Aynı ifadeler nelerdir? Kimlik dönüşümleri

§ 2. Aynı ifadeler, kimlik. Bir ifadenin özdeş dönüşümü. Kimlik kanıtları

x değişkeninin verilen değerleri için 2(x - 1) 2x - 2 ifadesinin değerlerini bulalım. Sonuçları tabloya yazalım:

x değişkeninin verilen her değeri için 2(x - 1) 2x - 2 ifadelerinin değerlerinin birbirine eşit olduğu sonucuna varabiliriz. Çarpmanın çıkarma işlemine göre dağılma özelliğine göre, 2(x - 1) = 2x - 2. Bu nedenle, x değişkeninin herhangi bir diğer değeri için, 2(x - 1) 2x - 2 ifadesinin değeri de şu şekilde olacaktır: birbirine eşittir. Bu tür ifadelere aynı derecede eşit denir.

Örneğin, 2x + 3x ve 5x ifadeleri eşanlamlıdır, çünkü x değişkeninin her değeri için bu ifadeler aynı değerleri alır (bu, 2x + 3x = 5x olduğundan, toplamaya göre çarpmanın dağılma özelliğinden kaynaklanır).

Şimdi 3x + 2y ve 5xy ifadelerini ele alalım. Eğer x = 1 ve b = 1 ise, bu ifadelerin karşılık gelen değerleri birbirine eşittir:

3x + 2y =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5xy = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.

Ancak bu ifadelerin değerlerinin birbirine eşit olmayacağı x ve y değerlerini belirtebilirsiniz. Örneğin x = 2 ise; y = 0 ise

3x + 2y = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5xy = 5 ∙ 20 = 0.

Sonuç olarak 3x + 2y ve 5xy ifadelerinin karşılık gelen değerlerinin birbirine eşit olmadığı değişkenlerin değerleri vardır. Bu nedenle 3x + 2y ve 5xy ifadeleri tamamen eşit değildir.

Yukarıdakilere dayanarak, özellikle özdeşlikler şu eşitliklerdir: 2(x - 1) = 2x - 2 ve 2x + 3x = 5x.

Kimlik, sayılarla ilgili işlemlerin bilinen özelliklerini tanımlayan her eşitliktir. Örneğin,

a + b = b + a; (a + b) + c = a + (b + c); a(b + c) = ab + ac;

ab = ba; (ab)c = a(bc); a(b - c) = ab - ac.

Kimlikler aşağıdaki eşitlikleri içerir:

bir + 0 = bir; bir ∙ 0 = 0; a ∙ (-b) = -ab;

a + (-a) = 0; bir ∙ 1 = bir; a ∙ (-b) = ab.

1 + 2 + 3 = 6; 5 2 + 12 2 = 13 2 ; 12 ∙ (7 - 6) = 3 ∙ 4.

-5x + 2x - 9 ifadesindeki benzer terimleri birleştirirsek 5x + 2x - 9 = 7x - 9 elde ederiz. Bu durumda 5x + 2x - 9 ifadesinin yerine aynı 7x - ifadesinin geldiğini söylüyorlar. 9.

Değişkenli ifadelerin özdeş dönüşümleri, sayılar üzerindeki işlemlerin özellikleri kullanılarak gerçekleştirilir. Özellikle, açma parantezleri, benzer terimlerin oluşturulması ve benzerleri ile özdeş dönüşümler.

Bir ifadeyi basitleştirirken, yani belirli bir ifadeyi tamamen eşit bir ifadeyle değiştirirken aynı dönüşümlerin gerçekleştirilmesi gerekir, bu da gösterimi kısaltır.

Örnek 1. İfadeyi basitleştirin:

1) -0,3 m∙ 5n;

2) 2(3x - 4) + 3(-4x + 7);

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a).

1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5 mn = -1,5 mn;

2) 2(3x4) + 3(-4 + 7) = 6 X - 8 - 1 2x+ 21 = 6x + 13;

3) 2 + 5a - (a - 2b) + (3b - a) = 2 + 5a - A + 2 B + 3 B - A= 3a + 5b + 2.

Eşitliğin bir özdeşlik olduğunu kanıtlamak (yani özdeşliği kanıtlamak) için ifadelerin özdeş dönüşümleri kullanılır.

Kimliği aşağıdaki yollardan biriyle kanıtlayabilirsiniz:

• sol tarafında aynı dönüşümleri gerçekleştirin, böylece onu sağ tarafın formuna indirin;
• sağ tarafında aynı dönüşümleri gerçekleştirin, böylece onu sol tarafın formuna indirin;
• her iki parçasında da aynı dönüşümleri gerçekleştirerek her iki parçayı da aynı ifadelere yükseltir.

Örnek 2. Kimliği kanıtlayın:

1) 2x - (x + 5) - 11 = x - 16;

2) 206 - 4a = 5(2a - 3b) - 7(2a - 5b);

3) 2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 13(2x - 5) + 21.

R a s i za n i .

1) Bu eşitliğin sol tarafını dönüştürün:

2x - (x + 5) - 11 = 2x - X- 5 - 11 = x - 16.

Kimlik dönüşümleri sayesinde eşitliğin sol tarafındaki ifade sağ taraftaki forma indirgenmiş ve bu eşitliğin bir kimlik olduğu kanıtlanmıştır.

2) Bu eşitliğin sağ tarafını dönüştürün:

5(2a - 3b) - 7(2a - 5b) = 10a - 15 B - 14a + 35 B= 20b - 4a.

Kimlik dönüşümleri sayesinde eşitliğin sağ tarafı sol tarafın formuna indirgenmiş ve bu eşitliğin bir kimlik olduğu kanıtlanmıştır.

3) Bu durumda eşitliğin hem sol hem de sağ taraflarını basitleştirmek ve sonuçları karşılaştırmak uygundur:

2(3x - 8) + 4(5x - 7) = 6x - 16 + 20x-28 = 26x-44;

13(2x - 5) + 21 = 26x - 65 + 21 = 26x - 44.

Özdeş dönüşümlerle eşitliğin sol ve sağ tarafları aynı forma indirgendi: 26x - 44. Dolayısıyla bu eşitlik bir özdeşliktir.

Hangi ifadelere aynı denir? Aynı ifadelere bir örnek veriniz. Ne tür bir eşitliğe kimlik denir? Bir kimliğe örnek veriniz. Bir ifadenin kimlik dönüşümüne ne denir? Kimlik nasıl kanıtlanır?

1. (Sözlü olarak) Veya tamamen eşit olan ifadeler vardır:

1) 2a + a ve 3a;

2) 7x + 6 ve 6 + 7x;

3) x + x + x ve x3;

4) 2(x - 2) ve 2x - 4;

5) m - n ve n - m;

6) 2a ∙ p ve 2p ∙ a?

1. İfadeler tamamen eşit mi:

1) 7x - 2x ve 5x;

2) 5a - 4 ve 4 - 5a;

3) 4m + n ve n + 4m;

4) a + a ve a 2;

5) 3(a - 4) ve 3a - 12;

6) 5m ∙ n ve 5m + n?

1. (Sözlü olarak) Lee kimlik eşitliğidir:

1) 2a + 106 = 12ab;

2) 7р - 1 = -1 + 7р;

3) 3(x - y) = 3x - 5y?

1. Parantezleri genişletin:

1. Parantezleri genişletin:

1. Benzer terimleri birleştirin:

1. 2a + 3a ifadesine benzer birkaç ifadeyi adlandırın.
2. Çarpmanın permütasyon ve bağlaç özelliklerini kullanarak ifadeyi basitleştirin:

1) -2,5 x ∙ 4;

2) 4р ∙ (-1,5);

3) 0,2 x ∙ (0,3 g);

4)- x ∙<-7у).

1. İfadeyi basitleştirin:

1) -2р ∙ 3,5;

2) 7a ∙ (-1,2);

3) 0,2 x ∙ (-3у);

4) - 1 m ∙ (-3n).

1. (Sözlü) İfadeyi basitleştirin:

1) 2x - 9 + 5x;

2) 7a - 3b + 2a + 3b;

4) 4a ∙ (-2b).

1. Benzer terimleri birleştirin:

1) 56 - 8a + 4b - a;

2) 17 - 2p + 3p + 19;

3) 1,8a + 1,9b + 2,8a - 2,9b;

4) 5 - 7 sn + 1,9 gr + 6,9 sn - 1,7 gr.

1) 4(5x - 7) + 3x + 13;

2) 2(7 - 9a) - (4 - 18a);

3) 3(2р - 7) - 2(r - 3);

4) -(3m - 5) + 2(3m - 7).

1. Parantezleri açın ve benzer terimleri birleştirin:

1) 3(8a - 4) + 6a;

2) 7p - 2(3p - 1);

3) 2(3x - 8) - 5(2x + 7);

4) 3(5m - 7) - (15m - 2).

1) 0,6 x + 0,4(x - 20), eğer x = 2,4 ise;

2) 1,3(2a - 1) - 16,4, eğer a = 10 ise;

3) 1,2(m - 5) - 1,8(10 - m), eğer m = -3,7 ise;

4) 2x - 3(x + y) + 4y, eğer x = -1 ise, y = 1.

1. İfadeyi basitleştirin ve anlamını bulun:

1) 0,7 x + 0,3(x - 4), eğer x = -0,7;

2) 1,7(y - 11) - 16,3, eğer b = 20 ise;

3) 0,6(2a - 14) - 0,4(5a - 1), eğer a = -1 ise;

4) 5(m - n) - 4m + 7n, eğer m = 1,8 ise; n = -0,9.

1. Kimliği kanıtlayın:

1) -(2x - y)=y - 2x;

2) 2(x - 1) - 2x = -2;

3) 2(x - 3) + 3(x + 2) = 5x;

4) c - 2 = 5(c + 2) - 4(c + 3).

1. Kimliği kanıtlayın:

1) -(m - 3n) = 3n - m;

2) 7(2 - p) + 7p = 14;

3) 5a = 3(a - 4) + 2(a + 6);

4) 4(m - 3) + 3(m + 3) = 7m - 3.

1. Üçgenin bir kenarının uzunluğu bir cm olup diğer iki kenarının uzunluğu ondan 2 cm daha büyüktür. Üçgenin çevresini bir ifade olarak yazın ve ifadeyi basitleştirin.
2. Dikdörtgenin genişliği x cm olup uzunluğu genişliğinden 3 cm fazladır. Dikdörtgenin çevresini bir ifade olarak yazın ve ifadeyi basitleştirin.

1) x - (x - (2x - 3));

2) 5m - ((n - m) + 3n);

3) 4p - (3p - (2p - (g + 1)));

4) 5x - (2x - ((y - x) - 2y));

5) (6a - b) - (4 a - 33b);

6) - (2,7 m - 1,5 n) + (2n - 0,48 m).

1. Parantezleri açın ve ifadeyi basitleştirin:

1) a - (a - (3a - 1));

2) 12m - ((a - m) + 12a);

3) 5y - (6y - (7y - (8y - 1)));

6) (2.1a - 2.8b) - (1a – 1b).

1. Kimliği kanıtlayın:

1) 10x - (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);

2) -(- 3p) - (-(8 - 5p)) = 2(4 - r);

3) 3(a - b - c) + 5(a - b) + 3c = 8(a - b).

1. Kimliği kanıtlayın:

1) 12a - ((8a - 16)) = -4(4 - 5a);

2) 4(x + y -<) + 5(х - t) - 4y - 9(х - t).

1. İfadenin anlamını kanıtlayın

1,8(m - 2) + 1,4(2 - m) + 0,2(1,7 - 2m) değişkenin değerine bağlı değildir.

1. Değişkenin herhangi bir değeri için ifadenin değerinin olduğunu kanıtlayın

a - (a - (5a + 2)) - 5(a - 8)

aynı numaradır.

1. Ardışık üç çift sayının toplamının 6'ya bölünebileceğini kanıtlayın.
2. Eğer n bir doğal sayı ise -2(2,5 n - 7) + 2 (3n - 6) ifadesinin değerinin çift sayı olduğunu kanıtlayın.

Tekrarlanacak egzersizler

1. 1,6 kg ağırlığındaki bir alaşım %15 bakır içerir. Bu alaşımda kaç kg bakır bulunur?
2. 20 sayısı yüzde kaçtır:

1) kare;

1. Turist 2 saat yürüdü, 3 saat ise bisiklete bindi. Turist toplamda 56 km yol kat etti. Turistin bisiklete bindiği hızı, yürüme hızından 12 km/saat daha fazlaysa bulun.

Tembel öğrenciler için ilginç görevler

1. Şehir futbol şampiyonasına 11 takım katılıyor. Her takım diğerine karşı bir maç oynar. Yarışmanın herhangi bir anında, o anda çift sayıda maç oynamış veya henüz hiç oynamamış bir takımın bulunduğunu kanıtlayın.

Kimlik kavramını ele aldıktan sonra özdeş eşit ifadeleri incelemeye geçebiliriz. Bu makalenin amacı ne olduğunu açıklamak ve hangi ifadelerin diğerleriyle aynı olacağını örneklerle göstermektir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aynı şekilde eşit ifadeler: tanım

Özdeş eşit ifadeler kavramı genellikle okul cebir dersinin bir parçası olarak özdeşlik kavramıyla birlikte incelenir. İşte bir ders kitabından alınan temel tanım:

Tanım 1

Aynı şekilde eşit birbirleri arasında, bileşimlerinde yer alan değişkenlerin olası değerleri için değerleri aynı olacak ifadeler olacaktır.

Ayrıca aynı değerlerin karşılık geleceği sayısal ifadeler de aynı şekilde eşit kabul edilir.

Bu, değişkenlerin değerleri değiştiğinde anlamı değişmeyen tüm tamsayı ifadeleri için geçerli olacak oldukça geniş bir tanımdır. Ancak daha sonra bu tanımın açıklığa kavuşturulması gerekli hale gelir; çünkü tam sayıların yanı sıra, belirli değişkenlerle anlam ifade etmeyecek başka ifade türleri de vardır. Bu, belirli değişken değerlerin kabul edilebilirliği ve kabul edilemezliği kavramının yanı sıra izin verilebilir değerlerin aralığının belirlenmesi ihtiyacını doğurmaktadır. Daha rafine bir tanım formüle edelim.

Tanım 2

Aynı şekilde eşit ifadeler– bunlar, bileşimlerinde yer alan değişkenlerin izin verilen değerleri için değerleri birbirine eşit olan ifadelerdir. Sayısal ifadeler aynı değerlere sahip olmaları koşuluyla birbirine eşit olacaktır.

"Değişkenlerin geçerli herhangi bir değeri için" ifadesi, her iki ifadenin de anlamlı olacağı değişkenlerin tüm değerlerini belirtir. Daha sonra özdeş eşit ifadelere örnekler verdiğimizde bu noktayı açıklayacağız.

Ayrıca aşağıdaki tanımı da sağlayabilirsiniz:

Tanım 3

Aynı özdeş ifadeler, sol ve sağ tarafta aynı özdeşlikte yer alan ifadelerdir.

Birbirine tamamen eşit olan ifadelere örnekler

Yukarıda verilen tanımları kullanarak bu tür ifadelerin birkaç örneğine bakalım.

Sayısal ifadelerle başlayalım.

Örnek 1

Böylece 2 + 4 ve 4 + 2, sonuçları eşit olacağından (6 ve 6) birbirine eşit olacaktır.

Örnek 2

Aynı şekilde 3 ve 30 ifadeleri de aynı şekilde eşittir: 10, (2 2) 3 ve 2 6 (son ifadenin değerini hesaplamak için derecenin özelliklerini bilmeniz gerekir).

Örnek 3

Ancak 4 - 2 ve 9 - 1 ifadeleri değerleri farklı olduğundan eşit olmayacaktır.

Gerçek ifade örneklerine geçelim. a + b ve b + a aynı şekilde eşit olacaktır ve bu, değişkenlerin değerlerine bağlı değildir (bu durumda ifadelerin eşitliği, toplamanın değişme özelliği ile belirlenir).

Örnek 4

Örneğin a 4'e ve b 5'e eşitse sonuçlar yine aynı olacaktır.

Harflerle özdeş eşit ifadelerin bir başka örneği de 0 · x · y · z ve 0'dır. Bu durumda değişkenlerin değerleri ne olursa olsun 0 ile çarpıldığında 0 verecektir. Eşit olmayan ifadeler 6 · x ve 8 · x'tir, çünkü bunlar herhangi bir x için eşit olmayacaktır.

Değişkenlerin izin verilen değerlerinin aralıklarının, örneğin a + 6 ve 6 + a veya a · b · 0 ve 0 veya x 4 ve x ifadelerinde ve değerlerinde çakışması durumunda ifadelerin kendileri herhangi bir değişken için eşittir, bu durumda bu tür ifadeler tamamen eşit kabul edilir. Yani a'nın herhangi bir değeri için a + 8 = 8 + a ve a · b · 0 = 0, çünkü herhangi bir sayının 0 ile çarpılması 0 sonucunu verir. x 4 ve x ifadeleri, [ 0 , + ∞) aralığındaki herhangi bir x için aynı şekilde eşit olacaktır.

Ancak bir ifadedeki geçerli değerlerin aralığı diğerinin aralığından farklı olabilir.

Örnek 5

Örneğin iki ifadeyi ele alalım: x − 1 ve x - 1 · x x. Bunlardan ilki için, x'in izin verilen değerleri aralığı, gerçek sayılar kümesinin tamamı olacak ve ikincisi için - sıfır hariç tüm gerçek sayılar kümesi olacak, çünkü o zaman 0'ı alacağız. payda ve böyle bir bölünme tanımlanmamıştır. Bu iki ifade, iki ayrı aralığın kesişmesiyle oluşan ortak bir değer aralığına sahiptir. Her iki x - 1 · x x ve x − 1 ifadesinin, 0 hariç değişkenlerin herhangi bir gerçek değeri için anlamlı olacağı sonucuna varabiliriz.

Kesirin temel özelliği aynı zamanda x - 1 · x x ve x − 1'in 0 olmayan herhangi bir x için eşit olacağı sonucunu çıkarmamıza da olanak tanır. Bu, izin verilen genel değerler aralığında bu ifadelerin birbirine eşit olacağı anlamına gelir, ancak herhangi bir gerçek x için aynı eşitlikten söz edemeyiz.

Bir ifadeyi kendisine eşit olan başka bir ifadeyle değiştirirsek bu işleme kimlik dönüşümü denir. Bu kavram çok önemlidir ve bunun hakkında ayrı bir materyalde detaylı olarak konuşacağız.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Kimlikler hakkında bir fikir edindikten sonra tanışmaya devam etmek mantıklıdır. Bu yazıda özdeş eşit ifadelerin ne olduğu sorusuna cevap vereceğiz ve ayrıca hangi ifadelerin eşit olduğunu ve hangilerinin olmadığını anlamak için örnekler kullanacağız.

Sayfada gezinme.

Aynı eşit ifadeler nelerdir?

Aynı derecede eşit ifadelerin tanımı, özdeşliğin tanımına paralel olarak verilmiştir. Bu 7. sınıf cebir dersinde oluyor. Yazar Yu. N. Makarychev'in 7. sınıf cebir ders kitabında aşağıdaki formülasyon verilmiştir:

Tanım.

– bunlar, içerdikleri değişkenlerin herhangi bir değeri için değerleri eşit olan ifadelerdir. Aynı değerlere sahip sayısal ifadelere de aynı şekilde eşit denir.

Bu tanım 8. sınıfa kadar kullanılır; içerdikleri değişkenlerin herhangi bir değeri için anlamlı olduğundan tamsayı ifadeleri için geçerlidir. 8. sınıfta ise özdeş eşit ifadelerin tanımı netleştirilmiştir. Bunun neyle bağlantılı olduğunu açıklayalım.

8. sınıfta, bütün ifadelerden farklı olarak değişkenlerin bazı değerleri için anlam ifade etmeyebilecek diğer ifade türlerinin incelenmesine başlanır. Bu bizi, değişkenlerin izin verilen ve kabul edilemez değerlerinin tanımlarını ve ayrıca değişkenin değişken değerinin izin verilen değerlerinin aralığını tanıtmaya ve sonuç olarak özdeş eşit ifadelerin tanımını netleştirmeye zorlar.

Tanım.

İçlerinde yer alan değişkenlerin izin verilen tüm değerleri için değerleri eşit olan iki ifadeye denir aynı eşit ifadeler. Aynı değerlere sahip iki sayısal ifadeye de aynı şekilde eşit denir.

Tamamen eşit ifadelerin bu tanımında, "içerdikleri değişkenlerin izin verilen tüm değerleri için" ifadesinin anlamını açıklığa kavuşturmak gerekir. Her iki özdeş eşit ifadenin aynı anda anlamlı olduğu değişkenlerin tüm bu değerlerini ima eder. Bu fikri bir sonraki paragrafta örneklere bakarak açıklayacağız.

A. G. Mordkovich'in ders kitabındaki özdeş eşit ifadelerin tanımı biraz farklı verilmiştir:

Tanım.

Aynı şekilde eşit ifadeler– bunlar kimliğin sol ve sağ tarafındaki ifadelerdir.

Bunun anlamı ve önceki tanımlar örtüşmektedir.

Aynı şekilde eşit ifadelere örnekler

Önceki paragrafta tanıtılan tanımlar şunları vermemize izin verir: özdeş eşit ifadelere örnekler.

Aynı eşit sayısal ifadelerle başlayalım. 1+2 ve 2+1 sayısal ifadeleri aynı şekilde eşittir çünkü bunlar 3 ve 3 değerlerine karşılık gelir. 5 ve 30:6 ifadeleri de (2 2) 3 ve 2 6 ifadeleri gibi tamamen eşittir (ikinci ifadelerin değerleri, nedeniyle eşittir). Ancak 3+2 ve 3−2 sayısal ifadeleri sırasıyla 5 ve 1 değerlerine karşılık geldiğinden ve eşit olmadıklarından tamamen eşit değildir.

Şimdi değişkenlerle özdeş eşit ifadelere örnekler verelim. Bunlar a+b ve b+a ifadeleridir. Nitekim a ve b değişkenlerinin herhangi bir değeri için yazılı ifadeler aynı değerleri alır (sayılardan aşağıdaki gibi). Örneğin, a=1 ve b=2 ile a+b=1+2=3 ve b+a=2+1=3 elde ederiz. A ve b değişkenlerinin diğer değerleri için de bu ifadelerin eşit değerlerini elde edeceğiz. 0·x·y·z ve 0 ifadeleri de x, y ve z değişkenlerinin herhangi bir değeri için tamamen eşittir. Ancak 2 x ve 3 x ifadeleri tam olarak eşit değildir, çünkü örneğin x=1 olduğunda değerleri eşit değildir. Aslında, x=1 için 2·x ifadesi 2·1=2'ye, 3·x ifadesi ise 3·1=3'e eşittir.

İfadelerdeki değişkenlerin izin verilen değerlerinin aralıkları, örneğin a+1 ve 1+a veya a·b·0 ve 0 ifadelerinde veya ve bu ifadelerin değerlerinde olduğu gibi çakıştığında bu alanlardaki değişkenlerin tüm değerleri için eşittir, o zaman burada her şey açıktır - bu ifadeler, içerdikleri değişkenlerin izin verilen tüm değerleri için aynı şekilde eşittir. Yani herhangi bir a için a+1≡1+a, a·b·0 ve 0 ifadeleri a ve b değişkenlerinin herhangi bir değeri için aynı şekilde eşittir ve ve ifadeleri de tüm x'ler için aynı şekilde eşittir; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.

Cebir çalışırken polinom (örneğin ($y-x$,$\ 2x^2-2x$, vb.) ve cebirsel kesir (örneğin $\frac(x+5)(x)$) kavramlarıyla karşılaştık. , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$, vb.) Bu kavramların benzerliği, hem polinomların hem de cebirsel kesirlerin değişkenler ve sayısal değerler içermesidir. ve aritmetik eylemler gerçekleştirilir: toplama, çıkarma, çarpma, üs alma. Bu kavramlar arasındaki fark, polinomlarda bir değişkene göre bölme işleminin gerçekleştirilmemesi, ancak cebirsel kesirlerde bir değişkene göre bölme işleminin gerçekleştirilebilmesidir.

Matematikte hem polinomlara hem de cebirsel kesirlere rasyonel cebirsel ifadeler denir. Ancak polinomlar tam rasyonel ifadelerdir ve cebirsel kesirler kesirli rasyonel ifadelerdir.

Kesirli-rasyonel bir ifadeden tam bir cebirsel ifadenin elde edilmesi, bu durumda bir kesirin ana özelliği olan kesirlerin azaltılması olan bir kimlik dönüşümü kullanılarak elde edilebilir. Bunu pratikte kontrol edelim:

Örnek 1

Dönüştür:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Çözüm: Bu kesirli rasyonel denklem, kesirli indirgemenin temel özelliği kullanılarak dönüştürülebilir; pay ve paydanın $0$ dışında aynı sayıya veya ifadeye bölünmesi.

Bu kesir hemen azaltılamaz; payın dönüştürülmesi gerekir.

Kesrin payındaki ifadeyi dönüştürelim, bunun için farkın karesi formülünü kullanıyoruz: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Kesir şuna benziyor

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\sol(x-2\sağ)(x-2))(x-2)\]

Şimdi pay ve paydanın ortak bir faktörü olduğunu görüyoruz - bu, kesri azaltacağımız $x-2$ ifadesidir.

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\sol(x-2\sağ)(x-2))(x-2)=x-2\]

İndirgemeden sonra, orijinal kesirli rasyonel ifadenin $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ polinom $x-2$ haline geldiğini bulduk, yani. tamamen rasyonel.

Şimdi $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ve $x-2\ $ ifadelerinin değişkenin tüm değerleri için aynı kabul edilemeyeceğine dikkat edelim, Çünkü Kesirli bir rasyonel ifadenin var olabilmesi ve $x-2$ polinomu kadar indirgenebilmesi için kesrin paydasının $0$'a (aynı zamanda azalttığımız faktöre) eşit olmaması gerekir. örneğin payda ve faktör aynıdır, ancak bu her zaman gerçekleşmez).

Cebirsel kesrin bulunacağı değişkenin değerlerine, değişkenin izin verilen değerleri denir.

Kesrin paydasına bir koşul koyalım: $x-2≠0$, ardından $x≠2$.

Bu, $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ ve $x-2$ ifadelerinin, değişkenin $2$ dışındaki tüm değerleri için aynı olduğu anlamına gelir.

Tanım 1

Aynı şekilde eşit ifadeler, değişkenin tüm geçerli değerleri için eşit olan ifadelerdir.

Özdeş bir dönüşüm, orijinal ifadenin tamamen eşit bir ifadeyle değiştirilmesidir. Bu tür dönüşümler şunları içerir: toplama, çıkarma, çarpma, ortak bir faktörü parantez dışına çıkarmak, cebirsel kesirleri ortak bir paydaya getirmek, cebirsel kesirleri azaltmak, benzerleri getirmek. şartlar vb. Benzer terimlerin azaltılması, azaltılması gibi bir takım dönüşümlerin değişkenin izin verilen değerlerini değiştirebileceğini hesaba katmak gerekir.

Kimlikleri kanıtlamak için kullanılan teknikler

Kimlik dönüşümlerini kullanarak kimliğin sol tarafını sağa veya tam tersine getirin

Aynı dönüşümleri kullanarak her iki tarafı da aynı ifadeye azaltın

İfadenin bir bölümündeki ifadeleri diğerine aktarın ve ortaya çıkan farkın $0$'a eşit olduğunu kanıtlayın.

Belirli bir kimliği kanıtlamak için yukarıdaki yöntemlerden hangisinin kullanılacağı orijinal kimliğe bağlıdır.

Örnek 2

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$ kimliğini kanıtlayın

Çözüm: Bu özdeşliği kanıtlamak için yukarıdaki yöntemlerden ilkini kullanacağız, yani kimliğin sol tarafını sağa eşit olana kadar dönüştüreceğiz.

Kimliğin sol tarafını ele alalım: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - iki polinomun farkını temsil eder. Bu durumda ilk polinom, üç terimin toplamının karesidir. Birkaç terimin toplamının karesini almak için aşağıdaki formülü kullanırız:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Bunu yapmak için bir sayıyı bir polinomla çarpmamız gerekir. Bunun için parantezlerin arkasındaki ortak faktörü parantez içindeki polinomun her terimiyle çarpmamız gerektiğini unutmayın. Sonra şunu elde ederiz:

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Şimdi orijinal polinoma dönelim, şu şekli alacaktır:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Lütfen parantezden önce bir “-” işareti bulunduğunu unutmayın; bu, parantez açıldığında parantez içindeki tüm işaretlerin ters yönde değiştiği anlamına gelir.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Benzer terimleri sunalım, sonra $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ ve $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ tek terimlilerinin birbirini iptal ettiğini elde ederiz, yani. toplamları $0$'dır.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Bu, özdeş dönüşümler yoluyla orijinal kimliğin sol tarafında özdeş bir ifade elde ettiğimiz anlamına gelir.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Ortaya çıkan ifadenin orijinal kimliğin doğru olduğunu gösterdiğine dikkat edin.

Orijinal kimlikte değişkenin tüm değerlerine izin verildiğini, bunun da kimlik dönüşümlerini kullanarak kimliği kanıtladığımız anlamına geldiğini ve bunun değişkenin tüm olası değerleri için geçerli olduğunu lütfen unutmayın.