Başlangıç ​​​​olarak, genel olarak iki tür kesir olduğu söylenmelidir: sıradan kesirler ve ondalık kesirler. Sıradan kesirler şu şekilde yazılır:
Ondalık kesirler farklı şekilde yazılır:

Sıradan kesirler iki bölümden oluşur: üstte pay, altta payda bulunur. Pay ve payda bir kesir çizgisiyle ayrılır. O halde şunu unutmayın:

Her kesir bir bütünün parçasıdır. Genellikle bir bütün olarak alınır 1 (birim). Bir kesrin paydası bütünün kaç parçaya bölündüğünü gösterir ( 1 ) ve pay kaç parçanın alındığıdır. Pastayı 6 eşit parçaya bölersek (matematikte şöyle derler) hisseler ), o zaman pastanın her bir kısmı 1/6'ya eşit olacaktır. Vasya 4 parça yerse 4/6 yemiş demektir.

Öte yandan eğik çizgi, bölme işaretinden başka bir şey değildir. Bu nedenle kesir, iki sayının (pay ve payda) bölümüdür. Problem metninde veya tariflerde kesirler genellikle şu şekilde yazılır: 2/3, 1/2 vb. Bazı kesirlerin kendi isimleri vardır; örneğin, 1/2 - "yarım", 1/3 - "üçüncü", 1/4 - "çeyrek"
Şimdi ne tür sıradan kesirlerin olduğunu bulalım.

2 Sıradan kesir türleri

Üç tür ortak kesir vardır: uygun, yanlış ve karışık:

Uygun kesir

Pay paydadan küçükse, böyle bir kesir denir doğru,Örneğin: Uygun kesir her zaman 1'den küçüktür.

Uygunsuz kesir

Pay, paydadan büyükse veya paydaya eşitse bu kesirlere denir. yanlış, Örneğin:

Uygunsuz kesir birden büyükse (pay paydadan büyükse) veya bire eşitse (pay paydaya eşitse)

Karışık kesir

Bir kesir bir tam sayıdan (tamsayı kısım) ve bir uygun kesirden (kesirli kısım) oluşuyorsa, böyle bir kesir denir. karışık, Örneğin:

Karışık kesir her zaman birden büyüktür.

3 Kesir Dönüşümleri

Matematikte, sıradan kesirlerin sıklıkla dönüştürülmesi gerekir, yani karışık bir kesirin bileşik bir kesire dönüştürülmesi gerekir ve bunun tersi de geçerlidir. Çarpma ve bölme gibi belirli işlemleri gerçekleştirmek için bu gereklidir.

Bu yüzden, herhangi bir karışık fraksiyon uygunsuz bir fraksiyona dönüştürülebilir. Bunu yapmak için tüm kısım payda ile çarpılır ve kesirli kısmın payı eklenir. Ortaya çıkan miktar pay olarak alınır ve payda aynı bırakılır, örneğin:

Herhangi bir uygunsuz kesir, karışık bir kesire dönüştürülebilir. Bunu yapmak için payı paydaya bölün (kalanla birlikte). Ortaya çıkan sayı tamsayı kısmı olacak ve geri kalan kesirli kısmın payı olacaktır, örneğin:

Aynı zamanda diyorlar ki: “Biz tam kısmı, yanlış kesirden ayırdık.”

Unutulmaması gereken bir kural daha: Herhangi bir tam sayı, paydası 1 olan bir kesir olarak temsil edilebilir, Örneğin:

Kesirlerin nasıl karşılaştırılacağı hakkında konuşalım.

4 Kesirlerin karşılaştırılması

Kesirleri karşılaştırırken birkaç seçenek olabilir: Paydaları aynı olan kesirleri karşılaştırmak kolaydır, ancak paydalar farklıysa çok daha zordur. Ayrıca karışık fraksiyonların bir karşılaştırması da var. Ancak endişelenmeyin, şimdi her seçeneğe ayrıntılı olarak bakacağız ve kesirleri nasıl karşılaştıracağımızı öğreneceğiz.

Paydaları aynı olan kesirleri karşılaştırma

Paydaları aynı ancak payları farklı olan iki kesirden paydası daha büyük olan kesir daha büyüktür, örneğin:

Payları aynı olan kesirleri karşılaştırma

Payları aynı ancak paydaları farklı olan iki kesirden paydası daha küçük olan kesir daha büyüktür, örneğin:

Karışık ve bileşik kesirlerin uygun kesirlerle karşılaştırılması

Uygun olmayan veya karışık bir kesir her zaman uygun bir kesirden daha büyüktür, örneğin:

İki karışık kesirin karşılaştırılması

İki tam sayılı kesri karşılaştırırken, tam kısmı büyük olan kesir daha büyüktür, örneğin:

Karışık kesirlerin tamsayı kısımları aynı ise kesirli kısmı büyük olan kesir daha büyüktür, örneğin:

Farklı pay ve paydalara sahip kesirleri karşılaştırma

Farklı pay ve paydalara sahip kesirleri dönüştürmeden karşılaştıramazsınız. Öncelikle kesirler aynı paydaya indirilmeli, daha sonra payları karşılaştırılmalıdır. Payı büyük olan kesir ne kadar büyükse o kadar büyüktür. Ancak makalenin sonraki iki bölümünde kesirleri aynı paydaya nasıl indireceğimize bakacağız. Öncelikle kesirlerin temel özelliklerine ve indirgenen kesirlere bakacağız, ardından kesirleri doğrudan aynı paydaya indirgeyeceğiz.

5 Bir kesrin temel özelliği. Kesirlerin azaltılması. GCD kavramı.

Hatırlamak: Yalnızca paydaları aynı olan kesirleri toplayabilir, çıkarabilir ve karşılaştırabilirsiniz.. Paydalar farklıysa, önce kesirleri aynı paydaya getirmeniz, yani kesirlerden birini paydası ikinci kesirin payıyla aynı olacak şekilde dönüştürmeniz gerekir.

Kesirlerin önemli bir özelliği vardır. bir kesrin temel özelliği:

Bir kesrin hem payı hem de paydası aynı sayıyla çarpılır veya bölünürse kesrin değeri değişmez:

Bu özellik sayesinde şunları yapabiliriz: kesirleri azalt:

Bir kesri azaltmak, pay ve paydayı aynı sayıya bölmektir.(hemen yukarıdaki örneğe bakın). Bir kesri küçülttüğümüzde eylemlerimizi şu şekilde yazabiliriz:

Defterlerde daha sık olarak kesir şu şekilde kısaltılır:

Ancak unutmayın: yalnızca faktörleri azaltabilirsiniz. Pay veya paydada bir toplam veya fark varsa terimleri azaltamazsınız.

Örnek:

Önce toplamı bir çarpana dönüştürmelisiniz: Bazen büyük sayılarla çalışırken bir kesri azaltmak için bulmak daha uygundur.

pay ve paydanın en büyük ortak böleni (GCD) En Büyük Ortak Bölen (GCD)

birkaç sayı, bu sayıların kalansız bölünebildiği en büyük doğal sayıdır.

İki sayının gcd'sini (örneğin bir kesrin pay ve paydasını) bulmak için, her iki sayıyı da asal çarpanlara ayırmanız, her iki çarpanlara ayırmada da aynı çarpanları işaretlemeniz ve bu çarpanları çarpmanız gerekir. Ortaya çıkan ürün GCD olacaktır. Örneğin bir kesri azaltmamız gerekiyor:

96 ve 36 sayılarının gcd'sini bulalım:

OBEB bize hem payın hem de paydanın 12 çarpanına sahip olduğunu gösteriyor ve kesri kolaylıkla azaltabiliyoruz.

6 Bazen kesirleri aynı paydaya getirmek için kesirlerden birini azaltmak yeterlidir. Ancak daha sıklıkla her iki kesir için de ek faktörlerin seçilmesi gerekir. Şimdi bunun nasıl yapıldığına bakacağız. Bu yüzden:

Kesirler aynı paydaya nasıl azaltılır? En küçük ortak kat (LCM).

Kesirleri aynı paydaya indirdiğimizde, payda için hem birinci hem de ikinci paydaya bölünebilecek bir sayı seçeriz (yani matematiksel açıdan her iki paydanın katı olur). Ve bu sayının mümkün olduğu kadar küçük olması arzu edilir, sayılması daha uygundur. Bu nedenle her iki paydanın da LCM'sini bulmalıyız. Bu sayıların her ikisine de kalansız bölünebilen en küçük doğal sayıdır. Bazen LCM sözlü olarak bulunabilir, ancak daha sıklıkla, özellikle büyük sayılarla çalışırken, aşağıdaki algoritmayı kullanarak LCM'yi yazılı olarak bulmanız gerekir:

Birkaç sayının LCM'sini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:

1. Bu sayıları asal faktörlere ayırın
2. En büyük açılımı alın ve bu sayıları çarpım olarak yazın
3. Diğer ayrıştırmalarda en büyük ayrıştırmada görünmeyen (veya daha az kez ortaya çıkan) sayıları seçin ve bunları çarpıma ekleyin.
4. Çarpımdaki tüm sayıları çarpın, bu LCM olacaktır.

Örneğin 28 ve 21 sayılarının LCM'sini bulalım:

Ancak kesirlerimize dönelim. Her iki paydanın LCM'sini bulduktan veya yazılı olarak hesapladıktan sonra, bu kesirlerin paylarını şu şekilde çarpmamız gerekir: ek çarpanlar. Bunları, LCM'yi karşılık gelen kesirin paydasına bölerek bulabilirsiniz, örneğin:

Böylece kesirlerimizi aynı paydaya - 15'e indirdik.

7 Kesirleri toplama ve çıkarma

Paydaları benzer olan kesirlerde toplama ve çıkarma

Paydaları aynı olan kesirleri eklemek için paylarını eklemeniz gerekir, ancak paydayı aynı bırakmalısınız, örneğin:

Paydaları aynı olan kesirleri çıkarmak için, ikinci kesirin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir, örneğin:

Paydaları benzer olan tam sayılı kesirlerde toplama ve çıkarma

Karışık kesirleri eklemek için, bunların tüm parçalarını ayrı ayrı eklemeniz, ardından kesirli kısımlarını eklemeniz ve sonucu karışık kesir olarak yazmanız gerekir:

Kesirli parçaları eklerken uygunsuz bir kesir elde ederseniz, ondan tüm parçayı seçin ve onu tam parçaya ekleyin, örneğin:

Çıkarma işlemi de benzer şekilde gerçekleştirilir: tam sayı kısmı tam kısımdan çıkarılır ve kesirli kısım kesirli kısımdan çıkarılır:

Çıkarılanın kesirli kısmı eksinin kesirli kısmından büyükse, tam kısımdan bir "ödünç alırız", eksilen kısmı uygunsuz bir kesre dönüştürürüz ve sonra her zamanki gibi devam ederiz:

Aynı şekilde bir tam sayıdan bir kesri çıkarmak:

Tam sayı ve kesir nasıl eklenir?

Bir tam sayı ve bir kesir eklemek için, karışık bir kesir oluşturmak amacıyla bu sayıyı kesirin önüne eklemeniz yeterlidir, örneğin:

eğer biz bir tam sayı ve bir karışık kesirin eklenmesi, bu sayıyı kesrin tamamına ekliyoruz, örneğin:

Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma.

Farklı paydalara sahip kesirleri eklemek veya çıkarmak için, önce bunları aynı paydaya getirmeniz, ardından aynı paydalara sahip kesirleri eklerken yaptığınız gibi ilerlemeniz gerekir (payları ekleyin):

Çıkarma işleminde de aynı şekilde ilerliyoruz:

Karışık kesirlerle çalışıyorsak, onların kesirli kısımlarını aynı paydaya indiririz ve sonra her zamanki gibi çıkarırız: tüm kısmı tam kısımdan ve kesirli kısmı kesirli kısımdan:

8 Kesirlerde çarpma ve bölme.

Kesirleri çarpmak ve bölmek, toplama ve çıkarmaya göre çok daha kolaydır çünkü onları aynı paydaya indirmeniz gerekmez. Kesirleri çarpmak ve bölmek için basit kuralları unutmayın:

Pay ve paydadaki sayıları çarpmadan önce örneğimizde olduğu gibi kesri azaltmanız, yani pay ve paydadaki aynı faktörlerden kurtulmanız önerilir.

Bir kesri bir doğal sayıya bölmek için paydayı bu sayıyla çarpmanız ve payı değiştirmeden bırakmanız gerekir:

Örneğin:

Bir kesri bir kesire bölmek

Bir kesri diğerine bölmek için, bölenin tersiyle (karşılıklı kesir) bölüneni çarpmanız gerekir. Bu ne tür bir karşılıklı kesirdir?

Kesri ters çevirirsek yani pay ve paydayı değiştirirsek karşılıklı kesir elde ederiz. Bir kesirin tersi ile çarpımı bir verir. Matematikte bu tür sayılara karşılıklı sayılar denir:

Örneğin sayılar - karşılıklı olarak terstir, çünkü

Böylece, bir kesri kesire bölmeye dönelim:

Bir kesri diğerine bölmek için bölüneni bölenin tersi ile çarpmanız gerekir.:

Örneğin:

Karışık kesirleri bölerken, tıpkı çarpma işleminde olduğu gibi, öncelikle bunları bileşik kesirlere dönüştürmelisiniz:

Kesirleri tam doğal sayılarla çarparken ve bölerken, bu sayıları paydası olan kesirler olarak da gösterebilirsiniz 1 .

Ve ne zaman bir tam sayıyı kesre bölmek bu sayıyı paydalı bir kesir olarak temsil edin 1 :

Çocuklar için "Kesirli" matematik

Kesirin bir bütünün parçası, birden küçüğü olduğu konusunda hemen anlaşalım. Bütünü kaç parçaya böleceğiz? Ve bu şekilde aynı fikirdeyiz. Birim olarak neyi ele alacağız? Aynı fikirde olduğumuz gibi. Bu kesimler o kadar hoşgörülü ki. Ve bir şeyi de hatırlamanız gerekiyor: Bütünü kaç parçaya bölmeye karar verdiğimiz sayı paydadır, bu parçalardan kaç tanesini aldığımız paydır.

Mesela burada bir hikaye var. Çimenlerin üzerinde 3 elma var, kirpi sadece 2 elma aldı. Bir bütün (birim) için tüm elmaları - tüm hasatı - alacağız. Ama elimizde 3 tane var, bu da hasadımızın 3 parçaya bölündüğü anlamına geliyor. 3 paydadır. Hasatın tamamı (birim) 3/3'tür ve her elma hasatın 1/3'üdür. Kirpi 2 elmayı aldığına göre hasadın 2/3'ünü almış demektir!

Veya birçok çocuk tarafından çok sevilen bir inşaat seti olan Lego'yu alabilirsiniz. Tüm öğelerinin boyutlarının farklı olduğunu uzun zaman önce fark etmiştik, değil mi? Ve her parçanın farklı sayıda "sivilce" noktaları vardır. Hadi sayalım - işte bir, iki, dört, altı ve hatta sekiz.

Sekiz noktalı bir Lego “tuğlasının” bir bütün (birim) olduğunu düşünelim. Öncelikle onu başkalarıyla karşılaştıralım. “Tuğla” ünitemizi yapmak için kaç tane 4 noktalı Lego parçası almamız gerekiyor? Doğru, iki. Bu, 4 noktalı bir parçanın “birimimizin” 1/2'si olduğu anlamına gelir. Bütünü elde etmek için iki noktalı kaç parça almanız gerekir? Doğru, dört. Dolayısıyla böyle bir detay 1/4'tür. Ve tek noktalı parça 1/8'dir, çünkü bir bütün oluşturmak için bu tür 8 parçaya ihtiyacınız olacak. Şimdi sorun daha karmaşık: altı noktalı bir öğemiz var. İçinde 3 “çeyrek” bulunur ve buna bir tane daha eklerseniz bir bütün (birim) elde edersiniz. İşte ilk örnek: 3/4+1/4=4/4 veya 1 (eğer pay ve payda eşitse bu bir olur!)

Bu, Legolarla yapılabilecek tek deney değil. Kesirlerle birçok konuda anlaşabilirsiniz. Aynı şeyi çeyrek olarak değil de sekizde bir sayarsak ne olur? Peki paydamız 8 mi olacak? Resme bakalım: birim sekiz noktalı bir “tuğladır”. 1/2 - bu 4/8 ve 1/4 = 2/8 olur. Bu da kesirleri nasıl azaltabileceğinizle ilgili bir hikaye. Ancak bu konu gerçekten biraz bekleyebilir!

Kesirli örnekler matematiğin temel unsurlarından biridir. Kesirli birçok farklı denklem türü vardır. Aşağıda bu tür örnekleri çözmek için ayrıntılı talimatlar bulunmaktadır.

Kesirli örnekler nasıl çözülür - genel kurallar

Toplama, çıkarma, çarpma veya bölme gibi her türden kesirli örnekleri çözmek için temel kuralları bilmeniz gerekir:

• Aynı paydaya sahip kesirli ifadeler eklemek için (payda kesrin altındaki sayıdır, pay üsttedir), paylarını eklemeniz ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
• Bir kesirden ikinci bir kesirli ifadeyi (aynı paydaya sahip) çıkarmak için paylarını çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
• Farklı paydalara sahip kesirleri toplamak veya çıkarmak için en küçük ortak paydayı bulmanız gerekir.
• Kesirli bir çarpım bulmak için pay ve paydaları çarpmanız ve mümkünse azaltmanız gerekir.
• Bir kesri bir kesre bölmek için, birinci kesri ikinci kesirin tersiyle çarpmanız gerekir.

Kesirlerle örnekler nasıl çözülür - pratik

Kural 1, örnek 1:

3/4 +1/4'ü hesaplayın.

Kural 1'e göre, eğer iki (veya daha fazla) kesir aynı paydaya sahipse, paylarını eklemeniz yeterlidir. Şunu elde ederiz: 3/4 + 1/4 = 4/4. Bir kesirin pay ve paydası aynı ise kesir 1'e eşit olacaktır.

Cevap: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Kural 2, örnek 1:

Hesapla: 3/4 – 1/4

2 numaralı kuralı kullanarak bu denklemi çözmek için 3'ten 1 çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir. 2/4'ünü elde ederiz. İki 2 ve 4 azaltılabileceği için azaltıp 1/2 elde ederiz.

Cevap: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Kural 3, Örnek 1

Hesapla: 3/4 + 1/6

Çözüm: 3. kuralı kullanarak en küçük ortak paydayı buluruz. En küçük ortak payda, örnekteki tüm kesirli ifadelerin paydalarına bölünebilen sayıdır. Böylece hem 4'e hem de 6'ya bölünebilecek minimum sayıyı bulmamız gerekiyor. Bu sayı 12'dir. Payda olarak 12 yazıyoruz. 12'yi ilk kesrin paydasına bölüyoruz, 3 elde ediyoruz, 3 ile çarpıyoruz, yazıyoruz. Payda 3 *3 ve + işareti. 12'yi ikinci kesrin paydasına böleriz, 2 elde ederiz, 2'yi 1 ile çarparız, paya 2*1 yazarız. Böylece paydası 12 ve payı 3*3+2*1=11 olan yeni bir kesir elde ederiz. 11/12.

Cevap: 11/12

Kural 3, Örnek 2:

3/4 – 1/6’yı hesaplayın. Bu örnek öncekine çok benzer. Aynı adımları yapıyoruz ancak payda + işareti yerine eksi işareti yazıyoruz. Şunu elde ederiz: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Cevap: 7/12

Kural 4, Örnek 1:

Hesapla: 3/4 * 1/4

Dördüncü kuralı kullanarak, birinci kesrin paydasını ikincinin paydasıyla, birinci kesrin payını da ikincinin payıyla çarpıyoruz. 3*1/4*4 = 3/16.

Cevap: 3/16

Kural 4, Örnek 2:

2/5 * 10/4'ü hesaplayın.

Bu kısım azaltılabilir. Bir çarpım olması durumunda, birinci kesrin payı ve ikincinin paydası ile ikinci kesrin payı ve birincinin paydası iptal edilir.

4'ten 2, 5'ten 10 sadeleşir. 1 * 2/2 = 1*1 = 1 elde ederiz.

Cevap: 2/5 * 10/4 = 1

Kural 5, Örnek 1:

Hesapla: 3/4: 5/6

5. kuralı kullanarak şunu elde ederiz: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Kesirleri önceki örneğin prensibine göre azaltıyoruz ve 9/10 elde ediyoruz.

Cevap: 9/10.

Kesirlerle örnekler nasıl çözülür - kesirli denklemler

Kesirli denklemler, paydanın bilinmeyen içerdiği örneklerdir. Böyle bir denklemi çözmek için belirli kuralları kullanmanız gerekir.

Bir örneğe bakalım:

15/3x+5 = 3 denklemini çözün

Sıfıra bölünemeyeceğini hatırlayalım. payda değeri sıfır olmamalıdır. Bu tür örnekleri çözerken bunun belirtilmesi gerekir. Bu amaçla bir OA (izin verilen değer aralığı) mevcuttur.

Yani 3x+5 ≠ 0.
Dolayısıyla: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

x = 5/3'te denklemin çözümü yoktur.

ODZ'yi belirledikten sonra bu denklemi çözmenin en iyi yolu kesirlerden kurtulmaktır. Bunu yapmak için öncelikle kesirli olmayan tüm değerleri kesir olarak sunarız, bu durumda 3 sayısı. Elde ederiz: 15/(3x+5) = 3/1. Kesirlerden kurtulmak için her birini en küçük ortak paydayla çarpmanız gerekir. Bu durumda (3x+5)*1 olacaktır. Eylem sırası:

1. 15/(3x+5)'i (3x+5)*1 = 15*(3x+5) ile çarpın.
2. Parantezleri açın: 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. Aynısını denklemin sağ tarafı için de yapıyoruz: 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Sol ve sağ kenarları eşitleyin: 45x + 75 = 9x +15
5. X'leri sola, sayıları sağa taşıyın: 36x = – 50
6. X'i bulun: x = -50/36.
7. İndirgeriz: -50/36 = -25/18

Cevap: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Kesirli örnekler nasıl çözülür - kesirli eşitsizlikler

(3x-5)/(2-x)≥0 tipindeki kesirli eşitsizlikler sayı ekseni kullanılarak çözülür. Bu örneğe bakalım.

Eylem sırası:

• Pay ve paydayı sıfıra eşitliyoruz: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Ortaya çıkan değerleri üzerine yazarak bir sayı ekseni çiziyoruz.
• Değerin altına bir daire çizin. İki tür daire vardır: dolu ve boş. İçi dolu daire, verilen değerin çözüm aralığında olduğu anlamına gelir. Boş bir daire bu değerin çözüm alanına dahil olmadığını gösterir.
• Payda sıfıra eşit olamayacağı için 2'nin altında boş bir daire olacaktır.

• İşaretleri belirlemek için denklemde ikiden büyük herhangi bir sayıyı yerine koyarız, örneğin 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. değer negatif yani ikiden sonra alanın üstüne eksi yazıyoruz. Daha sonra X'in yerine 5/3 ile 2 arasındaki herhangi bir değeri (örneğin 1) koyun. Değer yine negatiftir. Eksi yazıyoruz. Aynı işlemi 5/3'e kadar bulunan alan için de tekrarlıyoruz. 5/3'ten küçük herhangi bir sayıyı değiştiririz, örneğin 1. Yine eksi.

• İfadenin 0'dan büyük veya ona eşit olacağı x değerleriyle ilgilendiğimiz ve böyle bir değer olmadığından (her yerde eksiler vardır), bu eşitsizliğin çözümü yoktur, yani x = Ø (boş bir set).

Cevap: x = Ø

Bir birimin bir kısmına veya birkaç kısmına basit veya ortak kesir denir. Bir birimin bölündüğü eşit parça sayısına payda, alınan parça sayısına ise pay denir. Kesir şu şekilde yazılır:

Bu durumda a pay, b ise paydadır.

Pay, paydadan küçükse kesir 1'den küçüktür ve bu kesre gerçek kesir denir. Pay paydadan büyükse, kesir 1'den büyükse bu kesre uygunsuz kesir denir.

Bir kesrin payı ve paydası eşitse kesir eşittir.

1. Pay paydaya bölünebiliyorsa, bu kesir bölümün bölümüne eşittir:

Bölme bir kalanla yapılırsa, bu uygunsuz kesir karışık bir sayı ile temsil edilebilir, örneğin:

O halde 9 tamamlanmamış bir bölümdür (karışık bir sayının tamsayı kısmı),
1 - kalan (kesirli kısmın payı),
5 paydadır.

Tam sayılı bir sayıyı kesre dönüştürmek için tam sayının tamamını paydayla çarpmanız ve kesirli kısmın payını eklemeniz gerekir.

Ortaya çıkan sonuç ortak kesrin payı olacaktır, ancak payda aynı kalacaktır.

Kesirlerle işlemler

Kesir genişlemesi. Bir kesrin payını ve paydasını sıfır dışında aynı sayıyla çarptığınızda değeri değişmez.
Örneğin:

Bir kesri azaltmak. Bir kesrin payını ve paydasını sıfır dışında aynı sayıya bölerseniz değeri değişmez.
Örneğin:

Kesirlerin karşılaştırılması. Payları aynı olan iki kesirden paydası küçük olan daha büyüktür:

Paydası aynı olan iki kesirden payı büyük olan daha büyüktür:

Payları ve paydaları farklı olan kesirleri karşılaştırmak için onları genişletmek, yani ortak bir paydaya getirmek gerekir. Örneğin aşağıdaki kesirleri düşünün:

Kesirlerin eklenmesi ve çıkarılması. Kesirlerin paydaları aynıysa, kesirleri toplamak için paylarını eklemeniz, kesirleri çıkarmak için paylarını çıkarmanız gerekir. Ortaya çıkan toplam veya fark, sonucun payı olacak, ancak payda aynı kalacaktır. Kesirlerin paydaları farklıysa öncelikle kesirleri ortak bir paydaya indirgemeniz gerekir. Tam sayılı sayılar toplanırken tam ve kesirli kısımları ayrı ayrı toplanır. Karışık sayıları çıkarırken, önce bunları bileşik kesirler biçimine dönüştürmeniz, ardından birini diğerinden çıkarmanız ve ardından gerekirse sonucu tekrar karma sayı biçimine dönüştürmeniz gerekir.

Kesirlerin Çarpılması. Kesirleri çarpmak için pay ve paydalarını ayrı ayrı çarpmanız ve ilk çarpımı ikinciye bölmeniz gerekir.

Kesirlerin bölünmesi. Bir sayıyı bir kesre bölmek için bu sayıyı ters kesirle çarpmanız gerekir.

Ondalık- bu, birin on, yüz, bin vb.'ye bölünmesinin sonucudur. parçalar. Sayının önce tam kısmı yazılır, sonra sağa bir virgül konur. Ondalık noktadan sonraki ilk rakam, onda birlik sayı, ikinci - yüzde birlik sayı, üçüncü - binde birlik sayı vb. anlamına gelir. Ondalık noktadan sonraki sayılara ondalık sayı denir.

Örneğin:

Ondalık Sayıların Özellikleri

Özellikler:

• Sağa sıfır eklerseniz ondalık kesir değişmez: 4,5 = 4,5000.
• Ondalık sayının sonundaki sıfırları kaldırırsanız ondalık sayı değişmez: 0,0560000 = 0,056.
• Ondalık sayı 10, 100, 1000 vb. artar. kez, virgül bir, iki, üç vb. hareket ettirilirse sağdaki pozisyonlar: 4,5 45 (kesir 10 kat arttı).
• Ondalık kesirler 10, 100, 1000 vb. azaltılır. kez, virgül bir, iki, üç vb. hareket ettirilirse soldaki pozisyonlar: 4,5 0,45 (kesir 10 kat azaldı).

Periyodik bir ondalık kesir, nokta adı verilen sonsuz sayıda tekrarlanan bir rakam grubunu içerir: 0,321321321321…=0,(321)

Ondalık sayılarla işlemler

Ondalık sayıların eklenmesi ve çıkarılması, tam sayılarda toplama ve çıkarma işlemleriyle aynı şekilde çalışır; karşılık gelen ondalık sayıları alt alta yazmanız yeterlidir.
Örneğin:

Ondalık kesirlerin çarpılması birkaç aşamada gerçekleştirilir:

• Ondalık sayıları göz ardı ederek tam sayı olarak çarpıyoruz.
• Kural geçerlidir: Çarpımdaki ondalık basamakların sayısı, tüm faktörlerdeki ondalık basamakların toplamına eşittir.

Örneğin:

Faktörlerdeki ondalık basamakların toplamı şuna eşittir: 2+1=3. Şimdi ortaya çıkan sayının sonundan itibaren 3 rakamı saymanız ve bir ondalık nokta koymanız gerekiyor: 0,675.

Ondalık sayıları bölme. Ondalık kesirin bir tam sayıya bölünmesi: Bölen bölenden küçükse, bölümün tamsayı kısmına sıfır yazmanız ve ondan sonra bir ondalık virgül koymanız gerekir. Daha sonra, temettü payının ondalık noktasını hesaba katmadan, kesirli kısmın bir sonraki basamağını tam kısmına ekleyin ve temettü payının elde edilen tam kısmını tekrar bölenle karşılaştırın. Yeni sayı yine bölenden küçükse işlemin tekrarlanması gerekir. Bu işlem, elde edilen temettü bölenden büyük olana kadar tekrarlanır. Daha sonra tam sayılarda olduğu gibi bölme işlemi yapılır. Bölünen bölenden büyük veya ona eşitse önce tamamını bölün, bölümün sonucunu bölüme yazın ve virgül koyun. Bundan sonra tam sayılarda olduğu gibi bölme işlemine devam edilir.

Bir ondalık kesirin diğerine bölünmesi: İlk olarak, bölen ve bölendeki ondalık noktalar, bölendeki ondalık basamakların sayısına aktarılır, yani böleni bir tamsayı yaparız ve yukarıda açıklanan eylemler gerçekleştirilir.

Ondalık bir kesri ortak bir kesire dönüştürmek için, pay olarak ondalık noktadan sonraki sayıyı almanız ve payda olarak onun k'inci kuvvetini almanız gerekir (k, ondalık basamakların sayısıdır). Sıfır olmayan tam sayı kısmı sıradan bir kesirde saklanır; sıfır tamsayı kısmı atlanır.
Örneğin:

Bir kesri ondalık sayıya dönüştürmek için bölme kurallarına uygun olarak payı paydaya bölmeniz gerekir.

Yüzde, bir birimin yüzde biri kadardır; örneğin: %5, 0,05 anlamına gelir. Oran, bir sayının diğerine bölümüdür. Oran, iki oranın eşitliğidir.

Örneğin:

Oranın temel özelliği: Oranın uç terimlerinin çarpımı orta terimlerinin çarpımına eşittir, yani 5x30 = 6x25. Karşılıklı olarak bağımlı iki miktar, miktarlarının oranı değişmeden kalırsa (orantılılık katsayısı) orantılı olarak adlandırılır.

Böylece aşağıdaki aritmetik işlemler tespit edilmiştir.
Örneğin:

Rasyonel sayılar kümesi pozitif ve negatif sayıları (tamsayılar ve kesirler) ve sıfırdan oluşur. Matematikte kabul edilen rasyonel sayıların daha kesin bir tanımı şu şekildedir: Bir sayı, a ve b'nin tam sayılar olduğu formun sıradan indirgenemez bir kesri olarak temsil edilebiliyorsa rasyonel olarak adlandırılır.

Negatif bir sayı için mutlak değer (modül), işaretinin “-” yerine “+” olarak değiştirilmesiyle elde edilen pozitif bir sayıdır; pozitif bir sayı ve sıfır için - sayının kendisi. Bir sayının modülünü belirtmek için bu sayının içinde yazıldığı iki düz çizgi kullanılır, örneğin: |–5|=5.

Mutlak değerin özellikleri

Bir sayının modülü verilsin , bunun için aşağıdaki özellikler doğrudur:

Tek terimli, her biri bir sayı, bir harf veya bir harfin kuvveti olan iki veya daha fazla faktörün çarpımıdır: 3 x a x b. Katsayı çoğunlukla sadece sayısal bir çarpan olarak adlandırılır. Monomlar aynıysa veya yalnızca katsayılar farklıysa benzer denir. Bir monomun derecesi onun tüm harflerinin üslerinin toplamıdır. Monomların toplamı arasında benzer olanlar varsa, toplam daha basit bir forma indirgenebilir: 3 x a x b + 6 x a = 3 x a x (b + 2). Bu işleme benzer terimlerin getirilmesi veya parantezlerin dışına çıkarılması denir.

Bir polinom, monomların cebirsel toplamıdır. Bir polinomun derecesi, verilen polinomun içerdiği monomların derecelerinin en büyüğüdür.

Aşağıdaki kısaltılmış çarpma formülleri mevcuttur:

Çarpanlara ayırma yöntemleri:

Cebirsel kesir, A ve B'nin bir sayı, bir monom veya bir polinom olabileceği formun bir ifadesidir.

İki ifade (sayısal ve alfabetik) “=” işaretiyle birbirine bağlanırsa, bunların bir eşitlik oluşturduğu söylenir. İçinde yer alan harflerin izin verilen tüm sayısal değerleri için geçerli olan herhangi bir gerçek eşitliğe kimlik denir.

Denklem, içinde yer alan harflerin belirli değerleri için geçerli olan gerçek bir eşitliktir. Bu harflere bilinmeyenler (değişkenler) adı verilir ve bu denklemin kimliğe dönüştüğü değerlerine denklemin kökleri denir.

Bir denklemi çözmek onun tüm köklerini bulmak anlamına gelir. İki veya daha fazla denklemin kökleri aynıysa eşdeğer denir.

• sıfır denklemin köküydü;
• denklemin yalnızca sınırlı sayıda kökü vardı.

Temel cebirsel denklem türleri:

Doğrusal denklem için ax + b = 0:

• a x 0 ise tek bir kök vardır x = -b/a;
• a = 0, b ≠ 0 ise kök yoktur;
• a = 0, b = 0 ise kök herhangi bir gerçek sayıdır.

Denklem xn = a, n N:

• n tek bir sayı ise, herhangi bir a için a/n'ye eşit bir gerçek kök vardır;
• n bir çift sayı ise 0 için iki kökü vardır.

Temel kimlik dönüşümleri: bir ifadenin kendisine tamamen eşit olan başka bir ifadeyle değiştirilmesi; denklem terimlerinin bir taraftan diğer tarafa zıt işaretlerle aktarılması; Bir denklemin her iki tarafının sıfır dışında aynı ifadeyle (sayı) çarpılması veya bölünmesi.

Bir bilinmeyenli doğrusal denklem şu formdaki bir denklemdir: ax+b=0; burada a ve b bilinen sayılardır ve x bilinmeyen bir miktardır.

İki bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi şu şekildedir:

a, b, c, d, e, f sayıları verildiğinde; x, y bilinmiyor.

a, b, c, d sayıları bilinmeyenlerin katsayılarıdır; e, f serbest terimlerdir. Bu denklem sisteminin çözümü iki ana yöntemle bulunabilir: ikame yöntemi: bir denklemden bilinmeyenlerden birini katsayılar aracılığıyla ve diğer bilinmeyeni ifade ederiz ve ardından bunu ikinci denklemde yerine koyarız, önce son denklemi çözeriz; bir bilinmeyen buluyoruz, sonra bulunan değeri ilk denklemde yerine koyuyoruz ve ikinci bilinmeyeni buluyoruz; bir denklemi diğerine ekleme veya çıkarma yöntemi.

Köklerle yapılan işlemler:

Negatif olmayan bir a sayısının n'inci derecesinin aritmetik kökü, n'inci derecesi a'ya eşit olan negatif olmayan bir sayıdır. Belirli bir sayının n'inci derecesinin cebirsel kökü, bu sayının tüm köklerinin kümesidir.

İrrasyonel sayılar, rasyonel sayıların aksine, m ve n'nin tam sayılar olduğu m/n formunun sıradan indirgenemez kesirleri olarak temsil edilemez. Bunlar, herhangi bir hassasiyetle hesaplanabilen, ancak rasyonel bir sayıyla değiştirilemeyen yeni türde sayılardır. Geometrik ölçümlerin bir sonucu olarak ortaya çıkabilirler, örneğin: bir karenin köşegen uzunluğunun kenar uzunluğuna oranı eşittir.

İkinci dereceden bir denklem ikinci derece ax2+bx+c=0'ın cebirsel bir denklemidir; burada a, b, c'ye sayısal veya harf katsayıları verilir ve x bir bilinmeyendir. Bu denklemin tüm terimlerini a'ya bölersek sonuç x2+px+q=0 olur - indirgenmiş denklem p=b/a, q=c/a. Kökleri aşağıdaki formülle bulunur:

b2-4ac>0 ise iki farklı kök vardır, b2-4ac=0 ise iki eşit kök vardır; b2-4ac Modül içeren denklemler

Modül içeren temel denklem türleri:
1) |f(x)| = |g(x)|;
2) |f(x)| = g(x);
3) f1(x)|g1(x)| + f2(x)|g2(x)| + … + fn(x)|gn(x)| =0, n N, burada f(x), g(x), fk(x), gk(x) fonksiyonları verilmiştir.

vida 0,123 4 (\displaystyle 0(,)1234).

Formun bir kısmının gösteriminde X / Y (\displaystyle X/Y) veya X Y (\ displaystyle (\ frac (X) (Y))) satırın önündeki veya üstündeki sayı çağrılır pay, ve satırın ardından veya altındaki sayı payda. Birincisi temettü rolünü oynar, ikincisi ise bölen.

Kesir türleri

Ortak kesirler

Sıradan(veya basit) kesir - rasyonel sayının formda yazılması ± m n (\displaystyle \pm (\frac (m)(n))) veya ± m / n , (\displaystyle \pm m/n,) Nerede n ≠ 0. (\displaystyle n\neq 0.) Yatay veya eğik çizgi, bölümle sonuçlanan bir bölme işaretini belirtir. Temettü denir pay kesirler ve bölen payda.

Ortak kesirler için gösterim

Sıradan kesirleri basılı biçimde yazmanın birkaç türü vardır:

Doğru ve yanlış kesirler

Doğru Payı paydasından küçük olan kesire kesir denir. Uygun olmayan kesre denir yanlış ve modülü birden büyük veya ona eşit olan bir rasyonel sayıyı temsil eder.

Örneğin kesirler 3 5 (\displaystyle (\frac (3)(5))), 7 8 (\displaystyle (\frac (7)(8))) ve uygun kesirler, oysa 8 3 (\displaystyle (\frac (8)(3))), 9 5 (\displaystyle (\frac (9)(5))), 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))) Ve 1 1 (\displaystyle (\frac (1)(1)))- uygunsuz kesirler. Sıfırdan farklı herhangi bir tam sayı, paydası 1 olan uygunsuz bir kesir olarak temsil edilebilir.

Karışık kesirler

Tam sayı olarak yazılan kesre ve uygun kesre denir karışık fraksiyon ve bu sayı ile bir kesrin toplamı olarak anlaşılmaktadır. Herhangi bir rasyonel sayı tam sayılı kesir olarak yazılabilir. Karışık kesirlerden farklı olarak, yalnızca pay ve payda içeren kesirlere denir. basit.

Örneğin, 2 3 7 = 2 + 3 7 = 14 7 + 3 7 = 17 7 (\displaystyle 2(\frac (3)(7))=2+(\frac (3)(7))=(\frac (14) )(7))+(\frac (3)(7))=(\frac (17)(7))). Katı matematik literatüründe, karışık kesir notasyonunun bir tam sayının kesir çarpımı notasyonuyla benzerliği ve ayrıca daha hantal notasyon ve daha az uygun hesaplamalar nedeniyle böyle bir notasyonu kullanmamayı tercih ederler. .

Bileşik kesirler

Çok katlı veya bileşik kesir, birkaç yatay (veya daha az yaygın olarak eğik) çizgi içeren bir ifadedir:

Ondalık Sayılar

Ondalık sayı, bir kesrin konumsal temsilidir. Şuna benziyor:

Örnek: 3,141 5926 (\displaystyle 3(,)1415926).

Kaydın konumsal virgülden önce gelen kısmı sayının tamsayı kısmı (kesir), virgülden sonra gelen kısmı ise kesirli kısmıdır. Herhangi bir sıradan kesir, bu durumda ya sonlu sayıda ondalık basamağa sahip olan ya da periyodik bir kesir olan ondalık sayıya dönüştürülebilir.

Genel olarak konuşursak, bir sayıyı konumsal olarak yazmak için yalnızca ondalık sayı sistemini değil aynı zamanda diğerlerini de (Fibonacci gibi belirli olanlar dahil) kullanabilirsiniz.

Kesirin anlamı ve kesirin temel özelliği

Kesir sadece bir sayının temsilidir. Aynı sayı hem sıradan hem de ondalık farklı kesirlere karşılık gelebilir.

Kesirlerle işlemler

Bu bölüm adi kesirler üzerindeki işlemleri kapsamaktadır. Ondalık kesirlerle ilgili işlemler için bkz. Ondalık kesir.

Ortak bir paydaya indirgeme

Kesirleri karşılaştırmak, eklemek ve çıkarmak için bunların dönüştürülmesi gerekir ( getirmek) aynı paydaya sahip bir forma. İki kesir verilsin: a b (\displaystyle (\frac (a)(b))) Ve c d (\ displaystyle (\ frac (c) (d))). Prosedür:

Bundan sonra her iki kesrin paydaları çakışır (eşit) M). Basit durumlarda en küçük ortak kat yerine şu şekilde alabiliriz: M paydaların çarpımı gibi herhangi bir ortak kat. Örnek olarak aşağıdaki Karşılaştırma bölümüne bakın.

Karşılaştırmak

İki ortak kesri karşılaştırmak için onları ortak bir paydaya getirmeniz ve elde edilen kesirlerin paylarını karşılaştırmanız gerekir. Payı daha büyük olan kesir daha büyük olacaktır.

Örnek. Hadi karşılaştıralım 3 4 (\displaystyle (\frac (3)(4))) Ve 4 5 (\displaystyle (\frac (4)(5))). LCM(4, 5) = 20. Kesirleri payda 20'ye indiriyoruz.

4 5 = 16 20 (\displaystyle (\frac (3)(4))=(\frac (15)(20));\quad (\frac (4)(5))=(\frac (16)( 20))) 3 4 < 4 5 {\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}

Buradan,

Toplama ve çıkarma

5 6 (\displaystyle (\frac (5)(6))) İki sıradan kesir eklemek için bunları ortak bir paydaya indirgemeniz gerekir. Daha sonra payları ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın: Paydaların LCM'si (burada 2 ve 3) 6'ya eşittir. Kesri veriyoruz
payda 6'ya göre, bunun için pay ve paydanın 3 ile çarpılması gerekir. İşe yaradı 3 6 (\displaystyle (\frac (3)(6))) . Kesirini veriyoruz 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))) aynı paydaya, bunun için pay ve paydanın 2 ile çarpılması gerekir..
Kesirler arasındaki farkı elde etmek için, bunların da ortak bir paydaya getirilmesi ve ardından payların çıkarılması ve paydanın değişmeden bırakılması gerekir:

Paydaların LCM'si (burada 2 ve 4) 4'e eşittir. Kesri sunuyoruz İki sıradan kesir eklemek için bunları ortak bir paydaya indirgemeniz gerekir. Daha sonra payları ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın: payda 4'e göre, bunun için payı ve paydayı 2 ile çarpmanız gerekir. 2 4 (\displaystyle (\frac (2)(4))).

Çarpma ve bölme

İki sıradan kesri çarpmak için paylarını ve paydalarını çarpmanız gerekir:

(\displaystyle (\frac (a)(b))\cdot (\frac (c)(d))=(\frac (ac)(bd))).)

2 3 ⋅ 3 = 6 3 = 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))\cdot 3=(\frac (6)(3))=2)

5 8 ⋅ 2 5 = 10 40 = 1 4 .

Örneğin:

a b: c d = a b ⋅ d c = a d b c , b , c , d ≠ 0. (\displaystyle (\frac (a)(b)):(\frac (c)(d))=(\frac (a)( b))\cdot (\frac (d)(c))=(\frac (ad)(bc))\quad b,c,d\neq 0.)

1 2: 1 3 = 1 2 ⋅ 3 1 = 3 2.

1 2 = 5 10 = 0 , 5 (\displaystyle (\frac (1)(2))=(\frac (5)(10))=0(,)5)

- Sonsuzca tekrarlanan bir nokta genellikle parantez içinde yazılır.

Bir ondalık sayıyı ortak bir kesire dönüştürmek için kesirli kısmı, 10'un uygun kuvvetine bölünen bir doğal sayı olarak temsil edin. Daha sonra işaretli tamsayı kısmı sonuca eklenerek karışık bir kesir oluşturulur. Örnek: 71,147 5 = 71 + 1475 10000 = 71 1475 10000 = 71 59 400 (\displaystyle 71(,)1475=71+(\frac (1475)(10000))=71(\frac (1475)(10000))=71 (\frac (59)(400))) diğer dillerdeki benzerleri gibi,