Vektörlerin vektör çarpımı nedir? Birim vektörler

7.1. Çapraz çarpımın tanımı

Aynı düzlemde olmayan üç a, b ve c vektörleri belirtilen sıraya göre alınırsa, üçüncü vektör c'nin ucundan birinci vektör a'dan ikinci vektör b'ye en kısa dönüş görülüyorsa sağ yönlü bir üçlü oluşturur. saat yönünün tersine olacak ve saat yönünde ise sol üçlü olacak (bkz. Şekil 16).

A vektörü ile b vektörünün çapraz çarpımına c vektörü denir ve bu:

1. a ve b vektörlerine dik, yani c ^ a ve c ^ B ;

2. a ve vektörleri üzerine inşa edilmiş bir paralelkenarın alanına sayısal olarak eşit bir uzunluğa sahiptirB yanlarda olduğu gibi (bkz. Şekil 17), yani.

3. a, b ve c vektörleri sağ yönlü bir üçlü oluşturur.

Çapraz çarpım a x b veya [a,b] ile gösterilir. Vektör çarpımının tanımından doğrudan takip ettiğim birim vektörler arasındaki aşağıdaki ilişkiler, J Ve k(bkz. Şekil 18):

ben x j = k, j x k = ben, k x ben = j.
Örneğin şunu kanıtlayalım: ben xj =k.

1) k ^ ben, k ^ J;

2) |k |=1, fakat | ben xj| = |i | |J | günah(90°)=1;

3) i, j ve vektörleri k sağ üçlü oluşturur (bkz. Şekil 16).

7.2. Çapraz çarpımın özellikleri

1. Faktörleri yeniden düzenlerken vektör çarpımı işaret değiştirir, yani. ve xb =(b xa) (bkz. Şekil 19).

a xb ve b xa vektörleri eşdoğrusaldır, aynı modüllere sahiptir (paralelkenarın alanı değişmeden kalır), ancak zıt yönlüdür (ters yönde a, b, a xb ve a, b, b xa üçlüleri). Yani balta = -(b xa).

2. Vektör çarpımı, skaler faktöre göre birleştirme özelliğine sahiptir, yani. l (a xb) = (la) x b = a x (l b).

l>0 olsun. Vektör l(a xb), a ve b vektörlerine diktir. vektör ( ben a)x B aynı zamanda a ve vektörlerine de diktir B(vektörler a, ben ancak aynı düzlemde yer alır). Bu, vektörlerin ben(bir xb) ve ( ben a)x B doğrusal. Yönlerinin örtüştüğü açıktır. Aynı uzunluğa sahipler:

Bu yüzden ben(birxb)= ben bir xb. Benzer şekilde kanıtlanmıştır ben<0.

3. Sıfır olmayan iki vektör a ve B ancak ve ancak vektör çarpımları sıfır vektörüne eşitse eşdoğrusaldırlar, yani a ||b<=>ve xb =0.

Özellikle, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektör çarpımı dağıtım özelliğine sahiptir:

(a+b) xc = a xc + B xs.

Kanıt olmadan kabul edeceğiz.

7.3. Çapraz çarpımı koordinat cinsinden ifade etme

i vektörlerinin çapraz çarpım tablosunu kullanacağız, J ve k:

birinci vektörden ikinciye olan en kısa yolun yönü okun yönü ile çakışıyorsa, çarpım üçüncü vektöre eşittir; çakışmıyorsa üçüncü vektör eksi işaretiyle alınır.

İki vektör a =a x i +a y verilsin J+az k ve b =bx Ben+b y J+bz k. Bu vektörlerin vektör çarpımını polinomlarla çarparak (vektör çarpımının özelliklerine göre) bulalım:

Ortaya çıkan formül daha da kısaca yazılabilir:

Eşitliğin (7.1) sağ tarafı, üçüncü dereceden determinantın birinci satırın elemanları açısından genişletilmesine karşılık geldiğinden, eşitliğin (7.2) hatırlanması kolaydır.

7.4. Çapraz çarpımın bazı uygulamaları

Vektörlerin eşdoğrusallığının kurulması

Paralelkenarın ve üçgenin alanını bulma

Vektörlerin vektör çarpımının tanımına göre A ve B |bir xb | =|bir | * |b |sin g, yani S çiftleri = |a x b |. Ve dolayısıyla DS =1/2|a x b |.

Bir noktaya göre kuvvet momentinin belirlenmesi

A noktasına bir kuvvet uygulansın F =AB bırak gitsin HAKKINDA- uzayda bir nokta (bkz. Şekil 20).

Fizikten biliniyor ki kuvvet anı F noktaya göre HAKKINDA vektör denir M, hangi noktadan geçer HAKKINDA Ve:

1) noktalardan geçen düzleme dik O, A, B;

2) sayısal olarak kol başına kuvvetin çarpımına eşittir

3) OA ve A B vektörleriyle bir dik üçlü oluşturur.

Bu nedenle M = OA x F.

Doğrusal dönüş hızını bulma

Hız v Açısal hızla dönen katı bir cismin M noktası w sabit bir eksen etrafında, Euler formülü ile belirlenir v =w xr, burada r =OM, burada O eksenin sabit bir noktasıdır (bkz. Şekil 21).

Tanım. a vektörünün (çarpılan) ve doğrusal olmayan bir vektörün (çarpılan) vektör çarpımı, aşağıdaki gibi oluşturulan üçüncü vektör c'dir (çarpım):

1) modülü sayısal olarak Şekil 2'deki paralelkenarın alanına eşittir. 155), vektörler üzerine inşa edilmiştir, yani bahsedilen paralelkenarın düzlemine dik yöne eşittir;

3) bu durumda, c vektörünün yönü (olası iki seçenek arasından), c vektörleri sağ yönlü bir sistem oluşturacak şekilde seçilir (§ 110).

Tanım: veya

Tanıma ek. Vektörler eşdoğrusal ise, şeklin (şartlı olarak) bir paralelkenar olduğu düşünüldüğünde, sıfır alan atamak doğaldır. Bu nedenle eşdoğrusal vektörlerin vektör çarpımının boş vektöre eşit olduğu kabul edilir.

Boş vektöre herhangi bir yön atanabileceği için bu anlaşma tanımın 2. ve 3. paragraflarıyla çelişmez.

Açıklama 1. "Vektör çarpımı" terimindeki ilk kelime, eylem sonucunun bir vektör olduğunu belirtir (skaler çarpımın aksine; bkz. § 104, açıklama 1).

Örnek 1. Doğru koordinat sisteminin ana vektörlerinin olduğu vektör çarpımını bulun (Şekil 156).

1. Ana vektörlerin uzunlukları bir ölçek birimine eşit olduğundan paralelkenarın (kare) alanı sayısal olarak bire eşittir. Bu, vektör çarpımının modülünün bire eşit olduğu anlamına gelir.

2. Düzleme dik olan eksen bir eksen olduğundan, istenen vektör çarpımı k vektörüne eşdoğrusal bir vektördür; ve her ikisinin de modülü 1 olduğundan, istenen vektör çarpımı ya k'ya ya da -k'ye eşittir.

3. Bu iki olası vektörden ilki seçilmelidir, çünkü k vektörleri sağ yönlü bir sistem oluşturur (ve vektörler sol yönlü bir sistem oluşturur).

Örnek 2. Çapraz çarpımı bulun

Çözüm. Örnek 1'de olduğu gibi, vektörün k ya da -k'ye eşit olduğu sonucuna varıyoruz. Ancak şimdi -k'yi seçmemiz gerekiyor çünkü vektörler sağ yönlü bir sistem oluşturuyor (ve vektörler sol yönlü bir sistem oluşturuyor). Bu yüzden,

Örnek 3. Vektörlerin uzunlukları sırasıyla 80 ve 50 cm'dir ve 30°'lik bir açı oluştururlar. Uzunluk birimi olarak metreyi alarak vektör çarpımının uzunluğunu bulun.

Çözüm. Vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanı eşittir İstenilen vektör ürününün uzunluğu eşittir

Örnek 4. Aynı vektörlerin vektör çarpımının uzunluğunu uzunluk birimi olarak santimetre alarak bulun.

Çözüm. Vektörler üzerine oluşturulan paralelkenarın alanı eşit olduğundan vektör çarpımının uzunluğu 2000 cm'ye eşittir, yani.

Örnek 3 ve 4'ün karşılaştırılmasından, vektörün uzunluğunun sadece faktörlerin uzunluklarına değil aynı zamanda uzunluk birimi seçimine de bağlı olduğu açıktır.

Bir vektör çarpımının fiziksel anlamı. Vektör çarpımı tarafından temsil edilen çok sayıda fiziksel nicelikten yalnızca kuvvet momentini dikkate alacağız.

A, kuvvetin uygulama noktası olsun. O noktasına göre kuvvet momentine vektör çarpımı denir. Bu vektör çarpımının modülü sayısal olarak paralelkenarın alanına eşit olduğundan (Şekil 157), o zaman Momentin modülü taban ve yüksekliğin çarpımına, yani kuvvetin O noktasından kuvvetin etkidiği düz çizgiye olan mesafeyle çarpımına eşittir.

Mekanikte, katı bir cismin dengede olabilmesi için, cisme uygulanan kuvvetleri temsil eden vektörlerin toplamının yanı sıra kuvvetlerin momentlerinin toplamının da sıfıra eşit olması gerektiği kanıtlanmıştır. Tüm kuvvetlerin bir düzleme paralel olması durumunda, momentleri temsil eden vektörlerin toplamı, bunların büyüklüklerinin toplanması ve çıkarılmasıyla değiştirilebilir. Ancak kuvvetlerin keyfi yönleriyle böyle bir yer değiştirme imkansızdır. Buna göre vektör çarpımı bir sayı olarak değil, tam olarak bir vektör olarak tanımlanır.

Vektör çarpımı kavramını vermeden önce, üç boyutlu uzayda sıralı bir a →, b →, c → vektör üçlüsünün yönelimi sorununa dönelim.

Başlangıç ​​olarak, bir noktadan itibaren a → , b → , c → vektörlerini bir kenara bırakalım. a → , b → , c → üçlüsünün yönelimi, c → vektörünün yönüne bağlı olarak sağa veya sola olabilir. a → , b → , c → üçlüsünün türü, a → vektöründen b → c → vektörünün ucundan itibaren en kısa dönüşün yapıldığı yönden belirlenecektir.

En kısa dönüş saat yönünün tersine yapılırsa, a → , b → , c → vektörlerinin üçlüsü denir Sağ, saat yönünde ise – sol.

Daha sonra, doğrusal olmayan iki a → ve b → vektörünü alın. Daha sonra A noktasından A B → = a → ve A C → = b → vektörlerini çizelim. Hem A B → hem de A C →'ye aynı anda dik olan bir AD → = c → vektörü oluşturalım. Böylece, AD → = c → vektörünün kendisini oluştururken, ona bir yön veya ters yön vererek iki şey yapabiliriz (resme bakın).

a → , b → , c → vektörlerinin sıralı üçlüsü, öğrendiğimiz gibi, vektörün yönüne bağlı olarak sağ veya sol olabilir.

Yukarıdakilerden bir vektör çarpımının tanımını tanıtabiliriz. Bu tanım, üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan iki vektör için verilmiştir.

Tanım 1

İki vektör a → ve b →'nin vektör çarpımı üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan böyle bir vektöre şöyle diyeceğiz:

• a → ve b → vektörleri doğrusalsa sıfır olacaktır;
• hem a vektörüne hem de b vektörüne dik olacaktır, yani. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• uzunluğu şu formülle belirlenir: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → vektörlerinin üçlüsü verilen koordinat sistemiyle aynı yönelime sahiptir.

a → ve b → vektörlerinin çapraz çarpımı aşağıdaki gösterime sahiptir: a → × b → .

Vektör çarpımının koordinatları

Herhangi bir vektörün koordinat sisteminde belirli koordinatları olduğundan, vektör çarpımının ikinci bir tanımını sunabiliriz; bu, vektörlerin verilen koordinatlarını kullanarak koordinatlarını bulmamızı sağlayacaktır.

Tanım 2

Üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sisteminde a → = (a x ; a y ; a z) ve b → = (b x ; b y ; b z) iki vektörünün vektör çarpımı bir vektör olarak adlandırılır c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , burada i → , j → , k → koordinat vektörleridir.

Vektör çarpımı üçüncü dereceden bir kare matrisin determinantı olarak temsil edilebilir; burada ilk satır i → , j → , k → vektör vektörlerini içerir, ikinci satır a → vektörünün koordinatlarını içerir ve üçüncü satır belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde b → vektörünün koordinatlarını içerir, bu matrisin determinantı şu şekilde görünür: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Bu determinantı ilk satırın elemanlarına genişleterek eşitliği elde ederiz: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · ben → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) ben → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Çapraz çarpımın özellikleri

Koordinatlardaki vektör çarpımının c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z matrisinin determinantı olarak temsil edildiği bilinmektedir. matris determinantının özellikleri aşağıdakiler görüntülenir bir vektör ürününün özellikleri:

1. antideğişme a → × b → = - b → × a → ;
2. dağılım a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → veya a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + bir → × b (2) → ;
3. ilişkilendirilebilirlik λ a → × b → = λ a → × b → veya a → × (λ b →) = λ a → × b →, burada λ isteğe bağlı bir gerçek sayıdır.

Bu özelliklerin basit kanıtları vardır.

Örnek olarak, bir vektör çarpımının anti-değişme özelliğini kanıtlayabiliriz.

Antideğişmenin kanıtı

Tanım gereği, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ve b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. Ve eğer matrisin iki satırı değiştirilirse, matrisin determinantının değeri ters yönde değişmelidir, bu nedenle, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , bu da vektör çarpımının ters-değişmeli olduğunu kanıtlar.

Vektör çarpımı - örnekler ve çözümler

Çoğu durumda üç tür sorun vardır.

Birinci tür problemlerde genellikle iki vektörün uzunlukları ve aralarındaki açı verilir ve vektör çarpımının uzunluğunu bulmanız gerekir. Bu durumda aşağıdaki formülü kullanın c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

örnek 1

a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4'ü biliyorsanız, a → ve b → vektörlerinin vektör çarpımının uzunluğunu bulun.

Çözüm

a → ve b → vektörlerinin vektör çarpımının uzunluğunu belirleyerek bu sorunu çözeriz: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2.

Cevap: 15 2 2 .

İkinci tip problemlerin vektörlerin koordinatları, vektör çarpımı, uzunluğu vb. ile bağlantısı vardır. Verilen vektörlerin bilinen koordinatları üzerinden arama yapılır bir → = (a x; a y; a z) Ve b → = (b x ; b y ; b z) .

Bu tür bir problem için birçok görev çeşidini çözebilirsiniz. Örneğin, a → ve b → vektörlerinin koordinatları belirtilemez, ancak bunların formun koordinat vektörlerine açılımları belirtilebilir. b → = b x · ben → + b y · j → + b z · k → ve c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → veya a → ve b → vektörleri başlangıç ​​koordinatlarıyla belirtilebilir ve bitiş noktaları.

Aşağıdaki örnekleri göz önünde bulundurun.

Örnek 2

Dikdörtgen koordinat sisteminde iki vektör verilir: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Çapraz çarpımlarını bulun.

Çözüm

İkinci tanıma göre, verilen koordinatlardaki iki vektörün vektör çarpımını buluruz: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · ben → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 ben → - 2 j → - 2 k → .

Vektör çarpımını matrisin determinantı üzerinden yazarsak, bu örneğin çözümü şu şekilde görünür: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 ben → - 2 j → - 2 k → .

Cevap: a → × b → = - 2 ben → - 2 j → - 2 k → .

Örnek 3

i → - j → ve i → + j → + k → vektörlerinin vektör çarpımının uzunluğunu bulun; burada i →, j →, k → dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin birim vektörleridir.

Çözüm

Öncelikle, belirli bir dikdörtgen koordinat sisteminde belirli bir i → - j → × i → + j → + k → vektör çarpımının koordinatlarını bulalım.

i → - j → ve i → + j → + k → vektörlerinin sırasıyla (1; - 1; 0) ve (1; 1; 1) koordinatlarına sahip olduğu bilinmektedir. Matrisin determinantını kullanarak vektör çarpımının uzunluğunu bulalım, o zaman i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Bu nedenle, i → - j → × i → + j → + k → vektör çarpımı verilen koordinat sisteminde (- 1 ; - 1 ; 2) koordinatlara sahiptir.

Vektör çarpımının uzunluğunu şu formülü kullanarak buluruz (bir vektörün uzunluğunu bulma bölümüne bakın): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Cevap: ben → - j → × ben → + j → + k → = 6 . .

Örnek 4

Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) üç noktasının koordinatları verilmektedir. A B → ve A C →'ye aynı anda dik olan bir vektör bulun.

Çözüm

A B → ve A C → vektörleri sırasıyla (- 1 ; 2 ; 2) ve (0 ; 4 ; 1) koordinatlarına sahiptir. A B → ve AC → vektörlerinin vektör çarpımını bulduktan sonra, bunun tanımı gereği hem A B → hem de AC →'ye dik bir vektör olduğu, yani sorunumuza bir çözüm olduğu açıktır. Bunu bulalım A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Cevap: - 6 ben → + j → - 4 k → . - dik vektörlerden biri.

Üçüncü tip problemler, vektörlerin vektör çarpımının özelliklerinin kullanılmasına odaklanmıştır. Bunu uyguladıktan sonra verilen soruna bir çözüm elde edeceğiz.

Örnek 5

a → ve b → vektörleri diktir ve uzunlukları sırasıyla 3 ve 4'tür. 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → vektör çarpımının uzunluğunu bulun + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Çözüm

Bir vektör çarpımının dağılma özelliği ile 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 yazabiliriz. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

İlişkilendirilebilirlik özelliğiyle, son ifadedeki vektör çarpımlarının işaretinden sayısal katsayıları alıyoruz: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

a → × a → ve b → × b → vektör çarpımları 0'a eşittir, çünkü a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 ve b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, sonra 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Vektör çarpımının antideğişme özelliğinden şu sonuç çıkar: - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Vektör çarpımının özelliklerini kullanarak 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → eşitliğini elde ederiz.

Koşul gereği, a → ve b → vektörleri diktir, yani aralarındaki açı π 2'ye eşittir. Şimdi geriye kalan tek şey, bulunan değerleri uygun formüllerde değiştirmektir: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · günah (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · günah π 2 = 60 .

Cevap: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Tanım gereği vektörlerin vektör çarpımının uzunluğu şuna eşittir: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Zaten bilindiği için (okul kursundan), bir üçgenin alanının, iki kenarının uzunluğunun çarpımının yarısına, bu kenarlar arasındaki açının sinüsüne eşit olduğu bilinmektedir. Sonuç olarak, vektör ürününün uzunluğu paralelkenarın alanına eşittir - çift üçgen, yani kenarların a → ve b → vektörleri biçimindeki çarpımı, bir noktadan sinüs ile ortaya konur. aralarındaki açı sin ∠ a →, b →.

Bu vektör çarpımının geometrik anlamıdır.

Vektör çarpımının fiziksel anlamı

Fiziğin dallarından biri olan mekanikte vektör çarpımı sayesinde bir kuvvetin uzaydaki bir noktaya göre momenti belirlenebilmektedir.

Tanım 3

A noktasına göre B noktasına F → kuvveti uygulandığında, aşağıdaki A B → × F → vektör çarpımını anlayacağız.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Tanım (x 1 , x 2 , ... , x n) n adet gerçek sayının sıralı bir koleksiyonuna denir n boyutlu vektör, ve sayılar x i (i = ) - bileşenler, veya koordinatlar,

Örnek. Örneğin, belirli bir otomobil fabrikasının vardiya başına 50 araba, 100 kamyon, 10 otobüs, otomobiller için 50 takım ve kamyon ve otobüsler için 150 takım yedek parça üretmesi gerekiyorsa, bu fabrikanın üretim programı bir vektör olarak yazılabilir. (50, 100, 10, 50, 150), beş bileşene sahiptir.

Gösterim. Vektörler kalın küçük harflerle veya üstte bir çubuk veya ok bulunan harflerle gösterilir; A veya. İki vektör denir eşit, eğer aynı sayıda bileşene sahiplerse ve bunlara karşılık gelen bileşenler eşitse.

Vektör bileşenleri değiştirilemez, örneğin (3, 2, 5, 0, 1) ve (2, 3, 5, 0, 1) farklı vektörler.
Vektörler üzerinde işlemler.İş X= (x 1 , x 2 , ... ,x n) gerçek sayıya göreλ vektör denirλ X= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

MiktarX= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ve sen= (y 1 , y 2 , ... ,y n)'ye vektör denir x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Vektör Uzayı. N -boyutlu vektör uzayı R n, gerçek sayılarla çarpma ve toplama işlemlerinin tanımlandığı tüm n boyutlu vektörlerin kümesi olarak tanımlanır.

Ekonomik illüstrasyon. N boyutlu vektör uzayının ekonomik gösterimi: mal alanı (mal). Altında mal belli bir zamanda, belli bir yerde satışa sunulan bir mal veya hizmeti anlayacağız. Varsayalım ki, n adet mevcut mal var; Tüketici tarafından satın alınan her birinin miktarı bir dizi malla karakterize edilir

X= (x 1 , x 2 , ..., x n),

burada x i, tüketici tarafından satın alınan i. malın miktarını belirtir. Tüm malların keyfi bölünebilme özelliğine sahip olduğunu, böylece her birinden negatif olmayan herhangi bir miktarın satın alınabileceğini varsayacağız. O zaman mümkün olan tüm mal kümeleri C = ( mal uzayının vektörleridir. X= (x 1 , x 2 , ... , x n) x ben ≥ 0, ben = ).

Doğrusal bağımsızlık. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m n boyutlu vektörlere denir doğrusal bağımlı eğer böyle sayılar varsaλ 1 , λ 2 , ... , λ m en az biri sıfır olmayan bir eşitlik olacak şekildeλ1 e 1 + λ2 e 2 +... + λ m e m = 0; aksi takdirde bu vektörler sistemine denir Doğrusal bağımsız yani belirtilen eşitlik ancak tümünün olması durumunda mümkündür. . Vektörlerin doğrusal bağımlılığının geometrik anlamı RŞekil 3'te yönlendirilmiş bölümler olarak yorumlanarak aşağıdaki teoremleri açıklayınız.

Teorem 1. Bir vektörden oluşan bir sistem, ancak ve ancak bu vektörün sıfır olması durumunda doğrusal olarak bağımlıdır.

Teorem 2. İki vektörün doğrusal bağımlı olabilmesi için eşdoğrusal (paralel) olmaları gerekli ve yeterlidir.

Teorem 3 . Üç vektörün doğrusal olarak bağımlı olabilmesi için eş düzlemli olmaları (aynı düzlemde yer almaları) gerekli ve yeterlidir.

Vektörlerin sol ve sağ üçlüleri. Eş düzlemli olmayan vektörlerin üçlüsü a, b, c isminde Sağ, eğer ortak kökenden gelen gözlemci vektörlerin uçlarını atlarsa a, b, c verilen sıraya göre saat yönünde gerçekleştiği görülmektedir. Aksi takdirde a, b, c -üç kaldı. Vektörlerin tüm sağ (veya sol) üçlülerine denir aynısı odaklı.

Temel ve koordinatlar. Troyka e 1, e 2 , e 3 eş düzlemli olmayan vektör R 3 denir temel ve vektörlerin kendisi e 1, e 2 , e 3 - temel. Herhangi bir vektör A temel vektörlere benzersiz bir şekilde genişletilebilir, yani formda temsil edilebilir

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

(1.1) açılımındaki x 1 , x 2 , x 3 sayılarına denir koordinatlarA temelde e 1, e 2 , e 3 ve belirlenmiş A(x1,x2,x3).

Ortonormal temel. Eğer vektörler e 1, e 2 , e 3 çift birbirine diktir ve her birinin uzunluğu bire eşittir, bu durumda taban denir ortonormal ve koordinatlar x 1 , x 2 , x 3 - dikdörtgen. Bir ortonormal bazın temel vektörleri şu şekilde gösterilecektir: ben, j, k.

Uzayda olduğunu varsayacağız R 3 Kartezyen dikdörtgen koordinatların doğru sistemi seçilir (0, ben, j, k}.

Vektör çizimi. vektör çizimleri A vektöre B vektör denir C aşağıdaki üç koşulla belirlenir:

1. Vektör uzunluğu C vektörler üzerine kurulu bir paralelkenarın alanına sayısal olarak eşittir A Ve B, yani.
C= |a||b| günah ( A^B).

2. Vektör C vektörlerin her birine dik A Ve B.

3. Vektörler A, B Ve C belirtilen sırayla alındığında sağ üçlü oluşturur.

Çapraz çarpım için C atama tanıtıldı c =[ab] veya
c = bir × B.

Eğer vektörler A Ve B eşdoğrusal ise günah( a^b) = 0 ve [ ab] = 0, özellikle, [ aa] = 0. Birim vektörlerin vektör çarpımları: [ ben]=k, [jk] = Ben, [ki]=J.

Eğer vektörler A Ve B esasında belirtilen ben, j, k koordinatlar A(bir 1, bir 2, bir 3), B(b 1, b 2, b 3), o zaman

Karışık çalışma. İki vektörün vektör çarpımı ise A Ve Büçüncü vektörle skaler olarak çarpılır C, o zaman üç vektörün böyle bir çarpımına denir karma çalışma ve sembolüyle gösterilir A M.Ö.

Eğer vektörler a, b Ve C temelde ben, j, k koordinatları tarafından verilir
A(bir 1, bir 2, bir 3), B(b 1, b 2, b 3), C(c 1, c 2, c 3), o zaman

.

Karışık ürünün basit bir geometrik yorumu vardır - bu, verilen üç vektör üzerine inşa edilmiş bir paralelyüzün hacmine mutlak değerde eşit olan bir skalerdir.

Vektörler bir dik üçlü oluşturuyorsa, bunların karışık çarpımı belirtilen hacme eşit pozitif bir sayıdır; eğer üç ise a, b, c - sola, sonra a b c<0 и V = - a b c, dolayısıyla V =|a b c|.

Birinci bölümdeki problemlerde karşılaşılan vektörlerin koordinatlarının dik ortonormal tabana göre verildiği varsayılmaktadır. Birim vektör vektörle eş yönlü A, sembolüyle gösterilir AÖ. Sembol R=OM M noktasının yarıçap vektörüyle gösterilir, semboller a, AB veya|bir|, | AB|vektörlerin modülleri gösterilir A Ve AB.

Örnek 1.2. Vektörler arasındaki açıyı bulun A= 2M+4N Ve B= m-n, Nerede M Ve N- birim vektörler ve aralarındaki açı M Ve N 120 o'ya eşit.

Çözüm. Elimizde: çünkü φ = ab/ab ab =(2M+4N) (m-n) = 2M 2 - 4N 2 +2milyon=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; bir = ; A 2 = (2M+4N) (2M+4N) =
= 4M 2 +16milyon+16N 2 = 4+16(-0,5)+16=12, bu da a = anlamına gelir. b = ; B 2 =
= (m-n)(m-n) = M 2 -2milyon+N 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, yani b = . Sonunda elimizde: çünküφ = = -1/2, φ = 120o.

Örnek 1.3.Vektörleri bilmek AB(-3,-2.6) ve M.Ö.(-2,4,4), ABC üçgeninin AD yüksekliğinin uzunluğunu hesaplayın.

Çözüm. ABC üçgeninin alanını S ile göstererek şunu elde ederiz:
S = MÖ 1/2 MS. Daha sonra AD=2S/MÖ, M.Ö= = = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, yani vektör AC. koordinatları var
. .

Örnek 1.4 . İki vektör verilmiştir A(11,10,2) ve B(4,0,3). Birim vektörü bulun C, vektörlere dik A Ve B ve vektörlerin sıralı üçlüsü olacak şekilde yönlendirildi a, b, c haklıydı.

Çözüm.Vektörün koordinatlarını gösterelim C x, y, z cinsinden belirli bir dik ortonormal tabana göre.

Çünkü C ⊥ AC ⊥B, O CA= 0,cb= 0. Problemin koşullarına göre c = 1 olması gerekmektedir ve a b c >0.

x,y,z'yi bulmak için bir denklem sistemimiz var: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Sistemin birinci ve ikinci denklemlerinden z = -4/3 x, y = -5/6 x elde ediyoruz. Üçüncü denklemde y ve z'yi yerine koyarsak: x 2 = 36/125 elde ederiz, dolayısıyla
x =± . Durumu kullanma a b c > 0, eşitsizliği elde ederiz

Z ve y ifadelerini dikkate alarak ortaya çıkan eşitsizliği şu şekilde yeniden yazıyoruz: 625/6 x > 0, bu da x>0 anlamına gelir. Yani x = , y = - , z =- .

Birim vektör- Bu vektör Mutlak değeri (modülü) birliğe eşit olan. Bir birim vektörü belirtmek için e alt simgesini kullanacağız. Yani eğer bir vektör veriliyorsa. A, o zaman birim vektörü vektör olacaktır A e. Bu birim vektör, vektörün kendisiyle aynı yöndedir. A ve modülü bire eşittir, yani a e = 1.

Açıkça, A= bir A e (bir - vektör modülü A). Bu, bir skaleri bir vektörle çarpma işleminin gerçekleştirildiği kuraldan kaynaklanır.

Birim vektörler genellikle bir koordinat sisteminin koordinat eksenleriyle ilişkilendirilir (özellikle Kartezyen koordinat sisteminin eksenleriyle). Bunların yönleri vektörler karşılık gelen eksenlerin yönleriyle çakışır ve kökenleri genellikle koordinat sisteminin kökeni ile birleştirilir.

Sana şunu hatırlatmama izin ver Kartezyen koordinat sistemi uzayda, geleneksel olarak koordinatların kökeni adı verilen bir noktada kesişen karşılıklı dik eksenlerden oluşan üçlüye denir. Koordinat eksenleri genellikle X, Y, Z harfleriyle gösterilir ve sırasıyla apsis ekseni, ordinat ekseni ve uygulama ekseni olarak adlandırılır. Descartes'ın kendisi, üzerine apsislerin çizildiği yalnızca bir eksen kullandı. Kullanım değeri sistemler baltalar öğrencilerine aittir. Bu nedenle ifade Kartezyen koordinat sistemi tarihsel olarak yanlış. Konuşmak daha iyi dikdörtgen koordinat sistemi veya ortogonal koordinat sistemi. Ancak gelenekleri değiştirmeyeceğiz ve gelecekte Kartezyen ve dikdörtgen (dik) koordinat sistemlerinin bir ve aynı olduğunu varsayacağız.

Birim vektör X ekseni boyunca yönlendirilen , gösterilir Ben, birim vektör Y ekseni boyunca yönlendirilmiş olarak gösterilir J, A birim vektör Z ekseni boyunca yönlendirilmiş olarak gösterilir k. Vektörler Ben, J, k arandı ort(Şekil 12, sol), tek modülleri var, yani
ben = 1, j = 1, k = 1.

Eksenler ve birim vektörleri dikdörtgen koordinat sistemi bazı durumlarda farklı adları ve tanımları vardır. Böylece, apsis ekseni X'e teğet eksen adı verilebilir ve birim vektörü gösterilir. τ (Yunanca küçük harf tau), ordinat ekseni normal eksendir, birim vektörü gösterilir N, uygulama ekseni binormal eksendir, birim vektörü gösterilir B. Öz aynı kalırsa neden isimleri değiştirelim?

Gerçek şu ki, örneğin mekanikte cisimlerin hareketini incelerken dikdörtgen koordinat sistemi çok sık kullanılıyor. Dolayısıyla, koordinat sisteminin kendisi sabitse ve hareketli bir nesnenin koordinatlarındaki değişiklik bu sabit sistemde takip ediliyorsa, o zaman genellikle eksenler X, Y, Z olarak gösterilir ve bunların eksenleri birim vektörleri sırasıyla Ben, J, k.

Ancak çoğu zaman, bir nesne bir tür eğrisel yol boyunca (örneğin bir daire içinde) hareket ettiğinde, bu nesneyle birlikte hareket eden koordinat sistemindeki mekanik süreçleri dikkate almak daha uygundur. Böyle hareketli bir koordinat sistemi için diğer eksen adları ve bunların birim vektörleri kullanılır. Sadece o yol var. Bu durumda X ekseni bu nesnenin halihazırda bulunduğu noktadaki yörüngeye teğetsel olarak yönlendirilir. Ve sonra bu eksene artık X ekseni değil, teğet eksen adı veriliyor ve birim vektörü artık belirlenmiyor Ben, A τ . Y ekseni yörüngenin eğrilik yarıçapı boyunca yönlendirilir (bir daire içinde hareket durumunda - dairenin merkezine). Yarıçap teğete dik olduğundan, eksene normal eksen denir (dik ve normal aynı şeydir). Bu eksenin birim vektörü artık gösterilmiyor J, A N. Üçüncü eksen (eski adıyla Z) önceki ikisine diktir. Bu orthlu bir iki normal B(Şekil 12, sağ). Bu arada, bu durumda böyle dikdörtgen koordinat sistemi genellikle "doğal" veya doğal olarak anılır.