E sayısı neyi temsil eder? Uzayın sayısı ve küresel simetrisi

SAYI e. Matematik ve fen bilimlerinde sıklıkla bulunan, yaklaşık olarak 2,718'e eşit bir sayı. Örneğin radyoaktif bir maddenin zamanla bozunması T maddenin orijinal miktarının bir kısmı eşit kalır e-kt, Nerede k– belirli bir maddenin bozunma hızını karakterize eden bir sayı. 1/'in tersi k Belirli bir maddenin atomunun ortalama ömrü denir, çünkü ortalama olarak bir atom bozunmadan önce 1/1 süre boyunca varlığını sürdürür. k. Değer 0,693/ k radyoaktif bir maddenin yarı ömrü denir, yani bir maddenin orijinal miktarının yarısının parçalandığı süre; 0,693 sayısı yaklaşık olarak log'a eşittir e 2, yani 2 sayısının tabana göre logaritması e. Benzer şekilde, eğer bir besin ortamındaki bakteriler o andaki sayılarıyla orantılı bir oranda çoğalıyorsa, zamanla T başlangıçtaki bakteri sayısı N dönüşür Ne kt. Elektrik akımının zayıflaması BEN seri bağlantılı basit bir devrede direnç R ve endüktans L kanuna göre olur ben = ben 0 e-kt, Nerede k = R/L, BEN 0 – o andaki mevcut güç T= 0. Benzer formüller, viskoz bir akışkandaki gerilim gevşemesini ve manyetik alanın sönümlenmesini tanımlar. 1 numara/ k genellikle dinlenme zamanı denir. İstatistiklerde bu değer e-kt zaman içinde olasılığı olarak ortaya çıkar T ortalama sıklıkta rastgele meydana gelen hiçbir olay yoktu k Birim zaman başına olaylar. Eğer S- yatırılan para miktarı R ayrı aralıklarla tahakkuk etmek yerine sürekli tahakkuk eden faiz, o zaman zamana göre T başlangıç ​​tutarı artacak Se tr/100.

Sayının “her yerde bulunmasının” nedeni eüstel fonksiyon veya logaritma içeren matematiksel analiz formüllerinin logaritmalar tabana alınırsa daha basit yazılmasında yatmaktadır. e 10 veya başka bir taban değil. Örneğin log 10'un türevi X eşittir (1/ X)günlük 10 e, oysa log'un türevi eski basitçe 1/'e eşittir X. Benzer şekilde 2'nin türevi X 2'ye eşittir X kayıt e 2, oysa türevi eski basitçe eşittir eski. Bu şu anlama gelir: sayı e temel olarak tanımlanabilir B, burada fonksiyonun grafiği y = kayıt b xşu noktada var X= 1'e eşit eğime sahip 1 teğet veya eğrinin y = bx içinde var X= 0 eğimi 1'e eşit olan teğet. Tabana göre logaritmalar e“doğal” olarak adlandırılır ve ln olarak adlandırılır. X. Bazen bunlara “Nepier” de denir ki bu yanlıştır çünkü aslında J. Napier (1550–1617) farklı bir tabana sahip logaritmaları icat etmiştir: sayının Nepier logaritması X 10 7 log 1/'e eşittir e (X/10 7) .

Çeşitli derece kombinasyonları e Matematikte o kadar sık ​​karşımıza çıkarlar ki özel isimleri vardır. Bunlar örneğin hiperbolik fonksiyonlardır.

Bir fonksiyonun grafiği sen= kanal X katener hattı denir; Bu, uçlardan sarkan, ağır, uzamayan bir ipliğin veya zincirin şeklidir. Euler formülleri

Nerede Ben 2 = –1, bağlama numarası e trigonometri ile. Özel durum x = pünlü ilişkiye yol açıyor e ip+ 1 = 0, matematikteki en ünlü 5 sayıyı birbirine bağlar.

Herkes sayının geometrik anlamını biliyor π birim çapa sahip bir dairenin uzunluğu:

Ama burada başka bir önemli sabitin anlamı da var: e, çabuk unutulma eğilimindedir. Yani sizi bilmem ama her seferinde 2,7182818284590'a eşit olan bu sayının neden bu kadar dikkat çekici olduğunu hatırlamak benim için bir çaba gerektiriyor... (Fakat ben değeri hafızadan yazdım). Ben de hafızamdan başka hiçbir şeyin kaçmaması için bir not yazmaya karar verdim.

Sayı e tanım gereği - bir fonksiyonun limiti sen = (1 + 1 / X) X en X → ∞:

Bu tanım ne yazık ki net değildir. Bu sınırın neden dikkate değer olduğu açık değildir (“ikinci dikkat çekici” olarak adlandırılmasına rağmen). Bir düşünün, bazı beceriksiz fonksiyonları alıp limiti hesapladılar. Farklı bir işlevin farklı bir işlevi olacaktır.

Ama sayı e Bazı nedenlerden dolayı matematikte bir sürü farklı durumda karşımıza çıkıyor.

Benim için sayının asıl anlamı e başka, çok daha ilginç bir fonksiyonun davranışında ortaya çıkıyor, sen = k X. Bu işlevin benzersiz bir özelliği vardır: k = e grafiksel olarak şu şekilde gösterilebilir:

0 noktasında fonksiyon değeri alır e 0 = 1. Bir noktaya teğet çizerseniz X= 0 ise, x eksenine 1 teğetlik bir açıyla geçecektir (içinde sarı üçgen karşı tarafın (1) bitişik tarafa (1) oranı 1'dir). 1. noktada fonksiyon değeri alır e 1 = e. Bir noktaya teğet çizerseniz X= 1 ise teğet bir açıyla geçecektir e(V yeşil üçgen karşı taraf oranı e komşu 1 eşittir e). 2. noktada değer e Fonksiyonun 2'si yine kendisine teğetin eğim açısının teğetiyle çakışıyor. Bu nedenle, aynı zamanda teğetlerin kendisi de x eksenini tam olarak -1, 0, 1, 2 vb. noktalarda keser.

Tüm işlevler arasında sen = k X(örneğin 2 X , 10 X , π X vb.), fonksiyon e X- o kadar güzelliğe sahip olan tek şey, her bir noktasındaki eğim açısının teğeti, fonksiyonun değeri ile çakışıyor. Bu, tanım gereği, bu fonksiyonun her noktadaki değerinin bu noktadaki türevinin değeriyle çakıştığı anlamına gelir: ( e X)´ = e X. Bazı nedenlerden dolayı sayı e= 2,7182818284590... böyle bir resim elde etmek için farklı güçlere yükseltilmesi gerekiyor.

Bana göre anlamı budur.

Sayılar π Ve e en sevdiğim formül olan Euler formülü, en önemli 5 sabiti (sıfır, bir, sanal birim) birleştiren formülde yer alıyor Ben ve aslında sayılar π Ve e:

e iπ + 1 = 0

2,7182818284590 sayısının neden 3,1415926535'in karmaşık kuvvetine oranı... Ben aniden eksi bire eşit mi oldu? Bu sorunun cevabı bu notun kapsamı dışındadır ve trigonometri, limitler ve serilerle ilgili bazı temel bilgileri gerektirecek kısa bir kitabın içeriğini oluşturabilir.

Bu formülün güzelliğine her zaman hayran kalmışımdır. Belki matematikte daha şaşırtıcı gerçekler vardır, ama benim seviyem için (fizik ve matematik lisesinden C ve üniversitede karmaşık analizden A) bu en önemli mucizedir.

Üs , veya olarak gösterilir.

e numarası

Üslü derecenin temeli e numarası. Bu irrasyonel bir sayıdır. Yaklaşık olarak eşittir
e ≈ 2,718281828459045...

E sayısı dizinin limiti aracılığıyla belirlenir. Bu sözde ikinci harika sınır:
.

e sayısı aynı zamanda bir seri olarak da gösterilebilir:
.

Üstel grafik

Üstel grafik, y = e x .

Grafik üssü gösterir e bir dereceye kadar X.
sen (x) = ex
Grafik, üssün monoton olarak arttığını göstermektedir.

Formüller

Temel formüller, tabanı e olan üstel fonksiyonla aynıdır.

;
;
;

Üstel bir fonksiyonun a'dan üstel bir dereceye kadar rastgele bir derece tabanıyla ifadesi:
.

Özel değerler

izin ver (x) = ex.
.

Daha sonra

Üs Özellikleri e > 1 .

Üs, kuvvet tabanına sahip bir üstel fonksiyonun özelliklerine sahiptir

Etki alanı, değerler kümesi (x) = ex y üssü
tüm x'ler için tanımlıdır.
- ∞ < x + ∞ .
Tanım alanı:
0 < y < + ∞ .

Birçok anlamı var:

Aşırılıklar, artan, azalan

Üstel monoton olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur. Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır.

Ters fonksiyon
;
.

Üssün tersi doğal logaritmadır.

Üssün türevi e bir dereceye kadar X Türev e bir dereceye kadar X :
.
eşit
.
N'inci dereceden türev:

Formüllerin türetilmesi > > >

İntegral

Karmaşık sayılar Karmaşık sayılarla işlemler kullanılarak gerçekleştirilir.:
,
Euler formülleri
.

sanal birim nerede:

; ;
.

Trigonometrik fonksiyonları kullanan ifadeler

; ;
;
.

Kuvvet serisi genişletmesi

Kullanılan literatür:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.

Bir sayıdaki rakamların olağan kayması. Ne zaman 4.47 · 10^8 yazılır, bu da kayan noktanın 8 bit ileri taşındığını ima eder- bu durumda Bu bir sayı olacak Başında 6 sıfır bulunan 447, yani 447.000.000. E-değerleri programlamada kullanılabilir ve e kendi başına yazılamaz, ancak E mümkündür (ancak her yerde değil ve her zaman değil, bu aşağıda belirtilecektir), çünkü sondan bir önceki Euler sayısıyla karıştırılabilir. Çok büyük bir sayıyı kısaltarak yazmanız gerekiyorsa 4,47×E8 stili kullanılabilir (üretim ve küçük baskı için alternatif bir seçenek 4,47×E8) böylece sayı daha düzenli okunur ve rakamlar daha ayrı ayrı gösterilir (boşluklar kullanılamaz) aritmetik işaretlerin arasına yerleştirilemez - aksi takdirde bu bir sayı değil matematiksel bir durumdur).

3.52E3, indeksler olmadan yazmak için iyidir, ancak bit uzaklığını okumak daha zor olacaktır. 3,52 · 10^8 bir koşuldur çünkü bir indeks gerektirir ve bir mantis içermez (ikincisi yalnızca operatör için mevcuttur ve bu genişletilmiş bir çarpandır). "· 10" standart (temel) işlemsel çarpma işlemidir, ^'den sonraki sayı rakam kaymasının bir göstergesidir, dolayısıyla bu formda belge yazmak gerekiyorsa (üst simge konumuna dikkat ederek) küçük yapılmasına gerek yoktur. ), bazı durumlarda standart %58 yerine %100 - 120 aralığında bir ölçek kullanılması tavsiye edilir. Durumun temel unsurları için küçük bir ölçek kullanmak, dijital bilgilerin görsel kalitesini azaltır - yakından bakmanız gerekecektir (belki gerekli olmayabilir, ancak gerçek şu ki - koşulları küçük yazı tipinde "gizlemeye" gerek yoktur, Hatta onu "gömebilirsiniz" - "sürprizi" fark etmek için durumun bireysel unsurlarının ölçeğini azaltmak, özellikle bilgisayarda kabul edilemez ve bu, kağıt kaynağında bile çok zararlıdır.

Çarpma işlemi özel işlemler gerçekleştiriyorsa, bu gibi durumlarda boşluk kullanımı gereksiz olabilir, çünkü Çarpan, sayıları çarpmanın yanı sıra büyük ve küçük sayılar, kimyasal elementler vb. için de bir bağlantı olabilir. vb. sıradan sayıların ondalık kesri olarak yazılamayan veya nihai sonuç olarak yazılamayan. Bu, "· 10^y" içeren giriş için geçerli olmayabilir çünkü İfadedeki herhangi bir değer çarpan görevi görür ve "^y" kuvvetle belirtilen bir üst simgedir, yani. sayısal bir durumdur. Ancak çarpanın etrafındaki boşlukları kaldırıp farklı yazmak hata olur çünkü operatör eksik. "· 10" girişinin kendisi birinci + ikinci operatör değil, çarpan operatörü + sayıdır. 10 ile bunun mümkün olmamasının temel nedeni budur. Sayısal operatörden sonra özel bir değer yoksa, ör. sayısal değil, ancak sistemikse, bu kayıt seçeneği haklı gösterilemez - sistemik bir değer varsa, o zaman böyle bir değer, sayıların sayısal veya pratik olarak azaltılmasıyla belirli görevler için uygun olmalıdır (belirli eylemler için, örneğin, 1.35f8, burada f, pratik özel problemler için oluşturulmuş, spesifik pratik deneylerin sonucu olarak gerçek sayıları veren bir denklemdir; 8 - f operatörüne bir değişken olarak ikame edilen ve koşullar art arda değiştirildiğinde sayılarla çakışan bir değerdir. En uygun yol, eğer bu görev son derece önemliyse, bu tür veri değerleri boşluksuz bir işaretle kullanılabilir). Kısaca, benzer aritmetik işlemler için, ancak farklı amaçlar için, pratikte doğruluğu koruyarak yeni veri yazma yolları oluşturmak veya mevcut veri yazma yollarını basitleştirmek için kesinlikle gerekliyse artılar, eksiler ve bölenlerle de yapılabilir ve uygulanabilir bir sayısal koşul olabilir belirli aritmetik amaçlar için.

Alt satır: Resmi olarak onaylanmış üstel gösterim biçiminin, boşluk ve üst simge yazı tipi ölçeği% 58 ve% 33 ofset ile yazılması önerilir (ölçek ve ofset değişikliğine diğer taraflarca 100 düzeyinde izin veriliyorsa) - %120, ardından %100'ü ayarlayabilirsiniz - bu, en uygun kayıt seçeneği üst simge değerleridir, optimum ofset ≈ %50'dir. Bilgisayarda 3.74e+2, 4.58E-1, 6.73 E-5, E-11 kullanabilirsiniz, eğer son iki format destekleniyorsa, forumlarda bilinen nedenlerden dolayı e-kısaltmaları terk etmek ve stil 3'ü kullanmak daha iyidir. , 65 E-5 veya 5.67E4 tamamen anlaşılabilir, tek istisnalar resmi kamu kesimleri- Orası yalnızca " 10^x ile", Ve ^x yerine - yalnızca üst simge üssü kullanılır.

Kısacası, E, ondalık antilogaritma için süper bir kısaltmadır ve genellikle antilog olarak etiketlenir veya antig.Örneğin 7.947antilg-4, 7.947E-4 ile aynı olacaktır. Pratikte bu, üst simge derece işareti olan “on”u bir kez daha çekmekten çok daha pratik ve kullanışlıdır. Bu, daha az kullanışlı olan klasik "üstel" forma alternatif olarak bir sayının "üstel" logaritmik formu olarak adlandırılabilir. Yalnızca "antilg" yerine "E" kullanılır veya ikinci sayı hemen bir boşlukla (sayı pozitifse) veya boşluksuz ("Vatandaş CT-207T" gibi on bölümlü bilimsel hesap makinelerinde) gider.

| Euler numarası (E)

e - doğal logaritmanın tabanı, matematiksel bir sabit, irrasyonel ve aşkın bir sayı. Yaklaşık olarak 2,71828'e eşittir. Bazen numara aranır Euler numarası veya Napier numarası. Küçük Latin harfiyle gösterilir " e».

Hikaye

Numaranın bir sonraki tekrarı e yine şüpheli. 1647'de Saint-Vincent hiperbol sektörünün alanını hesapladı. Logaritmalarla bağlantıyı anlayıp anlamadığı yalnızca tahmin edilebilir, ancak anlamış olsa bile sayının kendisine ulaşmış olması pek olası değildir. e . Huygens eşkenar hiperbol ile logaritma arasındaki bağlantıyı ancak 1661 yılında anladı. Bir eşkenar hiperbolün grafiğinin altındaki alanın olduğunu kanıtladı. xy = 1 1'den 1'e kadar olan aralıkta eşkenar hiperbol e 1'e eşittir. Bu özellik e doğal logaritmanın temeliydi ancak bu o zamanın matematikçileri tarafından anlaşılamadı ama yavaş yavaş bu anlayışa yaklaşıyorlardı.

Huygens bir sonraki adımı 1661'de attı. Logaritmik (bizim terminolojimizde buna üstel diyeceğiz) adını verdiği bir eğri tanımladı. Bu formun bir eğrisidir y = kax . Ve ondalık logaritma yeniden ortaya çıkıyor e Huygens bunu 17 ondalık basamağa kadar doğru buluyor. Ancak Huygens'ten bir tür sabit olarak ortaya çıktı ve bir sayının logaritmasıyla ilişkilendirilmedi (bu nedenle yine şuna yaklaştık: e , ancak sayının kendisi e tanınmadan kalır).

Logaritmalarla ilgili daha sonraki çalışmalarda yine sayı e açıkça görünmüyor. Ancak logaritma çalışmaları devam etmektedir. 1668'de Nicolaus Mercator bir çalışma yayınladı. Logaritmoteknik bir seri genişletme içeren günlük(1 + x) . Mercator bu çalışmasında ilk olarak taban logaritması için “doğal logaritma” adını kullanıyor. e . Sayı e açıkça tekrar görünmüyor, ancak kenarda bir yerde anlaşılması zor kalıyor.

Sayının bu kadar olması şaşırtıcı e ilk kez logaritmalarla bağlantılı olarak değil, sonsuz çarpımlarla bağlantılı olarak açıkça ortaya çıkıyor. 1683'te Jacob Bernoulli bulmaya çalıştı

Bu limitin 2 ile 3 arasında olduğunu kanıtlamak için binom teoremini kullanıyor ki bunu sayının ilk yaklaşımı olarak düşünebiliriz. e . Her ne kadar bunu bir tanım olarak alsak da e İlk defa bir sayı sınır olarak tanımlanıyor. Elbette Bernoulli kendi çalışmasıyla logaritma çalışması arasındaki bağlantıyı anlamadı.

Çalışmalarının başında logaritmaların üslü sayılarla hiçbir şekilde bağlantılı olmadığı daha önce belirtilmişti. Tabii ki denklemden x = a t bunu bulduk t = log baltası ama bu çok daha sonraki bir algılama biçimidir. Burada aslında logaritma ile bir fonksiyonu kastediyoruz, halbuki ilk başta logaritma yalnızca hesaplamalara yardımcı olan bir sayı olarak kabul ediliyordu. Logaritmik fonksiyonun ters üstel olduğunu fark eden ilk kişi Jacob Bernoulli olabilir. Öte yandan logaritmaları ve kuvvetleri birbirine bağlayan ilk kişi James Gregory olabilir. 1684'te logaritmalar ve kuvvetler arasındaki bağlantıyı kesinlikle fark etti, ancak ilk o olmayabilir.

Bu sayıyı biliyoruz e 1690'da bugünkü haliyle ortaya çıktı. Leibniz, Huygens'e yazdığı bir mektupta bunun için bu ismi kullandı. B . Nihayet e bir isim ortaya çıktı (modern olanla örtüşmese de) ve bu isim tanındı.

1697 yılında Johann Bernoulli üstel fonksiyonu incelemeye başladı ve yayımladı. Principia calculi exponentialum seu percurrentium. Bu çalışmada çeşitli üstel serilerin toplamları hesaplanmış ve bunların terim terim entegrasyonu ile bazı sonuçlar elde edilmiştir.

Leonhard Euler o kadar çok matematiksel gösterim ortaya koydu ki, bu gösterimin aynı olması şaşırtıcı değil. e da ona aittir. Mektubu kullandığını söylemek saçma görünüyor e isminin ilk harfi olması nedeniyle. Muhtemelen bunun nedeni bile değil e "Üstel" sözcüğünden alınmıştır, bu yalnızca "a"dan sonraki sesli harftir ve Euler zaten çalışmalarında "a" notasyonunu kullanmıştı. Sebebi ne olursa olsun, bu notasyon ilk olarak 1731 yılında Euler'in Goldbach'a yazdığı bir mektupta görülmektedir. e daha sonra, ancak yalnızca 1748'de Analysin infinitorum'a giriş ile ilgili tüm fikirlerin tam gerekçesini verdi e . Bunu gösterdi

Euler ayrıca sayının ilk 18 ondalık basamağını da buldu e :

Doğru, onları nasıl elde ettiğini açıklamadan. Görünüşe göre bu değeri kendisi hesaplamış. Aslında serinin (1) yaklaşık 20 terimini alırsak Euler'in elde ettiği doğruluğu elde ederiz. Çalışmasındaki diğer ilginç sonuçlar arasında sinüs ve kosinüs fonksiyonları ile Euler'in De Moivre formülünden türettiği karmaşık üstel fonksiyon arasındaki bağlantı yer almaktadır.

İlginçtir ki, Euler bu sayının ayrıştırılmasını bile buldu e devam eden kesirlere ayırdı ve bu tür ayrıştırmalara örnekler verdi. Özellikle aldığı

Euler bu kesirlerin aynı şekilde devam ettiğine dair kanıt sunmadı ancak eğer böyle bir kanıt varsa bunun mantıksızlığını kanıtlayacağını biliyordu. e . Aslında devam eden kesir ise (e - 1) / 2 , yukarıdaki örnekte olduğu gibi devam etti, 6,10,14,18,22,26 (her seferinde 4 ekliyoruz), o zaman hiç kesintiye uğramazdı ve (e -1) / 2 (ve dolayısıyla e ) rasyonel olamaz. Açıkçası, bu mantıksızlığı kanıtlamaya yönelik ilk girişimdir. e .

Bir sayının oldukça fazla sayıda ondalık basamağını hesaplayan ilk kişi e , 1854'teki Shanks'tı. Glaisher, Shanks tarafından hesaplanan ilk 137 karakterin doğru olduğunu gösterdi ancak daha sonra bir hata buldu. Shanks bunu düzeltti ve sayının 205 ondalık basamağı elde edildi e . Aslında sayının 200 doğru basamağını elde etmek için yaklaşık 120 açılım terimine (1) ihtiyaç vardır. e .

1864'te Benjamin Peirce, üzerinde şu yazıların yazılı olduğu bir tahtanın yanında duruyordu:

Derslerinde öğrencilerine şöyle diyebilir: "Beyler, bunun ne anlama geldiğine dair en ufak bir fikrimiz yok ama çok önemli bir anlama geldiğine emin olabiliriz."

Çoğu kişi Euler'in sayının mantıksızlığını kanıtladığına inanıyor e . Ancak bu, 1873 yılında Hermite tarafından yapılmıştır. Bu sayının olup olmadığı sorusu hala cevaplanmayı beklemektedir. e e cebirsel. Bu yöndeki nihai sonuç, sayılardan en az birinin e e Ve e e 2 aşkındır.

Daha sonra sayının aşağıdaki ondalık basamakları hesaplandı e . 1884'te Boorman 346 rakamı hesapladı e Bunlardan ilk 187'si Shanks'ın burçlarıyla örtüşüyordu, ancak sonrakiler farklıydı. 1887 yılında Adams ondalık logaritmanın 272 basamağını hesapladı. e .

J. J. Connor, E. F. Robertson. Sayı e.