Для линейного неоднородного дифференциального уравнения n- го порядка
y (n ) + a 1(x ) y (n- 1) + ... + an- 1 (x ) y " + an (x ) y = f(x) ,
где y
= y
(x
) - неизвестная функция, a
1(x
), a
2(x
), ..., an-
1(x
), an
(x
), f
(x
) - известные, непрерывные, справедливо
:
1) если y
1(x
) и y
2(x
) - два решения неоднородного уравнения, то функция
y
(x
) = y
1(x
) - y
2(x
) - решение соответствующего однородного уравнения;
2) если y
1(x
) решение неоднородного уравнения, а y
2(x
) - решение соответствующего однородного уравнения, то функция
y
(x
) = y
1(x
) + y
2(x
) - решение неоднородного уравнения;
3) если y
1(x
), y
2(x
), ..., yn
(x
) - n
линейно независимых решений однородного уравнения, а yч
(x
) - произвольное решение неоднородного уравнения,
то для любых начальных значений
x
0, y
0, y
0,1, ..., y
0,n-
1
Выражение
y
(x
)= c
1 y
1(x
) + c
2 y
2(x
) + ... + cn yn
(x
) + yч
(x
)
называется общим решением
линейного неоднородного дифференциального уравнения n
-го порядка.
Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида:
Pk
(x
)exp(ax
)cos(bx
) + Qm
(x
)exp(ax
)sin(bx
),
где Pk
(x
), Qm
(x
) - многочлены степени k
и m
соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора
.
Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем.
Искомое решение уравнения записывается в виде:
(Pr
(x
)exp(ax
)cos(bx
) + Qr
(x
)exp(ax
)sin(bx
))xs
,
где Pr
(x
), Qr
(x
) - многочлены степени r
= max(k
, m
) с неизвестными
коэффициентами
pr
, pr-
1, ..., p
1, p
0, qr
, qr-
1, ..., q
1, q
0.
Таким образом, для отыскания общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует
найти общее решение соответствующего однородного уравнения (записать характеристическое уравнение, найти все корни характеристического уравнения l
1, l
2, ... , ln
, записать фундаментальную систему решений y
1(x
), y
2(x
), ..., yn
(x
));
найти любое частное решение неоднородного уравнения yч
(x
);
записать выражение для общего решения
y
(x
)= c
1 y
1(x
) + c
2 y
2(x
) + ... + cn yn
(x
) + yч
(x
);
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.
Дифференциальное уравнение вида (1)
где , f - известная функция, называется линейнымдифференциальным уравнением n - го порядка с постоянными коэффициентами. Если , то уравнение (1) называется однородным, в противном случае - неоднородным.
Для линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами и с правой частью специального вида, а именно состоящей из сумм и произведений функций , частное решение можно искать методом неопределенных коэффициентов. Вид частного решения зависит от корней характеристического уравнения. Ниже представлена таблица видов частных решений линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида.
Комплексная плоскость. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Геометрический смысл
Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i 2 = –1. Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.
Геометрическое представление комплексных чисел. Действительные числа изображаются точками на числовой прямой:
Здесь точка A означает число –3, точка B – число 2, и O – ноль. В отличие от этого комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ bi будет представлено точкой Р с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.
Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа a+ bi обозначается | a+ bi | или буквой r и равен:
Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль. __
Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда, tan = b / a .
Знание фундаментальной системы решений уравнения дает возможность построить общее решение этого уравнения. Напомним определение общего решения дифференциального уравненияп -го порядка
Функция
,
определенная в некоторой области
изменения переменных
,
в каждой точке которой имеет место
существование и единственность решения
задачи Коши, и имеющая непрерывные
частные производные пох
до порядка п
включительно, называется общим решением
уравнения (15) в указанной области, если:
система уравнений
разрешима в
указанной области относительно
произвольных постоянных
,
так что
(16)
2. функция
является решением уравнения (15) при всех
значениях произвольных постоянных
,
выраженных формулами (16), когда точка
принадлежит рассматриваемой области.
Теорема 1. (о
структуре общего решения линейного
однородного дифференциального уравнения)
.
Если функции
,
,
…,
образуют фундаментальную систему
решений однородного линейного уравненияп
-го
порядка
в интервале
,
т.е. в интервале непрерывности коэффициентов,
то функция
является общим решением этого уравнения
в областиD
:
,
,
.
Доказательство.
В каждой точке указанной области имеет
место существование и единственность
решения задачи Коши. Покажем теперь,
что функция
удовлетворяет определению общего
решения уравненияп
-го
порядка.
система уравнений
разрешима в области
D
относительно произвольных постоянных
так как определитель этой системы
является определителем Вронского для
фундаментальной системы решений (12) и
следовательно, отличен от нуля.
2. Функция
по свойству решений однородного линейного
уравнения является решением уравнения
при всех значениях произвольных
постоянных
.
Поэтому функция
является общим решением уравнения
в областиD
.
Теорема доказана.
Пример.
.
Решениями этого
уравнения, очевидно являются функции
,
.
Эти решения образуют фундаментальную
систему решений, так как
.
Поэтому общим решением исходного уравнения является функция .
Структура общего решения неоднородного линейного уравнения п-го порядка.
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение п -го порядка
Покажем, что, как и в случае линейного неоднородного уравнения первого порядка, интегрирование уравнения (1) сводится к интегрированию однородного уравнения, если известно одно частное решение неоднородного уравнения (1).
Пусть
- частное решение уравнения (1), т.е.
,
. (2)
Положим
,
гдеz
– новая неизвестная функция от х
.
Тогда уравнение (1) примет вид
или
,
откуда в силу тождества (2) получаем
. (3)
Это есть однородное линейное уравнение, левая часть которого та же, что и рассматриваемого неоднородного уравнения (1). Т.е. мы получили однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному уравнению (1).
,
,
…,
,
есть фундаментальная система решений однородного уравнения (3). Тогда все решения этого уравнения содержатся в формуле его общего решения, т.е.
.
Подставим это
значение z
в формулу
,
получим
.
Полученная функция является общим решением уравнения (1) в области D .
Таким образом, мы показали, что общее решение линейного неоднородного уравнения (1) равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного линейного уравнения.
Пример. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Имеем, частное решение данного неоднородного линейного уравнения имеет вид
.
Общее решение
соответствующего однородного уравнения
,
как мы уже показали ранее, имеет вид
Следовательно,
общее решение исходного уравнения:
.
Во многих случаях задача нахождения частного решения неоднородного уравнения облегчается, если воспользоваться следующим свойством:
Теорема. Если в уравнении (1) правая часть имеет вид
и известно, что
,
а- частное решение уравнения
,
то сумма этих частных решений+будет частным решением уравнения (1).
Доказательство.
Действительно, так как по условию
есть частное решение уравнения
,
а- частное решение уравнения
,
то
,
.
т.е. +является частным решением уравнения (1).
Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой.
Теорема 1. Общее решение неоднородного уравнения (1), представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения у ч и общего решения соответствующего однородного уравнения
Доказательство. Нужно доказать, что сумма (3)
Есть общее решение уравнения (1).
Докажем сначала, что функция (3) есть решение уравнения (1). Подставляя вместо у сумму в уравнение (1) будем иметь:
Так как – есть решение уравнения (2) то выражение, стоящее в первых скобках уравнения (4) тождественно равно нулю. Так как y ч есть решение уравнения (1), то выражение, стоящее во второй скобке (4) равно f(x) . Следовательно равенство (4) является тождеством. Таким образом, первая часть теоремы доказана.
Докажем теперь, что выражение (3) есть общее решение уравнения (1), т.е. докажем, что входящие в него произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы выполнялись начальные условия (5)
каковы бы ни были числа х 0 , у 0 , и (лишь бы области, где функции a 1 ,a 2 и f(x) непрерывны).
Заметив, что можно представить в виде , где у 1 ,у 2 линейно независимые решения уравнения (2), а С 1 и С 2 – произвольные постоянные, можем переписать равенство (3) в виде . Тогда на основании условия (5) будем иметь систему
.
Из этой системы уравнений нужно определить С 1 и С 2 . Перепишем систему в виде
(6)
Определитель системы – есть определитель Вронского для решений у 1 и у 2 в точке . Так как эти функции по условию, линейно независимые, то определитель Вронского не равен нулю, следовательно система (6) имеет единственное решение С 1 и С 2 , т.е. существуют такие значения С 1 и С 2 при, которых формула (3) определяет решение уравнения (1), удовлетворяющее данным начальным условиям.
Таким образом, если известно общее решение однородного уравнения (2), то основная задача при интегрировании неоднородного уравнения (1) состоит в нахождении какого-либо его частного решения у ч .
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Метод неопределенных коэффициентов.
Иногда бывает возможно найти решение проще, не прибегая к интегрированию. Это имеет место в особых случаях, когда функция f(x) имеет специальный вид.
Пусть имеем уравнение , (1)
где p и q действительные числа, а f(х) имеет специальный вид. Рассмотрим несколько таких возможностей для уравнения (1).
Пусть правая часть уравнения (1) представляет собой произведение показательной функции на многочлен, т.е. имеет вид , (2)
где - многочлен n-ой степени. Тогда возможны следующие случаи:
а) число – не является корнем характеристического уравнения .
В этом случае частное решение нужно искать в виде (3)
т.е. в виде многочлена тоже n -ой степени, где А 0 , А 1 ,…,А n коэффициенты, подлежат определению.
Для того, чтобы их определить, находим производные и .
Подставив у ч , и в уравнение (1) и сокращая обе части на множитель будем иметь:
Здесь – многочлен n-ой степени, – многочлен (n-1)-ой степени, –многочлен (n-2)-ой степени.
Таким образом, слева и справа от знака равенства стоят многочлены n -ой степени. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (число неизвестных коэффициентов равно ), получаем систему уравнений для определения коэффициентов А 0 , А 1 , …, А n .
если правая часть уравнения (1) имеет вид: