Rastgele numunenin gözlemlenen rastgele değişken ξ, matematiksel beklenti ve varyans tarafından oluşturulmasına izin verin hangisi bilinmiyor. Bu özellikler için tahmin olarak örnek ortalamasının kullanılması önerildi.

ve örnek varyansı

. (3.14)

Matematiksel beklenti ve dağılım tahminlerinin bazı özelliklerini ele alalım.

1. Örnek ortalamanın matematiksel beklentisini hesaplayın:

Bu nedenle örnek ortalaması, için tarafsız bir tahmin edicidir.

2. Sonuçları hatırlayın gözlemler, her biri değerle aynı dağılım yasasına sahip olan bağımsız rastgele değişkenlerdir; , , . Varyansın sonlu olduğunu varsayacağız. Daha sonra, Chebyshev'in büyük sayılar yasasına ilişkin teoremine göre, herhangi bir ε > 0 için eşitlik geçerlidir ,

şu şekilde yazılabilir: . (3.16) (3.16)'yı tutarlılık özelliğinin (3.11) tanımıyla karşılaştırdığımızda, tahminin matematiksel beklentinin tutarlı bir tahmini olduğunu görüyoruz.

3. Örnek ortalamanın varyansını bulun:

. (3.17)

Böylece matematiksel beklenti tahmininin varyansı örneklem büyüklüğüyle ters orantılı olarak azalmaktadır.

Rastgele değişken ξ normal olarak dağıtılıyorsa, örnek ortalamanın matematiksel beklentinin etkili bir tahmini olduğu, yani varyansın diğer herhangi bir matematiksel beklenti tahminiyle karşılaştırıldığında en küçük değeri aldığı kanıtlanabilir. Diğer dağıtım yasaları ξ için durum böyle olmayabilir.

Örneklem varyansı, varyansın taraflı bir tahminidir çünkü . (3.18)

Aslında, matematiksel beklentinin ve formül (3.17)'nin özelliklerini kullanarak şunu buluruz:

.

Varyansın tarafsız bir tahminini elde etmek için tahmin (3.14) düzeltilmelidir, yani ile çarpılmalıdır. Daha sonra tarafsız örnek varyansını elde ederiz

. (3.19)

Formül (3.14) ve (3.19)'un yalnızca paydada farklı olduğunu ve büyük değerler için örnek ve tarafsız varyansların çok az farklılık gösterdiğini unutmayın. Ancak örneklemin küçük olması durumunda (3.19) ilişkisi kullanılmalıdır.

Rastgele bir değişkenin standart sapmasını tahmin etmek için, tarafsız varyansın kareköküne eşit olan "düzeltilmiş" standart sapma kullanılır: .

Aralık tahminleri

İstatistikte, dağılımların bilinmeyen parametrelerini tahmin etmek için iki yaklaşım vardır: nokta ve aralık. Önceki bölümde ele alınan nokta tahminine göre, yalnızca tahmin edilen parametrenin etrafında bulunduğu nokta belirtilir. Bununla birlikte, bu parametrenin, farklı gözlem dizilerindeki tahminlerin olası gerçekleşmelerinden gerçekte ne kadar uzakta olabileceğinin bilinmesi arzu edilir.

Bu sorunun cevabı - aynı zamanda yaklaşık olarak - parametreleri tahmin etmenin başka bir yöntemi olan aralıkla verilir. Bu tahmin yöntemine göre parametrenin bilinmeyen sayısal değerini kapsayan bir olasılıkla bire yakın bir aralık bulunur.

Aralık tahmini kavramı

Nokta tahmini rastgele bir değişkendir ve olası örnek uygulamalar için parametrenin gerçek değerine yalnızca yaklaşık olarak eşit değerler alır. Fark ne kadar küçük olursa tahmin o kadar doğru olur. Böylece pozitif bir sayı , tahminin doğruluğunu karakterize eder ve denir tahmin hatası (veya marjinal hata).

Güven olasılığı(veya güvenilirlik) olasılık denir β eşitsizliğin gerçekleştiği yani

. (3.20)

Eşitsizliğin değiştirilmesi eşdeğer çift eşitsizlik , veya , alıyoruz

Aralık , olasılık ile kapsayan β , , bilinmeyen parametre denir güven aralığı (veya aralık tahmini), karşılık gelen güven olasılığı β .

Rastgele bir değişken yalnızca bir tahmin değil aynı zamanda bir hatadır: değeri olasılığa bağlıdır β ve kural olarak örnekten. Bu nedenle güven aralığı rastgeledir ve ifade (3.21) şu şekilde okunmalıdır: “Aralık olasılıklı parametreyi kapsayacaktır. β ”ve şöyle değil: “Parametre olasılık aralığına düşecek β ”.

Güven aralığının anlamı, bir örnek hacminin birçok kez tekrarlanması durumunda eşit vaka oranlarına sahip olmasıdır. β , güven olasılığına karşılık gelen güven aralığı β , tahmin edilen parametrenin gerçek değerini kapsar. Böylece güven olasılığı β karakterize eder güvenilirlik güven değerlendirmesi: daha fazla β güven aralığının uygulanmasının bilinmeyen bir parametre içerme olasılığı o kadar yüksektir.

DERSİN AMACI: Bilinmeyen bir dağılım parametresinin tahmin edilmesi kavramını tanıtmak ve bu tür tahminlerin sınıflandırılmasını vermek; Matematiksel beklenti ve dağılıma ilişkin nokta ve aralık tahminlerini elde edin.

Uygulamada çoğu durumda rastgele bir değişkenin dağılım yasası bilinmemektedir ve gözlem sonuçlarına göre
sayısal özelliklerin (örneğin matematiksel beklenti, dağılım veya diğer momentler) veya bilinmeyen bir parametrenin tahmin edilmesi gerekir dağıtım yasasını belirleyen (dağıtım yoğunluğu)
rastgele değişken inceleniyor. Bu nedenle, üstel bir dağılım veya Poisson dağılımı için bir parametreyi tahmin etmek yeterlidir, ancak normal bir dağılım için iki parametrenin tahmin edilmesi gerekir: matematiksel beklenti ve varyans.

Değerlendirme türleri

Rastgele değişken
olasılık yoğunluğu var
, Nerede – bilinmeyen dağıtım parametresi. Deney sonucunda bu rastgele değişkenin değerleri elde edildi:
. Değerlendirme yapmak esas olarak bir rastgele değişkenin örnek değerlerinin belirli bir parametre değeriyle ilişkilendirilmesi gerektiği anlamına gelir. , yani gözlem sonuçlarının bazı işlevlerini yaratın
değeri bir tahmin olarak alınır parametre . Dizin gerçekleştirilen deney sayısını gösterir.

Gözlem sonuçlarına bağlı olan herhangi bir fonksiyona denir istatistikler. Gözlem sonuçları rastgele değişkenler olduğundan istatistikler de rastgele bir değişken olacaktır. Bu nedenle değerlendirme
bilinmeyen parametre Rastgele bir değişken olarak kabul edilmeli ve değeri deneysel verilerden hacimsel olarak hesaplanmalıdır. , – bu rastgele değişkenin olası değerlerinden biri olarak.

Dağılım parametrelerinin tahminleri (rastgele bir değişkenin sayısal özellikleri) nokta ve aralığa bölünür. Nokta tahmini parametre bir sayıyla belirlenir ve doğruluğu, tahminin varyansı ile karakterize edilir. Aralık tahmini iki sayıyla belirlenen puana denir, Ve – tahmin edilen parametreyi kapsayan aralığın uçları Belirli bir güven olasılığı ile.

Nokta tahminlerinin sınıflandırılması

Bilinmeyen bir parametrenin nokta tahmini için
Doğruluk açısından en iyisi tutarlı, tarafsız ve etkili olmalıdır.

Zengin değerlendirme denir
parametre , eğer olasılık olarak tahmin edilen parametreye yakınsa, yani;

. (8.8)

Chebyshev eşitsizliğine dayanarak (8.8) ilişkisinin gerçekleşmesi için yeterli koşulun eşitlik olduğu gösterilebilir.

.

Tutarlılık, tahminin asimptotik bir özelliğidir.
.

Tarafsız değerlendirme denir
(sistematik hatasız tahmin), matematiksel beklentisi tahmin edilen parametreye eşit olan, yani.

. (8.9)

Eşitlik (8.9) karşılanmazsa tahmine önyargılı denir. Fark
tahminde önyargı veya sistematik hata olarak adlandırılır. Eşitlik (8.9) yalnızca aşağıdakiler için sağlanırsa
, bu durumda karşılık gelen tahmine asimptotik olarak tarafsız denir.

Tutarlılığın pratikte kullanılan tüm tahminler için neredeyse zorunlu bir koşul olması durumunda (tutarsız tahminler son derece nadiren kullanılır), o zaman tarafsızlık özelliğinin yalnızca arzu edilir olduğu unutulmamalıdır. Sık kullanılan tahminlerin çoğu tarafsız özelliğe sahip değildir.

Genel olarak bazı parametrelerin tahmin edilmesinin doğruluğu deneysel verilere dayanarak elde edilen
ortalama karesel hata ile karakterize edilir

,

forma indirgenebilir

,

fark nerede,
– kare tahmin önyargısı.

Tahmin tarafsızsa, o zaman

Sonlu tahminler ortalama hatanın karesine göre farklılık gösterebilir . Doğal olarak, bu hata ne kadar küçük olursa, değerlendirme değerleri tahmin edilen parametre etrafında o kadar yakın gruplandırılır. Bu nedenle, tahmin hatasının mümkün olduğu kadar küçük olması, yani koşulun sağlanması her zaman arzu edilir.

. (8.10)

Değerlendirme (8.10) koşulunu sağlayan, minimum karesel hataya sahip bir tahmin olarak adlandırılır.

Etkili değerlendirme denir
, bunun için ortalama karesel hata başka herhangi bir tahminin ortalama karesel hatasından daha büyük değildir;

Nerede – herhangi bir başka parametre tahmini .

Bir parametrenin herhangi bir tarafsız tahmininin varyansının olduğu bilinmektedir. Cramer-Rao eşitsizliğini karşılar

,

Nerede
– parametrenin gerçek değerinde rastgele değişkenin elde edilen değerlerinin koşullu olasılık yoğunluk dağılımı .

Böylece tarafsız tahmin
Cramer-Rao eşitsizliğinin eşitliğe dönüştüğü durumda etkili olacaktır, yani böyle bir tahmin minimum varyansa sahiptir.

Beklenti ve varyansın nokta tahminleri

Rastgele bir değişken dikkate alınırsa
matematiksel bir beklentiye sahip olan ve varyans , bu durumda bu parametrelerin her ikisinin de bilinmediği kabul edilir. Bu nedenle bir rastgele değişken üzerinde
üretilmiş sonuç veren bağımsız deneyler:
. Bilinmeyen parametrelerin tutarlı ve tarafsız tahminlerini bulmak gerekir Ve .

Tahmin olarak Ve Genellikle istatistiksel (örnek) ortalama ve istatistiksel (örnek) varyans sırasıyla seçilir:

; (8.11)

. (8.12)

Matematiksel beklentinin (8.11) tahmini, büyük sayılar yasasına (Chebyshev teoremi) göre tutarlıdır:

.

Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi

.

Bu nedenle tahmin tarafsızdır.

Matematiksel beklenti tahmininin dağılımı:

Rastgele değişken ise
normal yasaya göre dağıtılır, ardından tahmin aynı zamanda etkilidir.

Varyans tahmini beklentisi

Aynı zamanda

.

Çünkü
, A
, sonra elde ederiz

. (8.13)

Böylece,
– Tutarlı ve etkili olmasına rağmen taraflı bir değerlendirme.

Formül (8.13)'ten tarafsız bir tahmin elde etmek için şu sonuca varılır:
örneklem varyansı (8.12) aşağıdaki şekilde değiştirilmelidir:

bu, tahmine (8.12) kıyasla "daha iyi" kabul edilir, ancak genel olarak bu tahminler hemen hemen birbirine eşittir.

Dağıtım parametrelerinin tahminlerini elde etme yöntemleri

Pratikte sıklıkla rastgele değişkeni oluşturan fiziksel mekanizmanın analizine dayalıdır.
, bu rastgele değişkenin dağılım yasası hakkında bir sonuca varabiliriz. Bununla birlikte, bu dağılımın parametreleri bilinmemektedir ve genellikle sonlu bir örnek şeklinde sunulan deneysel sonuçlardan tahmin edilmesi gerekmektedir.
. Bu sorunu çözmek için en sık iki yöntem kullanılır: momentler yöntemi ve maksimum olabilirlik yöntemi.

Momentlerin yöntemi. Yöntem, teorik momentlerin aynı düzendeki karşılık gelen ampirik momentlerle eşitlenmesinden oluşur.

Ampirik başlangıç ​​noktaları -'inci sıra aşağıdaki formüllerle belirlenir:

,

ve karşılık gelen teorik başlangıç ​​momentleri -inci sıra - formüller:

ayrık rastgele değişkenler için,

sürekli rastgele değişkenler için,

Nerede – tahmini dağılım parametresi.

İki bilinmeyen parametre içeren bir dağılımın parametrelerinin tahminlerini elde etmek Ve iki denklemden oluşan bir sistem derlenir

Nerede Ve – ikinci dereceden teorik ve ampirik merkezi momentler.

Denklem sisteminin çözümü tahminlerdir Ve bilinmeyen dağıtım parametreleri Ve .

Birinci dereceden teorik ve ampirik başlangıç ​​momentlerini eşitleyerek, bunu bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini tahmin ederek elde ederiz.
keyfi bir dağılıma sahip olan örnek ortalama olacaktır, yani.
. Daha sonra, ikinci dereceden teorik ve ampirik merkezi momentleri eşitleyerek, rastgele değişkenin varyansının tahminini elde ederiz.
Keyfi bir dağılıma sahip olan formül ile belirlenir

.

Benzer şekilde, herhangi bir düzeydeki teorik momentlerin tahminleri bulunabilir.

Momentler yöntemi basittir ve karmaşık hesaplamalar gerektirmez, ancak bu yöntemle elde edilen tahminler genellikle etkisizdir.

Maksimum olabilirlik yöntemi. Bilinmeyen dağılım parametrelerinin nokta tahminine yönelik maksimum olabilirlik yöntemi, bir veya daha fazla tahmin edilen parametrenin fonksiyonunun maksimumunu bulmaya indirgenir.

İzin vermek
sürekli bir rastgele değişkendir ve sonuç olarak testler değerler aldı
. Bilinmeyen bir parametrenin tahminini elde etmek için böyle bir değer bulmak gerekiyor Ortaya çıkan numunenin uygulanma olasılığı maksimum olacaktır. Çünkü
aynı olasılık yoğunluğuna sahip, karşılıklı olarak bağımsız miktarları temsil eder
, O olasılık fonksiyonu argüman fonksiyonunu çağır :

Parametrenin maksimum olabilirlik tahmini ile bu değer denir olabilirlik fonksiyonunun maksimuma ulaştığı, yani denklemin bir çözümü olduğu yer

,

ki bu açıkça test sonuçlarına bağlıdır
.

Fonksiyonlardan beri
Ve
aynı değerlerde maksimuma ulaşmak
daha sonra hesaplamaları basitleştirmek için genellikle logaritmik olabilirlik fonksiyonunu kullanırlar ve karşılık gelen denklemin kökünü ararlar

,

buna denir olasılık denklemi.

Birkaç parametreyi değerlendirmeniz gerekiyorsa
dağıtım
ise olabilirlik fonksiyonu bu parametrelere bağlı olacaktır. Tahminleri bulmak için
dağıtım parametreleri sistemi çözmek için gereklidir olasılık denklemleri

.

Maksimum olabilirlik yöntemi tutarlı ve asimptotik olarak etkili tahminler sağlar. Bununla birlikte, maksimum olabilirlik yöntemiyle elde edilen tahminler taraflıdır ve tahminleri bulmak için genellikle oldukça karmaşık denklem sistemlerini çözmek gerekir.

Aralık parametre tahminleri

Nokta tahminlerinin doğruluğu dağılımları ile karakterize edilir. Ancak elde edilen tahminlerin parametrelerin gerçek değerlerine ne kadar yakın olduğu konusunda herhangi bir bilgi bulunmamaktadır. Bazı görevlerde yalnızca parametreyi bulmanız gerekmez. uygun sayısal değer, aynı zamanda doğruluğunu ve güvenilirliğini de değerlendirmektir. Bir parametreyi değiştirirken hangi hataların yol açabileceğini bulmanız gerekir nokta tahmini ve bu hataların bilinen sınırları aşmamasını ne kadar güvenle beklemeliyiz?

Bu tür görevler özellikle az sayıda deney olduğunda önemlidir. nokta tahmini yapıldığında büyük ölçüde rastgele ve yaklaşık değiştirme Açık önemli hatalara yol açabilir.

Dağılım parametrelerini tahmin etmenin daha eksiksiz ve güvenilir bir yolu, tek bir nokta değeri değil, belirli bir olasılıkla tahmin edilen parametrenin gerçek değerini kapsayan bir aralık belirlemektir.

Sonuçlara göre izin ver deneylerde tarafsız bir tahmin elde edildi
parametre . Olası hatayı değerlendirmek gerekir. Yeterince büyük bir olasılık seçilir
(örneğin) öyle ki, bu olasılığa sahip bir olay, pratik olarak kesin bir olay olarak değerlendirilebilir ve böyle bir değer bulunur. , bunun için

. (8.15)

Bu durumda, değiştirme sırasında meydana gelen hatanın pratik olarak mümkün olan değerlerinin aralığı Açık , irade
ve mutlak değeri büyük olan hatalar yalnızca düşük olasılıkla ortaya çıkacaktır .

İfade (8.15) olasılıklı anlamına gelir
bilinmeyen parametre değeri aralığa düşüyor

. (8.16)

Olasılık
isminde güven olasılığı ve aralık , olasılık ile kapsayan parametrenin gerçek değeri denir güven aralığı. Parametre değerinin olasılık ile güven aralığı içinde olduğunu söylemenin yanlış olduğunu unutmayın. . Kullanılan formülasyon (kapsayan), tahmin edilen parametrenin bilinmemesine rağmen sabit bir değere sahip olduğu ve dolayısıyla rastgele bir değişken olmadığı için yayılımının olmadığı anlamına gelir.

Beklenti, rastgele bir değişkenin olasılık dağılımıdır

Matematiksel beklenti, tanımı, kesikli ve sürekli rastgele değişkenlerin matematiksel beklentisi, örneklem, koşullu beklenti, hesaplama, özellikler, problemler, beklenti tahmini, dağılım, dağılım fonksiyonu, formüller, hesaplama örnekleri

İçeriği genişlet

İçeriği daralt

Matematiksel beklentinin tanımı

Rastgele bir değişkenin değerlerinin veya olasılıklarının dağılımını karakterize eden, matematiksel istatistik ve olasılık teorisindeki en önemli kavramlardan biri. Tipik olarak bir rastgele değişkenin olası tüm parametrelerinin ağırlıklı ortalaması olarak ifade edilir. Teknik analizde, sayı serilerinin incelenmesinde, sürekli ve zaman alan süreçlerin incelenmesinde yaygın olarak kullanılır. Finansal piyasalarda işlem yaparken risklerin değerlendirilmesinde, fiyat göstergelerinin tahmin edilmesinde önemlidir ve kumar teorisinde oyun taktikleri stratejileri ve yöntemlerinin geliştirilmesinde kullanılır.

Matematiksel beklenti Olasılık teorisinde bir rastgele değişkenin ortalama değeri, bir rastgele değişkenin olasılık dağılımı dikkate alınır.

Matematiksel beklenti Olasılık teorisinde rastgele bir değişkenin ortalama değerinin ölçüsü. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi X ile gösterilir M(x).

Matematiksel beklenti

Matematiksel beklenti olasılık teorisinde, bir rastgele değişkenin alabileceği tüm olası değerlerin ağırlıklı ortalaması.

Matematiksel beklenti bir rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin çarpımlarının toplamı ve bu değerlerin olasılıkları.

Matematiksel beklenti Belirli bir karardan elde edilen ortalama fayda, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla.

Matematiksel beklenti Kumar teorisinde, bir oyuncunun her bahis için ortalama olarak kazanabileceği veya kaybedebileceği kazanç miktarı. Kumar dilinde buna bazen "oyuncunun avantajı" (eğer oyuncu için pozitifse) veya "ev avantajı" (eğer oyuncu için negatifse) denir.

Matematiksel beklenti kazanç başına kâr yüzdesinin ortalama kârla çarpımı, eksi kayıp olasılığı çarpı ortalama kayıp.

Matematik teorisinde rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi

Bir rastgele değişkenin önemli sayısal özelliklerinden biri onun matematiksel beklentisidir. Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem kavramını tanıtalım. Aynı rastgele deneyin sonuçları olan bir dizi rastgele değişkeni ele alalım. Sistemin olası değerlerinden biri ise, olay Kolmogorov'un aksiyomlarını karşılayan belirli bir olasılığa karşılık gelir. Rastgele değişkenlerin olası herhangi bir değeri için tanımlanan bir fonksiyona ortak dağılım yasası denir. Bu işlev herhangi bir olayın olasılığını hesaplamanıza olanak tanır. Özellikle rastgele değişkenlerin ve kümeden değer alan ortak dağılım yasası, olasılıklarla verilmektedir.

“Matematiksel beklenti” terimi Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) tarafından ortaya atılmış ve ilk olarak 17. yüzyılda Blaise Pascal ve Christiaan'ın eserlerinde kumar teorisinde ortaya çıkan “kazançların beklenen değeri” kavramından gelmektedir. Huygens. Ancak bu kavramın ilk tam teorik anlayışı ve değerlendirmesi Pafnuty Lvovich Chebyshev (19. yüzyılın ortaları) tarafından yapılmıştır.

Rastgele sayısal değişkenlerin dağılım yasası (dağılım fonksiyonu ve dağılım serisi veya olasılık yoğunluğu), bir rastgele değişkenin davranışını tamamen tanımlar. Ancak bazı problemlerde, sorulan soruyu cevaplamak için incelenen miktarın bazı sayısal özelliklerini (örneğin, ortalama değeri ve bundan olası sapma) bilmek yeterlidir. Rastgele değişkenlerin temel sayısal özellikleri matematiksel beklenti, varyans, mod ve medyandır.

Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, olası değerlerinin ve bunlara karşılık gelen olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır. Bazen matematiksel beklentiye ağırlıklı ortalama denir, çünkü çok sayıda deneyde rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına yaklaşık olarak eşittir. Matematiksel beklentinin tanımından, değerinin bir rastgele değişkenin mümkün olan en küçük değerinden az olmadığı ve en büyük değerinden fazla olmadığı sonucu çıkar. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi rastgele olmayan (sabit) bir değişkendir.

Matematiksel beklentinin basit bir fiziksel anlamı vardır: Bir birim kütleyi düz bir çizgi üzerine yerleştirirseniz, belirli bir kütleyi bazı noktalara yerleştirirseniz (kesikli bir dağılım için) veya onu belirli bir yoğunlukla "yayarsanız" (kesinlikle sürekli bir dağılım için) , o zaman matematiksel beklentiye karşılık gelen nokta "ağırlık merkezi" koordinatının düz olması olacaktır.

Bir rastgele değişkenin ortalama değeri, onun "temsilcisi" olan ve kabaca yaklaşık hesaplamalarda onun yerini alan belirli bir sayıdır. “Lambanın ortalama çalışma süresi 100 saattir” veya “ortalama çarpma noktası hedefe göre 2 m sağa kaydırılmıştır” derken, bir rastgele değişkenin konumunu tanımlayan belirli bir sayısal özelliğini belirtmiş oluyoruz. sayısal eksende, yani "konum özellikleri".

Olasılık teorisinde bir konumun özelliklerinden en önemli rolü, bazen basitçe rastgele bir değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi oynar.

Rastgele değişkeni düşünün X, olası değerlere sahip x1, x2,…, xn olasılıklarla p1, p2,…, pn. Bu değerlerin farklı olasılıklara sahip olduğu gerçeğini dikkate alarak, bir rastgele değişkenin değerlerinin x ekseni üzerindeki konumunu bir sayı ile karakterize etmemiz gerekir. Bu amaçla değerlerin “ağırlıklı ortalamasının” kullanılması doğaldır. xi ve ortalama sırasında her xi değeri, bu değerin olasılığıyla orantılı bir "ağırlık" ile dikkate alınmalıdır. Böylece rastgele değişkenin ortalamasını hesaplayacağız X, belirttiğimiz M |X|:

Bu ağırlıklı ortalamaya rastgele değişkenin matematiksel beklentisi denir. Böylece olasılık teorisinin en önemli kavramlarından biri olan matematiksel beklenti kavramını dikkate aldık. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.

Üretilsin N bağımsız deneyler; her birinde değer X belli bir değer alır. Diyelim ki değer x1 göründü m1 zamanlar, değer x2 göründü m2 zamanlar, genel anlam xi birkaç kez göründüm. Matematiksel beklentinin aksine X değerinin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım. M|X| biz belirtiyoruz M*|X|:

Artan deney sayısıyla N frekanslar pi karşılık gelen olasılıklara yaklaşacaktır (olasılıkla yakınlaşacaktır). Sonuç olarak, rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması M|X| Deney sayısının artmasıyla matematiksel beklentisine yaklaşacaktır (olasılık açısından yakınlaşacaktır). Yukarıda formüle edilen aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasındaki bağlantı, büyük sayılar yasasının biçimlerinden birinin içeriğini oluşturur.

Büyük sayılar yasasının tüm biçimlerinin, bazı ortalamaların çok sayıda deney boyunca kararlı olduğu gerçeğini ifade ettiğini zaten biliyoruz. Burada aynı miktardaki bir dizi gözlemden elde edilen aritmetik ortalamanın kararlılığından bahsediyoruz. Az sayıda deneyle sonuçlarının aritmetik ortalaması rastgeledir; Deney sayısında yeterli bir artışla, "neredeyse rastgele olmayan" hale gelir ve dengelenerek sabit bir değere - matematiksel beklentiye - yaklaşır.

Çok sayıda deneyin ortalamalarının kararlılığı deneysel olarak kolaylıkla doğrulanabilir. Örneğin laboratuvarda bir cesedi hassas terazide tartarken, tartma sonucunda her defasında yeni bir değer elde ederiz; Gözlem hatasını azaltmak için bedeni birkaç kez tartıyoruz ve elde edilen değerlerin aritmetik ortalamasını kullanıyoruz. Deney sayısındaki (tartım) artışla aritmetik ortalamanın bu artışa giderek daha az tepki verdiğini ve yeterince fazla sayıda deneyle pratik olarak değişmeyi bıraktığını görmek kolaydır.

Bir rastgele değişkenin konumunun en önemli özelliği olan matematiksel beklentinin tüm rastgele değişkenler için mevcut olmadığına dikkat edilmelidir. Karşılık gelen toplam veya integral ıraksak olduğundan, matematiksel beklentinin mevcut olmadığı bu tür rastgele değişkenlerin örneklerini oluşturmak mümkündür. Ancak bu tür vakaların pratikte pek önemi yoktur. Tipik olarak ele aldığımız rastgele değişkenlerin olası değerleri sınırlı bir aralıktadır ve elbette matematiksel bir beklentileri vardır.

Pratikte bir rastgele değişkenin konumunun en önemli özelliklerine (matematiksel beklenti) ek olarak, bazen konumun diğer özellikleri, özellikle de rastgele değişkenin modu ve medyanı kullanılır.

Bir rastgele değişkenin modu onun en olası değeridir. Kesin olarak konuşursak, "en olası değer" terimi yalnızca süreksiz miktarlar için geçerlidir; sürekli bir miktar için mod, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir. Şekiller sırasıyla süreksiz ve sürekli rastgele değişkenlerin modunu göstermektedir.

Dağıtım poligonunun (dağılım eğrisinin) birden fazla maksimumu varsa dağılıma "multimodal" dağılım denir.

Bazen ortada maksimum yerine minimum bulunan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara “anti-modal” denir.

Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, dağılım simetrik ve modal olduğunda (yani bir modu varsa) ve matematiksel bir beklenti varsa, bu durumda dağılımın modu ve simetri merkezi ile çakışır.

Başka bir konum özelliği sıklıkla kullanılır - rastgele bir değişkenin ortancası. Bu karakteristik genellikle sürekli rastgele değişkenler için kullanılır, ancak resmi olarak süreksiz bir değişken için de tanımlanabilir. Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisinin çevrelediği alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir.

Simetrik modal dağılım durumunda medyan, matematiksel beklenti ve mod ile örtüşür.

Matematiksel beklenti, bir rastgele değişkenin ortalama değeridir; bir rastgele değişkenin olasılık dağılımının sayısal bir özelliğidir. En genel anlamda bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi X(w) olasılık ölçüsüne göre Lebesgue integrali olarak tanımlanır R orijinal olasılık uzayında:

Matematiksel beklenti aynı zamanda Lebesgue integrali olarak da hesaplanabilir. X olasılık dağılımına göre piksel miktarlar X:

Sonsuz matematiksel beklentiye sahip rastgele değişken kavramı doğal bir şekilde tanımlanabilir. Tipik bir örnek, bazı rastgele yürüyüşlerin geri dönüş süreleridir.

Matematiksel beklenti kullanılarak, bir dağılımın birçok sayısal ve işlevsel özelliği belirlenir (rastgele bir değişkenin karşılık gelen fonksiyonlarının matematiksel beklentisi olarak), örneğin üretme işlevi, karakteristik işlev, herhangi bir mertebeden momentler, özellikle dağılım, kovaryans .

Matematiksel beklenti, rastgele bir değişkenin değerlerinin (dağılımının ortalama değeri) konumunun bir özelliğidir. Bu kapasitede, matematiksel beklenti bazı "tipik" dağılım parametresi olarak hizmet eder ve rolü, mekanikteki statik momentin (kütle dağılımının ağırlık merkezinin koordinatı) rolüne benzer. Dağılımın genel terimlerle (medyanlar, modlar) tanımlandığı konumun diğer özelliklerinden, matematiksel beklenti, olasılık teorisinin limit teoremlerinde kendisinin ve karşılık gelen saçılma özelliğinin - dağılım - sahip olduğu daha büyük değerde farklılık gösterir. Matematiksel beklentinin anlamı, en iyi şekilde büyük sayılar yasası (Chebyshev eşitsizliği) ve güçlendirilmiş büyük sayılar yasası ile ortaya çıkar.

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi

Birkaç sayısal değerden birini alabilen bir rastgele değişken olsun (örneğin, zar atıldığında puan sayısı 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 olabilir). Pratikte genellikle böyle bir değer için şu soru ortaya çıkar: Çok sayıda testle "ortalama olarak" hangi değeri alır? Riskli işlemlerin her birinden ortalama gelirimiz (veya kaybımız) ne olacak?

Diyelim ki bir çeşit piyango var. Katılmanın (veya hatta tekrar tekrar, düzenli olarak katılmanın) karlı olup olmadığını anlamak istiyoruz. Diyelim ki her dört biletten biri kazanan, ödül 300 ruble, herhangi bir biletin fiyatı ise 100 ruble olacak. Sonsuz sayıda katılımla olan şey budur. Kaybedeceğimiz vakaların dörtte üçünde her üç kayıp 300 rubleye mal olacak. Her dördüncü durumda 200 ruble kazanacağız. (ödül eksi maliyet), yani dört katılım için ortalama 100 ruble, bir katılım için ortalama 25 ruble kaybediyoruz. Toplamda harabemizin ortalama ücreti bilet başına 25 ruble olacak.

Zarları atıyoruz. Hile değilse (ağırlık merkezini kaydırmadan vb.), o zaman bir seferde ortalama kaç puanımız olacak? Her seçeneğin olasılığı eşit olduğundan, aritmetik ortalamayı alıp 3,5 elde ederiz. Bu ORTALAMA olduğundan, belirli bir rulonun 3,5 puan vermeyeceğine kızmaya gerek yok - bu küpün böyle bir sayıya sahip bir yüzü yok!

Şimdi örneklerimizi özetleyelim:

Şimdi verilen resme bakalım. Solda rastgele bir değişkenin dağılımını gösteren bir tablo var. X değeri n olası değerden birini alabilir (en üst satırda verilmiştir). Başka bir anlamı olamaz. Her olası değerin altında olasılığı bulunur. Sağda M(X)'in matematiksel beklenti olarak adlandırıldığı formül bulunmaktadır. Bu değerin anlamı, çok sayıda testle (büyük bir örneklemle) ortalama değerin aynı matematiksel beklentiye yöneleceğidir.

Tekrar aynı oyun küpüne dönelim. Atış sırasındaki puan sayısının matematiksel beklentisi 3,5'tir (bana inanmıyorsanız formülü kullanarak kendiniz hesaplayın). Diyelim ki birkaç kez attınız. Sonuçlar 4 ve 6 oldu. Ortalama 5 oldu, bu da 3,5'un çok uzağında. Bir kez daha attılar, 3 aldılar, yani ortalama (4+6+3)/3 = 4.3333... Matematiksel beklentiden biraz uzak. Şimdi çılgın bir deney yapın; küpü 1000 kez yuvarlayın! Ve ortalama tam olarak 3,5 olmasa bile ona yakın olacaktır.

Yukarıda anlatılan piyango için matematiksel beklentiyi hesaplayalım. Plaka şöyle görünecek:

O zaman matematiksel beklenti yukarıda belirlediğimiz gibi olacaktır:

Başka bir şey de, daha fazla seçenek olsaydı bunu formül olmadan "parmaklarda" yapmanın zor olacağıdır. Diyelim ki %75'i kaybedilen biletler, %20'si kazanan biletleri ve %5'i özellikle kazanan biletleri olacaktır.

Şimdi matematiksel beklentinin bazı özellikleri.

Bunu kanıtlamak kolaydır:

Sabit faktör matematiksel beklentinin bir işareti olarak çıkarılabilir, yani:

Bu, matematiksel beklentinin doğrusallık özelliğinin özel bir durumudur.

Matematiksel beklentinin doğrusallığının bir başka sonucu:

yani rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi, rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir.

X, Y bağımsız rastgele değişkenler olsun, Daha sonra:

Bunu kanıtlamak da kolaydır) XY kendisi bir rastgele değişkendir ve eğer başlangıç ​​değerleri alınabilirse N Ve M buna göre değerler, o zaman XY nm değerlerini alabilir. Her bir değerin olasılığı, bağımsız olayların olasılıklarının çarpılması esasına göre hesaplanır. Sonuç olarak şunu elde ediyoruz:

Sürekli bir rastgele değişkenin beklentisi

Sürekli rastgele değişkenlerin dağılım yoğunluğu (olasılık yoğunluğu) gibi bir özelliği vardır. Temel olarak, rastgele bir değişkenin gerçek sayılar kümesinden bazı değerleri daha sık, bazılarını ise daha az alması durumunu karakterize eder. Örneğin şu grafiği düşünün:

Burada X- gerçek rastgele değişken, f(x)- dağıtım yoğunluğu. Bu grafiğe bakılırsa, deneyler sırasında değer X genellikle sıfıra yakın bir sayı olacaktır. Şanslar aşıldı 3 veya daha küçük ol -3 oldukça tamamen teorik.

Örneğin, düzgün bir dağılım olsun:

Bu sezgisel anlayışla oldukça tutarlıdır. Diyelim ki, tekdüze dağılıma sahip çok sayıda rastgele gerçek sayı elde edersek, segmentlerin her biri |0; 1| o zaman aritmetik ortalama yaklaşık 0,5 olmalıdır.

Ayrık rastgele değişkenler için geçerli olan matematiksel beklenti özellikleri - doğrusallık vb. burada da geçerlidir.

Matematiksel beklenti ile diğer istatistiksel göstergeler arasındaki ilişki

İstatistiksel analizde, matematiksel beklentinin yanı sıra, olayların homojenliğini ve süreçlerin istikrarını yansıtan birbirine bağlı göstergeler sistemi vardır. Varyasyon göstergelerinin çoğunlukla bağımsız bir anlamı yoktur ve daha ileri veri analizi için kullanılır. Bunun istisnası, değerli bir istatistiksel özellik olan, verilerin homojenliğini karakterize eden varyasyon katsayısıdır.

İstatistik biliminde süreçlerin değişkenlik veya kararlılık derecesi çeşitli göstergeler kullanılarak ölçülebilir.

Bir rastgele değişkenin değişkenliğini karakterize eden en önemli gösterge Dağılım matematiksel beklentiyle en yakından ve doğrudan ilişkili olandır. Bu parametre diğer istatistiksel analiz türlerinde (hipotez testi, neden-sonuç ilişkilerinin analizi vb.) aktif olarak kullanılır. Ortalama doğrusal sapma gibi varyans da verilerin ortalama değer etrafındaki yayılma boyutunu yansıtır.

İşaret dilini sözcük diline çevirmek faydalıdır. Dağılımın sapmaların ortalama karesi olduğu ortaya çıktı. Yani önce ortalama değer hesaplanır, ardından her orijinal değer ile ortalama değer arasındaki fark alınır, karesi alınır, eklenir ve ardından popülasyondaki değer sayısına bölünür. Bireysel değer ile ortalama arasındaki fark, sapmanın ölçüsünü yansıtır. Tüm sapmaların yalnızca pozitif sayılar haline gelmesi ve toplanırken pozitif ve negatif sapmaların karşılıklı olarak yok edilmesini önlemek için kareleri alınır. Daha sonra, sapmaların kareleri verildiğinde, basitçe aritmetik ortalamayı hesaplarız. Ortalama - kare - sapmalar. Sapmaların karesi alınır ve ortalaması hesaplanır. Sihirli "dağılım" kelimesinin cevabı sadece üç kelimede yatıyor.

Ancak aritmetik ortalama veya indeks gibi saf haliyle dağılım kullanılmaz. Daha ziyade diğer istatistiksel analiz türleri için kullanılan yardımcı ve ara bir göstergedir. Normal bir ölçü birimi bile yok. Formüle bakılırsa, bu orijinal verilerin ölçü biriminin karesidir.

Rasgele bir değişkeni ölçelim N kez örneğin rüzgar hızını on kez ölçüyoruz ve ortalama değeri bulmak istiyoruz. Ortalama değerin dağılım fonksiyonuyla ilişkisi nedir?

Veya zarları çok sayıda atacağız. Her atışta zar üzerinde görünecek puanların sayısı rastgele bir değişkendir ve 1'den 6'ya kadar herhangi bir doğal değeri alabilir. Tüm zar atışları için hesaplanan düşen puanların aritmetik ortalaması da bir rastgele değişkendir, ancak büyükler için Nçok spesifik bir sayıya yönelir - matematiksel beklenti Mx. Bu durumda Mx = 3,5.

Bu değeri nasıl elde ettiniz? içeri gir N testler n1 1 puan aldığınızda, n2 bir kez - 2 puan vb. Daha sonra bir puanın düştüğü sonuçların sayısı:

Benzer şekilde 2, 3, 4, 5 ve 6 puan atıldığında elde edilen sonuçlar için de geçerlidir.

Şimdi x rastgele değişkeninin dağılım yasasını bildiğimizi, yani x rastgele değişkeninin p1, p2, ..., olasılıklarıyla x1, x2, ..., xk değerlerini alabileceğini bildiğimizi varsayalım. pk.

Bir rastgele değişken x'in matematiksel beklentisi Mx şuna eşittir:

Matematiksel beklenti her zaman bazı rastgele değişkenlerin makul bir tahmini değildir. Bu nedenle, ortalama maaşı tahmin etmek için medyan kavramını, yani maaş alan kişi sayısının medyandan daha düşük ve daha büyük olduğu bir değeri kullanmak daha mantıklı olacaktır.

Rastgele değişken x'in x1/2'den küçük olma olasılığı p1 ile rastgele değişken x'in x1/2'den büyük olma olasılığı p2 aynı ve 1/2'ye eşittir. Medyan tüm dağılımlar için benzersiz bir şekilde belirlenmemiştir.

Standart veya Standart Sapma istatistikte gözlemsel veri veya kümelerin ORTALAMA değerinden sapma derecesine denir. S veya s harfleriyle gösterilir. Küçük bir standart sapma, verinin ortalamanın etrafında kümelendiğini gösterirken, büyük bir standart sapma, başlangıç ​​verilerinin ortalamadan uzakta bulunduğunu gösterir. Standart sapma, varyans adı verilen bir miktarın kareköküne eşittir. Ortalama değerden sapan başlangıç ​​verilerinin kare farklarının toplamının ortalamasıdır. Bir rastgele değişkenin standart sapması varyansın kareköküdür:

Örnek. Test koşulları altında bir hedefe ateş ederken rastgele değişkenin dağılımını ve standart sapmasını hesaplayın:

Varyasyon- Nüfusun birimleri arasında bir özelliğin değerinin dalgalanması, değişebilirliği. İncelenen popülasyonda bulunan bir özelliğin bireysel sayısal değerlerine değerlerin varyantları denir. Ortalama değerin popülasyonu tam olarak karakterize etmedeki yetersizliği, bizi ortalama değerleri, incelenen özelliğin değişkenliğini (varyantını) ölçerek bu ortalamaların tipikliğini değerlendirmemize olanak tanıyan göstergelerle desteklemeye zorlar. Değişim katsayısı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Varyasyon aralığı(R), incelenen popülasyondaki özelliğin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farkı temsil eder. Bu gösterge, yalnızca seçeneklerin maksimum değerleri arasındaki farkı gösterdiğinden, incelenen özelliğin değişkenliği hakkında en genel fikri verir. Bir özelliğin uç değerlerine bağımlılık, varyasyonun kapsamına kararsız, rastgele bir karakter kazandırır.

Ortalama doğrusal sapma analiz edilen popülasyonun tüm değerlerinin ortalama değerlerinden mutlak (modülo) sapmalarının aritmetik ortalamasını temsil eder:

Kumar teorisinde beklenti

Matematiksel beklenti Bir kumarbazın belirli bir bahiste kazanabileceği veya kaybedebileceği ortalama para miktarı. Bu oyuncu için çok önemli bir kavramdır çünkü çoğu oyun durumunun değerlendirilmesinde temeldir. Matematiksel beklenti aynı zamanda temel kart düzenlerini ve oyun durumlarını analiz etmek için de en uygun araçtır.

Diyelim ki bir arkadaşınızla jetonlu bir oyun oynuyorsunuz ve ne olursa olsun her seferinde eşit miktarda 1$ bahis koyuyorsunuz. Yazı kazandığınız, tura kaybettiğiniz anlamına gelir. Yazının gelme ihtimali bire birdir, bu yüzden 1 ila 1 dolar arasında bahis oynarsınız. Dolayısıyla matematiksel beklentiniz sıfırdır çünkü Matematiksel açıdan bakıldığında, iki atıştan sonra mı yoksa 200 atıştan sonra mı önde olacağınızı ya da kaybedeceğinizi bilemezsiniz.

Saatlik kazancınız sıfırdır. Saatlik kazanç, bir saat içinde kazanmayı beklediğiniz para miktarıdır. Bir saatte 500 kez yazı tura atabilirsiniz ama kazanamazsınız ya da kaybedemezsiniz çünkü... şansınız ne olumlu ne de olumsuz. Ciddi bir oyuncu açısından baktığınızda bu bahis sistemi fena değil. Ancak bu sadece zaman kaybıdır.

Ancak diyelim ki birisi aynı oyunda sizin 1$'ınıza karşı 2$ bahis oynamak istiyor. O zaman hemen her bahisten 50 sentlik olumlu bir beklentiniz olur. Neden 50 sent? Ortalama olarak bir bahis kazanırsınız ve ikincisini kaybedersiniz. İlk dolara bahis yaparsanız 1 $ kaybedersiniz, ikinciye bahis yaparsanız 2 $ kazanırsınız. İki kez 1$ bahis oynarsınız ve 1$ önde olursunuz. Yani bir dolarlık bahislerinizin her biri size 50 sent kazandırdı.

Bir saat içinde bir jeton 500 kez ortaya çıkarsa saatlik kazancınız zaten 250$ olacaktır, çünkü... Ortalama olarak 250 kez bir dolar kaybettiniz ve 250 kez iki dolar kazandınız. 500$ eksi 250$ eşittir 250$, bu da toplam kazançtır. Bahis başına kazandığınız ortalama miktar olan beklenen değerin 50 sent olduğunu lütfen unutmayın. Bir dolara 500 kez bahis oynayarak 250 dolar kazandınız, bu da bahis başına 50 sente eşittir.

Matematiksel beklentinin kısa vadeli sonuçlarla hiçbir ilgisi yoktur. Size karşı 2$ bahis oynamaya karar veren rakibiniz, arka arkaya ilk on atışta sizi yenebilir, ancak siz, 2'ye 1 bahis avantajına sahip olduğunuzdan, diğer her şey eşit olduğunda, herhangi bir 1$'lık bahisten 50 sent kazanacaksınız. durumlar. Masrafları rahatça karşılamaya yetecek kadar paranız olduğu sürece, bir veya birkaç bahis kazanmanız veya kaybetmeniz hiç fark etmez. Aynı şekilde bahis oynamaya devam ederseniz, uzun bir süre boyunca kazancınız bireysel bahislerdeki beklentilerin toplamına yaklaşacaktır.

En iyi bahisi (uzun vadede kârlı olabilecek bir bahis) her yaptığınızda, oranlar lehinize olduğunda, kaybetseniz de kaybetmeseniz de, bu bahisten bir şeyler kazanmanız kaçınılmazdır. el verildi. Tersine, eğer şanslar aleyhinizeyken zayıf bir bahis (uzun vadede kârsız olan bir bahis) yaparsanız, eli kazansanız da kaybetseniz de bir şeyler kaybedersiniz.

Beklentiniz olumlu ise en iyi sonuca sahip bir bahis oynarsınız ve oranlar sizin tarafınızdaysa olumlu olur. En kötü sonuçla bahis oynadığınızda, olumsuz bir beklentiye sahip olursunuz ve bu da oranlar aleyhinize olduğunda ortaya çıkar. Ciddi oyuncular yalnızca en iyi sonuç üzerine bahse girerler; en kötüsü olursa pas geçerler. Oranlar sizin lehinize ne anlama geliyor? Gerçek oranların getirdiğinden daha fazlasını kazanmanız mümkündür. Kafaların gerçek şansı 1'e 1'dir, ancak oran oranı nedeniyle 2'ye 1 elde edersiniz. Bu durumda ihtimaller sizin lehinizedir. Bahis başına 50 sentlik olumlu bir beklentiyle kesinlikle en iyi sonucu alırsınız.

İşte matematiksel beklentinin daha karmaşık bir örneği. Bir arkadaşınız birden beşe kadar sayıları yazıyor ve sizin bu sayıyı tahmin edemeyeceğinize dair 1 dolarınıza karşılık 5 dolar bahse giriyor. Böyle bir iddiayı kabul etmeli misiniz? Buradaki beklenti nedir?

Ortalama olarak dört kez yanılacaksınız. Buna dayanarak, sayıyı tahmin etme ihtimaliniz 4'e 1'dir. Tek denemede bir dolar kaybetme ihtimaliniz. Ancak, 5'e 1 kazanırsınız ve 4'e 1 kaybetme ihtimaliniz de vardır. Yani oranlar sizin lehinizedir, bahisi kabul edebilir ve en iyi sonucu umabilirsiniz. Bu bahsi beş kez yaparsanız, ortalama olarak dört kez 1$ kaybedersiniz ve bir kez 5$ kazanırsınız. Buna dayanarak, beş denemenin tümü için, bahis başına 20 sentlik pozitif matematiksel beklentiyle 1 $ kazanacaksınız.

Yukarıdaki örnekte olduğu gibi bahis yaptığından daha fazlasını kazanmayı uman bir oyuncu şansını denemektedir. Tam tersine, bahse girdiğinden daha az kazanmayı umarak şansını mahveder. Bir bahisçinin olumlu ya da olumsuz bir beklentisi olabilir, bu da kazanma ya da kazanma şansına bağlıdır.

Eğer 4'e 1 kazanma şansıyla 10$ kazanmak için 50$ bahis oynarsanız, 2$'lık negatif bir beklenti elde edersiniz çünkü Ortalama olarak dört kez 10$ kazanırsınız ve bir kez 50$ kaybedersiniz, bu da bahis başına kaybın 10$ olacağını gösterir. Ancak 10$ kazanmak için 30$ bahis oynarsanız ve 4'e 1 kazanma ihtimaliniz aynıysa, o zaman bu durumda 2$'lık pozitif bir beklentiniz olur, çünkü yine dört kez 10$ kazanırsınız ve bir kez 30$ kaybedersiniz ve 10$ kar elde edersiniz. Bu örnekler ilk bahsin kötü, ikincisinin ise iyi olduğunu göstermektedir.

Matematiksel beklenti, herhangi bir oyun durumunun merkezindedir. Bir bahisçi, futbol taraftarlarını 10$ kazanmak için 11$ bahis yapmaya teşvik ettiğinde, her 10$ için 50 sentlik olumlu bir beklentiye sahiptir. Eğer kumarhane geçiş hattından barbutla eşit miktarda para ödüyorsa, o zaman kumarhanenin olumlu beklentisi her 100$ için yaklaşık 1,40$ olacaktır, çünkü Bu oyun, bu çizgiye bahis yapan herkesin ortalama %50,7 kaybedeceği ve toplam sürenin %49,3'ünü kazanacağı şekilde yapılandırılmıştır. Kuşkusuz, dünya çapındaki kumarhane sahiplerine muazzam karlar getiren şey, görünüşte asgari düzeyde olan bu olumlu beklentidir. Vegas World kumarhanesinin sahibi Bob Stupak'ın belirttiği gibi, "yeterince uzun bir mesafede yüzde birin binde biri negatif olasılık, dünyanın en zengin adamını mahvedecektir."

Poker oynarken beklenti

Poker oyunu, matematiksel beklenti teorisi ve özelliklerinin kullanılması açısından en açıklayıcı ve açıklayıcı örnektir.

Pokerde Beklenen Değer, böyle bir kararın büyük sayılar ve uzun mesafe teorisi çerçevesinde değerlendirilebilmesi koşuluyla, belirli bir karardan elde edilen ortalama faydadır. Başarılı bir poker oyunu her zaman olumlu beklenen değere sahip hamleleri kabul etmektir.

Poker oynarken matematiksel beklentinin matematiksel anlamı, karar verirken sıklıkla rastgele değişkenlerle karşılaşmamızdır (rakibin elinde hangi kartların olduğunu, sonraki bahis turlarında hangi kartların geleceğini bilmiyoruz). Çözümlerin her birini, yeterince büyük bir örnekle, bir rastgele değişkenin ortalama değerinin matematiksel beklentisine yöneleceğini belirten büyük sayılar teorisi açısından ele almalıyız.

Matematiksel beklentiyi hesaplamaya yönelik özel formüller arasında aşağıdakiler pokerde en uygulanabilir olanıdır:

Poker oynarken hem bahisler hem de çağrılar için beklenen değer hesaplanabilir. İlk durumda kat özsermayesi, ikinci durumda ise bankanın kendi oranları dikkate alınmalıdır. Belirli bir hamlenin matematiksel beklentisini değerlendirirken, pasın her zaman sıfır beklentisi olduğunu unutmamalısınız. Bu nedenle, kartları atmak her zaman herhangi bir olumsuz hamleden daha karlı bir karar olacaktır.

Beklenti, riske attığınız her dolar için ne bekleyebileceğinizi (kar veya zarar) anlatır. Kumarhaneler para kazanır çünkü içlerinde oynanan tüm oyunların matematiksel beklentisi kumarhanenin lehinedir. Yeterince uzun bir oyun serisiyle müşterinin parasını kaybetmesini bekleyebilirsiniz, çünkü "olasılıklar" kumarhanenin lehinedir. Ancak profesyonel casino oyuncuları oyunlarını kısa sürelerle sınırlandırarak şansları kendi lehlerine artırırlar. Aynı şey yatırım için de geçerli. Eğer beklentiniz olumlu ise kısa sürede çok sayıda işlem yaparak daha fazla para kazanabilirsiniz. Beklenti, kazanç başına kar yüzdenizin ortalama kârınızla çarpımı, eksi kayıp olasılığınızın ortalama kaybınızla çarpımıdır.

Poker aynı zamanda matematiksel beklenti açısından da değerlendirilebilir. Belirli bir hamlenin karlı olduğunu varsayabilirsiniz, ancak bazı durumlarda başka bir hamle daha karlı olduğu için bu en iyisi olmayabilir. Diyelim ki beş kartlı pokerde tam bir sayıya ulaştınız. Rakibiniz bir bahis yapar. Bahsi artırırsanız karşılık vereceğini biliyorsunuz. Bu nedenle yükseltme en iyi taktik gibi görünüyor. Ancak bahsi artırırsanız kalan iki oyuncu kesinlikle pas geçecektir. Ancak ararsanız arkanızdaki diğer iki oyuncunun da aynısını yapacağına güveniniz tamdır. Bahsinizi arttırdığınızda bir birim, sadece gördüğünüzde ise iki birim alırsınız. Bu nedenle, aramak size daha yüksek bir olumlu beklenen değer verir ve en iyi taktik olacaktır.

Matematiksel beklenti aynı zamanda hangi poker taktiklerinin daha az karlı, hangilerinin daha karlı olduğu konusunda da fikir verebilir. Örneğin, belirli bir eli oynuyorsanız ve kaybınızın ante dahil ortalama 75 sent olacağını düşünüyorsanız o eli oynamalısınız çünkü Bu, bahis tutarı 1$ olduğunda pas geçmekten daha iyidir.

Beklenen değer kavramını anlamanın bir diğer önemli nedeni, bahsi kazansanız da kazanmasanız da size gönül rahatlığı vermesidir: eğer iyi bir bahis yaptıysanız veya doğru zamanda pas geçtiyseniz, kazandığınızı veya kazandığınızı bileceksiniz. zayıf oyuncunun biriktiremeyeceği bir miktar para biriktirdi. Rakibiniz daha güçlü bir el çektiği için üzülürseniz pas geçmeniz çok daha zordur. Tüm bunlarla birlikte bahis yerine oynamayarak tasarruf ettiğiniz para, gece veya ay boyunca kazancınıza eklenir.

Elinizi değiştirseniz rakibinizin sizi çağıracağını unutmayın ve Pokerin Temel Teoremi makalesinde de göreceğiniz gibi bu sizin avantajlarınızdan sadece bir tanesi. Bu gerçekleştiğinde mutlu olmalısınız. Hatta bir eli kaybetmenin tadını çıkarmayı bile öğrenebilirsiniz çünkü sizin konumunuzdaki diğer oyuncuların çok daha fazlasını kaybedeceğini bilirsiniz.

Başta jeton oyunu örneğinde de bahsettiğimiz gibi saatlik kar oranı matematiksel beklenti ile bağlantılıdır ve bu kavram özellikle profesyonel oyuncular için önemlidir. Poker oynamaya gittiğinizde, bir saatlik oyunda ne kadar kazanabileceğinizi zihinsel olarak tahmin etmelisiniz. Çoğu durumda sezgilerinize ve deneyiminize güvenmeniz gerekecektir, ancak biraz matematikten de yararlanabilirsiniz. Örneğin, berabere düşük top oynuyorsunuz ve üç oyuncunun 10$ bahis oynadığını ve ardından iki kart takas ettiğini görüyorsunuz ki bu çok kötü bir taktiktir, her 10$ bahis oynadıklarında yaklaşık 2$ kaybettiklerini anlayabilirsiniz. Her biri bunu saatte sekiz kez yapıyor, bu da üçünün de saatte yaklaşık 48 dolar kaybettiği anlamına geliyor. Yaklaşık olarak eşit olan geri kalan dört oyuncudan birisiniz, dolayısıyla bu dört oyuncunun (ve aralarında sizin de) her biri saatte 12 $ kar elde edecek şekilde 48 $'ı bölmesi gerekir. Bu durumda saatlik şansınız, üç kötü oyuncunun bir saat içinde kaybettiği para miktarındaki payınıza eşittir.

Uzun bir süre boyunca oyuncunun toplam kazancı, bireysel ellerdeki matematiksel beklentilerinin toplamıdır. Olumlu beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız o kadar çok kazanırsınız ve tam tersi, olumsuz beklentiyle ne kadar çok el oynarsanız o kadar çok kaybedersiniz. Sonuç olarak saatlik kazancınızı maksimuma çıkarabilmeniz için olumlu beklentinizi maksimuma çıkarabilecek veya olumsuz beklentinizi boşa çıkarabilecek bir oyun seçmelisiniz.

Oyun stratejisinde pozitif matematiksel beklenti

Kart saymayı biliyorsanız, sizi fark edip dışarı atmadıkları sürece kumarhaneye göre avantajlı olabilirsiniz. Kumarhaneler sarhoş oyuncuları sever ve kart sayma oyuncularına tolerans göstermez. Bir avantaj, zaman içinde kaybettiğinizden daha fazla kazanmanıza olanak tanır. Beklenen değer hesaplamalarını kullanan iyi para yönetimi, avantajınızdan daha fazla kâr elde etmenize ve kayıplarınızı azaltmanıza yardımcı olabilir. Avantajınız yoksa parayı hayır kurumuna vermeniz daha iyi olur. Borsadaki oyunda kayıplardan, fiyat farklarından ve komisyonlardan daha fazla kazanç sağlayan oyun sistemi sayesinde avantaj sağlanıyor. Hiçbir para yönetimi kötü bir oyun sistemini kurtaramaz.

Pozitif beklenti sıfırdan büyük bir değer olarak tanımlanır. Bu sayı ne kadar büyük olursa istatistiksel beklenti de o kadar güçlü olur. Değer sıfırdan küçükse matematiksel beklenti de negatif olacaktır. Negatif değerin modülü ne kadar büyük olursa durum o kadar kötü olur. Sonuç sıfırsa, bekleme başa baş demektir. Ancak olumlu bir matematiksel beklentiniz ve makul bir oyun sisteminiz olduğunda kazanabilirsiniz. Sezgilerle oynamak felakete yol açar.

Matematiksel beklenti ve hisse senedi ticareti

Matematiksel beklenti, finansal piyasalarda döviz ticareti yapılırken oldukça yaygın olarak kullanılan ve popüler bir istatistiksel göstergedir. Öncelikle bu parametre ticaretin başarısını analiz etmek için kullanılır. Bu değer ne kadar yüksek olursa, incelenen ticaretin başarılı olduğunu düşünmek için o kadar çok neden olduğunu tahmin etmek zor değil. Elbette bir trader'ın çalışmalarının analizi tek başına bu parametre kullanılarak gerçekleştirilemez. Bununla birlikte, hesaplanan değer, işin kalitesini değerlendirmenin diğer yöntemleriyle birlikte analizin doğruluğunu önemli ölçüde artırabilir.

Matematiksel beklenti genellikle ticari hesap izleme hizmetlerinde hesaplanır ve bu, para yatırma işleminde gerçekleştirilen işi hızlı bir şekilde değerlendirmenize olanak tanır. İstisnalar arasında "uzakta" kâr getirmeyen alım satımları kullanan stratejiler yer alır. Bir tüccar bir süreliğine şanslı olabilir ve bu nedenle işinde hiçbir kayıp olmayabilir. Bu durumda çalışmada kullanılan riskler dikkate alınmayacağı için sadece matematiksel beklentiye göre hareket etmek mümkün olmayacaktır.

Piyasa ticaretinde, matematiksel beklenti çoğunlukla herhangi bir ticaret stratejisinin kârlılığını tahmin ederken veya bir tüccarın önceki ticaretinden elde edilen istatistiksel verilere dayanarak gelirini tahmin ederken kullanılır.

Para yönetimine gelince, olumsuz beklentilerle işlem yaparken kesinlikle yüksek kar getirebilecek bir para yönetimi planının olmadığını anlamak çok önemlidir. Bu koşullar altında borsada oynamaya devam ederseniz, paranızı nasıl yönetirseniz yönetin, başlangıçta ne kadar büyük olursa olsun hesabınızın tamamını kaybedersiniz.

Bu aksiyom yalnızca olumsuz beklentili oyunlar veya işlemler için değil, aynı zamanda eşit şansa sahip oyunlar için de geçerlidir. Bu nedenle, uzun vadede kar elde etme şansınızın olduğu tek zaman pozitif beklenen değere sahip işlemler yapmanızdır.

Olumsuz beklenti ile olumlu beklenti arasındaki fark yaşamla ölüm arasındaki farktır. Beklentinin ne kadar olumlu ya da ne kadar olumsuz olduğu önemli değil; Önemli olan olumlu mu olumsuz mu olduğudur. Bu nedenle para yönetimini düşünmeden önce olumlu beklentiye sahip bir oyun bulmalısınız.

Eğer böyle bir oyununuz yoksa dünyadaki tüm para yönetimi sizi kurtaramayacaktır. Öte yandan olumlu bir beklentiniz varsa, doğru para yönetimiyle bunu üstel bir büyüme fonksiyonuna dönüştürebilirsiniz. Olumlu beklentinin ne kadar küçük olduğu önemli değil! Başka bir deyişle, tek bir sözleşmeye dayalı bir ticaret sisteminin ne kadar karlı olduğunun bir önemi yoktur. İşlem başına sözleşme başına 10$ kazanan bir sisteminiz varsa (komisyonlar ve kaymalardan sonra), işlem başına ortalama 1.000$ kazanan bir sistemden (komisyonlar ve kaymalar düşüldükten sonra) daha karlı hale getirmek için para yönetimi tekniklerini kullanabilirsiniz.

Önemli olan sistemin ne kadar kârlı olduğu değil, sistemin gelecekte en azından minimum kâr göstereceğinin ne kadar kesin söylenebileceğidir. Bu nedenle bir yatırımcının yapabileceği en önemli hazırlık, sistemin gelecekte olumlu bir beklenen değer göstermesini sağlamaktır.

Gelecekte pozitif bir beklenen değere sahip olmak için sisteminizin serbestlik derecelerini sınırlamamak çok önemlidir. Bu, yalnızca optimize edilecek parametrelerin sayısının ortadan kaldırılması veya azaltılmasıyla değil, aynı zamanda mümkün olduğu kadar çok sistem kuralının azaltılmasıyla da sağlanır. Eklediğiniz her parametre, koyduğunuz her kural, sisteme yaptığınız her küçük değişiklik, serbestlik derecesi sayısını azaltır. İdeal olarak, hemen hemen her pazarda sürekli olarak küçük karlar üretecek oldukça ilkel ve basit bir sistem kurmanız gerekir. Tekrar belirtmek isterim ki sistemin karlı olduğu sürece ne kadar karlı olduğunun bir önemi yoktur. Ticarette kazandığınız para, etkili para yönetimi sayesinde kazanılacaktır.

Bir ticaret sistemi, para yönetimini kullanabilmeniz için size pozitif bir beklenen değer veren bir araçtır. Yalnızca bir veya birkaç pazarda çalışan (en azından minimum düzeyde kar gösteren) veya farklı pazarlar için farklı kurallara veya parametrelere sahip olan sistemler, büyük olasılıkla gerçek zamanlı olarak uzun süre çalışmayacaktır. Teknik odaklı yatırımcıların çoğunun sorunu, ticaret sisteminin çeşitli kurallarını ve parametre değerlerini optimize etmek için çok fazla zaman ve çaba harcamalarıdır. Bu tamamen zıt sonuçlar verir. Ticaret sisteminin kârını artırmak için enerjinizi ve bilgisayar zamanınızı boşa harcamak yerine, enerjinizi minimum kâr elde etmenin güvenilirlik düzeyini artırmaya yönlendirin.

Para yönetiminin sadece olumlu beklentilerin kullanılmasını gerektiren bir sayı oyunu olduğunu bilen bir tüccar, hisse senedi ticaretinin "kutsal kasesini" aramayı bırakabilir. Bunun yerine ticaret yöntemini test etmeye başlayabilir, bu yöntemin ne kadar mantıklı olduğunu, olumlu beklentiler verip vermediğini öğrenebilir. Herhangi bir, hatta çok vasat ticaret yöntemlerine uygulanan uygun para yönetimi yöntemleri, işin geri kalanını kendileri halledecektir.

İşinizde başarılı olmak için herhangi bir yatırımcının en önemli üç görevi yerine getirmesi gerekir: . Başarılı işlem sayısının kaçınılmaz hata ve yanlış hesaplamalardan fazla olmasını sağlamak; Ticaret sisteminizi mümkün olduğunca sık para kazanma fırsatına sahip olacak şekilde kurun; Operasyonlarınızdan istikrarlı ve olumlu sonuçlar elde edin.

Ve burada biz çalışan tüccarlar için matematiksel beklenti çok yardımcı olabilir. Bu terim olasılık teorisindeki anahtar terimlerden biridir. Onun yardımıyla, bazı rastgele değerlerin ortalama bir tahminini verebilirsiniz. Olası tüm olasılıkları farklı kütlelere sahip noktalar olarak hayal ederseniz, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi ağırlık merkezine benzer.

Bir ticaret stratejisiyle ilgili olarak, kârın (veya zararın) matematiksel beklentisi çoğunlukla stratejinin etkinliğini değerlendirmek için kullanılır. Bu parametre, belirli kar ve zarar seviyelerinin çarpımlarının toplamı ve bunların oluşma olasılığı olarak tanımlanır. Örneğin, geliştirilen ticaret stratejisi, tüm işlemlerin %37'sinin kâr getireceğini ve geri kalan %63'ünün kârsız olacağını varsaymaktadır. Aynı zamanda başarılı bir işlemden elde edilecek ortalama gelir 7$, ortalama kayıp ise 1,4$ olacaktır. Bu sistemi kullanarak ticaretin matematiksel beklentisini hesaplayalım:

Bu sayı ne anlama geliyor? Bu sistemin kurallarına uyarak, kapatılan her işlemden ortalama 1.708$ alacağımızı söylüyor. Ortaya çıkan verimlilik derecesi sıfırdan büyük olduğundan böyle bir sistem gerçek iş için kullanılabilir. Hesaplama sonucunda matematiksel beklenti negatif çıkarsa, bu zaten ortalama bir kaybı gösterir ve bu tür bir ticaret yıkıma yol açacaktır.

İşlem başına kazanç miktarı % şeklinde göreceli bir değer olarak da ifade edilebilir. Örneğin:

– 1 işlem başına gelir yüzdesi - %5;

– başarılı ticaret işlemlerinin yüzdesi - %62;

– 1 işlem başına kayıp yüzdesi - %3;

– başarısız işlemlerin yüzdesi – %38;

Yani ortalama ticaret %1,96 getirecek.

Kârsız ticaretlerin baskın olmasına rağmen MO>0 olduğundan olumlu sonuç üretecek bir sistem geliştirmek mümkündür.

Ancak tek başına beklemek yeterli değildir. Sistem çok az işlem sinyali verirse para kazanmak zordur. Bu durumda karlılığı banka faiziyle karşılaştırılabilir olacaktır. Her operasyonun ortalama olarak sadece 0,5$ üretmesine izin verin, peki ya sistem yılda 1000 operasyon içeriyorsa? Bu nispeten kısa bir sürede çok ciddi bir miktar olacaktır. Bundan mantıksal olarak, iyi bir ticaret sisteminin bir başka ayırt edici özelliğinin de kısa süreli pozisyon tutma olduğu düşünülebilir.

Kaynaklar ve bağlantılar

dic.academic.ru – akademik çevrimiçi sözlük

math.ru – matematik alanında eğitici web sitesi

nsu.ru - Novosibirsk Devlet Üniversitesi'nin eğitim web sitesi

webmath.ru öğrenciler, başvuru sahipleri ve okul çocukları için bir eğitim portalıdır.

expponenta.ru eğitici matematik web sitesi

ru.tradimo.com – ücretsiz çevrimiçi ticaret okulu

crypto.hut2.ru – multidisipliner bilgi kaynağı

poker-wiki.ru – ücretsiz poker ansiklopedisi

sernam.ru – Seçilmiş doğa bilimleri yayınlarından oluşan bilimsel kütüphane

reshim.su – web sitesi Test ödevi sorunlarını çözeceğiz

unfx.ru – UNFX'te Forex: eğitim, ticaret sinyalleri, güven yönetimi

slovopedia.com – Büyük Ansiklopedik Sözlük Slovopedia

pokermansion.3dn.ru – Poker dünyasındaki rehberiniz

statanaliz.info – bilgi blogu “İstatistiksel veri analizi”

forex-trader.rf – Forex-Trader portalı

megafx.ru – güncel Forex analizleri

fx-by.com – bir yatırımcı için her şey

Dağıtım parametreleri ve istatistikler

Rastgele bir değişkenin dağılımına ilişkin herhangi bir parametre, örneğin matematiksel beklenti veya varyans, tahmin edilebilmesine rağmen doğrudan ölçülemeyen teorik niceliklerdir. Niceliksel bir özelliği temsil ederler nüfus ve genel popülasyondaki rastgele bir değişkenin dağılımının özelliklerini tanımladıkları için kendileri yalnızca teorik modelleme sırasında varsayımsal değerler olarak belirlenebilir. Bunları pratikte belirlemek için deneyi yapan araştırmacı bunların seçici bir değerlendirmesini yapar. Bu değerlendirme istatistiksel hesaplamayı içerir.

İstatistikler örnek değerlerin incelenmesine dayanarak elde edilen rastgele bir değişkenin dağılımını karakterize eden, çalışılan parametrelerin niceliksel bir özelliğidir. İstatistikler ya örneklemin kendisini tanımlamak için ya da temel deneysel araştırmalarda büyük öneme sahip olan, incelenen popülasyondaki rastgele bir değişkenin dağılımının parametrelerini tahmin etmek için kullanılır.

Kavramların ayrılması "parametre" Ve "istatistikler" deneyde elde edilen verilerin yanlış yorumlanmasından kaynaklanan bir takım hataları önlemenize olanak tanıdığı için çok önemlidir. Gerçek şu ki, istatistiksel verileri kullanarak dağılım parametrelerini tahmin ettiğimizde, tahmin edilen parametrelere yalnızca belirli bir dereceye kadar yakın değerler elde ediyoruz. Parametreler ve istatistikler arasında neredeyse her zaman bir miktar fark vardır ve genellikle bu farkın ne kadar büyük olduğunu söyleyemeyiz. Teorik olarak örneklem ne kadar büyük olursa, tahmin edilen parametreler örneklem özelliklerine o kadar yakın olur. Ancak bu, örneklem büyüklüğünü artırarak kaçınılmaz olarak tahmin edilen parametreye yaklaşacağımız ve onunla hesaplanan istatistikler arasındaki farkı azaltacağımız anlamına gelmez. Pratikte her şey çok daha karmaşık hale gelebilir.

Teorik olarak istatistiğin beklenen değeri tahmin edilen parametreyle örtüşüyorsa böyle bir tahmine tahmin denir. yer değiştirmemiş. Tahmin edilen parametrenin beklenen değerinin, parametrenin kendisinden belirli bir miktarda farklı olduğu tahmine tahmin denir. yerinden edilmiş.

Dağıtım parametrelerinin nokta ve aralık tahminlerini birbirinden ayırmak da gereklidir. Leke bir sayı kullanarak değerlendirme denir. Örneğin, belirli bir konu için belirli koşullar altında ve belirli bir cilt bölgesinde dokunma hassasiyetinin uzaysal eşiğinin değerinin 21,8 mm olduğunu söylersek, o zaman böyle bir tahmin nokta olacaktır. Aynı şekilde, hava raporu bize pencerenin dışında havanın 25°C olduğunu söylediğinde bir nokta tahmini ortaya çıkar. Aralık tahmini Bir değerlendirmede bir dizi veya sayı aralığının kullanılmasını içerir. Dokunsal hassasiyetin mekansal eşiğini değerlendirdiğimizde bunun 20 ila 25 mm aralığında olduğunu söyleyebiliriz. Benzer şekilde hava tahmincileri de kendi tahminlerine göre önümüzdeki 24 saat içinde hava sıcaklığının 22-24°C'ye ulaşacağını bildirebilirler. Rastgele bir değişkenin aralık tahmini, yalnızca bu miktarın istenen değerini belirlememize değil, aynı zamanda böyle bir tahminin olası doğruluğunu da belirlememize olanak tanır.

Matematiksel beklenti ve değerlendirilmesi

Yazı-tura denememize dönelim.

Şimdi şu soruyu cevaplamaya çalışalım: Bir parayı on kez atarsak kaç kez tura gelir? Cevap açık görünüyor. Eğer iki sonucun her birinin olasılığı eşitse, bu durumda sonuçların da eşit şekilde dağıtılması gerekir. Başka bir deyişle, sıradan bir parayı on kez attığımızda, bir tarafının, örneğin “tura”nın tam olarak beş kez yere düşmesini bekleyebiliriz. Benzer şekilde, bir madeni para 100 kez atıldığında tam olarak 50 kez “tura” gelmelidir; para 4236 kez atıldığında ise ilgilendiğimiz taraf ne fazla ne de az olmak üzere 2118 kez görünmelidir.

Dolayısıyla, rastgele bir olayın teorik anlamı genellikle denir. matematiksel beklenti. Beklenen değer, rastgele değişkenin teorik olasılığının deneme sayısıyla çarpılmasıyla bulunabilir. Ancak daha resmi olarak birinci dereceden merkezi bir an olarak tanımlanır. Dolayısıyla matematiksel beklenti, tekrarlanan testler sırasında teorik olarak yöneldiği ve çevresinde değiştiği rastgele bir değişkenin değeridir.

Bir dağılım parametresi olarak matematiksel beklentinin teorik değerinin, bizi ilgilendiren rastgele değişkenin istatistiklerle ifade edilen ampirik değerine her zaman eşit olmadığı açıktır. Yazı tura atmayla ilgili bir deney yaparsak, büyük olasılıkla on sonuçtan yalnızca dört veya üç kez "tura" gelecektir, ya da tam tersi, sekiz kez gelecektir, ya da belki de asla gündeme gelmeyecek. Bu sonuçların bazılarının daha fazla, bazılarının daha az muhtemel olduğu açıktır. Normal dağılım yasasını kullanırsak, sonucun teorik olarak beklenenden, yani matematiksel beklentinin değeriyle belirlenenden ne kadar saparsa, pratikte bu olasılığın o kadar düşük olduğu sonucuna varabiliriz.

Ayrıca, benzer bir işlemi birkaç kez uyguladığımızı ve teorik olarak beklenen değeri hiçbir zaman gözlemlemediğimizi varsayalım. O zaman madalyonun orijinalliği konusunda şüphelerimiz olabilir. Bizim paramız için tura gelme ihtimalinin aslında %50 olmadığını varsayabiliriz. Bu durumda bu olayın olasılığını ve buna bağlı olarak matematiksel beklentinin değerini tahmin etmek gerekebilir. Bu ihtiyaç, önceden herhangi bir teorik model olmadan, bir deneyde reaksiyon süresi gibi sürekli bir rastgele değişkenin dağılımını incelediğimizde ortaya çıkar. Kural olarak bu, deneysel sonuçların niceliksel işlenmesinde ilk zorunlu adımdır.

Matematiksel beklenti, pratikte biraz farklı sonuçlar verebilecek üç yolla tahmin edilebilir, ancak teoride bunların bizi kesinlikle matematiksel beklentinin değerine götürmesi gerekir.

Böyle bir değerlendirmenin mantığı Şekil 2'de gösterilmektedir. 1.2. Beklenen değer, bir rastgele değişkenin dağılımında merkezi eğilim olarak düşünülebilir. X, en olası ve dolayısıyla en sık meydana gelen değeri olarak ve dağılımı iki eşit parçaya bölen bir nokta olarak.

Pirinç. 1.2.

Bir madeni parayla hayali deneylerimize devam edelim ve parayı on kez atarak üç deney yapalım. Diyelim ki, ilk deneyde "turalar" dört kez geldi, aynı şey ikinci deneyde de oldu, üçüncü deneyde "turalar" bir buçuk kattan fazla, yani yedi kez ortaya çıktı. İlgilendiğimiz olayın matematiksel beklentisinin aslında bu değerler arasında bir yerde olduğunu varsaymak mantıklıdır.

Birinci, en basit değerlendirme yöntemi matematiksel beklenti bulmak olacaktır aritmetik ortalama. O zaman yukarıdaki üç ölçüme göre beklenen değerin tahmini (4 + 4 + 7)/3 = 5 olacaktır. Benzer şekilde reaksiyon süresi deneylerinde beklenen değer, elde edilen tüm değerlerin aritmetik ortalaması alınarak tahmin edilebilir. X. Yani eğer harcarsak N reaksiyon süresi ölçümleri X, o zaman aritmetik ortalamayı hesaplamak için bize şunu gösteren aşağıdaki formülü kullanabiliriz: X ampirik olarak elde edilen tüm değerleri toplamak ve bunları gözlem sayısına bölmek gerekir:

Formül (1.2)'de matematiksel beklentinin ölçüsü genellikle ̅ olarak gösterilir. X ("Çubuklu X" olarak okunur), ancak bazen şu şekilde yazılabilir: M (İngilizce'den Anlam - ortalama).

Aritmetik ortalama, matematiksel beklentinin en yaygın kullanılan tahminidir. Bu gibi durumlarda rastgele değişkenin şu şekilde ölçüldüğü varsayılır: metrik ölçek. Elde edilen sonucun, asla bilemediğimiz matematiksel beklentinin gerçek değeriyle örtüşüp örtüşmeyeceği açıktır. Ancak önemli olan bu yöntemin tarafsız matematiksel beklentinin tahmini. Bu, tahmin edilen değerin beklenen değerinin matematiksel beklentisine eşit olduğu anlamına gelir: .

İkinci değerlendirme yöntemi matematiksel beklenti, ilgilendiğimiz değişkenin en sık tekrarlanan değerini değer olarak almaktır. Bu değer denir dağıtım modu. Örneğin, az önce ele alınan yazı tura atılması durumunda, matematiksel beklentinin değeri olarak "dört" alınabilir, çünkü yapılan üç testte bu değer iki kez ortaya çıkmıştır; Bu durumda dağıtım modunun dörde eşit olmasının nedeni budur. Mod tahmini esas olarak deneycinin belirtilen ayrık değerleri alan değişkenlerle uğraştığı durumlarda kullanılır. metrik olmayan ölçek.

Örneğin, öğrencilerin bir sınavdaki notlarının dağılımını tanımlayarak, öğrencilerin aldıkları notların frekans dağılımını oluşturabilirsiniz. Bu frekans dağılımına denir histogram. Bu durumda en yaygın tahmin merkezi eğilim (matematiksel beklenti) değeri olarak alınabilir. Sürekli değerlerle karakterize edilen değişkenleri incelerken, bu ölçü pratikte kullanılmaz veya nadiren kullanılır. Elde edilen sonuçların frekans dağılımı yine de oluşturulmuşsa, kural olarak, incelenen özelliğin deneysel olarak elde edilen değerleri değil, tezahürünün bazı aralıkları ile ilgilidir. Örneğin, insanların boylarını inceleyerek, kaç kişinin boyunun 150 cm'ye kadar olduğunu, kaçının 150 ila 155 cm aralığında olduğunu vb. görebilirsiniz. Bu durumda mod, incelenen özelliğin aralık değerleriyle, bu durumda yükseklikle ilişkili olacaktır.

Aritmetik ortalama gibi modun da matematiksel beklentinin gerçek değeriyle çakışabileceği veya uymayabileceği açıktır. Ancak aritmetik ortalama gibi mod da matematiksel beklentinin tarafsız bir tahminidir.

Şunu da ekleyelim: Örnekteki iki değer eşit sıklıkta ortaya çıkıyorsa böyle bir dağılıma denir. iki modlu. Bir numunede üç veya daha fazla değer eşit sıklıkta ortaya çıkıyorsa, böyle bir numunenin modu olmadığı söylenir. Yeterince fazla sayıda gözlemin olduğu bu tür durumlar, kural olarak, verilerin, dağılımının doğası normalden farklı olan genel bir popülasyondan çıkarıldığını gösterir.

Nihayet, üçüncü değerlendirme yöntemi matematiksel beklenti, konu örneklemini bizi ilgilendiren parametreye göre tam olarak ikiye bölmektir. Bu sınırı karakterize eden miktara denir medyan dağıtımlar.

Diyelim ki bir kayak yarışmasında bulunuyoruz ve yarışma bittikten sonra hangi sporcuların ortalamanın üzerinde, hangilerinin ortalamanın altında sonuçlar gösterdiğini değerlendirmek istiyoruz. Katılımcıların bileşimi aşağı yukarı eşitse, ortalama sonucu değerlendirirken aritmetik ortalamayı hesaplamak mantıklıdır. Ancak profesyonel katılımcılar arasında çok sayıda amatörün bulunduğunu varsayalım. Bunlardan çok azı var, ancak diğerlerinden önemli ölçüde daha düşük sonuçlar gösteriyorlar. Bu durumda, örneğin yarışmaya katılan 100 katılımcıdan 87'sinin ortalamanın üzerinde sonuçlar verdiği ortaya çıkabilir. Ortalama eğilime ilişkin böyle bir değerlendirmenin bizi her zaman tatmin edemeyeceği açıktır. Bu durumda ortalama sonucun 50. veya 51. sırada yer alan katılımcılar tarafından gösterildiğini varsaymak mantıklı olacaktır. Bu dağılımın medyanı olacaktır. 50. finalistten önce 49, 51.'den sonra ise 49 katılımcı yarışı tamamladı. Ancak bunlardan kimin sonucunun ortalama olarak alınması gerektiği belli değil. Elbette aynı anda bitirdikleri ortaya çıkabilir. O zaman sorun yok. Gözlem sayısı tek olduğunda sorun ortaya çıkmaz. Ancak diğer durumlarda iki katılımcının sonuçlarının ortalamasını kullanabilirsiniz.

Medyan, bir dağılımın yüzdelik kısmının özel bir durumudur. nicelik dağıtımın bir parçasıdır. Biçimsel olarak bir değişkenin iki değeri arasındaki dağılımın integral değeri olarak tanımlanabilir. X. Böylece değer X Dağılımın integral değeri (olasılık yoğunluğu) -∞ ile -∞ arasında ise dağılımın medyanı olacaktır. X dağılımının integral değerine eşit X +∞'a kadar. Benzer şekilde dağılım dört, on veya 100 parçaya bölünebilir. Bu tür nicelikler buna göre çağrılır çeyrekler, ondalıklar Ve yüzdelikler. Başka nicelik türleri de vardır.

Matematiksel beklentiyi tahmin etmek için kullanılan önceki iki yöntem gibi, medyan da matematiksel beklentinin tarafsız bir tahminidir.

Teorik olarak, eğer gerçekten bir rastgele değişkenin normal dağılımıyla ilgileniyorsak, o zaman matematiksel beklentinin üç tahmininin de aynı sonucu vermesi gerektiği varsayılır, çünkü hepsi bir değişkeni temsil eder. tarafsız tahmin edilen rastgele değişkenin aynı dağılım parametresinin tahminleri (bkz. Şekil 1.2). Ancak pratikte bu nadiren meydana gelir. Bunun nedeni özellikle analiz edilen dağılımın normalden farklı olmasından kaynaklanabilir. Ancak bu tür tutarsızlıkların ana nedeni, kural olarak, matematiksel beklentinin değeri tahmin edilerek gerçek değerinden çok önemli ölçüde farklı bir değer elde edilebilmesidir. Ancak yukarıda da belirtildiği gibi, söz konusu değişkene ilişkin ne kadar bağımsız testler yapılırsa tahmin edilen değerin gerçeğe o kadar yakın olması gerektiği matematiksel istatistiklerde kanıtlanmıştır.

Bu nedenle uygulamada, matematiksel beklentiyi tahmin etmeye yönelik yöntemin seçimi, bu parametrenin daha doğru ve güvenilir bir tahminini elde etme arzusuyla değil, yalnızca uygunluk hususlarıyla belirlenir. Ayrıca, matematiksel beklentiyi tahmin etmek için bir yöntemin seçiminde belirli bir rol, değerlendirilen rastgele değişkenin gözlemlerini yansıtan ölçüm ölçeği tarafından oynanır.

Bir rastgele değişken olsun X matematiksel beklentiyle M ve varyans D Bu parametrelerin her ikisi de bilinmiyor. Değerin üstünde Xüretilmiş N bağımsız deneyler sonucunda bir dizi N sayısal sonuçlar x 1 , x 2 , …, xN. Matematiksel beklentinin bir tahmini olarak gözlemlenen değerlerin aritmetik ortalamasını önermek doğaldır.

Burada olarak x ben Sonuç olarak elde edilen belirli değerler (sayılar) dikkate alınır N deneyler. Başkalarını alırsak (öncekilerden bağımsız olarak) N deneyler yaparsak elbette farklı bir değer elde ederiz. Daha fazlasını alırsan N deneyler yaparsak yeni bir değer daha elde ederiz. ile belirtelim X ben kaynaklanan rastgele değişken Ben deney, ardından uygulamalar X ben bu deneylerden elde edilen rakamlar olacaktır. Açıkçası, rastgele değişken X ben orijinal rastgele değişkenle aynı olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olacaktır X. Ayrıca rastgele değişkenlerin X ben Ve Xj bağımsız olduklarında Ben, eşit değil J(birbirinden bağımsız çeşitli deneyler). Bu nedenle formül (1)'i farklı (istatistiksel) bir biçimde yeniden yazıyoruz:

Tahminin tarafsız olduğunu gösterelim:

Böylece örneklem ortalamasının matematiksel beklentisi, rastgele değişkenin gerçek matematiksel beklentisine eşittir. M. Bu oldukça öngörülebilir ve anlaşılabilir bir gerçektir. Sonuç olarak, örnek ortalaması (2), bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin bir tahmini olarak alınabilir. Şimdi şu soru ortaya çıkıyor: Deney sayısı arttıkça matematiksel beklenti tahmininin varyansı ne olacak? Analitik hesaplamalar şunu gösteriyor:

matematiksel beklenti tahmininin (2) varyansı nerede ve D- rastgele değişkenin gerçek varyansı X.

Yukarıdan şu sonuç çıkıyor: Arttıkça N(deney sayısı) tahminin varyansı azalır, yani Bağımsız gerçekleşmeleri ne kadar çok özetlersek, matematiksel beklentiye o kadar yakın bir tahmin elde ederiz.

Matematiksel varyans tahminleri

İlk bakışta en doğal değerlendirme şu gibi görünüyor:

formül (2) kullanılarak hesaplanır. Tahminin tarafsız olup olmadığını kontrol edelim. Formül (3) aşağıdaki gibi yazılabilir:

Bu formülde (2) ifadesini yerine koyalım:

Varyans tahmininin matematiksel beklentisini bulalım:

Rastgele değişkenin varyansı, rasgele değişkenin matematiksel beklentisinin ne olduğuna bağlı olmadığından, matematiksel beklentiyi 0'a eşit alalım, yani. M = 0.