Bilimsel bilginin önemli bir aşaması teorik bilgidir.
Teorik bilginin özgüllüğü, teorik temeline olan güveninde ifade edilir. Teorik bilginin bir takım önemli özellikleri vardır.
Birincisi genellik ve soyutlamadır.
Ortak nokta, teorik bilginin olayların tüm alanlarını tanımlaması ve gelişimlerinin genel kalıpları hakkında fikir vermesi gerçeğinde yatmaktadır.
Soyutluk, teorik bilginin bireysel deneysel verilerle doğrulanamaması veya reddedilememesiyle ifade edilir. Ancak bir bütün olarak değerlendirilebilir.
İkincisi, teorik bilginin bireysel unsurlarının değiştirilmesiyle birlikte tüm sistemin bir bütün olarak değiştirilmesinden oluşan sistematikliktir. aksiyomatik tümdengelimli araştırma araması
Üçüncüsü teorik bilginin felsefi anlamla bağlantısıdır. Bu onların birleşmesi anlamına gelmiyor. Bilimsel bilgi, felsefi bilgiden farklı olarak daha spesifiktir.
Dördüncüsü, teorik bilginin gerçekliğe derinlemesine nüfuz etmesi, fenomenlerin ve süreçlerin özünün bir yansımasıdır.
Teorik bilgi, fenomen alanının içsel, belirleyici bağlantılarını kapsar, teorik yasaları yansıtır.
Teorik bilgi her zaman başlangıçtaki genel ve soyuttan, çıkarsanan somuta doğru hareket eder.
Bilimsel araştırmanın teorik düzeyi, göreceli bağımsızlığa sahip, felsefi, mantıksal ve maddi hedeflere dayanan, mantıksal ve maddi araştırma araçlarına dayanan kendi özel hedeflerine sahip olan bilimsel bilginin özel bir aşamasını temsil eder. Soyutluk, genellik ve sistematiklik nedeniyle teorik bilgi tümdengelimli bir yapıya sahiptir: daha az genelliğe sahip teorik bilgi, daha büyük genelliğe sahip teorik bilgiden elde edilebilir. Bu, teorik bilginin temelinin, bilimsel araştırmanın teorik temelini oluşturan orijinal, bir bakıma en genel bilgi olduğu anlamına gelir.
Teorik araştırma birkaç aşamadan oluşur.
İlk aşama, mevcut teorik temelin yenisinin inşası veya genişletilmesidir.
Araştırmacı, halihazırda çözülmemiş bilimsel problemleri inceleyerek dünyanın mevcut resmini genişletecek yeni fikirler arar. Ancak araştırmacı, onun yardımıyla bu sorunları çözemezse, o zaman dünyanın yeni bir resmini oluşturmaya çalışır ve ona göre olumlu sonuçlara yol açacak yeni unsurları dahil eder. Bu tür unsurlar, yeni teorilerin inşasına temel oluşturan genel fikir ve kavramlar, ilkeler ve hipotezlerdir.
İkinci aşama, bilimsel teorilerin halihazırda bulunmuş bir temele dayandırılmasından oluşur. Bu aşamada mantıksal ve matematiksel sistemlerin oluşturulmasına yönelik biçimsel yöntemler önemli bir rol oynamaktadır.
Yeni teorilerin inşası sürecinde teorik araştırmanın ilk aşamasına dönüş kaçınılmazdır. Ancak bu, ilk aşamanın ikinci aşamaya çözülmesi, felsefi yöntemlerin biçimsel yöntemler tarafından özümsenmesi anlamına gelmez.
Üçüncü aşama, teorinin herhangi bir fenomen grubunu açıklamak için uygulanmasından oluşur.
Fenomenlerin teorik açıklaması, teoriden bireysel fenomen gruplarına ilişkin daha basit yasaların çıkarılmasından oluşur.
Bilimsel bir teori, bir dizi grubu birleştiren bir fenomen alanının doğasında bulunan derin bağlantıların bir yansımasıdır.
Bir teori oluşturmak için belirli bir fenomen alanına ilişkin ana kavramları bulmak, bunları sembolik biçimde ifade etmek ve aralarında bir bağlantı kurmak gerekir.
Kavramlar teorik bir temele dayalı olarak geliştirilir. Ve aralarındaki bağlantılar ilkeler ve hipotezler kullanılarak keşfedilir. Çoğu zaman, bir teori oluşturmak için henüz teorik gerekçelendirilmemiş ampirik veriler kullanılır. Bunlara teorinin ampirik öncülü denir. Bunlar iki türdendir: belirli deneysel veriler biçiminde ve ampirik yasalar biçiminde.
Yeni teorilerin oluşması için teorik önkoşullar önemlidir. Onların yardımıyla, ilk kavramlar belirlenir ve ilk kavramlar arasında bağlantılar ve ilişkiler kurmanın mümkün olduğu ilkeler ve hipotezler formüle edilir. Başlangıç kavramlarının tanımının yanı sıra teoriyi oluşturmak için gerekli ilke ve hipotezlere teorinin temeli denir.
Bilimsel teori, bilimsel bilginin en derin ve en yoğun ifade şeklidir.
Bilimsel bir teori aşağıdakileri içeren yöntemler kullanılarak oluşturulur:
A) aksiyomatik yöntem Buna göre, teorinin temelini oluşturan başlangıç kavram ve eylemlerinin resmi olarak tanıtılması ve tanımlanmasıyla bir teori inşa edilir. Aksiyomatik yöntem, kanıt olmadan kabul edilen açık hükümlere (aksiyomlara) dayanmaktadır. Bu yöntemde teori tümdengelim esasına göre geliştirilir.
Teorinin aksiyomatik yapısı şunları varsayar:
- * İdeal nesnelerin ve onlardan varsayımlarda bulunma kurallarının belirlenmesi;
- * Orijinal aksiyom ve kurallar sisteminin formülasyonu, onlardan sonuçlar.
Teori, verilen kurallara göre aksiyomlardan türetilen bir hükümler (teoremler) sistemi olarak bu temel üzerine inşa edilmiştir.
Aksiyomatik yöntem çeşitli bilimlerde uygulamasını buldu. Ancak en büyük uygulamasını matematikte buldu. Bunun nedeni matematiksel yöntemlerin uygulama kapsamını önemli ölçüde genişletmesi ve araştırma sürecini kolaylaştırmasıdır. Bir matematikçi için bu yöntem, araştırma nesnesini daha iyi anlamayı, içindeki ana yönü vurgulamayı, farklı yöntem ve teorilerin birliğini ve bağlantısını anlamayı mümkün kılar.
Aksiyomatik yöntemin en umut verici uygulaması, kullanılan kavramların önemli ölçüde istikrara sahip olduğu ve bunların değişim ve gelişiminden soyutlanabildiği bilimlerdedir. Bu koşullar altında teorinin çeşitli bileşenleri arasındaki biçimsel-mantıksal bağlantıları tanımlamak mümkün hale gelir.
B) genetik yöntem Bu sayede, aşağıdakilerin temel olarak kabul edildiği bir temelde bir teori yaratılır:
bazı başlangıç ideal nesneleri
onlar üzerinde bazı kabul edilebilir eylemler.
Bir teori, teoride izin verilen eylemler yoluyla elde edilen ilk nesnelerden oluşan bir yapı olarak inşa edilir. Böyle bir teoride, orijinal olanlara ek olarak, yalnızca en azından sonsuz bir inşaat süreci yoluyla inşa edilebilecek nesneler mevcut olarak kabul edilir.
V) varsayımsal-tümdengelim yöntemi. Bir hipotezin geliştirilmesine dayanan, yenilik unsurları içeren bilimsel bir varsayım. Bir hipotez, olguları ve süreçleri daha eksiksiz ve daha iyi açıklamalı, deneysel olarak doğrulanmalı ve genel bilimsel yasalara uygun olmalıdır.
Hipotez, teorik araştırmanın özünü, metodolojik temelini ve çekirdeğini oluşturur. Teorik gelişmelerin yönünü ve kapsamını belirleyen budur.
Bilimsel araştırma sürecinde bir hipotez iki amaç için kullanılır: Mevcut gerçekleri onun yardımıyla açıklamak ve yeni, bilinmeyenleri tahmin etmek. Çalışmanın görevi hipotezin olasılık derecesini değerlendirmektir. Araştırmacı, bir hipotezden çeşitli sonuçlar çıkararak onun teorik ve ampirik uygunluğunu değerlendirir. Bir hipotezden çelişkili sonuçlar çıkıyorsa, o zaman hipotez geçersizdir.
Bu yöntemin özü hipotezden sonuçlar çıkarmaktır.
Bu araştırma yöntemi uygulamalı bilimlerde ana ve en yaygın olanıdır.
Bunun nedeni öncelikle gözlemsel ve deneysel verilerle ilgilenmeleridir.
Bu yöntemi kullanarak araştırmacı, deneysel verileri işledikten sonra bunları teorik olarak anlamaya ve açıklamaya çalışır. Hipotez bir ön açıklama görevi görür. Ancak burada hipotezin sonuçlarının deneysel gerçeklerle çelişmemesi gerekir.
Hipotetik-tümdengelim yöntemi, önemli sayıda doğa bilimi teorisinin yapısını araştıran araştırmacılar için en uygun yöntemdir. Bunları inşa etmek için kullanılan şey budur.
Bu yöntem en çok fizikte kullanılır.
Varsayımsal tümdengelim yöntemi, mevcut tüm bilgileri birleştirmeyi ve aralarında mantıksal bir bağlantı kurmayı amaçlamaktadır. Bu yöntem, yalnızca farklı düzeylerdeki hipotezler arasındaki yapıyı ve ilişkiyi değil, aynı zamanda ampirik verilerle onaylanmalarının doğasını da incelemeyi mümkün kılar. Hipotezler arasında mantıksal bir bağlantı kurulması nedeniyle bunlardan birinin doğrulanması, dolaylı olarak, onunla mantıksal olarak ilişkili diğer hipotezlerin de doğrulanmasına işaret edecektir.
Bilimsel araştırma sürecinde en zor görev, daha sonraki sonuçların temelini oluşturan ilkeleri ve hipotezleri keşfetmek ve formüle etmektir.
Hipotetik-tümdengelim yöntemi bu süreçte yardımcı bir rol oynar, çünkü onun yardımıyla yeni hipotezler ileri sürülmez, yalnızca araştırma sürecini kontrol eden bunlardan kaynaklanan sonuçlar test edilir.
G) matematiksel yöntemler"Matematiksel yöntemler" terimi, herhangi bir matematik teorisinin aparatının belirli bilimler tarafından kullanılması anlamına gelir.
Bu yöntemler kullanılarak belirli bir bilimin nesneleri, özellikleri ve bağımlılıkları matematik diliyle anlatılır.
Belirli bir bilimin matematikleştirilmesi, yalnızca içeriği açıkça formüle edilmiş ve kesin olarak tanımlanmış bir uygulama alanına sahip, yeterince açık bir şekilde uzmanlaşmış kavramlar geliştirdiğinde verimlidir. Ancak aynı zamanda araştırmacı, matematiksel teorinin tek başına bu formda yer alan içeriği belirlemediğini de bilmelidir. Bu nedenle bilimsel bilginin matematiksel formu ile gerçek içeriği arasında ayrım yapmak gerekir.
Farklı bilimler farklı matematiksel teoriler kullanır.
Bu nedenle, bazı bilimlerde aritmetik düzeyinde matematiksel formüller kullanılır, ancak diğerlerinde matematiksel analiz araçları kullanılır, diğerlerinde ise daha karmaşık grup teorisi aparatı, olasılık teorisi vb.
Ancak aynı zamanda, belirli bir bilim tarafından incelenen nesnelerin mevcut tüm özelliklerini ve bağımlılıklarını matematiksel biçimde ifade etmek her zaman mümkün değildir. Matematiksel yöntemlerin kullanılması, her şeyden önce olayların niceliksel yönünü yansıtmayı sağlar. Ancak matematiğin kullanımını yalnızca niceliksel açıklamaya indirgemek yanlış olur. Modern matematik, gerçeklik nesnelerinin birçok niteliksel özelliğini kendi dilinde göstermeyi ve genelleştirmeyi mümkün kılan teorik araçlara sahiptir.
Matematiksel yöntemler hemen hemen her bilim dalında uygulanabilir.
Bunun nedeni, herhangi bir bilim tarafından incelenen nesnelerin, matematik kullanılarak incelenen niceliksel kesinliğe sahip olmasıdır. Ancak farklı bilimlerde matematiksel yöntemlerin kullanılma derecesi farklılık göstermektedir. Matematiksel yöntemler belirli bir bilimde ancak bunun için olgunlaştığında, yani bilimin kendi yöntemlerini kullanarak fenomenlerin niteliksel olarak incelenmesi konusunda daha fazla ön çalışma yapıldığında uygulanabilir.
Matematiksel yöntemlerin kullanımı her bilim için verimlidir. Olguların doğru bir niceliksel tanımına yol açar, açık ve anlaşılır kavramların geliştirilmesine ve başka yollarla elde edilemeyecek sonuçların çıkarılmasına katkıda bulunur.
Bazı durumlarda malzemenin kendisinin matematiksel olarak işlenmesi yeni fikirlerin ortaya çıkmasına yol açmaktadır. Matematiksel yöntemlerin belirli bir bilim tarafından kullanılması, onun daha yüksek teorik ve mantıksal seviyesini gösterir.
Modern bilim büyük ölçüde sistematize edilmiştir. Yakın geçmişte astronomi, fizik, kimya, mekanik alanlarında matematiksel yöntemler kullanılmışsa, şimdi biyoloji, sosyoloji, ekonomi ve diğer bilimlerde başarıyla kullanılmaktadır.
Günümüzde bilgisayar çağında, hesaplamaların karmaşıklığı nedeniyle çözülemez olduğu düşünülen problemleri matematiksel olarak çözmek mümkün hale geldi.
Günümüzde bilimde matematiksel yöntemlerin buluşsal önemi de büyüktür. Matematik giderek bilimsel keşiflerin bir aracı haline geliyor. Sadece yeni gerçekleri tahmin etmeyi sağlamakla kalmaz, aynı zamanda yeni bilimsel fikir ve kavramların oluşmasına da yol açar.
Aksiyomatik yöntem ilk kez Öklid tarafından temel geometriyi oluşturmak için başarıyla uygulandı. O zamandan bu yana, bu yöntem önemli bir evrim geçirdi ve yalnızca matematikte değil, aynı zamanda kesin doğa bilimlerinin birçok dalında (mekanik, optik, elektrodinamik, görelilik teorisi, kozmoloji vb.) çok sayıda uygulama buldu.
Aksiyomatik yöntemin gelişimi ve iyileştirilmesi iki ana çizgide gerçekleşti: birincisi, yöntemin kendisinin genelleştirilmesi ve ikincisi, aksiyomlardan teoremlerin türetilmesi sürecinde kullanılan mantıksal tekniklerin geliştirilmesi. Meydana gelen değişikliklerin doğasını daha net bir şekilde hayal etmek için Öklid'in orijinal aksiyomatiklerine dönelim. Bilindiği üzere geometrinin başlangıç kavramları ve aksiyomları tek bir şekilde yorumlanmaktadır. Geometrinin temel kavramları olarak nokta, çizgi ve düzlem ile idealize edilmiş uzaysal nesneler kastedilmektedir ve geometrinin kendisi de fiziksel uzayın özelliklerinin incelenmesi olarak kabul edilmektedir. Öklid'in aksiyomlarının yalnızca geometrik özellikleri tanımlamak için değil, aynı zamanda diğer matematiksel ve hatta fiziksel nesnelerin tanımlanmasında da doğru olduğu yavaş yavaş ortaya çıktı. Dolayısıyla, nokta derken gerçek sayıların üçlüsünü ve düz bir çizgi ve düzlemle karşılık gelen doğrusal denklemleri kastediyorsak, o zaman tüm bu geometrik olmayan nesnelerin özellikleri Öklid'in geometrik aksiyomlarını karşılayacaktır. Daha da ilginç olanı, bu aksiyomların fiziksel nesnelerin, örneğin mekanik ve fizikokimyasal sistemin durumları veya çeşitli renk duyumlarının yardımıyla yorumlanmasıdır. Bütün bunlar, geometri aksiyomlarının çok farklı nitelikteki nesneler kullanılarak yorumlanabileceğini göstermektedir.
Aksiyomatiğe yönelik bu soyut yaklaşım, büyük ölçüde Öklid dışı geometrilerin N. I. Lobachevsky, J. Bolyai, C. F. Gauss ve B. Riemann tarafından keşfedilmesiyle hazırlandı. Aksiyomların birçok farklı yoruma izin veren soyut formlar olduğu yönündeki yeni görüşün en tutarlı ifadesi, D. Hilbert'in ünlü "Geometrinin Temelleri" (1899) eserinde bulundu. Bu kitapta şöyle yazmıştı: "Üç farklı sistemden bahsediyoruz: birinci sistemdeki şeylere noktalar diyoruz ve A, B, C,...'yi gösteriyoruz; İkinci sistemdeki şeylere doğrudan diyoruz ve a, b, c,...'yi gösteriyoruz; Üçüncü sistem düzlemlerine ait şeyleri çağırır ve onları a, B, y,..." şeklinde gösteririz. Bundan, "nokta", "düz çizgi" ve "düzlem" ile herhangi bir nesne sistemini kastetebileceğimiz açıktır. Yalnızca özelliklerinin karşılık gelen aksiyomlarla tanımlanması önemlidir. Aksiyomların içeriğinden soyutlama yolundaki bir sonraki adım, bunların formül biçimindeki sembolik temsiliyle ve ayrıca diğer formüllerin (teoremlerin) bazı formüllerden nasıl elde edildiğini açıklayan çıkarım kurallarının kesin olarak belirtilmesiyle ilişkilidir ( aksiyomlar). Bunun sonucunda araştırmanın bu aşamasında kavramlarla anlamlı akıl yürütme, önceden belirlenmiş kurallara göre formüllerle bazı işlemlere dönüşür. Başka bir deyişle, anlamlı düşünme burada hesaba yansır. Bu tür aksiyomatik sistemlere genellikle resmileştirilmiş sözdizimsel sistemler veya hesaplamalar denir.
Dikkate alınan her üç aksiyomlaştırma türü de modern bilimde kullanılmaktadır. Resmileştirilmiş aksiyomatik sistemlere esas olarak belirli bir bilimin mantıksal temelleri incelenirken başvurulur. Bu tür araştırmalar, küme teorisindeki paradoksların keşfiyle bağlantılı olarak matematikte en geniş kapsamı kazanmıştır. Biçimsel sistemler, sıradan, doğal dildeki yanlışlıkları mümkün olduğunca ortadan kaldırmanın mümkün olduğu özel bilimsel dillerin yaratılmasında önemli bir rol oynar.
Bazı bilim adamları, bu noktanın belirli bilimlerde mantıksal-matematiksel yöntemlerin uygulanması sürecinde neredeyse ana nokta olduğunu düşünüyor. Böylece, aksiyomatik yöntemin biyolojide kullanımının öncülerinden biri olan İngiliz bilim adamı I. Woodger, bu yöntemin biyolojide ve doğa bilimlerinin diğer dallarında uygulanmasının, hesaplamaların yapılabileceği bilimsel olarak mükemmel bir dil yaratmaktan ibaret olduğuna inanmaktadır. mümkündür. Böyle bir dil oluşturmanın temeli, resmileştirilmiş bir sistem veya hesap biçiminde ifade edilen aksiyomatik bir yöntemdir. İki türün ilk sembolleri, resmileştirilmiş bir dilin alfabesi olarak hizmet eder: mantıksal ve bireysel.
Mantıksal semboller, birçok veya çoğu teoride ortak olan mantıksal bağlantıları ve ilişkileri temsil eder. Bireysel semboller, incelenen teorinin matematiksel, fiziksel veya biyolojik gibi nesnelerini temsil eder. Tıpkı alfabedeki belirli bir harf dizisinin bir kelimeyi oluşturması gibi, sıralı sembollerin sonlu bir koleksiyonu da resmileştirilmiş bir dilin formüllerini ve ifadelerini oluşturur. Dilin anlamlı ifadelerini ayırt etmek için doğru oluşturulmuş formül kavramı tanıtılmıştır. Yapay bir dil oluşturma sürecini tamamlamak için, bir formülün türetilmesi veya diğerine dönüştürülmesiyle ilgili kuralları açıkça tanımlamak ve doğru oluşturulmuş bazı formülleri aksiyom olarak vurgulamak yeterlidir. Dolayısıyla resmileştirilmiş bir dilin inşası, anlamlı bir aksiyomatik sistemin inşasıyla aynı şekilde gerçekleşir. Formüllerle anlamlı akıl yürütme ilk durumda kabul edilemez olduğundan, burada sonuçların mantıksal olarak türetilmesi, sembolleri ve bunların kombinasyonlarını ele almak için kesin olarak belirlenmiş işlemlerin gerçekleştirilmesine indirgenir.
Bilimde resmileştirilmiş dillerin kullanılmasının temel amacı, bilimde yeni bilgilerin elde edildiği akıl yürütmenin eleştirel bir analizidir. Resmileştirilmiş diller anlamlı akıl yürütmenin bazı yönlerini yansıttığından, entelektüel aktiviteyi otomatikleştirme olanaklarını değerlendirmek için de kullanılabilirler.
Soyut aksiyomatik sistemler, araştırma konusuna son derece genel bir yaklaşımla karakterize edilen modern matematikte en yaygın şekilde kullanılmaktadır. Somut sayılar, fonksiyonlar, çizgiler, yüzeyler, vektörler ve benzerleri hakkında konuşmak yerine, modern matematikçi, özellikleri aksiyomlar aracılığıyla tam olarak formüle edilen çeşitli soyut nesne kümelerini dikkate alır. Bu tür koleksiyonlar veya kümeler, onları tanımlayan aksiyomlarla birlikte artık sıklıkla soyut matematiksel yapılar olarak adlandırılıyor.
Aksiyomatik yöntem matematiğe ne gibi avantajlar sağlayacak? İlk olarak, matematiksel yöntemlerin uygulama kapsamını önemli ölçüde genişletir ve çoğu zaman araştırma sürecini kolaylaştırır. Belirli bir alandaki belirli olguları ve süreçleri incelerken, bir bilim adamı soyut aksiyomatik sistemleri hazır analiz araçları olarak kullanabilir. Söz konusu fenomenin bazı matematik teorilerinin aksiyomlarını karşıladığından emin olduktan sonra, araştırmacı aksiyomlardan çıkan tüm teoremleri ek emek yoğun çalışma olmadan hemen kullanabilir. Aksiyomatik yaklaşım, belirli bir bilim dalındaki uzmanı oldukça karmaşık ve zor matematiksel araştırmalar yapmaktan kurtarır.
Bir matematikçi için bu yöntem, araştırma nesnesini daha iyi anlamayı, içindeki ana yönleri vurgulamayı, farklı yöntem ve teorilerin birliğini ve bağlantısını anlamayı mümkün kılar. Aksiyomatik yöntem yardımıyla elde edilen birlik, N. Bourbaki'nin mecazi ifadesiyle "cansız bir iskelet veren birlik" değildir. Tam gelişim halindeki vücudun besleyici suyudur, işlenebilir ve verimli bir araştırma aracıdır...” Aksiyomatik yöntem sayesinde, özellikle resmileştirilmiş haliyle, çeşitli teorilerin mantıksal yapısını tam olarak ortaya çıkarmak mümkün hale gelir. Bu, en mükemmel haliyle matematik teorileri için geçerlidir. Doğa bilimleri bilgisinde kendimizi teorilerin ana çekirdeğini aksiyomatikleştirmekle sınırlamak zorundayız. Ayrıca aksiyomatik yöntemin kullanılması, akıl yürütmemizin gidişatını daha iyi kontrol etmemizi ve gerekli mantıksal titizliği elde etmemizi mümkün kılar. Ancak aksiyomlaştırmanın özellikle matematikteki temel değeri, yeni kalıpları keşfetmeye, daha önce birbirinden izole edilmiş gibi görünen kavramlar ve teoriler arasında bağlantılar kurmaya yönelik bir yöntem olarak hareket etmesidir.
Aksiyomatik yöntemin doğa bilimlerinde sınırlı kullanımı, öncelikle teorilerinin sürekli olarak deneyimle izlenmesi gerektiği gerçeğiyle açıklanmaktadır.
Bu nedenle, doğa bilimi teorisi hiçbir zaman tam bir bütünlük ve izolasyon için çabalamaz. Bu arada matematikte tamlık gerekliliğini karşılayan aksiyom sistemleriyle uğraşmayı tercih ediyorlar. Ancak K. Gödel'in gösterdiği gibi, önemsiz nitelikteki herhangi bir tutarlı aksiyom sistemi tamamlanamaz.
Bir aksiyom sisteminin tutarlılığı gerekliliği, onların tam olması gerekliliğinden çok daha önemlidir. Eğer bir aksiyom sistemi çelişkili ise bilgi açısından hiçbir değeri olmayacaktır. Kendimizi tamamlanmamış sistemlerle sınırlayarak, doğa bilimi teorilerinin yalnızca ana içeriğini aksiyomatize etmek mümkün olur ve teorinin deney yoluyla daha da geliştirilmesi ve iyileştirilmesi olanağını bırakırız. Bazı durumlarda bu kadar sınırlı bir hedefin bile, örneğin teorinin bazı örtülü öncüllerini ve varsayımlarını keşfetmek, elde edilen sonuçları izlemek, sistematize etmek vb. için çok yararlı olduğu ortaya çıkar.
Aksiyomatik yöntemin en umut verici uygulaması, kullanılan kavramların önemli ölçüde istikrara sahip olduğu ve bunların değişim ve gelişiminden soyutlanabildiği bilimlerdedir.
Bu koşullar altında teorinin çeşitli bileşenleri arasındaki biçimsel-mantıksal bağlantıları tanımlamak mümkün hale gelir. Böylece, aksiyomatik yöntem, varsayımsal tümdengelim yönteminden daha büyük ölçüde hazır, elde edilmiş bilginin incelenmesi için uyarlanmıştır.
Bilginin ortaya çıkışının ve oluşum sürecinin analizi, kalkınmanın en derin ve kapsamlı öğretisi olan materyalist diyalektiğe yönelmeyi gerektirir.
Aksiyomatik yöntem, kanıt olmadan kabul edilen belirli hükümlerin (aksiyomlar) temel olarak kullanıldığı ve diğerlerinin tamamen mantıksal bir şekilde onlardan çıkarıldığı bir matematik teorisi oluşturma yöntemidir. Bu yaklaşımın radikal bir uygulamasıyla matematik saf mantığa indirgenir; sezgi, görsel geometrik gösterimler, tümevarımsal akıl yürütme vb. gibi şeyler matematikten çıkarılır. Matematiksel yaratıcılığın özü kayboluyor. Peki bu yöntem neden icat edildi? Bu soruyu cevaplamak için matematiğin başlangıcına dönmemiz gerekiyor.
1. Aksiyomlar: iki anlayış
Okuldan hatırladığımız gibi, Antik Yunan'da matematiksel kanıtlar, aksiyomlar ve teoremler ortaya çıktı. Geometrinin aksiyomatik yapısı, birçok kuşağa matematik öğretilen kitapta - Öklid'in Elementleri'nde - kutsallaştırıldı. Ancak o günlerde aksiyom kavramı şimdikinden farklı anlaşılıyordu. Şimdiye kadar okul ders kitapları bazen aksiyomların kanıt olmadan kabul edilen açık gerçekler olduğunu söylüyordu. 19. yüzyılda “açık” kelimesinin ortadan kalkmasıyla bu kavram çok değişti. Aksiyomlar artık açık değildir; hâlâ kanıt olmadan kabul edilmektedirler ancak prensipte tamamen keyfi ifadeler olabilirler. İlk bakışta bu küçük değişimin arkasında, felsefi konumdaki oldukça radikal bir değişiklik var - mümkün olan tek matematiksel gerçekliği tanımanın reddedilmesi. Bu değişimdeki ana rol, elbette, N. I. Lobachevsky ve J. Bolyai gibi bilim adamlarının çalışmaları sayesinde 19. yüzyılda meydana gelen Öklid dışı geometrinin ortaya çıkış tarihi tarafından oynandı.
2. Paralel çizgiler aksiyomu sorunu
Öklid dışı geometrinin tarihi, Öklid'in sözde beşinci postülasını - ünlü paralellik aksiyomunu - kanıtlama girişimleriyle başladı: bir doğrunun dışındaki bir noktadan, verilene paralel birden fazla çizgi çizilemez. Bu ifade, doğası gereği Öklid'in geri kalan aksiyomlarından gözle görülür derecede farklıydı. Çoğu kişiye bunun kanıtlanması gerekiyormuş gibi göründü; diğer aksiyomlar kadar açık değildi. Bu girişimler yüzyıllar boyunca başarılı olmadı; birçok matematikçi kendi "çözümlerini" önerdi ve diğer matematikçiler daha sonra bu çözümlerde hatalar buldu. (Artık bu girişimlerin açıkça başarısızlığa mahkum olduğunu biliyoruz; bu, kanıtlanamayan matematiksel ifadelerin ilk örneklerinden biriydi).
3. Lobaçevski geometrisi
Bu ifadenin belki de aslında kanıtlanamaz olduğu ve bizimkinden tamamen farklı, bu aksiyomun yanlış olduğu başka bir geometrinin var olduğu ancak 19. yüzyılda anlaşıldı. Lobaçevski ne yaptı? Bir ifadeyi kanıtlamaya çalışırken matematikçilerin sıklıkla yaptığı şeyi yaptı. Favori tekniklerden biri çelişki yoluyla kanıttır: verilen ifadenin yanlış olduğunu varsayalım. Bundan ne sonuç çıkıyor? Teoremi kanıtlamak için matematikçiler yapılan varsayımdan bir çelişki çıkarmaya çalışırlar. Ancak bu durumda Lobaçevski, yapılan varsayımdan giderek daha fazla yeni matematiksel, geometrik sonuçlar aldı, ancak bunlar çok güzel, kendi içinde tutarlı bir sistem halinde dizildi, yine de alıştığımız Öklid sisteminden farklıydı. Alıştığımızdan farklı olarak Öklid dışı geometrinin yeni bir dünyası gözlerinin önünde açılıyordu. Bu, Lobaçevski'yi böyle bir geometrinin mümkün olduğunu fark etmeye yöneltti. Aynı zamanda, Lobaçevski'nin geometrisindeki paralellikler aksiyomu bizim günlük geometrik sezgimiz ile açıkça çelişiyordu: Sezgisel olarak açık olmadığı gibi, sezgi açısından da yanlıştı.
Bununla birlikte, bunun prensipte mümkün olduğunu hayal etmek başka bir şey, geometri için böyle bir aksiyom sisteminin tutarlı olduğunu matematiksel olarak kanıtlamak başka bir şeydir. Bu, birkaç on yıl sonra, sıradan Öklid geometrisi çerçevesinde Öklid dışı geometri aksiyomlarının modellerini öneren diğer matematikçilerin - Beltrami, Klein ve Poincaré - çalışmalarında başarıldı. Aslında Lobaçevski'nin geometrisindeki tutarsızlığın, bildiğimiz Öklid geometrisindeki tutarsızlığa yol açacağını tespit ettiler. Bunun tersi de doğrudur, yani mantık açısından her iki sistemin de tamamen eşit olduğu ortaya çıkar.
Bunu söyledikten sonra yapılması gereken bir uyarı var. Öklid dışı geometrinin tarihi, bilim tarihinde birden fazla kez gözlemlenen başka bir olguyla iyi bir şekilde örneklendirilmiştir. Bazen bir sorunun çözümü, sorunun herkes tarafından iyi anlaşılan kesin bir formülasyona kavuşturulmasından sonra değil, öncesinde ortaya çıkar. Bu durumda durum böyleydi: 19. yüzyılın ortalarında, temel geometri aksiyomlarının tam bir listesi henüz mevcut değildi. Öklid'in Öğeleri, aksiyomatik yöntemin uygulanması açısından yeterince tutarlı değildi. Öklid'in argümanlarının çoğu görsel sezgiye hitap ediyordu; aksiyomları, paralel önermenin kanıtlanamazlığı sorununun anlamlı bir formülasyonu için bile açıkça yeterli değildi. Bolyai ile Lobaçevski ve Klein ve Poincaré ile Beltrami de benzer bir konumdaydı. Kanıtlanamazlık sorununu uygun kesinlik düzeyine oturtmak, tamamen yeni bir matematiksel mantık aygıtının ve aynı aksiyomatik yöntemin geliştirilmesini gerektirdi.
4. Aksiyomatik bir yöntemin oluşturulması
Durum, D. Hilbert'in "Geometrinin Temelleri" kitabının yayınlanmasından sonra anlaşıldı; başladığımız aksiyomatik yöntem kavramını önerdi. Hilbert, geometrinin temellerini anlamak için mantık dışında her şeyin aksiyomlardan tamamen çıkarılması gerektiğini fark etti. Bu fikrini renkli bir şekilde şu şekilde dile getirdi: “Alışılmış “nokta, doğru, düzlem” terimlerini aynı derecede geleneksel olan “sandalye, masa, bira bardağı” ile değiştirirsek, aksiyomların ve teoremlerin geçerliliği hiçbir şekilde sarsılmayacaktır!
Temel geometri için ilk tutarlı ve eksiksiz aksiyom sistemini kuran Hilbert'ti, bu 19. yüzyılın sonlarında gerçekleşti. Böylece aksiyomatik yöntem aslında belirli, bu durumda geometrik ifadeleri kanıtlamanın imkansızlığını kanıtlamak için yaratıldı.
Hilbert keşfinden gurur duyuyordu ve bu yöntemin bir bütün olarak tüm matematiğe genişletilebileceğini düşünüyordu: yalnızca temel geometriye değil, aynı zamanda aritmetik, analiz ve küme teorisine de. Amacı matematiğin tüm bölümleri (ve hatta fiziğin bölümleri) için aksiyom sistemleri geliştirmek ve ardından sınırlı araçlarla matematiğin tutarlılığını oluşturmak olan "Hilbert Programını" ilan etti. Hilbert aksiyomatik yöntemin olanaklarını fark ettiği anda, böyle bir gelişme için doğrudan bir yolun açık olduğu görüldü. Hatta Hilbert, 1930'da, Rusçaya çevrilen "Bilmeliyiz ve bileceğiz" gibi ünlü bir cümleyi bile dile getirmişti; bu, matematikçilerin bilmesi gereken her şeyi er ya da geç öğrenecekleri anlamına geliyordu. Ancak bu hedefin gerçekçi olmadığı ortaya çıktı ve bu çok sonra anlaşıldı. En şaşırtıcı olanı ise bu umutları etkili bir şekilde çürüten teorem olan Kurt Gödel'in eksiklik teoremi, Hilbert'in ünlü konuşmasını yaptığı 1930 konferansında, bu olaydan tam bir gün önce duyurulmuştu.
5. Aksiyomatik yöntemin olanakları
Hilbert'in aksiyomatik yöntemi, açıkça tanımlanmış matematiksel ifadeler üzerine, diğerlerinin mantıksal olarak türetilebileceği matematiksel teoriler oluşturmanıza olanak tanır. Hilbert aslında daha da ileri giderek matematiğin mantığa indirgenmesinin devam ettirilebileceğine karar verdi. Ayrıca şu soruyu sorabilirsiniz: “Mantıksal bir işlemin ne anlama geldiğinin açıklanmasından kurtulmak mümkün mü?” Mantığın kendisi aksiyomatik yöntemden çıkarılabilir. Aksiyomatik teorilerden resmi aksiyomatik teorilere geçiyoruz - bunlar sembolik biçimde yazılmış teorilerdir, matematik ise yalnızca bir dizi mantıksal sonuca değil, aynı zamanda resmi ifadeleri belirli kurallara göre yeniden yazma oyununa da dönüşür. Safça baktığınızda hiçbir anlam ifade etmeyen bu oyun, “kanıt”ın ne olduğuna dair tam matematiksel modeli sağlıyor. Bu oyunu analiz ederek matematik teoremlerinin kanıtlanamayacağını kanıtlayabiliriz. Ama asıl önemli olan, formalizasyonun bir sonucu olarak, matematikçiler ilk kez tamamen resmileştirilmiş diller geliştirdiler, bu da programlama dillerinin ve veritabanı dillerinin yaratılmasına yol açtı. Bilgisayar teknolojisinin modern gelişimi, sonuçta 20. yüzyılın başında matematikte yapılan keşiflere dayanmaktadır.
6. Aksiyomatik yöntemin eleştirisi
Pek çok matematikçi aksiyomatik yöntemi ne için yaratıldığı nedeniyle eleştirir: Matematiği anlamdan arındırır. Çünkü önce matematiği çeşitli geometrik kavramlardan, sezgilerden kurtarıyoruz. Biçimsel bir aksiyomatik teoriye geçerek, genel olarak mantığı matematikten uzaklaştırırız. Ve sonuç olarak, maddi delilden geriye kalan tek şey biçimsel sembollerden oluşan bir iskelettir. İkincisinin avantajı kesinlikle "anlam" ve "sezgi"nin ne olduğunu bilmememizdir, ancak sonlu karakter dizileriyle yapılan manipülasyonların tam olarak ne olduğunu biliyoruz. Bu, karmaşık bir olgunun (kanıt) doğru bir matematiksel modelini oluşturmamıza ve onu matematiksel analize tabi tutmamıza olanak tanır.
Matematiksel kanıt, başlangıçta muhatabı belirli bir ifadenin doğruluğu konusunda ikna etmeye yönelik psikolojik bir süreçti. Biçimsel sistemde durum böyle değildir: Her şey tamamen mekanik bir sürece indirgenmiştir. Tamamen mekanik olan bu işlem bir bilgisayar tarafından gerçekleştirilebilir. Bununla birlikte, herhangi bir model gibi, mekanik süreç de gerçek kanıtların yalnızca bazı özelliklerini taşır. Bu modelin uygulanabilirlik sınırları vardır. Biçimsel kanıtların “gerçek” matematiksel kanıtlar olduğunu ya da matematikçilerin aslında belirli biçimsel sistemler içerisinde çalıştıklarını düşünmek yanlıştır.
Ayrı olarak matematik öğretiminden bahsetmeye değer. Okul çocuklarının eğitimini mekanik eylemler (algoritmalar) gerçekleştirmeye veya resmi mantıksal sonuçlar çıkarmaya dayandırmaktan daha kötü bir şey yoktur. Bu şekilde bir insandaki herhangi bir yaratıcı başlangıcı mahvedebilirsiniz. Buna göre, matematiği öğretirken ona Hilbert'in anladığı anlamda katı bir aksiyomatik yöntem açısından yaklaşmamalısınız - matematik bunun için yaratılmamıştır.
Aksiyomatik yöntem, bilimsel teorileri tümdengelimli olarak oluşturmanın yollarından biridir; burada:
1. Kanıt olmadan kabul edilen belirli bir teorinin (aksiyomlar) belirli bir dizi önermesi seçilir;
2. İçerdiği kavramların bu teori çerçevesinde açıkça tanımlanmamış olması;
3. belirli bir teori için kuralların tanımlanmasına ve seçilmesine ilişkin kurallar sabittir; bu, kişinin teoriye yeni terimler (kavramlar) katmasına ve mantıksal olarak bazı önermeleri diğerlerinden çıkarmasına izin verir;
4. Bu teorinin (teorem) diğer tüm önermeleri 3 temelinde 1'den türetilmiştir.
Matematikte AM, eski Yunan geometricilerinin çalışmalarından doğmuştur. Harika, 19. yüzyıla kadar tek kalan. AM'yi kullanma modeli geometrikti. olarak bilinen sistem Öklid'in "Başlangıçları" (MÖ 300 civarı). O zamanlar mantıksal mantığı tanımlama sorunu henüz ortaya çıkmamıştı. Aksiyomlardan anlamlı sonuçlar çıkarmak için kullanılan araçlara rağmen, Öklid sisteminde geometrinin tüm temel içeriğini elde etme fikri zaten oldukça açık bir şekilde gerçekleştirilmektedir. teoriler tamamen tümdengelimli olarak belirli, nispeten az sayıdaki ifadelerden - gerçeği açıkça açık görünen aksiyomlardan.
Başlangıçta açılış 19. yüzyıl N. I. Lobachevsky ve J. Bolyai'nin Öklid dışı geometrisi, AM'nin daha da geliştirilmesi için itici güç oldu. Alışılagelmiş ve öyle görünüyor ki, Öklid'in olumsuzlanmasıyla paralellik hakkındaki tek "nesnel olarak doğru" V önermesinin yerini aldığını tespit ettiler. , Tamamen mantıksal olarak geliştirebilirsiniz. geometrik olarak Öklid geometrisi kadar uyumlu ve içerik açısından zengin bir teori. Bu gerçek 19. yüzyıl matematikçilerini zorladı. Matematiksel oluşturmanın tümdengelim yöntemine özellikle dikkat edin. matematiksel matematik kavramı ve resmi (aksiyomatik) matematikle ilgili yeni problemlerin ortaya çıkmasını gerektiren teoriler. teoriler. Aksiyomatik deneyim biriktikçe. matematiksel sunum teoriler - burada her şeyden önce, temel geometrinin mantıksal olarak kusursuz (Euklit'in Elemanlarının aksine) yapısının tamamlandığını belirtmek gerekir [M. Pash (M. Pasch), J. Peano (G. Peano), D. Hilbert (D. Hilbert)] ve aritmetiği aksiyomatikleştirmeye yönelik ilk girişimler (J. Peano), - biçimsel aksiyomatik kavramı açıklığa kavuşturuldu. sistemler (aşağıya bakın); belirli bir özellik ortaya çıktı. sözde sorunların temelinde kanıt teorisi modern matematiğin ana bölümü olarak. mantık.
Matematiği doğrulama ihtiyacının anlaşılması ve bu alandaki belirli görevler, 19. yüzyılda az çok net bir biçimde ortaya çıktı. Aynı zamanda, bir yandan temel kavramların açıklığa kavuşturulması ve daha karmaşık kavramların kesin ve mantıksal olarak giderek daha katı bir temelde en basitine indirgenmesi Ch. varış. analiz alanında [A. Cauchy, B. Bolzano ve K. Weierstrass'ın fonksiyonel-teorik kavramları, G. Cantor ve R. Dedekind'in (R .Dedekind) sürekliliği]; Öte yandan Öklid dışı geometrilerin keşfi matematiksel matematiğin gelişimini, yeni fikirlerin ortaya çıkmasını ve daha genel metamatematik problemlerinin formüle edilmesini teşvik etti. karakter, her şeyden önce, keyfi aksiyomatik kavramıyla ilgili problemler. belirli bir aksiyom sisteminin tutarlılığı, bütünlüğü ve bağımsızlığı gibi teoriler. Bu alanda ilk sonuçlar kabaca şu şekilde tanımlanabilecek yorumlama yöntemiyle getirilmiştir. Belirli bir aksiyomatikle ilgili her başlangıç kavramı ve ilişkisi olsun. T teorisi belirli bir somut matematik teorisine karşılık gelir. nesne. Bu tür nesnelerin toplanmasına denir. yorumlama alanı. T teorisinin her ifadesi artık doğal olarak yorum alanının unsurları hakkında doğru ya da yanlış olabilen belirli bir ifadeyle ilişkilendirilmektedir. Daha sonra bu yoruma göre T teorisinin ifadesinin sırasıyla doğru veya yanlış olduğu söylenir. Yorumlama alanı ve onun özellikleri genellikle bir matematik sınıfının, genel olarak konuşursak başka bir matematiksel sınıfın değerlendirme nesnesidir. özellikle T1 teorisi aksiyomatik olabilir. Yorumlama yöntemi, göreli tutarlılık gerçeğini şu şekilde belirlememize, yani şu tür önermeleri kanıtlamamıza olanak tanır: "Eğer teori T1 tutarlıysa, o zaman T teorisi de tutarlıdır." T teorisinin T1 teorisinde öyle yorumlanmasına izin verin ki, T teorisinin tüm aksiyomları T1 teorisinin doğru yargıları tarafından yorumlansın. O zaman T teorisinin her teoremi, yani T'deki aksiyomlardan mantıksal olarak çıkarılan her A ifadesi, T1'de aksiyomların yorumlarından çıkarılan belirli bir ifadeyle T1'de yorumlanır. Ben, ve bu nedenle doğrudur. Son ifade, mantıksal benzerlik konusunda örtük olarak yaptığımız başka bir varsayıma dayanmaktadır. T ve T 1 teorileri anlamına gelir, ancak pratikte bu koşul genellikle karşılanır. (Yorumlama yönteminin uygulanmasının şafağında, bu varsayım özel olarak düşünülmemişti bile: olduğu gibi kabul edilmişti; aslında, ilk deneylerde, mantıksal varsayımın göreli tutarlılığı üzerine teoremlerin kanıtları T ve T1 teorilerinin araçları basitçe çakıştı - bu, yüklemlerin klasik mantığıydı. ) Şimdi T teorisinin çelişkili olmasına izin verin, yani bu teorinin bazı A iddiaları, onun olumsuzlaması ile birlikte çıkarılabilir. O zaman yukarıdakilerden, ifadelerin ve iradenin aynı zamanda T 1 teorisinin doğru ifadeleri olduğu, yani T 1 teorisinin çelişkili olduğu sonucu çıkar. Bu yöntem örneğin kanıtlanmıştır [F. Klein (F. Klein), A. Poincare (N. Poincare)] Öklid geometrisinin tutarlı olduğu varsayımı altında Öklid dışı Lobaçevski geometrisinin tutarlılığı; ve Öklid geometrisinin Hilbert aksiyomatizasyonunun tutarlılığı sorunu (D. Hilbert) aritmetiğin tutarlılığı sorununa indirgendi. Yorumlama yöntemi aynı zamanda aksiyom sistemlerinin bağımsızlığı sorununu çözmemize de olanak tanır: ATeorisi T aksiyomunun bu teorinin diğer aksiyomlarına bağlı olmadığını, yani onlardan çıkarılamaz olduğunu kanıtlamak ve bu nedenle, bu teorinin tüm kapsamını elde etmek esastır, Abil aksiyomunun yanlış olacağı ve bu teorinin diğer tüm aksiyomlarının doğru olacağı T teorisinin böyle bir yorumunu oluşturmak yeterlidir. Bu bağımsızlığı kanıtlama yönteminin bir başka biçimi, belirli bir teoride TaxiomA'nın yerine onun olumsuzlanması durumunda elde edilen teorinin tutarlılığının oluşturulmasıdır. Lobaçevski'nin geometrisinin tutarlılığı sorununun yukarıda bahsedilen Öklid geometrisinin tutarlılığı sorununa ve bu ikincisini - aritmetiğin tutarlılığı sorununa indirgemesi, sonuç olarak Öklid'in postülasının aşağıdaki önermeden türetilemez olduğu ifadesine sahiptir: doğal sayıların aritmetiği tutarlı olmadığı sürece geometrinin diğer aksiyomları. Yorumlama yönteminin zayıflığı, aksiyom sistemlerinin tutarlılığı ve bağımsızlığı konularında doğası gereği kaçınılmaz olarak yalnızca göreceli olan sonuçların elde edilmesini mümkün kılmasıdır. Ancak bu yöntemin önemli bir başarısı, onun yardımıyla aritmetiğin bir matematik bilimi olarak özel rolünün oldukça doğru bir temelde ortaya çıkmasıydı. teoriler için benzer bir soru, diğer bazı teoriler için tutarlılık sorununa indirgenmiştir.
A. m., D. Hilbert ve okulunun sözde biçimindeki çalışmalarında daha fazla gelişme elde etti - ve bu bir anlamda zirveydi. yöntem biçimcilik matematiğin temellerinde. Bu doğrultuda aksiyomatik kavramının açıklığa kavuşturulması için bir sonraki aşama geliştirildi. teoriler, yani kavram resmi sistem. Bu açıklamanın sonucunda matematiksel olanların kendilerini temsil etmesi mümkün hale geldi. kesin matematiksel teoriler nesneler ve genel bir teori oluşturmak veya metateori, bu tür teoriler. Aynı zamanda, matematiğin temeline ilişkin tüm ana soruları bu yolda çözme olasılığı cazip görünüyordu (ve D. Hilbert bir zamanlar bundan büyülenmişti). Bu yönün ana kavramı resmi bir sistem kavramıdır. Herhangi bir resmi sistem, formül adı verilen bir formül alt sınıfının belirli bir kesin şekilde ayırt edildiği, kesin olarak tanımlanmış bir ifade sınıfı - formüller olarak inşa edilir. Bu formal sistemin teoremleri. Aynı zamanda, resmi bir sistemin formülleri doğrudan anlamlı bir anlam taşımaz ve bunlar, yalnızca teknik uygunluk hususlarının yönlendirdiği keyfi, genel anlamda ikonlar veya temel sembollerden oluşturulabilir. Aslında, formül oluşturma yöntemi ve belirli bir biçimsel sistemin teoremi kavramı, tüm bu biçimsel aygıtın belirli bir matematiksel (ve matematiksel olmayan) ifadeyi belki daha yeterli ve eksiksiz bir şekilde ifade etmek için kullanılabileceği şekilde seçilir. ) teori, daha kesin olarak, onun gerçekleri olarak içerik ve tümdengelimli yapısı. Rastgele bir resmi sistem S'yi oluşturmak (belirtmek) için genel şema aşağıdaki gibidir.
I. Sistem S dili:
a) alfabe - sistemin temel sembollerinin bir listesi;
b) oluşum kuralları (sözdizimi) - S sisteminin formüllerinin temel sembollerden oluşturulduğu kurallar; bu durumda, bir temel semboller dizisi, ancak ve ancak oluşum kuralları kullanılarak oluşturulabiliyorsa bir formül olarak kabul edilir; .
II. S sisteminin aksiyomları. Adı verilen belirli bir formül kümesi (genellikle sonlu veya numaralandırılabilir) tanımlanır. sistemin aksiyomları S.
III. Sistem çekilme kuralları S. Sistemin tüm formülleri kümesinde (genellikle sonlu) bir yüklemler kümesi sabittir S. Let - k.-l. Bu yüklemlerden, eğer ifade bu formüller için doğruysa, o zaman formülün kurala göre doğrudan formüllerden kaynaklandığını söylerler.
7. Olasılık teorisi:
Olasılık teorisi – rastgele olaylardaki kalıpları inceleyen bir matematik bilimi. Olasılık teorisinin temel kavramlarından biri kavramdır. rastgele olay (veya sadece olaylar ).
Etkinlik deneyim sonucu olabilecek veya olmayabilecek herhangi bir gerçektir. Rastgele olaylara örnekler: zar atarken altıdan düşmek, teknik bir cihazın arızalanması, bir iletişim kanalı üzerinden iletirken mesajın bozulması. Bazı olaylar bununla ilişkilidir sayılar , bu olayların meydana gelmesinin nesnel olasılık derecesini karakterize eden, adı verilen olayların olasılıkları .
“Olasılık” kavramına yönelik çeşitli yaklaşımlar vardır.
Olasılık teorisinin modern yapısı aşağıdakilere dayanmaktadır: aksiyomatik yaklaşım ve küme teorisinin temel kavramlarına dayanmaktadır. Bu yaklaşıma küme teorisi denir.
Rastgele sonuç veren bir deney yapılsın. Deneyin tüm olası sonuçlarının W kümesini düşünün; her bir elemanını arayacağız temel olay ve Ω kümesi temel olayların alanı. Herhangi bir olay A küme-teorik yorumunda Ω kümesinin belirli bir alt kümesi vardır: .
Güvenilir her deneyde meydana gelen W olayı denir.
İmkansız deney sonucunda meydana gelemeyen olaya Æ olayı denir.
Uyumsuz aynı deneyimde aynı anda gerçekleşemeyen olaylardır.
Miktar iki olayın (kombinasyonu) A Ve B(belirtilen A+B, AÈ B) olaylardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır, yani. A veya B veya her ikisi de aynı anda.
iş iki olayın (kesişimi) A Ve B(belirtilen A× B, AÇ B) her iki olayın da meydana geldiği bir olaydır A Ve B birlikte.
Zıt etkinliğe A böyle bir olaya denir, bu da olaydır A olmaz.
Olaylar bir k(k=1, 2, …, N) biçim tam grup , eğer ikili olarak uyumsuzlarsa ve toplamda güvenilir bir olay oluşturuyorlarsa.
Olayın olasılığıA bu olay için olumlu sonuçların sayısının, grubun tamamını oluşturan eşit derecede olası tüm uyumsuz temel sonuçların toplam sayısına oranını çağırırlar. Yani A olayının olasılığı aşağıdaki formülle belirlenir:
burada m, A lehine temel sonuçların sayısıdır; n, olası tüm temel test sonuçlarının sayısıdır.
Burada temel sonuçların uyumsuz, eşit derecede mümkün olduğu ve tam bir grup oluşturduğu varsayılmaktadır. Olasılığın tanımından aşağıdaki özellikler çıkar:
Kendi makalesi 1. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir. Aslında eğer olay güvenilirse, testin her temel sonucu olayın lehinedir. Bu durumda m = n dolayısıyla,
P (A) = m / n = n / n = 1.
S yaklaşık s t yaklaşık 2'de. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır. Aslında, eğer bir olay imkansızsa, o zaman testin temel sonuçlarından hiçbiri olayı desteklemez. Bu durumda m = 0 dolayısıyla,
P(A) = m / n = 0 / n = 0.
Yaklaşık olarak t ile yaklaşık 3'te. Rastgele bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasında pozitif bir sayıdır Aslında testin temel sonuçlarının toplam sayısının yalnızca bir kısmı rastgele bir olay tarafından tercih edilir. Bu durumda 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 <Р (А) < 1
Yani herhangi bir olayın olasılığı çifte eşitsizliği karşılar
Matematikte bilimsel bir teori oluşturmanın aksiyomatik yöntemi
Aksiyomatik yöntem Antik Yunan'da ortaya çıktı ve şu anda başta matematik olmak üzere tüm teorik bilimlerde kullanılıyor.
Bilimsel bir teori oluşturmanın aksiyomatik yöntemi şu şekildedir: temel kavramlar tanımlanır, teorinin aksiyomları formüle edilir ve diğer tüm ifadeler bunlara dayanarak mantıksal olarak çıkarılır.
Ana kavramlar aşağıdaki gibi vurgulanmıştır. Bir kavramın diğerlerinin yardımıyla açıklanması gerektiği ve bunların da iyi bilinen bazı kavramların yardımıyla tanımlanması gerektiği bilinmektedir. Böylece başkaları aracılığıyla tanımlanamayacak temel kavramlara geliyoruz. Bu kavramlara temel denir.
Bir ifadeyi, bir teoremi kanıtladığımızda, zaten kanıtlanmış olduğu düşünülen öncüllere güveniriz. Ancak bu öncüllerin de kanıtlanması gerekiyordu; Sonunda kanıtlanamayan ifadelere varıyoruz ve bunları kanıt olmadan kabul ediyoruz. Bu ifadelere aksiyom denir. Aksiyomlar kümesi, ona dayanarak başka ifadelerin kanıtlanması mümkün olacak şekilde olmalıdır.
Temel kavramları belirledikten ve aksiyomları formüle ettikten sonra, teoremleri ve diğer kavramları mantıksal bir şekilde türetebiliriz. Bu geometrinin mantıksal yapısıdır. Aksiyomlar ve temel kavramlar planimetrinin temellerini oluşturur.
Tüm geometriler için temel kavramların tek bir tanımını vermek mümkün olmadığından, geometrinin temel kavramları, bu geometrinin aksiyomlarını karşılayan herhangi bir doğadaki nesneler olarak tanımlanmalıdır. Böylece, geometrik bir sistemin aksiyomatik inşasında belirli bir aksiyom veya aksiyomatik sisteminden başlarız. Bu aksiyomlar, geometrik sistemin temel kavramlarının özelliklerini tanımlar ve temel kavramları, aksiyomlarda belirtilen özelliklere sahip herhangi bir doğadaki nesneler biçiminde temsil edebiliriz.
İlk geometrik ifadelerin formülasyonu ve ispatından sonra bazı ifadelerin (teoremlerin) diğerlerinin yardımıyla ispatlanması mümkün hale gelir. Birçok teoremin ispatı Pisagor ve Demokritos'a atfedilir.
Sakız Adası'ndaki Hipokrat, tanımlara ve aksiyomlara dayalı ilk sistematik geometri dersini derleyen kişi olarak tanınır. Bu kursa ve sonraki tedavilerine "Elementler" adı verildi.
Daha sonra 3. yüzyılda. M.Ö. İskenderiye'de Öklid'in aynı adı taşıyan bir kitabı “Başlangıçlar”ın Rusça çevirisinde ortaya çıktı. “Temel geometri” terimi Latince “Başlangıçlar” isminden gelir. Euclid'in öncüllerinin eserleri bize ulaşmamış olsa da, Euclid'in Unsurları'ndan yola çıkarak bu eserler hakkında fikir sahibi olabiliriz. "İlkeler"de diğer bölümlerle mantıksal olarak çok az bağlantısı olan bölümler vardır. Görünüşleri ancak geleneğe göre tanıtılmaları ve Öklid'in öncüllerinin "Elementlerini" kopyalamalarıyla açıklanabilir.
Öklid'in Elementleri 13 kitaptan oluşuyor. 1'den 6'ya kadar olan kitaplar planimetriye ayrılmıştır, 7'den 10'a kadar olan kitaplar ise bir pusula ve cetvel kullanılarak oluşturulabilecek aritmetik ve ölçülemez büyüklükler hakkındadır. 11'den 13'e kadar olan kitaplar stereometriye ayrılmıştı.
Principia 23 tanım ve 10 aksiyomun sunumuyla başlıyor. İlk beş aksiyom “genel kavramlar”, geri kalanı ise “varsayımlar” olarak adlandırılır. İlk iki varsayım ideal bir cetvel kullanarak eylemleri belirler, üçüncüsü ise ideal bir pusula kullanarak. Dördüncüsü, "tüm dik açılar birbirine eşittir", geri kalan aksiyomlardan çıkarılabileceği için gereksizdir. Son, beşinci önerme şu şekildedir: "Eğer bir doğru iki düz çizgiye düşüyorsa ve iki düz çizginin toplamında tek taraflı iç açılar oluşturuyorsa, o zaman bu iki düz çizginin sınırsız uzantısıyla bunlar kesişecektir. açıların iki düz çizgiden küçük olduğu taraf.”
Öklid'in beş “genel kavramı” uzunlukları, açıları, alanları, hacimleri ölçmenin ilkeleridir: “aynı eşitler birbirine eşittir”, “eşitlere eşitler eklenirse, toplamlar eşittir”, “eşitse eşitler birbirine eşittir” Eşitlerden çıkarıldığında kalanlar eşittir”, “Birbirleriyle birleşenler birbirine eşittir”, “Bütün parçadan büyüktür”.
Daha sonra Öklid geometrisinin eleştirisi başladı. Öklid üç nedenden dolayı eleştirildi: yalnızca pergel ve cetvel kullanılarak oluşturulabilecek geometrik büyüklükleri dikkate aldığı için; geometri ile aritmetiği ayırdığı ve geometrik nicelikler için zaten kanıtlamış olduğu şeyi tamsayılar için de kanıtladığı ve son olarak Öklid aksiyomları için kanıtladığı için. En çok eleştirilen önerme, Öklid'in en karmaşık önermesi olan beşinci önermeydi. Birçoğu bunun gereksiz olduğunu ve diğer aksiyomlardan çıkarılabileceğini ve çıkarılması gerektiğini düşünüyordu. Diğerleri bunun daha basit ve daha açık bir eşdeğerle değiştirilmesi gerektiğine inanıyordu: "Bir çizginin dışındaki bir noktadan, kendi düzleminde, verilen çizgiyle kesişmeyen birden fazla düz çizgi çizilemez."
Geometri ve aritmetik arasındaki uçurumun eleştirilmesi, sayı kavramının reel sayıya kadar genişlemesine yol açtı. Beşinci varsayımla ilgili anlaşmazlıklar, 19. yüzyılın başında N.I. Lobaczewski, J. Bolyai ve K.F. Gauss, beşinci postüla hariç, Öklid geometrisinin tüm aksiyomlarının karşılandığı yeni bir geometri inşa etti. Bunun yerine şu ifade geldi: "Bir düzlemde, bir doğrunun dışındaki bir noktadan geçen, verilen doğruyla kesişmeyen birden fazla doğru çizilebilir." Bu geometri Öklid geometrisi kadar tutarlıydı.
Öklid düzlemindeki Lobaçevski planimetri modeli, 1882'de Fransız matematikçi Henri Poincaré tarafından inşa edildi.
Öklid düzlemine yatay bir çizgi çizelim (bkz. Şekil 1). Bu doğruya mutlak (x) denir. Mutlak düzlemin üzerinde yer alan Öklid düzleminin noktaları Lobaçevski düzleminin noktalarıdır. Lobaçevski düzlemi mutlakın üzerinde yer alan açık bir yarım düzlemdir. Poincaré modelindeki Öklidyen olmayan bölümler, mutlak üzerinde ortalanmış daire yayları veya mutlak değere (AB, CD) dik olan düz çizgilerin bölümleridir. Lobaçevski düzlemindeki bir şekil, mutlak (F) üzerinde yer alan açık bir yarım düzlemin şeklidir. Öklidyen olmayan hareket, eksenleri mutlak noktaya dik olan mutlak ve eksenel simetrilere odaklanan sonlu sayıda tersinmenin bir bileşimidir. Öklidyen olmayan iki parçadan biri diğerine Öklidyen olmayan bir hareketle aktarılabiliyorsa eşittir. Bunlar Lobaçevski planimetrisinin aksiyomatiklerinin temel kavramlarıdır.
Lobaçevski planimetrisinin tüm aksiyomları tutarlıdır. Düz bir çizginin tanımı şu şekildedir: “Öklidyen olmayan bir düz çizgi, uçları mutlak olan bir yarım daire veya başlangıcı mutlak olan ve mutlak olana dik olan bir ışındır.” Böylece, Lobaçevski'nin paralellik aksiyomu ifadesi yalnızca bir a doğrusu ve bu doğru üzerinde yer almayan bir A noktası için değil, aynı zamanda herhangi bir a doğrusu ve onun üzerinde yer almayan herhangi bir A noktası için de karşılanır (bkz. Şekil 2).
Lobaçevski'nin geometrisinden sonra başka tutarlı geometriler ortaya çıktı: Öklid'den ayrılan yansıtmalı geometri, çok boyutlu Öklid geometrisi ortaya çıktı, Riemann geometrisi ortaya çıktı (uzunlukları ölçmek için keyfi bir yasaya sahip genel uzay teorisi), vb. Üç boyutlu şekillerin biliminden Öklid uzayı, geometri 40 - 50 yıldır, atası Öklid geometrisine sadece biraz benzeyen bir dizi çeşitli teoriye dönüştü. 60.896.
