Navodila
Negotovost oblike [∞-∞] se pokaže, če mislimo na razliko poljubnih ulomkov. Če to razliko zmanjšamo na skupni imenovalec, dobimo določeno razmerje funkcij.
Negotovosti tipa 0^∞, 1^∞, ∞^0 se pojavijo pri izračunu tipa p(x)^q(x). V tem primeru se uporablja predhodna diferenciacija. Nato bo želena meja A dobila obliko produkta, po možnosti z že pripravljenim imenovalcem. Če ne, potem lahko uporabite metodo primera 3. Glavna stvar je, da ne pozabite zapisati končnega odgovora v obliki e^A (glej sliko 5).
Video na temo
Viri:
- izračunajte limit funkcije brez uporabe L'Hopitalovega pravila leta 2019
Navodila
Meja je določeno število, h kateremu teži spremenljivka ali vrednost izraza. Običajno se spremenljivke ali funkcije nagibajo k ničli ali neskončnosti. Na meji, nič, velja, da je količina neskončno majhna. Z drugimi besedami, količine, ki so spremenljive in se približujejo ničli, imenujemo infinitezimalne. Če se nagiba k neskončnosti, se imenuje neskončna meja. Običajno je zapisan v obliki:
limx=+∞.
Ima številne lastnosti, med katerimi so nekatere . Spodaj so glavne.
- ena količina ima samo eno omejitev;
Meja konstantne vrednosti je enaka vrednosti te konstante;
Limit vsote je enak vsoti limitov: lim(x+y)=lim x + lim y;
Limit produkta je enak produktu limitov: lim(xy)=lim x * lim y
Konstantni faktor lahko vzamemo preko mejnega znaka: lim(Cx) = C * lim x, kjer je C=const;
Limit kvocienta je enak kvocientu mej: lim(x/y)=lim x / lim y.
V problemih z mejami obstajajo tako številski izrazi kot ti izrazi. Zlasti lahko izgleda takole:
lim xn=a (za n→∞).
Spodaj je preprosta omejitev:
lim 3n +1 /n+1
n→∞.
Če želite rešiti to mejo, delite celoten izraz z n enot. Znano je, da če je enota deljena z določeno vrednostjo n→∞, potem je meja 1/n enaka nič. Velja tudi obratno: če je n→0, potem je 1/0=∞. Če celoten primer delimo z n, ga zapišemo v spodnji obrazec in dobimo:
lim 3+1/n/1+1/n=3
Pri reševanju omejitev se lahko pojavijo rezultati, ki se imenujejo negotovosti. V takih primerih veljajo pravila L'Hopitala. Za to ponovijo funkcijo, ki bo primer pripeljala v obliko, v kateri bi jo lahko rešili. Obstajata dve vrsti negotovosti: 0/0 in ∞/∞. Primer z negotovostjo je lahko videti zlasti takole:
lim 1-cosx/4x^2=(0/0)=lim sinx/8x=(0/0)=lim cosx/8=1/8
Video na temo
Izračun limitov funkcije- temelj matematične analize, ki ji je v učbenikih posvečenih veliko strani. Vendar pa včasih ni jasna le definicija, ampak tudi samo bistvo meje. Preprosto povedano, je meja približevanje ene spremenljive količine, ki je odvisna od druge, k določeni posamezni vrednosti, ko se ta druga količina spreminja. Za uspešne izračune je dovolj, da upoštevamo preprost algoritem rešitve.
rešitev omejitve spletne funkcije. Poiščite mejno vrednost funkcije ali funkcijskega zaporedja v točki, izračunajte končni vrednost funkcije v neskončnosti. določanje konvergence številskega niza in še veliko več je mogoče narediti zahvaljujoč naši spletni storitvi -. Omogočamo vam, da na spletu hitro in natančno najdete omejitve funkcij. Sami vnesete spremenljivko funkcije in mejo, h kateri stremi, naš servis pa namesto vas opravi vse izračune ter poda natančen in enostaven odgovor. In za iskanje meje na spletu vnesete lahko tako numerične serije kot analitične funkcije, ki vsebujejo konstante v literalnem izrazu. V tem primeru bo najdena meja funkcije vsebovala te konstante kot stalne argumente v izrazu. Naša storitev rešuje vse zapletene težave iskanja omejitve na spletu, je dovolj, da navedete funkcijo in točko, na kateri je treba izračunati mejna vrednost funkcije. Računanje spletne omejitve, lahko uporabite različne metode in pravila za njihovo reševanje, medtem ko dobljeni rezultat preverjate z reševanje omejitev na spletu na spletnem mestu www.site, kar bo pripeljalo do uspešnega zaključka naloge - izognili se boste lastnim napakam in pisarskim napakam. Lahko pa nam popolnoma zaupate in uporabite naš rezultat pri svojem delu, ne da bi porabili dodaten trud in čas za samostojno izračunavanje limita funkcije. Omogočamo vnos mejnih vrednosti, kot je neskončnost. Vnesti je treba skupnega člana številskega zaporedja in www.stran bo izračunal vrednost omejitev na spletu do plus ali minus neskončnosti.
Eden od osnovnih konceptov matematične analize je meja delovanja in omejitev zaporedja v točki in v neskončnosti je pomembno, da znamo pravilno rešiti omejitve. Z našo storitvijo to ne bo težko. Odločitev je sprejeta omejitve na spletu v nekaj sekundah je odgovor točen in popoln. Študij matematične analize se začne z prehod na mejo, omejitve se uporabljajo na skoraj vseh področjih višje matematike, zato je koristno imeti pri roki strežnik za spletne rešitve omejitev, ki je spletno mesto.
Navodila
Neposredni izračun mej je povezan predvsem z mejami racionalnih Qm(x)/Rn(x), kjer sta Q in R polinoma. Če je meja izračunana kot x → a (a je število), lahko na primer pride do negotovosti. Če ga želite odstraniti, delite števec in imenovalec z (x-a). Postopek ponavljajte, dokler negotovost ne izgine. Delitev polinomov poteka skoraj na enak način kot delitev števil. Temelji na dejstvu, da sta deljenje in množenje obratni operaciji. Primer je prikazan na sl. 1.
Uporaba prve izjemne meje. Formula za prvo izjemno mejo je prikazana na sl. 2a. Če ga želite uporabiti, pretvorite vzorčni izraz v ustrezno obliko. To lahko vedno storimo povsem algebraično ali s spremembo spremenljivke. Glavna stvar je, da ne pozabite, da če je sinus kx, potem je tudi imenovalec kx. Primer je prikazan na sl. 2e. Poleg tega, če upoštevamo, da je tgx=sinx/cosx, cos0=1, potem se kot posledica pojavi (glej sliko 2b). arcsin(sinx)=x in arctg(tgx)=x. Zato obstajata še dve posledici (sl. 2c. in 2d). Pojavila se je precej široka paleta metod.
Uporaba druge omejitve je izjemna (glej sliko 3a). Če želite rešiti ustrezne probleme, preprosto preoblikujte pogoj v strukturo, ki ustreza vrsti omejitve. Ne pozabite, da se pri povišanju izraza na potenco, ki je že v neki potenci, pomnožijo. Ustrezna je prikazana na sl. 2f Uporabimo zamenjavo α=1/х in dobimo posledico druge izjemne meje (slika 2b). Z logaritmom obeh strani te posledice na osnovo a boste prišli do druge posledice v in za a = e (glej sliko 2c). Izvedite zamenjavo a^x-1=y. Potem je x=log(a)(1+y). Ko se x nagiba k nič, se tudi y nagiba k nič. Zato se pojavi tretja posledica (glej sliko 2d).
Uporaba ekvivalentnih infinitezimalnih funkcij je enakovredna kot x →a, če je meja njihovega razmerja α(x)/γ(x) enaka ena. Pri izračunu omejitev z uporabo takšnih infinitezimalnih vrednosti preprosto zapišite γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) je infinitezimal višjega reda majhnosti kot α(x). Zanj je lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Če želite ugotoviti enakovrednost, uporabite enako čudovito omejitve. Metoda vam omogoča, da bistveno poenostavite postopek, zaradi česar je bolj pregleden.
Viri:
- Shipachev V.S. Višja matematika. Učbenik za univerze. - 3. izd., izbrisano. - M.: Višje. šola, 1996. - 496 str.: ilustr.
Funkcija je eden temeljnih matematičnih pojmov. Njo omejitev– to je vrednost, pri kateri argument teži k o omejitev ta velikost. Izračunate ga lahko z uporabo nekaterih tehnik, na primer Bernoulli-L'Hopitalovega pravila.
Navodila
Za izračun omejitev na dani točki x0 bi morali to vrednost argumenta nadomestiti v funkcijski izraz pod znakom lim. Sploh ni nujno, da to sodi v območje o omejitev funkcijske spremembe. če omejitev O omejitev je enako enomestnemu številu, potem rečemo, da funkcija konvergira. Če ne more biti okoli omejitev en ali neskončno na določeni točki, potem pride do razhajanja.
Rešitev: Zamenjajte vrednost x = -2 v izraz: lim (x² – 6 x - 14)/(2 x² + 3 x - 6) = -1/2.
Rešitev ni vedno tako očitna in preprosta, še posebej, če je izraz preveč okoren. V tem primeru bi morali najprej poenostaviti njegovo redukcijo, združevanje ali zamenjavo spremenljivke: lim_(x→-8) (10 x - 1)/(2 x + ∛x) = [y= ∛x] = lim_(y→- 2) (10 y³ - 1)/(2 y³ + y) = 9/2.
Pogosto situacije nemogočega omejitev leniya omejitev in še posebej, če se argument nagiba k neskončnosti ali nič. Zamenjava ne prinese pričakovanega rezultata, kar vodi v neo omejitev lastnosti oblike ali [∞/∞]. Potem je L'Hopital-Bernoulli uporaben, kar vključuje iskanje prve izpeljanke. Na primer, izračunajte omejitev lim (x² – 5 x -14)/(2 x²+ x - 6) pri x→-2.
Rešitev.lim (x² – 5 x -14)/(2 x² + x - 6) = .
Poiščite odvod: lim (2 x - 5)/(4 x + 1) = 9/7.
lim (sinx/x) = 1 za x → 0, velja tudi obratno: lim (x/sinx) = 1; x → 0. Argument je lahko poljubna konstrukcija, glavno je, da se njegova vrednost nagiba k nič: lim (x³ – 5 x² + x)/sin(x³ – 5 x² + x) = 1; x → 0.
Video na temo
Teorija omejitve je precej obsežno področje matematične analize. Ta koncept je uporaben za funkcijo in je konstrukcija treh elementov: zapisa lim, izraza pod mejnim znakom in mejne vrednosti argumenta.
Navodila
Za izračun meje je potrebno, čemu je funkcija enaka na točki, ki ustreza mejni vrednosti argumenta. V nekaterih primerih nima končne rešitve in zamenjava vrednosti, h kateri teži spremenljivka, da obliko "nič na nič" ali "neskončno na neskončnost". V tem primeru velja , ki sta ga izpeljala Bernoulli in L'Hopital, kar vključuje uporabo prve izpeljanke.
Kot vsaka matematika lahko limita pod svojim znakom vsebuje funkcijski izraz, ki je preveč okoren ali nepriročen za preprosto zamenjavo. Takrat ga je treba najprej poenostaviti z običajnimi metodami, grupiranjem, dodajanjem skupnega faktorja in zamenjavo spremenljivke, ki spremeni mejno vrednost argumenta.
Imate srečo, izraz funkcije je smiseln za dano mejno vrednost argumenta. To je najenostavnejši primer izračuna meje. Zdaj rešite naslednji problem, ki vključuje dvoumen koncept neskončnosti: lim_(x→∞) (5 - x).
Bernoulli-L'Hopitalovo pravilo: lim_(x→-2) (x^5 – 4 x³)/(x³ + 2 x²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = Diferencirajte izraz funkcije: lim (5 x^4 – 12 x²)/(3 x² + 4 x) = (5 16 – 12 4)/(3 4 - 8) = 8.
Zamenjava spremenljivke: lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/( 125 + 5) = 27/26.
Grška črka π (pi, pi) običajno označuje razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom. to število, ki se je prvotno pojavil v delih starodavnih geometrov, se je kasneje izkazalo za zelo pomembno v mnogih vejah matematike. To pomeni, da ga morate znati izračunati.
Navodila
π - iracionalno število. To je, da ga ni mogoče predstaviti kot ulomek s celim številom in imenovalcem. Poleg tega je π transcendentalen število, to pomeni, da ne more služiti kot nobena algebraična enačba. Tako je nemogoče zapisati natančno vrednost π. Vendar pa obstajajo metode, ki vam omogočajo, da ga izračunate s poljubno zahtevano stopnjo natančnosti.
Starodavni, ki so jih uporabljali geometri v Grčiji in Egiptu, pravijo, da je π približno enak kvadratnemu korenu iz 10 ali ulomku 256/81. Toda te formule dajejo vrednost π, ki je enaka 3,16, in to očitno ni dovolj.
Z razvojem diferencialnega računa in drugih novih matematičnih disciplin imajo znanstveniki na voljo novo orodje – potenčne vrste. Gottfried Wilhelm Leibniz je leta 1674 odkril, da serija
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
konvergira v meji, ki je enaka π/4. Izračun te vsote je preprost, vendar je potrebnih veliko korakov, da se doseže zadostna natančnost, ker vrsta konvergira zelo počasi.
Pozneje so odkrili druge potenčne vrste, ki so omogočile izračun π hitreje kot z uporabo Leibnizove vrste. Na primer, znano je, da je tan(π/6) = 1/√3, torej arctan(1/√3) = π/6.
Funkcijo arktangensa razširimo v potenčno vrsto in za dano vrednost dobimo:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
Uporaba te in drugih podobnih formul številoπ je že izračunan z natančnostjo na milijone decimalnih mest.
Prosimo, upoštevajte
Obstaja veliko načinov za izračun števila Pi. Najenostavnejša in najbolj razumljiva je numerična metoda Monte Carlo, katere bistvo se spušča v najenostavnejše štetje točk na površini. dvojni y=polmer*polmer-x*x; vrni y; ) Program prikaže vrednosti Pi glede na polmer in število točk. Bralcu preostane le, da ga sam sestavi in požene s parametri, ki jih želi.
Koristen nasvet
Toda neumorni znanstveniki so še naprej in naprej računali decimalne števke števila pi, kar je v resnici noro nepomembna naloga, saj je ne morete kar izračunati v stolpcu: to število ni le iracionalno, ampak tudi transcendentalno (to so samo tista števila, ki niso izračunana s preprostimi enačbami). Znanstvenikom na Univerzi v Tokiu je uspelo postaviti svetovni rekord v izračunu števila Pi na 12.411 trilijonov števk.
Viri:
- Zgodovina Pi
Matematične metode se uporabljajo na številnih področjih znanosti. Ta izjava zadeva zlasti diferencialni račun. Na primer, če izračunate drugo izpeljanka funkcijo razdalje od časovne spremenljivke, potem lahko najdete pospešek materialne točke.
Navodila
Pravila in metode diferenciacije se ohranijo za odvode višjih redov. To velja za nekatere elementarne funkcije, operacije seštevanja in deljenja, pa tudi za kompleksne funkcije oblike u(g(x)): u’ = C’ = 0 – odvod konstante; u’ = x’ = 1 – najenostavnejši od enega argumenta; u' = (x^a)' = a x^(a-1); u’ = (а^х)’ = а^х ln а – eksponentna funkcija;
Aritmetične operacije para funkcij u(x) in g(x): (u + g)’ = u’ + g’; (u g)’ = u’ g + g’ u; (u/g)' = (u' g – g' u)/g².
Drugo je precej težko izpeljanka kompleksna funkcija. Pri teh metodah numerične diferenciacije, čeprav je rezultat približen, obstaja tako imenovana napaka aproksimacije α:u''(x) = (u(x + h) – 2 u(x) + u(x - h) )/h² + α (h²) – Newtonov interpolacijski polinom; u''(x) = (-u(x + 2 h) + 16 u(x + h) – 30 u(x) + 16 u(x - h) ) – u(x – 2 h))/(12 h²) + α(h²) – Striling.
Te formule vsebujejo določeno vrednost h. Imenuje se aproksimacija, katere izbira mora biti optimalna, da se zmanjša računska napaka. Izbira pravilne vrednosti h se imenuje regulacija po korakih: |u(x + h) – u(x)| > ε, kjer je ε infinitezimalno.
Metoda za izračun drugega odvoda se uporablja za totalni diferencial drugega reda. V tem primeru se zasebno izračuna za vsak argument in sodeluje v končnem izrazu v obliki množitelja ustreznega diferenciala dх, dy itd.: d² u = ∂u'/∂х d²х + ∂u'/∂ y d²у + ∂u' /∂z d²z.
Primer: poiščite drugo izpeljanka funkcije u = 2 x sin x – 7 x³ + x^5/tg x.
Rešitevu' = 2 sin x + 2 x cos x – 21 x² + 5 x^4/tg x – x²/sin² x;u'' = 4 cos x – 2 x sin x – 42 x + 20 x³/tg x – 5 x^4/sin² x – 2 x/sin² x + 2 x² cos x/sin³ x.
Metode diferencialnega računa se uporabljajo za preučevanje narave vedenja funkcije v matematični analizi. Vendar to ni edino področje njihove uporabe, pogosto ga je treba najti izpeljanka za izračun mejnih vrednosti v ekonomiji, za izračun hitrosti ali pospeška v fiziki.
- L'Hopitalovo pravilo in razkritje negotovosti
- Razkritje negotovosti tipa "nič deljeno z nič" in "neskončnost deljeno z neskončnostjo"
- Odkrivanje negotovosti v obliki "nič krat neskončnost"
- Razkritje negotovosti tipa "nič na potenco nič", "neskončnost na potenco nič" in "ena na potenco neskončnosti"
- Razkritje negotovosti v obliki "neskončnost minus neskončnost"
L'Hopitalovo pravilo in razkritje negotovosti
Razkritje negotovosti oblike 0/0 ali ∞/∞ in nekaterih drugih negotovosti je močno poenostavljeno z uporabo L'Hopitalovega pravila.
Bistvo L'Hopitalova pravila je, da v primeru, ko izračun meje razmerja dveh funkcij daje negotovosti oblike 0/0 ali ∞/∞, lahko mejo razmerja dveh funkcij nadomestimo z mejo razmerja njunih odvodov in, tako dobite določen rezultat.
Na splošno L'Hopitalova pravila pomenijo več izrekov, ki jih je mogoče izraziti v naslednji enojni formulaciji.
L'Hopitalovo pravilo. Če funkcije f(x) In g(x) so diferencibilne v določeni okolici točke , z možno izjemo same točke, in v tej okolici
(1)
Z drugimi besedami, za negotovosti oblike 0/0 ali ∞/∞ je meja razmerja dveh funkcij enaka meji razmerja njunih odvodov, če slednji obstaja (končen ali neskončen).
V enačbi (1) je lahko vrednost, h kateri stremi spremenljivka, končno število, neskončnost ali minus neskončnost.
Negotovosti drugih tipov je mogoče zmanjšati tudi na negotovosti tipa 0/0 in ∞/∞.
Razkritje negotovosti tipa "nič deljeno z nič" in "neskončnost deljeno z neskončnostjo"
Primer 1. Izračunaj
x=2 vodi do negotovosti oblike 0/0. Zato uporabljamo L'Hopitalovo pravilo:
Primer 2. Izračunaj
rešitev. Zamenjava vrednosti v dano funkcijo x
Primer 3. Izračunaj
rešitev. Zamenjava vrednosti v dano funkcijo x=0 vodi do negotovosti oblike 0/0. Zato uporabljamo L'Hopitalovo pravilo:
Primer 4. Izračunaj
rešitev. Zamenjava vrednosti x, enake plus neskončnosti, v dano funkcijo vodi do negotovosti oblike ∞/∞. Zato uporabljamo L'Hopitalovo pravilo:
Komentiraj. Če je meja razmerja izpeljave negotovost v obliki 0/0 ali ∞/∞, potem lahko ponovno uporabimo L'Hopitalovo pravilo, tj. pojdi do meje razmerja sekundarnih odvodov itd.
Primer 5. Izračunaj
rešitev. Najdemo
Tukaj je L'Hopitalovo pravilo uporabljeno dvakrat, saj meja razmerja funkcij in meja razmerja odvodov dajeta negotovost oblike ∞/∞.
Primer 6. Izračunaj