Çift doğrusal ve ikinci dereceden formlar. İkinci dereceden bir formun kanonik forma indirgenmesi

İkinci dereceden bir form verildiğinde (2) A(X, X) = , nerede X = (X 1 , X 2 , …, X N). Uzayda ikinci dereceden bir form düşünün R 3, yani X = (X 1 , X 2 , X 3), A(X, X) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(Şekil simetrisi koşulunu kullandık, yani A 12 = A 21 , A 13 = A 31 , A 23 = A 32). İkinci dereceden formda bir matris yazalım A temelde ( e}, A(e) =
. Temel değiştiğinde, ikinci dereceden formun matrisi formüle göre değişir A(F) = C T A(e)C, Nerede C– tabandan geçiş matrisi ( e) temeline ( F), A C T– aktarılmış matris C.

Tanım11.12. Köşegen matrisli ikinci dereceden bir formun formuna denir kanonik.

Öyleyse izin ver A(F) =
, Daha sonra A"(X, X) =
+
+
, Nerede X" 1 , X" 2 , X" 3 – vektör koordinatları X yeni bir temelde ( F}.

Tanım11.13. içeri gir N V böyle bir temel seçilmiştir F = {F 1 , F 2 , …, F N), ikinci dereceden formun şu şekle sahip olduğu

A(X, X) =
+
+ … +
, (3)

Nerede sen 1 , sen 2 , …, sen N– vektör koordinatları X temelde ( F). İfade (3) denir kanonik görünüm ikinci dereceden form. Katsayılar  1, λ 2, …, λ N denir kanonik; ikinci dereceden bir formun kanonik bir forma sahip olduğu bir tabana denir kanonik temel.

Yorum. İkinci dereceden form ise A(X, X) kanonik forma indirgenirse, genel olarak konuşursak, tüm katsayılar değil  Ben sıfırdan farklıdır. İkinci dereceden bir formun sıralaması, herhangi bir temelde matrisinin sıralamasına eşittir.

İkinci dereceden formun rütbesi olsun A(X, X) eşittir R, Nerede R ≤ N. Kanonik formdaki ikinci dereceden formdaki bir matris köşegen bir forma sahiptir. A(F) =
rütbesi eşit olduğundan R, daha sonra katsayılar arasında  Ben olmalı R, sıfıra eşit değil. Sıfır olmayan kanonik katsayıların sayısının ikinci dereceden formun sırasına eşit olduğu sonucu çıkar.

Yorum. Koordinatların doğrusal dönüşümü değişkenlerden bir geçiştir X 1 , X 2 , …, X N değişkenlere sen 1 , sen 2 , …, sen N Eski değişkenlerin bazı sayısal katsayılarla yeni değişkenler aracılığıyla ifade edildiği.

X 1 = a 11 sen 1 + a 12 sen 2 + … + α 1 N sen N ,

X 2 = a2 1 sen 1 + a 2 2 sen 2 + … + α 2 N sen N ,

………………………………

X 1 = α N 1 sen 1 + α N 2 sen 2 + … + α nn sen N .

Her temel dönüşüm, dejenere olmayan bir doğrusal koordinat dönüşümüne karşılık geldiğinden, ikinci dereceden bir formun kanonik bir forma indirgenmesi sorunu, karşılık gelen dejenere olmayan koordinat dönüşümünün seçilmesiyle çözülebilir.

Teorem 11.2 (İkinci dereceden formlarla ilgili ana teorem). Herhangi bir ikinci dereceden form A(X, X), içinde belirtilen N boyutlu vektör uzayı V, dejenere olmayan bir doğrusal koordinat dönüşümü kullanılarak kanonik forma indirgenebilir.

Kanıt. (Lagrange yöntemi) Bu yöntemin fikri, her değişken için ikinci dereceden üç terimliyi sırayla tam bir kareye tamamlamaktır. Bunu varsayacağız A(X, X) ≠ 0 ve temelde e = {e 1 , e 2 , …, e N) (2) formuna sahiptir:

A(X, X) =
.

Eğer A(X, X) = 0 ise ( A ben) = 0, yani form zaten kanoniktir. Formül A(X, X) katsayısı öyle dönüştürülebilir ki A 11 ≠ 0. Eğer A 11 = 0 ise, başka bir değişkenin karesinin katsayısı sıfırdan farklıysa, değişkenleri yeniden numaralandırarak şunu sağlamak mümkündür: A 11 ≠ 0. Değişkenlerin yeniden numaralandırılması, dejenere olmayan doğrusal bir dönüşümdür. Karesi alınan değişkenlerin tüm katsayıları sıfıra eşitse gerekli dönüşümler aşağıdaki gibi elde edilir. Örneğin, A 12 ≠ 0 (A(X, X) ≠ 0, yani en az bir katsayı A ben≠ 0). Dönüşümü düşünün

X 1 = sen 1 – sen 2 ,

X 2 = sen 1 + sen 2 ,

X Ben = sen Ben, en Ben = 3, 4, …, N.

Bu dönüşüm dejenere değildir çünkü matrisinin determinantı sıfır değildir
= = 2 ≠ 0.

Sonra 2 A 12 X 1 X 2 = 2 A 12 (sen 1 – sen 2)(sen 1 + sen 2) = 2
– 2
yani formda A(X, X) iki değişkenin kareleri aynı anda görünecektir.

A(X, X) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Tahsis edilen tutarı forma dönüştürelim:

A(X, X) = A 11
, (5)

katsayılar ise A ben olarak değiştir . Dejenere olmayan dönüşümü düşünün

sen 1 = X 1 + + … + ,

sen 2 = X 2 ,

sen N = X N .

Sonra alırız

A(X, X) =
. (6).

İkinci dereceden form ise
= 0, o zaman oyuncu seçimi sorusu A(X, X) kanonik forma dönüştürülür.

Bu form sıfıra eşit değilse, koordinat dönüşümlerini dikkate alarak akıl yürütmeyi tekrarlarız. sen 2 , …, sen N ve koordinatı değiştirmeden sen 1. Bu dönüşümlerin dejenere olmayacağı açıktır. Sonlu sayıda adımda, ikinci dereceden form A(X, X) kanonik forma (3) indirgenecektir.

Yorum 1. Orijinal koordinatların gerekli dönüşümü X 1 , X 2 , …, X N akıl yürütme sürecinde bulunan dejenere olmayan dönüşümlerin çarpılmasıyla elde edilebilir: [ X] = A[sen], [sen] = B[z], [z] = C[T], Daha sonra [ X] = AB[z] = ABC[T], yani [ X] = M[T], Nerede M = ABC.

Yorum 2. İzin ver A(X, X) = A(X, X) =
+
+ …+
, nerede  Ben ≠ 0, Ben = 1, 2, …, R, ve  1 > 0, λ 2 > 0, …, λ Q > 0, λ Q +1 < 0, …, λ R < 0.

Dejenere olmayan dönüşümü düşünün

sen 1 = z 1 , sen 2 = z 2 , …, sen Q = z Q , sen Q +1 =
z Q +1 , …, sen R = z R , sen R +1 = z R +1 , …, sen N = z N. Sonuç olarak A(X, X) şu formu alacaktır: A(X, X) = + + … + – – … – buna denir ikinci dereceden formun normal formu.

Örnek11.1. İkinci dereceden formu kanonik forma düşürün A(X, X) = 2X 1 X 2 – 6X 2 X 3 + 2X 3 X 1 .

Çözüm. Çünkü A 11 = 0, dönüşümü kullanın

X 1 = sen 1 – sen 2 ,

X 2 = sen 1 + sen 2 ,

X 3 = sen 3 .

Bu dönüşümün bir matrisi var A =
yani [ X] = A[sen] alıyoruz A(X, X) = 2(sen 1 – sen 2)(sen 1 + sen 2) – 6(sen 1 + sen 2)sen 3 + 2sen 3 (sen 1 – sen 2) =

2– 2– 6sen 1 sen 3 – 6sen 2 sen 3 + 2sen 3 sen 1 – 2sen 3 sen 2 = 2– 2– 4sen 1 sen 3 – 8sen 3 sen 2 .

Katsayıdan beri sıfıra eşit değil, bir bilinmeyenin karesini seçebiliriz, öyle olsun sen 1. Aşağıdakileri içeren tüm terimleri seçelim: sen 1 .

A(X, X) = 2(– 2sen 1 sen 3) – 2– 8sen 3 sen 2 = 2(– 2sen 1 sen 3 + ) – 2– 2– 8sen 3 sen 2 = 2(sen 1 – sen 3) 2 – 2– 2– 8sen 3 sen 2 .

Matrisi şuna eşit olan bir dönüşüm gerçekleştirelim B.

z 1 = sen 1 – sen 3 ,  sen 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = sen 2 ,  sen 2 = z 2 ,

z 3 = sen 3 ;  sen 3 = z 3 .

B =
, [sen] = B[z].

Aldık A(X, X) = 2– 2–– 8z 2 z 3. içeren terimleri seçelim. z 2. Sahibiz A(X, X) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Matrisle dönüşüm gerçekleştirme C:

T 1 = z 1 ,  z 1 = T 1 ,

T 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = T 2 – 2T 3 ,

T 3 = z 3 ;  z 3 = T 3 .

C =
, [z] = C[T].

Kabul edilmiş: A(X, X) = 2– 2+ 6ikinci dereceden bir formun kanonik formu, [ X] = A[sen], [sen] = B[z], [z] = C[T], buradan [ X] = ABC[T];

ABC =


=
. Dönüşüm formülleri aşağıdaki gibidir

X 1 = T 1 – T 2 + T 3 ,

X 2 = T 1 + T 2 – T 3 ,

Tanım 10.4.Kanonik görünümİkinci dereceden form (10.1) aşağıdaki form olarak adlandırılır: . (10.4)

Özvektörler bazında ikinci dereceden formun (10.1) kanonik bir form aldığını gösterelim. İzin vermek

Özdeğerlere karşılık gelen normalleştirilmiş özvektörler λ1 ,λ2 ,λ3 matrisler (10.3) ortonormal bazda. O zaman eski tabandan yenisine geçiş matrisi matris olacaktır

. Yeni temelde matris A(özvektörlerin özelliği gereği) köşegen formunu (9.7) alacaktır. Böylece, formülleri kullanarak koordinatları dönüştürmek:

,

yeni temelde özdeğerlere eşit katsayılara sahip ikinci dereceden bir formun kanonik formunu elde ederiz λ1, λ2, λ3:

Açıklama 1. Geometrik açıdan bakıldığında, dikkate alınan koordinat dönüşümü, eski koordinat eksenlerini yenileriyle birleştiren koordinat sisteminin bir dönüşüdür.

Açıklama 2. Matrisin (10.3) herhangi bir özdeğeri çakışırsa, bunların her birine karşılık gelen ortonormal özvektörlere dik bir birim vektör ekleyebiliriz ve böylece ikinci dereceden formun kanonik formu aldığı bir temel oluşturabiliriz.

İkinci dereceden formu kanonik forma getirelim

X² + 5 sen² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Matrisinin formu şu şekildedir: Ders 9'da tartışılan örnekte, bu matrisin özdeğerleri ve ortonormal özvektörleri bulunur:

Bu vektörlerden tabana geçiş matrisi oluşturalım:

(Vektörlerin sırası sağ üçlü oluşturacak şekilde değiştirilir). Formülleri kullanarak koordinatları dönüştürelim:

Böylece ikinci dereceden form, ikinci dereceden formun matrisinin özdeğerlerine eşit katsayılarla kanonik forma indirgenir.

Ders 11.

İkinci dereceden eğriler. Elips, hiperbol ve parabol, özellikleri ve kanonik denklemler. İkinci dereceden bir denklemin kanonik forma indirgenmesi.

Tanım 11.1.İkinci dereceden eğriler Bir düzlem üzerinde dairesel bir koninin tepe noktasından geçmeyen düzlemlerle kesişme çizgilerine denir.

Böyle bir düzlem koninin bir boşluğunun tüm genatrilerini keserse, o zaman bölümde ortaya çıkar elips, her iki boşluğun generatrislerinin kesiştiği noktada - hiperbol ve eğer kesme düzlemi herhangi bir generatrix'e paralel ise, o zaman koninin kesiti parabol.

Yorum. Tüm ikinci dereceden eğriler, iki değişkende ikinci derece denklemlerle belirtilir.

Elips.

Tanım 11.2.Elips düzlemde iki sabit noktaya olan uzaklıkların toplamının eşit olduğu noktalar kümesidir F 1 ve F hileler, sabit bir değerdir.

Yorum. Noktalar çakıştığında F 1 ve F 2 elips bir daireye dönüşüyor.

Elipsin denklemini Kartezyen sistemi seçerek türetelim.

y M(x,y) koordinatlar böylece eksen Ah düz bir çizgiyle çakıştı F 1 F 2, başlangıç

r 1 r 2 koordinatları – segmentin ortasıyla F 1 F 2. Bunun uzunluğu olsun

segment 2'ye eşittir İle, ardından seçilen koordinat sisteminde

F 1 Ö F 2 x F 1 (-C, 0), F 2 (C, 0). Bırakın nokta M(x, y) elips üzerinde yer alır ve

ona olan uzaklıkların toplamı F 1 ve F 2 eşittir 2 A.

Daha sonra R 1 + R 2 = 2A, Ancak ,

bu nedenle notasyonu tanıtıyoruz B² = A²- C² ve basit cebirsel dönüşümleri gerçekleştirdikten sonra şunu elde ederiz: kanonik elips denklemi: (11.1)

Tanım 11.3.Eksantriklik elipsin büyüklüğüne büyüklük denir e=s/a (11.2)

Tanım 11.4.Müdire D ben odağa karşılık gelen elips F ben F ben eksene göre Ah eksene dik Ah uzakta a/e kökeninden.

Yorum. Farklı bir koordinat sistemi seçimiyle elips, kanonik denklem (11.1) ile değil, farklı türde ikinci derece bir denklemle belirlenebilir.

Elips özellikleri:

1) Bir elipsin birbirine dik iki simetri ekseni (elipsin ana eksenleri) ve bir simetri merkezi (elipsin merkezi) vardır. Bir elips kanonik bir denklemle verilirse, ana eksenleri koordinat eksenleridir ve merkezi orijindir. Elipsin ana eksenlerle kesişmesiyle oluşan doğru parçalarının uzunlukları 2'ye eşit olduğundan A ve 2 B (2A>2B), bu durumda odaklardan geçen ana eksene elipsin ana ekseni, ikinci ana eksene ise ikincil eksen adı verilir.

2) Elipsin tamamı dikdörtgenin içinde yer alır

3) Elips dışmerkezliği e< 1.

Gerçekten mi,

4) Elipsin doğrultmanları elipsin dışında yer alır (çünkü elipsin merkezinden doğrultuya olan mesafe a/e, A e<1, следовательно, a/e>a ve elipsin tamamı bir dikdörtgenin içinde yer alır)

5) Mesafe oranı ben mi elips noktasından odağa F ben mesafeye ben mi bu noktadan odağa karşılık gelen doğrultmana kadar olan mesafe elipsin dışmerkezliğine eşittir.

Kanıt.

Noktadan uzaklıklar M(x, y) elipsin odak noktalarına kadar olan kısım şu şekilde temsil edilebilir:

Doğrultman denklemlerini oluşturalım:

(D 1), (D 2). Daha sonra Buradan r ben / d ben = e Kanıtlanması gereken şey buydu.

Hiperbol.

Tanım 11.5.Abartı iki sabit noktaya olan uzaklık farkı modülünün eşit olduğu düzlemdeki noktalar kümesidir F 1 ve F Bu uçağın 2'si, adı verilen hileler, sabit bir değerdir.

Aynı gösterimi kullanarak bir elipsin denkleminin türetilmesiyle analoji yaparak bir hiperbolün kanonik denklemini türetelim.

|r1 - r2 | = 2A, nereden belirtirsek B² = C² - A², buradan alabilirsiniz

- kanonik hiperbol denklemi. (11.3)

Tanım 11.6.Eksantriklik hiperbole miktar denir e = c/a.

Tanım 11.7.Müdire D ben odağa karşılık gelen hiperbol F ben ile aynı yarım düzlemde bulunan düz çizgiye denir. F ben eksene göre Ah eksene dik Ah uzakta a/e kökeninden.

Bir hiperbolün özellikleri:

1) Bir hiperbolün iki simetri ekseni (hiperbolün ana eksenleri) ve bir simetri merkezi (hiperbolün merkezi) vardır. Bu durumda bu eksenlerden biri hiperbol ile hiperbolün köşeleri adı verilen iki noktada kesişir. Buna hiperbolün gerçek ekseni denir (eksen Ah koordinat sisteminin kanonik seçimi için). Diğer eksenin hiperbolle hiçbir ortak noktası yoktur ve onun hayali ekseni olarak adlandırılır (kanonik koordinatlarda - eksen) Ah). Her iki yanında hiperbolün sağ ve sol dalları vardır. Bir hiperbolün odakları gerçek ekseninde bulunur.

2) Hiperbolün dallarının denklemlerle belirlenen iki asimptotu vardır.

3) Hiperbol (11.3) ile birlikte, kanonik denklemle tanımlanan eşlenik hiperbolü de düşünebiliriz.

Aynı asimptotlar korunurken gerçek ve sanal eksenlerin yer değiştirdiği.

4) Hiperbolün dışmerkezliği e> 1.

5) Mesafe oranı ben mi hiperbol noktasından odağa F ben mesafeye ben mi bu noktadan odağa karşılık gelen doğrultmana kadar olan mesafe hiperbolün dışmerkezliğine eşittir.

Kanıt elips için olduğu gibi aynı şekilde yapılabilir.

Parabol.

Tanım 11.8.Parabol düzlem üzerinde sabit bir noktaya olan mesafenin eşit olduğu noktalar kümesidir F bu düzlem sabit bir düz çizgiye olan mesafeye eşittir. Nokta F isminde odak paraboller ve düz çizgi onun müdire.

Parabol denklemini türetmek için Kartezyeni seçiyoruz

koordinat sistemi orijini orta olacak şekilde

D M(x,y) dik FD, direktife odaklanmadan çıkarıldı

r su ve koordinat eksenleri paralel olarak yerleştirildi ve

yönetmene dik. Segmentin uzunluğuna izin verin FD

D O F x eşittir R. Daha sonra eşitlikten r = dşu şekildedir

Çünkü

Cebirsel dönüşümler kullanılarak bu denklem şu şekle indirgenebilir: sen² = 2 piksel, (11.4)

isminde kanonik parabol denklemi. Büyüklük R isminde parametre paraboller.

Bir parabolün özellikleri:

1) Bir parabolün bir simetri ekseni (parabol ekseni) vardır. Parabolün eksenle kesiştiği noktaya parabolün tepe noktası denir. Bir parabol kanonik bir denklemle verilmişse, ekseni eksendir Ah, ve köşe koordinatların başlangıç ​​noktasıdır.

2) Parabolün tamamı düzlemin sağ yarı düzleminde bulunur Ah.

Yorum. Bir elipsin ve bir hiperbolün doğrultmanlarının özelliklerini ve bir parabolün tanımını kullanarak aşağıdaki ifadeyi kanıtlayabiliriz:

İlişkinin geçerli olduğu düzlemdeki noktalar kümesi e sabit bir noktaya olan mesafenin bir düz çizgiye olan mesafe sabit bir değerdir, bir elipstir ( e<1), гиперболу (при e>1) veya parabol (ile e=1).

İlgili bilgiler.

220400 Cebir ve geometri Tolstikov A.V.

Dersler 16. Çift doğrusal ve ikinci dereceden formlar.

Planı

1. Çift doğrusal form ve özellikleri.

2. İkinci dereceden şekil. İkinci dereceden formun matrisi. Koordinat dönüşümü.

3. İkinci dereceden formun kanonik forma indirgenmesi. Lagrange yöntemi.

4. İkinci dereceden formların eylemsizlik yasası.

5. Özdeğer yöntemini kullanarak ikinci dereceden formun kanonik forma indirgenmesi.

6. İkinci dereceden bir formun pozitif kesinliği için Silverst kriteri.

1. Analitik geometri ve doğrusal cebir dersi. M.: Nauka, 1984.

2. Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Doğrusal cebir ve analitik geometrinin elemanları. 1997.

3. Voevodin V.V. Doğrusal cebir.. M.: Nauka 1980.

4. Üniversiteler için sorunların toplanması. Doğrusal cebir ve matematiksel analizin temelleri. Ed. Efimova A.V., Demidovich B.P..M .: Nauka, 1981.

5. Butuzov V.F., Krutitskaya N.Ch., Shishkin A.A. Soru ve problemlerde doğrusal cebir. M.: Fizmatlit, 2001.

, , , ,

1. Çift doğrusal form ve özellikleri.İzin vermek V - N bir alan üzerinde boyutlu vektör uzayı P.

Tanım 1.Çift doğrusal form, tarihinde tanımlı V, böyle bir haritalamaya denir G: V 2 ® P, her bir sıralı çifte ( X , sen ) vektörler X , sen içeri soktuğundan V alandaki numarayı eşleştir P, belirtilen G(X , sen ) ve değişkenlerin her birinde doğrusal X , sen yani özelliklere sahip:

1) ("X , sen , z Î V)G(X + sen , z ) = G(X , z ) + G(sen , z );

2) ("X , sen Î V) ("bir О P)G(A X , sen ) = bir G(X , sen );

3) ("X , sen , z Î V)G(X , sen + z ) = G(X , sen ) + G(X , z );

4) ("X , sen Î V) ("bir О P)G(X , A sen ) = bir G(X , sen ).

Örnek 1. Bir vektör uzayında tanımlanan herhangi bir nokta çarpım Vçift ​​doğrusal bir formdur.

2 . İşlev H(X , sen ) = 2X 1 sen 1 - X 2 sen 2 +X 2 sen 1 nerede X = (X 1 ,X 2), sen = (sen 1 ,sen 2)O R 2, çift doğrusal form açık R 2 .

Tanım 2.İzin vermek v = (v 1 , v 2 ,…, v N V.Çift doğrusal formun matrisiG(X , sen ) temele görev matris denir B=(b ij)N ´ N elemanları formülle hesaplanan b ij = G(v Ben, v J):

Örnek 3. Çift Doğrusal Matris H(X , sen ) (bkz. örnek 2) temele göre e 1 = (1,0), e 2 = (0,1) eşittir .

Teorem 1. İzin vermekX, Y - sırasıyla vektörlerin koordinat sütunlarıX , sen temeldev, B - çift doğrusal formun matrisiG(X , sen ) temele görev. Daha sonra çift doğrusal form şu şekilde yazılabilir:

G(X , sen )=X t BY. (1)

Kanıt. Elde ettiğimiz çift doğrusal formun özelliklerinden

Örnek 3. Çift doğrusal form H(X , sen ) (bkz. örnek 2) şeklinde yazılabilir H(X , sen )=.

Teorem 2. İzin vermek v = (v 1 , v 2 ,…, v N), sen = (sen 1 , sen 2 ,…, sen N) - iki vektör uzay tabanıV, T - temelden geçiş matrisiv temelesen. İzin vermek B= (b ij)N ´ N Ve İLE=(ij ile)N ´ N - çift ​​doğrusal matrislerG(X , sen ) sırasıyla bazlara görev vesen. Daha sonra

İLE=T t BT.(2)

Kanıt. Geçiş matrisi ve çift doğrusal form matrisinin tanımından şunu buluruz:



Tanım 2.Çift doğrusal form G(X , sen ) denir simetrik, Eğer G(X , sen ) = G(sen , X ) herhangi biri için X , sen Î V.

Teorem 3. Çift doğrusal formG(X , sen )- ancak ve ancak iki doğrusal formlu bir matris herhangi bir tabana göre simetrikse simetriktir.

Kanıt.İzin vermek v = (v 1 , v 2 ,…, v N) - vektör uzayının temeli V, B= (b ij)N ´ N- çift doğrusal formun matrisleri G(X , sen ) temele göre v.Çift doğrusal forma izin verin G(X , sen ) - simetrik. O halde herhangi biri için tanım gereği 2 ben, j = 1, 2,…, N sahibiz b ij = G(v Ben, v J) = G(v J, v Ben) = b ji. Daha sonra matris B- simetrik.

Tersine, matrisin B- simetrik. Daha sonra BT= B ve herhangi bir vektör için X = X 1 v 1 + …+ xn v N =vX, sen = sen 1 v 1 + sen 2 v 2 +…+ e-n v N =vY Î V, formül (1)'e göre elde ederiz (sayının 1. dereceden bir matris olduğunu ve aktarma sırasında değişmediğini dikkate alırız)

G(X , sen ) =G(X , sen )T = (X t BY)T = Y t B t X = G(sen , X ).

2. İkinci dereceden şekil. İkinci dereceden formun matrisi. Koordinat dönüşümü.

Tanım 1.İkinci dereceden şekilüzerinde tanımlanmış V, haritalama denir F:V® P herhangi bir vektör için X itibaren V eşitlikle belirlenir F(X ) = G(X , X ), Nerede G(X , sen ) üzerinde tanımlanan simetrik çift doğrusal bir formdur V .

Mülk 1.Belirli bir ikinci dereceden forma göreF(X )çift ​​doğrusal form formül tarafından benzersiz bir şekilde bulunur

G(X , sen ) = 1/2(F(X + sen ) - F(X )-F(sen )). (1)

Kanıt. Herhangi bir vektör için X , sen Î Vçift ​​doğrusal formun özelliklerinden elde ederiz

F(X + sen ) = G(X + sen , X + sen ) = G(X , X + sen ) + G(sen , X + sen ) = G(X , X ) + G(X , sen ) + G(sen , X ) + G(sen , sen ) = F(X ) + 2G(X , sen ) + F(sen ).

Buradan formül (1) çıkar. 

Tanım 2.İkinci dereceden formun matrisiF(X ) temele görev = (v 1 , v 2 ,…, v N) karşılık gelen simetrik çift doğrusal formun matrisidir G(X , sen ) temele göre v.

Teorem 1. İzin vermekX= (X 1 ,X 2 ,…, xn)T- vektörün koordinat sütunuX temeldev, B - ikinci dereceden formun matrisiF(X ) temele görev. Daha sonra ikinci dereceden formF(X )

İkinci dereceden formların azaltılması

İkinci dereceden bir formu kanonik forma indirmenin en basit ve pratikte en sık kullanılan yöntemini ele alalım. Lagrange yöntemi. İkinci dereceden formda tam bir karenin izole edilmesine dayanır.

Teorem 10.1(Lagrange teoremi).Herhangi ikinci dereceden form (10.1):

özel olmayan bir doğrusal dönüşüm (10.4) kullanılarak kanonik forma (10.6) indirgenebilir:

,

□ Teoremin ispatını Lagrange'ın tam kareleri belirleme yöntemini kullanarak yapıcı bir şekilde gerçekleştireceğiz. Görev, doğrusal dönüşümün (10.4) kanonik formun ikinci dereceden bir formunu (10.6) elde etmesini sağlayacak tekil olmayan bir matris bulmaktır. Bu matris, özel tipte sonlu sayıda matrisin çarpımı olarak kademeli olarak elde edilecektir.

Nokta 1 (hazırlık).

1.1. Değişkenler arasından karesel formun karesi ve aynı zamanda birinci kuvveti olan birini seçelim (buna diyelim) öncü değişken). 2. noktaya geçelim.

1.2. İkinci dereceden formda öncü değişken yoksa (tümü için : ), o zaman çarpımı sıfır olmayan katsayılı forma dahil edilen bir değişken çifti seçip 3. adıma geçiyoruz.

1.3. İkinci dereceden formda zıt değişkenlerin çarpımı yoksa, bu ikinci dereceden form zaten kanonik biçimde (10.6) temsil edilmiştir. Teoremin ispatı tamamlandı.

2. Nokta (tam bir kareyi seçmek).

2.1. Baştaki değişkeni kullanarak tam bir kare seçiyoruz. Genelliği kaybetmeden, öncü değişkenin olduğunu varsayalım. içeren terimleri gruplandırarak şunu elde ederiz:

.

Değişkene göre tam kareyi seçme , alıyoruz

.

Böylece tam karenin bir değişkenle yalıtılması sonucunda doğrusal formun karelerinin toplamını elde ederiz.

baş değişkeni ve ikinci dereceden formu içeren baş değişkenin artık dahil olmadığı değişkenlerden. Değişkenlerde değişiklik yapalım (yeni değişkenler tanıtalım)

bir matris elde ederiz

() tekil olmayan doğrusal dönüşüm, bunun sonucunda ikinci dereceden form (10.1) aşağıdaki formu alır

İkinci dereceden form ile 1. maddedekinin aynısını yapalım.

2.1. Baştaki değişken değişken ise, bunu iki şekilde yapabilirsiniz: ya bu değişken için tam bir kare seçin ya da yeniden adlandırma (yeniden numaralandırma) değişkenler:

tekil olmayan bir dönüşüm matrisi ile:

.

3. Nokta (önde gelen değişkenin yaratılması). Seçilen değişken çiftini iki yeni değişkenin toplamı ve farkıyla, kalan eski değişkenleri ise karşılık gelen yeni değişkenlerle değiştiririz. Örneğin paragraf 1'de terim vurgulanmışsa

o zaman karşılık gelen değişken değişikliği şu şekildedir:

ve ikinci dereceden formda (10.1) baş değişken elde edilecektir.

Örneğin değişken değişimi durumunda:

bu tekil olmayan doğrusal dönüşümün matrisi şu şekildedir:

.

Yukarıdaki algoritmanın bir sonucu olarak (1, 2, 3 noktalarının sıralı uygulaması), ikinci dereceden form (10.1), kanonik forma (10.6) indirgenecektir.

İkinci dereceden form üzerinde gerçekleştirilen dönüşümlerin bir sonucu olarak (tam bir karenin seçilmesi, yeniden adlandırılması ve öncü değişkenin oluşturulması), üç türden temel tekil olmayan matrisler kullandığımızı unutmayın (bunlar tabandan tabana geçiş matrisleridir). Formun (10.1) kanonik forma (10.6) sahip olduğu tekil olmayan doğrusal dönüşümün (10.4) gerekli matrisi, üç türden sonlu sayıda temel tekil olmayan matrisin çarpılmasıyla elde edilir. ■

Örnek 10.2.İkinci dereceden form verin

Lagrange yöntemiyle kanonik forma dönüştürülür. Karşılık gelen tekil olmayan doğrusal dönüşümü belirtin. Kontrol gerçekleştirin.

Çözüm. Baş değişkeni (katsayısı) seçelim. içeren terimleri gruplandırıp ondan tam bir kare seçerek şunu elde ederiz:

belirtildiği yerde

Değişkenlerde değişiklik yapalım (yeni değişkenler tanıtalım)

Eski değişkenleri yenileriyle ifade etmek gerekirse:

bir matris elde ederiz