Každý periodicky sa opakujúci pohyb sa nazýva oscilačný. Preto sú závislosti súradníc a rýchlosti telesa na čase pri kmitoch popísané periodickými funkciami času. IN školský kurz fyzici považujú také vibrácie, v ktorých sú závislosti a rýchlosti telesa trigonometrické funkcie , alebo ich kombinácia, kde je určité číslo. Takéto oscilácie sa nazývajú harmonické (funkcie A často nazývané harmonické funkcie). Ak chcete vyriešiť problémy s vibráciami zahrnuté v programe jedného štátna skúška vo fyzike potrebujete poznať definície hlavných charakteristík oscilačný pohyb: amplitúda, perióda, frekvencia, kruhová (alebo cyklická) frekvencia a fáza kmitov. Uveďme tieto definície a spojme uvedené veličiny s parametrami závislosti súradníc telesa na čase, ktoré je možné v prípade harmonických kmitov vždy znázorniť v tvare

kde , a sú nejaké čísla.

Amplitúda kmitov je maximálna odchýlka kmitajúceho telesa od jeho rovnovážnej polohy. Pretože maximálne a minimálne hodnoty kosínusu v (11.1) sú rovné ±1, amplitúda kmitov oscilujúceho telesa (11.1) je rovná . Perióda kmitania je minimálna doba, po ktorej sa pohyb telesa opakuje. Pre závislosť (11.1) je možné obdobie nastaviť z nasledujúcich úvah. Kosínus je periodická funkcia s bodkou. Preto sa pohyb úplne opakuje cez takú hodnotu, že . Odtiaľto sa dostaneme

Kruhová (alebo cyklická) frekvencia kmitov je počet kmitov vykonaných za jednotku času. Zo vzorca (11.3) usúdime, že kruhová frekvencia je veličina zo vzorca (11.1).

Fáza kmitania je argumentom goniometrickej funkcie, ktorá popisuje závislosť súradnice od času. Zo vzorca (11.1) vidíme, že fáza kmitov telesa, ktorého pohyb je opísaný závislosťou (11.1), sa rovná . Hodnota fázy kmitania v čase = 0 sa nazýva počiatočná fáza. Pre závislosť (11.1) počiatočná fáza oscilácie sa rovná . Je zrejmé, že počiatočná fáza oscilácií závisí od výberu referenčného bodu času (moment = 0), ktorý je vždy podmienený. Zmenou pôvodu času možno vždy „vytvoriť“ počiatočnú fázu oscilácií rovná nule a sínus vo vzorci (11.1) sa „transformuje“ na kosínus alebo naopak.

Súčasťou programu jednotnej štátnej skúšky sú aj znalosti vzorcov pre frekvenciu kmitov pružiny a matematických kyvadiel. Pružinové kyvadlo je teleso, ktoré môže kmitať na hladkom povrchu. vodorovný povrch pôsobením pružiny, ktorej druhý koniec je pevný (obrázok vľavo). Nazýva sa matematické kyvadlo masívne telo, ktorého rozmery možno zanedbať, kmitanie na dlhom, beztiažovom a neroztiahnuteľnom závite (pravý obrázok). Názov tohto systému je „ matematické kyvadlo“ je spôsobené tým, že predstavuje abstrakt matematický model skutočného ( fyzické) kyvadlo. Je potrebné si zapamätať vzorce pre periódu (alebo frekvenciu) kmitov pružiny a matematických kyvadiel. Pre pružinové kyvadlo

kde je dĺžka vlákna, je zrýchlenie voľný pád. Uvažujme o aplikácii týchto definícií a zákonov na príklade riešenia problémov.

Nájsť cyklickú frekvenciu vibrácií záťaže v úloha 11.1.1 Najprv nájdime periódu oscilácie a potom použijeme vzorec (11.2). Keďže 10 m 28 s je 628 s a za túto dobu sa záťaž rozkmitá 100-krát, perióda oscilácie záťaže je 6,28 s. Preto je cyklická frekvencia kmitov 1 s -1 (odpoveď 2 ). IN problém 11.1.2 záťaž urobila 60 kmitov za 600 s, takže frekvencia kmitov je 0,1 s -1 (odpoveď 1 ).

Aby ste pochopili, ktoré cesta prejde náklad na 2,5 periódy ( problém 11.1.3), sledujme jeho pohyb. Po určitom čase sa náklad vráti späť na miesto maximálna odchýlka, čo úplný švih. Preto počas tejto doby zaťaženie prejde vzdialenosť rovná štyrom amplitúdam: do rovnovážnej polohy - jedna amplitúda, z rovnovážnej polohy do bodu maximálnej odchýlky v druhom smere - druhá, späť do rovnovážnej polohy - tretia, z rovnovážnej polohy do východiskového bodu - štvrtý. Počas druhej periódy bude záťaž opäť prechádzať štyrmi amplitúdami a počas zostávajúcej polovice periódy - dvoma amplitúdami. Preto sa prejdená vzdialenosť rovná desiatim amplitúdam (odpoveď 4 ).

Množstvo pohybu tela je vzdialenosť od štartovací bod do záverečnej. Viac ako 2,5 periódy v úloha 11.1.4 telo stihne absolvovať dva plné a polovičné plné kmity, t.j. bude na maximálnej výchylke, ale na druhej strane rovnovážnej polohy. Preto sa veľkosť posunu rovná dvom amplitúdam (odpoveď 3 ).

Podľa definície je fáza kmitania argumentom goniometrickej funkcie, ktorá popisuje závislosť súradníc kmitajúceho telesa od času. Preto je správna odpoveď problém 11.1.5 - 3 .

Perióda je čas úplnej oscilácie. To znamená, že návrat telesa späť do rovnakého bodu, z ktorého sa teleso začalo pohybovať, neznamená, že uplynula perióda: telo sa musí vrátiť do rovnakého bodu rovnakou rýchlosťou. Napríklad teleso, ktoré začalo oscilovať z rovnovážnej polohy, bude mať čas vychýliť sa o maximálnu hodnotu v jednom smere, vrátiť sa späť, maximálne sa odchýliť v druhom smere a opäť sa vrátiť späť. Preto sa telo počas periódy stihne dvakrát odchýliť o maximálnu hodnotu z rovnovážnej polohy a vrátiť sa späť. V dôsledku toho prechod z rovnovážnej polohy do bodu maximálnej odchýlky ( problém 11.1.6) telo strávi štvrtinu periódy (odpoveď 3 ).

Harmonické kmity sú také, pri ktorých je závislosť súradníc kmitajúceho telesa od času opísaná goniometrickou (sínusovou alebo kosínusovou) funkciou času. IN úloha 11.1.7 toto sú funkcie a napriek tomu, že parametre v nich obsiahnuté sú označené ako 2 a 2. Funkcia je goniometrická funkcia štvorca času. Preto sú harmonické iba vibrácie veličín a (odpoveď 4 ).

Pri harmonických vibráciách sa rýchlosť telesa mení podľa zákona , kde je amplitúda rýchlostných kmitov (časový referenčný bod je zvolený tak, aby počiatočná fáza kmitov bola rovná nule). Odtiaľ nájdeme závislosť Kinetická energia tela z času na čas
(problém 11.1.8). Pomocou ďalej známeho trigonometrický vzorec, dostaneme

Z tohto vzorca vyplýva, že kinetická energia telesa sa pri harmonických vibráciách mení aj podľa harmonický zákon, ale s dvojnásobnou frekvenciou (odpoveď 2 ).

Za vzťahom medzi kinetickou energiou záťaže a potenciálnou energiou pružiny ( problém 11.1.9) je ľahké zistiť z nasledujúcich úvah. Pri maximálnom vychýlení telesa z rovnovážnej polohy je rýchlosť telesa nulová, a preto je potenciálna energia pružiny väčšia ako kinetická energia záťaže. Naopak, pri prechode telesa cez rovnovážnu polohu je potenciálna energia pružiny nulová, a teda kinetická energia je väčšia ako potenciálna energia. Preto sa medzi prechodom rovnovážnej polohy a maximálnou výchylkou raz porovná kinetická a potenciálna energia. A keďže počas periódy prejde teleso štyrikrát z rovnovážnej polohy do maximálnej výchylky alebo späť, potom sa počas periódy kinetická energia záťaže a potenciálna energia pružiny štyrikrát navzájom porovnávajú (odpoveď 2 ).

Amplitúda kolísania rýchlosti ( úloha 11.1.10) je najjednoduchšie nájsť pomocou zákona zachovania energie. V bode maximálnej odchýlky energia oscilačný systém rovná potenciálna energia pružiny , kde je koeficient tuhosti pružiny, je amplitúda vibrácií. Pri prechode rovnovážnou polohou sa energia telesa rovná kinetickej energii , kde je hmotnosť telesa, je rýchlosť telesa pri prechode cez rovnovážnu polohu, ktorá je maximálna rýchlosť teleso v procese kmitania, a preto predstavuje amplitúdu rýchlostných kmitov. Zistíme, že keď tieto energie srovnáme, zistíme

(odpoveď 4 ).

Zo vzorca (11.5) vyvodíme záver ( problém 11.2.2), že jeho perióda nezávisí od hmotnosti matematického kyvadla a so 4-násobným zväčšením dĺžky sa perióda kmitov zvyšuje 2-krát (odpoveď 1 ).

Hodiny sú oscilačný proces, ktorý sa používa na meranie časových intervalov ( problém 11.2.3). Slová „hodiny sa ponáhľajú“ znamenajú, že doba tohto procesu je kratšia, ako by mala byť. Preto, aby sa objasnil postup týchto hodín, je potrebné predĺžiť periódu procesu. Podľa vzorca (11.5) na zvýšenie periódy kmitania matematického kyvadla je potrebné zväčšiť jeho dĺžku (odpoveď 3 ).

Ak chcete nájsť amplitúdu kmitov v problém 11.2.4, je potrebné znázorniť závislosť súradníc telesa od času vo forme jedinej goniometrickej funkcie. Pre funkciu uvedenú v podmienke to možno urobiť pomocou úvodu prídavný uhol. Násobenie a delenie tejto funkcie a použitím adičného vzorca goniometrické funkcie, dostaneme

kde je uhol taký, že . Z tohto vzorca vyplýva, že amplitúda kmitov tela je (odpoveď 4 ).

Oscilačné charakteristiky

Fáza určuje stav systému, a to súradnice, rýchlosť, zrýchlenie, energia atď.

Cyklická frekvencia charakterizuje rýchlosť zmeny fázy kmitov.

Počiatočný stav oscilačného systému je charakterizovaný počiatočná fáza

Amplitúda oscilácie A- ide o najväčšie posunutie z rovnovážnej polohy

Obdobie T- toto je časový úsek, počas ktorého bod vykoná jeden úplný kmit.

Oscilačná frekvencia je počet úplných kmitov za jednotku času t.

Frekvencia, cyklická frekvencia a perióda oscilácie spolu súvisia ako

Druhy vibrácií

Oscilácie, ktoré sa vyskytujú v uzavretých systémoch, sa nazývajú zadarmo alebo vlastné výkyvy. Vibrácie, ktoré sa vyskytujú pod vplyvom vonkajšie sily, volal nútený. Existujú tiež samooscilácie(vynútené automaticky).

Ak uvažujeme oscilácie podľa meniacich sa charakteristík (amplitúda, frekvencia, perióda atď.), potom ich možno rozdeliť na harmonický, blednutiu, rastie(rovnako ako pílové, obdĺžnikové, zložité).

S voľnými vibráciami v reálne systémy K strate energie dochádza vždy. Mechanická energia sa vynakladá napríklad na vykonávanie prác na prekonanie síl odporu vzduchu. Pod vplyvom trenia sa amplitúda kmitov znižuje a po určitom čase sa kmity zastaví. Očividne čo viac energie odpor voči pohybu, tým rýchlejšie sa vibrácie zastavia.

Nútené vibrácie. Rezonancia

Nútené kmity sú netlmené. Preto je potrebné doplniť energetické straty za každú periódu kmitania. K tomu je potrebné ovplyvňovať kmitajúce teleso periodicky sa meniacou silou. Vynútené oscilácie sa vyskytujú pri frekvencii rovnakú frekvenciu zmeny vonkajšej sily.

Nútené vibrácie

Vynútená amplitúda mechanické vibrácie dosiahne najvyššia hodnota v prípade, že sa frekvencia hnacej sily zhoduje s frekvenciou oscilačného systému. Tento jav sa nazýva rezonancia.

Napríklad, ak pravidelne ťaháme šnúru v čase s jej vlastnými vibráciami, všimneme si zvýšenie amplitúdy jej vibrácií.

Ak pohnete mokrým prstom po okraji pohára, sklo bude vydávať zvonivé zvuky. Aj keď to nie je viditeľné, prst sa pohybuje prerušovane a prenáša energiu do skla v krátkych dávkach, čo spôsobuje, že sklo vibruje

Steny skla sa tiež začnú chvieť, ak naň namierite. zvuková vlna s frekvenciou rovnou jeho vlastnej. Ak je amplitúda veľmi veľká, sklo sa môže dokonca rozbiť. Vplyvom rezonancie, keď spieval F.I. Chaliapin, sa krištáľové prívesky lustrov triasli (rezonovali). Výskyt rezonancie možno pozorovať aj v kúpeľni. Ak jemne spievate zvuky rôznych frekvencií, na jednej z frekvencií vznikne rezonancia.

IN hudobné nástrojeúlohu rezonátorov plnia časti ich puzdier. Človek má tiež svoj vlastný rezonátor - to je ústna dutina, ktorá zosilňuje produkované zvuky.

Fenomén rezonancie treba brať do úvahy v praxi. V niektorých prípadoch môže byť užitočný, v iných škodlivý. Rezonančné javy môže spôsobiť nezvratné poškodenie rôznych mechanických systémov, ako sú napríklad nesprávne navrhnuté mosty. Tak sa v roku 1905 zrútil Egyptský most v Petrohrade, keď cezň prechádzala konská eskadra, a v roku 1940 sa zrútil most Tacoma v USA.

Fenomén rezonancie sa používa, keď je potrebné pomocou malej sily dosiahnuť veľké zvýšenie amplitúdy vibrácií. Napríklad ťažký jazyk veľký zvon možno hojdať relatívne malou silou s frekvenciou rovnajúcou sa vlastnej frekvencii zvona.

HARMONICKÉ VIBRÁCIE

Testovanie online

Harmonická oscilácia

Rovnica harmonického kmitania

Rovnica harmonického kmitania stanovuje závislosť súradníc tela od času

Kosínusový graf v počiatočnom okamihu má maximálnu hodnotu a sínusový graf má v počiatočnom okamihu nulovú hodnotu. Ak začneme študovať kmitanie z rovnovážnej polohy, kmitanie bude opakovať sínusoidu. Ak začneme uvažovať osciláciu z polohy maximálnej výchylky, potom bude oscilácia opísaná kosínusom. Alebo môže byť takáto oscilácia opísaná sínusovým vzorcom s počiatočnou fázou.

Zmena rýchlosti a zrýchlenia počas harmonického kmitania

Nielen súradnice telesa sa v priebehu času menia podľa zákona sínusu alebo kosínusu. Ale podobne sa menia aj veličiny ako sila, rýchlosť a zrýchlenie. Sila a zrýchlenie sú maximálne, keď je oscilujúce teleso vnútri krajné polohy, kde je posunutie maximálne, a sú rovné nule, keď teleso prechádza cez rovnovážnu polohu. Rýchlosť je naopak v krajných polohách nulová a pri prechode telesa rovnovážnou polohou dosiahne svoju maximálnu hodnotu.

Ak je oscilácia popísaná kosínusovým zákonom

Ak je oscilácia popísaná podľa sínusového zákona

Maximálna rýchlosť a hodnoty zrýchlenia

Po analýze rovníc závislosti v(t) a a(t) to môžeme uhádnuť maximálne hodnoty rýchlosť a zrýchlenie sa berú, keď je trigonometrický faktor 1 alebo -1. Určené vzorcom

Vzorce pre závislosť rýchlosti od času a zrýchlenia od času je možné získať matematicky, pričom poznáme závislosť súradnice od času. Podobne ako pri rovnomerne zrýchlenom pohybe je závislosť v(t) prvou deriváciou x(t). A závislosť a(t) je druhá derivácia x(t).

Tlmenie kmitov je postupné znižovanie amplitúdy kmitov v čase, v dôsledku straty energie kmitavým systémom.

Prirodzené kmity bez tlmenia sú idealizáciou. Dôvody útlmu môžu byť rôzne. V mechanickom systéme sú vibrácie tlmené prítomnosťou trenia. IN elektromagnetický obvod Tepelné straty vo vodičoch tvoriacich systém vedú k zníženiu vibračnej energie. Keď sa vyčerpá všetka energia uložená v oscilačnom systéme, oscilácie sa zastavia. Preto amplitúda tlmené oscilácie klesá, kým sa nerovná nule.

Tlmené kmitanie, podobne ako prirodzené kmitanie, v systémoch, ktoré sú svojou povahou odlišné, možno posudzovať z jediného hľadiska – spoločných charakteristík. Avšak také charakteristiky ako amplitúda a perióda vyžadujú predefinovanie a iné vyžadujú doplnenie a objasnenie v porovnaní s rovnakými charakteristikami pre prirodzené netlmené oscilácie. Všeobecné znaky a koncepty tlmených kmitov sú nasledovné:

Diferenciálna rovnica sa musí získať s prihliadnutím na pokles počas procesu oscilácie vibračnej energie.

Oscilačná rovnica je riešením diferenciálnej rovnice.

Amplitúda tlmených kmitov závisí od času.

Frekvencia a perióda závisia od stupňa útlmu kmitov.

Fáza a počiatočná fáza majú rovnaký význam ako pre spojité kmity.

3.1. Mechanicky tlmené kmity

Mechanický systém: pružinové kyvadlo zohľadňujúce trecie sily.

Sily pôsobiace na kyvadlo:

Elastická sila. , kde k je koeficient tuhosti pružiny, x je posunutie kyvadla z rovnovážnej polohy.

Odporová sila. Zvážte silu odporu, úmerné rýchlosti v pohyb (táto závislosť je typická pre veľkú triedu odporových síl): . Znamienko mínus ukazuje, že smer odporovej sily je opačný ako smer rýchlosti telesa. Koeficient odporu r číselne rovná sile odpor vznikajúci pri jednotkovej rýchlosti pohybu tela:

Zákon pohybu pružinové kyvadlo - to je druhý Newtonov zákon:

m a = F napr. + F odpor

Vzhľadom na to, že oboje , píšeme druhý Newtonov zákon v tvare:

.

Vydelením všetkých členov rovnice m, ich presunom do pravá strana, dostaneme Diferenciálnej rovnice tlmené oscilácie:

Označme , kde β – koeficient tlmenia, , kde ω 0 je frekvencia netlmených voľných kmitov pri absencii strát energie v oscilačnom systéme.

V novom zápise má diferenciálna rovnica tlmených kmitov tvar:

.

Toto je lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu.

Rovnica tlmenej oscilácie existuje riešenie nasledujúcej diferenciálnej rovnice:

Príloha 1 ukazuje, ako získať riešenie diferenciálnej rovnice tlmených kmitov pomocou metódy zmeny premenných.

Tlmená frekvencia:

(fyzický význam má teda iba skutočný koreň ).

Obdobie tlmených kmitov:

.

Význam, ktorý bol vložený do pojmu perióda pre netlmené kmity, nie je vhodný pre tlmené kmitanie, pretože oscilačný systém sa nikdy nevráti do pôvodného stavu kvôli stratám oscilačnej energie. V prítomnosti trenia sú vibrácie pomalšie: .

Obdobie tlmených kmitov je minimálny časový úsek, počas ktorého systém prejde rovnovážnou polohou dvakrát v jednom smere.

Pre mechanický systém pružinové kyvadlo máme:

, .

Amplitúda tlmených kmitov:

Pre pružinové kyvadlo.

Amplitúda tlmených kmitov nie je konštantná, ale mení sa v čase, čím rýchlejšie je vyšší koeficientβ. Preto sa definícia amplitúdy, uvedená skôr pre netlmené voľné oscilácie, musí zmeniť pre tlmené oscilácie.

Pre malé útlmy amplitúda tlmených kmitov sa nazýva najväčšia odchýlka od rovnovážnej polohy za určité obdobie.

Grafy Grafy posunu versus čas a amplitúdy versus čas sú uvedené na obrázkoch 3.1 a 3.2.

Obrázok 3.1 – Závislosť posunu od času pre tlmené kmity

Obrázok 3.2 – Závislosť amplitúdy od času pre tlmené oscilácie

3.2. Elektromagneticky tlmené oscilácie

Elektromagnetické tlmené kmity vznikajú napr elektromagnetický oscilačný systém, nazývaný LCR - obvod (obrázok 3.3).

Obrázok 3.3.

Diferenciálnej rovnice získame pomocou druhého Kirchhoffovho zákona pre uzavretý obvod LCR: súčet úbytkov napätia na aktívnom odpore (R) a kondenzátore (C) sa rovná indukované emf, vyvinutý v obvodovom obvode:

Pokles napätia:

Na aktívnom odpore: , kde I je sila prúdu v obvode;

Na kondenzátore (C): , kde q je množstvo náboja na jednej z dosiek kondenzátora.

EMF vyvinuté v obvode je indukované EMF, ktoré sa vyskytuje v induktore, keď sa mení prúd v ňom, a preto magnetický tok cez jeho prierez: (Faradayov zákon).

Dosadíme hodnoty U R, U C do rovnice odrážajúcej Kirchhoffov zákon, dostaneme:

.

Prúdová sila je určená ako derivácia náboja, potom a diferenciálna rovnica bude mať tvar:

.

Označme a v tomto zápise získame diferenciálnu rovnicu tlmených kmitov v tvare:

Riešenie diferenciálnej rovnice resp oscilačná rovnica pre náboj na doskách kondenzátora vyzerá takto:

Amplitúda tlmených oscilácií náboja má tvar:

Tlmená frekvencia v obvode LCR:

.

Obdobie blednutiu elektromagnetické vibrácie:

.

Zoberme si rovnicu pre náboj v tvare , Potom napäťová rovnica na doskách kondenzátora môže byť napísané takto:
.

Množstvo je tzv amplitúda napätia na kondenzátore.

Aktuálne v obvode sa časom mení. Rovnica pre prúd v obryse možno získať pomocou pomerového a vektorového diagramu.

Konečná rovnica pre prúd je:

Kde - počiatočná fáza.

Nerovná sa α, keďže sila prúdu sa nemení podľa sínusu, ktorý by bol deriváciou náboja, ale podľa kosínusu.

energie oscilácie v obvode pozostávajú z energie elektrického poľa

a energiu magnetického poľa

Celková energia kedykoľvek:

Kde W 0 – celková energia obvod v čase t=0 .

3.3. Charakteristika tlmených kmitov

1.Koeficient útlmu β.

Amplitúda tlmených kmitov sa mení podľa exponenciálneho zákona:

Nech sa amplitúda kmitania zníži o „e“ krát za čas τ („e“ je základ prirodzeného logaritmu, e ≈ 2,718). Potom na jednej strane a na druhej strane po opísaní amplitúd A zat. (t) a A zat. (t+τ), máme . Z týchto vzťahov vyplýva βτ = 1, teda

Časový úsek τ, počas ktorého sa amplitúda zníži o „e“ krát, sa nazýva relaxačný čas.

Koeficient útlmuβ je hodnota nepriamo úmerná dobe relaxácie.

2. Logaritmický pokles tlmenia δ - fyzikálne množstvo, číselne rovné prirodzenému logaritmu pomeru dvoch po sebe nasledujúcich amplitúd oddelených v čase periódou.

§6 Tlmené kmity

Zníženie útlmu. Logaritmické zníženie tlmenia.

Voľné vibrácie technické systémy V reálnych podmienkach vyskytujú, keď na ne pôsobia odporové sily. Pôsobenie týchto síl vedie k zníženiu amplitúdy oscilačnej hodnoty.

Oscilácie, ktorých amplitúda sa časom zmenšuje v dôsledku energetických strát skutočného oscilačného systému, sa nazývajú blednutiu.

Najčastejšie sú prípady, keď je odporová sila úmerná rýchlosti pohybu

Kde r- koeficient odporu média. To ukazuje znamienko mínusF Cnasmerovaný v smere opačnom k ​​rýchlosti.

Napíšme rovnicu kmitov v bode kmitajúcom v prostredí, ktorého koeficient odporu jer. Podľa druhého Newtonovho zákona

kde β je koeficient útlmu. Tento koeficient charakterizuje rýchlosť útlmu kmitov V prítomnosti odporových síl bude energia kmitajúceho systému postupne klesať a kmity zaniknú.

- diferenciálna rovnica tlmených kmitov.

U vyrovnanie tlmených kmitov.

ω - frekvencia tlmených kmitov:

Obdobie tlmených kmitov:

Tlmené oscilácie, ak sa prísne vezmú do úvahy, nie sú periodické. Preto môžeme hovoriť o perióde tlmených kmitov, keď je β malé.

Ak je útlm slabo vyjadrený (β→0), potom. Tlmené kmity môžu byť

považovať za harmonické vibrácie, ktorého amplitúda sa mení exponenciálne

V rovnici (1) A 0 a φ 0 sú ľubovoľné konštanty závislé na voľbe časového okamihu, od ktorého uvažujeme oscilácie

Uvažujme osciláciu po určitú dobu τ, počas ktorej sa amplitúda zníži o e raz

τ - čas relaxácie.

Koeficient tlmenia β je nepriamo úmerný času, počas ktorého sa amplitúda znižuje e raz. Koeficient tlmenia však nestačí na charakterizáciu tlmenia kmitov. Preto je potrebné zaviesť charakteristiku pre tlmenie kmitov, ktorá zahŕňa čas jedného kmitu. Táto vlastnosť je dekrementovať(v ruštine: zníženie) útlmu D, ktorý rovný pomeru amplitúdy oddelené v čase periódou:

Logaritmické zníženie tlmenia rovná logaritmu D:

Logaritmický pokles tlmenia je nepriamo úmerný počtu kmitov, v dôsledku čoho sa amplitúda kmitov znížila o e raz. Logaritmický pokles tlmenia je konštantná hodnota pre daný systém.

Ďalšou charakteristikou oscilačného systému je faktor kvalityQ.

Faktor kvality je úmerný počtu kmitov vykonaných systémom počas relaxačného času τ.

Qoscilačný systém je mierou relatívneho rozptylu (disipácie) energie.

Qoscilačný systém je číslo, ktoré ukazuje, koľkokrát je elastická sila väčšia ako odporová sila.

§7 Nútené vibrácie.

Rezonancia

V mnohých prípadoch je potrebné vytvoriť systémy, ktoré fungujú netlmené oscilácie. Je možné dosiahnuť netlmené oscilácie v systéme, ak kompenzujete straty energie tým, že na systém pôsobíte periodicky sa meniacou silou.

Nechaj

Zapíšme si výraz pre pohybovú rovnicu hmotný bod, vykonávajúci harmonický kmitavý pohyb pod pôsobením hnacej sily.

Podľa druhého Newtonovho zákona:

(1)

Diferenciálna rovnica vynútených kmitov.

Táto diferenciálna rovnica je lineárna nehomogénna.

Jeho riešenie sa rovná súčtu všeobecné riešenie homogénna rovnica a súkromné ​​riešenie nehomogénna rovnica:

Nájdime konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice. Aby sme to dosiahli, prepíšeme rovnicu (1) do nasledujúceho tvaru:

(2)

Budeme hľadať konkrétne riešenie tejto rovnice v tvare:

Potom

Nahradíme v (2):

pretože funguje pre akékoľvekt, potom musí byť splnená rovnosť γ = ω, teda,

Je vhodné reprezentovať toto komplexné číslo vo forme

Kde A je určený vzorcom (3 nižšie) a φ - vzorcom (4), teda riešením (2), v komplexná forma vyzerá ako

Jeho skutočná časť, ktorá bola riešením rovnice (1), sa rovná:

Kde

(3)

(4)

Termín X o.o. hrá významnú úlohu iba v počiatočnom štádiu, keď sa oscilácie vytvárajú až do amplitúdy vynútené oscilácie nedosiahne hodnotu určenú rovnosťou (3). V ustálenom stave dochádza k vynúteným osciláciám s frekvenciou ω a sú harmonické. Amplitúda (3) a fáza (4) vynútených kmitov závisí od frekvencie hnacej sily. Pri určitej frekvencii hnacej sily môže amplitúda dosiahnuť veľmi veľké hodnoty. Prudký nárast amplitúdy vynútených kmitov, keď sa frekvencia hnacej sily blíži k vlastnej frekvencii mechanického systému sa nazýva rezonancia.

Frekvencia ω hnacej sily, pri ktorej je pozorovaná rezonancia, sa nazýva rezonančná. Aby sme našli hodnotu ω res, je potrebné nájsť podmienku pre maximálnu amplitúdu. Aby ste to dosiahli, musíte určiť podmienku pre minimum menovateľa v (3) (t. j. preskúmať (3) extrém).

Závislosť amplitúdy kmitajúcej veličiny od frekvencie hnacej sily sa nazýva rezonančná krivka. Čím nižší je koeficient tlmenia β, tým vyššia je rezonančná krivka a pri klesaní β sa maximum rezonančných kriviek posunie doprava. Ak β = 0, potom

ω res = ω 0 .

Keď ω→0 všetky krivky dosiahnu hodnotu- statická odchýlka.

K parametrickej rezonancii dochádza, keď periodická zmena Jeden z parametrov systému vedie k prudkému zvýšeniu amplitúdy oscilačného systému. Napríklad kajuty, ktoré vytvárajú „slnko“ zmenou polohy ťažiska systému (To isté v „lodách.“) Pozri § 61.t. 1 Savelyev I.V.

Zníženie energie oscilačného systému vedie k postupný pokles amplitúdy vibrácií, pretože

V tomto prípade to hovoria vibrácie vymiznú .

Podobná situácia nastáva v oscilačnom obvode. Skutočná cievka, ktorá je súčasťou obvodu, má vždy aktívny odpor. Keď prúd preteká aktívnym odporom cievky, uvoľní sa Jouleovo teplo. Energia obvodu sa zníži, čo povedie k zníženiu amplitúdy oscilácií náboja, napätia a prúdu.

Naša úloha– zistiť, akým zákonom sa amplitúda kmitov zmenšuje, akým zákonom sa mení samotná kmitajúca veličina, s akou frekvenciou vznikajú tlmené kmity, ako dlho kmity „odumierajú“.

§1 Tlmenie kmitov v systémoch s viskóznym trením

Uvažujme oscilačný systém, v ktorom pôsobí sila viskózneho trenia. Príkladom takéhoto oscilačného systému je matematické kyvadlo, ktoré kmitá vo vzduchu.

V tomto prípade, keď je systém odstránený z rovnovážnej polohy o

na kyvadlo budú pôsobiť dve sily: kvázi-elastická sila a odporová sila (viskózna trecia sila).

Druhý Newtonov zákon bude napísaný takto:

(1)

Vieme, že pri nízkych rýchlostiach je sila viskózneho trenia úmerná rýchlosti pohybu:

Potom bude mať rovnica (2) tvar:

dostaneme pohybovú rovnicu v nasledujúcom tvare:

(3)

kde d je koeficient tlmenia, závisí od koeficientu trenia r,

w 0 - cyklická frekvencia ideálnych kmitov (pri absencii trenia).

Pred riešením rovnice (3) zvážte oscilačný obvod. Aktívny odpor cievky je zapojený do série s kapacitou C a indukčnosťou L.

Napíšme druhý Kirchhoffov zákon

Zoberme si to, , .

Potom bude mať druhý Kirchhoffov zákon podobu:

Vydeľme obe strany rovnice takto:

Predstavme si notáciu

Konečne sa dostávame

Všimnite si matematickú identitu diferenciálne rovnice(3) a (3'). Nie je nič prekvapivé. Absolútnu matematickú identitu procesu kmitania kyvadla a elektromagnetických kmitov v obvode sme už ukázali. Je zrejmé, že procesy tlmenia vibrácií v obvode a v systémoch s viskóznym trením tiež prebiehajú rovnakým spôsobom.

Vyriešením rovnice (3) dostaneme odpovede na všetky vyššie položené otázky.

Potom pre požadovanú rovnicu (3) získame konečný výsledok

Je ľahké vidieť, že náboj kondenzátora v skutočnom oscilačnom obvode sa bude meniť podľa zákona

Analýza získaného výsledku:

1 V dôsledku toho spoločná akcia kvázi-elastická sila a systém brzdnej sily Možno urobte kmitavý pohyb. Na to musí byť splnená podmienka w 0 2 - d 2 > 0 Inými slovami, trenie v systéme musí byť malé.

2 Frekvencia tlmených kmitov w sa nezhoduje s frekvenciou kmitov systému pri absencii trenia w 2 = w 0 2 - d 2< w 0 2 . V priebehu času zostáva frekvencia tlmených kmitov nezmenená.

Ak je koeficient tlmenia d malý, potom je frekvencia tlmených kmitov blízka vlastnej frekvencii w 0 .

4 Ak w 0 2 - d 2< 0, то есть трение в системе велико, то уравнение (3) имеет решение вида

(4)

Kde .

Priamou substitúciou je ľahké overiť, že funkcia (4) je skutočne riešením rovnice (3). Je zrejmé, že súčet dvoch exponenciálnych funkcií nie je periodická funkcia. S fyzický bod Z perspektívy to znamená, že v systéme nenastanú oscilácie. Po odstránení systému z rovnovážnej polohy sa do nej pomaly vráti. Tento proces sa nazýva aperiodický .

§2 Ako rýchlo ubúdajú oscilácie v systémoch s viskóznym trením?

Zníženie útlmu

Pre elektrické vibrácie v obvode koeficient útlmu závisí od parametrov cievky: čím väčší je aktívny odpor cievky, tým rýchlejšie klesajú amplitúdy náboja na kondenzátore, napätie a prúd.

Funkcia je súčinom klesajúcej exponenciálnej funkcie a harmonická funkcia, Preto funkcia nie je harmonická. Ale má do istej miery„opakovanie“, ktoré spočíva v tom, že maximá, minimá a nuly funkcie sa vyskytujú v rovnakých časových intervaloch. Grafom funkcie je sínusoida obmedzená na dve exponenciály.

Upozorňujeme, že výsledok nezávisí od toho, ktoré dve po sebe idúce periódy uvažujete - na začiatku oscilačného pohybu alebo po uplynutí určitého času. Pre každú periódu sa mení amplitúda kmitov nie zapnuté rovnakej veľkosti, A rovnaký počet krát !!

Nie je ťažké to vidieť pri rôznych časových úsekoch sa amplitúda tlmených kmitov znižuje rovnako veľakrát.

Relaxačný čas

Relaxačný čas sa nazýva čas, počas ktorého sa amplitúda tlmených kmitov zníži e-krát:

Potom .

Odtiaľ nie je ťažké určiť fyzikálny význam koeficientu útlmu:

Koeficient tlmenia je teda prevrátená hodnota relaxačného času. Nech je napríklad v oscilačnom obvode koeficient tlmenia rovný . To znamená, že po čase c sa amplitúda kmitov zníži o e raz.

Logaritmické zníženie tlmenia

Rýchlosť tlmenia kmitov je často charakterizovaná logaritmickým úbytkom tlmenia. Za to berú prirodzený logaritmus z pomeru amplitúd oddelených časovým úsekom.

Poďme zistiť fyzikálny význam logaritmický dekrementútlmu.

Nech N je počet kmitov vykonaných systémom počas relaxačného času, to znamená počet kmitov, počas ktorých sa amplitúda kmitov zníži o e raz. Samozrejme, .

Je vidieť, že logaritmický dekrement tlmenia je veličina prevrátené číslo kmitov, po ktorých amplitúda klesá o e raz.

Povedzme, že to znamená, že po 100 kmitoch sa amplitúda zníži o e raz.

Faktor kvality oscilačného systému

Okrem logaritmického úbytku tlmenia a relaxačného času možno rýchlosť tlmenia kmitov charakterizovať takou hodnotou, ako je napr. faktor kvality oscilačného systému . Pod faktorom kvality

Energia oscilačného systému v ľubovoľnom časovom okamihu sa rovná . Stratu energie za určité obdobie možno nájsť ako rozdiel medzi energiou v danom okamihu a energiou po čase, rovná perióde:

Potom

Exponenciálna funkcia môžu byť usporiadané v rade pri<< 1. после подстановки получаем .

Zaviedli sme obmedzenie na stiahnutie<< 1, что верно только для слабо затухающих колебаний. Следовательно, область применения выражения для добротности ограничена только слабо затухающими колебаниями. Тогда как выражение применимо к любой колебательной системе.

Vzorce, ktoré sme získali pre faktor kvality systému, ešte nič nehovoria. Povedzme, že výpočty dávajú hodnotu faktora kvality Q = 10. Čo to znamená? Ako rýchlo klesajú vibrácie? Je to dobré alebo zlé?

Môžeme odpovedať na otázku položenú skôr: N = 8.

Ktorý oscilačný systém je lepší - s vysokým alebo nízkym faktorom kvality? Odpoveď na túto otázku závisí od toho, čo chcete z oscilačného systému získať.

Ak chcete, aby systém pred zastavením urobil čo najviac kmitov, musí sa zvýšiť faktor kvality systému. Ako? Keďže faktor kvality je určený parametrami samotného oscilačného systému, je potrebné tieto parametre správne zvoliť.

Napríklad Foucaultovo kyvadlo inštalované v Katedrále svätého Izáka malo vykonávať slabo tlmené kmity. Potom

Najjednoduchší spôsob, ako zvýšiť faktor kvality kyvadla, je urobiť ho ťažším.

V praxi často vznikajú inverzné problémy: je potrebné čo najrýchlejšie tlmiť vzniknuté vibrácie (napríklad vibrácie ihly meracieho prístroja, vibrácie karosérie auta, vibrácie prístrojov atď.). ktoré umožňujú zvýšenie útlmu v systéme sa nazývajú tlmiče (alebo tlmiče). Napríklad tlmič nárazov do auta je podľa prvého priblíženia valec naplnený olejom (viskózna kvapalina), v ktorom sa môže pohybovať piest s množstvom malých otvorov. Piestna tyč je spojená s telom a valec je spojený s osou kolesa. Výsledné vibrácie tela rýchlo odznejú, pretože pohybujúci sa piest naráža na veľký odpor viskóznej kvapaliny napĺňajúcej valec.

§ 3 Tlmenie vibrácií v systémoch so suchým trením

K tlmeniu kmitov dochádza zásadne iným spôsobom, ak v systéme pôsobí klzná trecia sila. Práve to spôsobí zastavenie kyvadla pružiny, ktorá kmitá po akomkoľvek povrchu.

Všimnite si, že počas pohybu zľava doprava je trecia sila konštantná v smere a veľkosti.

To nám umožňuje konštatovať, že počas prvej polovice periódy je pružinové kyvadlo v konštantnom silovom poli.

Pri pohybe v opačnom smere – sprava doľava – bude trecia sila meniť smer, ale počas celého prechodu zostane konštantná čo do veľkosti a smeru. Táto situácia opäť zodpovedá kmitaniu kyvadla v konštantnom silovom poli. Len teraz je toto pole iné! Zmenilo to smer. Následne sa zmenila aj rovnovážna poloha pri pohybe sprava doľava. Teraz sa posunula doprava o hodnotu D l 0 .

Znázornime závislosť súradníc tela od času. Pretože pre každú polovicu periódy je pohyb harmonickou osciláciou, bude graf reprezentovať polovice sínusoidov, z ktorých každá je vynesená vzhľadom na svoju rovnovážnu polohu. Vykonáme operáciu „spájania riešení“.

Ukážme si, ako sa to robí na konkrétnom príklade.

Hmotnosť bremena pripevneného k pružine nech je 200 g, tuhosť pružiny je 20 N/m a koeficient trenia medzi bremenom a povrchom stola je 0,1. Kyvadlo bolo uvedené do kmitavého pohybu, čím sa napínala pružina

Na rozdiel od oscilačných systémov s viskóznym trením, v systémoch so suchým trením amplitúda kmitov v čase klesá podľa lineárneho zákona - pre každú periódu klesá o dve šírky stagnačnej zóny.

Ďalšou charakteristickou črtou je, že oscilácie v systémoch so suchým trením, ani teoreticky, nemôžu nastať donekonečna. Zastavia sa, akonáhle sa telo zastaví v „zóne stagnácie“.

§4 Príklady riešenia problémov

Problém 1 Povaha zmeny amplitúdy tlmených kmitov v systémoch s viskóznym trením

Amplitúda tlmených kmitov kyvadla za čas t 1 = 5 min sa znížila 2 krát. Za aký čas t 2 sa amplitúda kmitov zníži 8-krát? Po akom čase t 3 môžeme uvažovať, že kyvadlo prestalo kmitať?

Riešenie:

Amplitúda kmitov v systémoch s viskóznym trením v priebehu času

ani neklesá exponenciálne, kde je amplitúda oscilácií v počiatočnom časovom okamihu a je koeficient tlmenia.

1 Zákon o zmene amplitúdy píšeme dvakrát

2 Riešime spolu rovnice. Zoberieme logaritmy každej rovnice a dostaneme

Rozdeľte druhú rovnicu, nie prvú, a nájdite čas t 2

4

Po transformáciách dostaneme

Vydeľte poslednú rovnicu rovnicou (*)

Úloha 2 Obdobie tlmených kmitov v systémoch s viskóznym trením

Určte periódu tlmených kmitov sústavy T, ak perióda vlastných kmitov je T 0 = 1 s a logaritmický dekrement tlmenia je . Koľko kmitov tento systém vykoná, kým sa úplne zastaví?

Riešenie:

1 Perióda tlmených kmitov v systéme s viskóznym trením je väčšia ako perióda vlastných kmitov (pri absencii trenia v systéme). Frekvencia tlmených kmitov je naopak menšia ako vlastná frekvencia a rovná sa , kde je koeficient útlmu.

2 Vyjadrime cyklickú frekvenciu pomocou periódy. a vezmite do úvahy, že dekrement logaritmického tlmenia sa rovná:

3 Po transformáciách dostaneme .

Energia systému sa rovná maximálnej potenciálnej energii kyvadla

Po transformáciách dostaneme

5 Koeficient útlmu vyjadríme pomocou logaritmického dekrementu, ktorý získame

Počet kmitov, ktoré systém vykoná pred zastavením, sa rovná

Úloha 3 Počet kmitov, ktoré vykoná kyvadlo, kým sa amplitúda nezníži na polovicu

Logaritmický dekrement tlmenia kyvadla je q = 3×10 -3. Určte počet úplných kmitov, ktoré musí kyvadlo vykonať, aby sa amplitúda jeho kmitov znížila na polovicu.

Riešenie:

3 Je ľahké vidieť, že ide o logaritmický dekrement tlmenia. Dostaneme

Zistenie počtu kmitov

Úloha 4 Faktor kvality oscilačného systému

Určte faktor kvality kyvadla, ak počas doby, počas ktorej bolo vykonaných 10 kmitov, sa amplitúda znížila 2-krát. Ako dlho bude trvať, kým sa kyvadlo zastaví?

Riešenie:

1 Amplitúda kmitov v systémoch s viskóznym trením v priebehu času exponenciálne klesá, kde je amplitúda kmitov v počiatočnom okamihu času a je koeficient tlmenia.

Pretože amplitúda kmitov klesá faktorom 2, získame

2 Dobu kmitov možno znázorniť ako súčin periódy kmitov a ich počtu:

Dosaďte výslednú časovú hodnotu do výrazu (*)

3 Je ľahké vidieť, že ide o logaritmický dekrement tlmenia. Dostaneme logaritmický pokles útlmu rovný

4 Faktor kvality oscilačného systému

Energia systému sa rovná maximálnej potenciálnej energii kyvadla

Po transformáciách dostaneme

Nájdite čas, po ktorom sa oscilácie zastavia .

Úloha 5 Kmitanie magnetu

Vasya Lisichkin, známy experimentátor v celej škole, sa rozhodol, že magnetická figúrka jeho obľúbenej literárnej postavy Koloboka bude vibrovať pozdĺž steny chladničky. Figúrku pripevnil na pružinu s tuhosťou k = 10 N/m, natiahol ju o 10 cm a uvoľnil. Koľko kmitov urobí Kolobok, ak hmotnosť figúrky je m = 10 g, koeficient trenia medzi figúrkou a stenou je μ = 0,4 a je možné ju odtrhnúť od steny silou F = 0,5 N.

Riešenie:

1 Pri pohybe z najnižšej do najvyššej polohy, keď rýchlosť bremena smeruje nahor, klzná trecia sila smeruje nadol a je číselne rovnaká . Pružinové kyvadlo je teda v konštantnom silovom poli vytvorenom silami gravitácie a trenia. V konštantnom silovom poli sa rovnovážna poloha kyvadla posúva:

kde je napnutie pružiny v novej „rovnovážnej polohe“.

2 Pri pohybe z najvyššej do najnižšej polohy, keď rýchlosť bremena smeruje nadol, klzná trecia sila smeruje nahor a je číselne rovnaká . Pružinové kyvadlo je teda opäť v konštantnom silovom poli vytvorenom silami gravitácie a trenia. V konštantnom silovom poli sa rovnovážna poloha kyvadla posúva:

kde je deformácia pružiny v novej „rovnovážnej polohe“, znak „-“ znamená, že v tejto polohe je pružina stlačená.

3 Zóna stagnácie je ohraničená deformáciami pružiny od - 1 cm do 3 cm a dosahuje 4 cm Stred zóny stagnácie, v ktorej je deformácia pružiny 1 cm, zodpovedá polohe zaťaženia, v ktorej nie je žiadna. trecia sila. V zóne stagnácie je elastická sila pružiny menšia ako výsledná sila v module maximálna statická trecia sila a gravitácie. Ak sa kyvadlo zastaví v zóne stagnácie, oscilácie sa zastavia.

4 Pre každé obdobie sa deformácia pružiny zníži o dve šírky stagnačnej zóny, t.j. o 8 cm Po jednom kmitu sa deformácia pružiny rovná 10 cm - 8 cm = 2 cm To znamená, že figúrka Kolobok vstúpi do stagnačnej zóny a jej kmity sa zastavia.

§5 Úlohy na samostatné riešenie

Test "tlmené oscilácie"

1 Tlmením kmitov rozumieme...

A) zníženie frekvencie oscilácií; B) zníženie periódy oscilácie;

B) zníženie amplitúdy kmitov; D) pokles vo fáze kmitov.

2 Dôvodom tlmenia voľných kmitov je

A) vplyv na systém náhodných faktorov, ktoré inhibujú oscilácie;

B) pôsobenie periodicky sa meniacej vonkajšej sily;

C) prítomnosť trecej sily v systéme;

D) postupný pokles kvázi-elastickej sily smerujúci k návratu kyvadla do rovnovážnej polohy.

A) 5 cm; B) 4 cm; B) 3 cm;

D) Nie je možné odpovedať, pretože čas nie je známy.

6 Dve rovnaké kyvadla, ktoré sú v rôznych viskóznych médiách, kmitajú. Amplitúda týchto oscilácií sa v priebehu času mení, ako je znázornené na obrázku. V ktorom médiu je väčšie trenie?

7 Dve kyvadla, ktoré sú v rovnakých prostrediach, kmitajú. Amplitúda týchto oscilácií sa v priebehu času mení, ako je znázornené na obrázku. Ktoré kyvadlo má najväčšiu hmotnosť?

C) Nie je možné odpovedať, pretože súradnicové osi nie sú škálované a výpočty sa nedajú vykonať.

8 Ktorý obrázok správne znázorňuje časovú závislosť súradníc tlmených kmitov v systéme s viskóznym trením?

A) 1; B) 2; AT 3; D) Všetky grafy sú správne.

9 Stanovte súlad medzi fyzikálnymi veličinami charakterizujúcimi tlmenie kmitov v systémoch s viskóznym trením a ich definíciou a fyzikálnym významom. Vyplňte tabuľku

A) Toto je pomer amplitúd kmitov po čase rovnajúcom sa perióde;

B) Toto je prirodzený logaritmus pomeru amplitúd kmitov po čase, ktorý sa rovná perióde;

B) Toto je čas, počas ktorého klesá amplitúda kmitov e raz;

G) D) E)

G) Táto hodnota je prevrátená hodnota počtu kmitov, počas ktorých amplitúda kmitov klesá v r. e raz;

H) Táto hodnota ukazuje, koľkokrát sa amplitúda oscilácie zníži za čas rovnajúci sa perióde oscilácie.

10 Povedzte správne.

Dobrá kvalita znamená...

A) pomer celkovej energie systému E k energii W rozptýlenej počas periódy sa zvýšil 2p krát;

B) pomer amplitúd po časovom období rovnajúci sa perióde;

C) počet kmitov, ktoré systém vykoná, kým sa amplitúda zníži e-krát.

Faktor kvality sa vypočíta podľa vzorca...

A) B) C)

Faktor kvality oscilačného systému závisí od...

A) energia systému;

B) energetické straty za obdobie;

C) parametre oscilačného systému a trenie v ňom.

Čím vyšší je faktor kvality oscilačného systému, tým...

A) vibrácie klesajú pomalšie;

B) vibrácie klesajú rýchlejšie.

11 Matematické kyvadlo sa uvedie do kmitavého pohybu, pričom vychýli záves z rovnovážnej polohy v prvom prípade o 15°, v druhom o 10°. V akom prípade kyvadlo pred zastavením vykoná viac kmitov?

A) Keď je kardan naklonený o 15°;

B) Keď je kardan naklonený o 10°;

C) V oboch prípadoch vykoná kyvadlo rovnaký počet kmitov.

Na dve nite rovnakej dĺžky bolo pripevnených 12 guľôčok rovnakého polomeru - hliníka a medi. Kyvadla sa uvedú do kmitavého pohybu ich vychyľovaním v rovnakých uhloch. Ktoré kyvadlo urobí pred zastavením najviac kmitov?

A) hliník; B) meď;

C) Obe kyvadla vykonajú rovnaký počet kmitov.

13 Kyvadlo pružiny umiestnené na vodorovnej ploche bolo uvedené do kmitania, čím sa pružina natiahla o 9 cm Po dokončení troch úplných kmitov sa kyvadlo ocitlo vo vzdialenosti 6 cm od polohy nedeformovanej pružiny. V akej vzdialenosti od polohy nedeformovanej pružiny bude kyvadlo po ďalších troch kmitoch?

A) 5 cm; B) 4 cm; B) 3 cm.