Cebirde ele alınan çeşitli ifadeler arasında monomların toplamları önemli bir yer tutar. İşte bu tür ifadelere örnekler:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Monomların toplamına polinom denir. Bir polinomdaki terimlere polinomun terimleri denir. Tek terimlilerin bir üyeden oluşan bir polinom olduğu düşünüldüğünde, monomiyaller polinomlar olarak da sınıflandırılır.
Örneğin, bir polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
basitleştirilebilir.
Tüm terimleri standart formdaki tek terimli formda temsil edelim:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Ortaya çıkan polinomdaki benzer terimleri sunalım:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Sonuç, tüm terimleri standart formun monomları olan ve aralarında benzer olmayan bir polinomdur. Bu tür polinomlara denir standart formdaki polinomlar.
İçin polinom derecesi standart bir biçimde üyelerinin yetkilerinden en yüksek olanı alır. Böylece, \(12a^2b - 7b\) iki terimli üçüncü dereceye, \(2b^2 -7b + 6\) üç terimli ise ikinci dereceye sahiptir.
Tipik olarak, bir değişken içeren standart formdaki polinomların terimleri, üslerin azalan sırasına göre düzenlenir. Örneğin:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Birkaç polinomun toplamı standart formdaki bir polinoma dönüştürülebilir (basitleştirilebilir).
Bazen bir polinomun terimlerinin gruplara bölünmesi ve her grubun parantez içine alınması gerekir. Parantezleme, açılan parantezlerin ters dönüşümü olduğundan formüle edilmesi kolaydır. Parantez açma kuralları:
Parantezlerin önüne “+” işareti konulursa parantez içindeki terimler aynı işaretlerle yazılır.
Parantezlerin önüne “-” işareti konulursa parantez içindeki terimler zıt işaretlerle yazılır.
Bir monom ve bir polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)
Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak, bir monom ile bir polinomun çarpımını bir polinoma dönüştürebilirsiniz (basitleştirebilirsiniz). Örneğin:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Bir monom ve bir polinomun çarpımı, bu monom ve polinomun her bir teriminin çarpımlarının toplamına tamamen eşittir.
Bu sonuç genellikle bir kural olarak formüle edilir.
Bir tek terimliyi bir polinomla çarpmak için, bu tek terimliyi polinomun her bir terimiyle çarpmanız gerekir.
Bir toplamla çarpmak için bu kuralı zaten birkaç kez kullandık.
Polinomların çarpımı. İki polinomun çarpımının dönüşümü (basitleştirme)
Genel olarak, iki polinomun çarpımı, bir polinomun her bir terimi ile diğerinin her bir teriminin çarpımının toplamına özdeştir.
Genellikle aşağıdaki kural kullanılır.
Bir polinomu bir polinomla çarpmak için, bir polinomun her terimini diğerinin her terimiyle çarpmanız ve elde edilen çarpımları eklemeniz gerekir.
Kısaltılmış çarpma formülleri. Kareler toplamı, farklar ve kareler farkı
Cebirsel dönüşümlerde bazı ifadelerle diğerlerinden daha sık uğraşmanız gerekir. Belki de en yaygın ifadeler \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ve \(a^2 - b^2 \), yani toplamın karesi, karelerin farkı ve farkı. Bu ifadelerin adlarının eksik göründüğünü fark ettiniz, örneğin \((a + b)^2 \) elbette sadece toplamın karesi değil, a ve b toplamının karesidir. . Ancak a ve b toplamının karesi kural olarak çok sık görülmez; a ve b harfleri yerine çeşitli, bazen oldukça karmaşık ifadeler içerir.
\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ifadeleri kolayca standart formdaki polinomlara dönüştürülebilir (basitleştirilebilir), aslında polinomları çarparken böyle bir görevle zaten karşılaştınız; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Ortaya çıkan kimlikleri hatırlayıp, ara hesaplamalar yapmadan uygulamakta fayda var. Kısa sözlü formülasyonlar buna yardımcı olur.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - toplamın karesi, karelerin ve çift çarpımın toplamına eşittir.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - farkın karesi, çift çarpım olmadan karelerin toplamına eşittir.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kareler farkı, farkın ve toplamın çarpımına eşittir.
Bu üç kimlik, dönüşümlerde sol kısımların sağ kısımlarla ve sağ kısımların da sol kısımlarla değiştirilmesine olanak tanır. En zor şey karşılık gelen ifadeleri görmek ve a ve b değişkenlerinin bunların içinde nasıl değiştirildiğini anlamaktır. Kısaltılmış çarpma formüllerinin kullanımına ilişkin birkaç örneğe bakalım.
Sayısal ve cebirsel ifadeler. İfadeleri Dönüştürme.
Matematikte ifade nedir? Neden ifade dönüşümlerine ihtiyacımız var?
Soru, dedikleri gibi ilginç... Gerçek şu ki, bu kavramlar tüm matematiğin temelidir. Tüm matematik ifadelerden ve bunların dönüşümlerinden oluşur. Çok açık değil mi? Açıklayayım.
Diyelim ki karşınızda kötü bir örnek var. Çok büyük ve çok karmaşık. Diyelim ki matematikte iyisiniz ve hiçbir şeyden korkmuyorsunuz! Hemen cevap verebilir misiniz?
zorunda kalacaksın karar vermek bu örnek. Bu örnekte tutarlı bir şekilde adım adım basitleştirmek. Elbette belirli kurallara göre. Onlar. Yapmak ifade dönüşümü. Bu dönüşümleri ne kadar başarılı bir şekilde gerçekleştirirseniz matematikte o kadar güçlü olursunuz. Doğru dönüşümleri nasıl yapacağınızı bilmiyorsanız bunları matematikte yapamazsınız. Hiç bir şey...
Böylesine rahatsız edici bir gelecekten (veya bugünden) kaçınmak için bu konuyu anlamaktan zarar gelmez.)
İlk önce öğrenelim matematikte bir ifade nedir. Ne oldu sayısal ifade ve nedir cebirsel ifade.
Matematikte ifade nedir?
Matematikte ifade- bu çok geniş bir kavram. Matematikte uğraştığımız hemen hemen her şey bir dizi matematiksel ifadedir. Herhangi bir örnek, formül, kesir, denklem vb. matematiksel ifadeler.
3+2 matematiksel bir ifadedir. s 2 - d 2- bu aynı zamanda matematiksel bir ifadedir. Hem sağlıklı bir kesir hem de tek bir sayı, hepsi matematiksel ifadelerdir. Örneğin denklem şu şekildedir:
5x + 2 = 12
Eşittir işaretiyle birbirine bağlanan iki matematiksel ifadeden oluşur. Bir ifade solda, diğeri sağda.
Genel olarak terim " matematiksel ifade"çoğunlukla uğultudan kaçınmak için kullanılır. Örneğin size sıradan bir kesirin ne olduğunu soracaklar? Peki nasıl cevap verilir?!
İlk cevap: "Bu... mmmmmm... öyle bir şey ki... içinde... Daha iyi bir kesir yazabilir miyim? Hangisini istiyorsun?"
İkinci cevap: “Sıradan bir kesir (neşeyle ve keyifle!) matematiksel ifade bir pay ve bir paydadan oluşan!"
İkinci seçenek bir şekilde daha etkileyici olacak, değil mi?)
" cümlesinin amacı budur. matematiksel ifade "çok iyi. Hem doğru hem de sağlam. Ancak pratik kullanım için iyi bir anlayışa sahip olmanız gerekir. matematikte belirli ifade türleri .
Spesifik tip başka bir konudur. Bu Bu tamamen farklı bir konu! Her tür matematiksel ifadenin bana ait Karar verirken kullanılması gereken bir dizi kural ve teknik. Kesirlerle çalışmak için - bir set. Trigonometrik ifadelerle çalışmak için - ikincisi. Logaritmalarla çalışmak için - üçüncü. Ve benzeri. Bir yerlerde bu kurallar örtüşüyor, bir yerlerde ise keskin bir şekilde farklılaşıyor. Ancak bu korkutucu sözlerden korkmayın. Uygun bölümlerde logaritma, trigonometri ve diğer gizemli konularda ustalaşacağız.
Burada iki ana matematiksel ifade türüne hakim olacağız (veya kime bağlı olarak tekrarlayacağız). Sayısal ifadeler ve cebirsel ifadeler.
Sayısal ifadeler.
Ne oldu sayısal ifade? Bu çok basit bir kavramdır. İsmin kendisi bunun sayılardan oluşan bir ifade olduğunu ima ediyor. Evet, bu böyle. Sayılardan, parantezlerden ve aritmetik sembollerden oluşan matematiksel ifadeye sayısal ifade denir.
7-3 sayısal bir ifadedir.
(8+3.2) 5.4 de sayısal bir ifadedir.
Ve bu canavar:
aynı zamanda sayısal bir ifade, evet...
Sıradan bir sayı, bir kesir, X ve diğer harflerin olmadığı herhangi bir hesaplama örneği; bunların hepsi sayısal ifadelerdir.
Ana işaret sayısal ifadeler - içinde harf yok. Hiçbiri. Yalnızca sayılar ve matematiksel semboller (gerekirse). Çok basit, değil mi?
Peki sayısal ifadelerle neler yapabilirsiniz? Sayısal ifadeler genellikle sayılabilir. Bunu yapmak için parantezleri açmanız, işaretleri değiştirmeniz, kısaltmanız, terimleri değiştirmeniz gerekir; Yapmak ifade dönüşümleri. Ancak bunun hakkında daha fazlası aşağıda.
Burada sayısal bir ifadeyle böyle komik bir durumu ele alacağız. hiçbir şey yapmanıza gerek yok. Aslında hiçbir şey! Bu hoş operasyon - hiçbir şey yapma)- ifade yürütüldüğünde yürütülür mantıklı değil.
Sayısal bir ifade ne zaman anlamsız olur?
Önümüzde bir tür abrakadabra görürsek,
o zaman hiçbir şey yapmayacağız. Çünkü bu konuda ne yapılacağı belli değil. Bir tür saçmalık. Belki artıların sayısını sayın...
Ancak dışarıdan oldukça düzgün ifadeler var. Örneğin bu:
(2+3) : (16 - 2 8)
Ancak bu ifade aynı zamanda mantıklı değil! Basit bir nedenden ötürü, ikinci parantez içinde - eğer sayarsanız - sıfır alırsınız. Ama sıfıra bölemezsin! Bu matematikte yasak bir işlemdir. Dolayısıyla bu ifadeyle de herhangi bir işlem yapılmasına gerek yoktur. Böyle bir ifadeye sahip herhangi bir görev için cevap her zaman aynı olacaktır: "İfadenin hiçbir anlamı yok!"
Böyle bir cevap verebilmek için elbette parantez içinde ne olacağını hesaplamam gerekiyordu. Ve bazen parantez içinde bir sürü şey oluyor... Eh, bu konuda yapabileceğiniz hiçbir şey yok.
Matematikte çok fazla yasaklı işlem yoktur. Bu başlıkta sadece bir tane var. Sıfıra bölme. Kökler ve logaritmalardan kaynaklanan ek kısıtlamalar ilgili konularda tartışılmaktadır.
Yani, ne olduğuna dair bir fikir sayısal ifade- kabul edilmiş. Konsept sayısal ifade anlamlı değil- gerçekleştirilmiş. Devam edelim.
Cebirsel ifadeler.
Sayısal bir ifadede harfler yer alırsa, bu ifade şu şekilde olur: İfade şu şekilde olur: Evet! O olur cebirsel ifade. Örneğin:
5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 milyon/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...
Bu tür ifadelere aynı zamanda denir gerçek ifadeler. Veya değişkenli ifadeler. Neredeyse aynı şey. İfade 5a +cörneğin - hem gerçek hem cebirsel, hem de değişkenleri olan bir ifade.
Konsept cebirsel ifade - sayısaldan daha geniştir. BT içerir ve tüm sayısal ifadeler. Onlar. sayısal bir ifade aynı zamanda cebirsel bir ifadedir, yalnızca harfleri yoktur. Her ringa balığı bir balıktır ama her balık ringa balığı değildir...)
Neden alfabetik- Apaçık. Madem mektuplar var... Cümle değişkenlerle ifade Aynı zamanda çok da kafa karıştırıcı değil. Rakamların harflerin altında saklı olduğunu anlarsanız. Harflerin altına her türlü sayı gizlenebilir... Ve 5, -18 ve ne istersen. Yani bir mektup olabilir yer değiştirmek farklı numaralar için. Bu yüzden harflere denir değişkenler.
İfadede y+5, Örneğin, en- değişken değer. Ya da sadece " diyorlar değişken", "büyüklük" kelimesi olmadan. Sabit bir değer olan beşin aksine. Veya basitçe - devamlı.
Terim cebirsel ifade bu ifadeyle çalışmak için yasaları ve kuralları kullanmanız gerektiği anlamına gelir cebir. Eğer aritmetik belirli sayılarla çalışır, ardından cebir- tüm sayılarla aynı anda. Açıklama için basit bir örnek.
Aritmetikte bunu yazabiliriz
Ancak böyle bir eşitliği cebirsel ifadelerle yazarsak:
a + b = b + bir
hemen karar vereceğiz Tüm sorular. İçin tüm sayılar bir çırpıda düştü. Sonsuz olan her şey için. Çünkü harflerin altında A Ve B ima edilen Tüm sayılar. Ve sadece sayılar değil, diğer matematiksel ifadeler bile. Cebir bu şekilde çalışır.
Cebirsel bir ifade ne zaman anlamlı olmaz?
Sayısal ifadeyle ilgili her şey açıktır. Orada sıfıra bölemezsiniz. Peki harflerle neye böldüğümüzü bulmak mümkün mü?
Örneğin değişkenlerle birlikte bu ifadeyi ele alalım:
2: (A - 5)
Mantıklı mı? Kim bilir? A- herhangi bir sayı...
Herhangi biri, herhangi biri... Ama tek bir anlamı var A, bunun için bu ifade Kesinlikle mantıklı değil! Peki bu sayı nedir? Evet! Bu 5! Değişken ise A 5 sayısını ("yedek" diyorlar) değiştirin, parantez içinde sıfır elde edersiniz. Hangisi bölünemez. Böylece ifademizin ortaya çıktığı ortaya çıktı mantıklı değil, Eğer bir = 5. Ama diğer değerler için A mantıklı mı? Başka sayıları değiştirebilir misiniz?
Kesinlikle. Bu gibi durumlarda basitçe şunu söylerler: ifade
2: (A - 5)
herhangi bir değer için anlamlıdır A, a = 5 hariç .
Tüm sayı kümesi Olabilmek Belirli bir ifadenin yerine koymaya denir kabul edilebilir değerler aralığı bu ifade.
Gördüğünüz gibi zorlayıcı bir şey yok. Değişkenli ifadeye bakalım ve şunu anlayalım: yasak işlem (sıfıra bölme) değişkenin hangi değerinde elde edilir?
Ve sonra görev sorusuna baktığınızdan emin olun. Ne soruyorlar?
mantıklı değil, yasak anlamımız cevap olacaktır.
İfadenin bir değişkenin hangi değerinde olduğunu sorarsanız mantıklı(farkı hissedin!), cevap şu olacak: diğer tüm sayılar yasak olanlar hariç.
İfadenin anlamına neden ihtiyacımız var? O orada, o değil... Ne fark eder ki?! Mesele şu ki bu kavram lisede çok önemli hale geliyor. Son derece önemli! Bu, kabul edilebilir değerlerin alanı veya bir fonksiyonun alanı gibi katı kavramların temelidir. Bu olmadan ciddi denklemleri veya eşitsizlikleri hiçbir şekilde çözemezsiniz. Bunun gibi.
İfadeleri Dönüştürme. Kimlik dönüşümleri.
Sayısal ve cebirsel ifadelerle tanıştık. “İfadenin hiçbir anlamı yok” ifadesinin ne anlama geldiğini anladık. Şimdi bunun ne olduğunu bulmamız gerekiyor ifade dönüşümü. Cevap utanç verici derecede basittir.) Bu, ifadesi olan herhangi bir eylemdir. Hepsi bu. Bu dönüşümleri birinci sınıftan beri yapıyorsunuz.
Harika bir sayısal ifade olan 3+5'i ele alalım. Nasıl dönüştürülebilir? Evet, çok basit! Hesaplamak:
Bu hesaplama ifadenin dönüşümü olacaktır. Aynı ifadeyi farklı şekilde yazabilirsiniz:
Burada hiçbir şeyi saymadık. Sadece ifadeyi yazdım farklı bir biçimde. Bu aynı zamanda ifadenin de dönüşümü olacaktır. Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:
Bu da bir ifadenin dönüşümüdür. Bu tür dönüşümleri istediğiniz kadar yapabilirsiniz.
Herhangi ifadeye ilişkin eylem herhangi başka bir biçimde yazmaya ifadeyi dönüştürmek denir. Ve hepsi bu. Çok basit. Ama burada bir şey var çok önemli kural. Güvenli bir şekilde çağrılabilecek kadar önemli ana kural hepsi matematik. Bu kuralı çiğnemek kaçınılmaz olarak hatalara yol açar. Bu konuya giriyor muyuz?)
Diyelim ki ifademizi gelişigüzel şu şekilde değiştirdik:
Dönüşüm? Kesinlikle. İfadeyi farklı bir biçimde yazdık, burada yanlış olan ne?
Öyle değil.) Mesele şu ki, dönüşümler "rastgele" matematikle hiç ilgilenmiyorum.) Tüm matematik, görünümün değiştiği dönüşümler üzerine kuruludur, ancak ifadenin özü değişmez.Üç artı beş herhangi bir biçimde yazılabilir, ancak sekiz olması gerekir.
Dönüşümler, özü değiştirmeyen ifadeler denir birebir aynı.
Kesinlikle kimlik dönüşümleri ve karmaşık bir örneği adım adım basit bir ifadeye dönüştürmemize izin verin. örneğin özü. Dönüşüm zincirinde bir hata yaparsak, özdeş OLMAYAN bir dönüşüm yaparız, sonra karar veririz bir diğerörnek. Doğru olanlarla ilgili olmayan diğer yanıtlarla.)
Bu, herhangi bir görevi çözmenin ana kuralıdır: dönüşümlerin kimliğini korumak.
Anlaşılır olması açısından 3+5 sayısal ifadesiyle bir örnek verdim. Cebirsel ifadelerde kimlik dönüşümleri formüller ve kurallarla verilir. Diyelim ki cebirde bir formül var:
a(b+c) = ab + ac
Bu, herhangi bir örnekte ifade yerine şunları yapabileceğimiz anlamına gelir: a(b+c) bir ifade yazmaktan çekinmeyin ab + ac. Ve tam tersi. Bu özdeş dönüşüm. Matematik bize bu iki ifade arasında seçim yapma olanağı tanır. Ve hangisinin yazılacağı belirli örneğe bağlıdır.
Başka bir örnek. En önemli ve gerekli dönüşümlerden biri kesrin temel özelliğidir. Bağlantıda daha fazla ayrıntı görebilirsiniz, ancak burada size kuralı hatırlatacağım: Bir kesrin pay ve paydası aynı sayıyla veya sıfıra eşit olmayan bir ifadeyle çarpılırsa (bölülürse), kesir değişmez. Bu özelliği kullanan kimlik dönüşümlerine bir örnek:
Muhtemelen tahmin ettiğiniz gibi bu zincir sonsuza kadar devam ettirilebilir...) Çok önemli bir özellik. Her türlü örnek canavarı beyaz ve kabarık hale getirmenizi sağlayan da budur.)
Aynı dönüşümleri tanımlayan birçok formül vardır. Ama en önemlileri oldukça makul bir sayıdır. Temel dönüşümlerden biri çarpanlara ayırmadır. Başlangıçtan ileri seviyeye kadar tüm matematikte kullanılır. Onunla başlayalım. Bir sonraki derste.)
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Orijinal ifadeyi oluşturan sayılar ve ifadeler, aynı eşit ifadelerle değiştirilebilir. Orijinal ifadenin böyle bir dönüşümü, ona tamamen eşit olan bir ifadeye yol açar.
Örneğin, 3+x ifadesinde 3 sayısı 1+2 toplamı ile değiştirilebilir, bu da orijinal ifadeye tamamen eşit olan (1+2)+x ifadesini verir. Başka bir örnek: 1+a 5 ifadesinde a 5'in kuvveti, örneğin a·a 4 formundaki özdeş eşit bir çarpımla değiştirilebilir. Bu bize 1+a·a 4 ifadesini verecektir.
Bu dönüşüm şüphesiz yapaydır ve genellikle daha sonraki bazı dönüşümlere hazırlık niteliğindedir. Örneğin 4 x 3 +2 x 2 toplamında, derecenin özellikleri dikkate alınarak 4 x 3 terimi 2 x 2 2 x çarpımı olarak temsil edilebilir. Bu dönüşümden sonra orijinal ifade 2 x 2 2 x+2 x 2 formunu alacaktır. Açıkçası, elde edilen toplamdaki terimlerin ortak çarpanı 2 x 2'dir, bu nedenle aşağıdaki dönüşümü - parantezlemeyi - gerçekleştirebiliriz. Bundan sonra şu ifadeye geliyoruz: 2 x 2 (2 x+1) .
Aynı sayıyı toplama ve çıkarma
Bir ifadenin bir diğer yapay dönüşümü, aynı sayının veya ifadenin aynı anda toplanması ve çıkarılmasıdır. Bu dönüşüm aynıdır çünkü aslında sıfır eklemeye eşdeğerdir ve sıfır eklemek değeri değiştirmez.
Bir örneğe bakalım. x 2 +2·x ifadesini alalım. Buna bir tane eklerseniz ve bir tane çıkarırsanız, bu gelecekte başka bir özdeş dönüşüm gerçekleştirmenize olanak tanır - binomun karesini almak: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.
Referanslar.
- Cebir: ders kitabı 7. sınıf için genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkoviç A.G. Cebir. 7. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.
Sayılarda toplama ve çarpma işleminin temel özellikleri.
Toplamanın değişme özelliği: terimlerin yeniden düzenlenmesi toplamın değerini değiştirmez. Herhangi bir a ve b sayısı için eşitlik doğrudur
Toplamanın birleştirici özelliği: İki sayının toplamına üçüncü bir sayı eklemek için ikinci ve üçüncünün toplamını birinci sayıya ekleyebilirsiniz. Herhangi bir a, b ve c sayısı için eşitlik doğrudur
Çarpmanın değişme özelliği: Faktörlerin yeniden düzenlenmesi çarpımın değerini değiştirmez. Herhangi bir a, b ve c sayısı için eşitlik doğrudur
Çarpmanın birleşimsel özelliği: İki sayının çarpımını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, ilk sayıyı ikinci ve üçüncünün çarpımı ile çarpabilirsiniz.
Herhangi bir a, b ve c sayısı için eşitlik doğrudur
Dağılma Özelliği: Bir sayıyı bir toplamla çarpmak için bu sayıyı her terimle çarpabilir ve sonuçları ekleyebilirsiniz. Herhangi bir a, b ve c sayısı için eşitlik doğrudur
Toplama işleminin değişmeli ve birleştirici özelliklerinden şu sonuç çıkar: Herhangi bir toplamda terimleri istediğiniz şekilde yeniden düzenleyebilir ve bunları keyfi olarak gruplar halinde birleştirebilirsiniz.
Örnek 1 1.23+13.5+4.27 toplamını hesaplayalım.
Bunu yapmak için ilk terimi üçüncüyle birleştirmek uygundur. Şunu elde ederiz:
1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.
Çarpmanın değişmeli ve birleştirici özelliklerinden şu sonuç çıkar: herhangi bir çarpımda faktörleri herhangi bir şekilde yeniden düzenleyebilir ve bunları keyfi olarak gruplar halinde birleştirebilirsiniz.
Örnek 2 1.8·0.25·64·0.5 çarpımının değerini bulalım.
Birinci faktörü dördüncüyle, ikinciyi üçüncüyle birleştirirsek:
1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.
Dağılma özelliği, bir sayının üç veya daha fazla terimin toplamı ile çarpılması durumunda da geçerlidir.
Örneğin herhangi bir a, b, c ve d sayısı için eşitlik doğrudur
a(b+c+d)=ab+ac+ad.
Çıkarılanın karşıt sayısını eksiye ekleyerek çıkarmanın toplamayla değiştirilebileceğini biliyoruz:
Bu, a-b biçimindeki bir sayısal ifadenin a ve -b sayılarının toplamı olarak kabul edilmesine, a+b-c-d biçimindeki bir sayısal ifadenin a, b, -c, -d vb. sayıların toplamı olarak kabul edilmesine olanak tanır. Eylemlerin dikkate alınan özellikleri bu tür toplamlar için de geçerlidir.
Örnek 3 3.27-6.5-2.5+1.73 ifadesinin değerini bulalım.
Bu ifade 3,27, -6,5, -2,5 ve 1,73 sayılarının toplamıdır. Toplama özelliklerini uyguladığımızda şunu elde ederiz: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.
Örnek 4 36·() çarpımını hesaplayalım.
Çarpan ve - sayıların toplamı olarak düşünülebilir. Çarpmanın dağılma özelliğini kullanarak şunu elde ederiz:
36()=36·-36·=9-10=-1.
Kimlikler
Tanım. Değişkenlerin herhangi bir değeri için karşılık gelen değerleri eşit olan iki ifadeye aynı derecede eşit denir.
Tanım. Değişkenlerin herhangi bir değeri için doğru olan eşitliğe kimlik denir.
3(x+y) ve 3x+3y ifadelerinin x=5, y=4 noktasındaki değerlerini bulalım:
3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,
3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.
Aynı sonucu aldık. Dağılım özelliğinden genel olarak değişkenlerin herhangi bir değeri için 3(x+y) ve 3x+3y ifadelerinin karşılık gelen değerlerinin eşit olduğu sonucu çıkar.
Şimdi 2x+y ve 2xy ifadelerini ele alalım. x=1, y=2 olduğunda eşit değerler alırlar:
Ancak x ve y değerlerini bu ifadelerin değerleri eşit olmayacak şekilde belirtebilirsiniz. Örneğin, eğer x=3, y=4 ise, o zaman
3(x+y) ve 3x+3y ifadeleri tamamen eşittir ancak 2x+y ve 2xy ifadeleri tamamen eşit değildir.
Herhangi bir x ve y değeri için geçerli olan 3(x+y)=x+3y eşitliği bir özdeşliktir.
Gerçek sayısal eşitlikler de kimlik olarak kabul edilir.
Dolayısıyla kimlikler, sayılar üzerindeki işlemlerin temel özelliklerini ifade eden eşitliklerdir:
a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),
ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.
Kimliklere başka örnekler de verilebilir:
a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),
a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.
İfadelerin özdeş dönüşümleri
Bir ifadenin tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesine özdeş dönüşüm veya basitçe bir ifadenin dönüşümü denir.
Değişkenli ifadelerin özdeş dönüşümleri sayılar üzerinde yapılan işlemlerin özelliklerine göre gerçekleştirilir.
Verilen x, y, z değerleri için xy-xz ifadesinin değerini bulmak için üç adımı uygulamanız gerekir. Örneğin, x=2,3, y=0,8, z=0,2 ile şunu elde ederiz:
xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.
Bu sonuç, xy-xz ifadesine tamamen eşit olan x(y-z) ifadesini kullanırsanız yalnızca iki adım gerçekleştirilerek elde edilebilir:
xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.
Xy-xz ifadesini aynı x(y-z) ifadesiyle değiştirerek hesaplamaları basitleştirdik.
İfadelerin özdeş dönüşümleri, ifadelerin değerlerinin hesaplanmasında ve diğer problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır. Benzer terimlerin getirilmesi, parantez açılması gibi bazı özdeş dönüşümlerin zaten gerçekleştirilmesi gerekiyordu. Bu dönüşümleri gerçekleştirmenin kurallarını hatırlayalım:
benzer terimleri getirmek için katsayılarını eklemeniz ve sonucu ortak harf kısmıyla çarpmanız gerekir;
parantezlerin önünde bir artı işareti varsa, parantez içindeki her terimin işareti korunarak parantezler çıkarılabilir;
Parantezlerin önünde eksi işareti varsa, parantez içindeki her terimin işareti değiştirilerek parantez çıkarılabilir.
Örnek 1 Benzer terimleri 5x+2x-3x toplamında sunalım.
Benzer terimleri azaltma kuralını kullanalım:
5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.
Bu dönüşüm çarpma işleminin dağılma özelliğine dayanmaktadır.
Örnek 2 2a+(b-3c) ifadesindeki parantezleri açalım.
Başına artı işareti gelen parantezleri açma kuralını kullanma:
2a+(b-3c)=2a+b-3c.
Gerçekleştirilen dönüşüm, toplamanın birleşimsel özelliğine dayanmaktadır.
Örnek 3 a-(4b-c) ifadesindeki parantezleri açalım.
Başına eksi işareti gelen parantezleri açma kuralını kullanalım:
a-(4b-c)=a-4b+c.
Gerçekleştirilen dönüşüm, çarpmanın dağılma özelliğine ve toplamanın birleştirici özelliğine dayanmaktadır. Hadi gösterelim. Bu ifadedeki ikinci terim -(4b-c)'yi (-1)(4b-c) çarpımı olarak temsil edelim:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).
Eylemlerin belirtilen özelliklerini uygulayarak şunu elde ederiz:
a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.
