Rasyonel sayılar. Sonsuz periyodik olmayan kesirler

) pozitif veya negatif işaretli (tamsayılar ve kesirler) ve sıfır olan sayılardır. Rasyonel sayılara ilişkin daha kesin bir kavram şu şekildedir:

Rasyonel sayı- ortak kesir olarak temsil edilen bir sayı a/n, payın nerede M tamsayılardır ve payda N- doğal sayılar, örneğin 2/3.

Sonsuz periyodik olmayan kesirler rasyonel sayılar kümesine dahil DEĞİLDİR.

a/b, Nerede A∈ Z (A tamsayılara aittir), B∈ N (B doğal sayılara aittir).

Rasyonel sayıların gerçek hayatta kullanılması.

Gerçek hayatta rasyonel sayılar kümesi bazı tam sayılarla bölünebilen nesnelerin parçalarını saymak için kullanılır. Örneğin tüketilmeden önce parçalara ayrılan kekler veya diğer yiyecekler veya uzatılmış nesnelerin mekansal ilişkilerinin kabaca tahmin edilmesi için kullanılır.

Rasyonel sayıların özellikleri.

Rasyonel sayıların temel özellikleri.

1. Düzenlilik A Ve B aralarındaki 3 ilişkiden 1'ini ve yalnızca birini açıkça tanımlamanıza izin veren bir kural var: "<», «>" veya "=". Bu kuraldır - sıralama kuralı ve bunu şu şekilde formüle edin:

• 2 pozitif sayı a=m a / n a Ve b=mb /nb 2 tamsayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidirler anne⋅ hayır Ve m b⋅ hayır;
• 2 negatif sayı A Ve B 2 pozitif sayıyla aynı oranda ilişkilidir |b| Ve |bir|;
• Ne zaman A pozitif ve B- o zaman negatif a>b.

∀ a,b∈ Soru(a) ∨ a>b∨ a=b)

2. Ekleme işlemi. Tüm rasyonel sayılar için A Ve B Orada toplama kuralı onlara belirli bir rasyonel sayı atar C. Aynı zamanda sayının kendisi C- Bu toplam sayılar A Ve B ve şu şekilde gösterilir (a+b) toplam.

Toplama Kuralışuna benziyor:

anne/n a + m b/n b =(ma bir⋅ n b + m b⋅ hayır bir)/(n bir⋅ n b).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. Çarpma işlemi. Tüm rasyonel sayılar için A Ve B Orada çarpma kuralı onları belirli bir rasyonel sayıyla ilişkilendirir C. c sayısına denir iş sayılar A Ve B ve belirtmek (a⋅b) ve bu numarayı bulma işlemine denir çarpma.

Çarpma kuralışuna benziyor: m bir n bir⋅ m b n b =m a⋅ m b n a⋅ hayır.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi üç rasyonel sayı için A, B Ve C Eğer A az B Ve B az C, O A az C ve eğer A eşittir B Ve B eşittir C, O A eşittir C.

∀ ABC∈ Soru(a) ∧ B ⇒ A ∧ (bir = b∧ b = c⇒ bir = c)

5. Toplamanın değişebilirliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.

∀ a,b∈ Q a+b=b+a

6. İlave ilişkisellik. 3 rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.

∀ ABC∈ S (a+b)+c=a+(b+c)

7. Sıfır varlığı. 0 rasyonel sayısı vardır, eklendiğinde diğer tüm rasyonel sayıları korur.

∃ 0 ∈ Q∀ A∈ Soru a+0=a

8. Zıt sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının zıt rasyonel sayısı vardır ve bunlar toplandığında sonuç 0 olur.

∀ A∈ Q∃ (−a)∈ Q a+(−a)=0

9. Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.

∀ a,b∈ Qa⋅ b=b⋅ A

10. Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği. 3 rasyonel sayının çarpılma sırasının sonuca hiçbir etkisi yoktur.

∀ ABC∈ Soru(a)⋅ B)⋅ c=a⋅ (B⋅ C)

11. Birim kullanılabilirliği. 1 rasyonel sayısı vardır ve çarpma işleminde diğer tüm rasyonel sayıları korur.

∃ 1 ∈ Q∀ A∈ Qa⋅ 1=a

12. Karşılıklı sayıların varlığı. Sıfır dışındaki her rasyonel sayının ters bir rasyonel sayısı vardır ve çarpıldığında 1 elde edilir. .

∀ A∈ Q∃ a−1∈ Qa⋅ a−1=1

13. Çarpmanın toplamaya göre dağılımı. Çarpma işlemi, dağıtım yasasını kullanarak toplama işlemiyle ilgilidir:

∀ ABC∈ Soru(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C

14. Sıra ilişkisi ile toplama işlemi arasındaki ilişki. Rasyonel bir eşitsizliğin sağ ve sol taraflarına aynı rasyonel sayı eklenir.

∀ ABC∈ Qa ⇒ a+c

15. Sıra ilişkisi ile çarpma işlemi arasındaki ilişki. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ tarafları, negatif olmayan aynı rasyonel sayıyla çarpılabilir.

∀ ABC∈ Q c>0∧ A ⇒ A⋅ C ⋅ C

16. Arşimed Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun A, o kadar çok birim almak kolaydır ki toplamları daha büyük olur A.

Bu dersimizde birçok rasyonel sayıyı öğreneceğiz. Rasyonel sayıların temel özelliklerini analiz edelim, ondalık kesirleri sıradan kesirlere ve tam tersi şekilde nasıl dönüştüreceğimizi öğrenelim.

Doğal ve tam sayı kümelerinden daha önce bahsetmiştik. Doğal sayılar kümesi tam sayıların bir alt kümesidir.

Artık kesirlerin ne olduğunu öğrendik ve onlarla nasıl çalışacağımızı öğrendik. Örneğin kesir bir tam sayı değildir. Bu, tüm kesirleri içerecek yeni bir sayı kümesini tanımlamamız gerektiği anlamına gelir ve bu kümenin bir isme, açık bir tanıma ve adlandırmaya ihtiyacı vardır.

Adıyla başlayalım. Latince oran kelimesi Rusçaya oran, kesir olarak çevrilmiştir. Yeni kümenin adı “rasyonel sayılar” bu kelimeden gelmektedir. Yani “rasyonel sayılar”, “kesirli sayılar” olarak çevrilebilir.

Bu setin hangi sayılardan oluştuğunu bulalım. Tüm kesirlerden oluştuğunu varsayabiliriz. Örneğin, böyle - . Ancak böyle bir tanım tamamen doğru olmayacaktır. Kesir bir sayının kendisi değil, sayının yazılış şeklidir. Aşağıdaki örnekte iki farklı kesir aynı sayıyı temsil etmektedir:

O halde rasyonel sayıların kesir olarak gösterilebilecek sayılar olduğunu söylemek daha doğru olacaktır. Ve bu aslında matematikte kullanılan tanımın hemen hemen aynısıdır.

Bu set harfle belirtilir. Doğal ve tam sayı kümelerinin yeni rasyonel sayılar kümesiyle ilişkisi nedir? Bir doğal sayı kesir olarak sonsuz sayıda yazılabilir. Ve kesir olarak temsil edilebildiği için aynı zamanda rasyoneldir.

Negatif tam sayılarda da durum benzerdir. Herhangi bir negatif tam sayı kesir olarak gösterilebilir . Sıfır sayısını kesir olarak göstermek mümkün müdür? Tabii ki, sonsuz sayıda yolla da yapabilirsiniz .

Dolayısıyla tüm doğal sayılar ve tüm tam sayılar aynı zamanda rasyonel sayılardır. Doğal sayılar ve tam sayılar kümeleri rasyonel sayılar kümesinin () alt kümeleridir.

Aritmetik işlemlere göre kümelerin kapalılığı

Yeni sayıları (tamsayılar, sonra rasyonel sayılar) tanıtma ihtiyacı yalnızca gerçek hayattaki problemlerle açıklanamaz. Aritmetik işlemlerin kendisi bize bunu söylüyor. İki doğal sayıyı toplayalım: . Yine doğal bir sayı elde ediyoruz.

Toplama işlemine göre doğal sayılar kümesinin kapalı olduğunu (toplama işlemine göre kapalı) söylüyorlar. Doğal sayılar kümesinin çarpma işlemine kapalı olup olmadığını kendiniz düşünün.

Bir sayıdan eşit veya daha büyük bir şeyi çıkarmaya çalıştığımız anda doğal sayılardan mahrum kalırız. Sıfır ve negatif tam sayıların tanıtılması durumu düzeltir:

Tamsayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır. Sonucu yazacağımız bir sayının olmamasından korkmadan (toplama ve çıkarmaya kapalı) herhangi bir tamsayıyı toplayabilir ve çıkartabiliriz.

Tamsayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalı mıdır? Evet, herhangi iki tam sayının çarpımı bir tam sayıyla sonuçlanır (toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerine göre kapalıdır).

Geriye bir eylem daha kaldı; bölünme. Tamsayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı mıdır? Cevap açık: hayır. göre bölelim. Tam sayılar arasında cevabı yazacak bir sayı yok: .

Ancak kesir kullanarak neredeyse her zaman bir tam sayıyı diğerine bölmenin sonucunu yazabiliriz. Neden neredeyse? Tanım gereği sıfıra bölünemeyeceğini hatırlayalım.

Bu nedenle, rasyonel sayılar kümesi (kesirler tanıtıldığında ortaya çıkar), dört aritmetik işlemin tümü altında kapalı bir küme olduğunu iddia eder.

Hadi kontrol edelim.

Yani rasyonel sayılar kümesi, sıfıra bölme hariç, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerine göre kapalıdır. Bu anlamda rasyonel sayılar kümesinin önceki doğal ve tam sayı kümelerine göre “daha ​​iyi” yapıda olduğunu söyleyebiliriz. Bu, üzerinde çalıştığımız son sayı kümesinin rasyonel sayılar olduğu anlamına mı geliyor? HAYIR. Daha sonra kesir olarak yazılamayan başka sayılara, örneğin irrasyonel sayılara sahip olacağız.

Bir araç olarak sayılar

Sayılar insanın ihtiyaç duydukça yarattığı bir araçtır.

Pirinç. 1. Doğal sayıları kullanmak

Daha sonra parasal hesaplamalar yapmak gerektiğinde, sayının önüne orijinal değerin artırılması mı yoksa azaltılması mı gerektiğini belirten artı veya eksi işaretleri koymaya başladılar. Negatif ve pozitif sayılar bu şekilde ortaya çıktı. Yeni kümeye tam sayılar kümesi () adı verildi.

Pirinç. 2. Kesirleri Kullanmak

Bu nedenle yeni bir araç ortaya çıkıyor, yeni sayılar - kesirler. Bunları farklı eşdeğer şekillerde yazıyoruz: sıradan ve ondalık kesirler ( ).

Tüm sayılar - "eski" (tam sayılar) ve "yeni" (kesirli) - tek bir kümede birleştirildi ve rasyonel sayılar kümesi ( - rasyonel sayılar) olarak adlandırıldı.

Yani rasyonel sayı, ortak kesir olarak gösterilebilen bir sayıdır. Ancak matematikteki bu tanım daha da netleştirilmiştir. Herhangi bir rasyonel sayı, pozitif paydaya sahip bir kesir, yani bir tam sayının doğal sayıya oranı olarak temsil edilebilir: .

Sonra tanımı elde ederiz: Bir sayı, bir tamsayı payı ve doğal bir paydası olan bir kesir olarak temsil edilebiliyorsa rasyonel sayı olarak adlandırılır ( ).

Sıradan kesirlerin yanı sıra ondalık sayıları da kullanırız. Bunların rasyonel sayılar kümesiyle nasıl ilişkili olduğunu görelim.

Üç tür ondalık sayı vardır: sonlu, periyodik ve periyodik olmayan.

Sonsuz periyodik olmayan kesirler: Bu tür kesirler aynı zamanda sonsuz sayıda ondalık basamağa sahiptir, ancak dönem yoktur. Bir örnek, PI'nin ondalık gösterimidir:

Tanım gereği herhangi bir sonlu ondalık kesir, paydası vb. olan sıradan bir kesirdir.

Ondalık kesri yüksek sesle okuyalım ve normal biçimde yazalım: , .

Kesir olarak yazmaktan ondalık sayıya geri döndüğünüzde, sonlu ondalık kesirler veya sonsuz periyodik kesirler elde edebilirsiniz.

Kesirden ondalık sayıya dönüştürme

En basit durum, bir kesrin paydasının on katı olması durumudur: vb. Daha sonra ondalık kesrin tanımını kullanırız:

Paydası kolaylıkla bu forma indirgenebilen kesirler vardır: . Paydanın açılımı sadece ikili ve beşlileri içeriyorsa böyle bir gösterime gitmek mümkündür.

Payda üç iki ve bir beşten oluşur. Her biri onluk bir sayı oluşturur. Bu iki tane eksik olduğumuz anlamına geliyor. Hem pay hem de paydayla çarpın:

Farklı yapılabilirdi. Bir sütuna bölün (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 2. Sütun bölümü

With durumunda, paydanın genişletilmesi bir üçlü içerdiğinden payda başka bir rakama dönüştürülemez. Geriye tek bir yol kaldı - bir sütuna bölmek (bkz. Şekil 2).

Her adımda böyle bir bölme, bir kalan ve bir bölüm verecektir. Bu süreç sonsuzdur. Yani, periyodu olan sonsuz bir periyodik kesirimiz var

Hadi pratik yapalım. Sıradan kesirleri ondalık sayılara dönüştürelim.

Tüm bu örneklerde, payda genişletmesi yalnızca ikileri ve beşleri içerdiğinden son ondalık kesirle karşılaştık.

(bir tabloya bölerek kendimizi kontrol edelim - bkz. Şekil 3).

Pirinç. 3. Uzun bölme

Pirinç. 4. Sütun bölümü

(bkz. Şekil 4)

Paydanın genişletilmesi bir üçlü içerir; bu, paydanın forma getirilmesi anlamına gelir, vb. işe yaramayacak. Bir sütuna bölün. Durum kendini tekrar edecek. Sonuç kaydında sonsuz sayıda üçlü olacaktır. Böylece, .

(bkz. Şekil 5)

Pirinç. 5. Sütun bölümü

Yani herhangi bir rasyonel sayı sıradan bir kesir olarak gösterilebilir. Bu onun tanımı.

Ve herhangi bir sıradan kesir, sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilir.

Kesir kaydetme türleri:

ondalık kesirin sıradan kesir biçiminde yazılması: ; ;

ortak bir kesirin ondalık sayı olarak yazılması: (son kesir); (sonsuz periyodik).

Yani herhangi bir rasyonel sayı sonlu veya periyodik ondalık kesir olarak yazılabilir. Bu durumda, son kesirin sıfır periyoduyla periyodik olduğu da düşünülebilir.

Bazen bir rasyonel sayıya tam olarak bu tanım verilir: Bir rasyonel sayı, periyodik ondalık kesir olarak yazılabilen bir sayıdır.

Periyodik Kesir Dönüşümü

Öncelikle periyodu tek rakamdan oluşan ve ön periyodu olmayan bir kesri ele alalım. Bu sayıyı harfle gösterelim. Yöntem aynı döneme sahip başka bir sayı elde etmektir:

Bu, orijinal sayıyı ile çarparak yapılabilir. Yani sayı aynı periyoda sahiptir. Sayının kendisinden çıkarın:

Her şeyi doğru yaptığımızdan emin olmak için, şimdi zaten bildiğimiz şekilde ters yönde geçişi bir sütuna bölerek yapalım (bkz. Şekil 1).

Aslında bir sayıyı orijinal haliyle noktayla birlikte elde ederiz.

Ön dönemi ve daha uzun dönemi olan bir sayıyı ele alalım: . Yöntem önceki örnektekiyle tamamen aynı kalır. Aynı periyoda ve aynı uzunlukta bir ön periyoda sahip yeni bir sayı almamız gerekiyor. Bunu yapmak için virgülün nokta uzunluğu kadar sağa doğru hareket etmesi gerekir, yani. iki karakterle. Orijinal sayıyı şu şekilde çarpın:

Ortaya çıkan ifadeden orijinal ifadeyi çıkaralım:

Peki çeviri algoritması nedir? Periyodik kesir, ondalık kesrin periyodundaki basamak sayısı kadar sıfır içeren bir form vb. Sayıyla çarpılmalıdır. Yeni bir periyodik olanı alıyoruz. Örneğin:

Bir periyodik kesirden bir başkasını çıkararak son ondalık kesri elde ederiz:

Orijinal periyodik kesri sıradan bir kesir şeklinde ifade etmeye devam ediyor.

Pratik yapmak için birkaç periyodik kesiri kendiniz yazın. Bu algoritmayı kullanarak bunları sıradan bir kesir biçimine indirin. Hesap makinesini kontrol etmek için payı paydaya bölün. Her şey doğruysa orijinal periyodik kesri elde edersiniz

Yani herhangi bir sonlu veya sonsuz periyodik kesri sıradan bir kesir olarak, bir doğal sayının bir tamsayıya oranı olarak yazabiliriz. Onlar. bu tür kesirlerin tümü rasyonel sayılardır.

Periyodik olmayan kesirler ne olacak? Periyodik olmayan kesirlerin sıradan kesirler olarak temsil edilemeyeceği ortaya çıktı (bu gerçeği kanıt olmadan kabul edeceğiz). Bu onların rasyonel sayılar olmadığı anlamına gelir. Bunlara irrasyonel denir.

Sonsuz periyodik olmayan kesirler

Daha önce de söylediğimiz gibi, ondalık gösterimdeki rasyonel sayı ya sonlu ya da periyodik bir kesirdir. Bu, eğer sonsuz, periyodik olmayan bir kesir oluşturabilirsek, o zaman rasyonel olmayan, yani irrasyonel bir sayı elde edeceğimiz anlamına gelir.

Bunu oluşturmanın bir yolu şudur: Bu sayının kesirli kısmı yalnızca sıfırlardan ve birlerden oluşur. Birler arasındaki sıfırların sayısı artar. Tekrarlanan kısmı burada vurgulamak mümkün değil. Yani kesir periyodik değildir.

Periyodik olmayan ondalık kesirleri, yani irrasyonel sayıları kendi başınıza oluşturma alıştırması yapın

İrrasyonel sayının bilinen bir örneği pi'dir ( ). Bu girdide nokta yoktur. Ancak pi'nin yanı sıra sonsuz sayıda irrasyonel sayı daha vardır. İrrasyonel sayılar hakkında daha sonra daha fazla konuşacağız.

1. Matematik 5. sınıf. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I., 31. baskı, silindi. -M: Mnemosyne, 2013.
2. Matematik 5. sınıf. Erina T.M.. Vilenkina N.Ya., M .: Sınav, 2013 ders kitabı için çalışma kitabı.
3. Matematik 5. sınıf. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S., M .: Ventana - Graf, 2013.

1. Math-prosto.ru ().
2. Cleverstudents.ru ().
3. Matematik-repetition.com ().

Ev ödevi

Doğal sayılar

Doğal sayıların tanımı pozitif tam sayılardır. Doğal sayılar nesneleri saymak ve başka birçok amaç için kullanılır. Bunlar rakamlar:

Bu doğal bir sayı dizisidir.
Sıfır bir doğal sayı mıdır? Hayır sıfır doğal bir sayı değildir.
Kaç tane doğal sayı var? Sonsuz sayıda doğal sayı vardır.
En küçük doğal sayı nedir? Bir, en küçük doğal sayıdır.
En büyük doğal sayı nedir? Bunu belirtmek imkansızdır çünkü sonsuz sayıda doğal sayı vardır.

Doğal sayıların toplamı bir doğal sayıdır. Yani, a ve b doğal sayılarını topladığımızda:

Doğal sayıların çarpımı bir doğal sayıdır. Yani a ve b doğal sayılarının çarpımı:

c her zaman bir doğal sayıdır.

Doğal sayıların farkı Her zaman bir doğal sayı yoktur. Eğer eksilen çıkandan büyükse doğal sayıların farkı bir doğal sayıdır, aksi halde değildir.

Doğal sayıların bölümü her zaman doğal sayı değildir. a ve b doğal sayıları için ise

c'nin bir doğal sayı olması, a'nın b'ye bölünebileceği anlamına gelir. Bu örnekte a bölen, b bölen, c bölümdür.

Bir doğal sayının böleni, ilk sayının bir tam sayıya bölünebildiği bir doğal sayıdır.

Her doğal sayı bire ve kendisine bölünebilir.

Asal doğal sayılar yalnızca bire ve kendilerine bölünebilir. Burada tamamen bölünmüş demek istiyoruz. Örnek, sayılar 2; 3; 5; 7 yalnızca bire ve kendisine bölünebilir. Bunlar basit doğal sayılardır.

Bir asal sayı olarak kabul edilmez.

Birden büyük olan ve asal olmayan sayılara bileşik sayılar denir. Bileşik sayılara örnekler:

Bir, bileşik sayı olarak kabul edilmez.

Doğal sayılar kümesi bir, asal sayılar ve bileşik sayılardan oluşur.

Doğal sayılar kümesi Latince N harfiyle gösterilir.

Doğal sayıların toplama ve çarpma özellikleri:

toplamanın değişme özelliği

eklemenin ilişkisel özelliği

(a + b) + c = a + (b + c);

Çarpmanın değişme özelliği

çarpmanın birleşme özelliği

(ab) c = a (bc);

Çarpmanın dağılma özelliği

bir (b + c) = ab + ac;

Tamsayılar

Tam sayılar; doğal sayılar, sıfır ve doğal sayıların karşıtlarıdır.

Doğal sayıların zıttı negatif tam sayılardır, örneğin:

1; -2; -3; -4;...

Tamsayılar kümesi Latince Z harfiyle gösterilir.

Rasyonel sayılar

Rasyonel sayılar tam sayılar ve kesirlerdir.

Herhangi bir rasyonel sayı periyodik kesir olarak temsil edilebilir. Örnekler:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Örneklerden herhangi bir tam sayının periyodu sıfır olan periyodik bir kesir olduğu açıktır.

Herhangi bir rasyonel sayı m/n kesri olarak temsil edilebilir; burada m bir tamsayı ve n bir doğal sayıdır. Bir önceki örnekteki 3(6) sayısını böyle bir kesir olarak düşünelim.

Bu yazıda keşfetmeye başlayacağız rasyonel sayılar. Burada rasyonel sayıların tanımlarını vereceğiz, gerekli açıklamaları yapıp rasyonel sayılara örnekler vereceğiz. Bundan sonra verilen bir sayının rasyonel olup olmadığının nasıl belirleneceğine odaklanacağız.

Sayfada gezinme.

Rasyonel sayıların tanımı ve örnekleri

Bu bölümde rasyonel sayıların çeşitli tanımlarını vereceğiz. İfadelerdeki farklılıklara rağmen, bu tanımların tümü aynı anlama sahiptir: tıpkı tam sayıların doğal sayıları, onların zıttlarını ve sıfır sayısını birleştirmesi gibi, rasyonel sayılar da tam sayıları ve kesirleri birleştirir. Başka bir deyişle rasyonel sayılar tam ve kesirli sayıları genelleştirir.

Şununla başlayalım: rasyonel sayıların tanımları, bu en doğal şekilde algılanır.

Belirtilen tanımdan rasyonel bir sayının şu olduğu anlaşılmaktadır:

• Herhangi bir doğal sayı n. Aslında herhangi bir doğal sayıyı sıradan bir kesir olarak temsil edebilirsiniz, örneğin 3=3/1.
• Herhangi bir tam sayı, özellikle sıfır sayısı. Aslında herhangi bir tam sayı pozitif kesir, negatif kesir veya sıfır olarak yazılabilir. Örneğin, 26=26/1, .
• Herhangi bir ortak kesir (pozitif veya negatif). Bu, rasyonel sayıların verilen tanımıyla doğrudan doğrulanır.
• Herhangi bir karışık sayı. Aslında, karışık bir sayıyı her zaman uygunsuz bir kesir olarak temsil edebilirsiniz. Örneğin ve.
• Herhangi bir sonlu ondalık kesir veya sonsuz periyodik kesir. Bunun nedeni, belirtilen ondalık kesirlerin sıradan kesirlere dönüştürülmesidir. Örneğin, ve 0,(3)=1/3.

Ayrıca herhangi bir sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirin rasyonel bir sayı OLMADIĞI açıktır, çünkü ortak bir kesir olarak temsil edilemez.

Artık rahatlıkla verebiliriz rasyonel sayılara örnekler. 4, 903, 100,321 sayıları doğal sayılar olduğundan rasyonel sayılardır. 58, −72, 0, −833,333,333 tam sayıları da rasyonel sayılara örnektir. Ortak kesirler 4/9, 99/3 de rasyonel sayılara örnektir. Rasyonel sayılar da sayıdır.

Yukarıdaki örneklerden hem pozitif hem de negatif rasyonel sayıların olduğu ve sıfır rasyonel sayısının ne pozitif ne de negatif olduğu açıktır.

Rasyonel sayıların yukarıdaki tanımı daha kısa bir biçimde formüle edilebilir.

Tanım.

Rasyonel sayılar z/n kesri olarak yazılabilen sayılardır; burada z bir tamsayı ve n bir doğal sayıdır.

Rasyonel sayıların bu tanımının önceki tanıma eşdeğer olduğunu kanıtlayalım. Bir kesir çizgisini bir bölme işareti olarak düşünebileceğimizi biliyoruz, o zaman tam sayıları bölmenin özelliklerinden ve tam sayıları bölme kurallarından aşağıdaki eşitliklerin geçerliliği takip edilir ve. İşte bunun kanıtı.

Bu tanımdan yola çıkarak rasyonel sayılara örnekler verelim. −5, 0, 3 ve sayıları rasyonel sayılardır, çünkü bunlar sırasıyla bir tamsayı payı ve doğal paydası ile kesirler olarak yazılabilinir.

Rasyonel sayıların tanımı aşağıdaki formülle verilebilir.

Tanım.

Rasyonel sayılar sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak yazılabilen sayılardır.

Bu tanım aynı zamanda ilk tanıma da eşdeğerdir, çünkü her sıradan kesir sonlu veya periyodik bir ondalık kesire karşılık gelir ve bunun tersi de geçerlidir ve herhangi bir tam sayı, ondalık noktadan sonra sıfır bulunan bir ondalık kesirle ilişkilendirilebilir.

Örneğin 5, 0, −13 sayıları rasyonel sayılara örnektir çünkü aşağıdaki ondalık kesirler olarak yazılabilirler: 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 ve −7, (18).

Bu noktanın teorisini aşağıdaki ifadelerle bitirelim:

• tamsayılar ve kesirler (pozitif ve negatif) rasyonel sayılar kümesini oluşturur;
• her rasyonel sayı, bir tamsayı payı ve bir doğal paydası olan bir kesir olarak temsil edilebilir ve bu tür kesirlerin her biri, belirli bir rasyonel sayıyı temsil eder;
• her rasyonel sayı, sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir olarak temsil edilebilir ve bu tür kesirlerin her biri, bir rasyonel sayıyı temsil eder.

Bu sayı rasyonel midir?

Önceki paragrafta, herhangi bir doğal sayının, herhangi bir tam sayının, herhangi bir sıradan kesirin, herhangi bir karışık sayının, herhangi bir sonlu ondalık kesirin yanı sıra herhangi bir periyodik ondalık kesirin rasyonel bir sayı olduğunu öğrendik. Bu bilgi, bir dizi yazılı sayıdan rasyonel sayıları “tanımamızı” sağlar.

Peki ya sayı bazı şeklinde veya şeklinde verilirse, bu sayının rasyonel olup olmadığı sorusuna nasıl cevap verilir? Çoğu durumda cevap vermek çok zordur. Bazı düşünce yönlerini belirtelim.

Bir sayı, yalnızca rasyonel sayılar ve aritmetik işaretler (+, −, · ve:) içeren sayısal bir ifade olarak veriliyorsa bu ifadenin değeri bir rasyonel sayıdır. Bu, rasyonel sayılarla yapılan işlemlerin nasıl tanımlandığından kaynaklanmaktadır. Örneğin ifadedeki tüm işlemleri yaptıktan sonra 18 rasyonel sayısını elde ederiz.

Bazen ifadeleri basitleştirip daha karmaşık hale getirdikten sonra verilen bir sayının rasyonel olup olmadığını belirlemek mümkün hale gelir.

Devam edelim. Her doğal sayı rasyonel olduğundan 2 sayısı rasyonel bir sayıdır. Peki ya sayı? Mantıklı mı? Hayır, bunun rasyonel bir sayı olmadığı, irrasyonel bir sayı olduğu ortaya çıktı (bu gerçeğin çelişkili kanıtı, aşağıda referans listesinde listelenen 8. sınıf cebir ders kitabında verilmiştir). Ayrıca, bir doğal sayının karekökünün, yalnızca kökün altında bir doğal sayının tam karesi olan bir sayının bulunduğu durumlarda rasyonel bir sayı olduğu kanıtlanmıştır. Örneğin, 81 = 9 2 ve 1 024 = 32 2 olduğundan ve sayıları rasyonel sayılardır ve 7 ve 199 sayıları doğal sayıların tam kareleri olmadığından ve sayıları rasyonel değildir.

Sayı rasyonel mi değil mi? Bu durumda bu sayının rasyonel olduğunu fark etmek kolaydır. Sayı rasyonel mi? Bir tam sayının k'inci kökünün, yalnızca kök işaretinin altındaki sayının bir tamsayının k'inci kuvveti olması durumunda rasyonel sayı olduğu kanıtlanmıştır. Dolayısıyla beşinci kuvveti 121 olan bir tam sayı bulunmadığından rasyonel bir sayı değildir.

Çelişki yöntemi, bazı sayıların logaritmasının bazı nedenlerden dolayı rasyonel sayılar olmadığının kanıtlanmasına olanak tanır. Örneğin - sayısının rasyonel bir sayı olmadığını kanıtlayalım.

Bunun tersini varsayalım, yani bunun rasyonel bir sayı olduğunu ve m/n sıradan kesri olarak yazılabildiğini varsayalım. Daha sonra aşağıdaki eşitlikleri veriyoruz: . Son eşitlik imkansızdır çünkü sol tarafta tek sayı 5 n ve sağ tarafta çift sayı 2 m var. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştır, dolayısıyla rasyonel bir sayı değildir.

Sonuç olarak, sayıların rasyonelliğini veya irrasyonelliğini belirlerken ani sonuçlara varmaktan kaçınılması gerektiğini özellikle belirtmekte fayda var.

Örneğin, irrasyonel sayılar π ve e'nin çarpımının irrasyonel bir sayı olduğunu hemen iddia etmemelisiniz; bu "görünüşte açık" ama kanıtlanmadı. Bu şu soruyu gündeme getiriyor: "Bir ürün neden rasyonel sayı olsun?" Neden olmasın, çünkü çarpımı rasyonel bir sayı veren irrasyonel sayılara bir örnek verebilirsiniz: .

Sayıların ve daha birçok sayının rasyonel olup olmadığı da bilinmiyor. Örneğin, irrasyonel gücü rasyonel bir sayı olan irrasyonel sayılar vardır. Örnek olarak, formun bir derecesini sunuyoruz, bu derecenin tabanı ve üssü rasyonel sayılar değil, ve 3 rasyonel bir sayıdır.

Referanslar.

• Matematik. 6. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar / [N. Ya. Vilenkin ve diğerleri]. - 22. baskı, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Cebir: ders kitabı 8. sınıf için. genel eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.

Rasyonel sayılar kümesi

Rasyonel sayılar kümesi gösterilir ve aşağıdaki gibi yazılabilir:

Farklı gösterimlerin aynı kesri temsil edebileceği ortaya çıktı, örneğin ve , (aynı doğal sayıyla çarpılarak veya bölünerek birbirinden elde edilebilecek tüm kesirler aynı rasyonel sayıyı temsil eder). Bir kesrin payını ve paydasını en büyük ortak bölenlerine bölerek bir rasyonel sayının indirgenemez tek bir temsilini elde edebileceğimizden, bunların kümesinden küme olarak bahsedebiliriz. indirgenemez payı ve doğal paydası karşılıklı asal olan kesirler:

İşte sayıların en büyük ortak böleni ve .

Rasyonel sayılar kümesi, tamsayılar kümesinin doğal bir genellemesidir. Bir rasyonel sayının paydası varsa tam sayı olduğunu görmek kolaydır. Rasyonel sayılar kümesi her yerde yoğun olarak sayı ekseninde bulunur: herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında en az bir rasyonel sayı (ve dolayısıyla sonsuz bir rasyonel sayılar kümesi) vardır. Bununla birlikte, rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir kardinaliteye sahip olduğu (yani, tüm elemanları yeniden numaralandırılabileceği) ortaya çıktı. Bu arada, eski Yunanlıların kesir olarak ifade edilemeyen sayıların varlığına ikna olduklarını da belirtelim (örneğin, karesi 2 olan rasyonel bir sayının olmadığını kanıtladılar).

Terminoloji

Biçimsel tanım

Biçimsel olarak rasyonel sayılar, eğer denklik ilişkisine göre çiftlerin denklik sınıfları kümesi olarak tanımlanır. Bu durumda toplama ve çarpma işlemleri şu şekilde tanımlanır:

İlgili tanımlar

Doğru, yanlış ve karışık kesirler

Doğru Payı paydasından küçük olan kesire kesir denir. Uygun kesirler modülo birden küçük rasyonel sayıları temsil eder. Uygun olmayan kesre denir yanlış ve modülü birden büyük veya ona eşit bir rasyonel sayıyı temsil eder.

Uygunsuz bir kesir, bir tam sayı ile uygun bir kesrin toplamı olarak gösterilebilir. karışık fraksiyon . Örneğin, . Benzer bir gösterim (toplama işareti eksik), temel aritmetikte kullanılmasına rağmen, karışık bir kesir gösteriminin bir tam sayı ve bir kesirin çarpımı gösterimi ile benzerliği nedeniyle katı matematik literatüründe kaçınılır.

Atış yüksekliği

Ortak bir atışın yüksekliği bu kesrin pay ve paydasının modülünün toplamıdır. Bir rasyonel sayının yüksekliği bu sayıya karşılık gelen indirgenemez normal kesrin pay modülü ve paydasının toplamıdır.

Örneğin bir kesrin yüksekliği . Kesir kadar azaltılabileceği için karşılık gelen rasyonel sayının yüksekliği eşittir.

Yorum

Terim kesir (kesir) Bazen [ belirtmek] teriminin eşanlamlısı olarak kullanılır rasyonel sayı ve bazen tam sayı olmayan herhangi bir sayının eşanlamlısı. İkinci durumda, kesirli ve rasyonel sayılar farklı şeylerdir, çünkü o zaman tam sayı olmayan rasyonel sayılar, kesirli sayıların yalnızca özel bir durumudur.

Özellikler

Temel özellikler

Rasyonel sayılar kümesi, tam sayıların özelliklerinden kolayca türetilebilen on altı temel özelliği karşılar.

1. Düzenlilik. Herhangi bir rasyonel sayı için, aralarındaki üç ilişkiden yalnızca birini benzersiz bir şekilde tanımlamanıza izin veren bir kural vardır: "", "" veya "". Bu kurala denir sıralama kuralı ve şu şekilde formüle edilir: iki pozitif sayı ve iki tamsayı ve ile aynı ilişkiyle ilişkilidir; pozitif olmayan iki sayı ve negatif olmayan iki sayı ile aynı ilişkiyle ilişkilidir ve; aniden olumsuz değil de olumsuz olursa, o zaman .

   

   Kesirleri Ekleme

2. Ekleme işlemi. toplama kuralı miktar sayılar ve ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine denir toplam. Toplama kuralı aşağıdaki forma sahiptir: .
3. Çarpma işlemi. Herhangi bir rasyonel sayı için sözde bir şey vardır. çarpma kuralı bu da onları bazı rasyonel sayılarla eşleştirir. Bu durumda sayının kendisi çağrılır. iş sayılar ve ve ile gösterilir ve böyle bir sayıyı bulma işlemine de denir çarpma. Çarpma kuralı aşağıdaki forma sahiptir: .
4. Sıra ilişkisinin geçişliliği. Herhangi bir rasyonel sayı üçlüsü için, daha az ve daha azsa daha az, eşit ve eşitse, o zaman eşittir.
5. Toplamanın değişmezliği. Rasyonel terimlerin yerlerinin değiştirilmesi toplamı değiştirmez.
6. Eklemenin ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının toplanma sırası sonucu etkilemez.
7. Sıfır varlığı. Toplandığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 0 vardır.
8. Zıt sayıların varlığı. Herhangi bir rasyonel sayının, kendisine eklendiğinde 0 veren zıt bir rasyonel sayı vardır.
9. Çarpmanın değişmezliği. Rasyonel faktörlerin yerlerinin değiştirilmesi ürünü değiştirmez.
10. Çarpmanın ilişkilendirilebilirliği.Üç rasyonel sayının çarpılma sırası sonucu etkilemez.
11. Birimin kullanılabilirliği.Çarpıldığında diğer tüm rasyonel sayıları koruyan bir rasyonel sayı 1 vardır.
12. Karşılıklı sayıların varlığı. Sıfırdan farklı herhangi bir rasyonel sayının, ile çarpıldığında 1 veren bir ters rasyonel sayısı vardır.
13. Çarpmanın toplamaya göre dağılımı.Çarpma işlemi, dağıtım yasası aracılığıyla toplama işlemiyle koordine edilir:
14. Sıra ilişkisinin toplama işlemiyle bağlantısı. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ taraflarına aynı rasyonel sayı eklenebilir.
15. Sıra ilişkisinin çarpma işlemiyle bağlantısı. Rasyonel bir eşitsizliğin sol ve sağ tarafları aynı pozitif rasyonel sayıyla çarpılabilir.
16. Arşimet Aksiyomu. Rasyonel sayı ne olursa olsun, toplamları aşacak kadar çok birim alabilirsiniz.

Ek özellikler

Rasyonel sayıların doğasında bulunan diğer tüm özellikler temel özellikler olarak ayırt edilmez, çünkü genel olarak konuşursak, bunlar artık doğrudan tam sayıların özelliklerine dayanmaz, ancak verilen temel özelliklere dayanarak veya doğrudan bazı matematiksel nesnelerin tanımıyla kanıtlanabilirler. . Bunun gibi pek çok ek özellik var. Bunlardan sadece birkaçını burada listelemek anlamlı olacaktır.

Bir kümenin sayılabilirliği

Rasyonel sayıların sayısını tahmin etmek için kümelerinin önem derecesini bulmanız gerekir. Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğunu kanıtlamak kolaydır. Bunu yapmak için rasyonel sayıları sıralayan, yani rasyonel ve doğal sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme kuran bir algoritma vermek yeterlidir. Böyle bir yapının bir örneği aşağıdaki basit algoritmadır. Bir kesirin bulunduğu her sütundaki her satırda, sıradan kesirlerden oluşan sonsuz bir tablo derlenir. Kesinlik açısından bu tablonun satır ve sütunlarının birden başlayarak numaralandırıldığı varsayılmaktadır. Tablo hücreleri, hücrenin bulunduğu tablo satırının numarası ve sütun numarasıdır.

Ortaya çıkan tablo, aşağıdaki resmi algoritmaya göre bir "yılan" kullanılarak geçilir.

Bu kurallar yukarıdan aşağıya doğru aranır ve ilk eşleşmeye göre bir sonraki konum seçilir.

Böyle bir geçiş sürecinde her yeni rasyonel sayı başka bir doğal sayıyla ilişkilendirilir. Yani kesirlere 1 numarası, kesirlere 2 numarası vb. atanır. Yalnızca indirgenemez kesirlerin numaralandırıldığına dikkat edilmelidir. İndirgenemezliğin resmi bir işareti, kesrin pay ve paydasının en büyük ortak böleninin bire eşit olmasıdır.

Bu algoritmayı takip ederek tüm pozitif rasyonel sayıları sıralayabiliriz. Bu, pozitif rasyonel sayılar kümesinin sayılabilir olduğu anlamına gelir. Pozitif ve negatif rasyonel sayılar kümeleri arasında bir eşleştirme oluşturmak, her rasyonel sayıya basitçe onun tersini atayarak kolaydır. O. Negatif rasyonel sayılar kümesi de sayılabilir. Birleşimleri aynı zamanda sayılabilir kümelerin özelliği ile de sayılabilir. Rasyonel sayılar kümesi aynı zamanda sayılabilir bir kümenin sonlu bir kümeyle birleşimi olarak da sayılabilir.

Elbette rasyonel sayıları numaralandırmanın başka yolları da var. Örneğin bunun için Kalkin-Wilf ağacı, Stern-Broko ağacı veya Farey serisi gibi yapıları kullanabilirsiniz.

Rasyonel sayılar kümesinin sayılabilirliğiyle ilgili ifade, ilk bakışta doğal sayılar kümesinden çok daha kapsamlı gibi göründüğü için bazı karışıklıklara neden olabilir. Aslında durum böyle değildir ve tüm rasyonel sayıları saymaya yetecek kadar doğal sayı vardır.

Rasyonel sayıların eksikliği

Ayrıca bakınız

Notlar

Edebiyat

• I. Kushnir. Okul çocukları için matematik el kitabı. - Kiev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
• P. S. Alexandrov. Küme teorisine ve genel topolojiye giriş. - M.: bölüm. ed. fizik ve matematik yaktı. ed. "Bilim", 1977
• I. L. Khmelnitsky. Cebirsel sistemler teorisine giriş