Ortak payda nedir? Kesirleri ortak bir paydaya indirgemek için kurallar veya algoritma

Başlangıçta Kesirlerde Toplama ve Çıkarma bölümünde ortak payda tekniklerine yer vermek istedim. Ancak o kadar çok bilgi olduğu ortaya çıktı ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta, yalnızca sayısal kesirlerin ortak paydaları yok), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Bir kesirin temel özelliği imdadımıza yetişiyor, size hatırlatmama izin verin, kulağa şöyle geliyor:

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece, faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşitlenecektir - bu işleme ortak paydaya indirgeme denir. Ve paydaları "eşleştiren" gerekli sayılara ek faktörler denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

1. Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
3. Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Kendileriyle çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyecek sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklığa ve bir anlamda etkililiğe göre bunlardan yalnızca üçünü ele alacağız.

Çapraz çarpma

Paydaları eşitlemeyi garanti eden en basit ve en güvenilir yöntem. "Baştan sona" hareket edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinciyi de birincinin paydasıyla çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları orijinal paydaların çarpımına eşit olacaktır. Bir göz atın:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri incelemeye yeni başlıyorsanız, bu yöntemi kullanarak çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı sigortalamış olursunuz ve sonucu alacağınız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük sayılar olabilir. Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Doğrudan ilerlemeden önce (yani çapraz yöntemi kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
2. Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
3. Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da önemli ölçüde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72:12=6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu arada bu örnekteki kesirleri tesadüfen almadım. İlgileniyorsanız çapraz yöntemi kullanarak bunları saymayı deneyin. Azaltma sonrasında cevaplar aynı olacak, ancak çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin de paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğünün, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olması gerekmez.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Bu sayı 8 · 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya, paydaların en küçük ortak katı (LCM) adı verilir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a ; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bakın:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

234 = 117 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 3. Faktör 2 ve 3 eş asaldır (1'den başka ortak çarpanı yoktur) ve faktör 117 ortaktır. Dolayısıyla LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktör 3 ve 4 ortak asaldır ve faktör 5 ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getirelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

1. Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
2. Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

En az ortak çoklu yöntemin ne kadar fark yarattığını anlamak için aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Tabii ki hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Tek sorun bu NOC'yi nasıl bulacağımızdır. Bazen her şey birkaç saniye içinde, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunabilir, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Biz burada buna değinmeyeceğiz.

Bu dersimizde kesirleri ortak paydaya indirgemeye ve bu konudaki problemleri çözmeye bakacağız. Ortak payda kavramını ve ek bir faktörü tanımlayalım ve göreceli asal sayıları hatırlayalım. En düşük ortak payda (LCD) kavramını tanımlayalım ve onu bulmak için bir takım problemleri çözelim.

Konu: Paydaları Farklı Kesirlerde Toplama ve Çıkarma

Ders: Kesirleri ortak bir paydaya indirgemek

Tekrarlama. Bir kesrin temel özelliği.

Bir kesrin payı ve paydası aynı doğal sayıyla çarpılır veya bölünürse eşit kesir elde edilir.

Örneğin bir kesrin payı ve paydası 2'ye bölünebilir. Kesri elde ederiz. Bu işleme kesir indirgeme denir. Kesrin pay ve paydasını 2 ile çarparak da ters dönüşümü gerçekleştirebilirsiniz. Bu durumda kesri yeni bir paydaya indirdiğimizi söylüyoruz. 2 sayısına ek faktör denir.

Çözüm. Bir kesir, verilen kesrin paydasının katı olan herhangi bir paydaya indirgenebilir. Bir kesri yeni bir paydaya getirmek için pay ve paydası ek bir faktörle çarpılır.

1. Kesri payda 35'e düşürün.

35 sayısı 7'nin katıdır, yani 35 sayısı 7'ye kalansız bölünür. Bu, bu dönüşümün mümkün olduğu anlamına geliyor. Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için 35'i 7'ye böleriz. 5 elde ederiz. Orijinal kesrin payını ve paydasını 5 ile çarpın.

2. Kesri payda 18'e düşürün.

Ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için yeni paydayı orijinal paydaya bölün. 3 elde ederiz. Bu kesrin payını ve paydasını 3 ile çarpın.

3. Kesri paydası 60 olacak şekilde azaltın.

60'ı 15'e bölmek ek bir faktör verir. 4'e eşittir. Pay ve paydayı 4 ile çarpın.

4. Kesri paydaya düşürün 24

Basit durumlarda, yeni bir paydaya indirgeme zihinsel olarak gerçekleştirilir. Yalnızca ek faktörün, orijinal kesrin biraz sağında ve üstünde bir parantez arkasında belirtilmesi gelenekseldir.

Bir kesirin paydası 15'e, bir kesrin paydası 15'e indirgenebilir. Kesirlerin ortak paydası da 15'tir.

Kesirlerin ortak paydası, paydalarının herhangi bir ortak katı olabilir. Basitlik açısından kesirler en küçük ortak paydalarına indirgenir. Verilen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katına eşittir.

Örnek. Kesirin en küçük ortak paydasına azaltın ve .

Öncelikle bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulalım. Bu sayı 12'dir. Birinci ve ikinci kesirlere ek bir çarpan bulalım. Bunu yapmak için 12'yi 4'e ve 6'ya bölün. Üç, ilk kesir için ek bir faktördür ve iki, ikinci için ek bir faktördür. Kesirleri payda 12'ye getirelim.

Kesirleri ortak paydaya getirdik, yani paydası aynı olan eşit kesirler bulduk.

Kural. Kesirleri en küçük ortak paydaya indirgemek için şunları yapmalısınız:

Öncelikle bu kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun, bu onların en küçük ortak paydası olacaktır;

İkinci olarak, en düşük ortak paydayı bu kesirlerin paydalarına bölün, yani. her kesir için ek bir faktör bulun.

Üçüncüsü, her kesrin payını ve paydasını ek faktörüyle çarpın.

a) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

En düşük ortak payda 12'dir. İlk kesir için ek faktör 4, ikinci için ise 3'tür. Kesirleri payda 24'e indiririz.

b) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

En küçük ortak payda 45'tir. 45'i 9'a 15'e bölersek sırasıyla 5 ve 3 elde edilir. Kesirleri payda 45'e indiririz.

c) Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyin.

Ortak payda 24'tür. Ek çarpanlar sırasıyla 2 ve 3'tür.

Bazen verilen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını sözlü olarak bulmak zor olabilir. Daha sonra asal çarpanlara ayırma kullanılarak ortak payda ve ek faktörler bulunur.

Kesirleri ortak bir paydaya azaltın.

60 ve 168 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım. 60 sayısının açılımını yazalım ve ikinci açılımda eksik olan 2 ve 7 çarpanlarını toplayalım. 60'ı 14 ile çarpalım ve ortak paydası 840 olsun. Birinci kesrin ek çarpanı 14. İkinci kesrin ek çarpanı 5. Kesirleri ortak paydası olan 840'a getirelim.

Referanslar

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğerleri Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematik 6. sınıf. - Spor Salonu, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bir matematik ders kitabının sayfalarının arkasında. - Aydınlanma, 1989.

4. Rurukin A.N., Çaykovski I.V. 5-6. sınıflar için matematik dersi ödevleri. -ZSh MEPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematik 5-6. MEPhI yazışma okulundaki 6. sınıf öğrencileri için bir kılavuz. -ZSh MEPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. ve diğerleri: Ortaokulun 5-6. sınıfları için ders kitabı-muhatap. Matematik öğretmeninin kütüphanesi. - Aydınlanma, 1989.

Madde 1.2'de belirtilen kitapları indirebilirsiniz. bu dersten.

Ev ödevi

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. ve diğerleri Matematik 6. - M.: Mnemosyne, 2012. (bağlantı bkz. 1.2)

Ödev: Sayı 297, Sayı 298, Sayı 300.

Diğer görevler: No. 270, No. 290

Çapraz çarpma

Ortak Bölen Yöntemi

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

En az ortak çoklu yöntemin ne kadar fark yarattığını anlamak için aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin.

Kesirlerin ortak paydası

Tabii ki hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Ayrıca bakınız:

Başlangıçta Kesirlerde Toplama ve Çıkarma bölümünde ortak payda tekniklerine yer vermek istedim. Ancak o kadar çok bilgi olduğu ortaya çıktı ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta, yalnızca sayısal kesirlerin ortak paydaları yok), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Bir kesirin temel özelliği imdadımıza yetişiyor, size hatırlatmama izin verin, kulağa şöyle geliyor:

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşit hale gelecektir - bu işleme denir. Ve gerekli sayılara, paydaların "eşleştirilmesi" denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

1. Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
3. Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Kendileriyle çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyecek sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklığa ve bir anlamda etkililiğe göre bunlardan yalnızca üçünü ele alacağız.

Çapraz çarpma

Paydaları eşitlemeyi garanti eden en basit ve en güvenilir yöntem. "Baştan sona" hareket edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinciyi de birincinin paydasıyla çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları orijinal paydaların çarpımına eşit olacaktır. Bir göz atın:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri incelemeye yeni başlıyorsanız, bu yöntemi kullanarak çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı sigortalamış olursunuz ve sonucu alacağınız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük sayılar olabilir. Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Doğrudan ilerlemeden önce (yani çapraz yöntemi kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
2. Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
3. Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da önemli ölçüde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu arada bu örnekteki kesirleri tesadüfen almadım. İlgileniyorsanız çapraz yöntemi kullanarak bunları saymayı deneyin. Azaltma sonrasında cevaplar aynı olacak, ancak çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin de paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğünün, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olması gerekmez.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı 8 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya (LCM) denir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bakın:

En düşük ortak payda nasıl bulunur?

İfadelerin anlamlarını bulun:

234 = 117 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 · 3. 2 ve 3 numaralı çarpanlar eş asaldır (1'den başka ortak çarpanı yoktur) ve 117 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ve 4 numaralı çarpanlar eş asaldır ve 5 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getirelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

1. Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
2. Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Tek sorun bu NOC'yi nasıl bulacağımızdır. Bazen her şey birkaç saniye içinde, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunabilir, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Biz burada buna değinmeyeceğiz.

Ayrıca bakınız:

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Başlangıçta Kesirlerde Toplama ve Çıkarma bölümünde ortak payda tekniklerine yer vermek istedim. Ancak o kadar çok bilgi olduğu ortaya çıktı ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta, yalnızca sayısal kesirlerin ortak paydaları yok), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Bir kesirin temel özelliği imdadımıza yetişiyor, size hatırlatmama izin verin, kulağa şöyle geliyor:

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşit hale gelecektir - bu işleme denir. Ve gerekli sayılara, paydaların "eşleştirilmesi" denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor?

Ortak payda, kavram ve tanım.

İşte sadece birkaç neden:

1. Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
3. Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Kendileriyle çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyecek sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklığa ve bir anlamda etkililiğe göre bunlardan yalnızca üçünü ele alacağız.

Çapraz çarpma

Paydaları eşitlemeyi garanti eden en basit ve en güvenilir yöntem. "Baştan sona" hareket edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinciyi de birincinin paydasıyla çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları orijinal paydaların çarpımına eşit olacaktır. Bir göz atın:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri incelemeye yeni başlıyorsanız, bu yöntemi kullanarak çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı sigortalamış olursunuz ve sonucu alacağınız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük sayılar olabilir. Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Doğrudan ilerlemeden önce (yani çapraz yöntemi kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
2. Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
3. Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da önemli ölçüde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu arada bu örnekteki kesirleri tesadüfen almadım. İlgileniyorsanız çapraz yöntemi kullanarak bunları saymayı deneyin. Azaltma sonrasında cevaplar aynı olacak, ancak çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin de paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğünün, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olması gerekmez.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı 8 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya (LCM) denir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bakın:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

234 = 117 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 · 3. 2 ve 3 numaralı çarpanlar eş asaldır (1'den başka ortak çarpanı yoktur) ve 117 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ve 4 numaralı çarpanlar eş asaldır ve 5 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getirelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

1. Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
2. Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

En az ortak çoklu yöntemin ne kadar fark yarattığını anlamak için aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Tabii ki hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Tek sorun bu NOC'yi nasıl bulacağımızdır. Bazen her şey birkaç saniye içinde, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunabilir, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Biz burada buna değinmeyeceğiz.

Ayrıca bakınız:

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Başlangıçta Kesirlerde Toplama ve Çıkarma bölümünde ortak payda tekniklerine yer vermek istedim. Ancak o kadar çok bilgi olduğu ortaya çıktı ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta, yalnızca sayısal kesirlerin ortak paydaları yok), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Bir kesirin temel özelliği imdadımıza yetişiyor, size hatırlatmama izin verin, kulağa şöyle geliyor:

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşit hale gelecektir - bu işleme denir. Ve gerekli sayılara, paydaların "eşleştirilmesi" denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

1. Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
3. Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Kendileriyle çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyecek sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklığa ve bir anlamda etkililiğe göre bunlardan yalnızca üçünü ele alacağız.

Çapraz çarpma

Paydaları eşitlemeyi garanti eden en basit ve en güvenilir yöntem. "Baştan sona" hareket edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinciyi de birincinin paydasıyla çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları orijinal paydaların çarpımına eşit olacaktır.

Bir göz atın:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri incelemeye yeni başlıyorsanız, bu yöntemi kullanarak çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı sigortalamış olursunuz ve sonucu alacağınız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük sayılar olabilir. Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Doğrudan ilerlemeden önce (yani çapraz yöntemi kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
2. Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
3. Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da önemli ölçüde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu arada bu örnekteki kesirleri tesadüfen almadım. İlgileniyorsanız çapraz yöntemi kullanarak bunları saymayı deneyin. Azaltma sonrasında cevaplar aynı olacak, ancak çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin de paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğünün, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olması gerekmez.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı 8 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya (LCM) denir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bakın:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

234 = 117 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 · 3. 2 ve 3 numaralı çarpanlar eş asaldır (1'den başka ortak çarpanı yoktur) ve 117 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ve 4 numaralı çarpanlar eş asaldır ve 5 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getirelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

1. Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
2. Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

En az ortak çoklu yöntemin ne kadar fark yarattığını anlamak için aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Tabii ki hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Tek sorun bu NOC'yi nasıl bulacağımızdır. Bazen her şey birkaç saniye içinde, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunabilir, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Biz burada buna değinmeyeceğiz.

Ayrıca bakınız:

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Başlangıçta Kesirlerde Toplama ve Çıkarma bölümünde ortak payda tekniklerine yer vermek istedim. Ancak o kadar çok bilgi olduğu ortaya çıktı ve önemi o kadar büyük ki (sonuçta, yalnızca sayısal kesirlerin ortak paydaları yok), bu konuyu ayrı ayrı incelemek daha iyi.

Diyelim ki farklı paydalara sahip iki kesirimiz var. Ve paydaların aynı olduğundan emin olmak istiyoruz. Bir kesirin temel özelliği imdadımıza yetişiyor, size hatırlatmama izin verin, kulağa şöyle geliyor:

Bir kesrin pay ve paydası sıfır dışında aynı sayıyla çarpılırsa değişmeyecektir.

Böylece faktörleri doğru seçerseniz kesirlerin paydaları eşit hale gelecektir - bu işleme denir. Ve gerekli sayılara, paydaların "eşleştirilmesi" denir.

Kesirleri neden ortak bir paydaya indirgememiz gerekiyor? İşte sadece birkaç neden:

1. Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma. Bu işlemi gerçekleştirmenin başka yolu yoktur;
2. Kesirlerin karşılaştırılması. Bazen ortak bir paydaya indirgemek bu görevi büyük ölçüde basitleştirir;
3. Kesirler ve yüzdelerle ilgili problemleri çözme. Yüzdeler aslında kesir içeren sıradan ifadelerdir.

Kendileriyle çarpıldığında kesirlerin paydalarını eşitleyecek sayıları bulmanın birçok yolu vardır. Artan karmaşıklığa ve bir anlamda etkililiğe göre bunlardan yalnızca üçünü ele alacağız.

Çapraz çarpma

Paydaları eşitlemeyi garanti eden en basit ve en güvenilir yöntem. "Baştan sona" hareket edeceğiz: ilk kesri ikinci kesrin paydasıyla, ikinciyi de birincinin paydasıyla çarpıyoruz. Sonuç olarak, her iki kesrin paydaları orijinal paydaların çarpımına eşit olacaktır. Bir göz atın:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

Ek faktörler olarak komşu kesirlerin paydalarını göz önünde bulundurun. Şunu elde ederiz:

Evet, bu kadar basit. Kesirleri incelemeye yeni başlıyorsanız, bu yöntemi kullanarak çalışmak daha iyidir - bu şekilde kendinizi birçok hataya karşı sigortalamış olursunuz ve sonucu alacağınız garanti edilir.

Bu yöntemin tek dezavantajı çok saymanız gerekmesidir çünkü paydalar "tamamen" çarpılır ve sonuç çok büyük sayılar olabilir.

Kesirleri ortak paydaya indirgemek

Güvenilirlik için ödenecek bedel budur.

Ortak Bölen Yöntemi

Bu teknik hesaplamaları önemli ölçüde azaltmaya yardımcı olur, ancak ne yazık ki oldukça nadiren kullanılır. Yöntem aşağıdaki gibidir:

1. Doğrudan ilerlemeden önce (yani çapraz yöntemi kullanarak), paydalara bir göz atın. Belki bunlardan biri (daha büyük olan) diğerine bölünmüştür.
2. Bu bölme sonucu elde edilen sayı, paydası daha küçük olan kesir için ek bir faktör olacaktır.
3. Bu durumda, paydası büyük olan bir kesrin hiçbir şeyle çarpılmasına gerek yoktur - tasarrufların olduğu yer burasıdır. Aynı zamanda hata olasılığı da önemli ölçüde azalır.

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

84: 21 = 4'e dikkat edin; 72: 12 = 6. Her iki durumda da bir payda diğerine kalansız bölündüğü için ortak çarpanlar yöntemini kullanıyoruz. Sahibiz:

İkinci kesrin hiçbir şeyle çarpılmadığına dikkat edin. Aslında hesaplama miktarını yarı yarıya azalttık!

Bu arada bu örnekteki kesirleri tesadüfen almadım. İlgileniyorsanız çapraz yöntemi kullanarak bunları saymayı deneyin. Azaltma sonrasında cevaplar aynı olacak, ancak çok daha fazla iş olacak.

Bu, ortak bölenler yönteminin kuvvetidir, ancak yine de yalnızca paydalardan biri diğerine kalansız bölünebildiğinde kullanılabilir. Bu oldukça nadiren olur.

En az yaygın olan çoklu yöntem

Kesirleri ortak bir paydaya indirgediğimizde aslında paydaların her birine bölünebilen bir sayı bulmaya çalışıyoruz. Daha sonra her iki kesrin de paydalarını bu sayıya getiriyoruz.

Bu tür çok sayıda sayı vardır ve bunların en küçüğünün, "çapraz-çapraz" yönteminde varsayıldığı gibi, orijinal kesirlerin paydalarının doğrudan çarpımına eşit olması gerekmez.

Örneğin, 8 ve 12 numaralı paydalar için 24 sayısı oldukça uygundur, çünkü 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Bu sayı 8 12 = 96 çarpımından çok daha azdır.

Paydaların her birine bölünebilen en küçük sayıya (LCM) denir.

Gösterim: a ve b'nin en küçük ortak katı LCM(a; b) ile gösterilir. Örneğin, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Böyle bir sayı bulmayı başarırsanız, toplam hesaplama miktarı minimum düzeyde olacaktır. Örneklere bakın:

Görev. İfadelerin anlamlarını bulun:

234 = 117 2 olduğuna dikkat edin; 351 = 117 · 3. 2 ve 3 numaralı çarpanlar eş asaldır (1'den başka ortak çarpanı yoktur) ve 117 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Aynı şekilde 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. 3 ve 4 numaralı çarpanlar eş asaldır ve 5 numaralı çarpan ortaktır. Dolayısıyla LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Şimdi kesirleri ortak paydalara getirelim:

Orijinal paydaları çarpanlara ayırmanın ne kadar yararlı olduğuna dikkat edin:

1. Aynı çarpanları keşfettikten sonra hemen en küçük ortak kata ulaştık ki bu genel anlamda önemsiz olmayan bir sorundur;
2. Ortaya çıkan genişlemeden, her kesirde hangi faktörlerin “eksik” olduğunu öğrenebilirsiniz. Örneğin 234 · 3 = 702, dolayısıyla ilk kesir için ek çarpan 3'tür.

En az ortak çoklu yöntemin ne kadar fark yarattığını anlamak için aynı örnekleri çapraz yöntemi kullanarak hesaplamayı deneyin. Tabii ki hesap makinesi olmadan. Bundan sonra yorumların gereksiz olacağını düşünüyorum.

Gerçek örneklerde bu kadar karmaşık kesirlerin olmayacağını düşünmeyin. Her zaman buluşuyorlar ve yukarıdaki görevler sınır değil!

Tek sorun bu NOC'yi nasıl bulacağımızdır. Bazen her şey birkaç saniye içinde, kelimenin tam anlamıyla "gözle" bulunabilir, ancak genel olarak bu, ayrı bir değerlendirme gerektiren karmaşık bir hesaplama görevidir. Biz burada buna değinmeyeceğiz.

Cebirsel kesirlerle yapılan toplama ve çıkarma gibi çoğu işlem, öncelikle bu kesirlerin aynı paydalara indirilmesini gerektirir. Bu tür paydalara sıklıkla “ortak payda” da denir. Bu konuda, “cebirsel kesirlerin ortak paydası” ve “cebirsel kesirlerin en küçük ortak paydası (LCD)” kavramlarının tanımına bakacağız, ortak paydayı nokta nokta bulma algoritmasını ele alacağız ve denklemdeki çeşitli problemleri çözeceğiz. başlık.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Cebirsel kesirlerin ortak paydası

Sıradan kesirler hakkında konuşursak, ortak payda, orijinal kesirlerin paydalarından herhangi birine bölünebilen bir sayıdır. Sıradan kesirler için 1 2 Ve 5 9 36 sayısı 2 ve 9'a kalansız bölünebildiği için ortak payda olabilir.

Cebirsel kesirlerin ortak paydası da benzer şekilde belirlenir, cebirsel kesrin pay ve paydası oldukları için sayılar yerine sadece polinomlar kullanılır.

Tanım 1

Cebirsel bir kesrin ortak paydası herhangi bir kesrin paydasına bölünebilen bir polinomdur.

Aşağıda tartışılacak olan cebirsel kesirlerin özelliklerinden dolayı, standart bir polinom yerine çarpım olarak temsil edilen ortak paydaları sıklıkla ele alacağız.

Örnek 1

Çarpım olarak yazılan polinom 3 x 2 (x + 1), standart formun bir polinomuna karşılık gelir 3x3 + 3x2. Bu polinom, aşağıdakilere bölünebilmesi nedeniyle 2 x, - 3 x y x 2 ve y + 3 x + 1 cebirsel kesirlerinin ortak paydası olabilir. X, Açık x 2 ve üzerinde x+1. Polinomların bölünebilirliği hakkında bilgi kaynağımızın ilgili başlığında mevcuttur.

En küçük ortak payda (LCD)

Verilen cebirsel kesirler için ortak paydaların sayısı sonsuz olabilir.

Örnek 2

Örnek olarak 1 2 x ve x + 1 x 2 + 3 kesirlerini ele alalım. Bunların ortak paydası 2 x (x 2 + 3), birlikte − 2 x (x 2 + 3), birlikte x (x 2 + 3), birlikte 6, 4 x (x 2 + 3) (y + y 4), birlikte − 31 x 5 (x 2 + 3) 3, vesaire.

Problem çözerken tüm paydalar kümesi içerisinde en basit yapıya sahip olan ortak paydayı kullanarak işinizi kolaylaştırabilirsiniz. Bu paydaya genellikle en düşük ortak payda denir.

Tanım 2

Cebirsel kesirlerin en küçük ortak paydası cebirsel kesirlerin en basit şekli olan ortak paydasıdır.

Bu arada, "en düşük ortak payda" terimi genel olarak kabul edilmemektedir, bu nedenle kendimizi "ortak payda" terimiyle sınırlamak daha iyidir. İşte nedeni.

Daha önce dikkatinizi "en basit türden payda" ifadesine odaklamıştık. Bu ifadenin ana anlamı şudur: Cebirsel kesirler problemi durumunda, en basit formun paydası, verilerin herhangi bir ortak paydasına bölünebilir olmalıdır. Bu durumda kesirlerin ortak paydası olan çarpımda çeşitli sayısal katsayılar kullanılabilir.

Örnek 3

1 2 · x ve x + 1 x 2 + 3 kesirlerini alalım. 2 x x (x 2 + 3) formundaki ortak bir paydayla çalışmanın bizim için en kolayı olacağını zaten öğrenmiştik. Ayrıca bu iki kesrin ortak paydası şu şekilde olabilir: x (x 2 + 3), sayısal bir katsayı içermez. Soru, bu iki ortak paydadan hangisinin kesirlerin en küçük ortak paydası olarak kabul edildiğidir. Kesin bir cevap yok, bu nedenle basitçe ortak paydadan bahsetmek ve çalışmak için en uygun seçenekle çalışmak daha doğrudur. O halde aşağıdaki gibi ortak paydaları kullanabiliriz: x 2 (x 2 + 3) (y + y 4) veya − 15 x 5 (x 2 + 3) 3, daha karmaşık bir görünüme sahip ancak onlarla işlem yapmak daha zor olabilir.

Cebirsel kesirlerin ortak paydasını bulma: eylemlerin algoritması

Ortak bir payda bulmamız gereken birkaç cebirsel kesirimiz olduğunu varsayalım. Bu sorunu çözmek için aşağıdaki eylem algoritmasını kullanabiliriz. Öncelikle orijinal kesirlerin paydalarını çarpanlarına ayırmamız gerekir. Sonra sırayla dahil ettiğimiz bir çalışma oluşturuyoruz:

• birinci kesirin paydasındaki tüm faktörler ve güçler;
• ikinci kesrin paydasında bulunan ancak yazılı çarpımda yer almayan veya dereceleri yetersiz olan tüm faktörler;
• üçüncü kesrin paydasındaki tüm eksik faktörler vb.

Ortaya çıkan ürün cebirsel kesirlerin ortak paydası olacaktır.

Çarpımın faktörleri olarak problem cümlesinde verilen kesirlerin tüm paydalarını alabiliriz. Ancak sonuçta elde edeceğimiz çarpan anlam olarak BOH'dan uzak olacak ve kullanımı mantıksız olacaktır.

Örnek 4

1 x 2 y, 5 x + 1 ve y - 3 x 5 y kesirlerinin ortak paydasını belirleyin.

Çözüm

Bu durumda orijinal kesirlerin paydalarını çarpanlara ayırmamıza gerek yoktur. Bu nedenle çalışmayı oluşturarak algoritmayı uygulamaya başlayacağız.

İlk kesrin paydasından çarpanı alıyoruz x 2 yıl, ikinci kesrin paydasından çarpan x+1. Ürünü alıyoruz x 2 y (x + 1).

Üçüncü kesrin paydası bize bir çarpan verebilir x 5 yıl ancak daha önce derlediğimiz ürünün zaten faktörleri var x 2 Ve sen. Bu nedenle daha fazlasını ekliyoruz x 5 − 2 = x 3. Ürünü alıyoruz x 2 y (x + 1) x 3 forma indirgenebilir x 5 y (x + 1). Bu bizim cebirsel kesirlerin NOZ'u olacak.

Cevap: x 5 · y · (x + 1) .

Şimdi cebirsel kesirlerin paydalarının tam sayı sayısal faktörler içerdiği problem örneklerine bakalım. Bu gibi durumlarda, daha önce tamsayı sayısal faktörleri basit faktörlere ayrıştırmış olan algoritmayı da takip ederiz.

Örnek 5

1 12 x ve 1 90 x 2 kesirlerinin ortak paydasını bulun.

Çözüm

Kesirlerin paydalarındaki sayıları asal çarpanlara bölerek 1 2 2 3 x ve 1 2 3 2 5 x 2 elde ederiz. Artık ortak bir payda oluşturmaya devam edebiliriz. Bunu yapmak için ilk kesrin paydasından ürünü alıyoruz 2 2 3x ve buna 3, 5 ve çarpanlarını ekleyin X ikinci kesrin paydasından. Aldık 2 2 3 x 3 5 x = 180 x 2. Bu bizim ortak paydamızdır.

Cevap: 180x2.

Analiz edilen iki örneğin sonuçlarına yakından bakarsanız, kesirlerin ortak paydalarının, paydaların açılımlarında bulunan tüm faktörleri içerdiğini ve belirli bir faktörün birkaç paydada mevcut olması durumunda, o zaman alındığını fark edeceksiniz. mevcut en büyük üs ile. Paydaların tamsayı katsayıları varsa, ortak payda bu sayısal katsayıların en küçük ortak katına eşit bir sayısal faktör içerir.

Örnek 6

Hem 1 12 x hem de 1 90 x 2 cebirsel kesirlerinin paydaları bir faktöre sahiptir X. İkinci durumda, x faktörünün karesi alınır. Ortak bir payda oluşturabilmek için bu faktörü en üst düzeyde ele almamız gerekiyor. x 2. Değişkenli başka çarpanlar yoktur. Orijinal kesirlerin tamsayı sayısal katsayıları 12 Ve 90 , ve bunların en küçük ortak katları 180 . İstenilen ortak paydanın şu şekilde olduğu ortaya çıktı: 180x2.

Artık cebirsel kesirlerin ortak faktörünü bulmak için başka bir algoritma yazabiliriz. Bunun için biz:

• tüm kesirlerin paydalarını çarpanlara ayırın;
• tüm harf faktörlerinin çarpımını oluştururuz (birkaç açılımda bir faktör varsa, en büyük üssü olan seçeneği alırız);
• genişletmelerin sayısal katsayılarının LCM'sini ortaya çıkan ürüne ekliyoruz.

Verilen algoritmalar eşdeğerdir, dolayısıyla herhangi biri sorunları çözmek için kullanılabilir. Detaylara dikkat etmek önemlidir.

Kesirlerin paydalarındaki ortak faktörlerin sayısal katsayıların arkasında görünmeyebileceği durumlar vardır. Burada öncelikle paydada mevcut faktörlerin her birinde parantez dışında değişkenlerin daha yüksek güçlerindeki sayısal katsayıların yerleştirilmesi tavsiye edilir.

Örnek 7

3 5 - x ve 5 - x · y 2 2 · x - 10 kesirlerinin ortak paydası nedir?

Çözüm

İlk durumda, eksi bir parantezden çıkarılmalıdır. 3 - x - 5 elde ederiz. Paydadaki eksiden kurtulmak için pay ve paydayı -1 ile çarpıyoruz: -3 x -5.

İkinci durumda, ikisini parantez dışında tutuyoruz. Bu, 5 - x · y 2 2 · x - 5 kesirini elde etmemizi sağlar.

Bu cebirsel kesirlerin - 3 x - 5 ve 5 - x · y 2 2 · x - 5'in ortak paydasının şu olduğu açıktır: 2 (x - 5).

Cevap:2 (x - 5).

Kesir problemi koşulundaki veriler kesirli katsayılara sahip olabilir. Bu durumlarda öncelikle pay ve paydayı belirli bir sayı ile çarparak kesirli katsayılardan kurtulmanız gerekir.

Örnek 8

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 ve - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 cebirsel kesirlerini basitleştirin ve ardından ortak paydalarını belirleyin.

Çözüm

Birinci durumda pay ve paydayı 14 ile, ikinci durumda ise 3 ile çarparak kesirli katsayılardan kurtulalım. Şunu elde ederiz:

1 2 x + 1 1 14 x 2 + 1 7 = 14 1 2 x + 1 14 1 14 x 2 + 1 7 = 7 x + 1 x 2 + 2 ve - 2 2 3 x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .

Dönüşümlerden sonra ortak paydanın olduğu ortaya çıkıyor 2 (x2 + 2).

Cevap: 2 (x2 + 2).

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.