Mevsimler

- ∑a k ben x i = 0 biçimindedir. burada m > n veya m rangA = rangB olduğundan homojen bir doğrusal denklem sistemi her zaman tutarlıdır. Açıkçası sıfırlardan oluşan bir çözümü var, buna denirönemsiz

Hizmetin amacı

. Çevrimiçi hesaplayıcı, SLAE'ye önemsiz olmayan ve temel bir çözüm bulmak için tasarlanmıştır. Ortaya çıkan çözüm bir Word dosyasına kaydedilir (örnek çözüme bakın).

önemsiz çözümler matrisinin rütbesinin bilinmeyen sayısından küçük olması gerekli ve yeterlidir.

önemsiz çözümler Teorem
. M=n durumundaki bir sistemin önemsiz olmayan bir çözümü ancak ve ancak bu sistemin determinantının sıfıra eşit olması durumunda vardır.. Bir sistemin çözümlerinin herhangi bir doğrusal kombinasyonu aynı zamanda o sistemin de bir çözümüdür. Tanım. Bir doğrusal homojen denklem sisteminin çözüm kümesine denir.

temel çözüm sistemi

, eğer bu küme doğrusal olarak bağımsız çözümlerden oluşuyorsa ve sistemin herhangi bir çözümü bu çözümlerin doğrusal bir birleşimi ise.

1. Teorem. Sistem matrisinin r değeri n bilinmeyen sayısından küçükse, (n-r) çözümlerden oluşan temel bir çözüm sistemi vardır.
2. Doğrusal homojen denklem sistemlerini çözmek için algoritma
3. Matrisin rütbesini bulma.
4. Temel minörü seçiyoruz. Bağımlı (temel) ve serbest bilinmeyenleri ayırıyoruz.
5. Katsayıları küçük temele dahil edilmeyen sistem denklemlerinin üstünü çiziyoruz, çünkü bunlar diğerlerinin sonuçlarıdır (küçük temel teoremine göre).
6. Serbest bilinmeyenler içeren denklemlerin terimlerini sağ tarafa taşıyoruz. Sonuç olarak, determinantı sıfır olmayan, verilene eşdeğer, r bilinmeyenli bir r denklem sistemi elde ederiz.
7. Ortaya çıkan sistemi bilinmeyenleri eleyerek çözüyoruz. Bağımlı değişkenleri serbest değişkenler aracılığıyla ifade eden ilişkileri buluruz.

Örnek. Vektör sisteminin temelini bulun (a 1, a 2,...,a m), vektörleri tabana göre sıralayın ve ifade edin. Eğer a 1 =(0,0,1,-1) ve 2 =(1,1,2,0) ve 3 =(1,1,1,1) ve 4 =(3,2,1) ise ,4) ve 5 =(2,1,0,3).
Sistemin ana matrisini yazalım:

Tüm serbest terimlerin sıfıra eşit olduğu doğrusal denklem sistemine ne ad verilir? homojen :

Herhangi bir homojen sistem her zaman tutarlıdır, çünkü her zaman tutarlıdır. sıfır (Doğrusal homojen denklem sistemleri ) çözüm. Homojen bir sistemin hangi koşullar altında önemsiz olmayan bir çözüme sahip olacağı sorusu ortaya çıkıyor.

Teorem 5.2.Homojen bir sistemin önemsiz olmayan bir çözümü vardır, ancak ve ancak temel matrisin sıralaması bilinmeyenlerin sayısından azsa.

Sonuçlar. Bir kare homojen sistemin önemsiz olmayan bir çözümü vardır, ancak ve ancak sistemin ana matrisinin determinantı sıfıra eşit değilse.

Örnek 5.6. Sistemin önemsiz çözümlere sahip olduğu l parametresinin değerlerini belirleyin ve şu çözümleri bulun:

Çözüm. Ana matrisin determinantı sıfıra eşit olduğunda bu sistemin önemsiz olmayan bir çözümü olacaktır:

Dolayısıyla l=3 veya l=2 olduğunda sistem önemsiz değildir. l=3 için sistemin ana matrisinin rütbesi 1'dir. O zaman sadece bir denklem bırakıp şunu varsayalım: sen=A Ve z=B, alıyoruz x=b-a yani

l=2 için sistemin ana matrisinin rütbesi 2'dir. Daha sonra minör esas olarak seçilir:

basitleştirilmiş bir sistem elde ediyoruz

Buradan bunu buluyoruz x=z/4, y=z/2. İnanmak z=4A, alıyoruz

Homojen bir sistemin tüm çözümlerinin kümesi çok önemli bir değere sahiptir. doğrusal özellik : eğer X sütunları 1 ve X 2 - homojen bir sistemin çözümleri AX = 0, o zaman bunların herhangi bir doğrusal kombinasyonu A X 1 + b X 2 bu sisteme de çözüm olacak. Gerçekten de o zamandan beri balta 1 = 0 Ve balta 2 = 0 , O A(A X 1 + b X 2) = bir balta 1 + b balta 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Bu özellik nedeniyle, eğer doğrusal bir sistemin birden fazla çözümü varsa, bu çözümlerden sonsuz sayıda olacaktır.

Doğrusal bağımsız sütunlar e 1 , e 2 , ek Homojen bir sistemin çözümleri olanlara denir. Tanım Homojen doğrusal denklem sistemi, eğer bu sistemin genel çözümü bu sütunların doğrusal birleşimi olarak yazılabilirse:

Homojen bir sistem varsa N değişkenler ve sistemin ana matrisinin sırası eşittir R, O k = hayır.

Örnek 5.7. Aşağıdaki doğrusal denklem sisteminin temel çözüm sistemini bulun:

Çözüm. Sistemin ana matrisinin sıralamasını bulalım:

Böylece, bu denklem sisteminin çözüm kümesi, doğrusal bir boyut alt uzayı oluşturur. hayır= 5 - 2 = 3. Temel olarak minörü seçelim

Daha sonra, yalnızca temel denklemleri (geri kalanı bu denklemlerin doğrusal bir kombinasyonu olacaktır) ve temel değişkenleri (geri kalanını, sözde serbest değişkenleri sağa kaydırırız) bırakarak, basitleştirilmiş bir denklem sistemi elde ederiz:

İnanmak X 3 = A, X 4 = B, X 5 = C, buluyoruz

İnanmak A= 1, b = c= 0, ilk temel çözümü elde ederiz; inanmak B= 1, a = c= 0, ikinci temel çözümü elde ederiz; inanmak C= 1, a = b= 0 ise üçüncü temel çözümü elde ederiz. Sonuç olarak, normal temel çözüm sistemi şu şekli alacaktır:

Temel sistemi kullanarak homojen bir sistemin genel çözümü şu şekilde yazılabilir:

X = aE 1 + olmak 2 + CE 3. A

Homojen olmayan bir doğrusal denklem sisteminin çözümlerinin bazı özelliklerine dikkat edelim. AX=B ve bunların karşılık gelen homojen denklem sistemiyle ilişkileri AX = 0.

Homojen olmayan bir sistemin genel çözümükarşılık gelen homojen sistemin AX = 0 genel çözümünün ve homojen olmayan sistemin keyfi özel çözümünün toplamına eşittir. Gerçekten izin ver e 0, homojen olmayan bir sistemin keyfi özel bir çözümüdür, yani. evet 0 = B, Ve e- heterojen bir sistemin genel çözümü, yani. AY=B. Bir eşitliği diğerinden çıkarırsak, şunu elde ederiz:
A(Y-Y 0) = 0, yani Y-Y 0 karşılık gelen homojen sistemin genel çözümüdür balta=0. Buradan, Y-Y 0 = X, veya Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Homojen olmayan sistemin formu AX = B olsun 1 + B 2 . O halde böyle bir sistemin genel çözümü X = X olarak yazılabilir. 1 + X 2 , AX nerede 1 = B 1 ve AX 2 = B 2. Bu özellik genel olarak herhangi bir doğrusal sistemin (cebirsel, diferansiyel, fonksiyonel vb.) evrensel bir özelliğini ifade eder. Fizikte bu özelliğe denir süperpozisyon ilkesi, elektrik ve radyo mühendisliğinde - süperpozisyon ilkesi. Örneğin doğrusal elektrik devreleri teorisinde herhangi bir devredeki akım, her bir enerji kaynağının ayrı ayrı oluşturduğu akımların cebirsel toplamı olarak elde edilebilir.

6.3. DOĞRUSAL DENKLEMLERİN HOMOJEN SİSTEMLERİ

Şimdi sisteme girelim (6.1).

Homojen bir sistem her zaman tutarlıdır. Çözüm () denir sıfır, veya Doğrusal homojen denklem sistemleri.

Homojen bir sistemin (6.1) sıfırdan farklı bir çözümü ancak ve ancak sıralaması ( ) bilinmeyenlerin sayısından daha azdır. Özellikle, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu homojen bir sistemin, ancak ve ancak determinantının sıfır olması durumunda sıfır olmayan bir çözümü vardır.

Çünkü bu sefer her şeyformül (6.6) yerine aşağıdakileri elde ederiz:

(6.7)

Formüller (6.7), homojen sistemin (6.1) herhangi bir çözeltisini içerir.

1. Homojen doğrusal denklem sisteminin (6.1) tüm çözümlerinin kümesi doğrusal bir uzay oluşturur.

2. Doğrusal uzayRhomojen doğrusal denklem sisteminin (6.1) tüm çözümleriNbilinmeyenler ve ana matrisin sırası eşittirR, boyutu varhayır.

Herhangi bir küme (hayır) Homojen sistemin (6.1) doğrusal bağımsız çözümleri uzayda temel oluştururRtüm kararlar. Buna denir esas homojen denklem sisteminin (6.1) çözüm kümesi. Özel önem veriliyor "normal" homojen sistemin (6.1) temel çözüm seti:

(6.8)

Temelin tanımı gereği, herhangi bir çözüm X homojen sistem (6.1) şu şekilde temsil edilebilir:

(6.9)

Nerede – keyfi sabitler.

Formül (6.9) homojen sistemin (6.1) herhangi bir çözümünü içerdiğinden, şunu verir: genel çözüm bu sistem.

Örnek.

Homojen doğrusal denklem sistemi AX = 0 her zaman birlikte. Önemsiz olmayan (sıfır olmayan) çözümlere sahiptir: R= rütbe A< n .

Homojen sistemler için, temel değişkenler (katsayıları temel minörü oluşturan), aşağıdaki ilişkilerle serbest değişkenler aracılığıyla ifade edilir:

Daha sonra hayır Doğrusal bağımsız vektör çözümleri şöyle olacaktır:

ve diğer herhangi bir çözüm bunların doğrusal birleşimidir. Vektör çözümleri normalleştirilmiş bir temel sistem oluşturur.

Doğrusal bir uzayda, homojen bir doğrusal denklem sisteminin çözüm kümesi, boyutun bir alt uzayını oluşturur. hayır; - bu alt uzayın temeli.

Sistem M ile doğrusal denklemler N bilinmiyor(veya, doğrusal sistem

Burada X 1 , X 2 , …, xn A 11 , A 12 , …, bir dakika- sistem katsayıları - ve B 1 , B 2 , … bm bir benBen) ve bilinmiyor ( J

Sistem (1) çağrılır homojenB 1 = B 2 = … = bm= 0), aksi takdirde - heterojen.

Sistem (1) çağrılır kare eğer sayı M sayıya eşit denklemler N bilinmiyor.

Çözüm sistemler (1) - ayarla N sayılar C 1 , C 2 , …, cnöyle ki her birinin ikamesi ben yerine x ben(1) sistemine dönüştürülmesi tüm denklemlerini kimliklere dönüştürür.

Sistem (1) çağrılır eklem yeri ortak olmayan

Çözümler C 1 (1) , C 2 (1) , …, cn(1) ve C 1 (2) , C 2 (2) , …, cn çeşitli

kesin belirsiz. Bilinmeyenlerden daha fazla denklem varsa buna denir. yeniden tanımlandı.

Doğrusal denklem sistemlerini çözme

Matris denklemlerini çözme ~ Gauss yöntemi

Doğrusal denklem sistemlerini çözme yöntemleri iki gruba ayrılır:

1. kesin yöntemler Bir sistemin köklerini hesaplamak için sonlu algoritmalar olan (ters matris kullanarak sistemleri çözme, Cramer kuralı, Gauss yöntemi vb.),

2. yinelemeli yöntemler yakınsak yinelemeli süreçler (yineleme yöntemi, Seidel yöntemi vb.) aracılığıyla sisteme belirli bir doğrulukla çözüm elde etmeyi mümkün kılan.

Kaçınılmaz yuvarlama nedeniyle, kesin yöntemlerin sonuçları bile yaklaşıktır. Yinelemeli yöntemler kullanıldığında ek olarak yöntem hatası da eklenir.

Yinelemeli yöntemlerin etkin kullanımı, önemli ölçüde ilk yaklaşımın başarılı seçimine ve sürecin yakınsama hızına bağlıdır.

Matris denklemlerini çözme

Sistemi düşünün N göre doğrusal cebirsel denklemler N bilinmiyor X 1 , X 2 , …, xn:

.

(15)

Matris Aİlgili denklemde sütunları karşılık gelen bilinmeyenlerin katsayıları, satırları ise bilinmeyenlerin katsayıları olan denkleme denir. sistemin matrisi; matris-sütun B Elemanları sistem denklemlerinin sağ tarafında olan sisteme denir. sağ taraftaki matris ya da sadece sistemin sağ tarafı. Sütun matrisi X Elemanları bilinmeyen bilinmeyenler olan şeye denir sistem çözümü.

Matris ise A- özel değil, yani det Bir e 0'a eşitse sistem (13) veya ona eşdeğer matris denkleminin (14) tek bir çözümü vardır.

Aslında, sağlanan det A eşit değil 0'da ters bir matris var A-1. Denklemin (14) her iki tarafının matris ile çarpılması A-1 elde ederiz:

Formül (16), denklem (14)'e bir çözüm verir ve benzersizdir.

Fonksiyonu kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözmek uygundur. çözüyorum.

çözdüm( A, b)

Çözüm vektörü döndürülür XÖyle ki Ah= B.

Argümanlar:

A- kare, tekil olmayan matris.

B- matristeki satır sayısıyla aynı sayıda satıra sahip bir vektör A .

Şekil 8, üç bilinmeyenli üç doğrusal denklem sisteminin çözümünü göstermektedir.

Gauss yöntemi

Gauss eleme yöntemi olarak da adlandırılan Gauss yöntemi, sistemin (13) bilinmeyenlerin ardışık olarak ortadan kaldırılmasıyla üçgen matrisli eşdeğer bir sisteme indirgenmesi gerçeğinden oluşur:

Matris gösteriminde bu, ilk önce (Gauss yönteminin doğrudan yaklaşımı), satırlar üzerindeki temel işlemlerle sistemin genişletilmiş matrisinin aşamalı bir forma indirgendiği anlamına gelir:

ve sonra (Gauss yönteminin tersi) bu adım matrisi dönüştürülür, böylece ilk N sütunlarda bir birim matris elde ederiz:

.

Son, ( N+ 1) Bu matrisin sütunu (13) sisteminin çözümünü içerir.

Mathcad'de Gauss yönteminin ileri ve geri hareketleri şu fonksiyon ile gerçekleştirilir: referans(A).

Şekil 9, aşağıdaki fonksiyonları kullanan Gauss yöntemini kullanan bir doğrusal denklem sisteminin çözümünü göstermektedir:

ref( A)

Matrisin adım formu döndürülür A.

artırma ( A, İÇİNDE)

Konuma göre oluşturulan bir diziyi döndürür A Ve İÇİNDE yan yana. Diziler A Ve İÇİNDE aynı sayıda satıra sahip olmalıdır.

alt matris( A, ir, jr, ic, jc)

Tüm öğelerden oluşan bir alt matris döndürür IRİle Jr. ve sütunlar icİle jc. Bundan emin ol IR Jr. Ve

ic jc, aksi takdirde satırların ve/veya sütunların sırası tersine çevrilecektir.

Şekil 9.

Yöntemin açıklaması

n bilinmeyenli n doğrusal denklem sistemi için (rastgele bir alan üzerinde)

sistem matrisinin Δ determinantı sıfırdan farklı olduğunda çözüm şu şekilde yazılır:

(sistem matrisinin i'inci sütununun yerini bir serbest terimler sütunu alır).
Başka bir biçimde Cramer kuralı şu şekilde formüle edilir: c1, c2, ..., cn katsayıları için aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

Bu formda Cramer formülü, Δ'nın sıfırdan farklı olduğu varsayımı olmadan geçerlidir; sistemin katsayılarının bir integral halkasının elemanları olması bile gerekli değildir (sistemin determinantı, sıfırın bir böleni bile olabilir). katsayı halkası). Ayrıca b1,b2,...,bn ve x1,x2,...,xn kümelerinin veya c1,c2,...,cn kümesinin katsayı halkasının elemanlarından oluşmadığını da varsayabiliriz. sistemin, ancak bu halkanın üzerindeki bazı modüller. Bu formda Cramer formülü, örneğin Gram determinantı ve Nakayama Lemması formülünün ispatında kullanılır.

35) Kronecker-Capelli teoremi

N bilinmeyenli m sayıda homojen olmayan doğrusal denklem sisteminin tutarlı olması için zorunluluk kanıtının olması gerekli ve yeterlidir. X 1 =α 1 , X 2 =α 2 , …, Sistem (1.13) tutarlı olsun, yani böyle sayılar var x n = α n , Ne (1.15) Genişletilmiş matrisin son sütunundan, ilk sütununu α 1 ile çarparak, ikincisini - α 2 ile, ..., n'inci - α n ile çarparak, yani matrisin son sütunundan çıkaralım. (1.14) eşitliğinin sol taraflarını (1.15) çıkarmalıyız. Daha sonra matrisi elde ederiz Bu, matrisin geri kalan satırlarının, ilk r satırının doğrusal kombinasyonu olarak elde edilebileceği anlamına gelir; yani, matrisin m-r satırları, ilk r satırlarının toplamının bazı sayılarla çarpımı olarak temsil edilebilir. Ancak o zaman (1.13) sisteminin ilk r denklemleri bağımsızdır ve geri kalanı onların sonuçlarıdır, yani ilk r denklemlerinin sisteminin çözümü otomatik olarak geri kalan denklemlerin bir çözümüdür. İki olası durum vardır. X 1.r=n. O halde ilk r denklemlerinden oluşan sistem aynı sayıda denklem ve bilinmeyene sahip, tutarlı ve çözümü benzersizdir. X 2.r X(1.16) “Ücretsiz” bilinmiyor X 1 , X 2 , …, X r+1, X 1 , X 2 , …, X r+2, …, n'ye herhangi bir değer verilebilir. Daha sonra bilinmeyenler karşılık gelen değerleri alır +1 =C 1 , n'ye herhangi bir değer verilebilir. Daha sonra bilinmeyenler karşılık gelen değerleri alır +2 =C 2 , …, R. Bu durumda Sistem (1.13) tutarlıdır ancak belirsizdir. Yorum. r mertebesinden sıfır olmayan küçük, burada r X 1 (C 1 , …, r'ye temel de denir, gerisi ücretsizdir. Sistem (1.16)'ya kısaltılmış denir.), X 2 (C 1 , …, r'ye temel de denir, gerisi ücretsizdir. Sistem (1.16)'ya kısaltılmış denir.), …, Serbest bilinmeyenler belirtilirse(C 1 , …, r'ye temel de denir, gerisi ücretsizdir. Sistem (1.16)'ya kısaltılmış denir.), C 1 , C 2 , …, r'ye temel de denir, gerisi ücretsizdir. Sistem (1.16)'ya kısaltılmış denir. x r

x n = c n - r
Sistem M ile doğrusal denklemler N bilinmiyor(veya, doğrusal sistem, o zaman temel bilinmeyenler bunlara bağlı olacaktır, yani n bilinmeyenli m denklem sisteminin çözümü X = (

Burada X 1 , X 2 , …, xn c n - r A 11 , A 12 , …, bir dakika x r B 1 , B 2 , … bm) T , burada T sembolü devrik anlamına gelir. bir ben Sistemin bu çözümüne genel denir. Ben) ve bilinmiyor ( J 36) kesinlik, belirsizlik

Sistem (1) çağrılır homojen) doğrusal cebirde formdaki bir denklem sistemidir B 1 = B 2 = … = bm- belirlenmesi gereken bilinmeyenler. heterojen.

Sistem (1) çağrılır eklem yeri- sistem katsayıları - ve ortak olmayan- ücretsiz üyelerin - bilindiği varsayılır. Katsayı endeksleri (

) sistemler denklem numaralarını belirtir (

Çözümler C 1 (1) , C 2 (1) , …, cn(1) ve C 1 (2) , C 2 (2) , …, cn), bu katsayının sırasıyla bulunduğu yer. çeşitli, eğer tüm serbest terimleri sıfıra eşitse (

= 0), aksi takdirde - kesin En az bir çözümü varsa ve belirsiz

tek bir çözümü yoksa.

(1) tipi bir ortak sistemin bir veya daha fazla çözümü olabilir.

Matris A(2) form (1)'deki eklem sistemleri denir B Eşitliklerden en az biri ihlal edilirse:

(1) formundaki bir ortak sisteme denir

benzersiz bir çözümü varsa; en az iki farklı çözümü varsa buna denir 37) Gauss yöntemini kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme Orijinal sistem böyle görünsün sistemin ana matrisi denir,.

- ücretsiz üyelerin sütunu.

Herkes için yukarıdaki koşul, uyumluluk için gerekli ve yeterli koşul olarak formüle edilebilir:

Bir eklem sisteminin sıralamasının ana matrisinin (veya eşit oldukları için genişletilmiş matrisin) sıralaması olduğunu hatırlayın.

Algoritma

Tanım

Gauss yöntemini kullanarak SLAE'leri çözmeye yönelik algoritma iki aşamaya ayrılmıştır.

§ İlk aşamada, sıralar üzerindeki temel dönüşümler yoluyla sistem kademeli veya üçgen forma getirildiğinde veya sistemin uyumsuz olduğu tespit edildiğinde doğrudan hareket adı verilen hareket gerçekleştirilir. Yani, matrisin ilk sütununun elemanları arasından sıfır olmayan bir tane seçin, satırları yeniden düzenleyerek onu en üst konuma taşıyın ve elde edilen ilk satırı, yeniden düzenlemeden sonra kalan satırlardan bir değerle çarparak çıkarın. bu satırların her birinin ilk elemanının ilk satırın ilk elemanına oranına eşittir, böylece altındaki sütunu sıfırlar. Belirtilen dönüşümler tamamlandıktan sonra, ilk satır ve ilk sütun zihinsel olarak çizilir ve sıfır boyutlu bir matris kalana kadar devam eder. Herhangi bir yinelemede, ilk sütunun öğeleri arasında sıfırdan farklı bir öğe yoksa, sonraki sütuna geçin ve benzer bir işlem yapın.

§ İkinci aşamada, özü, sonuçta ortaya çıkan tüm temel değişkenleri temel olmayanlar cinsinden ifade etmek ve temel bir çözüm sistemi oluşturmak olan veya tüm değişkenler temel, daha sonra doğrusal denklem sisteminin tek çözümünü sayısal olarak ifade edin. Bu prosedür, karşılık gelen temel değişkenin ifade edildiği (ve yalnızca bir tane vardır) ve önceki denklemlere yerleştirildiği son denklemle başlar ve "adımlara" doğru bu şekilde devam eder. Her satır tam olarak bir temel değişkene karşılık gelir, dolayısıyla son (en üst) hariç her adımda durum son satırın durumunu tam olarak tekrarlar.

Gauss yöntemi sipariş gerektirir O(N 3) eylemler.

Bu yöntem şunlara dayanır:

38)Kronecker-Capelli teoremi.
Bir sistem ancak ve ancak ana matrisinin sıralaması genişletilmiş matrisinin sıralamasına eşitse tutarlıdır.

Ne olduğunu anlamak için temel karar sistemi Aynı örneğe ait eğitim videosunu tıklayarak izleyebilirsiniz. Şimdi gerekli tüm çalışmaların asıl açıklamasına geçelim. Bu, bu konunun özünü daha ayrıntılı olarak anlamanıza yardımcı olacaktır.

Doğrusal bir denklemin temel çözüm sistemi nasıl bulunur?

Örneğin aşağıdaki doğrusal denklem sistemini ele alalım:

Bu doğrusal denklem sisteminin çözümünü bulalım. Başlangıç ​​olarak biz sistemin katsayı matrisini yazmanız gerekir.

Bu matrisi üçgene dönüştürelim.İlk satırı değişiklik yapmadan yeniden yazıyoruz. Ve $a_(11)$'ın altındaki tüm öğeler sıfırlanmalıdır. $a_(21)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için, birinciyi ikinci satırdan çıkarmanız ve farkı ikinci satıra yazmanız gerekir. $a_(31)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için üçüncü satırdan birinciyi çıkarıp farkı üçüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(41)$ elemanının yerine sıfır yapmak için dördüncü satırdan ilk 2 ile çarpımı çıkarıp farkı dördüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(31)$ öğesinin yerine sıfır yapmak için beşinci satırdan ilk 2 ile çarpımı çıkarmanız ve farkı beşinci satıra yazmanız gerekir.

Birinci ve ikinci satırları değişiklik yapmadan yeniden yazıyoruz. Ve $a_(22)$'ın altındaki tüm öğeler sıfırlanmalıdır. $a_(32)$ elemanının yerine sıfır yapmak için üçüncü satırdan ikincinin 2 ile çarpımını çıkarmanız ve farkı üçüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(42)$ elemanının yerine sıfır yapmak için dördüncü satırdan ikincinin 2 ile çarpımını çıkarıp farkı dördüncü satıra yazmanız gerekir. $a_(52)$ elemanının yerine sıfır yapmak için beşinci satırdan ikincinin 3 ile çarpımını çıkarmanız ve farkı beşinci satıra yazmanız gerekir.

Bunu görüyoruz son üç satır aynı yani üçüncüyü dördüncü ve beşinciden çıkarırsanız sıfır olur.

Bu matrise göre yeni bir denklem sistemi yazın.

Yalnızca üç doğrusal bağımsız denklemimiz ve beş bilinmeyenimiz olduğunu görüyoruz, dolayısıyla temel çözüm sistemi iki vektörden oluşacaktır. Yani biz son iki bilinmeyeni sağa kaydırmamız gerekiyor.

Artık sol taraftaki bilinmeyenleri sağ taraftaki bilinmeyenlerle ifade etmeye başlıyoruz. Son denklemle başlıyoruz, önce $x_3$'ı ifade ediyoruz, sonra elde edilen sonucu ikinci denklemde yerine koyup $x_2$'yi, sonra da ilk denklemde ifade ediyoruz ve burada $x_1$'ı ifade ediyoruz. Böylece sol taraftaki tüm bilinmeyenleri, sağ taraftaki bilinmeyenler aracılığıyla ifade etmiş olduk.

Daha sonra $x_4$ ve $x_5$ yerine herhangi bir sayıyı değiştirebiliriz ve $x_1$, $x_2$ ve $x_3$'ı bulabiliriz. Bu sayıların her beşi orijinal denklem sistemimizin kökleri olacaktır. Dahil edilen vektörleri bulmak için FSR$x_4$ yerine 1 yazmamız ve $x_5$ yerine 0 yazmamız, $x_1$, $x_2$ ve $x_3$ bulmamız ve sonra da tam tersi $x_4=0$ ve $x_5=1$ bulmamız gerekiyor.