1 sayısının karşılığı. 1 sayısının karşılığı

Karşılıklı - veya karşılıklı karşılıklı - sayılar, çarpıldığında 1 veren bir sayı çiftidir. En genel biçimde, karşılıklı sayılar sayılardır. Karşılıklı sayıların karakteristik özel durumu bir çifttir. Tersler, örneğin sayılardır; .

Bir sayının tersi nasıl bulunur

Kural: 1'i (bir) belirli bir sayıya bölmeniz gerekir.

Örnek No.1.

8 sayısı verilmiştir. Tersi 1:8 veya (ikinci seçenek tercih edilir, çünkü bu gösterim matematiksel olarak daha doğrudur).

Ortak bir kesir için karşılıklı sayıyı ararken, onu 1'e bölmek pek uygun değildir çünkü kayıt zahmetlidir. Bu durumda, işleri farklı şekilde yapmak çok daha kolaydır: pay ve payda değiştirilerek kesir basitçe ters çevrilir. Uygun bir kesir verilirse, ters çevrildikten sonra elde edilen kesir hatalı olur, yani. bütün bir parçanın izole edilebildiği bir parça. Bunun yapılıp yapılmayacağına duruma göre karar verilmelidir. Dolayısıyla, ters çevrilmiş kesirle (örneğin çarpma veya bölme) bazı eylemler gerçekleştirmeniz gerekiyorsa, parçanın tamamını seçmemelisiniz. Ortaya çıkan kesir nihai sonuç ise, o zaman belki de parçanın tamamının izole edilmesi arzu edilir.

Örnek No.2.

Bir kesir verildi. Bunun tersini yapın: .

Ondalık kesrin tersini bulmanız gerekiyorsa ilk kuralı (1'i sayıya bölmek) kullanmalısınız. Bu durumda 2 yoldan biriyle hareket edebilirsiniz. Birincisi, 1'i bu sayıya bir sütuna bölmektir. İkincisi, paydaki 1 ve paydadaki ondalık sayıdan bir kesir oluşturmak ve ardından pay ve paydayı 10, 100 veya 1 ve gerektiği kadar sıfırdan oluşan başka bir sayı ile çarparak bu kesirden kurtulmaktır. paydadaki ondalık nokta. Sonuç, sonuç olan sıradan bir kesir olacaktır. Gerekirse kısaltmanız, bir bölümün tamamını seçmeniz veya ondalık biçime dönüştürmeniz gerekebilir.

Örnek No. 3.

Verilen sayı 0,82'dir. Karşılıklı sayı: . Şimdi kesri azaltıp tamamını seçelim: .

İki sayının karşılıklı olup olmadığı nasıl kontrol edilir

Doğrulama ilkesi karşılıklı sayıların belirlenmesine dayanmaktadır. Yani sayıların birbirinin tersi olduğundan emin olmak için çarpmanız gerekir. Sonuç bir ise sayılar karşılıklı olarak terstir.

Örnek No. 4.

0,125 ve 8 sayıları verildiğinde bunlar karşılıklı mıdır?

Muayene. 0,125 ile 8'in çarpımını bulmak gerekir. Açıklık sağlamak için bu sayıları sıradan kesirler biçiminde sunalım: (1. kesri 125'e düşürün). Sonuç: 0,125 ve 8 sayıları karşılıklıdır.

Karşılıklı sayıların özellikleri

Mülk No.1

0 dışında herhangi bir sayının karşılığı vardır.

Bu sınırlama, 0'a bölemeyeceğiniz gerçeğinden kaynaklanmaktadır ve sıfır için karşılıklı sayıyı belirlerken, paydaya taşınması gerekecek, yani. aslında ona bölün.

Mülk No.2

Karşılıklı bir çift sayının toplamı her zaman 2'den az değildir.

Matematiksel olarak bu özellik şu eşitsizlikle ifade edilebilir: .

Mülk No.3

Bir sayıyı karşılıklı iki sayıyla çarpmak, birle çarpmaya eşdeğerdir. Bu özelliği matematiksel olarak ifade edelim: .

Örnek No. 5.

İfadenin değerini bulun: 3,4·0,125·8. 0,125 ve 8 sayıları karşılıklı olduğundan (bkz. Örnek 4), 3,4'ü 0,125 ile ve ardından 8 ile çarpmaya gerek yoktur. Yani buradaki cevap 3.4 olacaktır.

Çarpımı bire eşit olan sayı çiftine denir karşılıklı ters.

Örnekler: 5 ve 1/5, −6/7 ve −7/6 ve

Sıfıra eşit olmayan herhangi bir sayı için ters 1/a vardır.

Sıfırın tersi sonsuzdur.

Ters kesirler- bunlar çarpımı 1'e eşit olan iki kesirdir. Örneğin 3/7 ve 7/3; 5/8 ve 8/5 vb.

Ayrıca bakınız

Wikimedia Vakfı.

2010.

Diğer sözlüklerde “Ters sayı”nın ne olduğuna bakın: Belirli bir sayının çarpımı bire eşit olan sayı. Bu tür iki sayıya karşılıklı denir. Bunlar örneğin 5 ve 1/5, 2/3 ve 3/2 vb.

Büyük Ansiklopedik Sözlük karşılıklı sayı - - [A.S. İngilizce-Rusça enerji sözlüğü. 2006] Genel olarak enerji konuları TR ters sayıkarşılıklı sayı ...

Teknik Çevirmen Kılavuzu Belirli bir sayının çarpımı bire eşit olan sayı. Bu tür iki sayıya karşılıklı denir. Bunlar örneğin 5 ve 1/5, 2/3 ve 3/2 vb. * * * TERS SAYI TERS SAYI, belirli bir sayıya göre çarpımı ... ...'ye eşit olan bir sayı.

Ansiklopedik Sözlük Belirli bir sayı ile çarpımı bire eşit olan sayı. Bu tür iki sayıya karşılıklı denir. Bunlar mesela 5 ve a, sıfıra eşit değil, tersi var...

Büyük Sovyet Ansiklopedisi Belirli bir sayının çarpımı bire eşit olan sayı. Böyle iki numara aranır. karşılıklı olarak ters. Bunlar örneğin 5 ve 1/5'tir. 2/3 ve 3/2 vb...

Bu terimin başka anlamları da vardır, bkz. Sayı (anlamlar). Sayı, matematikte nesneleri ölçmek, karşılaştırmak ve numaralandırmak için kullanılan temel bir kavramdır. İlkel toplumda ihtiyaçlardan doğmuştur... ... Vikipedi

Ayrıca bakınız: Sayı (dilbilim) Sayı, nesneleri niceliksel olarak karakterize etmek için kullanılan bir soyutlamadır. İlkel toplumda sayma ihtiyacından doğan sayı kavramı değişip zenginleşerek matematiğin en önemli kavramı haline geldi... Vikipedi

Drenaj sırasında suyun ters girdap yapması, Coriolis etkisinin, suyun bir lavabonun veya küvetin drenaj deliğine aktığında meydana gelen bir girdap içindeki hareketine yanlış uygulanmasına dayanan sözde bilimsel bir efsanedir. Efsanenin özü şudur ki su... ... Vikipedi

İRRASYONEL SAYI Kesir olarak ifade edilemeyen sayılara denir. Örnekler arasında T2 ve p numarası yer alır. Bu nedenle irrasyonel sayılar, sonsuz sayıda (periyodik olmayan) ondalık basamağa sahip sayılardır. (Ancak bunun tersi doğru değildir... ... Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

Laplace dönüşümü, karmaşık bir değişkenin (görüntü) bir fonksiyonunu gerçek bir değişkenin (orijinal) bir fonksiyonuyla ilişkilendiren integral bir dönüşümdür. Onun yardımıyla dinamik sistemlerin özellikleri incelenir ve diferansiyel ve ... Wikipedia çözülür

Kitaplar

Mutlu Eşler Kulübü, Weaver Von. Dünyanın farklı yerlerinden, birbirini tanımayan, farklı kaderlere sahip 27 kadın. Tek bir şey dışında hiçbir ortak noktaları yok; 25 yılı aşkın süredir evliliklerinde inanılmaz derecede mutlular, çünkü Sırrı biliyorlar... Ne zaman...

Wikipedia'dan materyal - özgür ansiklopedi

Ters numara(karşılıklı değer, karşılıklı değer) belirli bir sayıya X ile çarpımı olan bir sayıdır X, bir tane verir. Kabul edilen giriş: $\frac(1)x$ veya $x^(-1)$ . Çarpımları bire eşit olan iki sayıya denir karşılıklı ters. Bir sayının tersi, bir fonksiyonun tersi ile karıştırılmamalıdır. Örneğin, $\frac(1)(\cos(x))$ fonksiyonun değerinden kosinüs - ark kosinüsüne ters olarak farklılık gösterir; $\cos^(-1)x$ veya $\arccos x$ .

Gerçek sayıya ters

Karmaşık sayı formları	Sayı $(z)$	Tersi $\left (\frac(1)(z) \right)$
Cebirsel	$x+iy$	$\frac(x)(x^2+y^2)-i \frac(y)(x^2+y^2)$
Trigonometrik	$r(\cos\varphi+i \sin\varphi)$	$\frac(1)(r)(\cos\varphi-i \sin\varphi)$
Gösterge niteliğinde	$re^(i\varphi)$	$\frac(1)(r)e^(-i \varphi)$

Kanıt:
Cebirsel ve trigonometrik formlar için, pay ve paydayı karmaşık eşlenikle çarparak bir kesrin temel özelliğini kullanırız:

Cebirsel form:

$\frac(1)(z)= \frac(1)(x+iy)= \frac(x-iy)((x+iy)(x-iy))= \frac(x-iy)(x^) 2+y^2)= \frac(x)(x^2+y^2)-i \frac(y)(x^2+y^2)$

Trigonometrik form:

$\frac(1)(z) = \frac(1)(r(\cos\varphi+i \sin\varphi)) = \frac(1)(r) \frac(\cos\varphi-i \sin\ varphi)((\cos\varphi+i \sin\varphi)(\cos\varphi-i \sin\varphi)) = \frac(1)(r) \frac(\cos\varphi-i \sin\varphi) )(\cos^2\varphi+ \sin^2\varphi) = \frac(1)(r)(\cos\varphi-i \sin\varphi)$

Gösterim formu:

$\frac(1)(z) = \frac(1)(re^(i \varphi)) = \frac(1)(r)e^(-i \varphi)$

Bu nedenle karmaşık bir sayının tersini bulurken üstel formunu kullanmak daha uygundur.

Örnek:

Karmaşık sayı formları	Sayı $(z)$	Tersi $\left (\frac(1)(z) \right)$
Cebirsel	$1+i\sqrt(3)$	$\frac(1)(4)- \frac(\sqrt(3))(4)i$
Trigonometrik	$2 \left (\cos\frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) \right)$ veya $2 \left (\frac(1)(2)+i\frac(\sqrt(3))(2) \right)$	$\frac(1)(2) \left (\cos\frac(\pi)(3)-i\sin\frac(\pi)(3) \right)$ veya $\frac(1)(2) \left (\frac(1)(2)-i\frac(\sqrt(3))(2) \right)$
Gösterge niteliğinde	$2 e^(i \frac(\pi)(3))$	$\frac(1)(2) e^(-i \frac(\pi)(3))$

Sanal birimin tersi

$\frac(1)(i)=\frac(1 \cdot i)(i \cdot i)=\frac(i)(i^2)=\frac(i)(-1)=-i$

Böylece elde ederiz

$\frac(1)(i)=-i$ __ veya__ $i^(-1)=-i$

Aynı şekilde $-Ben$ : __ $- \frac(1)(i)=i$ __ veya __ $-i^(-1)=i$

"Ters sayı" makalesi hakkında bir inceleme yazın

Notlar

Ayrıca bakınız

Ters sayıyı karakterize eden alıntı

Hikayeler bunu söylüyor ve konunun özüne inmek isteyen herkesin rahatlıkla görebileceği gibi, tüm bunlar tamamen adaletsiz.
Ruslar daha iyi bir konum bulamadılar; ama tam tersine geri çekilirken Borodino'dan daha iyi birçok pozisyondan geçtiler. Bu pozisyonların hiçbirinde karara varamadılar: Hem Kutuzov kendisi tarafından seçilmeyen bir pozisyonu kabul etmek istemediği için, hem halk savaşı talebi henüz yeterince güçlü bir şekilde ifade edilmediği için, hem de Miloradovich henüz yaklaşmadığı için. milislerle ve ayrıca sayısız başka nedenlerden dolayı. Gerçek şu ki, önceki konumlar daha güçlüydü ve Borodino konumu (savaşın yapıldığı konum) sadece güçlü olmamakla kalmıyor, aynı zamanda bazı nedenlerden dolayı Rus İmparatorluğu'ndaki diğer yerlerden daha fazla bir konum da değil. , eğer tahmin ediyorsan haritada bir raptiyeyle işaret edebilirsin.
Ruslar, Borodino sahasının sola doğru yola dik açılarda (yani savaşın gerçekleştiği yer) konumunu güçlendirmekle kalmadı, aynı zamanda 25 Ağustos 1812'den önce savaşın sürebileceğini asla düşünmediler. bu yere yerleştirin. Bu, öncelikle, ayın 25'inde bu yerde hiçbir tahkimat bulunmaması değil, aynı zamanda ayın 25'inde başlayıp 26'sında bile bitirilememiş olmasıyla kanıtlanıyor; ikincisi, kanıt, Shevardinsky tabyasının konumudur: savaşın kararlaştırıldığı konumun ilerisindeki Shevardinsky tabyasının hiçbir anlamı yoktur. Bu tabya neden diğer tüm noktalardan daha güçlü bir şekilde güçlendirildi? Peki neden ayın 24'ünde gece geç saatlere kadar savunmak için tüm çabalar tükendi ve altı bin kişi kaybedildi? Düşmanı gözlemlemek için bir Kazak devriyesi yeterliydi. Üçüncüsü, savaşın gerçekleştiği pozisyonun öngörülmediğinin ve Shevardinsky tabyasının bu pozisyonun ileri noktası olmadığının kanıtı, Barclay de Tolly ve Bagration'ın 25'ine kadar Shevardinsky tabyasının sol kanat olduğuna ikna olmuş olmasıdır. Pozisyonun kendisi ve Kutuzov'un kendisi, savaştan sonraki anın sıcağında yazdığı raporunda, Shevardinsky tabyasını pozisyonun sol kanadı olarak adlandırıyor. Çok daha sonra, Borodino Muharebesi hakkındaki raporlar açıkça yazıldığında, (muhtemelen yanılmaz olması gereken başkomutanın hatalarını haklı çıkarmak için) Shevardinsky'nin tabyasına dair haksız ve tuhaf ifade icat edildi. ileri bir mevki görevi görüyordu (sadece sol kanadın güçlendirilmiş bir noktası olmasına rağmen) ve sanki Borodino Savaşı bizim tarafımızdan güçlendirilmiş ve önceden seçilmiş bir pozisyonda kabul edilmiş gibi, oysa tamamen beklenmedik ve neredeyse hiç güçlendirilmemiş bir yerde gerçekleşti. .
Açıkçası olay şöyleydi: Konum, ana yolu dik açıyla değil, dar bir açıyla geçen Kolocha Nehri boyunca seçilmişti, böylece sol kanat Şevardin'de, sağ kanat ise köyünün yakınındaydı. Novy ve Borodino'daki merkez, Kolocha ve Vo nehirlerinin birleştiği noktada. Amacı düşmanın Smolensk yolu boyunca Moskova'ya doğru ilerlemesini durdurmak olan bir ordu için Kolocha Nehri'nin örtüsü altındaki bu pozisyon, Borodino sahasına bakan ve savaşın nasıl gerçekleştiğini unutan herkes için açıktır.
24'ünde Valuev'e giden Napolyon, (hikayelerde söylendiği gibi) Rusların Utitsa'dan Borodin'e kadar olan konumunu görmedi (bu konumu göremedi çünkü yoktu) ve ileriyi görmedi. Rus ordusunun görevi, ancak Rus mevzisinin sol kanadına, Shevardinsky tabyasına doğru takip ederken Rus arka korumasına rastladı ve Ruslar için beklenmedik bir şekilde Kolocha üzerinden asker transfer etti. Ve genel bir savaşa girecek vakti olmayan Ruslar, sol kanatlarıyla işgal etmek istedikleri pozisyondan çekilerek öngörülmeyen ve güçlendirilmeyen yeni bir pozisyon aldılar. Kolocha'nın sol tarafına, yolun soluna hareket eden Napolyon, gelecekteki tüm savaşı sağdan sola (Rus tarafından) kaydırdı ve Utitsa, Semenovsky ve Borodin arasındaki sahaya (bu sahaya) aktardı. konum açısından Rusya'daki herhangi bir alandan daha avantajlı hiçbir şeyi yoktur) ve tüm savaş ayın 26'sında bu alanda gerçekleşti. Önerilen savaşın ve gerçekleşen savaşın planı kabaca aşağıdaki gibi olacaktır:

Napolyon ayın 24'ü akşamı Kolocha'ya gitmemiş olsaydı ve akşam hemen tabyaya saldırı emri vermeseydi ve ertesi gün sabah bir saldırı başlatsaydı, o zaman kimse Shevardinsky tabyasının olduğundan şüphe etmezdi. konumumuzun sol kanadı; ve savaş beklediğimiz gibi gerçekleşecekti. Bu durumda muhtemelen sol kanadımız olan Shevardinsky tabyasını daha da inatla savunurduk; Napolyon merkezden veya sağdan saldırıya uğrayacak ve ayın 24'ünde güçlendirilmiş ve öngörülen pozisyonda genel bir savaş gerçekleşecekti. Ancak sol kanadımıza saldırı akşam saatlerinde, arka korumamızın geri çekilmesinin ardından, yani Gridneva savaşının hemen ardından gerçekleştiğinden ve Rus askeri liderleri genel bir savaş başlatmak istemediğinden veya zamanları olmadığından. ayın 24'ünün aynı akşamı, Borodinsky'nin ilk ve ana eylemi. Savaş ayın 24'ünde kaybedildi ve açıkçası, 26'sında yapılanın da kaybedilmesine yol açtı.
Shevardinsky tabyasının kaybından sonra, ayın 25'i sabahı kendimizi sol kanatta pozisyonsuz bulduk ve sol kanadımızı geriye doğru bükmek ve aceleyle herhangi bir yerde güçlendirmek zorunda kaldık.
Ancak 26 Ağustos'ta Rus birlikleri yalnızca zayıf, tamamlanmamış tahkimatların koruması altında durmakla kalmadı, aynı zamanda Rus askeri liderlerinin tamamen başarılmış bir gerçeği (konum kaybı) tanımaması nedeniyle bu durumun dezavantajı daha da arttı. sol kanat ve gelecekteki tüm savaş alanının sağdan sola aktarılması ), Novy köyünden Utitsa'ya kadar genişletilmiş konumlarında kaldı ve sonuç olarak, savaş sırasında birliklerini sağdan sola hareket ettirmek zorunda kaldı. Böylece tüm savaş boyunca Rusların sol kanadımıza yönelik tüm Fransız ordusuna karşı iki kat daha zayıf güçleri vardı. (Poniatowski'nin Fransız sağ kanadında Utitsa ve Uvarov'a karşı eylemleri savaşın gidişatından ayrı eylemlerdi.)
Yani Borodino Muharebesi hiç de onların tanımladığı gibi gerçekleşmedi (askeri liderlerimizin hatalarını gizlemeye çalışmak ve bunun sonucunda Rus ordusunun ve halkının ihtişamını azaltmak). Borodino Muharebesi, Rus tarafında biraz daha zayıf olan kuvvetlerle seçilmiş ve güçlendirilmiş bir konumda gerçekleşmedi, ancak Borodino Muharebesi, Shevardinsky tabyasının kaybı nedeniyle Ruslar tarafından neredeyse açık, neredeyse açık bir şekilde kabul edildi. Güçlerin Fransızlara karşı iki kat daha zayıf olduğu tahkimatsız bölge, yani on saat boyunca savaşmanın ve savaşı kararsız hale getirmenin düşünülemez olduğu, aynı zamanda orduyu tam bir yenilgiden ve üç saat boyunca kaçmaktan alıkoymanın da düşünülemeyeceği koşullar altında. saat.

Ayın 25'inin sabahı Pierre Mozhaisk'ten ayrıldı. Şehrin dışına çıkan devasa dik ve kavisli dağdan inerken, sağdaki dağda duran, içinde ayinlerin yapıldığı ve müjdenin vaaz edildiği katedrali geçtikten sonra Pierre arabadan indi ve yoluna devam etti. ayak. Arkasında, önde şarkıcılarla birlikte bir süvari alayı dağa iniyordu. Dünkü olayda yaralananların bulunduğu bir araba treni ona doğru geliyordu. Atlara bağıran ve onları kırbaçlayan köylü sürücüler bir taraftan diğer tarafa koşuyorlardı. Üç-dört yaralı askerin yatıp oturduğu arabalar, dik bir tırmanışla kaldırım şeklinde atılan taşların üzerinden atladı. Paçavralarla bağlanmış, solgun, dudakları büzülmüş ve kaşlarını çatmış yaralılar yataklara tutunarak atladılar ve arabalara itildiler. Herkes Pierre'in beyaz şapkasına ve yeşil ceketine neredeyse saf çocukça bir merakla baktı.

İçerik:

Her türlü cebirsel denklemi çözerken karşılıklılıklara ihtiyaç vardır. Örneğin, bir kesirli sayıyı diğerine bölmeniz gerekiyorsa, ilk sayıyı ikincinin tersiyle çarparsınız. Ayrıca bir doğrunun denklemini bulurken karşılıklı sayılar kullanılır.

Adımlar

1 Bir kesrin veya tam sayının tersini bulma

1 Bir kesrin tersini alarak tersini bulun."Karşılıklı sayı" çok basit bir şekilde tanımlanır. Bunu hesaplamak için "1 ÷ (orijinal sayı)" ifadesinin değerini hesaplamanız yeterlidir. Kesirli bir sayı için, bir kesrin tersi, kesri basitçe "tersine çevirerek" (pay ve paydanın yerlerini değiştirerek) hesaplanabilen başka bir kesirli sayıdır.
- Örneğin 3/4 kesirinin tersi 4 / 3 .
2 Bir tam sayının tersini kesir olarak yazın. Ve bu durumda karşılıklı sayı 1 ÷ (orijinal sayı) olarak hesaplanır. Tam sayı için karşılıklı sayıyı kesir olarak yazmaya gerek yoktur; hesaplamaları yapıp ondalık sayı olarak yazmaya gerek yoktur.
- Örneğin, 2'nin tersi 1 ÷ 2 = 1 / 2 .

2 Karışık bir kesrin tersini bulma

1 "Karışık kesir" nedir? Karışık kesir, bir tam sayı ve basit bir kesir olarak yazılan bir sayıdır, örneğin 2 4 / 5. Karışık bir kesrin tersini bulmak, aşağıda açıklanan iki adımda gerçekleştirilir.
2 Karışık kesri uygunsuz kesir olarak yazın. Bir birimin (sayı)/(aynı sayı) şeklinde yazılabileceğini ve paydası aynı olan kesirlerin (çizgi altı sayı) birbirine eklenebileceğini elbette unutmayın. 2 4/5 kesri için bunu nasıl yapacağınız aşağıda açıklanmıştır:
- 2 4 / 5
- = 1 + 1 + 4 / 5
- = 5 / 5 + 5 / 5 + 4 / 5
- = (5+5+4) / 5
- = 14 / 5 .
3 Kesirleri ters çevirin. Karışık bir kesir uygunsuz bir kesir olarak yazıldığında, pay ve paydayı değiştirerek tersini kolayca bulabiliriz.
- Yukarıdaki örnekte karşılıklı sayı 14/5 olacaktır - 5 / 14 .

3 Ondalık kesrin tersini bulma

1 Mümkünse ondalık sayıyı kesir olarak ifade edin. Pek çok ondalık sayının kolaylıkla kesirlere dönüştürülebileceğini bilmeniz gerekir. Örneğin 0,5 = 1/2 ve 0,25 = 1/4. Bir sayıyı basit kesir olarak yazdığınızda, kesri ters çevirerek karşılığını kolayca bulabilirsiniz.
- Örneğin 0,5'in karşılığı 2/1 = 2'dir.
2 Bölmeyi kullanarak problemi çözün. Ondalık sayıyı kesir olarak yazamıyorsanız, sorunu bölerek çözerek karşılığını hesaplayın: 1 ÷ (ondalık). Bunu çözmek için hesap makinesi kullanabilir veya değeri manuel olarak hesaplamak istiyorsanız bir sonraki adıma geçebilirsiniz.
- Örneğin 0,4'ün karşılığı 1 ÷ 0,4 olarak hesaplanır.
3 İfadeyi tam sayılarla çalışacak şekilde değiştirin. Ondalık sayıyı bölmenin ilk adımı, ifadedeki tüm sayılar tam sayı oluncaya kadar ondalık noktayı hareket ettirmektir. Hem bölen hem de bölende ondalık basamağı aynı sayıda basamak hareket ettirdiğiniz için doğru cevabı alırsınız.
4 Örneğin 1 ÷ 0,4 ifadesini alıp 10 ÷ 4 olarak yazarsınız. Bu durumda, ondalık basamağı bir basamak sağa kaydırmış olursunuz; bu, her sayıyı onla çarpmakla aynı şeydir.
5 Sayıları bir sütuna bölerek sorunu çözün. Uzun bölmeyi kullanarak karşılıklı sayıyı hesaplayabilirsiniz. 10'u 4'e bölerseniz 0,4'ün tersi olan 2,5 değerini elde etmelisiniz.

Negatif bir karşılıklı sayının değeri, karşılıklı sayının -1 ile çarpımına eşit olacaktır. Örneğin 3/4'ün negatif karşılığı -4/3'tür.
Bir sayının karşılıklılığına bazen "karşılıklı" veya "karşılıklı" denir.
1 sayısı kendisinin tersidir çünkü 1 ÷ 1 = 1'dir.
Sıfırın tersi yoktur çünkü 1 ÷ 0 ifadesinin çözümü yoktur.

Karşılıklı sayıların tanımını verip örnekler verelim. Bir doğal sayının tersini ve ortak bir kesrin tersini nasıl bulacağımıza bakalım. Ayrıca karşılıklı sayıların toplamının özelliğini yansıtan bir eşitsizliği yazıp ispatlıyoruz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Karşılıklı sayılar. Tanım

Tanım. Karşılıklı sayılar

Karşılıklı sayılar çarpımı bire eşit olan sayılardır.

a · b = 1 ise, b sayısının a sayısının tersi olması gibi, a sayısının da b sayısının tersi olduğunu söyleyebiliriz.

Karşılıklı sayıların en basit örneği iki birimdir. Aslında 1 · 1 = 1, dolayısıyla a = 1 ve b = 1 birbirinin tersi sayılardır. Diğer bir örnek ise 3 ve 1 3, - 2 3 ve - 3 2, 6 13 ve 13 6, log 3 17 ve log 17 3 sayılarıdır. Yukarıdaki sayı çiftlerinden herhangi birinin çarpımı bire eşittir. Bu koşul karşılanmazsa, örneğin 2 ve 2 3 sayıları için, o zaman sayılar karşılıklı olarak ters değildir.

Karşılıklı sayıların tanımı herhangi bir sayı için geçerlidir - doğal, tam sayı, gerçek ve karmaşık.

Belirli bir sayının tersi nasıl bulunur?

Genel durumu ele alalım. Orijinal sayı a'ya eşitse ters sayısı 1 a veya a - 1 olarak yazılır. Aslında, a · 1 a = a · a - 1 = 1 .

Doğal sayılar ve sıradan kesirler için tersini bulmak oldukça basittir. Hatta bunun apaçık olduğu bile söylenebilir. İrrasyonel veya karmaşık bir sayının tersi olan bir sayı bulursanız bir dizi hesaplama yapmanız gerekecektir.

Pratikte karşılıklı sayıyı bulmanın en yaygın durumlarını ele alalım.

Ortak bir kesrin tersi

Açıkçası, ortak bir a b kesirinin tersi, b a kesridir. Yani bir kesrin tersini bulmak için kesri ters çevirmeniz yeterlidir. Yani pay ve paydayı değiştirin.

Bu kurala göre herhangi bir sıradan kesrin tersini neredeyse anında yazabilirsiniz. Yani, 28 57 fraksiyonu için karşılıklı sayı 57 28 fraksiyonu ve 789 256 fraksiyonu için 256 789 sayısı olacaktır.

Bir doğal sayının tersi

Herhangi bir doğal sayının tersini, bir kesrin tersini bulmayla aynı şekilde bulabilirsiniz. A doğal sayısını sıradan bir kesir olan a 1 biçiminde temsil etmek yeterlidir. O zaman ters sayısı 1a olacaktır. Doğal sayı 3 için, bunun tersi kesir 1 3'tür, 666 sayısı için ise tersi 1.666'dır ve böyle devam eder.

Karşılığı kendisine eşit olan tek sayı olduğu için birine özellikle dikkat edilmelidir.

Her iki bileşenin eşit olduğu başka karşılıklı sayı çifti yoktur.

Karışık bir sayının tersi

Karışık sayı a b c'ye benziyor. Ters sayısını bulmak için, karışık sayıyı uygunsuz bir kesir olarak göstermeniz ve ardından elde edilen kesir için ters sayıyı seçmeniz gerekir.

Örneğin, 7 2 5'in karşılıklı sayısını bulalım. Öncelikle 7 2 5'i bileşik bir kesir olarak düşünelim: 7 2 5 = 7 5 + 2 5 = 37 5.

Uygunsuz kesir 37 5'in tersi 5 37'dir.

Ondalık sayının tersi

Ondalık sayı aynı zamanda kesir olarak da gösterilebilir. Ondalık sayının tersini bulmak, ondalık sayıyı kesir olarak temsil etmek ve karşılığını bulmak anlamına gelir.

Örneğin 5, 128 kesri var. Ters sayısını bulalım. Öncelikle ondalık kesri sıradan bir kesire dönüştürün: 5, 128 = 5 128 1000 = 5 32 250 = 5 16 125 = 641 125. Ortaya çıkan kesir için karşılıklı sayı 125 641 kesri olacaktır.

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek. Bir ondalık sayının tersini bulma

Periyodik ondalık kesir 2, (18)'in karşılıklı sayısını bulalım.

Ondalık kesirin sıradan kesire dönüştürülmesi:

2, 18 = 2 + 18 · 10 - 2 + 18 · 10 - 4 +. . . = 2 + 18 10 - 2 1 - 10 - 2 = 2 + 18 99 = 2 + 2 11 = 24 11

Çeviriden sonra 24 11 kesrinin ters sayısını rahatlıkla yazabiliriz. Bu sayının 11 24 olacağı kesin.

Sonsuz ve periyodik olmayan bir ondalık kesir için, karşılıklı sayı, payda bir birim ve paydada kesirin kendisi olacak şekilde kesir olarak yazılır. Örneğin sonsuz kesir 3 için 6025635789. . . karşılıklı sayı 1 3, 6025635789 olacaktır. . . .

Benzer şekilde periyodik olmayan sonsuz kesirlere karşılık gelen irrasyonel sayılar için karşılıklı sayılar kesirli ifadeler şeklinde yazılır.

Örneğin, π + 3 3 80'in karşılığı 80 π + 3 3 olacaktır ve 8 + e 2 + e sayısının karşılığı 1 8 + e 2 + e kesri olacaktır.

Kökleri olan karşılıklı sayılar

İki sayının türü a ve 1 a'dan farklıysa sayıların karşılıklı olup olmadığını belirlemek her zaman kolay değildir. Bu özellikle notasyonlarında kök işareti olan sayılar için geçerlidir, çünkü genellikle paydadaki kökten kurtulmak gelenekseldir.

Hadi pratiğe dönelim.

Şu soruyu cevaplayalım: 4 - 2 3 ve 1 + 3 2 sayıları karşılıklı mıdır?

Sayıların karşılıklı olup olmadığını öğrenmek için çarpımlarını hesaplayalım.

4 - 2 3 1 + 3 2 = 4 - 2 3 + 2 3 - 3 = 1

Çarpım bire eşittir, yani sayılar karşılıklıdır.

Başka bir örneğe bakalım.

Örnek. Kökleri olan karşılıklı sayılar

5 3 + 1'in karşılığını yazın.

Karşılıklı sayının 1 5 3 + 1 kesrine eşit olduğunu hemen yazabiliriz. Ancak daha önce de söylediğimiz gibi paydadaki kökten kurtulmak adettir. Bunu yapmak için pay ve paydayı 25 3 - 5 3 + 1 ile çarpın. Şunu elde ederiz:

1 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 + 1 25 3 - 5 3 + 1 = 25 3 - 5 3 + 1 5 3 3 + 1 3 = 25 3 - 5 3 + 1 6

Üssü olan karşılıklı sayılar

Diyelim ki a sayısının bazı kuvvetlerine eşit bir sayı var. Başka bir deyişle, a sayısının n üssüne yükseltilmesi. a n sayısının tersi a - n sayısıdır. Hadi kontrol edelim. Aslında: a n · a - n = an n 1 · 1 a n = 1 .

Örnek. Üssü olan karşılıklı sayılar

5 - 3 + 4'ün karşılıklı sayısını bulalım.

Yukarıda yazdıklarımıza göre gerekli sayı 5 - - 3 + 4 = 5 3 - 4'tür.

Logaritmalarla karşılıklı sayılar

Bir sayının b tabanına göre logaritmasının tersi, b'nin a tabanına göre logaritmasına eşit olan sayıdır.

log a b ve log b a karşılıklı olarak ters sayılardır.

Hadi kontrol edelim. Logaritmanın özelliklerinden log a b = 1 log b a sonucu çıkar, bu da log a b · log b a anlamına gelir.

Örnek. Logaritmalarla karşılıklı sayılar

Log 3 5 - 2 3'ün karşılığını bulun.

3'ün 3 tabanına göre logaritmasının 5 - 2 tabanına karşılığı, 3 5 - 2'nin 3 tabanına göre logaritmasıdır.

Karmaşık bir sayının tersi

Daha önce de belirtildiği gibi, karşılıklı sayıların tanımı yalnızca gerçek sayılar için değil, karmaşık sayılar için de geçerlidir.

Karmaşık sayılar genellikle cebirsel formda z = x + i y ile temsil edilir. Verilen sayının tersi bir kesirdir

1 x + ben y . Kolaylık olması açısından pay ve paydayı x - i y ile çarparak bu ifadeyi kısaltabilirsiniz.

Örnek. Karmaşık bir sayının tersi

z = 4 + i şeklinde bir karmaşık sayı olsun. Bunun tersini bulalım.

z = 4 + i'nin karşılığı 1 4 + i'ye eşit olacaktır.

Pay ve paydayı 4 - i ile çarpın ve şunu elde edin:

1 4 + ben = 4 - ben 4 + ben 4 - ben = 4 - ben 4 2 - ben 2 = 4 - ben 16 - (- 1) = 4 - ben 17 .

Cebirsel forma ek olarak, karmaşık bir sayı trigonometrik veya üstel formda aşağıdaki şekilde temsil edilebilir:

z = r çünkü φ + i sin φ

z = r e ben φ

Buna göre ters sayı şöyle görünecektir:

1 r cos (- φ) + i sin (- φ)

Şundan emin olalım:

r çünkü φ + ben günah φ 1 r çünkü (- φ) + ben günah (- φ) = r r çünkü 2 φ + günah 2 φ = 1 r e ben φ 1 r e ben (- φ) = r r e 0 = 1

Karmaşık sayıların trigonometrik ve üstel biçimde temsiline ilişkin örnekleri ele alalım.

2 3 cos π 6 + i · sin π 6'nın ters sayısını bulalım.

r = 2 3, φ = π 6 olduğunu düşünürsek ters sayıyı yazıyoruz

3 2 çünkü - π 6 + i günah - π 6

Örnek. Karmaşık bir sayının tersini bulun

2 · e i · - 2 π 5'in tersi hangi sayı olacaktır?

Cevap: 1 2 e i 2 π 5

Karşılıklı sayıların toplamı. Eşitsizlik

Karşılıklı olarak ters iki sayının toplamı hakkında bir teorem vardır.

Karşılıklı sayıların toplamı

İki pozitif ve karşılıklı sayının toplamı her zaman 2'den büyük veya eşittir.

Teoremin kanıtını verelim. Bilindiği gibi a ve b pozitif sayılarının aritmetik ortalaması geometrik ortalamadan büyük veya ona eşittir. Bu bir eşitsizlik olarak yazılabilir:

a + b 2 ≥ a b

Eğer b sayısı yerine a'nın tersini alırsak eşitsizlik şu şekilde olacaktır:

a + 1 a 2 ≥ a 1 a a + 1 a ≥ 2

Q.E.D.

Bu özelliği gösteren pratik bir örnek verelim.

Örnek. Karşılıklı sayıların toplamını bulun

2 3 sayılarının toplamını ve tersini hesaplayalım.

2 3 + 3 2 = 4 + 9 6 = 13 6 = 2 1 6

Teoremin dediği gibi ortaya çıkan sayı ikiden büyüktür.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.