Artık mutlak hata yok. Göreceli hata

Hesaplamaların mutlak hatası aşağıdaki formülle bulunur:

Modül işareti, hangi değerin daha büyük, hangisinin daha küçük olduğunu umursamadığımızı gösterir. Önemli, ne kadar uzak yaklaşık sonuç, kesin değerden şu veya bu yönde saptı.

Hesaplamaların göreceli hatası aşağıdaki formülle bulunur:
, veya aynı şey:

Göreceli hata gösterir yüzde kaç yaklaşık sonuç kesin değerden saptı. Formülün %100 ile çarpmayan bir versiyonu da var ama pratikte neredeyse her zaman yukarıdaki versiyonu yüzdelerle görüyorum.

Kısa bir referanstan sonra fonksiyonun yaklaşık değerini hesapladığımız problemimize dönelim. bir diferansiyel kullanarak.

Bir mikro hesap makinesi kullanarak fonksiyonun tam değerini hesaplayalım:
Kesin olarak konuşursak, değer hala yaklaşıktır, ancak bunun doğru olduğunu kabul edeceğiz. Bu tür sorunlar yaşanıyor.

Mutlak hatayı hesaplayalım:

Göreceli hatayı hesaplayalım:
yüzde binde biri elde edildi, dolayısıyla diferansiyel mükemmel bir yaklaşım sağladı.

Cevap: , mutlak hesaplama hatası, bağıl hesaplama hatası

Bağımsız bir çözüm için aşağıdaki örnek:

Örnek 4

noktada . Belirli bir noktada fonksiyonun daha doğru bir değerini hesaplayın, hesaplamaların mutlak ve bağıl hatasını tahmin edin.

Nihai tasarımın yaklaşık bir örneği ve dersin sonunda bir cevap.

Pek çok kişi, ele alınan tüm örneklerde köklerin bulunduğunu fark etmiştir. Bu tesadüfi değildir; çoğu durumda, söz konusu problemde aslında kökleri olan işlevler önerilmektedir.

Ancak sıkıntı çeken okuyucular için arcsine ile küçük bir örnek buldum:

Örnek 5

Diferansiyel kullanarak bir fonksiyonun değerini yaklaşık olarak hesaplayın noktada

Bu kısa ama bilgilendirici örnek aynı zamanda kendi başınıza çözmeniz içindir. Ve yenilenmiş bir güçle özel görevi düşünebilmem için biraz dinlendim:

Örnek 6

Diferansiyel kullanarak yaklaşık hesaplama yapın, sonucu iki ondalık basamağa yuvarlayın.

Çözüm: Görevdeki yenilikler neler? Bu koşul, sonucun iki ondalık basamağa yuvarlanmasını gerektirir. Ama mesele bu değil; bence okuldan dönme sorunu senin için zor değil. Gerçek şu ki, bize derece cinsinden ifade edilen bir argümanla bir teğet veriliyor. Dereceli bir trigonometrik fonksiyonu çözmeniz istendiğinde ne yapmalısınız? Örneğin , vesaire.

Çözüm algoritması temelde aynıdır, yani önceki örneklerde olduğu gibi formülün uygulanması gerekir.

Açık bir fonksiyon yazalım

Değer formda sunulmalıdır. Ciddi yardım sağlayacak trigonometrik fonksiyonların değerleri tablosu . Bu arada, çıktısını almamış olanlar için bunu yapmanızı tavsiye ederim, çünkü yüksek matematik eğitiminin tamamı boyunca oraya bakmak zorunda kalacaksınız.

Tabloyu analiz ettiğimizde 47 dereceye yakın “iyi” bir teğet değeri görüyoruz:

Böylece:

Ön analiz sonrasında dereceler radyana dönüştürülmelidir. Evet ve yalnızca bu şekilde!

Bu örnekte doğrudan trigonometrik tablodan öğrenebilirsiniz. Dereceleri radyana dönüştürmek için formülü kullanma: (formüller aynı tabloda bulunabilir).

Aşağıdakiler formülseldir:

Böylece: (değeri hesaplamalar için kullanırız). Sonuç, koşulun gerektirdiği şekilde iki ondalık basamağa yuvarlanır.

Cevap:

Örnek 7

Yaklaşık olarak bir diferansiyel kullanarak hesaplayın, sonucu üç ondalık basamağa yuvarlayın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Gördüğünüz gibi karmaşık bir şey yok, dereceleri radyana dönüştürüyoruz ve olağan çözüm algoritmasına bağlı kalıyoruz.

İki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanan yaklaşık hesaplamalar

Her şey çok ama çok benzer olacak, bu nedenle bu sayfaya özellikle bu görev için geldiyseniz, önce önceki paragrafın en az birkaç örneğine bakmanızı öneririm.

Bir paragrafı incelemek için bulmanız gerekir ikinci dereceden kısmi türevler , Onlar olmasa nerede olurduk? Yukarıdaki derste iki değişkenli bir fonksiyonu harfini kullanarak gösterdim. Göz önünde bulundurulan görevle ilgili olarak eşdeğer gösterimin kullanılması daha uygundur.

Tek değişkenli bir fonksiyon durumunda olduğu gibi, problemin durumu da farklı şekillerde formüle edilebilir ve karşılaşılan tüm formülasyonları dikkate almaya çalışacağım.

Örnek 8

Çözüm: Koşul nasıl yazılırsa yazılsın, çözümün kendisinde işlevi belirtmek için tekrar ediyorum, "zet" harfini değil, "zet" harfini kullanmak daha iyidir. .

Ve işte çalışma formülü:

Karşımızda olan aslında bir önceki paragraftaki formülün ablasıdır. Değişken yalnızca arttı. Kendi adıma ne diyebilirim çözüm algoritması temelde aynı olacaktır!

Koşula göre fonksiyonun noktadaki yaklaşık değerinin bulunması gerekmektedir.

3,04 sayısını formda gösterelim. Çöreğin kendisi yenmeyi ister:
,

3,95 sayısını şu şekilde temsil edelim. Sıra Kolobok'un ikinci yarısına geldi:
,

Ve tilkinin tüm numaralarına bakmayın, bir Kolobok var - onu yemeniz gerekiyor.

Fonksiyonun değerini şu noktada hesaplayalım:

Bir fonksiyonun bir noktadaki diferansiyelini aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:

Formülden bulmamız gerektiği anlaşılıyor kısmi türevler birinci dereceden ve noktadaki değerlerini hesaplayın.

Bu noktada birinci dereceden kısmi türevleri hesaplayalım:

Noktadaki toplam diferansiyel:

Dolayısıyla formüle göre fonksiyonun şu noktadaki yaklaşık değeri:

Fonksiyonun tam değerini şu noktada hesaplayalım:

Bu değer kesinlikle doğrudur.

Hatalar, bu makalede daha önce tartışılan standart formüller kullanılarak hesaplanır.

Mutlak hata:

Göreceli hata:

Cevap: , mutlak hata: , bağıl hata:

Örnek 9

Bir fonksiyonun yaklaşık değerini hesaplayın Toplam diferansiyel kullanarak bir noktada mutlak ve bağıl hatayı tahmin edin.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Bu örnek üzerinde daha ayrıntılı olarak duran kişi, hesaplama hatalarının çok ama çok belirgin olduğunu fark edecektir. Bunun nedeni şu: Önerilen problemde argümanların artışları oldukça büyük: .

Genel kalıp bu a - mutlak değerdeki bu artışlar ne kadar büyük olursa, hesaplamaların doğruluğu o kadar düşük olur. Yani örneğin benzer bir nokta için artışlar küçük olacak ve yaklaşık hesaplamaların doğruluğu çok yüksek olacaktır.

Bu özellik aynı zamanda tek değişkenli bir fonksiyon için de geçerlidir (dersin ilk kısmı).

Örnek 10

Çözüm: Bu ifadeyi iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanarak yaklaşık olarak hesaplayalım:

Örnek 8-9'dan farkı, öncelikle iki değişkenli bir fonksiyon oluşturmamız gerekmesidir: . Sanırım herkes fonksiyonun nasıl oluşturulduğunu sezgisel olarak anlıyor.

4,9973 değeri “beş”e yakındır, dolayısıyla: , .
0,9919 değeri “bir”e yakındır, dolayısıyla şunu varsayıyoruz: , .

Fonksiyonun değerini şu noktada hesaplayalım:

Aşağıdaki formülü kullanarak bir noktadaki farkı buluruz:

Bunu yapmak için noktadaki birinci dereceden kısmi türevleri hesaplıyoruz.

Buradaki türevler en basitleri değildir ve dikkatli olmalısınız:

;

.

Noktadaki toplam diferansiyel:

Dolayısıyla bu ifadenin yaklaşık değeri şöyledir:

Mikro hesap makinesi kullanarak daha doğru bir değer hesaplayalım: 2,998899527

Göreceli hesaplama hatasını bulalım:

Cevap: ,

Yukarıdakilerin sadece bir örneği, ele alınan problemde argümanların artışları çok küçük ve hatanın inanılmaz derecede küçük olduğu ortaya çıktı.

Örnek 11

İki değişkenli bir fonksiyonun tam diferansiyelini kullanarak bu ifadenin değerini yaklaşık olarak hesaplayın. Aynı ifadeyi bir mikro hesap makinesi kullanarak hesaplayın. Göreceli hesaplama hatasını yüzde olarak tahmin edin.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda nihai tasarımın yaklaşık bir örneği.

Daha önce de belirtildiği gibi, bu tür görevlerde en yaygın konuk bir tür köklerdir. Ancak zaman zaman başka işlevler de vardır. Ve rahatlamak için son ve basit bir örnek:

Örnek 12

İki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelini kullanarak, fonksiyonun değerini yaklaşık olarak hesaplayın.

Çözüm sayfanın alt kısmına daha yakındır. Bir kez daha ders görevlerinin ifadelerine dikkat edin; pratikteki farklı örneklerde ifadeler farklı olabilir ancak bu, çözümün özünü ve algoritmasını temelden değiştirmez.

Doğrusunu söylemek gerekirse materyal biraz sıkıcı olduğundan biraz yoruldum. Bunu makalenin başında söylemek pedagojik değildi ama artık mümkün =) Aslında hesaplamalı matematikteki problemler genellikle çok karmaşık değil, çok ilginç de değil, belki de en önemli şey hata yapmamaktır. sıradan hesaplamalarda.

Hesap makinenizin tuşları silinmesin!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2:

Çözüm: Formülü kullanıyoruz:
Bu durumda: , ,

Böylece:

Cevap:

Örnek 4:

Çözüm: Formülü kullanıyoruz:
Bu durumda: , ,

Böylece:

Bir mikro hesap makinesi kullanarak fonksiyonun daha doğru bir değerini hesaplayalım:

Mutlak hata:

Göreceli hata:

Cevap: , mutlak hesaplama hatası, bağıl hesaplama hatası

Örnek 5:

Çözüm: Formülü kullanıyoruz:

Bu durumda: , ,

Böylece:

Cevap:

Örnek 7:

Çözüm: Formülü kullanıyoruz:
Bu durumda: , ,

Uygulamada genellikle hesaplamaların yapıldığı sayılar belirli büyüklüklerin yaklaşık değerleridir. Kısaca anlatmak gerekirse, bir miktarın yaklaşık değerine yaklaşık sayı denir. Bir miktarın gerçek değerine tam sayı denir. Yaklaşık bir sayı, yalnızca ne derece doğrulukla verildiğini belirleyebildiğimizde pratik değere sahiptir; hatasını tahmin edin. Genel matematik dersindeki temel kavramları hatırlayalım.

Şunu belirtelim: X- tam sayı (miktarın gerçek değeri), A- yaklaşık sayı (bir miktarın yaklaşık değeri).

Tanım 1. Yaklaşık bir sayının hatası (veya gerçek hatası), sayı arasındaki farktır. X ve yaklaşık değeri A. Yaklaşık sayı hatası A belirteceğiz. Bu yüzden,

Tam sayı Xçoğu zaman bilinmediğinden gerçek ve mutlak hatayı bulmak mümkün değildir. Öte yandan mutlak hatayı tahmin etmek de gerekebilir; mutlak hatanın geçemeyeceği sayıyı belirtin. Örneğin bu aletle bir nesnenin uzunluğunu ölçerken, ortaya çıkan sayısal değerdeki hatanın belirli bir sayıyı, örneğin 0,1 mm'yi geçmeyeceğinden emin olmalıyız. Başka bir deyişle mutlak hata sınırını bilmemiz gerekir. Bu limite maksimum mutlak hata adını vereceğiz.

Tanım 3. Yaklaşık sayının maksimum mutlak hatası A pozitif bir sayıdır öyle ki , yani

Araç, X eksiklikle, fazlalıkla. Aşağıdaki gösterim de kullanılır:

Maksimum mutlak hatanın belirsiz bir şekilde belirlendiği açıktır: belirli bir sayı maksimum mutlak hata ise, o zaman daha büyük herhangi bir sayı aynı zamanda maksimum mutlak hatadır. Uygulamada eşitsizliği (2.3) karşılayan yazılı en küçük ve basit sayıyı (1-2 anlamlı basamaklı) seçmeye çalışırlar.

Örnek.Sayının yaklaşık değeri olarak alınan a = 0,17 sayısının gerçek, mutlak ve maksimum mutlak hatalarını belirleyin.

Gerçek hata:

Mutlak hata:

Maksimum mutlak hata bir sayı ve daha büyük herhangi bir sayı olarak alınabilir. Ondalık gösterimde şunu elde ederiz: Bu sayıyı daha büyük ve muhtemelen daha basit bir gösterimle değiştirirsek şunu kabul ederiz:

Yorum. Eğer A sayının yaklaşık değeridir X ve maksimum mutlak hata eşittir H sonra şunu söylüyorlar A sayının yaklaşık değeridir X kadar H.

Mutlak hatayı bilmek, bir ölçümün veya hesaplamanın kalitesini karakterize etmek için yeterli değildir. Örneğin uzunluk ölçülürken bu tür sonuçların elde edilmesine izin verin. İki şehir arasındaki mesafe S1=500 1 km ve şehirdeki iki bina arası mesafe S2=10 1 km. Her iki sonucun mutlak hataları aynı olmasına rağmen, önemli olan ilk durumda 1 km'lik mutlak hatanın 500 km'ye, ikincisinde ise 10 km'ye düşmesidir. İlk durumda ölçüm kalitesi ikinciden daha iyidir. Bir ölçüm veya hesaplama sonucunun kalitesi göreceli hatayla karakterize edilir.

Tanım 4. Yaklaşık değerin bağıl hatası A sayılar X bir sayının mutlak hatasının oranı denir A bir sayının mutlak değerine X:

Tanım 5. Yaklaşık sayının maksimum bağıl hatası A olacak şekilde pozitif sayı denir.

Çünkü formül (2.7)'den şu formül kullanılarak hesaplanabileceği anlaşılmaktadır:

Kısaltmak adına, yanlış anlaşılmalara yol açmayacak durumlarda “maksimum bağıl hata” yerine basitçe “göreceli hata” deriz.

Maksimum bağıl hata genellikle yüzde olarak ifade edilir.

örnek 1. . = kabul edebiliriz. Bölüp yuvarlayarak (mutlaka yukarıya doğru), =0,0008=%0,08 elde ederiz.

Örnek 2.Cesedi tartarken şu sonucu elde ettik: p = 23,4 0,2 g. . Bölüp yuvarlayarak =%0,9 elde ederiz.

Formül (2.8) mutlak ve bağıl hatalar arasındaki ilişkiyi belirler. Formül (2.8)'den şu sonuç çıkar:

Eğer sayı biliniyorsa, (2.8) ve (2.9) formüllerini kullanarak bunu yapabiliriz. A Belirli bir mutlak hatayı kullanarak göreceli hatayı bulun ve bunun tersi de geçerlidir.

Yaklaşık sayıyı henüz bilmesek bile formül (2.8) ve (2.9)'un sıklıkla uygulanması gerektiğini unutmayın. A gerekli doğrulukla, ancak kabaca yaklaşık bir değer biliyoruz A. Örneğin, bir nesnenin uzunluğunu %0,1'den fazla olmayan bir bağıl hatayla ölçmeniz gerekir. Soru şudur: Uzunluğu 0,1 mm'ye kadar mutlak bir hatayla ölçmenize olanak tanıyan bir kumpas kullanarak uzunluğu gerekli doğrulukla ölçmek mümkün müdür? Henüz bir nesneyi kesin bir aletle ölçmemiş olabiliriz, ancak uzunluğun kabaca yaklaşık 12 cm olduğunu biliyoruz. santimetre. Formül (1.9)'u kullanarak mutlak hatayı buluruz:

Bu, kumpas kullanarak gerekli doğrulukta ölçüm yapmanın mümkün olduğunu gösterir.

Hesaplamalı çalışma sürecinde, genellikle (1.8) ve (1.9) formülleri kullanılarak yapılan mutlak hatadan göreceli hataya veya tam tersi yönde geçiş yapmak gerekir.

Herhangi bir enstrümantasyon sensörünün ana niteliksel özelliği, kontrol edilen parametrenin ölçüm hatasıdır. Bir cihazın ölçüm hatası, enstrümantasyon sensörünün gösterdiği (ölçüldüğü) ile gerçekte var olan arasındaki tutarsızlık miktarıdır. Her bir sensör tipine ilişkin ölçüm hatası, bu sensörle birlikte verilen ekteki belgelerde (pasaport, çalıştırma talimatları, doğrulama prosedürü) belirtilmiştir.

Sunum şekline göre hatalar ikiye ayrılır: mutlak, akraba Ve verildi hatalar.

Mutlak hata sensör tarafından ölçülen Xiz değeri ile bu değerin gerçek Xd değeri arasındaki farktır.

Ölçülen büyüklüğün gerçek değeri Xd, ölçülen büyüklüğün gerçek değerine mümkün olduğu kadar yakın olan deneysel olarak bulunan değeridir. Basit bir ifadeyle Xd'nin gerçek değeri, bir referans cihazı tarafından ölçülen veya yüksek doğruluk sınıfına sahip bir kalibratör veya ayarlayıcı tarafından oluşturulan değerdir. Mutlak hata, ölçülen değerle aynı birimlerle ifade edilir (örneğin m3/sa, mA, MPa, vb.). Ölçülen değer gerçek değerinden büyük veya küçük olabileceğinden, ölçüm hatası artı işaretli (cihaz okumaları fazla tahmin ediliyor) veya eksi işaretli (cihaz eksik tahmin ediyor) olabilir.

Göreceli hata mutlak ölçüm hatası Δ'nın ölçülen büyüklüğün gerçek değeri Xd'ye oranıdır.

Göreceli hata yüzde olarak ifade edilir veya boyutsuz bir miktardır ve hem pozitif hem de negatif değerler alabilir.

Azaltılmış hata mutlak ölçüm hatası Δ'nın, tüm ölçüm aralığı veya bunun bir kısmı boyunca sabit olan normalizasyon değeri Xn'ye oranıdır.

Normalleştirme değeri Xn, enstrümantasyon sensörü ölçeğinin tipine bağlıdır:

1. Sensör ölçeği tek taraflı ise ve alt ölçüm sınırı sıfır ise (örneğin sensör ölçeği 0 ila 150 m3/saat arasında ise), bu durumda Xn üst ölçüm sınırına eşit olarak alınır (bizim durumumuzda Xn = 150) m3/saat).
2. Sensör ölçeği tek taraflıysa ancak alt ölçüm sınırı sıfır değilse (örneğin, sensör ölçeği 30 ila 150 m3/saat arasındaysa), o zaman Xn, üst ve alt ölçüm sınırları arasındaki farka eşit olarak alınır ( bizim durumumuzda Xn = 150-30 = 120 m3/h ).
3. Sensör ölçeği iki taraflıysa (örneğin, -50 ila +150 ˚С arası), o zaman Xn, sensör ölçüm aralığının genişliğine eşittir (bizim durumumuzda, Xn = 50+150 = 200 ˚С).

Verilen hata yüzde olarak ifade edilir veya boyutsuz bir miktardır ve hem pozitif hem de negatif değerler alabilir.

Çoğu zaman, belirli bir sensörün açıklaması yalnızca ölçüm aralığını (örneğin 0 ila 50 mg/m3) değil aynı zamanda örneğin 0 ila 100 mg/m3 arasındaki okuma aralığını da gösterir. Bu durumda verilen hata, ölçüm aralığının sonuna, yani 50 mg/m3'e normalleştirilir ve 50 ila 100 mg/m3 okuma aralığında sensörün ölçüm hatası hiç belirlenmez - Aslında sensör her şeyi gösterebilir ve herhangi bir ölçüm hatasına sahip olabilir. Sensörün ölçüm aralığı, her biri için hem büyüklük hem de sunum biçiminde kendi hatası belirlenebilen birkaç ölçüm alt aralığına bölünebilir. Bu durumda, bu tür sensörleri kontrol ederken, her bir alt aralık, listesi bu cihazın doğrulama prosedüründe belirtilen kendi standart ölçüm cihazlarını kullanabilir.

Bazı cihazlar için pasaportlarda ölçüm hatası yerine doğruluk sınıfı belirtilmektedir. Bu tür aletler arasında bimetalik termometreleri gösteren mekanik basınç göstergeleri, termostatlar, akış göstergeleri, işaretçi ampermetreler ve panel montajı için voltmetreler vb. yer alır. Doğruluk sınıfı, izin verilen temel ve ek hataların sınırlarının yanı sıra, bunların yardımıyla yapılan ölçümlerin doğruluğunu etkileyen bir dizi diğer özellik tarafından belirlenen, ölçüm cihazlarının genelleştirilmiş bir özelliğidir. Ayrıca doğruluk sınıfı, bu cihaz tarafından gerçekleştirilen ölçümlerin doğruluğunun doğrudan bir özelliği değildir; yalnızca ölçüm hatasının olası aletsel bileşenini gösterir. Cihazın doğruluk sınıfı, GOST 8.401-80'e uygun olarak ölçeğine veya gövdesine uygulanır.

Bir cihaza doğruluk sınıfı atanırken 1·10 n serisinden seçilir; 1,510n; (1,6·10 n); 2·10n; 2,510n; (3.10 n); 4·10n; 5·10n; 6·10n; (burada n =1, 0, -1, -2 vb.). Parantez içinde belirtilen doğruluk sınıflarının değerleri, yeni geliştirilen ölçüm cihazları için oluşturulmamıştır.

Sensörlerin ölçüm hatası, örneğin periyodik doğrulama ve kalibrasyon sırasında belirlenir. Çeşitli ayarlayıcılar ve kalibratörler yardımıyla, bir veya başka bir fiziksel miktarın belirli değerleri yüksek doğrulukla üretilir ve doğrulanan sensörün okumaları, aynı fiziksel değere sahip olan standart bir ölçüm cihazının okumalarıyla karşılaştırılır. miktarda verilmektedir. Ayrıca, sensörün ölçüm hatası hem ileri strok sırasında (ölçeğin minimumundan maksimumuna ölçülen fiziksel niceliğin artması) hem de geri strok sırasında (ölçülen değerin ölçeğin maksimumundan minimumuna azaltılması) kontrol edilir. ölçek). Bunun nedeni, sensörün hassas elemanının (basınç sensörü membranı) elastik özelliklerinden dolayı, farklı kimyasal reaksiyon hızları (elektrokimyasal sensör), termal atalet vb.'dir. Sensör okumaları, sensörü etkileyen fiziksel miktarın nasıl değiştiğine (azalma veya artma) bağlı olarak farklı olacaktır.

Çoğu zaman, doğrulama prosedürüne uygun olarak, doğrulama sırasında sensörün okumaları, ekranına veya ölçeğine göre değil, çıkış sinyalinin değerine göre, örneğin çıkış akımının değerine göre yapılmalıdır. akım çıkışı 4...20 mA.

0'dan 250 mbar'a kadar bir ölçüm ölçeğiyle doğrulanan basınç sensörü için, tüm ölçüm aralığı boyunca ana bağıl ölçüm hatası %5'tir. Sensörün 4...20 mA akım çıkışı vardır. Kalibratör sensöre 125 mbar basınç uygularken çıkış sinyali 12,62 mA'dır. Sensör okumalarının kabul edilebilir sınırlar içinde olup olmadığını belirlemek gerekir.

Öncelikle Iout.t sensörünün çıkış akımının Рт = 125 mbar basınçta ne olması gerektiğini hesaplamak gerekir.

Iout.t = Ish.out.min + ((Ish.out.max – Ish.out.min)/(Rsh.max – Rsh.min))*Рт

burada Iout.t, 125 mbar, mA'lık belirli bir basınçta sensörün çıkış akımıdır.

Ish.out.min – sensörün minimum çıkış akımı, mA. 4…20 mA çıkışı olan bir sensör için Ish.out.min = 4 mA, 0…5 veya 0…20 mA çıkışı olan bir sensör için Ish.out.min = 0.

Ish.out.max - sensörün maksimum çıkış akımı, mA. 0...20 veya 4...20 mA çıkışı olan bir sensör için, Ish.out.max = 20 mA, 0...5 mA çıkışı olan bir sensör için, Ish.out.max = 5 mA.

Рш.max – basınç sensörü ölçeğinin maksimumu, mbar. Rsh.maks = 250 mbar.

Rsh.min – basınç sensörü ölçeğinin minimumu, mbar. Rsh.min = 0 mbar.

Рт – kalibratörden sensöre sağlanan basınç, mbar. RT = 125 mbar.

Aldığımız bilinen değerleri değiştirerek:

Iout.t = 4 + ((20-4)/(250-0))*125 = 12 mA

Yani sensöre 125 mbar basınç uygulandığında akım çıkışı 12 mA olmalıdır. Ana bağıl ölçüm hatasının ± %5 olduğunu dikkate alarak, çıkış akımının hesaplanan değerinin değişebileceği sınırları dikkate alıyoruz.

ΔIout.t =12 ± (%12*5)/%100 = (12 ± 0,6) mA

Yani, sensöre akım çıkışında 125 mbar basınç uygulandığında çıkış sinyali 11,40 ila 12,60 mA aralığında olmalıdır. Sorunun durumuna göre 12,62 mA çıkış sinyaline sahibiz, bu da sensörümüzün üreticinin belirttiği ölçüm hatasını karşılamadığı ve ayar gerektirdiği anlamına gelir.

Sensörümüzün ana göreceli ölçüm hatası:

δ = ((12,62 – 12,00)/12,00)*%100 = %5,17

Enstrümantasyon cihazlarının doğrulaması ve kalibrasyonu, atmosferik basınç, nem ve sıcaklık gibi normal çevre koşulları altında ve sensörün nominal besleme voltajında ​​gerçekleştirilmelidir; çünkü daha yüksek veya daha düşük sıcaklıklar ve besleme voltajı ek ölçüm hatalarına yol açabilir. Doğrulama koşulları doğrulama prosedüründe belirtilmiştir. Ölçüm hatası, doğrulama yöntemiyle belirlenen sınırlara girmeyen cihazlar ya yeniden ayarlanır ve ayarlanır, ardından yeniden doğrulanır veya ayarlama örneğin eskime veya aşırı deformasyon nedeniyle sonuç getirmezse Sensörün onarımı yapılır. Onarımın mümkün olmadığı durumlarda cihazlar reddedilir ve hizmet dışı bırakılır.

Bununla birlikte, cihazlar tamir edilebilmişse, artık periyodik olarak değil, bu tür doğrulama için doğrulama prosedüründe belirtilen tüm noktaların uygulanmasıyla birincil doğrulamaya tabidirler. Bazı durumlarda, cihaz özel olarak küçük onarımlara tabi tutulur () çünkü doğrulama yöntemine göre, birincil doğrulamanın yapılması, kullanılan standart ölçüm cihazları setindeki farklılıklar nedeniyle periyodik doğrulamadan çok daha kolay ve daha ucuzdur. periyodik ve birincil doğrulama.

Kazanılan bilgiyi pekiştirmek ve test etmek için bunu yapmanızı öneririm.

Herhangi bir ölçümde, hesaplama sonuçlarının yuvarlanmasında veya oldukça karmaşık hesaplamaların yapılmasında, kaçınılmaz olarak bir veya başka bir sapma ortaya çıkar. Bu tür bir yanlışlığı değerlendirmek için iki göstergenin kullanılması gelenekseldir - mutlak ve göreceli hata.

Elde edilen sonucu sayının tam değerinden çıkarırsak mutlak sapmayı elde ederiz (ve hesaplama sırasında küçük olan çıkarılır). Örneğin, 1370'i 1400'e yuvarlarsanız mutlak hata 1400-1382 = 18 olur. 1380'e yuvarlandığında mutlak sapma 1382-1380 = 2 olur. Mutlak hata formülü şöyledir:

Δx = |x* - x|, burada

x* - gerçek değer,

x yaklaşık bir değerdir.

Ancak bu göstergenin tek başına doğruluğu karakterize etmek için yeterli olmadığı açıktır. Kendinize hakim olun, eğer ağırlık hatası 0,2 gram ise, mikrosentez için kimyasalları tartarken bu çok fazla olacaktır, 200 gram sosis tartarken bu oldukça normaldir, ancak bir demiryolu vagonunun ağırlığını ölçerken fark edilmeyebilir. Tümü. Bu nedenle çoğu zaman mutlak hatanın yanı sıra bağıl hata da gösterilir veya hesaplanır. Bu göstergenin formülü şuna benzer:

Bir örneğe bakalım. Okuldaki toplam öğrenci sayısı 196 olsun. Bu değeri 200'e yuvarlayalım.

Mutlak sapma 200 - 196 = 4 olacaktır. Göreceli hata 4/196 veya yuvarlanmış, 4/196 = %2 olacaktır.

Dolayısıyla, belirli bir değerin gerçek değeri biliniyorsa, kabul edilen yaklaşık değerin bağıl hatası, yaklaşık değerin mutlak sapmasının tam değere oranıdır. Ancak çoğu durumda gerçek değeri belirlemek çok sorunlu, hatta bazen imkansızdır. Ve bu nedenle kesin değeri hesaplamak imkansızdır. Bununla birlikte, her zaman maksimum mutlak veya bağıl hatadan biraz daha büyük olacak bir sayı belirlemek her zaman mümkündür.

Örneğin, bir satıcı kavunu fincan terazisinde tartıyor. Bu durumda en küçük ağırlık 50 gramdır. Terazi 2000 gramı gösteriyordu. Bu yaklaşık bir değerdir. Kavunun kesin ağırlığı bilinmiyor. Ancak 50 gramdan fazla olamayacağını biliyoruz. Bu durumda bağıl ağırlık 50/2000 = %2,5'u aşmaz.

Başlangıçta mutlak hatadan büyük olan veya en kötü durumda ona eşit olan değere genellikle maksimum mutlak hata veya mutlak hata limiti adı verilir. Önceki örnekte bu rakam 50 gramdır. Maksimum bağıl hata da benzer şekilde belirlenir; yukarıda tartışılan örnekte bu oran %2,5'tir.

Maksimum hatanın değeri kesin olarak belirtilmemiştir. Yani 50 gram yerine en küçük ağırlığın ağırlığından daha büyük herhangi bir sayıyı alabiliriz, örneğin 100 gram veya 150 gram. Ancak pratikte minimum değer seçilir. Ve eğer doğru bir şekilde belirlenebilirse, o zaman aynı zamanda maksimum hata görevi görecektir.

Mutlak maksimum hatanın gösterilmediği görülür. Daha sonra belirtilen son rakamın biriminin yarısına (sayı ise) veya minimum bölme birimine (çarpı ise) eşit olduğu dikkate alınmalıdır. Örneğin, bir milimetre cetvel için bu parametre 0,5 mm'dir ve yaklaşık 3,65 sayısı için mutlak maksimum sapma 0,005'tir.

Talimatlar

Gerçek değeri elde edebilmek için öncelikle aynı değere sahip bir aletle birkaç ölçüm yapın. Ne kadar çok ölçüm yapılırsa sonuç o kadar doğru olur. Örneğin elektronik terazide tartın. Diyelim ki 0,106, 0,111, 0,098 kg sonuç aldınız.

Şimdi miktarın gerçek değerini hesaplayın (gerçek değer bulunamadığı için gerçek). Bunu yapmak için elde edilen sonuçları toplayın ve ölçüm sayısına bölün, yani aritmetik ortalamayı bulun. Örnekte gerçek değer (0,106+0,111+0,098)/3=0,105 olacaktır.

Kaynaklar:

• ölçüm hatası nasıl bulunur

Herhangi bir ölçümün ayrılmaz bir parçası bazı hata. Araştırmanın doğruluğunun niteliksel bir özelliğini temsil eder. Sunum şekline göre mutlak ve göreceli olabilir.

İhtiyacın olacak

• - hesap makinesi.

Talimatlar

İkincisi, nedenlerin etkisinden kaynaklanır ve doğası gereği rastgeledir. Bunlar, okumaları ve etkiyi hesaplarken yanlış yuvarlamayı içerir. Bu tür hatalar, bu ölçüm cihazının ölçek bölümlerinden önemli ölçüde daha azsa, bölümün yarısının mutlak hata olarak alınması tavsiye edilir.

Bayan veya Kaba hata diğerlerinden keskin bir şekilde farklı olan gözlemsel bir sonucu temsil eder.

Mutlak hata yaklaşık sayısal değer, ölçüm sırasındaki sonuç ile ölçülen değerin gerçek değeri arasındaki farktır. Gerçek veya gerçek değer, incelenen fiziksel miktarı yansıtır. Bu hata hatanın en basit niceliksel ölçüsüdür. Aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir: ∆Х = Hisl - Hist. Olumlu ve olumsuz anlamlar üstlenebilir. Daha iyi anlamak için şuna bakalım. Okulun 1205 öğrencisi vardır, mutlak sayı 1200'e yuvarlanır hata eşittir: ∆ = 1200 - 1205 = 5.

Hata değerlerinin belirli hesaplamaları vardır. Her şeyden önce mutlak hata iki bağımsız büyüklüğün toplamı mutlak hatalarının toplamına eşittir: ∆(X+Y) = ∆X+∆Y. İki hata arasındaki fark için de benzer bir yaklaşım geçerlidir. Şu formülü kullanabilirsiniz: ∆(X-Y) = ∆X+∆Y.

Kaynaklar:

• mutlak hata nasıl belirlenir

Ölçümler Fiziksel niceliklere her zaman şu ya da bu eşlik eder hata. Ölçüm sonuçlarının, ölçülen değerin gerçek değerinden sapmasını temsil eder.

İhtiyacın olacak

• -ölçü aleti:
• -hesap makinesi.

Talimatlar

Hatalar çeşitli faktörlerin etkisinden kaynaklanabilir. Ölçme araç veya yöntemlerinin kusurlu olması, imalatındaki yanlışlıklar ve araştırma yapılırken özel koşullara uyulmaması bunların arasında yer almaktadır.

Birkaç sınıflandırma vardır. Sunum şekline göre mutlak, göreceli ve indirgenmiş olabilirler. Birincisi, bir miktarın hesaplanan değeri ile gerçek değeri arasındaki farkı temsil eder. Ölçülen olayın birimleriyle ifade edilirler ve şu formülle bulunurlar: ∆x = hisl-hist. İkincisi ise mutlak hataların göstergenin gerçek değerine oranıyla belirlenir. Hesaplama formülü şu şekildedir: δ = ∆x/hist. Yüzde veya pay olarak ölçülür.

Ölçme cihazının azaltılmış hatası, ∆x'in normalleştirme değeri xn'ye oranı olarak bulunur. Cihaz tipine göre ya ölçüm limitine eşit alınır ya da belli bir aralığa atanır.

Oluş şartlarına göre temel ve ek arasında ayrım yaparlar. Ölçümler normal koşullar altında yapıldıysa ilk tip ortaya çıkar. Değerlerin normal sınırların dışına çıkmasından kaynaklanan sapmalar ilavedir. Bunu değerlendirmek için dokümantasyon genellikle ölçüm koşullarının ihlal edilmesi durumunda değerin değişebileceği standartlar oluşturur.

Ayrıca fiziksel ölçümlerdeki hatalar sistematik, rastgele ve brüt olarak ayrılır. Birincisi, ölçümlerin birçok kez tekrarlanması durumunda etkili olan faktörlerden kaynaklanmaktadır. İkincisi ise sebeplerin ve karakterin etkisinden kaynaklanmaktadır. Bir ıskalama, diğerlerinden keskin bir şekilde farklı olan bir gözlemdir.

Ölçülen değerin niteliğine bağlı olarak çeşitli ölçüm hatası yöntemleri kullanılabilir. Bunlardan ilki Kornfeld yöntemidir. Minimumdan maksimum sonuca kadar değişen bir güven aralığının hesaplanmasına dayanır. Bu durumda hata şu sonuçlar arasındaki farkın yarısı kadar olacaktır: ∆x = (xmax-xmin)/2. Diğer bir yöntem ise ortalama karesel hatanın hesaplanmasıdır.

Ölçümler değişen derecelerde doğrulukla alınabilir. Aynı zamanda hassas aletler bile tam olarak doğru değildir. Mutlak ve göreceli hatalar küçük olabilir, ancak gerçekte neredeyse her zaman oradadırlar. Belirli bir miktarın yaklaşık ve kesin değerleri arasındaki farka mutlak denir hata. Bu durumda sapma hem daha büyük hem de daha küçük olabilir.

İhtiyacın olacak

• - ölçüm verileri;
• - hesap makinesi.

Talimatlar

Mutlak hatayı hesaplamadan önce, başlangıç ​​verileri olarak birkaç varsayım alın. Büyük hataları ortadan kaldırın. Gerekli düzeltmelerin önceden hesaplandığını ve sonuca uygulandığını kabul edin. Böyle bir değişiklik orijinal ölçüm noktasının devri olabilir.

Rastgele hataların dikkate alınmasını başlangıç ​​noktası olarak alın. Bu, bunların sistematikten daha az, yani bu özel cihazın mutlak ve göreceli özelliği olduğu anlamına gelir.

Rastgele hatalar, son derece hassas ölçümlerin sonuçlarını bile etkiler. Bu nedenle, herhangi bir sonuç az çok mutlak değere yakın olacaktır, ancak her zaman tutarsızlıklar olacaktır. Bu aralığı belirleyin. (Xizm- ΔХ)≤Xism ≤ (Xism+ΔХ) formülüyle ifade edilebilir.

Değere en yakın olan değeri belirleyin. Ölçümlerde şekildeki formülden elde edilebilecek aritmetik alınır. Sonucu gerçek değer olarak kabul edin. Çoğu durumda referans cihazın okuması doğru olarak kabul edilir.

Gerçek değeri bilerek, sonraki tüm ölçümlerde dikkate alınması gereken mutlak hatayı bulabilirsiniz. Belirli bir ölçümün verileri olan X1'in değerini bulun. Küçük olanı büyük olandan çıkararak ΔХ farkını belirleyin. Hatayı belirlerken yalnızca bu farkın modülü dikkate alınır.

Not

Kural olarak, pratikte tam olarak doğru ölçümler yapmak mümkün değildir. Bu nedenle maksimum hata referans değeri olarak alınır. Mutlak hata modülünün maksimum değerini temsil eder.

Yararlı tavsiye

Pratik ölçümlerde genellikle en küçük bölme değerinin yarısı mutlak hata olarak alınır. Sayılarla çalışırken mutlak hata, tam rakamların yanındaki rakamda bulunan rakamın değerinin yarısı kadar alınır.

Bir aletin doğruluk sınıfını belirlemek için mutlak hatanın ölçüm sonucuna veya terazi uzunluğuna oranı daha önemlidir.

Ölçüm hataları, aletlerin, araçların ve tekniklerin kusurlu olmasıyla ilişkilidir. Doğruluk aynı zamanda deneycinin dikkatine ve durumuna da bağlıdır. Hatalar mutlak, göreceli ve azaltılmış olarak ayrılır.

Talimatlar

Bir büyüklüğün tek bir ölçümünün x sonucunu vermesine izin verin. Gerçek değer x0 ile gösterilir. O zaman mutlak hataΔx=|x-x0|. Mutlak değerlendirir. Mutlak hataüç bileşenden oluşur: rastgele hatalar, sistematik hatalar ve kayıplar. Genellikle bir aletle ölçüm yapılırken bölme değerinin yarısı hata olarak alınır. Milimetre cetveli için bu 0,5 mm olacaktır.

(x-Δx ; x+Δx) aralığında ölçülen büyüklüğün gerçek değeri. Kısaca x0=x±Δx şeklinde yazılır. X ve Δx'i aynı birimlerde ölçmek ve aynı formatta yazmak (örneğin tam kısım ve üç virgül) önemlidir. Yani mutlak hata gerçek değerin belirli bir olasılıkla bulunduğu aralığın sınırlarını verir.

Doğrudan ve dolaylı ölçümler. Direkt ölçümlerde istenilen değer uygun cihazla anında ölçülür. Örneğin cetvelli gövdeler, voltmetreli voltaj. Dolaylı ölçümlerde, ölçülen değerlerle arasındaki ilişkiye ilişkin formül kullanılarak bir değer bulunur.

Sonuç, Δx1, Δx2, Δx3 hatalarına sahip, doğrudan ölçülen üç büyüklüğe bağımlılıksa, o zaman hata dolaylı ölçüm ΔF=√[(Δx1 ∂F/∂x1)²+(Δx2 ∂F/∂x2)²+(Δx3 ∂F/∂x3)²]. Burada ∂F/∂x(i), doğrudan ölçülen büyüklüklerin her biri için fonksiyonun kısmi türevleridir.

Yararlı tavsiye

Hatalar, cihazların arızalanması, deneycinin dikkatsizliği veya deneysel metodolojinin ihlali nedeniyle ortaya çıkan ölçümlerdeki büyük yanlışlıklardır. Bu tür hata olasılığını azaltmak için ölçüm yaparken dikkatli olun ve elde edilen sonuçları ayrıntılı olarak açıklayın.

Kaynaklar:

• Fizikte laboratuvar çalışması için yönergeler
• göreceli hata nasıl bulunur

Herhangi bir ölçümün sonucuna kaçınılmaz olarak gerçek değerden bir sapma eşlik eder. Ölçüm hatası, türüne bağlı olarak çeşitli şekillerde hesaplanabilir; örneğin, güven aralığını, standart sapmayı vb. belirlemeye yönelik istatistiksel yöntemlerle.