DEVLET EĞİTİM KURUMU

"Krivlyanskaya Ortaokulu"

ZHABİNKOVSKİ BÖLGESİ

FIBONACCI SAYILARI VE ALTIN ​​ORAN

Araştırma çalışması

Tamamlanan çalışma:

10. sınıf öğrencisi

Sadovnichik Valeria Alekseevna

Danışman:

Lavrenyuk Larisa Nikolaevna,

bilgisayar bilimleri öğretmeni ve

Matematik 1 yeterlilik

Fibonacci sayıları ve doğası

Bitkilerin yapısının ve gelişiminin karakteristik bir özelliği spiralliktir. Sadece büyük bir şair değil, aynı zamanda bir doğa bilimci olan Goethe bile sarmallığı tüm organizmaların karakteristik özelliklerinden biri, yaşamın en içteki özünün bir tezahürü olarak görüyordu. Bitkilerin dalları spiral şeklinde bükülür, ağaç gövdelerinde doku büyümesi spiral şeklinde meydana gelir, ayçiçeği içindeki tohumlar spiral şeklinde düzenlenir, köklerin ve sürgünlerin büyümesi sırasında spiral hareketler (nutasyonlar) gözlenir.

İlk bakışta yaprak ve çiçek sayısının çok geniş sınırlar içerisinde değişip her değeri alabileceği düşünülebilir. Ancak böyle bir sonucun savunulamaz olduğu ortaya çıkıyor. Araştırmalar bitkilerde aynı isimli organ sayısının rastgele olmadığını; sıklıkla bulunan değerlerin yanı sıra çok nadir bulunan değerlerin de bulunduğunu göstermiştir.

Canlı doğada, beşgen simetriye dayalı formlar yaygındır - denizyıldızı, deniz kestanesi, çiçekler.

Fotoğraf 13. düğün çiçeği

Papatyanın 55 veya 89 yaprağı vardır.

Fotoğraf 14. Papatya

Pyrethrum'un 34 yaprağı vardır.

Fotoğraf. 15. Piretrum

Bir çam kozalağına bakalım. Yüzeyindeki pullar kesinlikle düzenli olarak düzenlenmiştir - yaklaşık olarak dik açıyla kesişen iki spiral boyunca. Çam kozalaklarındaki bu tür spirallerin sayısı 8 ve 13 veya 13 ve 21'dir.

Fotoğraf 16. Koni

Ayçiçeği sepetlerinde tohumlar da iki spiral halinde düzenlenir, sayıları genellikle 34/55, 55/89'dur.

Fotoğraf 17. Ayçiçeği

Kabuklara daha yakından bakalım. İlk kabuğun rastgele alınan "sertleştirici kaburga" sayısını sayarsanız 21 olduğu ortaya çıkar. İkinci, üçüncü, beşinci, onuncu kabuğu alalım - hepsinin yüzeyinde 21 kaburga olacaktır. Görünen o ki, yumuşakçalar sadece iyi mühendisler değildi, aynı zamanda Fibonacci sayılarını da biliyorlardı.

Fotoğraf 18. Kabuk

Burada yine yakınlarda bulunan Fibonacci sayılarının doğal bir kombinasyonunu görüyoruz: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Limitteki oranları 0,61803 sayısıyla ifade edilen altın orana yakındır...

Fibonacci sayıları ve hayvanlar

Denizyıldızının ışınlarının sayısı bir dizi Fibonacci sayısına karşılık gelir veya bunlara çok yakındır ve 5.8, 13,21,34,55'e eşittir.

Fotoğraf 19. Denizyıldızı

Modern eklembacaklılar çok çeşitlidir. Istakozun ayrıca beş çift bacağı, kuyruğunda beş tüyü vardır, karnı beş parçaya bölünmüştür ve her bacak beş parçadan oluşur.

Fotoğraf. 20. Istakoz

Bazı böceklerde karın bölgesi sekiz parçadan oluşur, sekiz parçadan oluşan üç çift uzuv vardır ve ağız açıklığından sekiz farklı anten benzeri organ çıkar. Tanınmış sivrisineğimizin üç çift bacağı vardır, karnı sekiz parçaya bölünmüştür ve kafasında beş anten bulunmaktadır. Sivrisinek larvası 12 bölüme ayrılmıştır.

Fotoğraf. 21. Sivrisinek

Lahana sineğinin karnı beş parçaya bölünmüştür, üç çift bacak vardır ve larva sekiz parçaya bölünmüştür. İki kanadın her biri ince damarlarla sekiz parçaya bölünmüştür.

Pek çok böceğin tırtılları, örneğin deri böceği, mukoza böceği ve Mağribi sümükünün tırtılları 13 bölüme ayrılmıştır. Zararlı böceklerin çoğunda tırtıl 13 bölüme ayrılmıştır. Böceklerin bacaklarının yapısı çok karakteristiktir. Her bacak, daha yüksek hayvanlarda olduğu gibi üç parçadan oluşur - omuz, önkol ve pençe. Böceklerin ince, delikli bacakları beş bölüme ayrılmıştır.

Yusufçukların delikli, şeffaf, ağırlıksız kanatları, doğanın “mühendislik” ustalığının bir şaheseridir. Bu minik uçan kas düzleminin tasarımının temeli hangi oranlardır? Birçok yusufçukta kanat açıklığının vücut uzunluğuna oranı 4/3'tür. Yusufçukların vücudu iki ana bölüme ayrılmıştır: büyük bir gövde ve uzun, ince bir kuyruk. Vücudun üç kısmı vardır: baş, göğüs, karın. Karın beş bölüme ayrılmıştır ve kuyruk sekiz bölümden oluşur. Burada ayrıca üç parçaya bölünerek üç çift bacak eklemeniz gerekir.

Fotoğraf. 22. Yusufçuk

Bütünü parçalara ayırma dizisinde bir dizi Fibonacci sayısının ortaya çıkışını görmek zor değil. Yusufçuk kuyruğunun uzunluğu, gövdesi ve toplam uzunluğu birbiriyle altın oranla ilişkilidir: Kuyruk ve gövde uzunluklarının oranı, toplam uzunluğun kuyruk uzunluğuna oranına eşittir.

Yusufçukların bu kadar mükemmel görünmesi şaşırtıcı değil çünkü o, altın oran kanunlarına göre yaratılmıştır.

Çatlaklarla kaplı takyr'in arka planında bir kaplumbağanın görülmesi şaşırtıcı bir olgudur. Kabuğun ortasında büyük, kaynaşmış azgın plakaların bulunduğu geniş oval bir alan vardır ve kenarlar boyunca daha küçük plakalardan oluşan bir kenarlık vardır.

Fotoğraf. 23. Kaplumbağa

Yakınımızdaki bataklık kaplumbağasından dev deniz kaplumbağasına kadar herhangi bir kaplumbağayı alın ve kabuklarındaki desenin benzer olduğuna ikna olacaksınız: oval alanda 13 kaynaşmış azgın plaka vardır - 5'i ortada ve 8'i ortada. kenarlarda ve çevre sınırında yaklaşık 21 plaka vardır (Şili kaplumbağasının kabuğunun çevresi boyunca tam olarak 21 plaka vardır). Kaplumbağaların ayaklarında 5 parmak bulunur ve omurgaları 34 omurdan oluşur. Bu değerlerin tamamının Fibonacci sayılarına karşılık geldiğini görmek kolaydır. Sonuç olarak kaplumbağanın gelişimi, vücudunun oluşumu, bütünün parçalara ayrılması Fibonacci sayı serisi kanununa göre gerçekleştirildi.

Gezegendeki en yüksek hayvan türü memelilerdir. Birçok hayvan türünde kaburga sayısı on üçe eşit veya yakındır. Tamamen farklı memelilerde - balina, deve, geyik, yaban öküzü - kaburga sayısı 13 ± 1'dir. Omurga sayısı, özellikle aynı hayvan türünde bile farklı uzunluklarda olabilen kuyruklar nedeniyle büyük ölçüde değişir. Ancak birçoğunda omur sayısı 34 ve 55'e eşit ya da yakındır. Yani dev bir geyiğin 34, bir balinanın 55 omurları vardır.

Evcil hayvanların uzuvlarının iskeleti üç özdeş kemik bağlantısından oluşur: humerus (pelvik) kemiği, önkol kemiği (tibia) ve pençe kemiği (ayak). Ayak ise üç kemik bağlantısından oluşur.

Birçok evcil hayvandaki diş sayısı Fibonacci sayılarına eğilimlidir: Bir tavşanın 14 çift dişi vardır; bir köpek, domuz ve atın 21 ± 1 çift dişi vardır. Vahşi hayvanlarda diş sayısı daha yaygın olarak değişir: bir keseli yırtıcıda 54, sırtlanda - 34, bir yunus türünde 233'e ulaşır. Evcil hayvanların iskeletindeki toplam kemik sayısı (dişler dahil) bir grupta 230'a, diğerinde ise 300'e yakındır. İskeletteki kemik sayısının küçük işitsel kemikçikler ve dengesiz kemikçikler içermediğine dikkat edilmelidir. Bunları hesaba katarsak, birçok hayvanda toplam iskelet kemiği sayısı 233'e yakın, bazılarında ise 300'ü aşacaktır. Görüldüğü gibi, iskeletin gelişmesiyle birlikte vücudun bölünmesi, şu şekilde karakterize edilir: hayvanların çeşitli organlarındaki kemik sayısında ayrı bir değişiklik ve bu sayılar Fibonacci sayılarına karşılık gelir veya bunlara çok yakındır, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 sırasını oluşturur. Çoğu tavuk yumurtasının boyut oranı 4:3 (bazıları 3/2), kabak çekirdeği - 3:2, karpuz çekirdeği - 3/2'dir. Çam kozalaklarının uzunluğunun çapına oranı 2:1 çıktı. Huş ağacı yapraklarının boyutları ortalama olarak çok yakındır ve meşe palamudu - 5:2.

Bir çiçek çimini iki parçaya (çim ve çiçekler) bölmek gerekiyorsa, bu şeritlerin genişliğinin eşit yapılmaması gerektiğine inanılır; bunları 5: 8 veya oranında alırsanız daha güzel olur; 8:13, yani “Altın oran” olarak adlandırılan bir orantı kullanın.

Fibonacci sayıları ve fotoğrafçılığı

Altın oran, fotoğraf sanatına uygulandığında çerçeveyi iki yatay ve iki dikey çizgiyle 9 eşit olmayan dikdörtgene böler. Dengeli görüntüler yakalamayı kolaylaştırmak için fotoğrafçılar işi biraz basitleştirdiler ve çerçeveyi Fibonacci sayılarına göre 9 eşit dikdörtgene bölmeye başladılar. Böylece altın oran kuralı, kompozisyon ilkelerinden biri olan üçte birler kuralına dönüştürüldü.

Fotoğraf. 24. Çerçeve ve altın oran

Modern dijital kameraların vizörlerinde odak noktaları 2/8 konumlarında veya çerçeveyi altın orana göre bölen hayali çizgiler üzerinde bulunur.

Fotoğraf 25. Dijital kamera ve odak noktaları

Fotoğraf 26.

Fotoğraf 27. Fotoğrafçılık ve Odak Noktaları

Üçte bir kuralı tüm konu kompozisyonları için geçerlidir: ister manzara, ister portre, ister natürmort, ister röportaj çekiyor olun. Uyum duygunuz kazanılıp bilinçsiz hale gelinceye kadar, basit üçte bir kuralını takip etmek etkileyici, uyumlu ve dengeli fotoğraflar çekmenize olanak sağlayacaktır.

Fotoğraf 28. Fotoğrafçılık ve gök ile yerin 1'e 2 oranı.

Gösteri için en başarılı örnek bir manzaradır. Kompozisyon ilkesi, gökyüzü ve toprağın (veya su yüzeyinin) 1:2 oranına sahip olmasıdır. Çerçevenin üçte biri gökyüzüne, üçte ikisi karaya veya tam tersi şekilde ayrılmalıdır.

Fotoğraf 29. Spiral şeklinde bükülen bir çiçeğin fotoğrafı

Fibonacci ve uzay

Dünya gezegeninde suyun ve toprağın oranı %62 ve %38'dir.

Dünya ve Ay'ın boyutları altın orandadır.

Fotoğraf 30. Dünya ve Ay'ın Boyutları

Şekil, Dünya ve Ay'ın ölçeklendirilmiş göreli boyutlarını göstermektedir.

Dünyanın yarıçapını çizelim. Dünyanın merkez noktasından Ay'ın merkez noktasına kadar uzunluğu eşit olacak bir doğru parçası çizelim. Verilen iki doğru parçasını bir üçgen oluşturacak şekilde birleştirmek için bir doğru parçası çizelim. Altın bir üçgen elde ediyoruz.

Satürn birçok boyutunda altın oranı gösteriyor

Fotoğraf 31. Satürn ve halkaları

Yeşil çizgilerle de gösterildiği gibi Satürn'ün çapı, halkaların çapıyla birlikte altın orana çok yakındır.YarıçapHalkaların iç kısmı mavi çizgiyle gösterildiği gibi halkaların dış çapına çok yakın bir orandadır.

Gezegenlerin Güneş'e olan uzaklıkları da altın orana uymaktadır.

Fotoğraf 32. Gezegenlerin Güneş'e uzaklığı

Günlük hayatta altın oran

Altın Oran aynı zamanda günlük tüketici ürünlerinin pazarlanmasında ve tasarımında stil ve çekicilik kazandırmak için de kullanılıyor. Pek çok örnek var ama biz sadece birkaçını açıklayacağız.

Fotoğraf 33. Amblemtoyota

Fotoğraf 34. Altın oran ve giyim

Fotoğraf 34. Altın Oran ve Otomotiv Tasarımı

Fotoğraf 35. AmblemElma

Fotoğraf 36. AmblemGoogle

Vaka çalışmaları

Şimdi edinilen bilgiyi pratikte uygulayacağız. Öncelikle 8.sınıf öğrencileri arasında ölçümler yapalım.

Bir televizyon resmine yakından baktığınızda boyutları 16'ya 9 veya 16'ya 10 olacaktır ki bu da altın orana yakındır.

Ölçüm ve inşaatların yapılması CorelDRAW X4 ve Russia 24 haber kanalından bir çerçeve kullanarak aşağıdakileri bulabilirsiniz:

a) Çerçevenin uzunluğunun genişliğine oranı 1,7'dir.

b) çerçevedeki kişi tam olarak 3/8 mesafede bulunan odak noktalarında yer almaktadır.

Şimdi İzvestia gazetesinin resmi mikrobloguna yani Twitter sayfasına dönelim. Kenarları 4:3 olan bir monitör ekranı için sayfanın “header”ının sayfanın tüm yüksekliğinin 3/8'i kadar olduğunu görüyoruz.

Askeri şapkalara yakından baktığınızda aşağıdakileri bulabilirsiniz:

a) Rusya Federasyonu Savunma Bakanı'nın başlığı, belirtilen kısımların 21,73 ila 15,52, 1,4'e eşit bir oranına sahiptir.

b) Belarus Cumhuriyeti sınır muhafızının başlığı, 2.1'e eşit olan 44.42 ila 21.33 arasında belirtilen parçaların boyutlarına sahiptir.

c) SSCB zamanlarından kalma başlık, 1.6'ya eşit olan 49.67 ila 31.04 arasında belirtilen parçaların boyutlarına sahiptir.

Bu model için elbise uzunluğu 113,13 mm'dir.

Elbiseyi “ideal” uzunlukta “bitirirsek” böyle bir resim elde ederiz.

Tüm ölçümlerde bazı hatalar var, çünkü bunlar trendin görülmesini engellemeyen fotoğraflardan yapıldı - ideal olan her şey bir dereceye kadar altın oranı içeriyor.

Çözüm

Canlı doğanın dünyası bize tamamen farklı görünüyor - hareketli, değişken ve şaşırtıcı derecede çeşitli. Hayat bize çeşitliliğin ve yaratıcı kombinasyonların benzersizliğinin muhteşem bir karnavalını gösteriyor! Cansız doğanın dünyası, her şeyden önce, yaratımlarına istikrar ve güzellik veren bir simetri dünyasıdır. Doğal dünya, her şeyden önce “altın oran yasasının” işlediği bir uyum dünyasıdır.

““Altın oran”, genel olarak onsuz hiçbir şeyin var olamayacağı o hakikat anı gibi görünüyor. Hangisini araştırma unsuru olarak ele alırsak alalım, “altın oran” her yerde olacaktır; gözle görülür bir gözlem olmasa bile, o zaman kesinlikle enerjik, moleküler veya hücresel seviyelerde gerçekleşir.

Gerçekten de doğanın, temel yasalarının tezahüründe monoton (ve dolayısıyla birleşik!) olduğu ortaya çıkıyor. Bulduğu "en başarılı" çözümler çok çeşitli nesnelere ve çok çeşitli organizasyon biçimlerine uygulanıyor. Organizasyonun sürekliliği ve ayrıklığı, maddenin ikili birliğinden gelir - parçacık ve dalga doğası, kimyaya nüfuz eder, burada tamsayı stokiyometri yasalarını, sabit ve değişken bileşimdeki kimyasal bileşikleri verir. Botanikte süreklilik ve ayrıklık kendi özel ifadelerini filotaksis, ayrıklığın kuantumu, büyüme kuantası, ayrıklığın birliği ve uzay-zaman organizasyonunun sürekliliğinde bulur. Ve şimdi, bitki organlarının sayısal oranlarında, A. Gursky'nin ortaya koyduğu "katlı oranlar ilkesi" ortaya çıkıyor - kimyanın temel yasasının tam bir tekrarı.

Elbette tüm bu olayların Fibonacci dizisine dayandığı ifadesi kulağa çok abartılı gelse de eğilim ortadadır. Üstelik kendisi de bu dünyadaki her şey gibi mükemmel olmaktan uzak.

Fibonacci serisinin doğası gereği daha temel ve mükemmel bir altın oran logaritmik dizisine uyum sağlama çabası olduğu varsayımı var, ki bu neredeyse aynı, ancak hiçbir yerden başlayıp hiçbir yere gitmiyor. Doğanın kesinlikle başlayabileceği bir tür bütünsel başlangıca ihtiyacı vardır; yoktan bir şey yaratamaz. Fibonacci dizisinin ilk terimlerinin oranları Altın Oran'dan uzaktır. Ancak bu yolda ne kadar ileri gidersek, bu sapmalar da o kadar düzelir. Herhangi bir seriyi tanımlamak için arka arkaya gelen üç terimini bilmek yeterlidir. Ama altın dizi için değil, iki tane yeterli, aynı anda geometrik ve aritmetik bir ilerleme. Bunun diğer tüm dizilerin temeli olduğu düşünülebilir.

Altın logaritmik dizinin her terimi Altın Oranın () bir kuvvetidir. Serinin bir kısmı şuna benziyor:... ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ... Altın Oranın değerini üç ondalık basamağa yuvarlarsak, şunu elde ederiz:=1,618 , o zaman seri şöyle görünür:... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Her bir sonraki terim yalnızca bir öncekiyle çarpılarak elde edilemez.1,618 , ama aynı zamanda önceki ikisini de ekleyerek. Böylece üstel büyüme, yalnızca iki bitişik öğenin eklenmesiyle elde edilir. Bu, başı ve sonu olmayan bir seridir ve Fibonacci dizisi de böyle olmaya çalışmaktadır. Çok kesin bir başlangıca sahip olduğundan ideal için çabalar, asla ona ulaşamaz. Hayat bu.

Yine de gördüğümüz ve okuduğumuz her şeyle bağlantılı olarak oldukça mantıklı sorular ortaya çıkıyor:
Bu rakamlar nereden geldi? Evreni ideal hale getirmeye çalışan bu mimar kimdir? Her şey istediği gibi oldu mu? Ve eğer öyleyse, neden yanlış gitti? Mutasyonlar mı? Özgür seçim mi? Bundan sonra ne olacak? Spiral kıvrılıyor mu yoksa çözülüyor mu?

Bir sorunun cevabını bulduktan sonra bir sonraki soruyu alacaksınız. Eğer çözerseniz, iki yenisini alacaksınız. Onlarla ilgilendikten sonra üç tane daha ortaya çıkacak. Onları da çözdükten sonra, çözülmemiş beş tane olacak. Sonra sekiz, sonra on üç, 21, 34, 55...

Kullanılan kaynakların listesi

Vasyutinsky, N. Altın oran / Vasyutinsky N, Moskova, Genç Muhafız, 1990, - 238 s. - (Eureka).

Vorobyov, N.N. Fibonacci sayıları,

Erişim modu: . Erişim tarihi: 11/17/2015.

Erişim modu: . Erişim tarihi: 11/16/2015.

Erişim modu: . Erişim tarihi: 13.11.2015.

Evrende hala çözülmemiş birçok gizem var ve bunlardan bazıları bilim adamlarının halihazırda tanımlayıp tanımlayabildiği bir şey. Fibonacci sayıları ve altın oran, etrafımızdaki dünyayı çözmenin, onun formunu ve bir kişinin en uygun görsel algısını oluşturmanın, onun yardımıyla güzelliği ve uyumu hissedebilmesinin temelini oluşturur.

Altın oran

Altın oranın boyutlarının belirlenmesi ilkesi, tüm dünyanın ve parçalarının yapı ve fonksiyonlarındaki mükemmelliğinin temelini oluşturur, bunun tezahürü doğada, sanatta ve teknolojide görülebilir. Altın oran doktrini, eski bilim adamlarının sayıların doğası üzerine yaptığı araştırmalar sonucunda kuruldu.

Antik filozof ve matematikçi Pisagor tarafından yapılan oranlar ve segment bölümlerinin oranları teorisine dayanmaktadır. Bir parçayı X (daha küçük) ve Y (daha büyük) olmak üzere iki parçaya böldüğümüzde, büyük olanın küçüğe oranının toplamlarının (bölümün tamamı) oranına eşit olacağını kanıtladı:

Sonuç bir denklemdir: x 2 - x - 1=0,şu şekilde çözüldü: x=(1±√5)/2.

1/x oranını dikkate alırsak, o zaman eşittir 1,618…

Altın oranın eski düşünürler tarafından kullanıldığına dair kanıtlar, Öklid'in 3. yüzyılda yazdığı "Elementler" kitabında verilmektedir. Bu kuralı düzgün beşgenler oluşturmak için uygulayan M.Ö. Pisagorcular arasında bu figür hem simetrik hem de asimetrik olduğundan kutsal kabul edilir. Pentagram yaşamı ve sağlığı simgeliyordu.

Fibonacci sayıları

Daha sonra Fibonacci olarak anılacak olan İtalyan matematikçi Pisalı Leonardo'nun ünlü kitabı Liber abaci 1202'de yayımlandı. Bu kitapta bilim adamı ilk kez her sayının toplamı olan bir dizi sayı modelinden bahsediyor. 2 önceki rakam. Fibonacci sayı dizisi şu şekildedir:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 vb.

Bilim adamı ayrıca bir takım kalıplardan da bahsetti:

• Serideki herhangi bir sayının bir sonraki sayıya bölünmesi, 0,618'e yaklaşan bir değere eşit olacaktır. Üstelik ilk Fibonacci sayıları böyle bir sayı vermese de dizinin başından itibaren ilerledikçe bu oran daha da doğru hale gelecektir.
• Serideki sayıyı bir önceki sayıya bölerseniz sonuç 1.618'e çıkacaktır.
• Bir sayının diğerine bire bölünmesi, 0,382'ye yaklaşan bir değer gösterecektir.

Altın oranın bağlantı ve kalıplarının uygulamasına, Fibonacci sayısı (0,618) sadece matematikte değil, doğa, tarih, mimarlık ve inşaat ve daha birçok bilim dalında da rastlanmaktadır.

Arşimet spirali ve altın dikdörtgen

Doğada çok yaygın olan spiraller, denklemini bile türeten Arşimet tarafından incelenmiştir. Spiralin şekli altın oran kanunlarına dayanmaktadır. Çözülürken oranların ve Fibonacci sayılarının uygulanabileceği bir uzunluk elde edilir; adım eşit şekilde artar.

Fibonacci sayıları ile altın oran arasındaki paralellik, kenarları orantılı 1.618:1 olan bir “altın dikdörtgen” oluşturularak görülebilir. Kenar uzunlukları serideki sayılara eşit olacak şekilde daha büyük bir dikdörtgenden daha küçük dikdörtgenlere geçilerek yapılır. Ayrıca “1” karesinden başlayarak ters sırada da yapılabilir. Bu dikdörtgenin köşeleri kesişme noktalarındaki çizgilerle birleştirildiğinde bir Fibonacci veya logaritmik spiral elde edilir.

Altın oranların kullanımının tarihi

Mısır'ın birçok antik mimari anıtı altın oranlar kullanılarak inşa edilmiştir: ünlü Keops piramitleri vb. Antik Yunan mimarları bunları tapınaklar, amfitiyatrolar ve stadyumlar gibi mimari nesnelerin yapımında yaygın olarak kullandılar. Örneğin, bu tür oranlar, antik Parthenon tapınağının (Atina) ve antik mimarinin başyapıtları haline gelen diğer nesnelerin yapımında kullanılmış ve matematiksel kalıplara dayalı uyumu göstermektedir.

Daha sonraki yüzyıllarda altın orana olan ilgi azaldı ve kalıplar unutuldu, ancak Rönesans'ta Fransisken keşiş L. Pacioli di Borgo'nun "İlahi Oran" (1509) kitabıyla yeniden yeniden başladı. İçinde "altın oran" adını veren Leonardo da Vinci'nin çizimleri yer alıyordu. Altın oranın 12 özelliği bilimsel olarak da kanıtlanmış olup, doğada, sanatta nasıl kendini gösterdiğinden söz eden yazar, buna “dünyayı ve doğayı inşa etmenin ilkesi” adını vermiştir.

Vitruvius Adamı Leonardo

Leonardo da Vinci'nin 1492 yılında Vitruvius'un kitabını resimlemek için kullandığı çizimde, kolları yanlara açılmış 2 pozisyonda bir insan figürü tasvir ediliyor. Şekil bir daire ve bir karenin içine yazılmıştır. Bu çizim, Leonardo tarafından Romalı mimar Vitruvius'un incelemelerinde incelenerek açıklanan insan vücudunun (erkek) kanonik oranları olarak kabul edilir.

Kolların ve bacakların uçlarından eşit uzaklıkta bir nokta olarak vücudun merkezi göbektir, kolların uzunluğu kişinin boyuna eşittir, omuzların maksimum genişliği = yüksekliğin 1/8'i, göğsün üst kısmından saçlara kadar olan mesafe = 1/7, göğsün üst kısmından başın tepesine kadar = 1/6 vb.

O zamandan beri çizim, insan vücudunun iç simetrisini gösteren bir sembol olarak kullanıldı.

Leonardo, insan figüründeki orantısal ilişkileri belirtmek için “Altın Oran” terimini kullanmıştır. Örneğin, belden ayaklara olan mesafe, göbekten başın tepesine kadar olan mesafeyle aynı şekilde, yüksekliğin ilk uzunluğa (belden aşağısı) oranıyla aynı şekilde ilişkilidir. Bu hesaplama, altın oran hesaplanırken segment oranına benzer şekilde yapılır ve 1.618'e yönelir.

Tüm bu uyumlu oranlar sanatçılar tarafından sıklıkla güzel ve etkileyici eserler yaratmak için kullanılıyor.

16. ve 19. yüzyıllarda altın oran araştırması

Altın oran ve Fibonacci sayıları kullanılarak orantı konusu üzerine araştırmalar yüzyıllardır devam etmektedir. Leonardo da Vinci'ye paralel olarak Alman sanatçı Albrecht Dürer de insan vücudunun doğru oranları teorisini geliştirmeye çalıştı. Bu amaçla özel bir pusula bile yarattı.

16. yüzyılda Fibonacci sayısı ile altın oran arasındaki bağlantı sorunu, bu kuralları ilk kez botaniğe uygulayan gökbilimci I. Kepler'in çalışmasına adanmıştır.

19. yüzyılda altın oranı yeni bir “keşif” bekliyordu. Alman bilim adamı Profesör Zeisig'in “Estetik Araştırması”nın yayınlanmasıyla. Bu oranları mutlak değerlere yükseltti ve bunların tüm doğa olayları için evrensel olduğunu ilan etti. Vücudun çeşitli bölümlerinin oranlarındaki istatistiksel olarak doğrulanmış kalıplar hakkında sonuçların çıkarıldığı sonuçlara dayanarak çok sayıda insan veya daha doğrusu vücut oranları (yaklaşık 2 bin) üzerinde çalışmalar yaptı: omuzların uzunluğu, ön kollar, eller, parmaklar vb.

Şiir yazarken sanat nesneleri (vazolar, mimari yapılar), müzik tonları ve boyutları da incelendi. Zeisig tüm bunları parçaların ve sayıların uzunlukları aracılığıyla sergiledi ve ayrıca "matematiksel estetik" terimini de tanıttı. Sonuçlar alındıktan sonra Fibonacci serisinin elde edildiği ortaya çıktı.

Fibonacci sayısı ve doğadaki altın oran

Bitki ve hayvanlar aleminde büyüme ve hareket yönünde gözlenen simetri biçimindeki morfolojiye doğru bir eğilim vardır. Altın oranların gözlendiği simetrik parçalara bölünme - bu desen birçok bitki ve hayvanın doğasında vardır.

Çevremizdeki doğa Fibonacci sayıları kullanılarak açıklanabilir, örneğin:

• herhangi bir bitkinin yapraklarının veya dallarının konumu ve mesafeleri, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 vb. verilen bir dizi sayıya karşılık gelir;
• farklı yönlerde bükülmüş spiraller boyunca iki sıra halinde düzenlenmiş ayçiçeği tohumları (koniler üzerindeki pullar, ananas hücreleri);
• kuyruk uzunluğunun kertenkelenin tüm gövdesine oranı;
• geniş kısmından bir çizgi çekerseniz yumurtanın şekli;
• Bir kişinin elindeki parmak boyutlarının oranı.

Ve elbette en ilginç şekiller arasında sarmal salyangoz kabukları, örümcek ağlarındaki desenler, kasırganın içindeki rüzgarın hareketi, DNA'daki çift sarmal ve galaksilerin yapısı yer alıyor; bunların hepsi Fibonacci dizisini içeriyor.

Altın oranın sanatta kullanımı

Altın oranın sanatta kullanımına ilişkin örnekler arayan araştırmacılar, çeşitli mimari objeleri ve sanat eserlerini detaylı bir şekilde inceliyor. Yaratıcıları altın oranlara bağlı kalan ünlü heykel eserleri var - Olympian Zeus heykelleri, Apollo Belvedere ve

Leonardo da Vinci'nin eserlerinden biri olan "Mona Lisa'nın Portresi" uzun yıllardır bilim adamlarının araştırma konusu olmuştur. Eserin kompozisyonunun tamamen düzenli bir beşgen-yıldız şeklinde bir araya getirilen "altın üçgenlerden" oluştuğunu keşfettiler. Da Vinci'nin tüm çalışmaları, Mona Lisa'nın inanılmaz derecede gizemli gülümsemesini yakalayabildiği için insan vücudunun yapısı ve oranları hakkındaki bilgisinin ne kadar derin olduğunun kanıtıdır.

Mimaride altın oran

Örnek olarak, bilim adamları “altın oran” kurallarına göre oluşturulan mimari şaheserleri incelediler: Mısır piramitleri, Pantheon, Parthenon, Notre Dame de Paris Katedrali, Aziz Basil Katedrali vb.

Antik Yunan'ın (MÖ 5. yüzyıl) en güzel yapılarından biri olan Parthenon'un 8 sütunu ve farklı kenarlarında 17 sütunu vardır, yüksekliğinin kenar uzunluklarına oranı 0,618'dir. Cephelerindeki çıkıntılar “altın orana” göre yapılmıştır (aşağıdaki fotoğraf).

Mimari nesneler için modüler oranlar sisteminde ("modülör" olarak adlandırılan) bir iyileştirme geliştiren ve başarıyla uygulayan bilim adamlarından biri, Fransız mimar Le Corbusier'di. Modülatör, insan vücudunun bölümlerine koşullu bölünmeyle ilişkili bir ölçüm sistemine dayanmaktadır.

Moskova'da birçok konut binasının yanı sıra Kremlin'deki Senato binasını ve Golitsyn hastanesini (şu anda N. I. Pirogov'un adını taşıyan 1. Klinik) inşa eden Rus mimar M. Kazakov, tasarım ve tasarımda yasaları kullanan mimarlardan biriydi. Altın oran ile ilgili yapı.

Tasarımda orantıların uygulanması

Giyim tasarımında tüm moda tasarımcıları, doğası gereği tüm insanlar ideal oranlara sahip olmasa da, insan vücudunun oranlarını ve altın oran kurallarını dikkate alarak yeni görseller ve modeller oluşturur.

Peyzaj tasarımı planlanırken ve bitkiler (ağaçlar ve çalılar), çeşmeler ve küçük mimari objeler yardımıyla üç boyutlu park kompozisyonları oluşturulurken “ilahi oranlar” yasaları da uygulanabilir. Sonuçta parkın kompozisyonu, ziyaretçi üzerinde özgürce gezinebilecek ve kompozisyon merkezini bulabilecek bir izlenim yaratmaya odaklanmalıdır.

Parkın tüm unsurları geometrik yapısı, göreceli konumu, aydınlatması ve ışığıyla insana uyum ve mükemmellik izlenimi verecek oranlardadır.

Altın oranın sibernetik ve teknolojide uygulanması

Altın bölüm yasaları ve Fibonacci sayıları enerji geçişlerinde, kimyasal bileşikleri oluşturan temel parçacıklarla meydana gelen süreçlerde, uzay sistemlerinde ve DNA'nın genetik yapısında da ortaya çıkar.

İnsan vücudunda da benzer süreçler meydana gelir ve yaşamının bioritimlerinde, örneğin beyin veya görme gibi organların hareketlerinde kendini gösterir.

Altın oranların algoritmaları ve kalıpları modern sibernetik ve bilgisayar bilimlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Acemi programcılara çözmeleri için verilen basit görevlerden biri, programlama dillerini kullanarak bir formül yazmak ve belirli bir sayıya kadar Fibonacci sayılarının toplamını belirlemektir.

Altın oran teorisine yönelik modern araştırmalar

20. yüzyılın ortalarından bu yana, altın oranlar yasalarının insan yaşamı üzerindeki sorunlarına ve etkisine olan ilgi, çeşitli mesleklerden birçok bilim insanının keskin bir şekilde artıyor: matematikçiler, etnik araştırmacılar, biyologlar, filozoflar, sağlık çalışanları, ekonomistler, müzisyenler , vesaire.

ABD'de 1970'li yıllardan itibaren bu konuyla ilgili çalışmaların yayınlandığı The Fibonacci Quarterly dergisi yayınlanmaya başladı. Altın oranın genelleştirilmiş kurallarının ve Fibonacci serisinin çeşitli bilim alanlarında kullanıldığı çalışmalar basında yer almaktadır. Örneğin bilgi kodlama, kimyasal araştırma, biyolojik araştırma vb. için.

Bütün bunlar, eski ve modern bilim adamlarının, altın oranın bilimin temel meseleleriyle çok taraflı olarak ilişkili olduğu ve çevremizdeki dünyanın birçok yaratımının ve olgusunun simetrisinde ortaya çıktığı yönündeki sonuçlarını doğrulamaktadır.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Fibonacci sayıları ve altın oranÇevredeki dünyayı anlamanın, onun formunu oluşturmanın ve bir kişinin güzelliği ve uyumu hissedebileceği en uygun görsel algının temelini oluşturur.

Altın oranın boyutlarının belirlenmesi ilkesi, tüm dünyanın ve parçalarının yapı ve fonksiyonlarındaki mükemmelliğinin temelini oluşturur, bunun tezahürü doğada, sanatta ve teknolojide görülebilir. Altın oran doktrini, eski bilim adamlarının sayıların doğası üzerine yaptığı araştırmalar sonucunda kuruldu.

Altın oranın eski düşünürler tarafından kullanıldığına dair kanıtlar, Öklid'in 3. yüzyılda yazdığı "Elementler" kitabında verilmektedir. Bu kuralı düzgün beşgenler oluşturmak için uygulayan M.Ö. Pisagorcular arasında bu figür hem simetrik hem de asimetrik olduğundan kutsal kabul edilir. Pentagram yaşamı ve sağlığı simgeliyordu.

Fibonacci sayıları

Daha sonra Fibonacci olarak anılacak olan İtalyan matematikçi Pisalı Leonardo'nun ünlü kitabı Liber abaci 1202'de yayımlandı. Bu kitapta bilim adamı ilk kez her sayının toplamı olan bir dizi sayı modelinden bahsediyor. 2 önceki rakam. Fibonacci sayı dizisi şu şekildedir:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 vb.

Bilim adamı ayrıca bir takım kalıplardan da bahsetti:

Serideki herhangi bir sayının bir sonraki sayıya bölünmesi, 0,618'e yaklaşan bir değere eşit olacaktır. Üstelik ilk Fibonacci sayıları böyle bir sayı vermese de dizinin başından itibaren ilerledikçe bu oran daha da doğru hale gelecektir.

Serideki sayıyı bir önceki sayıya bölerseniz sonuç 1.618'e çıkacaktır.

Bir sayının diğerine bire bölünmesi, 0,382'ye yaklaşan bir değer gösterecektir.

Altın oranın bağlantı ve kalıplarının uygulamasına, Fibonacci sayısı (0,618) sadece matematikte değil, doğa, tarih, mimarlık ve inşaat ve daha birçok bilim dalında da rastlanmaktadır.

Pratik amaçlar için bunlar yaklaşık Φ = 1,618 veya Φ = 1,62 değeriyle sınırlıdır. Yuvarlatılmış yüzde değerinde altın oran, herhangi bir değerin %62 ve %38 oranlarına bölünmesidir.

Tarihsel olarak, altın bölüme başlangıçta AB parçasının C noktasına göre iki parçaya (daha küçük AC parçası ve daha büyük BC parçası) bölünmesi deniyordu, böylece AC/BC = BC/AB parçalarının uzunlukları doğruydu. Basit bir ifadeyle altın oran, bir parçayı eşit olmayan iki parçaya böler; böylece büyük parça parçanın tamamıyla ilişkili olduğu gibi, küçük parça da büyük parçayla ilişkilendirilir. Daha sonra bu kavram keyfi miktarlara genişletildi.

Φ sayısına aynı zamanda denir altın sayı.

Altın oranın pek çok harika özelliği vardır, ancak buna ek olarak ona birçok hayali özellik de atfedilmektedir.

Şimdi ayrıntılar:

GS'nin tanımı, bir segmentin, toplamının (tüm segment) daha büyük olana eşit olması nedeniyle, daha büyük kısmın daha küçük olanla ilişkili olduğu bir oranda iki parçaya bölünmesidir.

Yani, c segmentinin tamamını 1 olarak alırsak, a segmenti 0,618'e, b segmenti - 0,382'ye eşit olacaktır. Böylece, örneğin 3S prensibine göre inşa edilmiş bir tapınak gibi bir binayı ele alırsak, o zaman yüksekliği, örneğin 10 metre ile, kubbeli tamburun yüksekliği 3,82 cm, taban yüksekliği ise 3,82 cm olacaktır. yapı 6,18 cm olacaktır (sayıların netlik açısından düz alındığı açıktır)

ZS ve Fibonacci sayıları arasındaki bağlantı nedir?

Fibonacci dizi numaraları:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Sayıların düzeni, sonraki her sayının önceki iki sayının toplamına eşit olmasıdır.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 vb.

ve komşu sayıların oranı ZS oranına yaklaşmaktadır.
Yani 21:34 = 0,617 ve 34:55 = 0,618.

Yani GS, Fibonacci dizisinin sayılarına dayanmaktadır.

“Altın Oran” kavramının, “Matematikçi olmayan kimse eserlerimi okumaya cesaret etmesin” diyen ve ünlü “Vitruvius Adamı” çiziminde insan vücudunun oranlarını gösteren Leonardo Da Vinci tarafından ortaya atıldığı düşünülmektedir. ”. “Evrenin en mükemmel eseri olan insan figürünü bir kemerle bağlarsak ve ardından kemerden ayaklara kadar olan mesafeyi ölçersek, bu değer aynı kemerden başın tepesine kadar olan mesafeyle ilgili olacaktır. tıpkı bir kişinin tüm boyunun belden ayağa kadar olan uzunlukla ilişkili olması gibi.”

Fibonacci sayı serisi görsel olarak spiral şeklinde modellenmiştir (gerçekleştirilmiştir).

Ve doğada GS spirali şöyle görünür:

Aynı zamanda spiral her yerde gözlemlenir (sadece doğada değil):

Bitkilerin çoğunda tohumlar spiral şeklinde düzenlenmiştir.
- Örümcek spiral şeklinde bir ağ örüyor
- Bir kasırga sarmal gibi dönüyor
- Korkmuş bir ren geyiği sürüsü sarmal şeklinde dağılıyor.
- DNA molekülü çift sarmal şeklinde bükülmüştür. DNA molekülü, 34 angstrom uzunluğunda ve 21 angstrom genişliğinde, dikey olarak iç içe geçmiş iki sarmaldan oluşur. Fibonacci dizisinde 21 ve 34 sayıları birbirini takip etmektedir.
- Embriyo spiral şeklinde gelişir
- İç kulakta koklear spiral
- Su kanalizasyona spiral şeklinde akıyor
- Sarmal dinamikler, kişinin kişiliğinin ve değerlerinin gelişimini bir sarmal içerisinde gösterir.
- Ve tabii ki Galaksinin kendisi de spiral şeklindedir

Dolayısıyla doğanın kendisinin de Altın Oran prensibine göre inşa edildiği, dolayısıyla bu oranın insan gözüyle daha uyumlu algılandığı ileri sürülebilir. Ortaya çıkan dünya resmine “düzeltme” veya ekleme gerektirmez.

Film. Allah'ın numarası. Tanrı'nın reddedilemez kanıtı; Tanrı'nın sayısı. Tanrının tartışılmaz kanıtı.

DNA molekülünün yapısında altın oranlar

Canlıların fizyolojik özelliklerine ilişkin tüm bilgiler, yapısında altın oran kanununu da barındıran mikroskobik bir DNA molekülünde depolanır. DNA molekülü dikey olarak iç içe geçmiş iki sarmaldan oluşur. Bu spirallerin her birinin uzunluğu 34 angstrom, genişliği ise 21 angstromdur. (1 angstrom santimetrenin yüz milyonda biridir).

21 ve 34 Fibonacci sayıları dizisinde birbirini takip eden sayılardır yani DNA molekülünün logaritmik spiralinin uzunluk ve genişlik oranı 1:1.618 altın oranın formülünü taşır.

Mikrokozmosların yapısında altın oran

Geometrik şekiller sadece üçgen, kare, beşgen veya altıgenle sınırlı değildir. Bu şekilleri birbirine farklı şekillerde bağlarsak yeni üç boyutlu geometrik şekiller elde ederiz. Buna örnek olarak küp veya piramit gibi şekiller verilebilir. Ancak bunların yanında günlük hayatta karşılaşmadığımız, isimlerini belki de ilk kez duyduğumuz üç boyutlu figürler de var. Bu tür üç boyutlu şekiller arasında tetrahedron (normal dört taraflı şekil), oktahedron, dodecahedron, icosahedron vb. yer alır. Dodekahedron 13 beşgenden, ikosahedron ise 20 üçgenden oluşur. Matematikçiler bu rakamların matematiksel olarak çok kolay dönüştürüldüğünü ve dönüşümlerinin altın oranın logaritmik spiral formülüne göre gerçekleştiğini belirtiyorlar.

Mikrokozmosta altın oranlara göre inşa edilmiş üç boyutlu logaritmik formlar her yerde mevcuttur. Örneğin birçok virüs, bir ikosahedronun üç boyutlu geometrik şekline sahiptir. Bu virüslerin belki de en ünlüsü Adeno virüsüdür. Adeno virüsünün protein kabuğu, belirli bir sırayla düzenlenmiş 252 birim protein hücresinden oluşur. İkosahedronun her köşesinde beşgen prizma şeklinde 12 adet protein hücresi bulunur ve bu köşelerden sivri uçlu yapılar uzanır.

Virüslerin yapısındaki altın oran ilk kez 1950'li yıllarda keşfedildi. Birkbeck College London'dan bilim adamları A. Klug ve D. Kaspar. 13 Polyo virüsü logaritmik bir form sergileyen ilk virüstü. Bu virüsün formunun Rhino 14 virüsünün formuna benzer olduğu ortaya çıktı.

Şu soru ortaya çıkıyor: Virüsler, yapısı altın oranı içeren, insan aklıyla bile oluşturulması oldukça zor olan bu kadar karmaşık üç boyutlu şekilleri nasıl oluşturuyor? Bu virüs türlerini keşfeden virolog A. Klug şu yorumu yapıyor:

"Dr. Kaspar ve ben, virüsün küresel kabuğu için en uygun şeklin ikosahedron şekli gibi simetri olduğunu gösterdik. Bu düzen bağlantı elemanlarının sayısını en aza indirir... Buckminster Fuller'ın jeodezik yarım küre küplerinin çoğu benzer bir geometrik prensip üzerine inşa edilmiştir. 14 Bu tür küplerin kurulumu son derece doğru ve ayrıntılı bir açıklayıcı şema gerektirir. Oysa bilinçsiz virüsler elastik, esnek protein hücresel birimlerden böylesine karmaşık bir kabuk oluştururlar.”

Matematiğin “tüm bilimlerin kraliçesi” olarak adlandırıldığını hiç duydunuz mu? Bu ifadeye katılıyor musunuz? Matematik sizin için bir ders kitabındaki sıkıcı problemler dizisi olarak kaldığı sürece, bu bilimin güzelliğini, çok yönlülüğünü ve hatta mizahını neredeyse hiç deneyimleyemezsiniz.

Ancak matematikte ortak olan şeyler ve olaylar hakkında ilginç gözlemler yapmaya yardımcı olan konular vardır. Ve hatta Evrenimizin yaratılışının gizem perdesini aşmaya çalışın. Dünyada matematik kullanılarak tanımlanabilecek ilginç modeller var.

Fibonacci sayılarına giriş

Fibonacci sayıları Sayı dizisinin elemanlarını adlandırın. İçinde, bir serideki her bir sonraki sayı, önceki iki sayının toplanmasıyla elde edilir.

Örnek dizi: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Bir dizi Fibonacci sayısını negatif değerlerle başlatabilirsiniz N. Üstelik bu durumda dizi iki yönlüdür (yani negatif ve pozitif sayıları kapsar) ve her iki yönde de sonsuza eğilimlidir.

Böyle bir diziye örnek: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Bu durumda formül şöyle görünür:

F n = F n+1 - F n+2 ya da şunu yapabilirsiniz: F -n = (-1) n+1 Fn.

Şu anda "Fibonacci sayıları" olarak bildiğimiz şey, Avrupa'da kullanılmaya başlamadan çok önce eski Hint matematikçiler tarafından biliniyordu. Ve bu isim genellikle sürekli bir tarihi anekdottur. Fibonacci'nin yaşamı boyunca kendisine asla Fibonacci adını vermediği gerçeğiyle başlayalım - bu isim Pisa Leonardo'ya ölümünden yalnızca birkaç yüzyıl sonra uygulanmaya başlandı. Ama her şeyi sırayla konuşalım.

Pisalı Leonardo, diğer adıyla Fibonacci

Matematikçi olan ve daha sonra gelecek nesiller tarafından Orta Çağ'da Avrupa'nın ilk büyük matematikçisi olarak tanınan bir tüccarın oğlu. En azından Fibonacci sayıları sayesinde (ki bunların henüz bu şekilde adlandırılmadığını hatırlayalım). 13. yüzyılın başında “Liber abaci” (“Abaküs Kitabı”, 1202) adlı eserinde tanımladığı.

Babamla birlikte Doğu'ya seyahat ettim, Leonardo Arap öğretmenlerle matematik okudu (ve o günlerde onlar bu konuda ve diğer birçok bilimde en iyi uzmanlar arasındaydı). Antik Çağ ve Antik Hindistan matematikçilerinin Arapça tercümelerini okudu.

Okuduğu her şeyi derinlemesine anlayan ve kendi araştırmacı zekasını kullanan Fibonacci, yukarıda adı geçen “Abaküs Kitabı” da dahil olmak üzere matematik üzerine birçok bilimsel eser yazdı. Buna ek olarak şunu da oluşturdum:

• "Practica geometriae" ("Geometri Pratiği", 1220);
• "Flos" ("Çiçek", 1225 - kübik denklemler üzerine bir çalışma);
• "Liber quadratorum" ("Kareler Kitabı", 1225 - belirsiz ikinci dereceden denklemlerle ilgili problemler).

Matematik turnuvalarının büyük bir hayranıydı, bu nedenle incelemelerinde çeşitli matematik problemlerinin analizine büyük önem verdi.

Leonardo'nun hayatı hakkında çok az biyografik bilgi kaldı. Matematik tarihine girdiği Fibonacci ismine gelince, bu isim ona ancak 19. yüzyılda verildi.

Fibonacci ve sorunları

Fibonacci'den sonra, sonraki yüzyıllarda matematikçiler arasında çok popüler olan çok sayıda problem kaldı. Fibonacci sayıları kullanılarak çözülen tavşan problemine bakacağız.

Tavşanlar sadece değerli kürkler değildir

Fibonacci şu koşulları belirledi: O kadar ilginç bir cinsten bir çift yeni doğmuş tavşan (erkek ve dişi) var ve düzenli olarak (ikinci aydan itibaren) yavru üretiyorlar - her zaman bir yeni çift tavşan. Ayrıca tahmin edebileceğiniz gibi bir erkek ve bir kadın.

Bu şartlı tavşanlar kapalı bir alana yerleştirilir ve coşkuyla ürerler. Ayrıca gizemli bir tavşan hastalığından tek bir tavşanın ölmemesi de öngörülüyor.

Yılda kaç tavşan alacağımızı hesaplamamız gerekiyor.

• 1 ayın başında 1 çift tavşanımız var. Ayın sonunda çiftleşirler.
• İkinci ay - zaten 2 çift tavşanımız var (bir çiftin ebeveynleri var + 1 çift onların yavruları).
• Üçüncü ay: İlk çift yeni bir çift doğurur, ikinci çift çiftleşir. Toplam - 3 çift tavşan.
• Dördüncü ay: İlk çift yeni bir çift doğurur, ikinci çift vakit kaybetmeden yeni bir çift doğurur, üçüncü çift ise henüz çiftleşme aşamasındadır. Toplam - 5 çift tavşan.

Tavşan sayısı N ay = önceki aya ait tavşan çiftlerinin sayısı + yeni doğan çiftlerin sayısı (bundan 2 ay önce tavşan çiftlerinin olduğu sayıda tavşan çifti vardır). Ve tüm bunlar yukarıda verdiğimiz formülle açıklanmaktadır: Fn = Fn-1 + Fn-2.

Böylece tekrarlayan bir (hakkında açıklama) elde ederiz. yineleme– aşağıda) sayı dizisi. Her bir sonraki sayının önceki ikisinin toplamına eşit olduğu:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Sıralamayı uzun süre devam ettirebilirsiniz: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Ancak belirli bir dönem - bir yıl - belirlediğimiz için, 12. "hamleden" elde edilen sonuçla ilgileniyoruz. Onlar. Dizinin 13. üyesi: 377.

Sorunun cevabı: Belirtilen tüm koşullar yerine getirilirse 377 tavşan elde edilecektir.

Fibonacci sayı dizisinin özelliklerinden biri çok ilginçtir. Bir seriden ardışık iki çift alıp büyük sayıyı küçük sayıya bölerseniz sonuç yavaş yavaş yaklaşacaktır. altın oran(bununla ilgili daha fazla bilgiyi makalenin ilerleyen kısımlarında okuyabilirsiniz).

Matematiksel açıdan, "ilişkilerin sınırı bir n+1İle BİR altın orana eşit".

Daha fazla sayı teorisi problemi

1. 7'ye bölünebilen bir sayı bulun. Ayrıca 2, 3, 4, 5, 6'ya bölerseniz kalan bir olur.
2. Kare sayısını bulun. Buna 5 eklerseniz veya 5 çıkarırsanız yine bir kare sayı elde edeceğiniz biliniyor.

Bu sorunların cevabını kendiniz aramanızı öneririz. Bu makalenin yorumlarına seçeneklerinizi bize bırakabilirsiniz. Daha sonra size hesaplamalarınızın doğru olup olmadığını söyleyeceğiz.

Özyinelemenin açıklaması

Özyineleme– bu nesneyi veya sürecin kendisini içeren bir nesnenin veya sürecin tanımı, açıklaması, görüntüsü. Yani özünde bir nesne veya süreç kendisinin bir parçasıdır.

Özyineleme matematik ve bilgisayar bilimlerinde, hatta sanatta ve popüler kültürde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Fibonacci sayıları bir yineleme ilişkisi kullanılarak belirlenir. Numara için n>2 n- e sayısı eşittir (n – 1) + (n – 2).

Altın oranın açıklaması

Altın oran- bir bütünün (örneğin bir parçanın) aşağıdaki prensibe göre ilişkili parçalara bölünmesi: daha büyük parça, tüm değerin (örneğin iki parçanın toplamı) olduğu gibi aynı şekilde daha küçük olanla ilişkilidir. daha büyük kısmına.

Altın oranın ilk sözü Öklid'in "Elementler" adlı eserinde (MÖ 300 civarında) bulunabilir. Düzenli bir dikdörtgen oluşturma bağlamında.

Bize tanıdık gelen terim, 1835'te Alman matematikçi Martin Ohm tarafından dolaşıma sokuldu.

Altın oranı yaklaşık olarak tanımlarsak, orantısal olarak iki eşit olmayan parçaya bölünmeyi temsil eder: yaklaşık %62 ve %38. Sayısal olarak altın oran sayıdır. 1,6180339887 .

Altın oran, güzel sanatlarda (Leonardo da Vinci ve diğer Rönesans ressamlarının tablolarında), mimaride, sinemada (S. Esenstein'ın "Battleship Potemkin") ve diğer alanlarda pratik uygulama alanı bulur. Uzun zamandır altın oranın en estetik oran olduğuna inanılıyordu. Bu görüş bugün hala popülerdir. Her ne kadar araştırma sonuçlarına göre görsel olarak çoğu insan bu oranı en başarılı seçenek olarak algılamıyor ve çok uzun (orantısız) olduğunu düşünüyor.

• Bölüm uzunluğu İle = 1, A = 0,618, B = 0,382.
• Davranış İleİle A = 1, 618.
• Davranış İleİle B = 2,618

Şimdi Fibonacci sayılarına dönelim. Dizisinden ardışık iki terimi alalım. Büyük sayıyı küçük sayıya bölün ve yaklaşık 1,618 elde edin. Ve şimdi aynı daha büyük sayıyı ve serinin bir sonraki üyesini (yani daha da büyük bir sayıyı) kullanıyoruz - bunların oranı 0,618'in başında.

İşte bir örnek: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 ve 233/377 = 0,618

Bu arada, aynı deneyi dizinin başlangıcındaki sayılarla (örneğin 2, 3, 5) yapmaya çalışırsanız hiçbir şey işe yaramayacaktır. Neredeyse. Dizinin başlangıcında altın oran kuralına neredeyse hiç uyulmuyor. Ancak seri ilerledikçe ve sayılar arttıkça harika çalışıyor.

Ve Fibonacci sayıları serisinin tamamını hesaplamak için dizinin arka arkaya gelen üç terimini bilmek yeterlidir. Bunu kendiniz de görebilirsiniz!

Altın Dikdörtgen ve Fibonacci Spirali

Fibonacci sayıları ile altın oran arasındaki ilginç bir paralellik de “altın dikdörtgen” olarak adlandırılan dikdörtgendir: kenarları 1,618'e 1 oranındadır. Ama 1,618 sayısının ne olduğunu zaten biliyoruz, değil mi?

Örneğin, Fibonacci serisinin ardışık iki terimini (8 ve 13) alalım ve şu parametrelerle bir dikdörtgen oluşturalım: genişlik = 8, uzunluk = 13.

Daha sonra büyük dikdörtgeni daha küçük parçalara böleceğiz. Önkoşul: Dikdörtgenlerin kenar uzunluklarının Fibonacci sayılarına uygun olması gerekir. Onlar. Büyük dikdörtgenin kenar uzunluğu, iki küçük dikdörtgenin kenarlarının toplamına eşit olmalıdır.

Bu şekildeki yapılma şekli (kolaylık olması açısından rakamlar Latin harfleriyle imzalanmıştır).

Bu arada dikdörtgenleri ters sırada oluşturabilirsiniz. Onlar. Kenarı 1 olan karelerle inşa etmeye başlayın. Yukarıda belirtilen ilkeye göre kenarları Fibonacci sayılarına eşit olan rakamlar tamamlanır. Teorik olarak bu sonsuza kadar devam ettirilebilir; sonuçta Fibonacci serisi biçimsel olarak sonsuzdur.

Şekilde elde edilen dikdörtgenlerin köşelerini düzgün bir çizgiyle birleştirirsek logaritmik bir spiral elde ederiz. Daha doğrusu özel durumu Fibonacci sarmalıdır. Özellikle sınırlarının olmaması ve şekil değiştirmemesi ile karakterize edilir.

Benzer bir sarmal doğada sıklıkla bulunur. Deniz tarağı kabukları en çarpıcı örneklerden biridir. Üstelik Dünya'dan görülebilen bazı galaksiler sarmal bir şekle sahiptir. Televizyondaki hava tahminlerine dikkat ederseniz uydudan fotoğraflandığında kasırgaların benzer bir spiral şekle sahip olduğunu fark etmiş olabilirsiniz.

DNA sarmalının aynı zamanda altın bölüm kuralına da uyması ilginçtir; karşılık gelen desen, kıvrımlarının aralıklarında görülebilir.

Bu kadar şaşırtıcı "tesadüfler" zihinleri heyecanlandırmaktan ve Evrenin yaşamındaki tüm fenomenlerin uyduğu belirli bir tek algoritma hakkında konuşmaya yol açmaktan başka bir şey yapamaz. Şimdi bu yazıya neden bu şekilde isim verildiğini anlıyor musunuz? Peki matematik sizin için ne tür muhteşem dünyaların kapılarını açabilir?

Doğadaki Fibonacci sayıları

Fibonacci sayıları ile altın oran arasındaki bağlantı ilginç modeller ortaya koyuyor. O kadar merak uyandırıcı ki doğada ve hatta tarihsel olaylar sırasında Fibonacci sayılarına benzer diziler bulmaya çalışmak cazip geliyor. Ve doğa gerçekten de bu tür varsayımlara yol açıyor. Peki hayatımızdaki her şey matematik kullanılarak açıklanabilir ve anlatılabilir mi?

Fibonacci dizisi kullanılarak tanımlanabilecek canlılara örnekler:

• bitkilerde yaprakların (ve dalların) düzeni - aralarındaki mesafeler Fibonacci sayılarıyla (filotaksis) ilişkilidir;

• ayçiçeği tohumlarının düzenlenmesi (tohumlar farklı yönlerde bükülmüş iki sıra spiral halinde düzenlenmiştir: bir sıra saat yönünde, diğeri saat yönünün tersine);

• çam kozalağı pullarının düzenlenmesi;
• çiçek yaprakları;
• ananas hücreleri;
• insan elindeki parmak falanjlarının uzunluklarının oranı (yaklaşık olarak), vb.

Kombinatorik sorunlar

Fibonacci sayıları kombinatorik problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Kombinatorik belirlenmiş bir kümeden, numaralandırmadan vb. belirli sayıda öğenin seçimini inceleyen bir matematik dalıdır.

Lise düzeyi için tasarlanmış kombinatorik problem örneklerine bakalım (kaynak - http://www.problems.ru/).

Görev #1:

Lesha 10 basamaklı bir merdivene tırmanıyor. Bir anda ya bir adım atıyor ya da iki adım atlıyor. Lesha merdivenleri kaç farklı şekilde tırmanabilir?

Lesha'nın merdivenleri çıkabileceği yolların sayısı N adımlar, belirtelim ve n.Şunu takip ediyor 1 = 1, bir 2= 2 (sonuçta Lesha bir veya iki adım atlar).

Ayrıca Lesha'nın merdivenlerden yukarı atlaması da kabul edildi. n> 2 adımlar. Diyelim ki ilk seferde iki adım atladı. Bu, sorunun koşullarına göre başka bir yere atlaması gerektiği anlamına gelir. n – 2 adımlar. Daha sonra tırmanışı tamamlamanın yollarının sayısı şu şekilde tanımlanır: bir n–2. Lesha'nın ilk seferinde yalnızca bir adım atladığını varsayarsak, tırmanışı bitirmenin yollarının sayısını şu şekilde tanımlarız: bir n–1.

Buradan aşağıdaki eşitliği elde ederiz: a n = a n–1 + a n–2(tanıdık görünüyor, değil mi?).

Bildiğimizden beri 1 Ve bir 2 ve problemin koşullarına göre 10 adım olduğunu unutmayın, hepsini sırayla hesaplayın ve n: 3 = 3, 4 = 5, 5 = 8, 6 = 13, 7 = 21, 8 = 34, 9 = 55, 10 = 89.

Cevap: 89 yol.

Görev #2:

Sadece “a” ve “b” harflerinden oluşan ve üst üste iki “b” harfini içermemesi gereken 10 harf uzunluğundaki kelime sayısını bulmanız gerekiyor.

ile belirtelim BİR kelime sayısı uzunluğu N Yalnızca “a” ve “b” harflerinden oluşan ve üst üste iki “b” harfini içermeyen harfler. Araç, 1= 2, bir 2= 3.

Sırayla 1, bir 2, <…>, BİR her bir sonraki üyesini öncekiler üzerinden ifade edeceğiz. Bu nedenle, uzunluktaki kelime sayısı Nİçinde çift “b” harfi bulunmayan ve “a” harfiyle başlayan harfler bir n–1. Ve eğer kelime uzunsa N harfler “b” harfiyle başlıyor, böyle bir kelimedeki bir sonraki harfin “a” olması mantıklıdır (sonuçta sorunun koşullarına göre iki “b” olamaz). Bu nedenle, uzunluktaki kelime sayısı N bu durumda harfleri şu şekilde belirtiriz: bir n–2. Hem birinci hem de ikinci durumda, herhangi bir kelime (uzunluğu) n – 1 Ve n – 2 harfler sırasıyla) çift “b” olmadan.

Nedenini gerekçelendirebildik a n = a n–1 + a n–2.

Şimdi hesaplayalım 3= bir 2+ 1= 3 + 2 = 5, 4= 3+ bir 2= 5 + 3 = 8, <…>, 10= 9+ 8= 144. Ve tanıdık Fibonacci dizisini elde ederiz.

Cevap: 144.

Görev #3:

Hücrelere bölünmüş bir bant olduğunu hayal edin. Sağa doğru gider ve süresiz olarak sürer. Bandın ilk karesine bir çekirge yerleştirin. Kasetin hangi hücresinde olursa olsun, yalnızca sağa doğru hareket edebilir: ya bir hücre, ya da iki hücre. Bir çekirgenin kasetin başından sonuna kadar atlayabileceği kaç farklı yol vardır? N-th hücreleri?

Bir çekirgeyi kemer boyunca hareket ettirmenin yollarının sayısını belirtelim. N-th hücreleri gibi BİR. bu durumda 1 = bir 2= 1. Ayrıca n+1Çekirge -'inci hücreye her iki yerden de girebilir. N-inci hücreye veya üzerinden atlayarak. Buradan bir n + 1 = bir n – 1 + BİR. Nerede BİR = Fn – 1.

Cevap: Fn – 1.

Benzer problemleri kendiniz oluşturabilir ve sınıf arkadaşlarınızla matematik derslerinde çözmeye çalışabilirsiniz.

Popüler kültürde Fibonacci sayıları

Elbette Fibonacci sayıları gibi sıra dışı bir fenomen dikkat çekmekten başka bir şey yapamaz. Bu kesinlikle doğrulanmış modelde hâlâ çekici ve hatta gizemli bir şeyler var. Fibonacci dizisinin, çeşitli türlerdeki modern popüler kültürün birçok eserinde bir şekilde "aydınlatılması" şaşırtıcı değil.

Size bunlardan bazılarını anlatacağız. Ve yine kendini aramaya çalışırsın. Eğer bulursanız yorumlarda bizimle paylaşın; biz de merak ediyoruz!

• Fibonacci sayılarından Dan Brown'un en çok satan kitabı Da Vinci Şifresi'nde bahsedilmektedir: Fibonacci dizisi, kitabın ana karakterlerinin bir kasayı açmak için kullandığı kod görevi görmektedir.
• 2009 yapımı Amerikan filmi Bay Hiçkimse'nin bölümlerinden birinde evin adresi Fibonacci dizisinin bir parçası - 12358. Ayrıca başka bir bölümde ana karakterin esasen aynı olan bir telefon numarasını araması gerekiyor, ancak biraz bozuk (5 rakamından sonra ekstra rakam) dizi: 123-581-1321.
• 2012 yapımı Connection dizisinde otizm hastası bir çocuk olan ana karakter, dünyada meydana gelen olaylardaki kalıpları ayırt edebiliyor. Fibonacci sayıları dahil. Ve bu olayları da rakamlarla yönetin.
• Cep telefonları için Java oyununun geliştiricileri Doom RPG, seviyelerden birine gizli bir kapı yerleştirdi. Onu açan kod Fibonacci dizisidir.
• 2012 yılında Rus rock grubu Splin, “Optical Deception” konsept albümünü çıkardı. Sekizinci parçanın adı “Fibonacci”. Grup lideri Alexander Vasiliev'in dizeleri Fibonacci sayıları dizisi üzerinde oynuyor. Ardışık dokuz terimin her birine karşılık gelen sayıda satır vardır (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Tren yola çıktı

1 Bir eklem koptu

1 Bir kolu titredi

2 İşte bu, eşyaları al

İşte bu, eşyaları al

3 Kaynar su talebi

Tren nehre gidiyor

Tren taygadan geçiyor<…>.

• James Lyndon'ın bir limerick'i (belirli bir biçimde kısa bir şiir - belirli bir kafiye şemasına sahip, içerik olarak mizahi olan, ilk ve son satırların tekrarlandığı veya kısmen birbirinin kopyası olduğu genellikle beş satır) Fibonacci'ye bir referans kullanır mizahi bir motif olarak sekans:

Fibonacci'nin eşlerinin yoğun yiyecekleri

Bu sadece onların yararınaydı, başka bir şey değil.

Söylentiye göre eşler tartılıyordu,

Her biri önceki ikisine benziyor.

Özetleyelim

Umarız bugün size birçok ilginç ve faydalı şey anlatabilmişizdir. Örneğin artık çevrenizdeki doğada Fibonacci spiralini arayabilirsiniz. Belki de "hayatın, Evrenin ve genel olarak sırrını" çözebilecek kişi siz olacaksınız.

Kombinatorik problemlerini çözerken Fibonacci sayıları formülünü kullanın. Bu makalede açıklanan örneklere güvenebilirsiniz.

web sitesi, materyali tamamen veya kısmen kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Elbette matematiğin tüm bilimler arasında en önemlisi olduğu fikrine aşinasınız. Ancak çoğu kişi buna katılmayabilir çünkü... Bazen matematiğin sadece problemlerden, örneklerden ve benzeri sıkıcı şeylerden ibaret olduğu anlaşılıyor. Ancak matematik bize tanıdık şeyleri tamamen yabancı bir taraftan kolayca gösterebilir. Üstelik evrenin sırlarını bile açığa çıkarabilir. Nasıl? Fibonacci sayılarına bakalım.

Fibonacci sayıları nedir?

Fibonacci sayıları, her bir sonraki sayının önceki iki sayının toplanmasıyla oluştuğu sayısal bir dizinin öğeleridir; örneğin: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Kural olarak, böyle bir dizi şu formülle yazılır: F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2.

Fibonacci sayıları negatif "n" değerleriyle başlayabilir, ancak bu durumda dizi iki yönlü olacaktır - hem pozitif hem de negatif sayıları kapsayacak ve her iki yönde de sonsuza yönelecektir. Böyle bir diziye örnek olarak şunlar verilebilir: -34, -21, -13, -8, -5, -3, -2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 , 21, 34 ve formül şöyle olacaktır: F n = F n+1 - F n+2 veya F -n = (-1) n+1 Fn.

Fibonacci sayılarının yaratıcısı, Orta Çağ'da Avrupa'nın ilk matematikçilerinden biri olan Pisalı Leonardo'dur ve aslında Fibonacci olarak bilinir - bu takma adı ölümünden yıllar sonra almıştır.

Hayatı boyunca Pisalı Leonardo matematik turnuvalarına çok düşkündü, bu yüzden eserlerinde (“Liber abaci” / “Abaküs Kitabı”, 1202; “Practica geometriae” / “Geometri Pratiği”, 1220, “Flos” / “Çiçek”, 1225) - kübik denklemler ve "Liber quadratorum" / "Kareler Kitabı", 1225 - belirsiz ikinci dereceden denklemlerle ilgili problemler üzerine bir çalışma) her türlü matematik problemini sıklıkla analiz etti.

Fibonacci'nin yaşam yolu hakkında çok az şey biliniyor. Ancak kesin olan şey, onun problemlerinin sonraki yüzyıllarda matematik çevrelerinde büyük bir popülerliğe sahip olduğudur. Bundan sonra bunlardan birini ele alacağız.

Tavşanlarla ilgili Fibonacci problemi

Görevi tamamlamak için yazar aşağıdaki koşulları belirledi: ilginç bir özellik ile ayırt edilen bir çift yeni doğmuş tavşan (dişi ve erkek) var - yaşamın ikinci ayından itibaren yeni bir çift tavşan üretiyorlar - yine dişi ve bir erkek. Tavşanlar kapalı alanlarda yaşar ve sürekli ürerler. Ve tek bir tavşan ölmez.

Görev: Bir yıldaki tavşan sayısını belirleyin.

Çözüm:

Sahibiz:

• İlk ayın başında bir çift tavşan, ayın sonunda çiftleşir
• İkinci ayda iki çift tavşan (ilk çift ve yavrular)
• Üçüncü ayda üç çift tavşan (ilk çift, ilk çiftin önceki aydan yavruları ve yeni yavrular)
• Dördüncü ayda beş çift tavşan (birinci çift, birinci çiftin birinci ve ikinci yavruları, birinci çiftin üçüncü yavruları ve ikinci çiftin ilk yavruları)

Aylık tavşan sayısı “n” = geçen ayki tavşan sayısı + yeni tavşan çifti sayısı, diğer bir deyişle yukarıdaki formül: F n = F n-1 + F n-2. Bu, her yeni sayının önceki iki sayının toplamına karşılık geldiği yinelenen bir sayı dizisiyle sonuçlanır (özyineleme hakkında daha sonra konuşacağız):

1 ay: 1 + 1 = 2

2 ay: 2 + 1 = 3

3 ay: 3 + 2 = 5

4 ay: 5 + 3 = 8

5 ay: 8 + 5 = 13

6 ay: 13 + 8 = 21

7. ay: 21 + 13 = 34

8. ay: 34 + 21 = 55

9 ay: 55 + 34 = 89

10. ay: 89 + 55 = 144

11. ay: 144 + 89 = 233

12 ay: 233+ 144 = 377

Ve bu sıralama süresiz olarak devam edebilir, ancak görevin bir yıl sonraki tavşan sayısını bulmak olduğu göz önüne alındığında sonuç 377 çifttir.

Burada şunu da belirtmekte fayda var ki Fibonacci sayılarının özelliklerinden biri de ardışık iki çifti karşılaştırıp büyük olanı küçük olana böldüğünüzde sonuç, aşağıda da bahsedeceğimiz altın orana doğru ilerleyecektir. .

Bu arada size Fibonacci sayılarıyla ilgili iki problem daha sunuyoruz:

• Hakkında yalnızca 5 çıkarırsanız veya 5 eklerseniz yine bir kare sayı elde edeceğinizi bildiğimiz bir kare sayı belirleyin.
• 7'ye bölünebilen bir sayı belirleyin, ancak bu sayıyı 2, 3, 4, 5 veya 6'ya bölmenin 1 kalanını bırakması şartıyla.

Bu tür görevler sadece zihni geliştirmenin mükemmel bir yolu değil, aynı zamanda eğlenceli bir eğlence olacaktır. Ayrıca internette bilgi arayarak bu sorunların nasıl çözüldüğünü öğrenebilirsiniz. Onlara odaklanmayacağız, ancak hikayemize devam edeceğiz.

Özyineleme ve altın oran nedir?

Özyineleme

Özyineleme, verilen nesneyi veya işlemin kendisini içeren herhangi bir nesnenin veya işlemin açıklaması, tanımı veya görüntüsüdür. Başka bir deyişle, bir nesne veya süreç kendisinin bir parçası olarak adlandırılabilir.

Özyineleme sadece matematik biliminde değil aynı zamanda bilgisayar bilimi, popüler kültür ve sanatta da yaygın olarak kullanılmaktadır. Fibonacci sayıları için geçerli olmak üzere eğer sayı “n>2” ise “n” = (n-1)+(n-2) diyebiliriz.

Altın oran

Altın oran, bir bütünün şu prensibe göre birbiriyle ilişkili parçalara bölünmesidir: toplam değerin daha büyük parçayla ilişkisi gibi, büyük olan da küçük olanla ilişkilidir.

Altın orandan ilk kez Öklid ("Elementler" incelemesi, yaklaşık MÖ 300) tarafından düzenli bir dikdörtgenin yapısından bahsedilmiştir. Ancak daha tanıdık bir kavram Alman matematikçi Martin Ohm tarafından ortaya atıldı.

Altın oran yaklaşık olarak %38 ve %68 gibi iki farklı parçaya orantısal olarak bölünerek temsil edilebilir. Altın oranın sayısal ifadesi yaklaşık olarak 1,6180339887'dir.

Uygulamada mimaride, güzel sanatlarda (eserlere bakın), sinemada ve diğer alanlarda altın oran kullanılmaktadır. Uzun bir süre, altın oran, şimdi olduğu gibi, estetik bir oran olarak kabul edildi, ancak çoğu insan bunu orantısız - uzun olarak algılıyor.

Aşağıdaki oranların rehberliğinde altın oranı kendiniz tahmin etmeye çalışabilirsiniz:

• Segmentin uzunluğu a = 0,618
• Segment uzunluğu b= 0,382
• Segmentin uzunluğu c = 1
• c ve a'nın oranı = 1,618
• c ve b'nin oranı = 2,618

Şimdi altın oranı Fibonacci sayılarına uygulayalım: dizisinin iki komşu terimini alıp büyük olanı küçüğüne bölüyoruz. Yaklaşık 1.618 elde ediyoruz. Aynı büyük sayıyı alıp kendisinden sonraki daha büyük sayıya bölersek yaklaşık 0,618 elde ederiz. Kendiniz deneyin: 21 ve 34 veya başka sayılarla “oynayın”. Bu deneyi Fibonacci dizisinin ilk sayılarıyla yaparsak artık böyle bir sonuç olmayacaktır çünkü altın oran dizinin başında "işe yaramıyor". Bu arada, tüm Fibonacci sayılarını belirlemek için ardışık ilk üç sayıyı bilmeniz yeterlidir.

Ve sonuç olarak, biraz daha düşünmeye değer.

Altın Dikdörtgen ve Fibonacci Spirali

“Altın Dikdörtgen”, altın oran ile Fibonacci sayıları arasındaki bir başka ilişkidir, çünkü... en boy oranı 1,618'e 1'dir (1,618 sayısını unutmayın!).

İşte bir örnek: Fibonacci dizisinden iki sayı alıyoruz örneğin 8 ve 13 ve genişliği 8 cm, uzunluğu 13 cm olan bir dikdörtgen çiziyoruz. uzunluk ve genişlik Fibonacci sayılarına karşılık gelmelidir - büyük dikdörtgenin bir kenarının uzunluğu, küçük olanın kenarının iki uzunluğuna eşit olmalıdır.

Bundan sonra, sahip olduğumuz tüm dikdörtgenlerin köşelerini düzgün bir çizgiyle birleştiriyoruz ve logaritmik spiralin özel bir durumunu - Fibonacci spirali - elde ediyoruz. Başlıca özellikleri sınırların olmaması ve şekil değişiklikleridir. Böyle bir sarmal doğada sıklıkla bulunabilir: En çarpıcı örnekler yumuşakça kabukları, uydu görüntülerindeki kasırgalar ve hatta bazı gökadalardır. Ama daha da ilginci, canlıların DNA'sı da aynı kurala uyuyor, çünkü onun spiral bir şekle sahip olduğunu hatırlıyor musunuz?

Bunlar ve daha birçok "rastgele" tesadüf, bugün bile bilim adamlarının bilincini heyecanlandırıyor ve Evrendeki her şeyin tek bir algoritmaya, üstelik matematiksel bir algoritmaya tabi olduğunu öne sürüyor. Ve bu bilim, çok sayıda tamamen sıkıcı sır ve gizemi gizler.