite asymptoty grafu funkcie
Horizontálne asymptoty
If (limita funkcie, keď argument smeruje k plus alebo mínus nekonečnu, sa rovná nejakej hodnote b), potom r = b – horizontálna asymptota nepoctivý r = f(X ) (vpravo, keď x smeruje k plus nekonečnu, vľavo, keď x smeruje k mínus nekonečnu, a obojstranne, ak sú limity, keď x smeruje k plus alebo mínus nekonečnu, rovnaké).
Príklad 5 Graf funkcií
pri a> 1 má ľavú horizontálnu asymptotu r= 0 (t.j. zhoduje sa s osou Vôl), pretože limit funkcie, keď "x" má tendenciu k mínus nekonečnu, je rovný nule:
Krivka nemá pravú horizontálnu asymptotu, pretože limit funkcie, keďže x má tendenciu k plus nekonečnu, sa rovná nekonečnu:
Šikmé asymptoty
Vertikálne a horizontálne asymptoty, o ktorých sme uvažovali vyššie, sú rovnobežné so súradnicovými osami, takže na ich zostrojenie nám stačilo určitý počet- bod na osi x alebo y, ktorým prechádza asymptota. Viac je potrebné pre šikmú asymptotu - sklon k, ktorý ukazuje uhol sklonu priamky a priesečník b, ktorý ukazuje, koľko je riadok nad alebo pod počiatkom. Tí, ktorí nemali čas zabudnúť na analytickú geometriu az nej - rovnice priamky, si všimnú, že pre šikmú asymptotu nájdu sklonová rovnica. Existenciu šikmej asymptoty určuje nasledujúca veta, na základe ktorej sa nachádzajú práve vymenované koeficienty.
Veta. Aby ste urobili krivku r = f(X) mal asymptotu r = kx + b , je nevyhnutné a postačujúce, aby existovali konečné limity k a b uvažovanej funkcie, ako má premenná tendenciu X do plus nekonečna a mínus nekonečna:
(1)
(2)
Takto zistené čísla k a b a sú koeficienty šikmej asymptoty.
V prvom prípade (keď x smeruje k plus nekonečnu) sa získa pravá šikmá asymptota, v druhom prípade (keď x smeruje k mínus nekonečnu) zostane. Pravá šikmá asymptota je znázornená na obr. zdola.
Pri hľadaní rovnice šikmej asymptoty je potrebné vziať do úvahy tendenciu x k plus nekonečnu aj mínus nekonečnu. Pre niektoré funkcie, napríklad pre zlomkové racionality, sa tieto limity zhodujú, ale pre mnohé funkcie sú tieto limity odlišné a môže existovať iba jedna z nich.
Keď sa limity zhodujú s x smerujúcim k plus nekonečnu a mínus nekonečnu, priamka r = kx + b je obojstranná asymptota krivky.
Ak je aspoň jedna z limít definujúcich asymptotu r = kx + b , neexistuje, potom graf funkcie nemá šikmú asymptotu (ale môže mať zvislú).
Je ľahké vidieť, že horizontálna asymptota r = b je špeciálny prípad šikmého r = kx + b pri k = 0 .
Preto, ak má krivka horizontálnu asymptotu v akomkoľvek smere, potom v tomto smere neexistuje žiadna šikmá asymptota a naopak.
Príklad 6 Nájdite asymptoty grafu funkcie
Riešenie. Funkcia je definovaná na celej číselnej osi okrem X= 0, t.j.
Preto v bode zlomu X= 0 krivka môže mať vertikálnu asymptotu. V skutočnosti, limit funkcie, pretože x má tendenciu zľava nula, je plus nekonečno:
v dôsledku toho X= 0 je vertikálna asymptota grafu tejto funkcie.
Graf tejto funkcie nemá horizontálnu asymptotu, pretože limit funkcie, keď x smeruje k plus nekonečnu, sa rovná plus nekonečnu:
Zistime prítomnosť šikmej asymptoty:
Má konečné limity k= 2 a b= 0. Rovno r = 2X je obojstranná šikmá asymptota grafu tejto funkcie (obr. vo vnútri príkladu).
Príklad 7 Nájdite asymptoty grafu funkcie
Riešenie. Funkcia má jeden bod zlomu X= -1. Vypočítajme jednostranné limity a určme typ diskontinuity:
Záver: X= −1 je bod nespojitosti druhého druhu, teda priamka X= −1 je vertikálna asymptota grafu tejto funkcie.
Hľadajú sa šikmé asymptoty. Pretože danú funkciu- zlomkovo-racionálne, limity na a ľubovoľne sa zhodujú. Nájdeme teda koeficienty na dosadenie priamky - šikmej asymptoty do rovnice:
Dosadenie nájdených koeficientov do rovnice priamky s faktor sklonu, dostaneme rovnicu šikmej asymptoty:
r = −3X + 5 .
Na obrázku je graf funkcie označený bordovou farbou a asymptoty sú čiernou farbou.
Príklad 8 Nájdite asymptoty grafu funkcie
Riešenie. Keďže táto funkcia je spojitá, jej graf nemá žiadne vertikálne asymptoty. Hľadáme šikmé asymptoty:
.
Graf tejto funkcie má teda asymptotu r= 0 at a nemá asymptotu v .
Príklad 9 Nájdite asymptoty grafu funkcie
Riešenie. Najprv hľadáme vertikálne asymptoty. Aby sme to dosiahli, nájdeme doménu funkcie. Funkcia je definovaná, keď nerovnosť platí a . variabilné znamenie X zodpovedá znameniu. Zvážte preto ekvivalentnú nerovnosť . Z toho dostaneme rozsah funkcie: 
. Vertikálna asymptota môže byť len na hranici definičného oboru funkcie. ale X= 0 nemôže byť vertikálna asymptota, pretože funkcia je definovaná pre X = 0
.
Zvážte pravý limit na (ľavý limit neexistuje):
.
Bodka X= 2 je bod nespojitosti druhého druhu, teda čiara X= 2 - vertikálna asymptota grafu tejto funkcie.
Hľadáme šikmé asymptoty:
takže, r = X+ 1 - šikmá asymptota grafu tejto funkcie pri . Hľadáme šikmú asymptotu pre:
takže, r = −X − 1 - šikmá asymptota pri .
Príklad 10 Nájdite asymptoty grafu funkcie
Riešenie. Funkcia má rozsah 
. Keďže vertikálna asymptota grafu tejto funkcie môže byť len na hranici definičného oboru, jednostranné limity funkcie nájdeme v .
