Diferansiyel denklemin özel çözümü. Bağımsız çalışma için ödevler

Eğitim kurumu "Belarus Devleti

Ziraat Akademisi"

Yüksek Matematik Bölümü

BİRİNCİ DERECEDEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Muhasebe öğrencileri için ders notları

yazışmalı eğitim şekli (NISPO)

Gorki, 2013

Birinci dereceden diferansiyel denklemler

Diferansiyel denklem kavramı. Genel ve özel çözümler

Çeşitli olguları incelerken, bağımsız değişken ile istenen fonksiyonu doğrudan birbirine bağlayan bir yasa bulmak çoğu zaman mümkün değildir, ancak istenen fonksiyon ile türevleri arasında bir bağlantı kurmak mümkündür.

Bağımsız değişkeni, istenilen fonksiyonu ve türevlerini birbirine bağlayan ilişkiye denir. diferansiyel denklem :

Burada X– bağımsız değişken, sen– gerekli fonksiyon,
- istenilen fonksiyonun türevleri. Bu durumda bağıntı (1)'in en az bir türevinin olması gerekir.

Diferansiyel denklemin sırası denklemde yer alan en yüksek türevin mertebesine denir.

Diferansiyel denklemi düşünün

. (2)

Bu denklem yalnızca birinci dereceden bir türev içerdiğinden buna denir. birinci dereceden bir diferansiyel denklemdir.

Denklem (2) türeve göre çözülebilir ve şeklinde yazılabilirse

, (3)

bu durumda böyle bir denkleme normal formda birinci dereceden diferansiyel denklem denir.

Çoğu durumda formdaki bir denklemin dikkate alınması tavsiye edilir.

buna denir diferansiyel formda yazılmış birinci dereceden diferansiyel denklem.

Çünkü
ise denklem (3) şu şekilde yazılabilir:
veya
, nerede sayabiliriz
Ve
. Bu, denklem (3)'ün denklem (4)'e dönüştürüldüğü anlamına gelir.

Denklem (4)’ü formda yazalım.
. Daha sonra
,
,
, nerede sayabiliriz
yani (3) formundaki bir denklem elde edilir. Dolayısıyla denklemler (3) ve (4) eşdeğerdir.

Diferansiyel denklem çözme (2) veya (3)'e herhangi bir fonksiyon denir
, denklem (2) veya (3)'te değiştirildiğinde onu bir kimliğe dönüştürür:

veya
.

Bir diferansiyel denklemin tüm çözümlerini bulma sürecine denir entegrasyon ve çözüm grafiği
diferansiyel denklem denir integral eğrisi bu denklem.

Diferansiyel denklemin çözümü örtülü biçimde elde edilirse
, o zaman denir integral bu diferansiyel denklemin

Genel çözüm birinci dereceden bir diferansiyel denklemin bir fonksiyonun ailesidir
keyfi bir sabite bağlı olarak İLE bunların her biri, keyfi bir sabitin kabul edilebilir herhangi bir değeri için belirli bir diferansiyel denklemin çözümüdür İLE. Dolayısıyla diferansiyel denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır.

Özel karar diferansiyel denklem, keyfi bir sabitin belirli bir değeri için genel çözüm formülünden elde edilen bir çözümdür İLE, içermek
.

Cauchy problemi ve geometrik yorumu

Denklemin (2) sonsuz sayıda çözümü vardır. Özel olarak adlandırılan bu setten bir çözüm seçebilmek için bazı ek koşullar belirlemeniz gerekir.

Verilen koşullar altında denklem (2)'ye özel bir çözüm bulma problemine denir. Cauchy sorunu . Bu problem diferansiyel denklemler teorisindeki en önemli problemlerden biridir.

Cauchy problemi şu şekilde formüle edilir: Denklemin (2) tüm çözümleri arasında böyle bir çözüm bulun
, burada fonksiyon
verilen sayısal değeri alır bağımsız değişken ise X verilen sayısal değeri alır yani

,
, (5)

Nerede D– fonksiyonun tanım alanı
.

Anlam isminde fonksiyonun başlangıç değeri , A – bağımsız değişkenin başlangıç değeri . Durum (5) denir başlangıç koşulu veya Cauchy durumu .

Geometrik açıdan bakıldığında, diferansiyel denklem (2) için Cauchy problemi şu şekilde formüle edilebilir: Denklemin (2) integral eğrileri kümesinden, belirli bir noktadan geçeni seçin
.

Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler

Diferansiyel denklemlerin en basit türlerinden biri, istenen fonksiyonu içermeyen birinci dereceden diferansiyel denklemdir:

. (6)

Bunu göz önünde bulundurarak
denklemi formda yazıyoruz
veya
. Son denklemin her iki tarafını da entegre edersek şunu elde ederiz:
veya

. (7)

Dolayısıyla (7), denklem (6)'nın genel bir çözümüdür.

Örnek 1 . Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun
.

Çözüm . Denklemi formda yazalım.
veya
. Ortaya çıkan denklemin her iki tarafını da entegre edelim:
,
. Sonunda yazacağız
.

Örnek 2 . Denklemin çözümünü bulun
buna göre
.

Çözüm . Denklemin genel çözümünü bulalım:
,
,
,
. Koşullara göre
,
. Genel çözümü yerine koyalım:
veya
. Keyfi bir sabitin bulunan değerini genel çözüm formülüne koyarız:
. Bu, diferansiyel denklemin verilen koşulu karşılayan özel bir çözümüdür.

Denklem

(8)

İsminde bağımsız değişken içermeyen birinci dereceden diferansiyel denklem . Bunu formda yazalım.
veya
. Son denklemin her iki tarafını da entegre edelim:
veya
- denklemin (8) genel çözümü.

Örnek . Denklemin genel çözümünü bulun
.

Çözüm . Bu denklemi şu şekilde yazalım:
veya
. Daha sonra
,
,
,
. Böylece,
bu denklemin genel çözümüdür.

Formun denklemi

(9)

değişkenlerin ayrılması kullanılarak bütünleştirilir. Bunu yapmak için denklemi forma yazıyoruz.
ve sonra çarpma ve bölme işlemlerini kullanarak onu öyle bir forma getiriyoruz ki, bir kısmı yalnızca X ve diferansiyel dx ve ikinci bölümde – işlevi en ve diferansiyel ölmek. Bunu yapmak için denklemin her iki tarafının da çarpılması gerekir. dx ve şuna böl:
. Sonuç olarak denklemi elde ederiz

, (10)

değişkenlerin olduğu X Ve en ayrılmış. Denklemin (10) her iki tarafını da entegre edelim:
. Ortaya çıkan ilişki denklem (9)'un genel integralidir.

Örnek 3 . Denklemi Entegre Et
.

Çözüm . Denklemi dönüştürelim ve değişkenleri ayıralım:
,
. İntegral alalım:
,
veya bu denklemin genel integralidir.
.

Denklem formda verilsin

Bu denklem denir Ayrılabilir değişkenli birinci dereceden diferansiyel denklem simetrik bir formda.

Değişkenleri ayırmak için denklemin her iki tarafını da bölmeniz gerekir.
:

. (12)

Ortaya çıkan denklem denir ayrılmış diferansiyel denklem . Denklemin (12) integralini alalım:

.(13)

İlişki (13), diferansiyel denklemin (11) genel integralidir.

Örnek 4 . Bir diferansiyel denklemin integralini alın.

Çözüm . Denklemi formda yazalım.

ve her iki parçayı da şuna bölün:
,
. Ortaya çıkan denklem:
ayrılmış değişkenli bir denklemdir. İntegralleyelim:

,
,

,
. Son eşitlik bu diferansiyel denklemin genel integralidir.

Örnek 5 . Diferansiyel denklemin özel bir çözümünü bulun
, koşulu karşılayan
.

Çözüm . Bunu göz önünde bulundurarak
denklemi formda yazıyoruz
veya
. Değişkenleri ayıralım:
. Bu denklemin integralini alalım:
,
,
. Ortaya çıkan ilişki bu denklemin genel integralidir. Koşullara göre
. Bunu genel integralin yerine koyalım ve bulalım. İLE:
,İLE=1. Daha sonra ifade
verilen bir diferansiyel denklemin kısmi integral olarak yazılan kısmi çözümüdür.

Birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemler

Denklem

(14)

isminde birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklem . Bilinmeyen işlev
ve türevi bu denkleme doğrusal olarak girer ve fonksiyonlar
Ve
sürekli.

Eğer
, o zaman denklem

(15)

isminde doğrusal homojen . Eğer
, o zaman denklem (14) çağrılır doğrusal homojen olmayan .

Denklem (14)'e bir çözüm bulmak için genellikle kullanılır ikame yöntemi (Bernoulli) özü aşağıdaki gibidir.

Denklem (14)'e iki fonksiyonun çarpımı şeklinde bir çözüm arayacağız.

, (16)

Nerede
Ve
- bazı sürekli işlevler. Hadi değiştirelim
ve türev
denklem (14)'e:

İşlev v koşulu sağlayacak şekilde seçim yapacağız
.
Daha sonra

. Bu nedenle, (14) numaralı denklemin çözümünü bulmak için diferansiyel denklem sistemini çözmek gerekir.
,
,
,
,
Sistemin ilk denklemi doğrusal homojen bir denklemdir ve değişkenlerin ayrılması yöntemiyle çözülebilir:
. Bir fonksiyon olarak İLE=1:
homojen denklemin kısmi çözümlerinden birini alabilirsiniz; en
veya
. Sistemin ikinci denkleminde yerine koyalım:
.Daha sonra
.

. Böylece birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemin genel çözümü şu şekildedir: Örnek 6
.

Çözüm . Denklemi çöz
. Daha sonra
. Formdaki denklemin çözümünü arayacağız

veya
. Denklemde yerine koyalım: v. İşlev
. Daha sonra
eşitliği sağlayacak şekilde seçim yapın
,
,
,
,. Denklemde yerine koyalım: v. Bu denklemlerden ilkini değişkenlere ayırma yöntemini kullanarak çözelim:
,
,
,
İkinci denklemde yerine koyalım:
.

. Bu denklemin genel çözümü

Bilginin öz kontrolüne yönelik sorular

Diferansiyel denklem nedir?

Bir diferansiyel denklemin mertebesi nedir?

Hangi diferansiyel denkleme birinci dereceden diferansiyel denklem denir?

Birinci dereceden diferansiyel denklem diferansiyel formda nasıl yazılır?

Diferansiyel denklemin çözümü nedir?

İntegral eğrisi nedir?

Birinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümü nedir?

Diferansiyel denklemin kısmi çözümüne ne denir?

Cauchy problemi birinci dereceden diferansiyel denklem için nasıl formüle edilir?

Cauchy probleminin geometrik yorumu nedir?

Simetrik biçimde ayrılabilir değişkenlere sahip bir diferansiyel denklem nasıl yazılır?

Hangi denkleme birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklem denir?

Birinci dereceden bir doğrusal diferansiyel denklemi çözmek için hangi yöntem kullanılabilir ve bu yöntemin özü nedir?

Bağımsız çalışma için ödevler

Ayrılabilir değişkenlere sahip diferansiyel denklemleri çözün:
A)
;

;
B)
.

Ayrılabilir değişkenlere sahip diferansiyel denklemleri çözün:
A)
;
;

G)
2. Birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemleri çözün:
.

; V) G)

;

Diferansiyel denklem teorisinin temel kavramları

Bilinmeyen x'i bulmamız gereken en basit denklemleri okuldan biliyoruz. Esasen diferansiyel denklemler onlardan sadece biraz farklı - bir değişken yerine X içlerinde bir işlev bulmalısın y(x) bu da denklemi bir kimliğe dönüştürecektir.

D diferansiyel denklemler büyük pratik öneme sahiptir. Bu, etrafımızdaki dünyayla hiçbir ilişkisi olmayan soyut bir matematik değildir. Birçok gerçek doğal süreç diferansiyel denklemler kullanılarak tanımlanır. Örneğin bir ipin titreşimleri, harmonik bir osilatörün hareketi, mekanik problemlerinde diferansiyel denklemler kullanılarak bir cismin hızı ve ivmesi bulunur. Ayrıca DU biyoloji, kimya, ekonomi ve diğer birçok bilim dalında yaygın olarak kullanılmaktadır.

Diferansiyel denklem (DU), y(x) fonksiyonunun türevlerini, fonksiyonun kendisini, bağımsız değişkenleri ve diğer parametreleri çeşitli kombinasyonlarda içeren bir denklemdir.

Diferansiyel denklemlerin pek çok türü vardır: sıradan diferansiyel denklemler, doğrusal ve doğrusal olmayan, homojen ve homojen olmayan, birinci ve daha yüksek mertebeden diferansiyel denklemler, kısmi diferansiyel denklemler vb.

Bir diferansiyel denklemin çözümü, onu özdeşliğe dönüştüren bir fonksiyondur. Uzaktan kumandanın genel ve özel çözümleri bulunmaktadır.

Bir diferansiyel denklemin genel çözümü, denklemi bir kimliğe dönüştüren genel bir çözüm kümesidir. Bir diferansiyel denklemin kısmi çözümü, başlangıçta belirtilen ek koşulları sağlayan bir çözümdür.

Bir diferansiyel denklemin sırası, türevlerinin en yüksek mertebesine göre belirlenir.

Adi diferansiyel denklemler

Adi diferansiyel denklemler bir bağımsız değişken içeren denklemlerdir.

Birinci dereceden en basit adi diferansiyel denklemi ele alalım. Şuna benziyor:

Böyle bir denklem, sağ tarafının basit bir şekilde integrali alınarak çözülebilir.

Bu tür denklemlere örnekler:

Ayrılabilir denklemler

Genel olarak, bu tür bir denklem şuna benzer:

İşte bir örnek:

Böyle bir denklemi çözerken değişkenleri ayırıp forma getirmeniz gerekir:

Bundan sonra geriye her iki parçanın entegre edilmesi ve bir çözüm elde edilmesi kalıyor.

Birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemler

Bu tür denklemler şöyle görünür:

Burada p(x) ve q(x) bağımsız değişkenin bazı fonksiyonlarıdır ve y=y(x) istenen fonksiyondur. İşte böyle bir denklemin bir örneği:

Böyle bir denklemi çözerken, çoğunlukla keyfi bir sabiti değiştirme yöntemini kullanırlar veya istenen fonksiyonu diğer iki fonksiyonun y(x)=u(x)v(x) çarpımı olarak temsil ederler.

Bu tür denklemleri çözmek için belirli bir hazırlık yapılması gerekir ve bunları "bir bakışta" anlamak oldukça zor olacaktır.

Ayrılabilir değişkenlere sahip diferansiyel denklem çözme örneği

Bu yüzden en basit uzaktan kumanda türlerine baktık. Şimdi bunlardan birinin çözümüne bakalım. Bu ayrılabilir değişkenli bir denklem olsun.

Öncelikle türevi daha tanıdık bir biçimde yeniden yazalım:

Daha sonra değişkenleri böleriz, yani denklemin bir kısmında tüm "I'leri", diğer kısmında ise "X'leri" toplarız:

Şimdi her iki parçayı da entegre etmeye devam ediyor:

Bu denklemi entegre edip genel bir çözüm elde ediyoruz:

Elbette diferansiyel denklemleri çözmek bir tür sanattır. Bunun ne tür bir denklem olduğunu anlayabilmeniz ve ayrıca, sadece farklılaştırma ve bütünleştirme yeteneğinden bahsetmek yerine, bir forma veya diğerine yol açmak için onunla hangi dönüşümlerin yapılması gerektiğini görmeyi öğrenmeniz gerekir. DE'yi çözmede başarılı olmak için (her şeyde olduğu gibi) pratik yapmanız gerekir. Ve şu anda diferansiyel denklemlerin nasıl çözüldüğünü anlayacak vaktiniz yoksa veya Cauchy problemi boğazınıza kemik gibi sıkıştıysa veya bilmiyorsanız, yazarlarımızla iletişime geçin. Kısa süre içerisinde size uygun, istediğiniz zaman detaylarını anlayabileceğiniz, hazır ve detaylı bir çözüm sunacağız. Bu arada “Diferansiyel denklemler nasıl çözülür” konulu videoyu izlemenizi öneririz:

I. Adi diferansiyel denklemler

1.1. Temel kavramlar ve tanımlar

Diferansiyel denklem bağımsız bir değişkeni ilişkilendiren bir denklemdir X, gerekli fonksiyon sen ve türevleri veya diferansiyelleri.

Sembolik olarak diferansiyel denklem şu şekilde yazılır:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Gerekli fonksiyon bir bağımsız değişkene bağlıysa, diferansiyel denklem sıradan olarak adlandırılır.

Diferansiyel denklem çözme bu denklemi bir kimliğe dönüştüren fonksiyona denir.

Diferansiyel denklemin sırası bu denklemde yer alan en yüksek türevin mertebesidir

Örnekler.

1. Birinci dereceden bir diferansiyel denklem düşünün

Bu denklemin çözümü y = 5 ln x fonksiyonudur. Aslında ikame sen" denklemde özdeşliği elde ederiz.

Bu da y = 5 ln x– fonksiyonunun bu diferansiyel denklemin bir çözümü olduğu anlamına gelir.

2. İkinci dereceden diferansiyel denklemi düşünün y" - 5y" +6y = 0. Fonksiyon bu denklemin çözümüdür.

Gerçekten mi, .

Bu ifadeleri denklemde yerine koyarsak şunu elde ederiz: , – özdeşlik.

Bu da fonksiyonun bu diferansiyel denklemin çözümü olduğu anlamına gelir.

Diferansiyel denklemlerin integrali diferansiyel denklemlere çözüm bulma sürecidir.

Diferansiyel denklemin genel çözümü formun bir fonksiyonu denir Denklemin sırası kadar bağımsız isteğe bağlı sabit içerir.

Diferansiyel denklemin kısmi çözümü keyfi sabitlerin çeşitli sayısal değerleri için genel bir çözümden elde edilen bir çözümdür. Rasgele sabitlerin değerleri, argümanın ve fonksiyonun belirli başlangıç değerlerinde bulunur.

Bir diferansiyel denklemin belirli bir çözümünün grafiğine denir integral eğrisi.

Örnekler

1. Birinci mertebeden diferansiyel denkleme özel bir çözüm bulun

xdx + ydy = 0, Eğer sen= 4 saat X = 3.

Çözüm. Denklemin her iki tarafını da entegre edersek, şunu elde ederiz:

Yorum. Entegrasyon sonucunda elde edilen keyfi bir sabit C, daha sonraki dönüşümler için uygun herhangi bir biçimde temsil edilebilir. Bu durumda, bir dairenin kanonik denklemi dikkate alındığında, keyfi bir C sabitini formda temsil etmek uygundur.

- diferansiyel denklemin genel çözümü.

Başlangıç koşullarını sağlayan denklemin özel çözümü sen = 4 saat X = 3, genel çözümde başlangıç koşullarının yerine konulmasıyla genelden bulunur: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Genel çözümde C=5 yerine koyarsak şunu elde ederiz: x 2 +y 2 = 5 2 .

Bu, verilen başlangıç koşulları altında genel bir çözümden elde edilen diferansiyel denklemin özel bir çözümüdür.

2. Diferansiyel denklemin genel çözümünü bulun

Bu denklemin çözümü, C'nin keyfi bir sabit olduğu formun herhangi bir fonksiyonudur. Gerçekten de, denklemlerde yerine yerine şunu elde ederiz: , .

Sonuç olarak, bu diferansiyel denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır, çünkü C sabitinin farklı değerleri için eşitlik, denklemin farklı çözümlerini belirler.

Örneğin, doğrudan değiştirme yoluyla işlevlerin doğrulandığını doğrulayabilirsiniz. denklemin çözümleridir.

Denklemin belirli bir çözümünü bulmanız gereken bir problem y" = f(x,y) başlangıç koşulunu karşılayan y(x 0) = y 0 buna Cauchy problemi denir.

Denklemin çözümü y" = f(x,y) başlangıç koşulunu sağlayan, y(x 0) = y 0, Cauchy probleminin çözümü olarak adlandırılıyor.

Cauchy probleminin çözümünün basit bir geometrik anlamı vardır. Aslında bu tanımlara göre Cauchy problemini çözün. y" = f(x,y) buna göre y(x 0) = y 0, denklemin integral eğrisini bulmak anlamına gelir y" = f(x,y) Belirli bir noktadan geçen M 0 (x 0,y 0).

II. Birinci dereceden diferansiyel denklemler

2.1. Temel Kavramlar

Birinci dereceden diferansiyel denklem, formdaki bir denklemdir F(x,y,y") = 0.

Birinci dereceden bir diferansiyel denklem, birinci türevi içerir ve daha yüksek dereceli türevleri içermez.

Denklem y" = f(x,y) türevine göre çözülmüş birinci dereceden denklem denir.

Birinci dereceden bir diferansiyel denklemin genel çözümü, keyfi bir sabit içeren formun bir fonksiyonudur.

Örnek. Birinci dereceden bir diferansiyel denklem düşünün.

Bu denklemin çözümü fonksiyondur.

Aslında, bu denklemi değeriyle değiştirirsek şunu elde ederiz:

yani 3x=3x

Bu nedenle fonksiyon, herhangi bir C sabiti için denklemin genel bir çözümüdür.

Bu denklemin başlangıç koşulunu karşılayan özel bir çözümünü bulun y(1)=1 Başlangıç koşullarının değiştirilmesi x = 1, y =1 Denklemin genel çözümüne nereden ulaşıyoruz? C=0.

Böylece, elde edilen değeri bu denkleme koyarak genel çözümden özel bir çözüm elde ederiz. C=0– özel çözüm.

2.2. Ayrılabilir değişkenli diferansiyel denklemler

Ayrılabilir değişkenlere sahip bir diferansiyel denklem şu şekilde bir denklemdir: y"=f(x)g(y) veya diferansiyeller yoluyla, burada f(x) Ve g(y)– belirtilen işlevler.

Bunlar için sen bunun için denklem y"=f(x)g(y) denklemine eşdeğerdir, burada değişken sen yalnızca sol tarafta bulunur ve x değişkeni yalnızca sağ taraftadır. Şöyle diyorlar: "Denk. y"=f(x)g(y Değişkenleri ayıralım."

Formun denklemi ayrılmış değişken denklemi denir.

Denklemin her iki tarafının integrali İle X, alıyoruz G(y) = F(x) + C denklemin genel çözümüdür, burada G(y) Ve F(x)– sırasıyla fonksiyonların bazı antiderivatifleri ve f(x), C keyfi sabit.

Ayrılabilir değişkenli birinci dereceden diferansiyel denklemi çözme algoritması

Örnek 1

Denklemi çöz y" = xy

Çözüm. Bir fonksiyonun türevi sen"şununla değiştir:

değişkenleri ayıralım

Eşitliğin her iki tarafını da entegre edelim:

Örnek 2

2yy" = 1- 3x 2, Eğer y 0 = 3 en x 0 = 1

Bu ayrılmış değişkenli bir denklemdir. Bunu diferansiyellerde hayal edelim. Bunu yapmak için bu denklemi formda yeniden yazıyoruz. Buradan

Son eşitliğin her iki tarafını da entegre ederek şunu buluruz:

Başlangıç değerlerinin değiştirilmesi x 0 = 1, y 0 = 3 bulacağız İLE 9=1-1+C yani C = 9.

Bu nedenle gerekli kısmi integral şu şekilde olacaktır: veya

Örnek 3

Bir noktadan geçen eğrinin denklemini yazın M(2;-3) ve açısal katsayılı bir teğete sahip olmak

Çözüm. Şarta göre

Bu ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklemdir. Değişkenleri bölerek şunu elde ederiz:

Denklemin her iki tarafını da entegre edersek şunu elde ederiz:

Başlangıç koşullarını kullanarak, x = 2 Ve y = - 3 bulacağız C:

Bu nedenle gerekli denklem şu şekildedir:

2.3. Birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemler

Birinci dereceden doğrusal bir diferansiyel denklem, formun bir denklemidir y" = f(x)y + g(x)

Nerede f(x) Ve g(x)- bazı belirtilen işlevler.

Eğer g(x)=0 o zaman doğrusal diferansiyel denkleme homojen denir ve şu forma sahiptir: y" = f(x)y

Eğer o zaman denklem y" = f(x)y + g(x) heterojen denir.

Doğrusal homojen diferansiyel denklemin genel çözümü y" = f(x)y formülle verilir: nerede İLE– keyfi sabit.

Özellikle eğer C =0, o zaman çözüm y = 0 Doğrusal bir homojen denklem şu şekle sahipse y" = ki Nerede k bir sabit ise genel çözümü şu şekildedir: .

Doğrusal homojen olmayan diferansiyel denklemin genel çözümü y" = f(x)y + g(x) formülle verilir ,

onlar. karşılık gelen doğrusal homojen denklemin genel çözümünün ve bu denklemin özel çözümünün toplamına eşittir.

Formun doğrusal homojen olmayan bir denklemi için y" = kx + b,

Nerede k Ve B- bazı sayılar ve belirli bir çözüm sabit bir fonksiyon olacaktır. Bu nedenle genel çözüm şu şekildedir:

Örnek. Denklemi çöz y" + 2y +3 = 0

Çözüm. Denklemi formda temsil edelim y" = -2y - 3 Nerede k = -2, b= -3 Genel çözüm formülle verilir.

Bu nedenle burada C keyfi bir sabittir.

2.4. Birinci mertebeden doğrusal diferansiyel denklemlerin Bernoulli yöntemiyle çözülmesi

Birinci Mertebeden Lineer Diferansiyel Denklemin Genel Çözümünü Bulma y" = f(x)y + g(x) ikame kullanarak ayrılmış değişkenlere sahip iki diferansiyel denklemin çözülmesine indirgenir y=uv, Nerede sen Ve v- bilinmeyen işlevler X. Bu çözüm yöntemine Bernoulli yöntemi denir.

Birinci dereceden doğrusal diferansiyel denklemi çözmek için algoritma

y" = f(x)y + g(x)

1. Oyuncu değişikliğini girin y=uv.

2. Bu eşitliğin türevini alın y" = u"v + uv"

3. Yedek sen Ve sen" bu denklemde: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) veya u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Denklemin terimlerini öyle gruplandırın ki sen parantezlerin dışına çıkaralım:

5. Parantezden sıfıra eşitleyerek fonksiyonu bulun

Bu ayrılabilir bir denklemdir:

Değişkenleri bölelim ve şunu elde edelim:

Nerede . .

6. Ortaya çıkan değeri değiştirin v denklemin içine (4. adımdan itibaren):

ve fonksiyonu bulun Bu, ayrılabilir değişkenlere sahip bir denklemdir:

7. Genel çözümü aşağıdaki forma yazın: yani .

Örnek 1

Denklemin belirli bir çözümünü bulun y" = -2y +3 = 0 Eğer y=1 en x = 0

Çözüm. Değiştirmeyi kullanarak çözelim y=uv,.y" = u"v + uv"

Değiştirme sen Ve sen" bu denklemde şunu elde ederiz

İkinci ve üçüncü terimleri denklemin sol tarafında gruplandırarak ortak çarpanı çıkarırız sen parantez dışında

Parantez içindeki ifadeyi sıfıra eşitliyoruz ve ortaya çıkan denklemi çözdükten sonra fonksiyonu buluyoruz v = v(x)

Ayrılmış değişkenlere sahip bir denklem elde ederiz. Bu denklemin her iki tarafının integralini alalım: Fonksiyonu bulun v:

Ortaya çıkan değeri yerine koyalım v elde ettiğimiz denklemde:

Bu ayrılmış değişkenli bir denklemdir. Denklemin her iki tarafını da entegre edelim: Fonksiyonu bulalım sen = u(x,c) Genel bir çözüm bulalım: Denklemin başlangıç koşullarını sağlayan özel bir çözümünü bulalım. y = 1 en x = 0:

III. Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler

3.1. Temel kavramlar ve tanımlar

İkinci dereceden diferansiyel denklem, ikinci dereceden daha yüksek olmayan türevleri içeren bir denklemdir. Genel durumda, ikinci dereceden diferansiyel denklem şu şekilde yazılır: F(x,y,y",y") = 0

İkinci dereceden diferansiyel denklemin genel çözümü, iki keyfi sabit içeren formun bir fonksiyonudur. C1 Ve C2.

İkinci dereceden diferansiyel denklemin özel bir çözümü, keyfi sabitlerin belirli değerleri için genel bir çözümden elde edilen bir çözümdür. C1 Ve C2.

3.2. İkinci dereceden doğrusal homojen diferansiyel denklemler sabit katsayılar.

Sabit katsayılı ikinci dereceden doğrusal homojen diferansiyel denklem formun denklemi denir y" + py" +qy = 0, Nerede P Ve Q- sabit değerler.

Sabit katsayılı homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemleri çözmek için algoritma

1. Diferansiyel denklemi şu şekilde yazın: y" + py" +qy = 0.

2. Karakteristik denklemini oluşturun: sen" başından sonuna kadar r2, sen" başından sonuna kadar R, sen 1'de: r 2 + pr +q = 0

İkinci dereceden doğrusal homojen bir denklemi ele alalım; denklem

ve çözümlerinin bazı özelliklerini belirleyin.

Özellik 1
Doğrusal homojen bir denklemin çözümü ise, o zaman C, Nerede C- keyfi bir sabit, aynı denklemin bir çözümüdür.
Kanıt.
Söz konusu denklemin sol tarafında yerine koyma C, şunu elde ederiz: ,
ama, çünkü
orijinal denklemin bir çözümüdür.

Buradan,

ve bu özelliğin geçerliliği kanıtlanmıştır.
Özellik 2
Doğrusal homojen bir denklemin iki çözümünün toplamı aynı denklemin çözümüdür.
Kanıt.
Söz konusu denklemin çözümleri ve çözümleri olsun, o zaman
Ve .
Şimdi söz konusu denklemde + yerine koyarsak:
Kanıtlanmış özelliklerden, ikinci dereceden doğrusal homojen bir denklemin iki özel çözümünü bilerek çözümü elde edebileceğimiz sonucu çıkar. , iki keyfi sabite bağlı olarak, yani. Sabitlerin sayısından ikinci dereceden denklemin genel bir çözüm içermesi gerektiği sonucuna varılır. Ancak bu karar genel mi olacak? Rastgele verilen başlangıç koşullarını keyfi sabitler seçerek karşılamak mümkün müdür?
Bu soruyu cevaplarken aşağıdaki gibi tanımlanabilecek fonksiyonların doğrusal bağımsızlığı kavramını kullanacağız.

İki fonksiyon denir doğrusal bağımsız belirli bir aralıkta, eğer bu aralıktaki oranları sabit değilse; Eğer
.
Aksi takdirde işlevler çağrılır doğrusal bağımlı.
Başka bir deyişle, iki fonksiyonun belirli bir aralığa veya aralığın tamamına doğrusal olarak bağımlı olduğu söylenir.

Örnekler

1. İşlevler ve 1 = e X ve sen 2 = e - X x'in tüm değerleri için doğrusal olarak bağımsızdır, çünkü
.
2. Fonksiyonlar 1 = e X ve sen 2 = 5 e X doğrusal bağımlı, çünkü
.

Teorem 1.

Eğer ve fonksiyonları belli bir aralığa doğrusal olarak bağımlı ise determinant denir. Vronsky'nin determinantı verilen fonksiyonlar bu aralıkta aynı şekilde sıfıra eşittir.

Kanıt.

Eğer
,
nerede , sonra ve .
Buradan,
.
Teorem kanıtlandı.

Yorum.
Ele alınan teoremde görünen Wronski determinantı genellikle harfle gösterilir. K veya semboller .
Eğer fonksiyonlar ikinci dereceden doğrusal homojen bir denklemin çözümleri ise, o zaman aşağıdaki ters ve üstelik daha güçlü teorem onlar için geçerlidir.

Teorem 2.

Çözümler ve ikinci dereceden bir doğrusal homojen denklem için derlenen Wronski determinantı en az bir noktada sıfırsa, bu çözümler doğrusal olarak bağımlıdır.

Kanıt.

Wronski determinantının bu noktada sıfır olmasına izin verin, yani.
=0,
ve izin ver ve .

Doğrusal homojen bir sistem düşünün
nispeten bilinmiyor ve .
Bu sistemin determinantı Wronski determinantının değeriyle örtüşmektedir. x=
yani ile çakışır ve bu nedenle sıfıra eşittir. Bu nedenle sistemin sıfırdan farklı bir çözümü vardır ve ( ve sıfıra eşit değildir). Bu değerleri kullanarak ve fonksiyonunu düşünün. sen=0.
Bu fonksiyon ve fonksiyonlarıyla aynı denklemin çözümüdür. Ayrıca bu fonksiyon sıfır başlangıç koşullarını da karşılar: , çünkü
,
onlar. fonksiyonlardır ve doğrusal olarak bağımlıdır. Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar.

1. Teoremlerde yer alan Wronski determinantı herhangi bir değer için sıfıra eşitse Bu sistemin determinantı Wronski determinantının değeriyle örtüşmektedir., o zaman herhangi bir değer için sıfıra eşittir Xdikkate alınan aralıktan.

2. Eğer çözümler doğrusal olarak bağımsızsa, Wronski determinantı incelenen aralığın hiçbir noktasında kaybolmaz.

3. Wronski determinantı en az bir noktada sıfırdan farklıysa çözümler doğrusal olarak bağımsızdır.

Teorem 3.

Eğer ve, homojen bir ikinci dereceden denklemin doğrusal olarak bağımsız iki çözümüyse, o zaman ve'nin keyfi sabitler olduğu fonksiyon, bu denklemin genel bir çözümüdür.

Kanıt.

Bilindiği gibi fonksiyon, ve'nin herhangi bir değeri için söz konusu denklemin bir çözümüdür.
Şimdi başlangıç koşulları ne olursa olsun bunu kanıtlayalım.
Ve ,
keyfi sabitlerin değerlerini seçmek mümkündür ve böylece karşılık gelen özel çözüm, verilen başlangıç koşullarını karşılar.
.
Başlangıç koşullarını eşitliklerin yerine koyarak bir denklem sistemi elde ederiz

Bu sistemden ve belirlemek mümkündür, çünkü bu sistemin belirleyicisi Bu sistemin determinantı Wronski determinantının değeriyle örtüşmektedir. için bir Wronski determinantı var

; .

ve bu nedenle sıfıra eşit değildir (çözümlerin doğrusal bağımsızlığından dolayı ve ).

Örnekler

Elde edilen değerlere sahip ve verilen başlangıç koşullarını karşılayan özel bir çözüm. Böylece teorem kanıtlanmıştır.

Örnek 1.
Denklemin genel çözümü çözümdür.
.

Gerçekten mi,

Bu nedenle sinx ve cosx fonksiyonları doğrusal olarak bağımsızdır.

Bu, şu işlevlerin ilişkisi dikkate alınarak doğrulanabilir: 1 Örnek 2. X Çözüm y = C 2 Örnek 2. e +C .

- X

denklem geneldir çünkü Örnek 3.
Denklem

, katsayıları ve
.

x = 0 noktasını içermeyen herhangi bir aralıkta süreklidir, kısmi çözümleri kabul eder

(değiştirerek kontrol etmek kolaydır). Bu nedenle genel çözümü şu şekildedir:

Yorum

İkinci dereceden doğrusal homojen bir denklemin genel çözümünün, bu denklemin doğrusal olarak bağımsız herhangi iki kısmi çözümünün bilinmesiyle elde edilebileceğini tespit ettik. Ancak değişken katsayılı denklemler için bu tür kısmi çözümleri son formda bulmanın genel bir yöntemi yoktur. Sabit katsayılı denklemler için böyle bir yöntem mevcuttur ve daha sonra tartışılacaktır.

Belirli integralleri bulurken karşı karşıya kaldığımız görevi hatırlayalım: senşeklinde bir ilişkiyi sağladığı biliniyorsa

Bu ilişki bağımsız değişkenle ilgilidir X, bilinmeyen işlev sen ve mertebeye kadar türevleri N dahil, denir .

Bir diferansiyel denklem, şu veya bu dereceden türevlerin (veya diferansiyellerin) işareti altındaki bir fonksiyonu içerir. En yüksek sıraya sıra denir (9.1) .

Diferansiyel denklemler:

- ilk sipariş,

İkinci derece

- beşinci derece vb.

Belirli bir diferansiyel denklemi sağlayan fonksiyona çözümü denir , veya integral . Bunu çözmek, tüm çözümlerini bulmak anlamına gelir. Gerekli fonksiyon için ise sen tüm çözümleri veren bir formül elde etmeyi başardık, sonra onun genel çözümünü bulduğumuzu söylüyoruz , veya genel integral .

Genel çözüm içerir N keyfi sabitler ve benziyor

ile ilgili bir ilişki elde edilirse x, y Ve N izin verilmeyen bir biçimde keyfi sabitler sen -

bu durumda böyle bir ilişkiye denklem (9.1)'in genel integrali denir.

Cauchy sorunu

Her özel çözüme, yani belirli bir diferansiyel denklemi karşılayan ve keyfi sabitlere bağlı olmayan her özel fonksiyona özel çözüm denir. , veya kısmi bir integral. Genel çözümlerden özel çözümler (integraller) elde etmek için sabitlere belirli sayısal değerler verilmelidir.

Belirli bir çözümün grafiğine integral eğrisi denir. Tüm kısmi çözümleri içeren genel çözüm, bir integral eğri ailesidir. Birinci dereceden bir denklem için bu aile, denklem için keyfi bir sabite bağlıdır. N-inci sipariş - itibaren N keyfi sabitler.

Cauchy problemi denklem için özel bir çözüm bulmaktır. N-th sipariş, tatmin edici N başlangıç koşulları:

bununla n sabiti c 1, c 2,..., cn belirlenir.

1. dereceden diferansiyel denklemler

Türevine göre çözülmemiş 1. dereceden diferansiyel denklem için şu forma sahiptir:

veya nispeten izin verilen için

Örnek 3.46. Denklemin genel çözümünü bulun

Çözüm. Bütünleşerek şunu elde ederiz

burada C keyfi bir sabittir. C'ye belirli sayısal değerler atarsak belirli çözümler elde ederiz, örneğin,

Örnek 3.47. 100 r tahakkuğa tabi olarak bankaya yatırılan para miktarının arttığını düşünün Yıllık bileşik faiz. Başlangıçtaki para miktarı Yo olsun ve sonunda Yx olsun X yıllar. Faiz yılda bir kez hesaplanırsa,

burada x = 0, 1, 2, 3,.... Faiz yılda iki kez hesaplandığında şunu elde ederiz:

burada x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Faiz hesaplanırken N yılda bir kez ve eğer x 0, 1/n, 2/n, 3/n,... sıralı değerlerini alır, ardından

1/n = h'yi belirtin, o zaman önceki eşitlik şöyle görünecektir:

Sınırsız büyütme ile N(saatte ) limitte sürekli faiz tahakkuku ile para miktarını artırma sürecine geliyoruz:

Dolayısıyla sürekli değişimle açıkça görülüyor ki X para arzındaki değişim kanunu 1. dereceden diferansiyel denklem ile ifade edilir. Y x bilinmeyen bir fonksiyon olduğunda, X- bağımsız değişken, R- devamlı. Bu denklemi çözelim, bunun için aşağıdaki gibi yeniden yazalım:

Neresi , veya , burada P, e C'yi belirtir.

Y(0) = Yo başlangıç koşullarından P: Yo = Pe o'yu buluruz, buradan Yo = P olur. Bu nedenle çözüm şu şekildedir:

İkinci ekonomik sorunu ele alalım. Makroekonomik modeller aynı zamanda gelir veya Y çıktısındaki değişiklikleri zamanın fonksiyonu olarak tanımlayan 1. dereceden doğrusal diferansiyel denklemlerle de tanımlanır.

Örnek 3.48. Milli gelir Y'nin değeriyle orantılı bir oranda artmasına izin verin:

ve devlet harcama açığının orantı katsayısı ile gelir Y ile doğru orantılı olmasına izin verin Q. Harcama açığı ulusal borcun artmasına neden olur D:

Başlangıç koşulları Y = Yo ve D = Do t = 0'da. İlk denklemden Y= Yoe kt. Y'yi değiştirerek dD/dt = qYoe kt elde ederiz. Genel çözüm şu şekildedir:
D = (q/ k) Yoe kt +С, burada С = sabit, başlangıç koşullarından belirlenir. Başlangıç koşullarını yerine koyarsak Do = (q/ k)Yo + C elde ederiz. Yani son olarak,

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

bu, ulusal borcun aynı oranda arttığını gösteriyor k Milli gelirle aynı.

En basit diferansiyel denklemleri ele alalım N mertebeden, bunlar formun denklemleridir

Genel çözümü kullanılarak elde edilebilir. N kez entegrasyonlar.

Örnek 3.49. y """ = cos x örneğini düşünün.

Çözüm. Bütünleşerek şunu buluruz

Genel çözüm şu şekildedir:

Doğrusal diferansiyel denklemler

Ekonomide yaygın olarak kullanılırlar; bu tür denklemleri çözmeyi düşünelim. Eğer (9.1) şu şekle sahipse:

o zaman buna doğrusal denir, burada рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) fonksiyonları verilir. f(x) = 0 ise (9.2)'ye homojen, aksi takdirde homojen olmayan denir. Denklemin (9.2) genel çözümü, herhangi bir özel çözümünün toplamına eşittir. y(x) ve buna karşılık gelen homojen denklemin genel çözümü:

Eğer р o (x), р 1 (x),..., р n (x) katsayıları sabitse, o zaman (9.2)

(9.4) sabit mertebe katsayılı doğrusal diferansiyel denklem olarak adlandırılır N .

(9.4) için şu forma sahiptir:

Genelliği kaybetmeden, p o = 1'i ayarlayabilir ve (9.5) formunu şu şekilde yazabiliriz:

k'nin bir sabit olduğu y = e kx formunda bir çözüm (9.6) arayacağız. Sahibiz: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Ortaya çıkan ifadeleri (9.6)'da yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

(9.7) cebirsel bir denklemdir, bilinmeyeni k, karakteristik denir. Karakteristik denklemin derecesi vardır N Ve N aralarında hem çoklu hem de karmaşık olabilen kökler. k 1 , k 2 ,..., k n gerçek ve farklı olsun, o zaman - özel çözümler (9.7) ve genel

Sabit katsayılı doğrusal homojen ikinci dereceden diferansiyel denklemi düşünün:

Karakteristik denklemi şu şekildedir:

(9.9)

diskriminantı D = p 2 - 4q, D'nin işaretine bağlı olarak üç durum mümkündür.

1. Eğer D>0 ise, k 1 ve k 2 (9.9) kökleri gerçel ve farklıdır ve genel çözüm şu şekildedir:

Çözüm. Karakteristik denklem: k 2 + 9 = 0, dolayısıyla k = ± 3i, a = 0, b = 3, genel çözüm şu şekildedir:

y = C 1 çünkü 3x + C 2 sin 3x.

2. dereceden doğrusal diferansiyel denklemler, P fiyatındaki değişim oranının stok büyüklüğüne bağlı olduğu, mal stokları içeren web tipi bir ekonomik model incelenirken kullanılır (bkz. Paragraf 10). Arz ve talep fiyatın doğrusal fonksiyonlarıysa, yani

a, reaksiyon hızını belirleyen bir sabittir, bu durumda fiyat değişimi süreci diferansiyel denklemle tanımlanır: