Karşılaştırma teorisinin aritmetik uygulamaları. Bileşenlerindeki değişikliklere bağlı olarak bir aritmetik işlemin sonucunu değiştirmeye ilişkin görevler

Sayfa 2

Bu transferin değerine göre aritmetik işlemler sonucunda sıranın taşması (p 27 - 1) veya kaybolması (p 3 0) için de bir analiz yapılır. Doğru, farklı makine modellerinde bu analiz farklı şekillerde uygulanır; bu, öncelikle belirli devrelerin oluşturulmasının rasyonelliğiyle ilgili değerlendirmelerden kaynaklanmaktadır.  

Bu kasıtlı olarak yapılır çünkü doğrudan veritabanında depolanan değerlerle çalışmak, bu değerler üzerinde aritmetik işlemler sonucu oluşturulan verilerle çalışmaktan daha kolaydır. INGRES sisteminin sonraki sürümleri keyfi ifadelere izin verir, ancak Codd'un ilişkisel hesabına daha yakın olduğu için bu sınırlamaya sadık kalacağız.  

Cebirde (daha kesin olarak aritmetikte), limit kavramı, irrasyonel sayılar üzerinde aritmetik işlemler gerçekleştirilirken ortaya çıkar; bunların sonuçları aslında, verilen irrasyonel sayıların ondalık yaklaşımları üzerindeki karşılık gelen aritmetik işlemlerin sonuçlarından oluşan dizilerin limitleridir. Limit kavramı, azalan geometrik ilerlemenin sonsuz terimlerinin toplamını belirlerken ve ayrıca ax üstel fonksiyonunu belirlerken de mevcuttur ve O, x bir gerçek sayıdır. Öncelikle rasyonel bir r üssü ile a'nın kuvveti belirleniyor ve daha sonra elde edilen değerlerin süreklilik yoluyla tüm reel sayılara uygulandığı söyleniyor. Okul matematik dersini daha fazla incelerken, bu sezgisel tanım kural olarak artık geri dönmemektedir.  

Yukarıda malların mekanının unsurları üzerinde tanıtılan işlemler, mekanın herhangi bir boyutu için anlamlıdır; bu, karşılık gelen geometrik terimleri (çeviri, homotelik) kullanmamıza ve bunları karşılık gelen aritmetik işlemlerin sonuçları olarak anlamamıza olanak tanır.  

Bu tabloda üst satıra terimlerden biri, ilk sütuna ise başka bir terim yazılır. Bir tablodaki aritmetik işlemlerin sonuçları, karşılık gelen satır ve sütunların kesişiminde bulunur.  

Bu soruyu hemen cevaplamaya çalışmasak da, belirli beklentiler ve hedefler açısından şirket yönetiminin faaliyetlerinin her zaman az ya da çok başarılı olduğu doğal durumu hala fark edebiliriz. Her zaman tüm tarafların dikkate alınmadığı aritmetik toplama işlemi sonucunda belli bir ortalama tahmin elde edilir.  

Önceki paragrafta bir aritmetik işlemin sonucunun yuvarlama hatası içerdiği belirtilmişti. Bilgisayarda gerçekleştirilen diğer aritmetik işlemlerin sonuçları analiz edilirken bu hatanın büyüklüğü dikkate alınmalıdır. Hesaplama hatasının yayılmasını izlemeden önce, dört aritmetik işlemin her birinin mutlak ve göreli hatalarını ele alalım.  

Bunlardan birincisine toplamın monotonluğu kanunu, ikincisine ise ürünün monotonluğu kanunu denir. Sayısal eşitsizliklerin dikkate alınan özellikleri, gerçek sayılar kümesi için aritmetik işlemlerin sonuçlarının monotonluk yasalarının bir ifadesidir. Böylece, ikinci ve dördüncü özellikler bir toplamın monotonluğu yasasını, üçüncü ve altıncı özellikler - bir ürünün monotonluğu yasasını, yedinci özellik - bir derecenin monotonluğu yasasını ve sekizinci özellik - bir derecenin monotonluğu yasasını ifade eder. aritmetik kökün monotonluğu.  

Bu kayıtların göstergeleri, döngüsel kaydırma işlemleri sırasında tek bir 13 bitlik koda ve aritmetik işlemlerin bir sonucu olarak HP (SM) taşmaları sırasında bu kayıtların etkileşimine karşılık gelen 13 lambalık bir çizgi oluşturur. Toplayıcının yardımıyla, makinedeki tüm aritmetik ve mantıksal işlemlerin yanı sıra, harici cihazların ara bellek kayıtları ve otomatik çalışma sırasında anahtar kayıt defteri ile etkileşim gerçekleştirilir.  

Çoğu durumda limitin bu şekilde doğrudan aranması çok hantal ve zor bir işlemdir. Ancak, tüm temel temel fonksiyonların türevlerini (şu ana kadar sadece y x kuvvet fonksiyonunun türevini biliyoruz) ve ayrıca karmaşık fonksiyonların türevinin alınması gereken kuralları ve aritmetiğin sonuçlarını - kesin olarak - biliyorsanız işlemler, daha sonra her seferinde belirtilen limit geçişini gerçekleştirmeden herhangi bir temel fonksiyonun türevlerini bulabilirsiniz.  

Çoğu durumda sınırın bu şekilde doğrudan aranması çok hantal ve zahmetli bir eylemdir. Ancak, tüm temel temel fonksiyonların türevlerini (şu ana kadar sadece y - x kuvvet fonksiyonunun türevini biliyoruz) ve ayrıca karmaşık fonksiyonların türevinin alınması gereken kuralları ve sonuçları kesin olarak biliyorsanız Aritmetik işlemlerde, her seferinde limite belirtilen geçişi gerçekleştirmeden herhangi bir temel fonksiyonun türevlerini bulabilirsiniz.  

Çoğu modern bilgisayarda 2 veya 4 baytlık tamsayılar bulunur. Yeni makinelerin bazılarında 8 baytlık tamsayılar bulunur. İşaretçi aritmetiğinin sonucu, işaretçinin işaret ettiği nesnelerin boyutuna bağlı olduğundan işaretçi aritmetiği makineden bağımsızdır.  

Çoğu modern bilgisayarda 2 veya 4 baytlık tamsayılar bulunur. Yeni makinelerin bazılarında 8 baytlık tamsayılar bulunur. İşaretçi aritmetiğinin sonucu, işaretçinin işaret ettiği nesnelerin boyutuna bağlı olduğundan işaretçi aritmetiği makineye bağlıdır.  

Aritmetik işlemleri incelemek için metodoloji sorularını iki bölüme ayıracağız. Bu bölümde öğrencilerin toplama, çıkarma, çarpma, bölme, aritmetik işlem kavramı ve özelliklerine ilişkin fikirlerinin nasıl oluşturulabileceğine ve bölümün bir sonraki bölümünde hesaplama becerilerinin nasıl geliştirilebileceğine bakacağız.

7.3.1. Aritmetik işlemleri incelemenin amaçları ve sonuçları. Aritmetik işlemler sayılar teorisindeki anahtar kavramlardır ve sayı kümelerinin en önemli özelliğidir. Çalışmaları sayı kavramının ve hesaplama becerilerinin oluşumunun ayrılmaz bir parçasıdır. Matematikte aritmetik işlemlerin genelleştirilmesi işlem kavramına ve ardından modern matematikte ve yaşamın çeşitli alanlarındaki uygulamalarında büyük rol oynayan matematiksel yapı, grup, halka, alan gibi kavramlara yol açmıştır. Aritmetik işlemleri öğrenmek, çocukların birçok matematiksel fikirle, özellikle işlevsellik, matematiksel yapı, matematiksel modelleme ve dualite ilkesiyle sezgisel olarak temas kurmasına olanak tanır. Aritmetik işlemler, düşünme, konuşma, evrensel eğitim eylemlerinin oluşumu ve gelişimi için zengin bir potansiyele sahiptir.

Modern gösterim biçimlerindeki aritmetik işlemler, kalıpları gözlemlemek ve keşfetmek ve sayısal diziler oluşturmak için uygundur. Eylemleri gerçekleştirmek için yöntemlerin ve ilgili algoritmaların, sayısal ifadeleri dönüştürme yöntemlerinin icat edilmesine izin verirler ve bu nedenle bağımsız düşünme ve yaratıcı yetenekleri geliştirmenin bir aracı olarak hizmet edebilirler. Hesaplama becerilerinin rolü artık değişse de, hesaplamaları öğretme görevi önemini kaybetmedi. Aritmetik işlemleri çalışmanın hedefleri ve çalışmalarının sonuçlarının gereksinimleri de değişti.

Öğrenme Hedefleri aritmetik işlemler genç okul çocukları - kişisel ve entelektüel gelişim, sayı ve aritmetik işlemlerle ilgili fikirlerin geliştirilmesi, hesaplama becerilerinin oluşumu, matematiğin temel fikirleriyle ön eğitimsel tanışma, planlanan sonuçların elde edilmesi.

Kişisel ve meta-konu sonuçları şu şekilde sağlanır: a) öğrencilerin aritmetik işlemleri sunumunun doğası, bunların yalnızca dar anlamda temel değil, aynı zamanda disiplinlerarası, insani yönlerinin de dikkate alınması dahil; b) aritmetik işlemlerin anlamlarına, mantıksal bağlantılara ve sonuçlara, çevremizdeki dünyayı tanımlamak için aritmetik işlemlerin kullanımına artan ilgi; c) Çocukların mevcut ve ortaya çıkan öznel sayısal deneyimlerini, biliş deneyimini inceleme sürecine dahil olmak.

Kişisel sonuçlar aritmetik işlemleri incelemek - dünyaya, insanlara, kişinin kendisine, öğrenmeye, sayılara ve aritmetik işlemlere karşı oluşturulmuş bir tutum. Meta konu sonuçları Aritmetik işlemlerle ilgili olan, bunları nesnel eylem modelleri ve çeşitli bilgi alanlarında ve günlük yaşamda yeni bilgiler edinme araçları olarak kullanma yeteneğidir; bu, anlamları ve özellikleri anlama aracı olarak çizimleri, diyagramları, tabloları kullanma yeteneğidir. aritmetik işlemlerin; problemlerin çözümü için genel aritmetik yöntemler bilgisi; Aritmetik işlemleri kullanarak durumların modellenmesi. Aritmetik işlemleri incelemenin meta-konu sonuçları, herhangi bir eğitim materyalinin incelenmesi sırasında oluşturulan UUD'leri de içerir.

Konu sonuçları- Matematiksel nesneler olarak aritmetik işlemler hakkında her öğrencinin bileceği, öğreneceği ve öğrenme ve öğrenme fırsatına sahip olacağı şey budur. Öğretmenin sorumluluğu, tüm öğrencilerin ilkokuldan mezun olduktan sonra, Federal Devlet Eğitim Standardının gerekliliklerine uygun olarak aritmetik işlemleri çalışmanın planlanan sonuçlarına ulaşmalarını sağlamaktır. Planlanan konu sonuçlarının bir versiyonu aşağıda sunulmaktadır.

Aritmetik işlemler eğitimi sonucunda ilkokul mezunu öğrenecek:Çevredeki nesneleri, süreçleri, olayları, bunların niceliksel ve mekansal ilişkilerini tanımlamak ve açıklamak, sözlü problemleri çözmek için (2 - 3 eylemde) aritmetik işlemleri kullanın;

100'ün (sıfır ve 1 sayısı dahil) içindeki işlemlere indirgenebilecek durumlarda tek basamaklı, iki basamaklı ve üç basamaklı sayıların sözlü toplama, çıkarma, çarpma ve bölmesini gerçekleştirmek; yazılı hesaplama algoritmalarını kullanarak çok basamaklı sayılarla aritmetik işlemler gerçekleştirin (toplama, çıkarma, çarpma ve 10.000 içindeki tek basamaklı, iki basamaklı sayılarla bölme), sözlü ve yazılı hesaplamaların doğruluğunu kontrol etmek için bir hesap makinesi kullanın; bir aritmetik işlemin bilinmeyen bileşenini izole edin ve değerini bulun; Parantezli ve parantezsiz 2-3 aritmetik işlem içeren sayısal bir ifadenin değerini hesaplar. Mezun olmaköğrenme fırsatına sahip olacak

: hesaplamaları basitleştirmek ve rasyonelleştirmek için aritmetik işlemlerin özelliklerini kullanmak; değer değerlerine sahip eylemler gerçekleştirin; hesap makineleri de dahil olmak üzere hesaplamaların doğruluğunu kontrol edin (tersine işlem kullanarak, eylemin sonucunu tahmin ederek ve değerlendirerek).

Planlanan sonuçları formüle ettikten sonra, bir ilkokul mezununun planlanan sonuçlara ne ölçüde ulaştığını belirlemeyi mümkün kılan tanı araçlarının ve tanı malzemelerinin belirlenmesi gerekir. Aşağıda konu ve meta konu sonuçlarının nihai değerlendirmesine yönelik olası görev seçeneklerinden biri bulunmaktadır. A..

1. Ev modelinin duvarının bir kısmı paralel yüzlü 5 adet birbirinin aynı ahşap bloktan yapılmıştır. (Bloğun boyutları 10 cm x 2 cm x 2 cm'dir. Çubuklar masanın üzerine istiflenir.) Kenar uzunlukları ölçülerek toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılarak duvarın bu kısmı karakterize edilir. soruları yanıtlayarak: 1.1. Duvarın bu kısmının uzunluğu, kalınlığı, yüksekliği nedir? 1.2. Duvarın iç yüzey alanı nedir? 1.3. “Eşit mi, eşit değil mi?”, “Kaç santimetre fazla (daha küçük)?”, “Kaç kat daha fazla (daha küçük)?” Sorularını kullanarak bloğun kenar uzunluklarını karşılaştırın.

2. Depoya her biri 80 kg'lık çuvallarda 4560 kg pirinç gevreği ve 64 çuval karabuğday getirildi. Depoya kaç torba tahıl getirildi?

3. İfadelerin anlamlarını bulun: (360 – 24 ∙ 5) : 40; 450:50; 78:4; 73 + 89; 0 ∙ 256; (36:9 – 3) ∙ 17;

32 ∙ (1462 + 748) : (7846 – 7781) İÇİNDE..

Artan seviye

1. Ev modelinin duvarının bir kısmı paralel yüzlü 5 adet birbirinin aynı ahşap bloktan yapılmıştır. (Çubuğun boyutları 10 cm × 2 cm × 2 cm’dir. Çubuklar masanın üzerine istiflenir.)

Kenarların uzunluklarını ve toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini ölçerek, aşağıdaki soruları yanıtlayarak duvarın bu bölümünü karakterize edin: 1.1. Duvarın bu kısmının uzunluğu, genişliği ve kalınlığı nedir? 1.2. Duvarın iç yüzey alanı nedir? 1.3. Bloğun hacmi nedir? duvar hacmi? 1.4. “Kaç santimetre daha fazla (daha küçük)?”, “Kaç kat daha fazla (daha küçük)?” Sorularını kullanarak bloğun kenar uzunluklarını karşılaştırın. 1.5. Duvarın bir kısmının hacmini ve bloğun hacmini karşılaştırın.

2. Depoda her biri 80 kg'lık torbalarda 4560 kg pirinç gevreği ve 64 torbada 3840 kg karabuğday bulunmaktadır. Hangi mısır gevreği torbası daha ağırdır ve ne kadar? Hangi tahılda daha fazla torba var ve kaç tane?

3. Zihinsel hesaplamaları ve aritmetik işlemlerin özelliklerini kullanarak sayısal ifadelerin değerlerini bulun: (480 – 24 ∙ 6) : 16; 354+188; 162:4; 18∙4 – 1345∙0; 317:50; 45:45; (27 - 108: 9) ∙ 17.

4. Yazılı hesaplama algoritmalarını kullanarak sayısal ifadelerin değerlerini bulun: 26 (1672 + 1448) : (4825 – 4773) “Test edilen beceri: üzerinde çalışılan algoritmaları kullanarak aritmetik işlemleri gerçekleştirme yeteneği (10.000 içindeki tek basamaklı ve çift basamaklı sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme). Temelin ayarlanması. Hesaplayın: 2072: 37.İleri düzey görev.

Doğru cevabı işaretleyin✔.

« □ 0 □ 4 □ 5 □ 6.” Yetenek “Test edilen beceri: üzerinde çalışılan algoritmaları kullanarak aritmetik işlemleri gerçekleştirme yeteneği (10.000 içindeki tek basamaklı ve çift basamaklı sayılarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme).: kalanla bölmenin anlamını anlayın, eksik bölümü ve kalanı vurgulayın.

Hediyelik şeker aldık. Toplamda 199 şeker var. Her hediyeye 5 şeker koymanız gerekiyor. Geriye kaç şeker kalacak? Futbol takımına bir kompartıman için 18 bilet aldık. 1'den 18'e kadar bilet numaraları. Her kompartımanda 4 kişi yer alırsa futbolcular kaç kompartımanda konaklayabilir?” “Yetenek: Bir aritmetik işlemin sonucunu tahmin etme ve kontrol etme. Görev 31 temel seviye.

12064:4 işleminin sonucu kaç sayıdır? Cevap numarasını daire içine alın. 1) iki haneli; 2) üç haneli; 3) dört haneli; 4) beş haneli. Görev 32 ileri seviye.

Kitap başına 199 ruble fiyatla dört kitap ve 250 ruble takvim satın almak için 1.000 ruble yeterli mi? Cevabınızı yazın ve açıklayın. Cevap: …< 250», то оценить владение прикидкой и оценкой по этому ответу нельзя, так как в этом обосновании они не показаны.

7.3.2. Açıklama. Cevap: yeterli değil. Bir açıklama örneği: Dört kitap satın aldıktan sonra geriye iki yüz rubleden biraz fazla kalacak. Bu para 250 rubleye takvim almaya yetmiyor. ..." 18 Olası bir açıklama: "Yeterli değil. 1000 ovmak. 5 çarpı 200 ruble içerir. 1 ruble için 4 kat ödeme yapıyorlar. 200'den az, yani 4 r için. 200 ruble için 4 kereden az. Dört kitabın parasını ödedikten sonra geriye sadece 4 ruble kalacak. 200'den fazla, yani 250'den az." “Yeterli değil çünkü: 199 ∙ 4 = 796 (r.); 1000 – 796 = 204 (r.); 204 İlkokulda aritmetik işlemleri öğrenme sırası.

Geleneksel olarak aritmetik işlemler şu sırayla incelenir: toplama ve çıkarma, çarpma, bölme (tam) ve kalanla bölme. Bu sıralamayı birçok ilkokul matematik ders kitabında görmek mümkündür. Ancak eylem öğrenmeyi sıralamaya yönelik başka yaklaşımlar da vardır.

Çarpma ve bölme işleminin sırası konusunda herhangi bir anlaşmazlık yoktur. Çarpma işlemine genellikle bölme işleminden biraz önce başlanır. Öğrenciler çarpmanın anlamını öğrendikten sonra bölme işlerine başlanır. Bazen çarpma işlemini öğrendikten sonra tablo çarpması ve ancak o zaman bölme üzerinde çalışırlar. Ancak daha sık olarak, bölme işlemine geçildikten sonra aynı veya ardışık derslerde tablo bölme işlemi, tablo çarpma işlemiyle eş zamanlı olarak ele alınır.

konusunda farklı bakış açıları mevcut öğrenme dizileri tam bölümler Ve kalanla bölme. Bunlardan birine göre önce tam bölme, anlamları ve bölmenin tablo halleri tanıtılır. Asimilasyonlarından sonra, kalanla bölme, kendi anlamları, özellikleri ve bir bütün olarak tablo bölmeye dayalı algoritmaları olan özel bir eylem olarak tanıtılır. Daha sonra, bütüne bölme ve kalanla bölmenin tablo dışı temel yöntemleri dikkate alınır ve geri kalanla bölme olarak yazılı bölme, bunun özel bir durumu bir bütüne bölme - kalan 0 ile bölmedir.

Başka bir bakış açısına göre, bütün olarak bölme ve kalanla bölme, bir grup nesneyi belirli bir tabana eşit parçalara bölmek için bir atama olarak getirilebilir (bölme eyleminin küme teorisi ve büyüklük anlamlarına uygun olarak) ) aynı anda veya bir dizi ardışık derste. Böyle bir girişin sonucu, öğrencilerin içeriğe göre ve eşit parçalara bölme eylemlerini 12: 3 formundaki kayıtlarla belirleme yeteneği olacaktır, 13: 3, 12: 3 = 4, 13: 3 = 4 (geri kalan 1) ve tam tersi, nesnel eylemler gerçekleştirin veya yazılı olarak çizimler yapın.

Bütüne bölme ve kalanla bölme için aynı olan bölmenin konu anlamlarına hakim olduktan sonra, konu eylemleri olmadan bölmenin sonuçlarının nasıl bulunacağı sorusunu tartışmaya geçerler. Cevap, tamsayılı bölme için öncelikle bölme ve çarpma arasındaki bağlantıyı kurarak tablo halleri, tamsayı bölmenin özellikleri ve çarpım/bölme tablolarının özelliklerine odaklanılarak aranır. Kalanlı bölme vakaları bu dönemde tesadüfen ele alınır, anlayış pekiştirilir ve öğrencilere bütüne bölme ve kalanla bölme arasındaki bağlantının sezgisel bir anlayışına dayalı olarak bölümü ve kalanı bulma fırsatı sunulur. Tabloda çarpma ve bölme konusunda uzmanlaştıktan sonra, kalanla bölmenin özellikleri, özellikleri, yöntemleri ve algoritmaları dikkate alınır.

İkinci bakış açısının gerekçesi, bir kalanın varlığının veya yokluğunun pratik bölmenin gidişatını değiştirmemesidir. Örneğin 12 ve 13 küpü her biri 3 küp olacak şekilde eşit parçalara bölelim. Her iki durumda da aynı şekilde ilerliyoruz: 3 küp alıp bir kenara koyuyoruz. Bu işlemi 3 küp alana kadar tekrarlıyoruz. Belirlenen: 12: 3 ve 13: 3. Hiç küp kalmadığında veya üçten az kaldığında ortaya çıkan parçaları sayarız. Numaraları gizli olacaktır. Her iki durumda da, her biri 3 küpten oluşan 4 eşit parça oluşturuldu - bölüm 4 sayısı olacaktır. 12 küp olması durumunda "bölünmemiş" küp kalmayacak ve 13 küpü 3'e böldüğünüzde 1 küp olacaktır. bölünmeden kalır. Şunu elde ederiz: 12: 3 = 4, 13: 3 = 4 (kalan 1).

12 ve 13'ün küplerini böleceğiz 3 eşit parçaya. Eşit parçalara ihtiyaç duyulan sayıda küp alıyoruz ve bunları birer birer düzenliyoruz. Sonra yine parça sayısı kadar nesne alıyoruz ve bunları daha önce ortaya konmuş olanlara göre tek tek düzenliyoruz. Küp kalmayıncaya veya gereken parça sayısından daha az parça kalana kadar bu şekilde devam ediyoruz. Her iki durumda da bölüm 4'tür (üç eşit parçanın her biri 4 küp içerir). 12:3'e bölündüğünde kalan olmaz, 13:3'e bölündüğünde kalan 1 olur. Giriş: 12:3 = 4 ve 13:3 = 4 (kalan 1).

Objektif etkinliklerde bölme işlemine başlarken çoğu zaman kalanın olup olmayacağını bilmezler. Çocukların deneyimlerinde pek çok pratik bölünme durumu vardır. Çocuklar oyuncaklarını, şekerlerini paylaşırlar, oyunlarda takımlara ayrılırlar ve çok daha fazlası. Tam bölme her zaman işe yaramaz. Yalnızca tam bölmeyi uygulamaya koyarak çocukları tam bölmenin mümkün olmadığı durumlardan korumak gerekir. Ve eğer sadece bölme ile görüşme süresi tamamen uzunsa, o zaman çocuklar bir klişe geliştirirler: sayıları bölerken her zaman bir sayı alırlar - bölüm. Bu, kalanlı bölme işleminin anlaşılmasını zorlaştırır. Bu kısmen, kalanla bölme işleminin zor bir eylem olarak görülmesinin ve bunun kullanılabileceği sözlü problemlerin ya dikkate alınmamasının (kalanla bölme işlemine girerken basit problemler hariç) ya da artırılmış problemler olarak sınıflandırılmasının nedenidir. zorluk.

Yukarıdaki mantıktan yola çıkarak sıra çarpma ve bölmeyi öğreniyorumşuna benzeyebilir: çarpmayı tanıtmak, anlamlarına hakim olmak; Bölmenin bir bütün olarak ve bir geri kalanla birlikte tanıtılması, bölmenin anlamına hakim olunması; tablo çarpma ve bölme (tamsayılar); tablo bölünmesine dayalı olarak kalanla bölme için sözlü hesaplama algoritmaları; kalanla bölme de dahil olmak üzere tablo dışı (sözlü) çarpma ve bölme algoritmaları;

yazılı çarpma algoritmaları; kalanlı bölme algoritmaları olarak yazılı bölme algoritmaları; bunun özel bir durumu sıfır kalanlı bölmedir - bir tamsayıya bölme; hesap makinesi kullanarak çarpma ve bölme.

Her aritmetik işlemin incelenmesi aşamalar halinde sunulabilir: aritmetik işlemin veya eylemlerin tanıtılmasına hazırlık; bir eylemin (eylemlerin) tanıtılması, çalışma motivasyonu, aritmetik bir eylemi (veya eylemleri) incelemeye yönelik çalışmayı planlamak, incelenen eylemin anlamını oluşturmak; aritmetik işlemlerin özelliklerinin incelenmesi; eylemleri gerçekleştirmek ve hesaplama becerilerini geliştirmek için algoritmalar üzerinde çalışmak. Bir aritmetik işlem veya işlemleri tanıtmaya hazırlanmak

nesne gruplarıyla (küme-teorik yaklaşım) ve belirli bir değere göre nesnelerle (büyüklük yaklaşımı) eylemlerde, bir dizi sayı boyunca "yürürken" uygulanan aritmetik işlemler için bir konu-faaliyet temeli oluşturmaktan oluşur, 0 sayısı ve doğal seri dahil (sıralı yaklaşım). Burada sayı hakkındaki fikirleri açıklığa kavuşturmak, derinleştirmek, nesnel eylem yöntemlerini güncellemek ve bunları aritmetik işlemlere karşılık gelen metin problemlerini çözmek için kullanmak gerekir. Derslerin ana hedefleri Bir aritmetik eylemi (veya eylemleri) tanıtmak ve incelenen eylemin anlamını oluşturmak

Öğrenme eylemi için olumlu motivasyonlar, nesnelerle yapılan eylemler hakkındaki bilgileri korumanın ve iletmenin kısa ve hızlı bir yolu olarak, yazılı dili zenginleştirmenin bir aracı olarak, iletişim fırsatlarını genişletmenin bir aracı olarak, görevi modellemenin bir aracı olarak çocukların aritmetik işlemlere ilişkin duygusal deneyimleri yoluyla oluşturulabilir. durumlar ve yeni bilgi edinmenin bir yolu olarak. Çocukların ilgisini çeken konu, eylemlerin özellikleri, bireysel sayıların aritmetik işlemlerle ilgili davranışının özellikleri, alışılmadık hesaplama yöntemleri, aritmetik işlemler dilinde ifade edilen kalıplara dayanan sayısal diziler olabilir ve olmalıdır. Bu, aritmetik işlemlerin anlamlarının açığa çıkmasıyla, kişinin kendi kişisel anlamlarını üretme olasılığıyla mümkündür.

Hatırlatalım: aritmetik işlemler bir sayı kümesi (ilkokulda negatif olmayan tamsayılar kümesi) üzerinde yapılan matematiksel işlemlerdir. İşlem, bir sayısal kümedeki sayı çiftleri kümesi ile aynı kümenin elemanları arasındaki yazışmadır. Eşleşme bir numaralandırma ve karakteristik özellik ile belirtilebilir. Bu tür özellikler bir eylemin tanımına dahil edilir. Kayıtta bu bir eylem işaretiyle belirtilir. 3 + 4, 17 – 9, 25 ∙ 7, 12: 6, 17: 5 girişlerinde, belirli sayı çiftleri belirtildiği için işlemler belirtilir ve işaret, karşılık gelen sayıyı elde etme yöntemini gösterir. 3 + 4 = 7, 17 – 9 = 8, 25 ∙ 7 = 175, 12: 6 = 2, 17: 5 = 3 (kalan 2) eşitliklerinde, karşılık gelen sayı veya sayılar yalnızca karakteristik özellik tarafından belirtilmez. , aynı zamanda numaralandırma yoluyla .

Aritmetik işlemde ustalaşmanın ilk aşamasında ve özellikleri incelerken, bir eylemin bazı özelliklerini genelleştirirken, çocuklar tarafından icat edilen sayılar için semboller kullanmanın yararlı olduğunu unutmayın, örneğin: ⌂ + ○; ⌂ – ○ = ◊ , ⌂ + ○ = ○ + ⌂ veya ☼ +☺; ☼ +☺=☻. Bu tür kayıtlar, çocuklar henüz gerekli sayıları yazamadıklarında, nesne gruplarının veya bir nesnenin belirli bir sayısal özelliğinin doğru bir şekilde belirlenemediğinde, genel biçimin gösterilmesi gerektiğinde, bir eylemi ve onun özelliklerini dikkate almamıza olanak tanır. ifadeler ve eşitlikler. Ayrıca bu tür geleneksel işaretler, yazarlarının veya "seçimlerinin" duygusal bileşenini de taşır.

Aritmetik işlemlerin özellikleriÖğretmenin düzenlediği eğitim ve araştırma faaliyetleri sürecinde öğrenciler tarafından keşfedilebilir. Her özelliğin öğrencilerin kabul ettiği problemin çözümü, akıllarında oluşan soruya bir cevap olması önemlidir. Bu, eğitimin ilk günlerinden itibaren çocuklara, nesnelerle yapılan eylemler de dahil olmak üzere, notları arasındaki benzerlikleri ve farklılıkları fark etmeyi ve tanımlamayı öğrettiğimizde gerçekleşebilir.

Aritmetik işlemlerin özelliklerinin keşfedilmesine yol açan ana sorular, bazı ifadeleri ve dolayısıyla bir aritmetik işlemler dizisini, orijinal ifadeyle aynı sayıları içeren ve aynı sayısal değere sahip olanlarla değiştirme olasılığı hakkındaki sorulardır; ancak farklı eylemler veya farklı bir dizi eylem.

Aritmetik işlemlerin özelliklerinin listesi (doğal sayılar ve sıfır kümesinde) aşağıdaki gibi olabilir:

"(Doğrudan) takip" ve toplama ve çıkarma ilişkilerinin bağlantısının özellikleri: A + 1 = A′ Ve A′ – 1 = A(bir sayıya 1 eklerseniz bir sonraki sayıyı, 1 çıkarırsanız bir önceki sayıyı alırsınız); Toplamanın değişme özelliği, çarpma 3 + 4 = 4 + 3, A + B = B + A, ab= BA; A + B) + toplamanın ilişkisel özelliği ( = A + (B + toplamanın ilişkisel özelliği ( C ab)toplamanın ilişkisel özelliği ( = A(), çarpma ( M.Ö. ) veya bir sayının bir toplama ve bir toplamın bir sayıya eklenmesi, bir sayının bir çarpımla ve çarpımın bir sayı ile çarpılmasıyla ilgili kurallar şeklinde; Ve ), çarpma ( bir toplamdan bir sayıyı ve bir sayıdan bir toplamı çıkarma kuralları: (7 + 9) – 5 = (7 – 5) + 9 = 7 + (9 – 5), 9 – (4 + 3) = 9 – 4 – 3; bir çarpımı bir sayıya ve sayıları bir çarpıma bölme kuralları: (12  8) : 4 = (12: 4)  8 = 12  (8 ; 4), 24: (3  4) = (24: 3 ): 4; bir toplamı bir sayıya bölme kuralı: if A + B) : toplamanın ilişkisel özelliği ( = A:toplamanın ilişkisel özelliği ( + B:toplamanın ilişkisel özelliği ( ac A + B = toplamanın ilişkisel özelliği ( ↔ toplamanın ilişkisel özelliği ( – B = A(- tamamen bölünebilir), o zaman ( toplamanın ilişkisel özelliği ( – A = B; A : B = , (60 + 12) : 6 = 60: 6 + 12: 6; çarpmanın toplamaya göre dağılım özelliği (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 veya bir toplamı şu şekilde çarpma kuralları biçiminde bir sayı ve toplamına göre sayılar: ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; farkı bir sayıyla çarpma kuralı: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; Toplama ve çıkarma, çarpma ve bölme arasındaki ilişkiyi yansıtan özellikler: ↔ A = Ve Ve A : , (60 + 12) : 6 = 60: 6 + 12: 6; çarpmanın toplamaya göre dağılım özelliği (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 veya bir toplamı şu şekilde çarpma kuralları biçiminde bir sayı ve toplamına göre sayılar: ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; farkı bir sayıyla çarpma kuralı: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; Toplama ve çıkarma, çarpma ve bölme arasındaki ilişkiyi yansıtan özellikler: = B, A : B = , (60 + 12) : 6 = 60: 6 + 12: 6; çarpmanın toplamaya göre dağılım özelliği (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 veya bir toplamı şu şekilde çarpma kuralları biçiminde bir sayı ve toplamına göre sayılar: ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; farkı bir sayıyla çarpma kuralı: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; Toplama ve çıkarma, çarpma ve bölme arasındaki ilişkiyi yansıtan özellikler:Qbq), bq < B ↔ A = Ve + bq(dinlenmek. A + B = toplamanın ilişkisel özelliği ( (A ± R) + B = toplamanın ilişkisel özelliği ( ± R ; A + B = toplamanın ilişkisel özelliği ( ↔ (A + R) + (B – R) = toplamanın ilişkisel özelliği ( bileşenlerdeki değişiklikler ile bir eylemin sonucu arasındaki bağımlılıklar: A – B = toplamanın ilişkisel özelliği ( ↔ (A ± R) – (B ± R) = toplamanın ilişkisel özelliği ( D ab = toplamanın ilişkisel özelliği ( ↔ (A: R)  B = toplamanın ilişkisel özelliği (: R; ab = toplamanın ilişkisel özelliği ( ↔ (A: R)((eğer bir terim bir miktar artırılırsa (azaltılırsa), o zaman toplam artacaktır (aynı sayı kadar azaltılacaktır);) = ((Bir terim artırılıp diğeri aynı oranda azaltılırsa toplam değişmez);)(B: R) = toplamanın ilişkisel özelliği (; A : B = , (60 + 12) : 6 = 60: 6 + 12: 6; çarpmanın toplamaya göre dağılım özelliği (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 veya bir toplamı şu şekilde çarpma kuralları biçiminde bir sayı ve toplamına göre sayılar: ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4; farkı bir sayıyla çarpma kuralı: (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2; Toplama ve çıkarma, çarpma ve bölme arasındaki ilişkiyi yansıtan özellikler: ↔ (Bir terim artırılıp diğeri aynı oranda azaltılırsa toplam değişmez); : B = (çıkarılan ve çıkan aynı sayı kadar artırılırsa (azaltılırsa) fark değişmez);; kalanla bölmenin özellikleri: kalanla bölme herhangi bir sayı için mümkündür (sıfıra bölme hariç); kalan bölenden küçüktür; temettü, bölüm ile bölenin çarpımı ve kalanın toplamına eşittir .

Aritmetik işlemlerin özelliklerini ifade eden eşitliklere daha yakından bakarsak, toplama ve çarpma, bölme ve çıkarma özelliklerinde pek çok ortak nokta olduğunu görürüz. Burası “ dualite ilkesi 19, ..., bu bölümün her gerçek ifadesinin, içinde yer alan kavramları diğerleriyle değiştirerek ilkinden elde edilebilecek ikili bir ifadeye karşılık gelmesinden oluşur. onlara ikili kavramlar."

İkilik ilkesi Bilginin olanaklarını önemli ölçüde genişleten matematiğin önemli anlamlı fikirlerinden biri. Öğretmen yeni bir eylemin çalışmasını düzenlerse, bu eylemin özelliklerini önceden öğrenilmiş eylemlere dayanarak düzenlerse, çocukları özellikleri tahmin etmeye teşvik ederse, örneğin basit sorular kullanarak tahminleri kontrol ederse, dualite fikri çocuklar tarafından keşfedilir ve benzerlikler ve farklılıklarla ilgili görevler: “Çıkarma toplamaya nasıl benzer? Ne farkı var?”, ... “Bölme işlemi bildiğiniz diğer aritmetik işlemlere nasıl benziyor? Bölme işlemi çıkarma işlemine nasıl benzer? Bölme çıkarmadan ne kadar farklıdır?”, “Toplamanın değişme ve birleşim özellikleri olduğunu biliyorsunuz. Çarpma için aynı özellikleri formüle edin. Geçerliliklerini birkaç örnek kullanarak kontrol edin", "Bölme için değişmeli ve ilişkisel özellikleri formüle edin. Geçerliliğini birkaç örnekle kontrol edin."

7.3.3. Toplama ve çıkarma işlemini öğrenme. Eylemler çalışmasının içeriği büyük ölçüde öğretmenin sayı kavramına yaklaşımına, bu kavrama yüklediği anlamlara bağlıdır. Öğrencilerle birlikte sayıları tüm temel anlamlarıyla inceleyerek evrensel bir yaklaşım izleyeceğiz.

Küme-teorik Anlam ekleme eylemleriöğrencilerin erişebileceği bir dilde sunulabilir. görevler, bunlara karşılık gelen konu eylemlerini ve çizimlerini açıklamak (Şekil 7.7). Bir tabakta 4, diğerinde 3 elma var. İki tabakta kaç elma var? (Toplamı bulma görevi). Bir tabakta 4 elma, diğer tabakta 3 elma daha var. Diğer tabakta kaç elma var? Bir tabakta 4 elma var, diğer tabaktan 3 elma eksik. Diğer tabakta kaç elma var? (Daha büyük sayının bilinmediği “daha ​​fazla (daha az) by” ilişkilerine ilişkin problemler.); Bir tabakta 4 elma, diğer tabakta 3 elma var. Bir meyveyi kaç farklı şekilde seçebilirsiniz? (Kombinasyon sayısını saymak için toplam kuralını belirten kombinatoryal problemler).

Görevler açıklayıcı küme-teoriği çıkarma eyleminin anlamı. a) Tabakta 4 elma vardı, 3 elma yenmişti. Kaç tane elma kaldı? (Kalanın bulunması (fark)); b) Bir tabakta 4 elma, diğer tabakta ise 3 elma eksik. Diğer tabakta kaç elma var? Bir tabakta 4 elma var, diğer tabakta 3 elma fazla. Diğer tabakta kaç elma var? Bir tabakta 4 elma, diğer tabakta 3 elma var. Birinci tabakta ikinciye göre kaç elma daha var? İkinci tabakta birinciye göre kaç tane daha az elma var? Bilinmeyen daha küçük bir sayıyla veya bir sayının diğerinden ne kadar fazla veya az olduğu (fark karşılaştırmasıyla) (“daha ​​fazla (daha az) ile”) ilişkileriyle ilgili problemler. (Şekil 7.8 a, b).

Miktar kavramına dayalı toplama ve çıkarma işlemlerinin anlamları, Uzunluğu, alanı, hacmi, kütlesi ve diğer büyüklükleri olan, pratik eylem veya çizimle gösterilebilecek nesnelerin birleştirilmesi ve çıkarılması işlemlerini ifade eder (Şekil 7.9)

Toplama ve çıkarmanın sıralı anlamları ilk terimden hemen onu takip eden sayıya, ondan sonraki sayıya ikinci terim sayısı kadar sıralı bir geçişle kendini gösterir. Çıkarma, eksilen sayıdan bir öncekine kadar sıralı geçiş olarak tanımlanabilir. Toplama ve çıkarma işlemi uygulanırken, bu anlam, nesnelerle yapılan eylemler (bir birimin çıkarıldığı) kullanılarak bir birimin eklendiği sayının konumunun ve bu eylemlerin sonucunun gözlemlenmesi sonucu formüle edilen bir kuralla temsil edilir. : “Bir sayıya bir eklerseniz aşağıdaki sayıyı elde edersiniz; Bir sayıdan bir çıkarırsanız bir önceki sayıyı elde edersiniz.”

Toplama ve çıkarma işlemlerini tanıtmaya hazırlanıyor En basit durumlarda, tanıtılan eylemlere karşılık gelen nesnelerle yapılan eylemler ve miktarları ölçerken bu eylemlere eşlik eden nesnelerin ve önlemlerin sayılması teşvik edilir. Örneğin, yürürken adımları saymak (bir yolun uzunluğunu ölçmek), aynı üçgenleri, bir şekli oluşturan dikdörtgenleri saymak (alanı ölçmek), bir kavanoza dökülen veya kavanozdan dökülen su bardaklarını saymak, saniye ibresinin hareketlerini saymak bir kadran vb. İkişer, üçer, dörter ve beşer saymak faydalıdır.

Olası türler Toplama ve çıkarmaya karşılık gelen nesnel işlemlerşöyle olabilir.

Sol tarafa 3 küp yerleştirin. İstediğiniz numarayı içeren kartı aşağıya yerleştirin. Sağa 5 küp yerleştirin. Numarası olan bir kart yerleştirin. Küpleri birbirine yaklaştırarak birleştirin. 3 birim uzunlukta bir şerit (üç eşit parçadan oluşan 3 ölçü) ve aynı uzunluk biriminde 5 birimlik bir şerit bulun. Bu iki şeritten uzun bir şerit yapın. Zarlarda 3 ve 5 sayıları ne anlama geliyor? ... Çizgiler için mi? ...küplerle ne yaptın? ...Çizgileri ne yaptın? ...

Tüm üçgenleri sayın. (8) Tüm kırmızı üçgenleri sayın. (3) Bunları bir zarfa koyun. Bu kavanozda 8 bardak su bulunmaktadır. 3 bardak su dökün. Sayılarla etiketleyin.

Toplama ve çıkarma işlemleri yapılıyor. Toplama ve çıkarma da dahil olmak üzere aritmetik işlemlerin çocukları çalışmaya teşvik eden bir özelliği, bilgi kaydını birçok kez azaltabilme yeteneğidir. Bunu öğrencilere göstermek için, öğrenciler yukarıdaki görevleri tamamladıkça tahtada şu metin belirir: Sol tarafa 3 küp yerleştirin. Sağa 5 küp yerleştirin. Kombine küpler. 3 birim uzunluğunda bir şerit ve 5 birim uzunluğunda bir şerit aldık. İki şeritten bir uzun şerit yaptık. (Toplamayla birlikte çıkarma işlemi de yapılırsa metinde “8 üçgen vardı. 3 üçgen çıkarıldı”, “8 bardak su vardı. 3 bardak döküldü” gibi cümleler de yer alacak). Aşağıda yazılı (veya kartlara yerleştirilmiş) sayılar bulunmaktadır: 3 5 (8 3).

Küplerle, çizgilerle (üçgenlerle, suyla) tahtaya ne yaptığınız yazıyor. Bu metni okumak senin için kolay mı? (Kolay değil.) – Ama matematiğin dilini kullanırsanız çok daha kısa bir şekilde yazabilirsiniz. Belki birileri eylemlerimizi matematikte nasıl ifade edeceğini zaten biliyordur? Çocuklarla birlikte örnek bir kayıt oluşturuyoruz (ilk başta sadece ifade): 3 + 5 (8 – 5).

Bu giriş bu metnin tamamının yerine geçer. Matematiksel gösterimde kaç basamak vardır? (Toplam 3. Eş zamanlı giriş ve çıkarma ile - 6.) - Metinde kaç karakter var?

Giriş interaktif bir beyaz tahtaya yapıldıysa, metni vurgulayarak karakter sayısını belirlemek kolaydır: 163 (veya 236 çıkarılarak!): 163! (veya 236!) yerine 3 (veya 6!) matematiksel gösterim 50'den (neredeyse 40 kat) daha kısadır! Bu keşif, üzerinde çalışılan konuya duygusal bir renk katacak ve ona olan ilgiyi artıracak bir sürpriz noktası olabilir.

Belki bazılarınız bu girişi nasıl okuyacağınızı ve ne anlama geldiğini zaten biliyordur? (Önce çocuklar konuşur, sonra öğretmen.) – 3 + 5 girişi genellikle “beş ile üçü topla” (ve “sekizden beşi çıkar”) şeklinde okunur. Benimle tekrar okuyun. ... Bu giriş, 3 nesne ve 5 nesne olduğu ve bunların birleştirildiği anlamına geliyor (8 nesne vardı, 5'i alınıp kaldırıldı). Veya 3 ve 5 birim uzunluğunda iki şeritten 3 ve 5 birim uzunluğunda bir şerit yaptıklarını. Ayrıca 3 + 5'in bir eylem gösterimi olduğunu söylüyorlar ek(8 – 5 bir eylem kaydıdır çıkarma).

Daha sonra, konu eylemlerinden sayılarla yapılan eylemlere ve sayılarla yapılan eylemlerden konu eylemlerine geçme yeteneğini geliştirmek için üç tür görev düzenlenir: (1) konu eylemleri gösterilir (öğretmen, öğrenciler tarafından, bir ders kitabındaki resimlerle veya çalışma kitabı, etkileşimli tahta üzerinde) ve öğrenciler bunları uygun sayısal ifadelerle belirler, ifadeleri okur; (2) sayısal ifadeler isimlendirilir veya gösterilir (ikiden dörde ekleyin, dörtten üç çıkarın, 4 + 2; 4 – 3) ve öğrenciler nesnelerle eylemler gerçekleştirir, toplamayla gösterilebilecek nesne eylemlerinin resimlerini çizer veya seçer ( çıkarma); (3) nesnel eylemlerin görüntüsü ile sayısal ifadeler arasında bir yazışma kurulur (çizimler ve ifadeler kılavuzlarda, ayrı sayfalarda, bir tahtada, etkileşimli veya düzenli olabilir; bunlar iki grup kart olabilir - nesnel eylemlerin çizimleriyle birlikte) ve sayısal ifadelerle veya domino türüne göre kartlarla).

Birkaç önemli noktaya dikkat edelim. Toplama ve çıkarmaya giriş ilk ondaki sayıların incelenmesinden gelse de, toplama ve çıkarmanın temsil ettiği durumları yalnızca ilk ondaki sayılarla değil, diğer sayı kümelerindeki sayılarla da dikkate almak yararlı olacaktır. Örneğin, öğretmen 14 düğmeli bir kutuyu ve aynı düğmelerden 26'sını içeren başka bir kutuyu gösterir. Her kutunun üzerinde karşılık gelen sayı büyük yazılmıştır. Aynı numaraları rakamlı kartlarla masalarınıza koymanız gerekiyor. Daha sonra ikinci kutudaki düğmeleri birinciye döküyor ve öğrencilerden sayıların arasına karşılık gelen işaretin bulunduğu bir kart koymalarını istiyor. Ortaya çıkan girdi şu şekildedir: 14 + 26. Öğretmenin yardımıyla çocuklar girdiyi okur ve ne anlama geldiğini söylerler.

Bir aritmetik işlemin başlangıcında, nesnel eylemleri sayısal bir ifadeyle veya sayısal bir ifadeyle ve eşitlikle belirtiriz. Eşitlik, nesnel eylemler ve sayma dışında çocukların henüz onu nasıl bulacağını bilmedikleri bir eylemin sonucunu belirli bir sayının adlandırılması ve yazılmasını gerektirir. Sayısal ifade, eylemin sonucunu, sayısını isimlendirmez, eylemin işaretiyle onu elde etme yöntemini belirtir. Bu durumda, herhangi bir eylem modeliyle herhangi bir sayı ve eylem için eylemi değerlendirme fırsatı buluyoruz. Bu, eylemin anlamını oluşturmak açısından önemlidir. Öğrenciler ayrıca nesneleri kullanarak yapılan hesaplamaların uygulanabilirlik sınırını belirleme fırsatına da sahip oluyor, bu da onları nesnelerle etkileşime girmeden yöntemler ve algoritmalar icat etmeye motive ediyor.

Eylem öğrenmenin ilk aşamasında çocukların dikkatini şu sorulara odaklamak gerekir: Ne“Toplama” nedir?”, “Çıkarma nedir?” Burada eylemin sayısal ifade olarak yazılması tercih edilir. “Ne ...?” Sorularının cevapları ne zaman? anlaşılıp sahiplenilecekse sorusuna geçebiliriz” Nasıl eylemin sonucunu buldunuz mu (toplamın değeri, fark)? Artık toplama ve çıkarma eşitlik olarak yazılabilir ve konuşulabilir.

Eşitliklere geçmeden ve sonuçları bulup eşitlikleri yazmadan önce özetliyoruz ara toplam, öğrencilere toplama (ve işlemler aynı derste anlatılıyorsa çıkarma) konusundaki anlayışlarını gösterme fırsatı verir.

Artık sayı eklemek için nesnelerle eylemleri nasıl belirteceğinizi biliyorsunuz. Bunu nasıl yapabileceğinizi gösterin. Matematik notasyonlarını okuyun ve her birinin ne anlama geldiğini söyleyin: 3 + 2, 1 + 3, 5 + 8, 10 + 4, 1000 + 5000, Ω + ☼. (Tahta üzerinde karşılık gelen çizimler vardır, örneğin, 1000 + 5000 girişi için iki banknotun bir çizimi vardır, “sihirli” sayıların girişi için - demiryolu platformunda kargo içeren iki konteyner, kütleyi ton cinsinden gösterir Ω ve ☼.).

Doğru söylediniz: bu ekleme, bir şeye bir şeyin eklendiği, birleştirildiği durumları ifade eder. Bu tür eylemlerin ne gibi sonuçlar doğurduğunu nasıl gösterebiliriz? - Dima'nın hareketini gözlemleyin, adımları sayarak yolun her bir bölümünün uzunluğunu onunla ölçün. (Dima masadan tahtaya doğru 4 adım atar, durur, ardından pencereye doğru 3 adım daha atar). - Eylemi kaydedin. (4 + 3). – Dima, tüm adımları sayarak tekrar gözden geçir. Toplamda kaç adım var? (7) – Bunu nasıl yazabilirim? Eylemin sonucuyla ne yaptığınızın kaydını tamamlayın. (Çocukların önerilerinden sonra şunu yazıyoruz: 4 + 3 = 7. – Bu eşitliği okuyun. (Öğretmen yardımıyla okuyun: “Üçü dörde ekledik ve yedi bulduk.”)

Daha sonra çocuklar yukarıdaki (1), (2) ve (3) türlerindeki görevleri tamamlarlar. Bir kombinasyondaki nesnelerin sayısının veya bir miktarı ölçerken ölçü sayısının sayılabileceği durumda, öğrenciler eşitlikleri yazarlar, diğer durumlarda ise sadece ifadeleri yazarlar.

Aynı dönemde şartlar da getirildi. terim, terim, toplam; eksilen, çıkan, fark. Terimlerin tanıtımına isimlerle ilgili bir konuşmayla başlamak faydalıdır. Her birimizin birçok ismi ve unvanı var. Bir grup isim özel isimlerdir: Tanya, Lena, Valentina Sergeevna. Yaptığımız işe göre de isimler veriliyor; bisikletçi, yaya, yolcu, yoldan geçen, okuyucu; mesleğe ve mesleğe göre - öğretmen, öğrenci, terzi, tornacı, pilot ve diğer birçok nedene göre - kişi, çalışan, arkadaş, kız kardeş, kız, torun.

Bu yaklaşım sayılara uygulanırsa özel isimler “bir”, “iki”, “üç yüz yetmiş” vb. olur. Sayıların aritmetik işlemlere katılması ve belirli fonksiyon veya rolleri yerine getirmesi, onlara bu fonksiyonlara uygun isimler vermemizi sağlar. Öncelikle çocukların isimlerini önermelerine ve gerekçelendirmelerine izin verin. Bir yarışma bile ilan edebilirsiniz! Genel olarak kabul edilen terimler, yalnızca kendi kelime yaratımları bağlamında çocuklar için "canlı", akılda kalıcı ve duygusal açıdan yüklü olacaktır.

Öğrenciler konu durumlarından toplama ve çıkarma yoluyla notasyona ve tersi yönde özgürce hareket ettiğinde, "Çizim olmadan, parmakla sayma, ölçme sonucu nasıl bulunur?" sorusu anlamlı hale gelecektir.

Aynı dönemde çocukları da eğitime dahil etmeye başlamak zaten gerekli. akademik çalışmanızı planlamak, öğretim ve sonuçları üzerinde derinlemesine düşünmeyi teşvik edin, yani. uygun öğrenme faaliyetlerinde ustalaştıkça, yavaş yavaş eğitim faaliyetleri oluşturmak, bunları dışarıdan kontrol edilen eğitim faaliyetlerinden bağımsız olanlara aktarmak.

Örneğin toplama ve çıkarma işlemlerini yaptıktan sonra şunu soruyoruz:

Artık toplamanın ne olduğunu ve çıkarmanın ne olduğunu biliyor musunuz? (Evet.) - Millet, toplamayla ilgili her şeyi biliyor musunuz? Çıkarmayla ilgili mi? (Hayır, hepsi değil.) – Bu eylemler hakkında başka neleri bilmemiz gerektiğini düşünüyorsunuz? Neler yapılabilir? ... - Toplama ve çıkarmayla ilgili hangi soruların yanıtını istersiniz? Ne öğrenmeli? ...

Öğretmenin çocukların sorularını ve önerilerini tahtaya yazdığı, fikir alışverişini düzenlediği bu diyaloga dayanarak, öğrenciler, öğretmenin mevcut anlaşmalarla ilgili düzenleyici ve bilgi taşıyıcısı olarak katılımıyla bir öğrenme dizisi oluştururlar. toplama ve çıkarma.

Bir sonraki pedagojik görev Tablo hesaplama becerilerini geliştirmek ve öğrencilerin öğrenme görevi Toplama ve çıkarma, toplam ve fark sonuçlarını (toplamın değeri ve farkın değeri) bulmayı öğrenin, hesaplamaları açıklayın, kendinizi test edin, sonraki eylemleri planlayın.

Toplama ve çıkarma işleminin özelliklerinin incelenmesi. Toplama ve çıkarmanın özelliklerini incelemenin özelliği, bunların çocukların aşina olduğu ilk aritmetik işlemler olmasıdır. Eylemlerin özellikleri, eylemlerin nesnel anlamına hakim olma döneminde dikkate alınır ve eylemlerin bu nesnel, sezgisel özellikleriyle doğrulanır. Öğretmenin düzenlediği eğitim faaliyetleri sürecinde tüm özellikler çocuklar tarafından keşfedilebilir. Özellik bildirimlerinin ve gösterimlerinin hantal olmaması önemlidir.

Birinci sınıfta, özellikle de yılın ilk yarısında birçok hesaplama, bilinen özelliklerin sezgisel olarak ortaya çıkacağı şekillerde yapılır. Bu özellikler çocukların katılımıyla, onların erişebileceği bir biçimde sunulmaktadır. Örneğin, parça parça birer birer toplama ve çıkarma yöntemleri: 3 + 4 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 + 2 + 2; 7 – 4 = 7 – 2 – 2 = 7 – 1 – 3.

Öğrencilerin eline geçen ilk özellikler, “sonraki”, “önceki” (“hemen takip eden”) kavramlarını toplama ve çıkarma işlemleriyle birleştiren özellikler olabilir. Bu doğal serilerin özellikleri, Yukarıda formüle ettiğimiz aritmetik işlemlerde bir sayının sıralı anlamını ortaya koyan. Bundan önce, iki nesne grubunun birleşimindeki nesneleri hızlı bir şekilde saymaya yönelik yöntemlerin icadı vardı; örneğin, bir nesne grubunu diğerinden bilinen sayıda nesneye kadar saymak: ⌂⌂⌂⌂⌂⌂ - 6 ⌂ 7⌂ 8 ⌂ 9. 9 ürün.

Bu yöntemin sonucu, doğal seri boyunca önce tek adımlarla, sonra farklı uzunluktaki adımlarla (toplama, gruplar halinde çıkarma) "adım atarak" toplama ve çıkarma sonuçlarını bulmaktır.

Keşfetmek toplamanın değişme özelliği veya terimlerin yeniden düzenlenmesiöğrenciler çeşitli durumlarda bunu yapabilirler.

1. Nesnel eylemleri kullanarak 4 + 3 ve 3 + 4 formundaki çiftlerin değerlerini hesaplayın. Benzerlikleri ve farklılıkları belirleyin. Diğer benzer toplamların değeri hakkında varsayımlarda bulunun, mevcut yöntemleri kullanarak değerleri hesaplayarak varsayımı kontrol edin.

2. İki nesne grubunu, iki nesneyi, maddeyi birleştirmeye yönelik nesnel eylemler gerçekleştirme sürecinde, parçaların konumu veya kombinasyonun meydana gelme sırası değiştiğinde, kombinasyon sonucunun niceliksel özelliklerinin değiştiği tespit edilmiştir. sakın değişme. Nesnel eylemleri sayısal ifadelerle göstererek, farklı terim sıralarına ve aynı değerlere sahip iki ifade elde ederiz.

3. Masanın karşılıklı taraflarında bulunan iki öğrenci, masadaki nesnelerin sayısını (iki terimin toplamı) toplayarak göstermiş (Chekin A.L. Matematik, 1. sınıf 2011) ve iki farklı ifade almıştır: 3 + 4 ve 4 + 3. Çocuklar kendilerini her birinin yerine koyarak, her iki girdinin de aynı durumu, aynı nesnelerin sayısını doğru bir şekilde gösterdiğinden emin olurlar. Bu temelde, 3 + 4 = 4 + 3. Masaya başka herhangi bir sayıda nesne (örneğin Ω ve ☼) yerleştirilebileceğinden, bu durumda Ω + ☼.= ☼ + Ω, burada Ω ve ☼ isteğe bağlı sayılardır.

Toplama ve çıkarma işleminin önemli bir özelliği, bunların eylemler ilişkileri ifade eder « daha fazla (daha az)" Formun eşitliklerinden herhangi biri A + B = toplamanın ilişkisel özelliği ( Ve M – N = k Üç sayının dahil olduğu ilişkileri tanımlar: büyük, küçük ve bir sayının diğerinden ne kadar büyük (küçük) olduğu sorusunu yanıtlayan bir sayı. Örneğin 5 + 3 = 8 gibi bir eşitlik verilirse “daha ​​fazla (daha az) by” ilişkisinin bağlı olduğu sayılar 5 ve 8 sayıları olabilir ve 3 sayısı 5’in 8’den ne kadar küçük olduğunu gösterecektir. , ve 8, 5'ten büyüktür. te veya 3 ve 8, o zaman 5, 3'ün 8'den ne kadar küçük olduğunu ve 8, 3'ten büyük olduğunu gösterecektir.

Toplama ve çıkarma işlemlerinin diğer özellikleri de uygun organizasyonla öğrenciler tarafından keşfedilebilir. Özellikleri keşfetmek için karşılaştırma, sınıflandırma ve değişikliklerin gözlemlenmesine yönelik görevlere odaklanmak büyük önem taşımaktadır. Çarpma ve bölme işlemlerinin, işlem sırası kurallarının, çarpma işleminin toplamaya göre dağılım özelliğinin, bir toplamı bölme kuralının, bir sayıya göre farklar, bir sayıya göre çarpımlar, sayılar bir çarpıma ve bir veya daha fazla özelliğe ilişkin diğer özellikler incelenir.

Toplama ve çıkarma ile ilgili bilginin daha da genişletilmesi ve derinleştirilmesi, sayısal kümelerin genişletilmesi ve önceden çalışılan tekniklerin, algoritmaların, terimlerin, özelliklerin bunlara aktarılması, özelliklerin incelenmesi ve hesaplama becerilerinde ustalık, terminolojinin zenginleştirilmesiyle ilişkilidir. özelliklerin adları (birleşimsel özellik, dağılma özelliği), rütbelerin ve sınıfların adları, çok basamaklı sayıların adları, sayıların özellikleri.

7.3.4. Çarpma ve bölmeyi öğrenme. Öncelikle asıl konuyu hatırlayalım çarpma ve bölmenin anlamları.

Küme-teorik çarpma işlemlerinin anlamları(- tamamen bölünebilir), o zaman ( bölümler Onlara metin problemleri ve resimler sunalım. a) “Bir tabakta 4 elma var. Bu tür 3 tabakta kaç tane elma var? (Şekil 7.10 a); b) Satranç turnuvasına, her biri spor ustası adayı ve 1., 2. ve 3. kategori satranç oyuncuları olmak üzere 4 satranç oyuncusundan oluşan 3 takım katılmıştır. Turnuvaya kaç satranç oyuncusu katıldı?"; c) “Bir tabakta 4 elma var, diğerinde 3 kat daha fazla elma var. Diğer tabakta kaç elma var?”, “Bir tabakta 4 elma var, bu diğer tabaktan 3 kat daha az. Diğer tabakta kaç elma var? (daha büyük sayının bilinmediği "daha fazla (daha az) ... kat" ilişkilerine sahip görevler) (Şekil 7.10, c); d) 3 çeşit zarf ve 4 çeşit pul varsa “zarf, pul” ikilisi kaç farklı şekilde yapılabilir? (kombinasyon sayısını sayma görevleri, çarpım kuralı) (Şekil 7.10, d).

Sayıları bölme küme-teorik anlamda bir atama olarak ortaya çıktı bir grup nesnenin iki tür pratik bölümü öğe sayısı eşit parçalara bölünür matematik öğretim yöntemlerinde buna denir içeriğe göre bölme Ve eşit parçalara bölme. İçeriğe göre bölüm: Bir grup nesne, her bir parçadaki eşit sayıda nesneye göre parçalara bölünür ve bu parçalardan kaç tane oluştuğunun bulunması gerekir. Eşit parçalara bölme: Bir grup nesne belirli sayıda eşit parçaya (nesne sayısına göre) bölünür ve her parçada kaç nesne olacağını bulmanız gerekir.

Konu eylemi içeriğe göre bölme- Bu, belirli sayıda öğenin, tüm öğeler yerleştirilene kadar veya bir bölümde olması gerekenden daha az öğe kalana kadar sıralı bir şekilde bir kenara bırakılmasıdır. Erteleme prosedürü, çıkarmanın nesnel anlamına karşılık gelir ve çıkarma ile belirlenebilir. Bölme daha kısa bir gösterim görevi görür

1 Mikulina, G. G. Masal figürleri kullanarak matematikte bilginin genelleştirilmesi / G. G. Mikulina. – İlkokul, 1986. - Sayı 6 - 25-29 arası..

2 Matematik. Vilenkin N.Ya., Pyshkalo A.M.

ve diğerleri, M., 1977.

3 Ondar Ch. Sayısal temsillerin oluşumunda etnokültürel yönler // İlkokul. 2010. Sayı 11. – S.

4 Okul öncesi eğitimin temel genel eğitim programının yapısına ilişkin Federal devlet gereklilikleri.

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı'nın 23 Kasım 2009 tarih ve 655 sayılı Emri http://www.rg.ru/2010/03/05/obr-dok.html Erişim tarihi 26.10.2011

5 Piaget J. Seçilmiş psikolojik eserler, M., 1994.

6 Menchinskaya N.A. Aritmetik öğretiminin psikolojisi. – M., 1955. Menchinskaya N. A. Okulda bilgi edinme psikolojisi.

M., 1959. Menchinskaya N.A., Moreau. M.I.İlkokulda aritmetik öğretiminin metodolojisi ve psikolojisi. – M., 1965.

7 Kostyuk G.S. Çocuklarda sayı kavramının doğuşu hakkında / Naukovi zapiski, T. 1. Psikoloji Araştırma Enstitüsü, Kiev, 1949

8 L. S. Tsvetkova. Sayma, yazma ve okumanın nöropsikolojisi: bozulma ve iyileşme, M., 2000;

9 L.F. Magnitsky.

Aritmetik. 1703 / http://www.math.ru/lib/176 Erişim tarihi: 29.09.2011

10 Galanin D.D. Rusya'da aritmetikte metodolojik fikirlerin tarihi. Bölüm I. XVIII yüzyıl.

M., 1915.

11 Galanin D.D.

Aritmetik metodolojisine giriş Moskova, 1911.

18 İlkokulda planlanan sonuçlara ulaşılmasının değerlendirilmesi. Görev sistemi. Öğleden sonra 2'de Bölüm 1/ [M. Yu.Demidova, S.V. Ivanov, vb.]; tarafından düzenlendi G. S. Kovaleva, O. B. Loginova - M. 2011. S. 58

19 http://slovari.yandex.ru/~books/TSB/Duality prensibi/.

§ 1 Aritmetik işlemin tahmini

Bu dersimizde aritmetik işlemlerin sonuçlarının nasıl tahmin edileceğinden bahsedeceğiz.

Hayatta çoğu zaman bir hesaplamanın kesin sonucunu bilmenin gerekli olmadığı, ancak yalnızca yaklaşık veya yaklaşık bir değerin yeterli olduğu durumlar vardır. Bir aritmetik işlemin sonucunu bu şekilde değerlendirmek için, onun "sınırlarını", yani verilen sonucun aralarında yer aldığı sayıları bulabilirsiniz. Bir aritmetik işlemin sonucunu tahmin ederek hesaplamaları basitleştirebilirsiniz.

Bir aritmetik işlemin sonucunu tahmin etmek, bu aritmetik işlemin yaklaşık değerini bulmak anlamına gelir.

Başka bir deyişle, belirli bir eylemin sonucunun yaklaşık olarak eşit olduğu sayıyı bulun.

Bir aritmetik işlemin sonucunu tahmin etmek için sayısal bir ifadenin bileşenlerini değeri birbirine yakın olan yuvarlak sayılarla değiştirmek gerekir.

§ 2 Aritmetik işlemlerin hesaplamalarını gerçekleştirme örnekleri

Örneğin 32203 ile 76 sayılarının bölümünü tahmin edelim:

1. 76 numaralı böleni 80 numaralı yakın yuvarlak sayıyla değiştirin.

2. 32203 bölüştürücüsünü, bölme işlemine uygun, yakın yuvarlak bir sayı olan 32000 ile değiştirin.

3. 32000'i bölelim: 80 = 400.

4. 32203:76'nın yaklaşık olarak 400'e eşit olduğu sonucuna varıyoruz.

Tahmin şu şekilde kaydedilir: 32203: 76 ≈ 32000: 80 = 400.

Başka bir örneğe bakalım: 765 ile 435 sayılarının çarpımını hesaplayalım:

1. İlk faktör olan 765'i yakın yuvarlak sayı olan 800 ile değiştirin.

2. İkinci faktör olan 435'i yakın yuvarlak sayı olan 400 ile değiştirin.

3. 800 · 400 = 320000'i çarpalım.

4. 765 · 435 ≈ 800 · 400 = 320000 olduğu sonucunu çıkarıyoruz.

Yuvarlak sayıları seçerken aşağıdaki kurala dayandıkları unutulmamalıdır:

bir sayıdaki ikinci rakam 5'ten küçükse sayı aşağı yuvarlanır; Sayının ikinci basamağı 5'ten büyük veya 5'e eşitse sayı bir yukarıya yuvarlanır.

Örneğin:

180760 sayısını yuvarlayalım. Bu sayının notasyonundaki ikinci rakam 8, 8 > 5 yani 180760 ≈ 200000'e yuvarlıyoruz.

422600 sayısını yuvarlayalım. Bu sayının notasyonundaki ikinci rakam 2, 2'dir.< 5, значит - округляем в меньшую сторону 422600 ≈ 400000.

7584 sayısını yuvarlayalım. Bu sayının notasyonundaki ikinci rakam 5 yani 7584 ≈ 8000'e yuvarlıyoruz.

§ 3 Dersin kısa özeti

Bu dersi özetleyelim:

Aritmetik işlemlerin sonuçlarını tahmin etmek için şunları yapmalısınız:

1. sayısal bir ifadenin bileşenlerini değer olarak birbirine yakın yuvarlak sayılarla değiştirin;

2. Ortaya çıkan ifadenin anlamını bulun ve tahmini kaydedin.

Kullanılan literatürün listesi:

1. Peterson L.G. Matematik. 4. sınıf. Bölüm 1./L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014
2. Matematik. 4. sınıf. 4. sınıf için “Öğrenmeyi Öğrenmek” matematik ders kitabı için metodolojik öneriler. / L.G. Peterson. – M.: Yuventa, 2014.
3. Zach S.M. L.G.'nin 4. sınıf matematik ders kitabının tüm görevleri. Peterson ve bir dizi bağımsız ve test çalışması. Federal Devlet Eğitim Standardı. – M.: UNWES, 2014.
4. CD-ROM. Matematik. 4. sınıf. Bölüm 1 ders kitabı için ders senaryoları Peterson L.G. – M.: Yuvent, 2013.

“Aritmetik işlemler” konusunda hangi teorik ve pratik konuların incelendiğini, bunların açıklanma düzeyinin ve giriş sırasının ne olduğunu düşünelim.

Aritmetik işlemlerin özel anlamı yani kümelerdeki işlemler ile karşılık gelen aritmetik işlemler arasındaki bağlantılar (örneğin, ayrık kümeleri birleştirme işlemi ile toplama eylemi arasındaki bağlantı). Aritmetik işlemlerin özel anlamı hakkında bilgi, ampirik genelleme düzeyinde edinilmelidir: öğrenciler, bir dizi durumda aritmetik işlemlerin sonuçlarını bulurken ve aritmetik işlem seçerken kümelerdeki işlemler ile aritmetik işlemler arasında pratik olarak bağlantı kurmayı öğrenmelidirler. Metin aritmetik problemlerini çözerken yapılan işlemler.

Aritmetik işlemlerin özellikleri. Bunlar, matematiksel ifadelerin özdeş dönüşümleriyle ilgili matematiksel hükümlerdir; belirli bir matematiksel ifadenin hangi dönüşümler altında değerinin değişmediğini yansıtırlar. Başlangıç ​​matematik dersi hesaplama tekniklerinin teorik temelini oluşturan özellikleri içerir.

Matematiğin ilk dersinde, aritmetik işlemlerin aşağıdaki özellikleri incelenir: toplamanın değişmeli ve ilişkisel özellikleri, bir toplamdan bir sayı çıkarma özelliği, bir sayıdan bir toplam çıkarma özelliği, bir toplamdan bir toplam çıkarma özelliği çarpmanın toplam, değişme ve birleşme özellikleri, çarpmanın toplamaya göre dağılma özelliği, bir toplamı sayıya bölme özelliği, bir sayıyı bir çarpıma bölme özelliği.

Program tarafından sağlanan aritmetik işlemlerin özelliklerine kavramsal genelleme düzeyinde hakim olunmalıdır: öğrenciler bunların formülasyonlarını bilmeli ve hesaplama tekniklerini gerekçelendirirken, problemleri çözerken, denklemleri, kimlik dönüşümleri üzerine alıştırmaları vb. yaparken bunları pratik olarak uygulamalıdır.

Aritmetik işlemlerin diğer özellikleri (sonucun varlığı ve benzersizliği, toplamın ve çarpımın monotonluğu, vb.) ampirik genelleme düzeyinde ortaya çıkar: öğrenciler pratik olarak onlarla çalışır, özelliklerin formülasyonu verilmez.

Aritmetik işlemlerin bileşenleri ve sonuçları arasındaki bağlantılar. Bunlar, aritmetik işlemlerin bileşenlerinin her birinin sonuç ve diğer bileşeni aracılığıyla nasıl ifade edildiğini yansıtan matematiksel ifadelerdir.

Başlangıç ​​matematik dersinde öncelikle bileşenler arasındaki bağlantı ile toplama işleminin sonucu incelenir, daha sonra bileşenler arasındaki bağlantı ile çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin sonucu incelenir.

Bağlantı bilgisi kavramsal genelleme düzeyinde edinilmelidir: öğrenciler uygun formülasyonu bilmeli ve denklemleri çözerken ve hesaplama tekniklerini gerekçelendirirken bu bilgiyi pratik olarak kullanmalıdır.

Aritmetik işlemlerin sonuçlarının bileşenlerden birindeki değişikliğe bağlı olarak değişmesi, yani, bir ifadenin değerinin, bileşenlerinden birindeki değişikliğe bağlı olarak nasıl değiştiğini karakterize eden matematiksel hükümler.

Bu materyalle ilgili olarak ampirik bir genelleme düzeyi sağlanmaktadır: öğrenciler, özel alıştırmalar yaparak, karşılık gelen değişiklikleri gözlemlerler ve belirli örnekler kullanarak, aritmetik işlemlerin sonuçlarındaki artışın veya azalmanın artmasına veya azalmasına bağlı olarak değişimin doğasını belirlerler. bileşenlerden biri veya niceliksel değişiklikler oluşturmak - bileşenlerden birini birkaç birim veya birkaç kez arttırır veya azaltırsanız sonucun nasıl değişeceği. Bu tür gözlemler daha sonra işlev kavramının tanıtılmasına temel teşkil edecek, aynı zamanda mükemmel gelişim egzersizleridir;

Bileşenler arasındaki ve bileşenler arasındaki ilişkiler ve aritmetik işlemlerin sonuçları. Bunlar, bileşenler arasındaki (eksi büyük veya çıkana eşittir) veya bileşenler ile aritmetik işlemlerin sonuçları arasındaki “büyüktür”, “küçüktür”, “eşittir” ilişkilerini yansıtan matematiksel hükümlerdir ( toplam, terimlerin her birinden büyük olabilir veya terimlerin birine veya her birine eşit olabilir). Bu materyal aynı zamanda ampirik genelleme düzeyinde de özümsenmiştir: öğrenciler özel alıştırmalar yaparak uygun ilişkiler kurarlar. Bu ilişkilerin bilgisi hesaplamaları kontrol etmek için kullanılır; bunlar aynı zamanda fonksiyonel ön hazırlık amaçlarına da hizmet eder.

Tüzük. Bunlar, her şeyden önce, aritmetik işlemlerin tanımının ve bunların özel anlamlarının sonuçları olan hükümlerdir: 0 sayısıyla toplama ve çıkarma kuralları, 1 ve 0 sayılarıyla çarpma ve bölme kuralları ve ayrıca tarihsel olarak belirlenmiş hükümler - Matematiksel ifadelerde aritmetik işlemlerin yapılma sırasına ilişkin kurallar. Öğrenciler kuralların metnini anlamalı ve bunları pratikte kullanabilmelidir.

Terimler ve semboller. Teorik materyalle ilgili bu konuların incelenmesiyle bağlantılı olarak, ilgili terminoloji ve sembolizm tanıtılmaktadır: aritmetik işlemlerin adı, bunları belirten semboller ve adları, aritmetik işlemlerin bileşenlerinin ve sonuçlarının adı, aritmetik işlemlerin adı karşılık gelen matematiksel ifadeler. Terimler öğrencilerin aktif kelime dağarcığına dahil edilmeli ve matematiksel ifadeleri formüle ederken onlar tarafından kullanılmalıdır; öğrenciler ayrıca ilgili sembolleri doğru kullanmayı da öğrenmelidir. Terimler ve semboller ilgili aritmetik işlemlerin incelenmesiyle yakın bağlantılı olarak tanıtılmaktadır.

Teorik materyalin yanı sıra ve onunla organik bağlantı içinde, pratik sorular: hesaplama teknikleri ve aritmetik problemlerin çözümü. Hesaplamalı teknikler, aritmetik işlemlerin sonuçlarını bulmaya yönelik tekniklerdir. Hesaplamalı teknikler, ilgili teorik ilkelerin açık kullanımına dayanarak ortaya çıkarılmıştır. Örneğin, toplama işleminin değişme özelliğine dayanarak terimlerin yeniden düzenlenmesi tekniği tanıtılmıştır. Her konsantrasyonda, doğal serinin karşılık gelen bölümünün negatif olmayan tam sayıları üzerinde hesaplama teknikleri incelenir (ilk konsantrasyonda - 10 içinde, ikincisinde - 100 içinde vb.). "On" konsantrasyonunda sadece toplama ve çıkarma teknikleri çalışılır, geri kalan konsantrasyonlarda ise dört aritmetik işlemin teknikleri incelenir.

Tüm bu soruların giriş sırası, aritmetik işlemleri çalışmanın ana amacına - bilinçli, güçlü, otomatik hesaplama becerilerinin oluşumuna - bağlıdır.

3. Küçük okul çocuklarında aritmetik işlemlerle ilgili kavram ve fikirlerin oluşumuna yönelik metodolojinin genel hükümleri.

Öğrencilerin teorik materyali özümsemesi, program tarafından sağlanan genelleme düzeyinde çalışılan matematiksel ilkelerin temel yönlerini özümsemeleri anlamına gelir. Sonuç olarak, öğrencilerin bilgi edinmedeki tüm etkinlikleri, çalışılan teorik ilkelerin temel yönlerini vurgulamayı ve anlamayı amaçlamalıdır. Bu, esas olarak, bilgi oluşumunun her aşamasının hedeflerine uygun bir egzersiz sistemi uygulayan öğrenciler tarafından gerçekleştirilir. Bilgi oluşturma metodolojisinde şunlar vardır: aşağıdaki aşamalar: hazırlık aşaması, yeni materyale aşinalık, bilginin pekiştirilmesi.

Yeni teorik materyale aşinalık için hazırlık aşamasında Her şeyden önce, yeni bilginin özümsenmesinin aracı olan önceden edinilmiş bilgiyi yeniden üretmeye yönelik alıştırmalar sağlanır. Çoğu durumda bu dönemde setler üzerinde işlemler yapılarak çocukların zihinlerinde oluşan bilgilerin “konu modelleri”nin oluşturulması tavsiye edilir. Örneğin, toplama eyleminin özel anlamına aşina olmadan önce, ayrık kümeleri birleştirme işlemini gerçekleştirmeye yönelik yeterli sayıda alıştırma yapmalısınız (4 topa 3 top ekleyin ve kaç top olduğunu öğrenin), bu daha sonra ekleme eyleminin anlamına aşina olmanın temelini oluşturacaktır.

Yeni malzemeye alışma aşamasındaÜzerinde çalışılan matematiksel önermelerin temel yönleri, öğrenciler tarafından gerçekleştirilen bir alıştırmalar sisteminin yardımıyla ortaya çıkarılır. Aritmetik işlemlerin özelliklerine, bunların bileşenleri ve sonuçları arasındaki bağlantılara ve bağımlılıklara aşina olduğunuzda, kullanılması daha tavsiye edilir. buluşsal konuşma yöntemi, başarısız öğrenciler tümevarımsal olarak karşılık gelen modelin "keşfedilmesine" ve görsel araçlar kullanılarak geçerliliğinin ikna edilmesine yöneliktir. Kurallara alışırken, terminoloji ve sembolleri tanıtırken, açıklama yöntemi yani Öğretmen materyali sunar ve öğrenciler onu algılar.

İncelendikten sonra tümevarımsal olarak aritmetik işlemlerin özel anlamı, özellikleri, bağlantıları ve bileşenler ve sonuçlar arasındaki bağımlılıkları ile öğrencilere, uygulandığında karşılık gelen kalıpların ortaya çıktığı alıştırmalar sunulur. Bunları analiz ederek, öğrenciler oluşturulan bilginin temel özelliklerini belirler ve genelleme düzeyine bağlı olarak ya bir dizi özel sonuç formüle eder (ampirik düzeyde) ya da onlardan genel bir sonuca (kavramsal düzeyde) geçer. ). Yalnızca temel özellikleri değil, aynı zamanda bir dizi temel olmayan özelliği de vurgulamak önemlidir. Örneğin çarpmanın değişme özelliğini nasıl tanıtabileceğinizi düşünün. Öğrencilerden her sırada 6 kareyi 4 sıraya dizerek düzenledikleri toplam kare sayısını bulmaları istenir. Aynı zamanda toplam kare sayısını saymanın 6 * 4 = 24 ve 4 * 6 = 24 olmak üzere iki şekilde yapılabileceği öğrencilerin dikkatini çekmektedir. Alınan kayıtları karşılaştırırken öğrenciler benzer özellikler kurarlar ( ürünler verilir, aynı faktörler eşittir, ürünlerin değerleri eşittir) ve ayırt edici özellikler (çarpanlar değiştirilir). Daha sonra biri veya ikisi çocuk olmak üzere benzer egzersizler yapılır. Ürün çiftlerini karşılaştırmak için yeterli alıştırmayı tamamladıktan sonra öğrenciler, tüm ürün çiftlerinin aynı faktörlere sahip olduğunu ve her bir çiftteki ürünlerin değerlerinin, faktörler değiştirilerek eşit olduğunu belirler. Bu gözlemler öğrencilerin çarpmanın değişme özelliğinin bir formülasyonu olan genelleyici bir sonuca varmalarını sağlar: "Eğer faktörler değiştirilirse çarpımın değeri değişmeyecektir."

Bu yeni materyal ekleme yöntemiyle egzersiz sisteminin bir takım gereksinimleri karşılaması gerekir:

· Alıştırma sistemi, oluşturulan bilgi için görsel bir temel sağlamalıdır. Bu nedenle, alıştırmaları yaparken çoğu durumda netlik kullanmak önemlidir: kümeler üzerindeki işlemler (göz önünde bulundurulan örnekte, eşit ayrık kareler kümelerinin birleşimi) ve bunlara karşılık gelen matematiksel gösterimler (6* 4 = 24 ve 4* 6 = 24). Bu, çocukların üzerinde çalıştıkları kalıpları “keşfetme” fırsatını yaratır.

· Oluşturulan bilginin temel yönleri değişmeden kalacak, gerekli olmayan yönleri değişecek şekilde alıştırmalar seçilmelidir. Dolayısıyla çarpmanın değişme özelliği için temel özellikler şu şekilde olacaktır: ürünler aynı faktörlere sahiptir, ürünler faktörlerin sırasına göre farklılık gösterir, ürünlerin değerleri eşittir; Önemsiz özellikler sayıların kendisi ve oranlarıdır. Bu nedenle ürün çiftlerini seçerken farklı numaralarla ve farklı oranlardaki sayıları (6* 4 ve 4* 6; 2*5 ve 5* 2; 7* 3 ve 3* 7 vb.) almanız gerekir. ). Bu, öğrencilerin yeni bilginin sadece temel değil aynı zamanda gerekli olmayan özelliklerini de vurgulamasına olanak tanıyacak ve bu da doğru genellemeye katkıda bulunacaktır.

· Öğrenciler tartışılanlara benzer alıştırmalar oluşturmaya teşvik edilmelidir. Bu tür alıştırmaları oluşturma yeteneği, öğrencilerin oluşturulan bilginin temel yönlerini belirlediklerini gösterecektir.

· Yeni materyal öğrenirken, genellikle çocukların önceki deneyimlerinin yeni materyale hakim olma üzerinde hem olumlu hem de olumsuz etkisi olduğu durumlar ortaya çıkar. Yeni materyal tanıtılırken bu dikkate alınmalı ve bazı benzerliklere sahip konuların karşılaştırılması ve karşılaştırılması için özel alıştırmalar sağlanmalıdır. Örneğin çarpmanın değişme özelliğini öğrenmeden önce toplamanın değişme özelliğini tekrarlamanız ve aynı tekniği kullanmanız gerekir. Bu durumda, yeni bir özelliğe hakim olurken bir benzetme yardımcı olacaktır. Çarpmanın toplamaya göre dağılma özelliğini incelemeden önce, bu özelliklerin karıştırılmasını ve yeni bir özelliği öğrenirken hataların ortaya çıkmasını önlemek için toplamanın çağrışım özelliğini tekrarlamak faydalıdır.

Böylece, özel alıştırmaların yapılması sonucunda öğrenciler ya üzerinde çalışılan matematiksel önermenin genelleştirilmiş bir formülasyonuna ya da yalnızca belirli sonuçlara yönlendirilir.

Bilginin pekiştirilmesi aşamasındaÖğrencilerin çalışılan materyali uygulamak için bir egzersiz sistemini tamamlamaları sonucunda, bilgileri yeni spesifik içerikle zenginleştirilir ve mevcut bilgi sistemine dahil edilir. Her matematiksel pozisyona ilişkin bilginin pekiştirilmesi, öğrencilerin genel gerekliliklere tabi olarak özel bir egzersiz sistemi gerçekleştirmeleri sonucunda gerçekleştirilir:

· Sistemin her uygulaması, üretilen bilgiyi uygulama potansiyeline sahip olmalıdır. Daha sonra bunları gerçekleştiren öğrenci, her seferinde oluşan bilginin temel özelliklerini vurgulayacak ve böylece onu daha iyi özümseyecektir. Bu durumda ilk dahil edilecekler, hem oluşturulan bilginin uygulanmasına hem de önceden edinilmiş diğer bilgilere dayanarak gerçekleştirilebilecek alıştırmalardır. Bu tür alıştırmaların uygun metodolojiyle yapılması, her öğrencinin edindiği bilgiyi genelleştirmesi için gerçek fırsatlar yaratır.

· Bilgiyi uygulamaya yönelik alıştırmalar çeşitli özel içeriklere (aritmetik problemlerin çözümü, matematiksel ifadelerin karşılaştırılması vb.) dayanmalıdır. Bu, anlamlı ve esnek bilginin oluşmasını sağlayacak ve resmi olarak asimilasyonunu önleyecektir.

· Alıştırma sistemi, kavram içi bağlantıların (aritmetik işlemler arasındaki bağlantılar, özellikleri arasındaki bağlantılar vb.) ve kavramlar arası bağlantıların (denklemlerin çözümü ile aritmetik işlemlerin bileşenleri ve sonuçları arasındaki bağlantılar) kurulmasını sağlamalıdır. Bu, yeni bilginin mevcut bilgi sistemine dahil edilmesini belirler.

· Oluşan bilginin gücünü sağlamak için yeterli sayıda alıştırma yapılmalıdır.

· Alıştırmalar öğrencilerin erişimine açık olmalı ve basitten karmaşığa doğru sıralanmalıdır.

· Sistem, öğrencileri pratik nitelikteki sorularda uzmanlaşmaya hazırlayan özel alıştırmalar sağlamalıdır: hesaplama yapmak, aritmetik problemleri çözmek, denklemleri çözmek, vb.

· Bu aşamada, bir önceki aşamaya göre daha fazla, benzer konuların karıştırılmasını önleyecek, kavram içi ve kavramlar arası bağlantıların kurulmasına yardımcı olacak yeni materyali daha önce öğrenilmiş materyalle karşılaştırmaya ve karşılaştırmaya yönelik alıştırmalar sağlanmalıdır.

· Bu aşamada öğrencilerin etkinliklerini düzenlerken bağımsız çalışma yöntemine daha sık başvurulmalı ve öğrencilerin zihinsel gelişimleri mümkün olan her şekilde kolaylaştırılmalıdır.

· Ayrıca, küçük öğrencilerin, derslere küçük parçalar halinde ama yeterince uzun bir süre dahil edilmesi durumunda materyali daha iyi öğrendiklerini dikkate almalıyız.

Ek No.1

Aritmetik işlemler

Ek No.2

İlgili bilgiler.