Рассмотрим связь между характером корреляционной функции и структурой соответствующего ей случайного процесса.

Мы будем использовать понятие «спектра», которое широко применяется не только в теории случайных функций, но и в физике и технике. Если какой-либо колебательный процесс представляется в виде суммы гармонических колебаний различных частот (так называемых «гармоник»), то спектром колебательного процесса называют функцию, описывающую распределение амплитуд по различным частотам. Спектр показывает, какого рода колебания преобладают в данном процессе, какова его внутренняя структура. Спектральное описание стационарного случайного процесса будем вводиться аналогично.

Сначала рассмотрим некоторую стационарную случайную функцию , наблюдаемую на конечном интервале (0, Т ). Пусть задана корреляционная функция случайной функции Х (t )

K x (t , t + τ ) = k x (τ ).

Мы знаем, что k x (τ ) – четная функция, поэтому ее график есть симметричная относительно оси 0Y кривая.

При изменении t 1 и t 2 от 0 до Т аргумент τ изменяется от –Т до Т .

Известно, что четную функцию на интервале (–Т, Т ) можно разложить в ряд Фурье, пользуясь только четными (косинусными) гармониками:

k x (τ ) = ,

ω k = kω 1 , ω 1 = ,

а коэффициенты D k определяются по формулам

D 0 = ,

D k = при k ≠ 0.

Учитывая, что функции k x (τ ) и cos ω k (τ ) четные, можно преобразовать выражения для коэффициентов следующим образом:

D k = при k ≠ 0.

Можно показать, что в таких обозначениях случайная функция может быть представлена в виде канонического разложения:

= , (2)

где U k , V k – некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями, одинаковыми для каждой пары случайных величин с одним и тем же индексом k : D (U k ) = D (V k ) = D k , и дисперсии D k определяются по формулам (1).

Разложение (2) называется спектральным разложением стационарной случайной функции.

Спектральное разложение изображает стационарную случайную функцию разложенной на гармонические колебания различных частот ω 1 , ω 2 , …, ω k , …, причем амплитуды этих колебаний являются случайными величинами.

Дисперсия случайной функции , заданной спектральным разложением (2), определяется по формуле

D x = = = , (3)

т.е. дисперсия стационарной случайной функции равна сумме дисперсий всех гармоник ее спектрального разложения .

Формула (3) показывает, что дисперсия функции известным образом распределена по различным частотам: одним частотам соответствуют бо льшие дисперсии, другим – ме ньшие. Распределение дисперсий по частотам можно проиллюстрировать графически в виде так называемого спектра дисперсий . Для этого по оси абсцисс откладывают частоты ω 0 = 0, ω 1 , ω 2 , …, ω k , …, а по оси ординат – соответствующие дисперсии.

Очевидно, сумма всех ординат построенного таким образом спектра равна дисперсии случайной функции.

Понятно, что чем больший участок времени при построении спектрального разложения мы будем рассматривать, так полнее будут наши сведения о случайной функции. Поэтому естественно попытаться в спектральном разложении попытаться перейти к пределу при T → ∞, и посмотреть, во что при этом обратится спектр случайной функции. При T → ∞ ω 1 = , поэтому расстояния между частотами ω k , будут неограниченно уменьшаться. При этом дискретный спектр будет приближаться к непрерывному, в котором каждому сколь угодно малому интервалу частот будет соответствовать элементарная дисперсия.

Изобразим непрерывный спектр графически. Для этого будем откладывать по оси ординат уже не самую дисперсию D k , а среднюю плотность дисперсии , т.е. дисперсию, приходящуюся на единицу длины данного интервала частот. Обозначим расстояние между соседними частотами ∆ω , и на каждом отрезке ∆ω , как на основании, построим прямоугольник с площадью D k . Получим ступенчатую диаграмму, напоминающую по принципу гистограмму статистического распределения.

Эта кривая изображает плотность распределения дисперсий по частотам непрерывного спектра, а сама функция S x (ω ) называется спектральной плотностью дисперсии или спектральной плотностью стационарной случайной функции .

Очевидно, площадь, ограниченная кривой S x (ω ), по-прежнему должна равняться дисперсии D x случайной функции :

D x = . (4).

Формула (4) есть разложение дисперсии D x на сумму элементарных слагаемых S x (ω )dω , каждое из которых представляет собой дисперсию, приходящуюся на элементарный участок частот dω , прилежащий к точке ω .

Таким образом, введена новая дополнительная характеристика стационарного случайного процесса – спектральная плотность, описывающая частотный состав стационарного процесса. Однако она не является самостоятельной – она полностью определяется корреляционной функцией данного процесса. Соответствующая формула, исходящая из разложения корреляционной функции k x (τ ) в ряд Фурье на конечном интервале, выглядит следующим образом:

S x (ω ) = . (5)

При этом сама корреляционная функция также может быть выражена через спектральную плотность:

k x (τ ) = . (6)

Формулы типа (5) и (6), связывающие взаимно две функции, называются преобразованиями Фурье .

Заметим, что из общей формулы (6) при τ = 0 получается ранее полученное разложение дисперсии (4).

На практике вместо спектральной плотности S x (ω ) часто пользуются нормированной спектральной плотностью:

s x (ω ) = ,

где D x – дисперсия случайной функции.

Нетрудно убедиться, что нормированная корреляционная функция ρ х (τ ) и нормированная спектральная плотность s x (ω ) связаны преобразованиями Фурье:

ρ х (τ ) = ,

s x (ω ) = .

Полагая в первом из этих равенств τ = 0 и учитывая, что ρ х (0) = 1, имеем

т.е. полная площадь, ограниченная графиком нормированной спектральной плотности, равна 1.

§ 7. Эргодическое свойство стационарных случайных функций.

Рассмотрим некоторую стационарную случайную функцию X (t ) и предположим, что требуется оценить ее характеристики: математическое ожидание m x и корреляционную функцию k x (τ ). Эти характеристики, а точнее, их оценки и , как уже говорилось, можно получить из опыта, имея известное число реализаций случайной функции X (t ). В связи с ограниченностью числа наблюдений функция не будет строго постоянной, ее придется осреднить и заменить некоторым постоянным ; аналогично, осредняя значения для разных τ = t 2 – t 1 , получим корреляционную функцию .

Этот метод обработки, очевидно, является довольно сложным и громоздким и к тому же состоит из двух этапов: приближенного определения характеристик случайной функции и также приближенного осреднения этих характеристик. Естественно возникает вопрос - нельзя ли для стационарной случайной функции этот процесс заменить более простым, который заранее базируется на предположении, что математическое ожидание не зависит от времени, а корреляционная функция – от начала отсчета.

Кроме того, возникает вопрос: при обработке наблюдений над стационарной случайной функцией является ли существенно необходимым располагать несколькими реализациями? Поскольку случайный процесс является стационарным и протекает однородно во времени, естественно предположить, что одна-единственная реализация достаточной продолжительности может служить достаточным материалом для получения характеристик случайной функции.

Оказалось, что такая возможность существует, но не для всех случайных процессов. Для примера рассмотрим две стационарные случайные функции, представленные совокупностью своих реализаций.

		Рис.1		Рис.2

Для случайной функции X 1 (t ) (рис.1) характерна следующая особенность: каждая из ее реализаций обладает одними и теми же характерными признаками: средним значением, вокруг которого происходят колебания и средним размахом этих колебаний. Выберем произвольно одну из таких реализаций и продолжим мысленно опыт, в результате которого она получена, на некоторый участок времени T . Очевидно, что при достаточно большом Т эта одна реализация сможет дать нам достаточно хорошее представление о свойствах случайной функции в целом. В частности, осредняя значения этой реализации вдоль оси абсцисс – по времени, мы должны получить приближенное значение математического ожидания случайной функции; осредняя квадраты отклонений от этого среднего, мы должны получить приближенное значение дисперсии и т.д.

Про такую функцию говорят, что она обладает эргодическим свойством . Эргодическое свойство состоит в том, что каждая отдельная реализация случайной функции является как бы «полномочным представителем» всей совокупности возможных реализаций.

Если мы рассмотрим функцию X 2 (t ) (рис.2), то очевидно, что для каждой реализации среднее значение свое и существенно отличается от остальных. Поэтому если построить единое среднее значение для всех реализаций, то оно будет существенно отличаться от каждого отдельно взятого.

Если случайная функция X (t ) обладает эргодическим свойством, то для нее среднее по времени (на достаточно большом участке наблюдений) приближенно равно среднему по множеству наблюдений . То же будет верно и для X 2 (t ), X (t )X (t +τ) и т.д. В частности, при достаточно большом Т математическое ожидание m x может быть вычислено по формуле

. (1)

В этой формуле для простоты опущен знак ~ при характеристике случайной функции, означающий, что мы имеем дело не с самими характеристиками, а с их оценками.

Аналогично можно найти корреляционную функцию k x (τ ) при любом τ . Так как

k x (τ ) = ,

то вычисляя эту величину при заданном τ , получим

k x (τ ) ≈ , (2)

где - центрированная реализация. Вычислив интеграл (2) для ряда значений τ , можно приближенно воспроизвести по точкам ход корреляционной функции.

На практике приведенные интегралы обычно заменяют конечными суммами. Это делается следующим образом. Разобьем интервал записи случайной функции на n равных частей длиной ∆t , и обозначим середины полученных участков t 1 , t 2 , …, t n .

Представим интеграл (1) как сумму интегралов по элементарным участкам ∆t и на каждом из них вынесем функцию x (t ) из-под знака интеграла средним значением, соответствующим центру интервала - x (t i ). Получим приближенно

m x = = /

Аналогично можно вычислить корреляционную функцию для значений τ , равных 0, ∆t , 2∆t , … Придадим, например, величине τ значение

τ = 2∆t = .

Вычислим интеграл (2), деля интервал интегрирования

Т - τ = =

на n – m равных участков длины ∆t и вынося на каждом из них функцию за знак интеграла средним значением. Получим

.

Вычисление корреляционной функции по приведенной формуле производят для m = 0, 1, 2,…. Последовательно вплоть до таких значений m , при которых корреляционная функция становится практически равной нулю или начинает совершать небольшие нерегулярные колебания около нуля. Общий ход функции k x (τ ) воспроизводится по отдельным точкам.

Для того, чтобы характеристики были определены с удовлетворительной точностью, нужно, чтобы число точек n было достаточно велико (порядка 100, а в некоторых случаях и больше). Выбор длины элементарного участка ∆t определяется характером изменения случайной функции: если она изменяется сравнительно плавно, участок ∆t можно выбирать больше, чем когда она совершает резкие и частые колебания. Ориентировочно можно рекомендовать выбирать элементарный участок так, чтобы на полный период самой высокочастотной гармоники в составе случайной функции приходилось порядка 5-10 опорных точек.

Решение типовых задач

1. а) Случайная функция X (t ) = (t 3 + 1)U , где U – случайная величина, значения которой принадлежат интервалу (0; 10). Найти реализации функции X (t ) в двух испытаниях, в которых величина U приняла значения u 1 = 2, u 2 = 3.

Решение. Так как реализацией случайной функции X (t ) называют неслучайную функцию аргумента t , то при данных значениях величины U соответствующими реализациями случайной функции будут

x 1 (t ) = 2(t 3 + 1), x 2 (t ) = 3(t 3 + 1).

б) Случайная функция X (t ) = U · sin t , где U – случайная величина.

Найти сечения X (t ), соответствующие фиксированным значениям аргумента t 1 = , t 2 = .

Решение. Так как сечением случайной функции X (t ) называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента, то при данных значениях аргумента соответствующими сечениями будут

X 1 = U · = , X 2 = U · = U .

2. Найти математическое ожидание случайной функции X (t ) = U · ℮ t , где U М (U) = 5.

Решение. Напомним, что математическим ожиданием случайной функции X (t ) называется неслучайная функция m x (t ) = M [X (t )], которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции. Следовательно

m x (t ) = M [X (t )] = M [U · ℮ t ].

m x (t ) = M [U · ℮ t ] = ℮ t M (U ) = 5℮ t .

3. Найти математическое ожидание случайной функции а) X (t ) = Ut 2 +2t +1; б) X (t ) = U· sin4t + V· cos4t , где U и V – случайные величины, причем М (U) = М (V) = 1.

Решение . Используя свойства м.о. случайной функции, имеем

а)m x (t ) = M (Ut 2 +2t +1) = M (Ut 2) + M (2t ) + M (1) = M (U )t 2 +2t +1 = t 2 +2t +1.

б) m x (t ) = M (U· sin4t + V· cos4t ) = M (U· sin4t ) + М (V· cos4t ) = M (U )· sin4t + М (V )· cos4t = sin4t + cos4t .

4. Известна корреляционная функция K x случайной функции X (t ). Найти корреляционную функцию случайной функции Y (t ) = X (t ) + t 2 , используя определения м.о. и корреляционной функции.

Решение. Найдем м.о. случайной функции Y (t ):

m у (t ) = M [Y (t )] = M [X (t ) + t 2 ] = M [X (t )] + t 2 = m x (t ) + t 2 .

Найдем центрированную функцию

= Y (t ) - m у (t ) = [X (t ) + t 2 ] – [m x (t ) + t 2 ] = X (t ) –m x (t ) = .

K у = = = K x .

5. Известна корреляционная функция K x случайной функции X (t ). Найти корреляционную функцию случайной функции а) Y (t )= X (t )·(t +1); б) Z (t )=C ·X (t ), где С – константа.

Решение . а) Найдем м.о. случайной функции Y (t ):

m у (t ) = M [Y (t )] = M [X (t ) · (t +1)] = (t +1) · M [X (t )].

Найдем центрированную функцию

=Y (t )-m у (t )=X (t )·(t +1) - (t +1)·M [X (t )] = (t +1)·(X (t ) - M [X (t )]) = (t +1)· .

Теперь найдем корреляционную функцию

K у = = = (t 1 +1)(t 2 +1) K x .

б) Аналогично случаю а) можно доказать, что

K у = С 2 K x .

6. Известна дисперсия D x (t ) случайной функции X (t Y (t ) = X (t )+2.

Решение. Прибавление к случайной функции неслучайного слагаемого не изменяет корреляционной функции:

K у (t 1 , t 2) = K x (t 1 , t 2).

Мы знаем, что K x (t , t ) = D x (t ), поэтому

D у (t ) = K у (t , t ) = K x (t , t ) = D x (t ).

7. Известна дисперсия D x (t ) случайной функции X (t ). Найти дисперсию случайной функции Y (t ) = (t +3) · X (t ).

Решение . Найдем м.о. случайной функции Y (t ):

m у (t ) = M [Y (t )] = M [X (t ) · (t +3)] = (t +3) · M [X (t )].

Найдем центрированную функцию

=Y (t )-m у (t )=X (t )·(t +3) - (t +3)·M [X (t )] = (t +3)·(X (t ) - M [X (t )]) = (t +3)· .

Найдем корреляционную функцию

K у = = = (t 1 +3)(t 2 +3) K x .

Теперь найдем дисперсию

D у (t ) = K у (t , t ) = (t +3)(t +3) K x (t , t ) = (t +3) 2 D x (t ).

8. Дана случайная функция X (t ) = U· cos2t , где U – случайная величина, причем М (U) = 5, D (U) = 6. Найти математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайной функции X (t ).

Решение. Найдем искомое математическое ожидание, вынося неслучайный множитель cos2t за знак м.о.:

M [X (t )] = M [U· cos2t ] = cos2t ·M (U ) = 5cos2t .

Найдем центрированную функцию:

= X (t ) - m x (t ) = U· cos2t - 5cos2t = (U – 5)cos2t .

Найдем искомую корреляционную функцию:

K x (t 1 , t 2) = = M {[(U - 5)· cos2t 1 ] [(U - 5)· cos2t 2 ]} =

Cos2t 1 cos2t 2 M (U - 5) 2 .

Далее, учитывая, что для случайной величины U дисперсия по определению равна D (U ) = M [(U - M((U )] 2 = M((U - 5) 2 , получаем, что M((U - 5) 2 = 6. Следовательно, для корреляционной функции окончательно имеем

K x (t 1 , t 2) = 6cos2t 1 cos2t 2 .

Найдем теперь искомую дисперсию, для чего положим t 1 = t 2 = t :

D x (t ) = K x (t , t ) = 6cos 2 2t .

9. Задана корреляционная функция K x (t 1 , t 2) = t 1 t 2 . Найти нормированную корреляционную функцию.

Решение. По определению нормированная корреляционная функция

ρ x (t 1 , t 2) = = = .

Знак получившегося выражения зависит от того, имеют ли аргументы t 1 и t 2 одинаковые знаки или разные. Знаменатель всегда положителен, поэтому окончательно имеем

ρ x (t 1 , t 2) =

10. Задано математическое ожидание m x (t ) = t 2 + 4 случайной функции X (t ). Найти математическое ожидание случайной функции Y (t ) = tX ´(t ) + t 2 .

Решение . Математическое ожидание производной от случайной функции равно производной ее математического ожидания. Поэтому

m у (t ) = M (Y (t )) = M (tX ´(t ) + t 2) = M (tX ´(t )) + M (t 2) =

= t∙M (X ´(t )) + t 2 = t∙ (m x (t ))´ + t 2 = t∙ (t 2 + 4)´ + t 2 = 3t 2 .

11. Задана корреляционная функция K x = случайной функции X (t ). Найти корреляционную функцию от ее производной.

Решение. Чтобы найти корреляционную функцию производной, нужно дважды продифференцировать корреляционную функцию исходной случайной функции, сначала по одному аргументу, затем – по другому.

= .

+ =

= .

12. Задана случайная функция X (t ) = U ℮ 3 t cos2t , где U – случайная величина, причем М (U ) = 4, D (U ) = 1. Найти математическое ожидание и корреляционную функцию ее производной.

Решение . m х (t ) = M (Х (t )) = M (U ℮ 3 t cos2t ) = M (U )℮ 3 t cos2t = 4℮ 3 t cos2t .

M (Х´ (t )) = (m х (t ))´ = 4(3℮ 3 t cos2t – 2℮ 3 t sin2t ) = 4℮ 3 t (3cos2t – 2sin2t ).

Найдем корреляционную функцию исходной случайной функции. Центрированная случайная функция равна

= X (t ) - m x (t ) = U ℮ 3 t cos2t - 4℮ 3 t cos2t = (U – 4)℮ 3 t cos2t .

K x (t 1 , t 2) = = M {[(U - 4) cos2t 1 ] [(U - 4) cos2t 2 ]} =

Cos2t 1 cos2t 2 M ((U- 4) 2)= cos2t 1 cos2t 2 D (U )= cos2t 1 cos2t 2 .

Найдем частную производную корреляционной функции по первому аргументу

Cos2t 2 =

Cos2t 2 (3cos2t 1 – 2sin2t 1).

Найдем вторую смешанную производную корреляционной функции

= (3cos2t 1 – 2sin2t 1) =

= (3cos2t 1 – 2sin2t 1) (3cos2t 2 – 2sin2t 2).

13. Задана случайная функция X (t ), имеющая математическое ожидание

m x (t ) = 3t 2 + 1. Найти математическое ожидание случайной функции Y (t )= .

Решение . Искомое математическое ожидание

m у (t ) = = = t 2 + t .

14. Найти математическое ожидание интеграла Y (t )= , зная математическое ожидание случайной функции X (t ):

а) m x (t ) = t – cos2t ; б) m x (t ) = 4cos 2 t .

Решение . а) m у (t ) = = = .

б) m у (t ) = = = = + =

2t + sin2t .

15. Задана случайная функция X (t ) = U ℮ 2 t cos3t , где U – случайная величина, причем М (U ) = 5. Найти математическое ожидание интеграла Y (t )= .

Решение. Сначала найдем математическое ожидание самой случайной функции.

m х (t ) = M (U ℮ 2 t cos3t ) = M (U )℮ 2 t cos3t = 5℮ 2 t cos3t .

m у (t ) = = 5 = =

= ℮ 2 t sin3t - = =

= ℮ 2 t sin3t – =

= ℮ 2 t sin3t + ℮ 2 t cos3t – .

Получили круговой интеграл, следовательно

5 + = ℮ 2t sin3t + ℮ 2t cos3t .

или = ℮ 2t ( sin3t + cos3t ).

Окончательно m у (t ) = ℮ 2t ( sin3t + cos3t ).

16. Найти математическое ожидание интеграла Y (t ) = , зная случайную функцию X (t ) = U ℮ 3 t sint , где U – случайная величина, причем М (U )=2.

Решение . Найдем математическое ожидание самой случайной функции.

m х (t ) = M (U ℮ 3t sint ) = M (U )℮ 3t sint = 2℮ 3t sint .

m у (t ) = = 2 = =

= – 2℮ 3t cost + = =

= – 2℮ 3t cost + ℮ 3t sint – .

Имеем = – ℮ 3t cost + ℮ 3t sint .

Окончательно m у (t ) = – ℮ 2t cost + ℮ 2t sint .

17. Задана случайная функция X (t ), имеющая корреляционную функцию

K x (t 1 , t 2) = t 1 t 2 . Найти корреляционную функцию интеграла Y (t )= .

Решение . Сначала найдем корреляционную функцию интеграла, которая равна двойному интегралу от заданной корреляционной функции. Следовательно,

K у (t 1 , t 2) = = = = .

Тогда дисперсия D y (t ) = K у (t , t ) = .

18. Задана корреляционная функция K x (t 1 , t 2) = случайной функции X (t ). Найти дисперсию интеграла Y (t )= .

Решение . Найдем корреляционную функцию интеграла

K у (t 1 , t 2) = = =

= = .

Тогда дисперсия

D y (t ) = K у (t , t ) = .

19. Найти дисперсию интеграла Y (t ) = , зная корреляционную функцию случайной функции X (t ):

а) K x (t 1 ,t 2) = ; б) K x (t 1 , t 2) = .

Решение . а) K у (t 1 , t 2) = = .

Строя спектральное разложение стационарной случайной функции

X(t) на конечном участке времени (О, Т), мы получили спектр дисперсий случайной функции в виде ряда отдельных дискретных линий, разделенных равными промежутками (так называемый «прерывистый» или «линейчатый» спектр).

Очевидно, чем больший участок времени мы будем рассматривать, тем полнее будут наши сведения о случайной функции. Естественно поэтому в спектральном разложении попытаться перейти к пределу при Т-> оо и посмотреть, во что при этом обратится спектр

случайной функции. При поэтому расстояния

между частотами од, на которых строится спектр, будут при Т-> оо неограниченно уменьшаться. При этом дискретный спектр будет приближаться к непрерывному, в котором каждому сколь угодно малому интервалу частот Асо будет соответствовать элементарная дисперсия ADco.

Попробуем изобразить непрерывный спектр графически. Для этого мы должны несколько перестроить график дискретного спектра при конечном Т. А именно, будем откладывать по оси ординат уже не саму дисперсию D k (которая безгранично уменьшается при Т- »оо), а среднюю плотность дисперсии, т.е. дисперсию, приходящуюся на единицу длины данного интервала частот. Обозначим расстояние между соседними частотами Асо:

и на каждом отрезке Асо как на основании построим прямоугольник с площадью D k (рис. 17.3.1). Получим ступенчатую диаграмму, напоминающую по принципу построения гистограмму статистического распределения.

Высота диаграммы на участке Асо, прилежащем к точке сод., равна

Рис. 17.3.1

и представляет собой среднюю плотность дисперсии на этом участке. Суммарная площадь всей диаграммы, очевидно, равна дисперсии случайной функции.

Будем неограниченно увеличивать интервал Т. При этом Дю -> О, и ступенчатая кривая будет неограниченно приближаться к плавной кривой S x (со) (рис. 17.3.2). Эта кривая изображает плотность распределения дисперсий по частотам непрерывного спектра, а сама функция Д х.(а>) называется спектральной плотностью дисперсии , или, короче, спектральной плотностью стационарной случайной функции X(t).

Рис. 17.3.2

Очевидно, площадь, ограниченная кривой Д г (со), по-прежнему должна равняться дисперсии D x случайной функции X(t ):

Формула (17.3.2) есть не что иное, как разложение дисперсии D x на сумму элементарных слагаемых Л’Дсо) с/со, каждое из которых представляет собой дисперсию, приходящуюся на элементарный участок частот dсо, прилежащий к точке со (рис. 17.3.2).

Таким образом, мы ввели в рассмотрение новую дополнительную характеристику стационарного случайного процесса - спектральную плотность, описывающую частотный состав стационарного процесса. Однако эта характеристика не является самостоятельной; она полностью определяется корреляционной функцией данного процесса. Подобно тому, как ординаты дискретного спектра D k выражаются формулами (17.2.4) через корреляционную функцию к х (т), спектральная плотность S x (a) также может быть выражена через корреляционную функцию.

Выведем это выражение. Для этого перейдем в каноническом разложении корреляционной функции к пределу при Т- > оо и посмотрим, во что оно обратится. Будем исходить из разложения (17.2.1) корреляционной функции в ряд Фурье на конечном интервале (-Т, 7):

где дисперсия, соответствующая частоте со /(, выражается формулой

Перед тем как переходить к пределу при Г -> оо, перейдем в формуле (17.3.3) от дисперсии D k к средней плотности дисперсии

Так как эта плотность вычисляется еще при конечном значении Т и зависит от Т, обозначим ее:

Разделим выражение (17.3.4) на получим:

Из (17.3.5) следует, что

Подставим выражение (17.3.7) в формулу (17.3.3); получим:

Посмотрим, во что превратится выражение (17.3.8) при Т-> оо. Очевидно, при этом Асо -> 0; дискретный аргумент со /(переходит в непрерывно меняющийся аргумент со; сумма переходит в интеграл по переменной со; средняя плотность дисперсии S X T) ( со А.) стремится к плотности дисперсии А Л.(ю), и выражение (17.3.8) в пределе принимает вид:

где S x (со) -спектральная плотность стационарной случайной функции.

Переходя к пределу при Г-> оо в формуле (17.3.6), получим выражение спектральной плотности через корреляционную функцию:

Выражение типа (17.3.9) известно в математике под названием интеграла Фурье. Интеграл Фурье есть обобщение разложения в ряд Фурье для случая непериодической функции, рассматриваемой на бесконечном интервале, и представляет собой разложение функции на сумму элементарных гармонических колебаний с непрерывным спектром 1 .

Подобно тому как ряд Фурье выражает разлагаемую функцию через коэффициенты ряда, которые в свою очередь выражаются через разлагаемую функцию, формулы (17.3.9) и (17.3.10) выражают функции к х (т) и А х (к>) взаимно: одна через другую. Формула (17.3.9) выражает корреляционную функцию через спектральную плотность; формула

(17.3.10), наоборот, выражает спектральную плотность через корреляционную функцию. Формулы типа (17.3.9) и (17.3.10), связывающие взаимно две функции, называются преобразованиями Фурье .

Таким образом, корреляционная функция и спектральная плотность выражаются одна через другую с помощью преобразований Фурье.

Заметим, что из общей формулы (17.3.9) при т = 0 выводится ранее полученное разложение дисперсии по частотам (17.3.2).

На практике вместо спектральной плотности S x (со) часто пользуются нормированной спектральной плотностью:

где D x - дисперсия случайной функции.

Нетрудно убедиться, что нормированная корреляционная функция р л (т) и нормированная спектральная плотность л Л (со) связаны теми же преобразованиями Фурье:

Полагаявпервомизравенств(17.3.12)т = 0иучитывая,что р т (0)= 1, имеем:

т.е. полная площадь, ограниченная графиком нормированной спектральной плотности, равна единице.

Пример 1. Нормированная корреляционная функция р х (т) случайной функции X(t) убывает по линейному закону от единицы до нуля при 0 т 0 р л.(т) = 0 (рис. 17.3.3). Определить нормированную спектральную плотность случайной функции X(t).

Решение. Нормированная корреляционная функция выражается

формулами:

Из формул (17.3.12) имеем:

Рис. 17.3.3

Рис. 17.3.4

График нормированной спектральной плотности представлен на рис. 17.3.4. Первый - абсолютный - максимум спектральной плотности достигается при со = 0; раскрытием неопределенности

спектральная плотность достигает ряда относительных максимумов, высота которых убывает с возрастанием со; при ю -> оо л А. (о>)->0. Характер изменения спектральной плотности s x (со) (быстрое или медленное убывание) зависит от параметра т 0 . Полная площадь, ограниченная кривой s x (со), постоянна и равна единице. Изменение т 0 равносильно изменению масштаба кривой,s" A .(co) по обеим осям при сохранении ее площади. При увеличении т 0 масштаб по оси ординат увеличивается, по оси абсцисс - уменьшается; преобладание в спектре случайной функции нулевой частоты становится более ярко выраженным. В пределе при т -> оо случайная функция вырождается в обычную случайную величину; при этом р д (т) = I, а спектр становится дискретным с одной-единственной частотой со 0 = 0.

Рис. 17.3.5

Пример 2. Нормированная спектральная плотность.v v (co) случайной функции X(t) постоянна на некотором интервале частот а> ь а> 2 и равна нулю вне этого интервала (рис. 17.3.5).

Определить нормированную корреляционную функцию случайной функции X(t).

Решение. Значение х л (со) при «ц 2 определяем из условия, что площадь, ограниченная кривой s x (со), равна единице:

Из (17.3.12) имеем:

Общий вид функции р д (т) изображен на рис. 17.3.6. Она носит характер убывающих по амплитуде колебаний с рядом узлов, в которых функция обращается в нуль. Конкретный вид графика, очевидно, зависит от значений a>а> 2 .

Рис. 17.3.6

Представляет интерес предельный вид функции р х (т) при «ц -> ю 2 . Очевидно, при ю 2 = оу = со спектр случайной функции обращается в дискретный с одной-единственной линией, соответствующей частоте со; при этом корреляционная функция обращается в простую косинусоиду:

Посмотрим, какой вид в этом случае имеет сама случайная функция X(t). При дискретном спектре с одной-единственной линией

спектральное разложение стационарной случайной функции X(t) имеет вид;

где U vlV -некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и равными дисперсиями:

Покажем, что случайная функция типа (17.3.14) может быть представлена как одно гармоническое колебание частоты со со случайной амплитудой и случайной фазой. Обозначая

приводим выражение (17.3.14) к виду:

В этом выражении - случайная амплитуда; Ф - случайная фаза гармонического колебания.

До сих пор мы рассматривали только тот случай, когда распределение дисперсий по частотам является непрерывным, т.е. когда на бесконечно малый участок частот приходится бесконечно малая дисперсия. На практике иногда встречаются случаи, когда случайная функция имеет в своем составе чисто периодическую составляющую частоты о>а со случайной амплитудой. Тогда в спектральном разложении случайной функции, помимо непрерывного спектра частот, будет фигурировать еще отдельная частота со*, с конечной дисперсией D k . В общем случае таких периодических составляющих может быть несколько. Тогда спектральное разложение корреляционной функции будет состоять из двух частей: дискретного и непрерывного спектра:

Случаи стационарных случайных функций с таким «смешанным» спектром на практике встречаются довольно редко. В этих случаях всегда имеет смысл разделить случайную функцию на два слагаемых - с непрерывным и дискретным спектром - и исследовать эти слагаемые в отдельности.

Нередко приходится иметь дело с частным случаем, когда конечная дисперсия в спектральном разложении случайной функции приходится на нулевую частоту (со = 0). Это значит, что в состав случайной функции в качестве слагаемого входит обычная случайная величина с дисперсией D 0 . В подобных случаях также имеет смысл выделить это случайное слагаемое и оперировать с ним отдельно.

• Формула (17.3.9) является частным видом интеграла Фурье, обобщающим разложениев ряд Фурье четной функции по косинусным гармоникам. Аналогичное выражение может быть написано и для более общего случая.
• Здесь мы имеем дело с частным случаем преобразований Фурье - с так называемыми«косинус-преобразованиями Фурье».

Необходимым и достаточным условием эргодичности ξ (t ) по

отношению к дисперсии является формула (2.5), а достаточным условием – (2.6).

Обычно стационарный случайный процесс бывает неэргодическим, когда он протекает неоднородно. Например, неэргодичность

ξ (t ) может быть вызвана тем, что в нём в качестве слагаемого присутствует случайная величинаX с характеристикамиm x иD x . Тогда, так какξ 1 (t ) = ξ (t ) + X , тоm ξ 1 = m ξ + m x ,K ξ 1 (τ ) = K ξ (τ ) + D x

и τ→∞ limK ξ 1 (τ ) = τ→∞ lim[ K ξ (τ ) + D x ] = τ→∞ limK ξ (τ ) + τ→∞ limD x = D x ≠ 0 .

2.2. Спектральное разложение стационарного случайного процесса и преобразование Фурье. Спектральная плотность

Основная идея спектрального представления случайных процессов заключается в том, что их можно изобразить в виде суммы некоторых гармоник. Такое представление даёт возможность сравнительно просто проводить различные, как линейные, так и нелинейные, преобразования над случайными процессами. Можно, например, исследовать, как распределяется дисперсия случайного процесса по частотам составляющих его гармоник. Использование подобной информации составляет существо спектральной теории стационарных случайных процессов.

Спектральная теория позволяет использовать в расчётах изображение по Фурье случайного процесса. В ряде случаев это существенно упрощает выкладки и широко применяется, особенно в теоретических исследованиях.

Стационарный случайный процесс ξ (t ) может быть задан сво-

им каноническимили спектральным разложением:

k = 0

где ψ k – фаза гармонического колебания элементарного случай-

ного процесса, представляющая собой случайную величину, распределённую равномерно в интервале в интервале (0,2π ) ,z k – ам-

плитуда гармонического колебания элементарного случайного процесса, причём z k – также случайная величина с некоторыми

m zи D z.

Действительно, пусть ξ k (t ) = x k cos ω k t + y k sin ω k t , тогдаm ξ k = 0 ,

K ξ k (t 1 , t 2 ) = M [ (x kcos ω kt 1 + y ksin ω kt 1 )(x kcos ω kt 2 + y ksin ω kt 2 ) ] =

M [ x k 2 cosω k t 1 cosω k t 2 + x k y k (sinω k t 1 cosω k t 2 +

Cos ω k t 1 sinω k t 2 ) + y k 2 sinω k t 1 sinω k t 2 ] =

M [ x k 2 ] cosω k t 1 cosω k t 2 + M [ y k 2 ] sinω k t 1 sinω k t 2 =

D k cosω k (t 2 − t 1 ) = D k cosω k τ .

Отсюда m ξ k = M [ z k cosψ k sinω k t + z k sinψ k sinω k t ] = 0 ,

K ξ k (t 1 ,t 2 ) = M [ (z k cosψ k sinω k t 1 + z k sinψ k sinω k t 1 ) × × (z cosψ cosω t + z sinψ sinω t ) ] =

M [ z k 2 ] { M [ cos2 ψ k ] cosω k t 1 cosω k t 2 +

M [ sinψ k cosψ k ] sinω k t 1 cosω k t 2 +

M [ cosψ k sinψ k ] cosω k t 1 sinω k t 2 +

M [ sin2 ψ k ] sinω k t 1 sinω k t 2 } = D z k + 2 m z k cos(t 2 − t 1 ) .k k k 2 k k k 2

Таким образом, при сделанных в формулах (2.8) и (2.10) предположениях о свойствах, входящих в эти формулы случайных величин, представления (2.8) и (2.10) эквивалентны. При этом слу-

чайные величины z i иψ i ,i = 1,∞ зависимы, так как, очевидно, имеют место соотношения

Поскольку ковариационная функция стационарного случайного процесса – чётная функция, то её на интервале (− T ,T ) можно раз-

ложить в ряд Фурье по косинусам, т.е. K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k cosω k τ ,

Поскольку ω k можно интерпретировать как гармоники спек-

трального разложения стационарного случайного процесса (2.8), то общая дисперсия стационарного случайного процесса, представленная своим каноническим (спектральным) разложением, равна сумме дисперсий всех гармоник его спектрального разложения. На рис. 2.1

показан набор дисперсий D k , соответствующих различным гармоникамω i . Чем более длинный интервал разложения по формуле

(2.9) будет взят, тем точнее будет разложение по этой формуле. Если взять T ′ = 2T , то спектр дисперсии разложения спектрального

Величина S ξ (ω k ) ∆ω = D k представляет собой часть общей

дисперсии стационарного случайного процесса ξ (t ) , приходящуюся на k -ю гармонику. ПриT → ∞ (или при∆ω→ 0) функцияS ξ (ω k ) будет неограниченно приближаться к кривойS ξ (ω ) , кото-

рая называется спектральной плотностью стационарного случай-

ного процесса ξ (t ) (рис. 2.2). Из (2.13) следует, что функцииK ξ (τ ) иS ξ (ω ) связаны между собой косинус-преобразованием Фурье. Таким образом,

Рис. 2.2. Графики функций S ξ (ω k ) иS ξ (ω )

Спектральная плотность по аналогии с функцией плотности вероятности обладает следующими свойствами:

1. S ξ (ω) ≥0.

2. ∞ ∫ S ξ (ω) d ω =∞ ∫ S ξ (ω) cos (0 ω) d ω =K ξ (0 ) =D ξ .

Если ввести функцию S ξ (ω ) , определённую следующим образом:

S ξ (ω) =S ξ 2 (ω ) , ω≥0,

называемую спектральной плотностью стационарного случайного процесса в комплексной форме, то эта функция помимо двух приведённых свойств обладает ещё третьим свойством – свойством чётности (рис. 2.3).

3. S ξ (ω) =S ξ (− ω) .

Рис. 2.3. Графики функции спектральной плотности

Перепишем (2.8) в следующем виде:

можно получить интегральное каноническое представлениеста-

ционарного случайного процесса:

мый «белый шум» (см. подразд. 2.4). Статистические характери-

спектральное разложение стационарного случайного процесса в комплексной форме имеет вид

Аналогичные действия можно провести с ковариационной функцией, представленной в виде (2.9), и получить

Kξ (τ ) = ∑ ∞ Dk ei ω k t .

k =−∞

Формулу (2.13) с учётом введения функции реписать в следующем виде:

S ξ (ω ) можно пе-

Формулы (2.18) и (2.19) представляют собой преобразование Фурье спектральной плотности S ξ (ω ) и ковариационной функцииK ξ (τ ) в комплексной форме.

Поскольку спектральная плотность S ξ (ω ) представляет собой

плотность распределения дисперсии случайного процесса по частотам его гармоник, то в некоторых приложениях теории случай-

ных процессов K ξ ( 0) = D ξ (t ) интерпретируют как энергию стационарного случайного процесса, аS ξ (ω ) – как плотность этой

энергии на единицу частоты. Эта трактовка появилась после применения теории стационарных случайных процессов в электротехнике.

Пример 5. Найти спектральную плотностьS ξ (ω ) элементарного случайного процессаξ k (t ) = x k cosω k t + y k sinω k t .

= D k ∞ ∫ [ cos (ω− ωk ) τ +cos (ω+ ωk ) τ] d τ =

π 0

= D k ∞ ∫ [ e i (ω−ω

S ξ k(ω ) =

−i (ω−ωk ) τd (− τ ) + ∫ e i (ω−ωk ) τd τ +

k (− 1 ) ∫ e

2π

+ (−1 ) ∫ e

−i (ω+ωk ) τd (− τ ) + ∫ e i (ω+ωk ) τd τ

k ∫

e i (ω−ωk )(−τ) d (− τ ) + ∫ e i (ω−ωk ) τd τ + (− 1 ) ∫ e i (ω+ωk )(−τ) d (− τ ) +

2 π−∞

+ ∫ e i (ω+ωk ) τd τ

k ∫ e i (ω−ωk ) τd τ +

∫e i

(ω+ωk ) τd τ

2 π−∞

= D k [ δ(ω− ωk ) + δ(ω+ ωk ) ] ,

где δ (ω ) = 1 ∞ ∫ e i ωτ d τ – интегральное представление в виде пре-

2 π−∞

образования Фурье δ -функции Дирака. Выражение дляS ξ k (ω )

можно было таким и оставить, но для полож ительных ω (так какω k > 0), принимая во внимание свойства δ -функции, (см. табл. 6

на с. 141), δ (ω+ ω k ) ≡ 0 . Таким образом,S ξ (ω ) = D k δ (ω− ω k ) .

Тогда S ξ k (ω) =1 2 S ξ k (ω) =D 2 k [ δ(ω− ωk ) + δ(ω+ ωk ) ] .

Найдём теперь заданную спектральную плотность в комплексной форме. Функции S ξ (ω ) иS ξ k (ω ) – действительные не-

отрицательные функции. S ξ k (ω ) – чётная функция, определённая на интервале(− ∞ ,∞ ) ,S ξ (ω ) – определена на интервале( 0,∞ ) , и

на этом интервале S ξ k (ω ) = 1 2 S ξ k (ω ) (см. рис. 2.3). По формуле (2.19)