"Dikkat çekici sınır" terimi, ders kitaplarında ve öğretim yardımcılarında, önemli ölçüde yardımcı olan önemli kimlikleri belirtmek için yaygın olarak kullanılmaktadır. işinizi basitleştirin sınırları bulma konusunda.

Ama getirebilmek Dikkat çekici olana dair sınırınız, buna iyi bakmanız gerekiyor, çünkü bunlar doğrudan formda değil, çoğu zaman ek şartlar ve faktörlerle donatılmış sonuçlar şeklinde bulunur. Ancak önce teori, sonra örnekler ve başaracaksınız!

İlk harika sınır

Hoşuna gitti mi? Favorilere ekle

Dikkate değer ilk limit şu şekilde yazılır ($0/0$ formundaki belirsizlik):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1.

$$

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1.

$$

Örnek çözümler: 1 harika limit

Örnek 1. Limiti hesaplayın $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$ $3/8$.

Çözüm. İlk adım her zaman aynıdır - $x=0$ limit değerini fonksiyona koyarız ve şunu elde ederiz:

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\sağ].$$

$\left[\frac(0)(0)\right]$ biçiminde bir belirsizlik elde ettik. Sadeleştirmede ilk harika limiti (üç kez!) kullanarak limiti dönüştürelim:

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Limiti hesaplayın $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$ $9/16$.

Örnek 3. Limiti bulun $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. Trigonometrik fonksiyonun altında karmaşık bir ifade varsa ne olur? Hiç önemli değil, burada da aynı şekilde ilerliyoruz. Öncelikle belirsizliğin türünü kontrol edelim, fonksiyona $x=0$ koyalım ve şunu elde edelim:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

$\left[\frac(0)(0)\right]$ biçiminde bir belirsizlik elde ettik. Çarp ve $2x^3+3x$ ile böl:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

Yine belirsizlikle karşı karşıyayız, ancak bu durumda bu sadece bir kısımdır. Pay ve paydayı $x$ azaltalım:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ kesir(3)(5). $$

Limiti hesaplayın $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$ $3/5$.

İkinci harika sınır

Dikkate değer ikinci limit şu şekilde yazılır ($1^\infty$ formundaki belirsizlik):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(veya) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e.

$$

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab).

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1.

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1.$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\to 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1.

$$

$\left$ formunda bir belirsizlik elde ettik. Sınır ikinci dikkat çekici şeye indirgenebilir. Haydi dönüştürelim:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Parantez içindeki ifade aslında ikinci dikkate değer limittir $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, only $t= - 3x/2$, yani

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Limiti hesaplayın $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$$e^(-2/3)$.

Örnek 5. $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ limitini bulun. $

$$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. Fonksiyonda $x=\infty$ yerine koyarız ve $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$ biçiminde bir belirsizlik elde ederiz. Ve $\left$'a ihtiyacımız var. O halde parantez içindeki ifadeyi dönüştürerek başlayalım:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Parantez içindeki ifade aslında ikinci dikkate değer limittir $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, only $t= \ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, dolayısıyla

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Bu başlıkta ikinci dikkat çekici limit kullanılarak elde edilebilecek formülleri inceleyeceğiz (doğrudan ikinci dikkat çekici limite ayrılmış bir konu yer alıyor). Bu bölümde ihtiyaç duyulacak ikinci dikkat çekici limitin iki formülasyonunu hatırlatmama izin verin: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e $ ve $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.

Genellikle formülleri kanıt olmadan sunarım ancak bu sayfa için sanırım bir istisna yapacağım. Mesele şu ki, ikinci dikkate değer limitin sonuçlarına ilişkin kanıt, problemlerin doğrudan çözümünde yararlı olan bazı teknikleri içermektedir. Genel olarak konuşursak, şu veya bu formülün nasıl kanıtlandığını bilmeniz tavsiye edilir. Bu, iç yapısını ve uygulanabilirliğin sınırlarını daha iyi anlamanızı sağlar. Ancak kanıtlar tüm okuyucuların ilgisini çekmeyebileceğinden, bunu her sonuçtan sonra yer alan notların altına saklayacağım.

Sonuç #1

1 numaralı sonucun kanıtı: göster\gizle

$x\to 0$'da $\ln(1+x)\to 0$'a sahip olduğumuz için, söz konusu limitte $\frac(0)(0)$ biçiminde bir belirsizlik vardır. Bu belirsizliği ortaya çıkarmak için $\frac(\ln(1+x))(x)$ ifadesini aşağıdaki biçimde sunalım: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$ . Şimdi $\frac(1)(x)$'ı $(1+x)$ ifadesinin kuvvetine dahil edelim ve ikinci dikkate değer limiti uygulayalım:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ için\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

Bir kez daha $\frac(0)(0)$ biçiminde belirsizlikle karşı karşıyayız. Daha önce kanıtladığımız formüle güveneceğiz. $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$ olduğundan, $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

Sonuç #2

2 numaralı sonucun kanıtı: göster\gizle

$x\'den 0$'a kadar $e^x-1\'den 0$'a kadar elimizde olduğundan, söz konusu limitte $\frac(0)(0)$ biçiminde bir belirsizlik vardır. Bu belirsizliği ortaya çıkarmak için $t=e^x-1$ şeklinde değişkeni değiştirelim. $x\to 0$ olduğundan, $t\to 0$ olur. Daha sonra, $t=e^x-1$ formülünden şunu elde ederiz: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \sağ|=\sol | \begin(aligned) & t=e^x-1;\; t\to 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (aligned) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

Bir kez daha $\frac(0)(0)$ biçiminde belirsizlikle karşı karşıyayız. Daha önce kanıtladığımız formüle güveneceğiz. $a^x=e^(x\ln a)$ olduğundan, o zaman:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0) )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

Sonuç #3

3 numaralı sonucun kanıtı: göster\gizle

Bir kez daha $\frac(0)(0)$ formundaki belirsizlikle uğraşıyoruz. $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$ olduğundan şunu elde ederiz:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x) ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

Örnek No.1

$\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$ limitini hesaplayın.

$\frac(0)(0)$ biçiminde bir belirsizliğimiz var. Bu belirsizliği ortaya çıkarmak için formülü kullanacağız. Limitimizi bu formüle sığdırmak için $e$'ın kuvveti ile paydadaki ifadelerin çakışması gerektiğini aklımızda tutmalıyız. Başka bir deyişle paydada sinüse yer yoktur. Payda $9x$ olmalıdır. Ek olarak, bu örneğin çözümünde ilk dikkate değer limit kullanılacaktır.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ ila\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$

Cevap: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

Örnek No.2

$\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$ limitini hesaplayın.

$\frac(0)(0)$ şeklinde bir belirsizliğimiz var (size şunu hatırlatmama izin verin $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Bu belirsizliği ortaya çıkarmak için formülü kullanacağız. Öncelikle $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ değerini hesaba katalım (trigonometrik fonksiyonlarla ilgili çıktıya bakın). Şimdi $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, dolayısıyla paydada $-2\sin^2 \ ifadesini almalıyız. frac(x )(2)$ (örneğimizi formüle uydurmak için). Sonraki çözümde ilk dikkate değer limit kullanılacaktır.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x) )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$

Cevap: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.

Harika sınırlar bulun Bu sadece limitler teorisi üzerine çalışan birçok birinci ve ikinci sınıf öğrencisi için değil aynı zamanda bazı öğretmenler için de zordur.

İlk dikkate değer limitin formülü

İlk dikkate değer sınırın sonuçları formüllere yazalım
1. 2. 3. 4. Ancak dikkate değer sınırların genel formülleri, sınavda veya testte kimseye yardımcı olmaz. Mesele şu ki, gerçek görevler, yukarıda yazılan formüllere ulaşmanız gerekecek şekilde yapılandırılmıştır. Ve dersleri kaçıran, bu dersi gıyaben okuyan veya ne anlattıklarını her zaman anlamayan öğretmenleri olan öğrencilerin çoğunluğu, en temel örnekleri dikkate değer sınırlara kadar hesaplayamaz. İlk kayda değer limitin formüllerinden, bunların yardımıyla trigonometrik fonksiyonlara sahip ifadeler için sıfır bölü sıfır tipindeki belirsizlikleri incelemenin mümkün olduğunu görüyoruz. Önce birinci dikkat çekici limitin birkaç örneğini ele alalım, sonra da ikinci dikkat çekici limiti inceleyelim.

Örnek 1. sin(7*x)/(5*x) fonksiyonunun limitini bulun
Çözüm: Gördüğünüz gibi limitin altındaki fonksiyon ilk dikkate değer limite yakın ancak fonksiyonun limiti kesinlikle bire eşit değil. Limitlerle ilgili bu tür görevlerde, paydada sinüsün altındaki değişkende bulunan aynı katsayıya sahip bir değişken seçilmelidir. Bu durumda 7'ye bölüp çarpıyoruz.

Bazıları için bu tür ayrıntılar gereksiz görünebilir, ancak sınırlarla ilgili zorluk çeken çoğu öğrenci için kuralları daha iyi anlamalarına ve teorik materyale hakim olmalarına yardımcı olacaktır.
Ayrıca bir fonksiyonun ters formu varsa bu aynı zamanda ilk harika limittir. Ve hepsi harika limitin bire eşit olması nedeniyle

Aynı kural 1. dikkate değer limitin sonuçları için de geçerlidir. Bu nedenle “İlk dikkate değer limit nedir?” diye sorulursa. Bir birim olduğu konusunda tereddüt etmeden cevap vermelisiniz.

Örnek 2. sin(6x)/tan(11x) fonksiyonunun limitini bulun
Çözüm: Nihai sonucu anlamak için fonksiyonu forma yazalım.

Dikkate değer limit kurallarını uygulamak için çarpanlara bölün ve çarpın

Daha sonra fonksiyonların çarpımının limitini limitlerin çarpımı yoluyla yazıyoruz.

Karmaşık formüller olmadan trigonometrik fonksiyonların limitini bulduk. Basit formüllerde ustalaşmak için, 1 harika limitin doğal sonucu olan 2 ve 4'ün limitini bulmaya çalışın. Daha karmaşık sorunlara bakacağız.

Örnek 3: Limiti hesaplayın (1-cos(x))/x^2
Çözüm: Değiştirme yoluyla kontrol ettiğimizde 0/0 belirsizlik elde ederiz. Pek çok insan böyle bir örneği dikkate değer bir sınıra nasıl indirgeyeceğini bilmiyor. Burada trigonometrik formül kullanılmalıdır.

Bu durumda limit net bir forma dönüşecektir.

Fonksiyonu dikkate değer bir limitin karesine indirmeyi başardık.

Örnek 4. Limiti bulun
Çözüm: Yerine koyarken tanıdık özelliği 0/0 elde ederiz. Ancak değişken sıfırdan ziyade Pi'ye eğilimlidir. Bu nedenle, ilk dikkate değer limiti uygulamak için, x değişkeninde öyle bir değişiklik yapacağız ki, yeni değişken sıfıra gitsin. Bunu yapmak için paydayı yeni bir değişken olarak belirtiriz: Pi-x=y

Böylece önceki görevde verilen trigonometrik formülü kullanarak örnek 1 dikkat çekici limite indirgenir.

Örnek 5: Limiti Hesapla
Çözüm: Başlangıçta limitlerin nasıl basitleştirileceği açık değildir. Ancak bir örnek olduğuna göre, bir cevap da olmalı. Değişkenin birliğe gitmesi gerçeği, ikame sırasında sıfır ile sonsuzun çarpıldığı bir özellik verir, bu nedenle tanjant aşağıdaki formül kullanılarak değiştirilmelidir.

Bundan sonra gerekli belirsizliği 0/0 elde ederiz. Daha sonra limitte değişken değişimi gerçekleştiriyoruz ve kotanjantın periyodikliğini kullanıyoruz.

Son ikameler dikkat çekici limitin Sonuç 1'ini kullanmamıza izin veriyor.

İkinci dikkate değer limit üstel değere eşittir

Bu, gerçek limit problemlerinde ulaşılması her zaman kolay olmayan bir klasiktir.
Hesaplamalarda ihtiyacınız olacak limitler ikinci dikkate değer limitin sonuçlarıdır:
1. 2. 3. 4.
Dikkate değer ikinci limit ve sonuçları sayesinde sıfırın sıfıra bölümü, birin sonsuzun kuvveti, sonsuzun sonsuza bölümü gibi belirsizlikleri, hatta aynı derecede keşfetmek mümkün oluyor.

Basit örneklerle başlayalım.

Örnek 6. Bir fonksiyonun limitini bulma
Çözüm: 2. dikkate değer limiti doğrudan uygulamak işe yaramayacaktır. Öncelikle üssü parantez içindeki terimin tersi gibi görünecek şekilde dönüştürmelisiniz.

Bu, 2. dikkate değer limite indirgeme ve esas itibarıyla limitin sonucu için 2. formülü çıkarma tekniğidir.

Örnek 7. Bir fonksiyonun limitini bulma
Çözüm: Harika bir limitin sonuç 2'sinin formül 3'üne yönelik görevlerimiz var. Sıfırın yerine koymak 0/0 biçiminde bir tekillik verir. Bir kuralın limitini yükseltmek için paydayı, değişken logaritmadakiyle aynı katsayıya sahip olacak şekilde çeviririz.

Sınavda anlaşılması ve uygulanması da kolaydır. Öğrencilerin limit hesaplamasında yaşadıkları zorluklar aşağıdaki problemlerle başlamaktadır.

Örnek 8. Bir fonksiyonun limitini hesaplama[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Çözüm: Sonsuzun kuvvetine göre tip 1 tekilliğimiz var. Bana inanmıyorsanız her yerde “X” yerine sonsuzluğu yazıp bundan emin olabilirsiniz. Bir kural oluşturmak için payını parantez içindeki paydaya böleriz; bunu yapmak için önce manipülasyonları yaparız.

İfadeyi limitin yerine koyalım ve onu 2 harika limite çevirelim

Limit 10'un üstel kuvvetine eşittir. Hem parantez içinde hem de derece olarak değişken içeren terimler olan sabitler herhangi bir "hava durumu" getirmez - bunun hatırlanması gerekir. Ve eğer öğretmenleriniz size “Göstergeyi neden dönüştürmüyorsunuz?” (x-3'teki bu örnek için) sonra şunu söyleyin: "Bir değişken sonsuza doğru gittiğinde, ona 100 ekleyin veya 1000 çıkarın, limit aynı kalacaktır!"
Bu tür limitleri hesaplamanın ikinci bir yolu vardır. Bir sonraki görevde bunun hakkında konuşacağız.

Örnek 9. Sınırı bulun
Çözüm: Şimdi pay ve paydadaki değişkeni çıkarıp bir özelliği diğerine çevirelim. Nihai değeri elde etmek için dikkate değer limitin Sonuç 2 formülünü kullanıyoruz

Örnek 10. Bir fonksiyonun limitini bulma
Çözüm: Verilen sınırı herkes bulamaz. Limiti 2'ye çıkarmak için sin'in (3x) bir değişken olduğunu ve üssü çevirmeniz gerektiğini düşünün.

Daha sonra göstergeyi bir kuvvetin kuvveti olarak yazıyoruz.


Ara argümanlar parantez içinde açıklanmıştır. Birinci ve ikinci dikkat çekici limitlerin kullanılması sonucunda küpteki üstel sayıyı elde ettik.

Örnek 11. Bir fonksiyonun limitini hesaplama sin(2*x)/ln(3*x+1)
Çözüm: 0/0 formunda bir belirsizliğimiz var. Ayrıca fonksiyonun hem harika limitleri kullanacak şekilde dönüştürülmesi gerektiğini görüyoruz. Önceki matematiksel dönüşümleri gerçekleştirelim

Ayrıca, zorluk çekmeden limit şu değeri alacaktır:

İşlevleri hızlı bir şekilde yazmayı ve bunları birinci veya ikinci harika sınıra indirmeyi öğrenirseniz, ödevlerde, testlerde, modüllerde kendinizi bu kadar özgür hissedeceksiniz. Limitleri bulmak için verilen yöntemleri ezberlemek sizin için zorsa, o zaman bizden her zaman limitlerle ilgili bir test ödevi sipariş edebilirsiniz.
Bunu yapmak için formu doldurun, verileri sağlayın ve örnekler içeren bir dosya ekleyin. Birçok öğrenciye yardım ettik; size de yardımcı olabiliriz!

Şimdi sakin bir ruhla düşünmeye devam edelim. harika sınırlar.
benziyor.

X değişkeni yerine çeşitli fonksiyonlar mevcut olabilir, asıl önemli olan bunların 0'a yönelmesidir.

Limiti hesaplamak gerekiyor

Gördüğünüz gibi bu sınır ilk harika sınıra çok benziyor ancak bu tamamen doğru değil. Genel olarak, sınırda bir günah olduğunu fark ederseniz, o zaman ilk dikkate değer sınırı kullanmanın mümkün olup olmadığını hemen düşünmelisiniz.

1 numaralı kuralımıza göre x yerine sıfır koyarız:

Belirsizlik yaşıyoruz.

Şimdi ilk harika sınırı kendimiz düzenlemeye çalışalım. Bunu yapmak için basit bir kombinasyon yapalım:

Bu yüzden pay ve paydayı 7x'i vurgulayacak şekilde düzenliyoruz. Artık tanıdık dikkate değer sınır zaten ortaya çıktı. Karar verirken vurgulamanız önerilir:

Çözümü ilk dikkat çekici örneğin yerine koyalım ve şunu elde edelim:

Kesirin sadeleştirilmesi:

Cevap: 7/3.

Gördüğünüz gibi her şey çok basit.

Öyle görünüyor burada e = 2,718281828... irrasyonel bir sayıdır.

X değişkeni yerine çeşitli işlevler mevcut olabilir, asıl önemli olan bunların eğilimidir.

Limiti hesaplamak gerekiyor

Burada limit işareti altında bir derecenin varlığını görüyoruz, bu da ikinci bir dikkat çekici limitin kullanılmasının mümkün olduğu anlamına geliyor.

Her zaman olduğu gibi, 1 numaralı kuralı kullanacağız: yerine x'i kullanacağız:

X noktasında derecenin tabanının ve üssün 4x > olduğu görülebilir, yani. formun belirsizliğini elde ederiz:

Belirsizliğimizi ortaya çıkarmak için ikinci harika sınırı kullanalım ama önce onu düzenlememiz gerekiyor. Gördüğünüz gibi, ifadenin değişmemesi için tabanını 3x'in gücüne ve aynı zamanda 1/3x'in gücüne yükselttiğimiz göstergede varlık elde etmemiz gerekiyor:

Harika sınırımızı vurgulamayı unutmayın:

Gerçekten böyleler harika sınırlar!
Hala sorularınız varsa birinci ve ikinci harika sınırlar, ardından yorumlarda onlara sormaya çekinmeyin.
Herkese mümkün olduğunca cevap vereceğiz.

Bu konuda bir öğretmenle de çalışabilirsiniz.
Şehrinizde nitelikli bir öğretmen seçme hizmetlerini size sunmaktan mutluluk duyuyoruz. Ortaklarımız sizin için uygun şartlarda iyi bir öğretmeni hızlı bir şekilde seçecektir.

Yeterli bilgi yok mu? - Yapabilirsiniz!

Matematiksel hesaplamaları not defterlerine yazabilirsiniz. Logolu defterlere (http://www.blocnot.ru) tek tek yazmak çok daha keyifli.

İhtiyacınız olursa bu çevrimiçi matematik hesaplayıcısı size yardımcı olacaktır bir fonksiyonun limitini hesaplamak. programı çözüm sınırları yalnızca sorunun cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda açıklamalarla ayrıntılı çözüm yani Limit hesaplama sürecini görüntüler.

Bu program, genel eğitim okullarındaki lise öğrencileri için test ve sınavlara hazırlanırken, Birleşik Devlet Sınavı öncesinde bilgileri test ederken ve ebeveynler için matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmek için yararlı olabilir.

Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa matematik veya cebir ödevinizi mümkün olduğu kadar çabuk bitirmek mi istiyorsunuz? Bu durumda detaylı çözümlere sahip programlarımızı da kullanabilirsiniz.

Limiti hesapla
Bu sorunu çözmek için gerekli olan bazı scriptlerin yüklenmediği ve programın çalışmayabileceği tespit edildi.
AdBlock'u etkinleştirmiş olabilirsiniz.

Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz.
Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.
Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir. Lütfen bekleyin

saniye... eğer sençözümde bir hata fark ettim
, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz. unutma hangi görevi belirtin ne olduğuna sen karar ver.

alanlara girin

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz:

Küçük bir teori.

Fonksiyonun x->x 0'daki limiti

f(x) fonksiyonu bir X kümesi üzerinde tanımlansın ve \(x_0 \X\'te \) veya \(x_0 \X'te değil\) noktası olsun
X'ten x 0'dan farklı bir noktalar dizisi alalım:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x*'a yakınsıyor. Bu dizinin noktalarındaki fonksiyon değerleri de sayısal bir dizi oluşturur
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)

ve onun sınırının varlığı sorusu gündeme gelebilir. Tanım

. A sayısına, x argümanının x 0'dan farklı değerlerinin herhangi bir dizisi (1) için ise, x = x 0 noktasında (veya x -> x 0'da) f(x) fonksiyonunun limiti denir. x 0'a yakınsayan değer fonksiyonunun karşılık gelen dizisi (2), A sayısına yakınsar.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
f(x) fonksiyonunun x 0 noktasında yalnızca bir limiti olabilir. Bu, dizinin şu gerçeğinden kaynaklanmaktadır:

(f(x n))'nin tek limiti vardır.

ve onun sınırının varlığı sorusu gündeme gelebilir. Herhangi bir sayı için \(\varepsilon > 0\) bir \(\delta > 0\) sayısı varsa, A sayısına f(x) fonksiyonunun x = x 0 noktasındaki limiti denir; öyle ki tüm \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), eşitsizliği karşılayan \(|x-x_0| Mantıksal semboller kullanılarak bu tanım şu şekilde yazılabilir:
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Eşitsizliklerin \(x \neq x_0) olduğuna dikkat edin , \; |x-x_0| İlk tanım sayı dizisinin limiti kavramına dayanmaktadır, bu nedenle genellikle “diziler dilinde” tanımı olarak adlandırılır. \(\varepsilon - \delta \)”.
Bir fonksiyonun limitinin bu iki tanımı eşdeğerdir ve belirli bir problemi çözmek için hangisinin daha uygun olduğuna bağlı olarak ikisinden birini kullanabilirsiniz.

Bir fonksiyonun limitinin “diziler dilinde” tanımına, Heine'e göre bir fonksiyonun limitinin tanımı ve “\(\varepsilon - dilinde) bir fonksiyonun limitinin tanımına da denildiğine dikkat edin. \delta \)” aynı zamanda Cauchy'ye göre bir fonksiyonun limitinin tanımı olarak da adlandırılır.

Fonksiyonun x->x 0 - ve x->x 0 +'daki limiti

Aşağıda bir fonksiyonun aşağıdaki şekilde tanımlanan tek taraflı limit kavramlarını kullanacağız.

ve onun sınırının varlığı sorusu gündeme gelebilir. A sayısına f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki sağ (sol) limiti denir; eğer x n elemanları x 0'dan büyük (küçük) olan herhangi bir dizi (1) x 0'a yakınsarsa, karşılık gelen dizi (2) A'ya yakınsar.

Sembolik olarak şöyle yazılır:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Bir fonksiyonun tek taraflı limitlerinin eşdeğer bir tanımını “\(\varepsilon - \delta \) dilinde” verebiliriz:

ve onun sınırının varlığı sorusu gündeme gelebilir. herhangi bir \(\varepsilon > 0\) için \(\delta > 0\) mevcutsa ve tüm x'leri tatmin edecek şekilde bir A sayısına f(x) fonksiyonunun x 0 noktasında sağ (sol) limiti denir. eşitsizlikler \(x_0 Sembolik girdiler: