Doğrusal olarak çarpanlara ayırmak ne anlama gelir? Polinomların çarpanlarına ayrılması örnekleri

Çarpanlara ayırmak için ifadeleri basitleştirmek gerekir. Daha da azaltılabilmesi için bu gereklidir. Bir polinomun genişlemesi, derecesi ikiden düşük olmadığında anlamlıdır. Birinci dereceye sahip bir polinom doğrusal olarak adlandırılır.

Makale, ayrıştırma ile ilgili tüm kavramları, teorik temelleri ve bir polinomu çarpanlara ayırma yöntemlerini kapsayacaktır.

Teori

Teorem 1

Derecesi n olan herhangi bir polinom P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + şeklinde olduğunda. . . + a 1 x + a 0, en yüksek dereceli a n ve n doğrusal faktörlere sahip sabit faktörlü bir çarpım olarak temsil edilir (x - x i), i = 1, 2, ..., n, sonra P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , burada x i, i = 1, 2, …, n polinomun kökleridir.

Teorem, x i, i = 1, 2, …, n karmaşık tipindeki kökler ve a k, k = 0, 1, 2, …, n karmaşık katsayıları için tasarlanmıştır. Bu, herhangi bir ayrışmanın temelidir.

a k, k = 0, 1, 2, …, n formundaki katsayılar gerçek sayılar olduğunda, eşlenik çiftlerde ortaya çıkacak karmaşık kökler olur. Örneğin, x 1 ve x 2 kökleri P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formundaki bir polinomla ilişkilidir. . . + a 1 x + a 0 karmaşık eşlenik olarak kabul edilirse, diğer kökler gerçek olur ve bundan polinomun P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · formunu aldığını elde ederiz. . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, burada x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

Yorum

Bir polinomun kökleri tekrarlanabilir. Bezout teoreminin bir sonucu olan cebir teoreminin kanıtını ele alalım.

Cebirin temel teoremi

Teorem 2

Derecesi n olan herhangi bir polinomun en az bir kökü vardır.

Bezout'un teoremi

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + formundaki bir polinomu böldükten sonra. . . + a 1 x + a 0 (x - s) üzerinde, sonra s noktasındaki polinoma eşit olan kalanı elde ederiz, sonra şunu elde ederiz:

P n x = bir n x n + bir n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , burada Q n - 1 (x), derecesi n - 1 olan bir polinomdur.

Bezout teoreminin sonucu

P n (x) polinomunun kökü s olarak kabul edilirse P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + olur. . . + a 1 x + a 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Bu sonuç, çözümü tanımlamak için kullanıldığında yeterlidir.

İkinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırma

a x 2 + b x + c formundaki bir kare trinomial, doğrusal faktörlere ayrılabilir. o zaman a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) sonucunu elde ederiz; burada x 1 ve x 2 köklerdir (karmaşık veya gerçek).

Bu, genişlemenin kendisinin ikinci dereceden denklemin daha sonra çözülmesine indirgendiğini gösterir.

Örnek 1

İkinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırın.

Çözüm

4 x 2 - 5 x + 1 = 0 denkleminin köklerini bulmak gerekir. Bunu yapmak için, formülü kullanarak diskriminantın değerini bulmanız gerekir, ardından D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9 elde ederiz. Buradan şunu anlıyoruz

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

Bundan 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1 sonucunu elde ederiz.

Kontrolü gerçekleştirmek için parantezleri açmanız gerekir. Daha sonra formun bir ifadesini elde ederiz:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

Kontrol ettikten sonra orijinal ifadeye ulaşıyoruz. Yani ayrıştırmanın doğru yapıldığı sonucuna varabiliriz.

Örnek 2

3 x 2 - 7 x - 11 formundaki ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırın.

Çözüm

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi 3 x 2 - 7 x - 11 = 0 formunda hesaplamanın gerekli olduğunu bulduk.

Kökleri bulmak için diskriminantın değerini belirlemeniz gerekir. Bunu anlıyoruz

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6

Bundan 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 sonucunu elde ederiz.

Örnek 3

2 x 2 + 1 polinomunu çarpanlarına ayırın.

Çözüm

Şimdi ikinci dereceden 2 x 2 + 1 = 0 denklemini çözüp köklerini bulmamız gerekiyor. Bunu anlıyoruz

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 ben x 2 = - 1 2 = - 1 2 ben

Bu köklere karmaşık eşlenik denir; bu, genişlemenin kendisinin 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i olarak gösterilebileceği anlamına gelir.

Örnek 4

İkinci dereceden üç terimli x 2 + 1 3 x + 1'i ayrıştırın.

Çözüm

Öncelikle x 2 + 1 3 x + 1 = 0 formundaki ikinci dereceden bir denklemi çözmeniz ve köklerini bulmanız gerekir.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · i 6 = - 1 6 + 35 6 · i x 2 = - 1 3 - D 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · ben 2 = - 1 - 35 · ben 6 = - 1 6 - 35 6 · ben

Kökleri elde ettikten sonra yazıyoruz

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 ben x - - 1 6 - 35 6 ben = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

Yorum

Diskriminant değeri negatifse polinomlar ikinci dereceden polinomlar olarak kalacaktır. Bundan, onları doğrusal faktörlere genişletmeyeceğimiz sonucu çıkıyor.

Derecesi ikiden yüksek olan bir polinomu çarpanlarına ayırma yöntemleri

Ayrıştırma sırasında evrensel bir yöntem varsayılır. Tüm vakaların çoğu Bezout teoreminin bir sonucuna dayanmaktadır. Bunu yapmak için, x 1 kökünün değerini seçmeniz ve derecesini bir polinomla 1'e bölerek (x - x 1)'e bölerek derecesini azaltmanız gerekir. Ortaya çıkan polinomun x 2 kökünü bulması gerekir ve tam bir genişleme elde edene kadar arama süreci döngüseldir.

Kök bulunamazsa, diğer çarpanlara ayırma yöntemleri kullanılır: gruplama, ek terimler. Bu konu, daha yüksek kuvvetlere ve tam sayı katsayılarına sahip denklemlerin çözülmesini içerir.

Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak

Serbest terimin sıfıra eşit olduğu durumu düşünün, bu durumda polinomun formu P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + olur. . . + bir 1 x .

Böyle bir polinomun kökünün x 1 = 0'a eşit olacağı görülebilir, bu durumda polinom P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ifadesi olarak temsil edilebilir. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

Bu yöntemin ortak çarpanı parantez dışına çıkardığı kabul edilir.

Örnek 5

Üçüncü dereceden polinomu 4 x 3 + 8 x 2 - x'e ayırın.

Çözüm

x 1 = 0'ın verilen polinomun kökü olduğunu görüyoruz, sonra x'i tüm ifadenin parantezlerinden çıkarabiliriz. Şunu elde ederiz:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

Şimdi 4 x 2 + 8 x - 1 kare trinomialinin köklerini bulmaya geçelim. Ayırt ediciyi ve kökleri bulalım:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

Sonra şu oluyor

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

Başlangıç olarak, P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formundaki tamsayı katsayılarını içeren bir ayrıştırma yöntemini ele alalım. . . + a 1 x + a 0, burada en yüksek derecenin katsayısı 1'dir.

Bir polinomun tamsayı kökleri varsa, bunlar serbest terimin bölenleri olarak kabul edilir.

Örnek 6

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 ifadesini genişletin.

Çözüm

Tam köklerin olup olmadığını düşünelim. - 18 sayısının bölenlerini yazmak gerekir. Bunu ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18 olarak alıyoruz. Bu polinomun tamsayı kökleri olduğu sonucu çıkar. Horner'ın şemasını kullanarak kontrol edebilirsiniz. Çok kullanışlıdır ve bir polinomun genişleme katsayılarını hızlı bir şekilde elde etmenizi sağlar:

Bundan x = 2 ve x = - 3'ün orijinal polinomun kökleri olduğu sonucu çıkar ve bu, formun bir çarpımı olarak temsil edilebilir:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

x 2 + 2 x + 3 formundaki ikinci dereceden üç terimliyi genişletmeye devam ediyoruz.

Diskriminantın negatif olması gerçek köklerin olmadığı anlamına gelir.

Cevap: f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

Yorum

Horner şeması yerine kök seçiminin ve bir polinomun polinomla bölünmesinin kullanılmasına izin verilir. P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + formundaki tamsayı katsayılarını içeren bir polinomun genişletilmesini dikkate almaya devam edelim. . . + a 1 x + a 0 , en büyüğü bire eşittir.

Bu durum rasyonel kesirler için geçerlidir.

Örnek 7

f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15'i çarpanlarına ayırın.

Çözüm

y = 2x değişkenini değiştirmek gerekiyor, katsayıları en yüksek derecede 1 olan bir polinoma geçmelisiniz. İfadeyi 4 ile çarparak başlamanız gerekir. Bunu anlıyoruz

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 formunda elde edilen fonksiyon tamsayı köklere sahip olduğunda, bunların konumu serbest terimin bölenleri arasındadır. Giriş şöyle görünecek:

±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60

Sonuç olarak sıfır elde etmek için bu noktalarda g(y) fonksiyonunu hesaplamaya geçelim. Bunu anlıyoruz

g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 gr (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 gr (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 gr (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

y = - 5'in, y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 formundaki bir denklemin kökü olduğunu bulduk; bu, x = y 2 = - 5 2'nin orijinal fonksiyonun kökü olduğu anlamına gelir.

Örnek 8

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 sütununu x + 5 2'ye bölmek gerekir.

Çözüm

Bunu yazalım ve elde edelim:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

Bölenleri kontrol etmek çok zaman alacaktır, bu nedenle ortaya çıkan ikinci dereceden üç terimliyi x 2 + 7 x + 3 biçiminde çarpanlara ayırmak daha karlı olur. Sıfıra eşitleyerek diskriminantı buluruz.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Şunu takip ediyor

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

Bir polinomun çarpanlarına ayrılması için yapay teknikler

Rasyonel kökler tüm polinomların doğasında yoktur. Bunu yapmak için faktörleri bulmak için özel yöntemler kullanmanız gerekir. Ancak tüm polinomlar genişletilemez veya bir çarpım olarak temsil edilemez.

Gruplama yöntemi

Ortak bir faktör bulmak ve onu parantezlerin dışına çıkarmak için bir polinomun terimlerini gruplandırabileceğiniz durumlar vardır.

Örnek 9

Polinom x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2'yi çarpanlarına ayırın.

Çözüm

Katsayılar tam sayı olduğundan köklerin de tam sayı olabileceği düşünülebilir. Kontrol etmek için bu noktalardaki polinomun değerini hesaplamak için 1, - 1, 2 ve - 2 değerlerini alın. Bunu anlıyoruz

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

Bu, köklerin olmadığını gösterir; başka bir genişletme ve çözüm yöntemi kullanmak gerekir.

Gruplandırmak gereklidir:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

Orijinal polinomu grupladıktan sonra, onu iki kare üç terimlinin çarpımı olarak temsil etmeniz gerekir. Bunu yapmak için çarpanlara ayırmamız gerekir. bunu anladık

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

Yorum

Gruplandırmanın basitliği, terim seçiminin yeterince kolay olduğu anlamına gelmez. Belirli bir çözüm yöntemi bulunmadığından özel teorem ve kuralların kullanılması gerekmektedir.

Örnek 10

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 polinomunu çarpanlarına ayırın.

Çözüm

Verilen polinomun tam sayı kökleri yoktur. Terimler gruplandırılmalıdır. Bunu anlıyoruz

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

Çarpanlara ayırdıktan sonra şunu elde ederiz

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

Bir polinomu çarpanlarına ayırmak için kısaltılmış çarpma formüllerini ve Newton binomunu kullanma

Görünüm çoğu zaman ayrıştırma sırasında hangi yöntemin kullanılması gerektiğini her zaman netleştirmez. Dönüşümler yapıldıktan sonra Pascal üçgeninden oluşan bir çizgi oluşturabilirsiniz, aksi takdirde bunlara Newton binom adı verilir.

Örnek 11

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 polinomunu çarpanlarına ayırın.

Çözüm

İfadeyi forma dönüştürmek gerekir

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

Parantez içindeki toplamın katsayılarının sırası x + 1 4 ifadesiyle gösterilir.

Bu, x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3'e sahip olduğumuz anlamına gelir.

Kareler farkını uyguladıktan sonra şunu elde ederiz:

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

İkinci parantez içindeki ifadeyi düşünün. Orada atların olmadığı açık, bu yüzden kareler farkı formülünü tekrar uygulamamız gerekiyor. Formun bir ifadesini alıyoruz

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

Örnek 12

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6'yı çarpanlarına ayırın.

Çözüm

İfadeyi dönüştürmeye başlayalım. Bunu anlıyoruz

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

Küpler farkının kısaltılmış çarpımı için formülün uygulanması gerekir. Şunu elde ederiz:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

Bir polinomu çarpanlara ayırırken bir değişkeni değiştirme yöntemi

Bir değişkeni değiştirirken derece azaltılır ve polinom çarpanlara ayrılır.

Örnek 13

x 6 + 5 x 3 + 6 formunun polinomunu çarpanlarına ayırın.

Çözüm

Koşula göre y = x 3 yerine koymanın gerekli olduğu açıktır. Şunu elde ederiz:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemin kökleri y = - 2 ve y = - 3'tür, o zaman

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

Küp toplamının kısaltılmış çarpımı için formülün uygulanması gerekir. Formun ifadelerini alıyoruz:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

Yani istenilen ayrıştırmayı elde ettik.

Yukarıda tartışılan durumlar, bir polinomun farklı şekillerde dikkate alınmasına ve çarpanlara ayrılmasına yardımcı olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

İfadeleri basitleştirirken (böylece indirgemenin gerçekleştirilebilmesi için), denklemleri çözerken veya kesirli rasyonel bir fonksiyonu basit kesirlere ayrıştırırken polinomları çarpanlara ayırmak gerekir.

Derecesi ikiden düşük değilse bir polinomun çarpanlara ayrılmasından bahsetmek mantıklıdır.

Birinci dereceden bir polinom denir doğrusal.

Önce teorik temelleri ele alalım, ardından doğrudan bir polinomu çarpanlara ayırma yöntemlerine geçelim.

Sayfada gezinme.

Gerekli teori.

Teorem.

Herhangi bir derece polinomu N tip, en yüksek güçte sabit bir faktörün çarpımı ile temsil edilir ve N doğrusal çarpanlar, i=1, 2, …, n yani, ve, i=1, 2, …, n polinomun kökleridir.

Bu teorem karmaşık kökler için formüle edilmiştir, i=1, 2, …, n ve karmaşık katsayılar, k=0, 1, 2, …, n. Herhangi bir polinomun çarpanlara ayrılmasının temelidir.

Katsayılar ise k=0, 1, 2, …, n reel sayılar ise, polinomun karmaşık kökleri karmaşık eşlenik çiftlerde meydana gelmelidir ZORUNLU.

Örneğin, polinomun kökleri karmaşık eşlenikse ve geri kalan kökler gerçekse, polinom şu şekilde temsil edilecektir:

Yorum.

Bir polinomun kökleri arasında tekrarlananlar olabilir.

Teoremin ispatı kullanılarak gerçekleştirilir. cebirin temel teoremi Ve Bezout teoreminin sonuçları.

Cebirin temel teoremi.

Herhangi bir derece polinomu N en az bir kökü vardır (karmaşık veya gerçek).

Bezout'un teoremi.

Bir polinomu şuna bölerken (x-s) kalan polinomun o noktadaki değerine eşittir S yani derece polinomunun olduğu yer n-1.

Bezout teoreminin sonucu.

Eğer S polinomun köküdür, o halde .

Örneklere yönelik çözümleri açıklarken bu sonucu oldukça sık kullanacağız.

İkinci dereceden bir trinomialın çarpanlara ayrılması.

Kare trinomial iki doğrusal faktöre ayrıştırılır: burada ve köklerdir (karmaşık veya gerçek).

Böylece, ikinci dereceden bir üç terimliyi çarpanlarına ayırmak, ikinci dereceden bir denklemin çözümüne indirgenir.

Örnek.

İkinci dereceden bir trinomial çarpanlarına ayırın.

Çözüm.

İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım .

Denklemin diskriminantı eşittir, dolayısıyla,

Böylece, .

Kontrol etmek için parantezleri genişletebilirsiniz: . Kontrol ederken orijinal üç terimliye ulaştık, yani ayrıştırma doğruydu.

Örnek.

Çözüm.

Karşılık gelen ikinci dereceden denklem .

Köklerini bulalım.

Bu yüzden, .

Örnek.

Polinomu çarpanlarına ayırın.

Çözüm.

İkinci dereceden denklemin köklerini bulalım.

Bir çift karmaşık eşlenik kök elde ettik.

Polinomun genişlemesi şu şekilde olacaktır: .

Örnek.

İkinci dereceden üç terimliyi çarpanlarına ayırın.

Çözüm.

İkinci dereceden bir denklem çözelim .

Bu yüzden,

Yorum:

Aşağıda negatif bir diskriminantla ikinci dereceden polinomları orijinal hallerinde bırakacağız, yani onları karmaşık serbest terimlerle doğrusal faktörlere ayırmayacağız.

Derecesi ikiden büyük bir polinomu çarpanlarına ayırma yöntemleri.

Genel olarak bu görev, yaratıcı bir yaklaşım gerektirir çünkü onu çözmek için evrensel bir yöntem yoktur. Ama birkaç ipucu vermeye çalışalım.

Vakaların ezici çoğunluğunda, bir polinomun çarpanlara ayrılması Bezout teoreminin bir sonucuna dayanır, yani kök bulunur veya seçilir ve polinomun derecesi 'ye bölünerek bir azaltılır. Ortaya çıkan polinomun kökü aranır ve işlem tamamen açılıncaya kadar tekrarlanır.

Kök bulunamazsa, belirli genişletme yöntemleri kullanılır: gruplandırmadan birbirini dışlayan ek terimlerin eklenmesine kadar.

Daha sonraki sunum tamsayı katsayılı becerilere dayanmaktadır.

Ortak çarpanı parantez içine almak.

Serbest terimin sıfıra eşit olduğu, yani polinomun şu şekle sahip olduğu en basit durumla başlayalım.

Açıkçası böyle bir polinomun kökü dır, yani polinomu şeklinde temsil edebiliriz.

Bu yöntem başka bir şey değil ortak çarpanı parantez dışına koymak.

Örnek.

Üçüncü dereceden bir polinomu çarpanlarına ayırın.

Çözüm.

Açıkçası polinomun kökü nedir? X parantezlerden çıkarılabilir:

İkinci dereceden üç terimlinin köklerini bulalım

Böylece,

Rasyonel kökleri olan bir polinomun çarpanlara ayrılması.

İlk olarak, bir polinomu formun tamsayı katsayılarıyla genişletme yöntemini düşünelim, en yüksek derecenin katsayısı bire eşittir.

Bu durumda, eğer bir polinomun tamsayı kökleri varsa, bunlar serbest terimin bölenleridir.

Örnek.

Çözüm.

Sağlam kök olup olmadığını kontrol edelim. Bunu yapmak için sayının bölenlerini yazın -18 : . Yani bir polinomun tamsayı kökleri varsa, bunlar yazılı sayılar arasındadır. Horner'ın şemasını kullanarak bu sayıları sırayla kontrol edelim. Kolaylığı aynı zamanda sonunda polinomun genişleme katsayılarını elde etmemiz gerçeğinde de yatmaktadır:

Yani, x=2 Ve x=-3 orijinal polinomun kökleridir ve bunu bir çarpım olarak temsil edebiliriz:

İkinci dereceden üçlüyü genişletmeye devam ediyor.

Bu üç terimlinin diskriminantı negatif olduğundan gerçek kökleri yoktur.

Cevap:

Yorum:

Horner'ın şeması yerine kökün seçilmesi ve ardından polinomun bir polinomla bölünmesi kullanılabilir.

Şimdi bir polinomun tamsayı katsayıları biçimindeki açılımını düşünün ve en yüksek derecenin katsayısı bire eşit değildir.

Bu durumda polinom kesirli rasyonel köklere sahip olabilir.

Örnek.

İfadeyi çarpanlarına ayırın.

Çözüm.

Değişken değişikliği gerçekleştirerek y=2x, katsayısı en yüksek derecede bire eşit olan bir polinoma geçelim. Bunu yapmak için önce ifadeyi şununla çarpın: 4 .

Ortaya çıkan fonksiyonun tamsayı kökleri varsa, bunlar serbest terimin bölenleri arasındadır. Bunları yazalım:

Fonksiyonun değerlerini sırasıyla hesaplayalım g(y) sıfıra ulaşılana kadar bu noktalarda.

Yani, y=-5 kök mü dolayısıyla orijinal fonksiyonun köküdür. Polinomu bir sütuna (köşeye) bölerek binom'a bölelim.

Böylece,

Ortaya çıkan ikinci dereceden üç terimliyi çarpanlara ayırmak daha kolay olduğundan, kalan bölenleri kontrol etmeye devam etmeniz önerilmez.

Buradan,

Bir polinomun çarpanlara ayrılması için yapay teknikler.

Polinomların her zaman rasyonel kökleri yoktur. Bu durumda faktoring yaparken özel yöntemler aramanız gerekir. Ancak ne kadar istesek de bazı polinomlar (veya daha doğrusu büyük çoğunluğu) çarpım olarak temsil edilemez.

Gruplandırma yöntemi.

Bazen bir polinomun terimlerini gruplamak ortaya çıkar, bu da ortak bir faktör bulmanızı ve onu parantezlerden çıkarmanızı sağlar.

Örnek.

Polinomu genişlet çarpanlara göre.

Çözüm.

Katsayılar tam sayı olduğundan serbest terimin bölenleri arasında tam sayı kökleri olabilir. Değerleri kontrol edelim 1 , -1 , 2 Ve -2 polinomun bu noktalardaki değerini hesaplıyoruz.

Yani tam kök yoktur. Ayrıştırmanın başka bir yolunu arayalım.

Gruplandıralım:

Gruplandırmanın ardından orijinal polinom, iki kare trinomiyalin çarpımı olarak temsil edildi. Bunları çarpanlarına ayıralım.

KARE ÜÇLÜ III

§ 54. İkinci dereceden bir üç terimlinin doğrusal faktörlere ayrıştırılması

Bu bölümde şu soruyu ele alacağız: ikinci dereceden trinomial hangi durumda balta 2 + bx + c bir ürün olarak temsil edilebilir

(A 1 x+b 1) (A 2 x+b 2)

iki doğrusal göreceli X gerçek katsayılı çarpanlar A 1 , B 1 , A 2 , B 2 (A 1 =/=0, A 2 =/=0) ?

1. Verilen ikinci dereceden üç terimlinin olduğunu varsayalım. balta 2 + bx + c bunu formda temsil edelim

balta 2 + bx + c = (A 1 x+b 1) (A 2 x+b 2). (1)

Formül (1)'in sağ tarafı şu durumda kaybolur: X = - B 1 / A 1 ve X = - B 2 / A 2 (A 1 ve A 2 koşula göre sıfıra eşit değildir). Ama bu durumda sayılar B 1 / A 1 ve - B 2 / A 2 denklemin kökleridir

balta 2 + bx + c = 0.

Bu nedenle, ikinci dereceden trinomialin diskriminantı balta 2 + bx + c negatif olmamalıdır.

2. Tersine, diskriminantın D = olduğunu varsayalım. B 2 - 4ac ikinci dereceden üç terimli balta 2 + bx + c negatif olmayan. O zaman bu üçlünün gerçek kökleri var X 1 ve X 2. Vieta teoremini kullanarak şunu elde ederiz:

balta 2 + bx + c =A (X 2 + B / A X + C / A ) = A [X 2 - (X 1 + X 2) X + X 1 X 2 ] =

= A [(X 2 - X 1 X ) - (X 2 X - X 1 X 2)] = A [X (X - X 1) - X 2 (X - X 1) =

=A (X - X 1)(X - X 2).

balta 2 + bx + c = A (X - X 1)(X - X 2), (2)

Nerede X 1 ve X 2 - üç terimlinin kökleri balta 2 + bx + c . Katsayı A iki doğrusal faktörden herhangi birine atfedilebilir; örneğin,

A (X - X 1)(X - X 2) = (Ah - balta 1)(X - X 2).

Ancak bu, söz konusu durumda kare trinomialin olduğu anlamına gelir. balta 2 + bx + c gerçek katsayılı iki doğrusal faktörün çarpımı olarak temsil edin.

1. ve 2. paragraflarda elde edilen sonuçları birleştirerek aşağıdaki teoreme ulaşıyoruz.

Teorem. Kare üç terimli balta 2 + bx + c o zaman ve ancak o zaman gerçek katsayılı iki doğrusal faktörün çarpımı olarak temsil edilebilir,

balta 2 + bx + c = (Ah - balta 1)(X - X 2),

bu ikinci dereceden üç terimlinin diskriminantının negatif olmadığı durumlarda (yani bu üç terimlinin gerçek kökleri olduğunda).

Örnek 1. Doğrusal çarpanlara ayırma 6 X 2 - X -1.

Bu ikinci dereceden üç terimlinin kökleri eşittir X 1 = 1/2 ve X 2 = - 1 / 3 .

Bu nedenle formül (2)'ye göre

6X 2 - X -1 = 6 (X - 1 / 2)(X + 1 / 3) = (2X - 1) (3X + 1).

Örnek 2. Doğrusal çarpanlara ayırma X 2 + X + 1. Bu ikinci dereceden üç terimlinin diskriminantı negatiftir:

D = 1 2 - 4 1 1 = - 3< 0.

Bu nedenle, bu ikinci dereceden üç terimli, gerçek katsayılı doğrusal faktörlere genişletilemez.

Egzersizler

Aşağıdaki ifadeleri doğrusal faktörlere ayırın (No. 403 - 406):

403. 6X 2 - 7X + 2. 405. X 2 - X + 1.

404. 2X 2 - 7Ah + 6A 2 . 406. X 2 - 3Ah + 2A 2 - ab - B 2 .

Kesirleri azaltın (No. 407, 408):

Denklemleri çözün:

Öncelikle bazı yaygın isimlere dikkat çekelim. Yalnızca bir harf içeren polinomları, örneğin x harfini ele alalım. O zaman en basiti, iki terimin olduğu ve bunlardan birinde birinci dereceye kadar x harfini içeren, diğerinde ise hiç x harfi olmayan, örneğin 3x – 5 veya 15 – 7x veya 8z olan bir polinomdur. + 7 (burada x harfi yerine z harfi alınır), vb. Bu tür polinomlara denir doğrusal binomlar .

3x² – 5x + 7 veya x² + 2x – 1
veya 5y² + 7y + 8 veya z² – 5z – 2 vb.

Bu tür polinomlara denir kare trinomialler.

Daha sonra kübik bir dörtgen oluşturabiliriz, örneğin:

x³ + 2x² – x + 1 veya 3x³ – 5x² – 2x – 3 vb.,

dördüncü dereceden polinom, örneğin:

x 4 – 2x³ – 3x² + 4x – 5, vb.

X'teki, x²'deki, x³'teki vb. katsayıları harflerle, örneğin a, b, c vb. harflerle belirtmek mümkündür. Sonra şunu elde ederiz:

1) x'e göre doğrusal olan iki terimli ax + b'nin genel formu,

2) İkinci dereceden üç terimlinin genel formu (x'e göre): ax² + bx + c,

3) kübik üç terimlinin genel biçimi (x'e göre): ax³ + bx² + cx + d, vb.

Bu formüllerdeki a, b, c, d... harflerini farklı sayılarla değiştirerek her türlü doğrusal binom, kare trinomial vb. elde ederiz. Örneğin genel ifadeyi ifade eden ax² + bx + c formülünde İkinci dereceden bir trinomial formunda, a harfini +3 rakamıyla, b harfini –2 rakamıyla ve harfini –1 rakamıyla değiştirirsek, 3x² – 2x – 1 kare trinomialini elde ederiz. Belirli bir durumda, harflerden birini sıfırla değiştirerek bir binom elde etmek de mümkündür, örneğin a = +1, b = 0 ve c = –3 ise ikinci dereceden binom x² – 3'ü elde ederiz.

Bazı ikinci dereceden üç terimlileri oldukça hızlı bir şekilde doğrusal çarpanlara ayırmayı öğrenebilirsiniz. Ancak kendimizi yalnızca aşağıdaki koşulları sağlayan ikinci dereceden üç terimlileri dikkate almakla sınırlıyoruz:

1) Baş terimin katsayısı (x² için) +1'dir,

2) Toplamları x'in birinci kuvveti katsayısına ve çarpımları x'ten bağımsız terime eşit olacak şekilde (işaretli veya iki göreceli tam sayı) iki tam sayı bulabilirsiniz (burada x harfi yoktur) Tümü).

Örnekler. 1.x² + 5x + 6; Toplamları +5'e (x'in katsayısı) eşit olacak ve çarpımları = +6 (x'ten bağımsız terim) olacak şekilde iki sayıyı (işaretli) zihinsel olarak bulmak kolaydır - bu sayılar: +2 ve + 3 [aslında +2 + 3 = +5 ve (+2) ∙ (+3) = +6]. Bu iki sayıyı kullanarak +5x terimini iki terimle değiştiririz: +2x + 3x (tabii ki +2x + 3x = +5x); o zaman teknik terimimiz yapay olarak dört terimli x² + 2x + 3x + 6'ya dönüştürülecek. Şimdi buna gruplama tekniğini uygulayalım, ilk iki terimi bir gruba ve son ikisini diğerine atayalım:

x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).

Birinci grupta x'i parantezden, +3'ü çıkardık, yine parantezden çıkardığımız ortak çarpanı (x + 2) olan iki terim ve üç terimli x² + 5x + 6 elde ettik. 2 doğrusal faktöre ayrıştırılır: x + 2 ve x + 3.

2. x² – x – 12. Burada toplamları –1 ve çarpımları –12 olacak şekilde iki sayı (göreceli) bulmanız gerekir. Bu sayılar: –4 ve +3.

Kontrol edin: –4 + 3 = –1; (–4) (+3) = –12. Bu sayıları kullanarak –x terimini iki terimle değiştiririz: –x = –4x + 3x, – şunu elde ederiz:

x² – x – 12 = x² – 4x + 3x – 12 = x (x – 4) + 3 (x – 4) = (x – 4) (x + 3).

3. x² – 7x + 6; burada gerekli sayılar şunlardır: –6 ve –1. [Kontrol edin: –6 + (–1) = –7; (–6) (–1) = +6].

x² – 7x + 6 = x² – 6x – x + 6 = x (x – 6) – (x – 6) = (x – 6) (x – 1).

Burada ikinci grubun üyeleri -x + 6'nın önlerinde eksi işareti olacak şekilde parantez içine alınması gerekiyordu.

4. x² + 8x – 48. Burada toplamları +8 ve çarpımları –48 olacak iki sayı bulmanız gerekiyor. Çarpımın eksi işareti olması gerektiğine göre istenilen sayıların farklı işaretleri olması gerekir, sayılarımızın toplamı + işaretine sahip olduğuna göre pozitif sayının mutlak değeri daha büyük olmalıdır. 48 aritmetik sayısını iki faktöre genişlettiğimizde (ve bu farklı şekillerde yapılabilir), şunu elde ederiz: 48 = 1 ∙ 48 = 2 ∙ 24 = 3 ∙ 16 = 4 ∙ 12 = 6 ∙ 8. Bu açılımlardan bunu yapmak kolaydır. İhtiyaçlarımıza uygun olanı seçelim: 48 = 4 ∙ 12. O zaman saylarımız: +12 ve –4. Gerisi basit:

x² + 8x – 48 = x² + 12x – 4x – 48 = x (x + 12) – 4 (x + 12) = (x + 12) (x – 4).

5. x² + 7x – 12. Burada toplamları +7 ve çarpımı = –12 olacak 2 sayı bulmanız gerekiyor; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. Görünüşe göre uygun sayılar 3 ve 4 olabilir, ancak çarpımlarının –12'ye eşit olması için farklı işaretlerle alınmaları gerekir ve bu durumda toplamları hiçbir durumda +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1] olsun. Diğer çarpanlara ayırmalar da gerekli sayıları vermemektedir; Bu nedenle, tekniğimiz buna uygulanamadığı için (başlangıçta belirlenen koşullardan ikincisini karşılamadığı için) bu ikinci dereceden üç terimlileri henüz doğrusal faktörlere ayrıştıramadığımız sonucuna varıyoruz.

Bu derste ikinci dereceden üç terimlileri doğrusal çarpanlara nasıl ayıracağımızı öğreneceğiz. Bunu yapmak için Vieta teoremini ve onun tersini hatırlamamız gerekiyor. Bu beceri, ikinci dereceden üç terimlileri hızlı ve kolay bir şekilde doğrusal faktörlere genişletmemize yardımcı olacak ve aynı zamanda ifadelerden oluşan kesirlerin azaltılmasını da basitleştirecektir.

O halde ikinci dereceden denkleme geri dönelim, burada .

Sol tarafta sahip olduğumuz şeye ikinci dereceden üç terimli denir.

Teorem doğrudur:İkinci dereceden bir üç terimlinin kökleri ise, o zaman kimlik geçerlidir

Baş katsayı nerede, denklemin kökleri.

Yani, ikinci dereceden bir denklemimiz var - ikinci dereceden bir üç terimli, burada ikinci dereceden denklemin köklerine ikinci dereceden üç terimlinin kökleri de denir. Bu nedenle, eğer bir kare trinomiyalin köklerine sahipsek, o zaman bu trinomial doğrusal faktörlere ayrıştırılabilir.

Kanıt:

Bu gerçeğin ispatı önceki derslerde tartıştığımız Vieta teoremi kullanılarak gerçekleştirilmektedir.

Vieta teoreminin bize ne söylediğini hatırlayalım:

Eğer ikinci dereceden bir üç terimlinin kökleri ise , o zaman .

Bu teoremden aşağıdaki ifade çıkar:

Vieta teoremine göre yani bu değerleri yukarıdaki formülde yerine koyarak aşağıdaki ifadeyi elde ettiğimizi görüyoruz.

Q.E.D.

Bir kare trinomiyalin kökleri ise genişlemenin geçerli olduğu teoremini kanıtladığımızı hatırlayın.

Şimdi Vieta teoremini kullanarak köklerini seçtiğimiz ikinci dereceden denklem örneğini hatırlayalım. Bu gerçekten yola çıkarak kanıtlanmış teorem sayesinde aşağıdaki eşitliği elde edebiliriz:

Şimdi parantezleri açarak bu gerçeğin doğruluğunu kontrol edelim:

Doğru çarpanlara ayırdığımızı ve eğer kökleri varsa herhangi bir üç terimlinin bu teoreme göre aşağıdaki formüle göre doğrusal faktörlere bölünebileceğini görüyoruz:

Ancak herhangi bir denklem için böyle bir çarpanlara ayırmanın mümkün olup olmadığını kontrol edelim:

Örneğin denklemi ele alalım. Öncelikle diskriminant işaretini kontrol edelim

Ve öğrendiğimiz teoremin gerçekleşmesi için D'nin 0'dan büyük olması gerektiğini hatırlıyoruz, dolayısıyla bu durumda öğrendiğimiz teoreme göre çarpanlara ayırmanın imkansız olduğu ortaya çıkıyor.

Bu nedenle yeni bir teorem formüle ediyoruz: Eğer kare bir trinomiyalin kökleri yoksa, o zaman doğrusal faktörlere ayrıştırılamaz.

Böylece, Vieta teoremine, ikinci dereceden bir üç terimliyi doğrusal faktörlere ayırma olasılığına baktık ve şimdi birkaç problemi çözeceğiz.

Görev No.1

Bu grupta aslında problemi sorulanın tersini çözeceğiz. Bir denklemimiz vardı ve onu çarpanlara ayırarak köklerini bulduk. Burada tam tersini yapacağız. Diyelim ki ikinci dereceden bir denklemin köklerine sahibiz

Ters problem şudur: köklerini kullanarak ikinci dereceden bir denklem yazın.

Bu sorunu çözmenin 2 yolu var.

Denklemin kökleri olduğuna göre, kökleri sayılar verilen ikinci dereceden bir denklemdir. Şimdi parantezleri açıp kontrol edelim:

Herhangi bir ikinci dereceden denklemin en fazla iki kökü olduğundan, bu, başka kökleri olmayan, belirli köklerle ikinci dereceden bir denklem oluşturmamızın ilk yoluydu.

Bu yöntem ters Vieta teoreminin kullanılmasını içerir.

Denklemin kökleri ise şu koşulu sağlarlar:

İndirgenmiş ikinci dereceden denklem için , , yani bu durumda ve .

Böylece kökleri verilen ikinci dereceden bir denklem oluşturduk.

Görev No.2

Fraksiyonu azaltmak gerekir.

Payda bir üç terimli ve paydada bir üç terimli var ve üç terimli sayılar çarpanlara ayrılabilir veya ayrılmayabilir. Hem pay hem de payda çarpanlara ayrılırsa, aralarında azaltılabilecek eşit faktörler olabilir.

Öncelikle payı çarpanlarına ayırmanız gerekir.

Öncelikle bu denklemin çarpanlarına ayrılıp ayrılamayacağını kontrol etmeniz gerekiyor, diskriminantı bulalım. Bu örnekte işaret çarpıma bağlı olduğundan (0'dan küçük olmalıdır), yani verilen denklemin kökleri vardır.

Çözmek için Vieta teoremini kullanıyoruz:

Bu durumda köklerle uğraştığımız için basitçe kökleri seçmek oldukça zor olacaktır. Ancak katsayıların dengeli olduğunu görüyoruz, yani bunu varsayarsak ve bu değeri denklemde yerine koyarsak şu sistemi elde ederiz: yani 5-5=0. Böylece bu ikinci dereceden denklemin köklerinden birini seçtik.

Denklem sisteminde zaten bilinenleri değiştirerek ikinci kökü arayacağız, örneğin, , yani. .

Böylece, ikinci dereceden denklemin her iki kökünü de bulduk ve bunları çarpanlara ayırmak için değerlerini orijinal denklemin yerine koyabiliriz: