Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası verildiğinde, değerini bulun. Ayrık rastgele değişkenler için dağıtım yasaları

Ayrık rastgele Değişkenler yalnızca birbirinden uzak olan ve önceden listelenebilen değerleri alan rastgele değişkenlerdir.
Dağıtım kanunu
Rastgele bir değişkenin dağılım yasası, bir rastgele değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran bir ilişkidir.
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım serisi, olası değerlerinin ve karşılık gelen olasılıkların listesidir.
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu şu fonksiyondur:
,
bağımsız değişken x'in her değeri için rastgele değişken X'in bu x'ten daha küçük bir değer alma olasılığının belirlenmesi.

Ayrık bir rastgele değişkenin beklentisi
,
ayrık bir rastgele değişkenin değeri nerede; - rastgele bir değişkenin X değerlerini kabul etme olasılığı.
Eğer bir rastgele değişken sayılabilir bir olası değerler kümesini alıyorsa, o zaman:
.
Bir olayın n bağımsız denemede meydana gelme sayısının matematiksel beklentisi:
,

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı ve standart sapması
Ayrık bir rastgele değişkenin dağılımı:
veya .
Bir olayın n bağımsız denemede meydana gelme sayısındaki varyans
,
burada p olayın meydana gelme olasılığıdır.
Ayrık bir rastgele değişkenin standart sapması:
.

Örnek 1
Ayrık bir rastgele değişken (DRV) X için bir olasılık dağılımı kanunu çizin - bir çift zarın n = 8 atışında en az bir "altı"nın k kez gerçekleşme sayısı. Bir dağıtım poligonu oluşturun. Dağılımın sayısal özelliklerini bulun (dağılım modu, matematiksel beklenti M(X), dağılım D(X), standart sapma s(X)). Çözüm: Gösterimi tanıtalım: A olayı – “bir çift zar atıldığında en az bir kez altı ortaya çıkar.” A olayının P(A) = p olasılığını bulmak için, öncelikle karşıt olay olan Ā'nin P(Ā) = q olasılığını bulmak daha uygundur - "bir çift zar atıldığında asla altı gelmemiştir."
Bir zar atıldığında altının gelmeme olasılığı 5/6 olduğuna göre olasılık çarpım teoremine göre
P(Ā) = q = = .
Sırasıyla,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Problemdeki testler Bernoulli şemasını takip ediyor, dolayısıyla d.s.v. büyüklük X- sayı kİki zar atıldığında en az bir altının oluşması, binom olasılık dağılımı yasasına uyar:

burada = kombinasyonların sayısıdır Nİle k.

Bu problem için yapılan hesaplamalar rahatlıkla bir tablo şeklinde sunulabilir:
Olasılık dağılımı d.s.v. X º k (N = 8; P = ; Q = )

k

Pn(k)

Ayrık bir rastgele değişkenin olasılık dağılımının çokgeni (çokgen) Xşekilde gösterilmiştir:

Pirinç. Olasılık dağılım poligonu d.s.v. X=k.
Dikey çizgi, dağılımın matematiksel beklentisini gösterir M(X).

D.s.v'nin olasılık dağılımının sayısal özelliklerini bulalım. X. Dağıtım modu 2'dir (burada P 8(2) = 0,2932 maksimum). Tanım gereği matematiksel beklenti şuna eşittir:
M(X) = = 2,4444,
Nerede xk = k– d.s.v tarafından alınan değer X. Varyans D(X) aşağıdaki formülü kullanarak dağılımı buluruz:
D(X) = = 4,8097.
Standart sapma (RMS):
S( X) = = 2,1931.

Örnek2
Ayrık rastgele değişken X dağıtım kanunu tarafından verilen

F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini çizin.

Çözüm. If , o zaman (üçüncü özellik).
Eğer öyleyse. Gerçekten mi, X 0,3 olasılıkla 1 değerini alabilir.
Eğer öyleyse. Aslında eşitsizliği sağlıyorsa
, o zaman meydana gelebilecek bir olayın olasılığına eşittir X 1 değerini (bu olayın olasılığı 0,3) veya 4 değerini (bu olayın olasılığı 0,1) alacaktır. Bu iki olay uyumsuz olduğundan toplama teoremine göre bir olayın olasılığı 0,3 + 0,1 = 0,4 olasılıklarının toplamına eşittir. Eğer öyleyse. Aslında olay kesindir, dolayısıyla olasılığı bire eşittir. Dolayısıyla dağılım fonksiyonu analitik olarak aşağıdaki gibi yazılabilir:

Bu fonksiyonun grafiği:
Bu değerlere karşılık gelen olasılıkları bulalım. Koşullu olarak, cihazların arızalanma olasılıkları eşittir: bu durumda cihazların garanti süresi boyunca çalışma olasılıkları eşittir:

Dağıtım kanunu şu şekildedir:

Bölüm 1. Ayrık rastgele değişken

§ 1. Rastgele değişken kavramları.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası.

Tanım : Rastgele, test sonucunda önceden bilinmeyen ve rastgele nedenlere bağlı olarak olası bir değer kümesinden yalnızca bir değeri alan bir niceliktir.

İki tür rastgele değişken vardır: kesikli ve sürekli.

Tanım : Rastgele değişken X'e denir ayrık (süreksiz) değerlerinin kümesi sonlu veya sonsuz ancak sayılabilirse.

Başka bir deyişle, ayrık bir rastgele değişkenin olası değerleri yeniden numaralandırılabilir.

Rastgele bir değişken, dağıtım yasası kullanılarak tanımlanabilir.

Tanım : Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım yasası rastgele bir değişkenin olası değerleri ile bunların olasılıkları arasındaki yazışmayı çağırın.

Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasası, ilk satırda rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin artan sırada gösterildiği ve ikinci satırda bunlara karşılık gelen olasılıkların gösterildiği bir tablo şeklinde belirtilebilir. değerler, yani

burada р1+ р2+…+ рn=1

Böyle bir tabloya ayrık rastgele değişkenin dağılım serisi denir.

Bir rastgele değişkenin olası değerleri kümesi sonsuzsa, p1+ p2+…+ pn+… serisi yakınsar ve toplamı 1'e eşittir.

Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım yasası, dikdörtgen bir koordinat sisteminde sıralı olarak noktaları (xi; pi), i=1,2,…n koordinatlarıyla birleştiren kesikli bir çizginin oluşturulduğu grafiksel olarak gösterilebilir. Ortaya çıkan satır denir dağıtım poligonu (Şekil 1).

Organik kimya" href = "/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel = "bookmark">organik kimya sırasıyla 0,7 ve 0,8'dir. Rastgele değişken X - öğrencinin geçeceği sınav sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın.

Çözüm. İnceleme sonucunda dikkate alınan rastgele değişken X şu değerlerden birini alabilir: x1=0, x2=1, x3=2.

Bu değerlerin olasılığını bulalım. Olayları gösterelim:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width = "259" height = "66 src = ">

Dolayısıyla, X rastgele değişkeninin dağılım yasası aşağıdaki tabloda verilmektedir:

Kontrol: 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Dağıtım işlevi

Rastgele bir değişkenin tam bir açıklaması da dağıtım fonksiyonu tarafından verilmektedir.

Tanım: Ayrık bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonu her x değeri için rastgele değişken X'in x'ten daha küçük bir değer alma olasılığını belirleyen F(x) fonksiyonu olarak adlandırılır:

F(x)=P(X<х)

Geometrik olarak dağılım fonksiyonu, X rastgele değişkeninin sayı doğrusunda x noktasının solunda yer alan bir nokta tarafından temsil edilen değeri alma olasılığı olarak yorumlanır.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x), (-∞;+∞) üzerinde azalmayan bir fonksiyondur;

3) F(x) - sol tarafta x= xi (i=1,2,...n) noktalarında sürekli ve diğer tüm noktalarda sürekli;

4) F(-∞)=P(X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Ayrık bir rasgele değişken X'in dağılım yasası bir tablo şeklinde verilirse:

daha sonra dağılım fonksiyonu F(x) aşağıdaki formülle belirlenir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

x≤ x1 için 0,

р1 x1'de< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 x2’de< х≤ х3

x>xn için 1.

Grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir:

§ 3. Ayrık bir rastgele değişkenin sayısal özellikleri.

Önemli sayısal özelliklerden biri matematiksel beklentidir.

Tanım: Matematiksel beklenti M(X) ayrık rastgele değişken X, tüm değerlerinin çarpımlarının ve bunlara karşılık gelen olasılıkların toplamıdır:

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

Matematiksel beklenti, bir rastgele değişkenin ortalama değerinin bir özelliği olarak hizmet eder.

Matematiksel beklentinin özellikleri:

1)M(C)=C, burada C sabit bir değerdir;

2)M(CX)=CM(X),

3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), burada X, Y bağımsız rastgele değişkenlerdir;

5)M(X±C)=M(X)±C, burada C sabit bir değerdir;

Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin ortalama değeri etrafındaki dağılım derecesini karakterize etmek için dağılım kullanılır.

Tanım: Varyans D ( X ) Rastgele değişken X, rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının karesinin matematiksel beklentisidir:

Dispersiyon özellikleri:

1)D(C)=0, burada C sabit bir değerdir;

2)D(X)>0, burada X rastgele bir değişkendir;

3)D(C X)=C2 D(X), burada C sabit bir değerdir;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), burada X, Y bağımsız rastgele değişkenlerdir;

Varyansı hesaplamak için genellikle aşağıdaki formülü kullanmak uygundur:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

burada M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

D(X) varyansı, karesi alınmış rastgele değişken boyutuna sahiptir ve bu her zaman uygun değildir. Bu nedenle √D(X) değeri aynı zamanda bir rastgele değişkenin olası değerlerinin dağılımının bir göstergesi olarak da kullanılır.

Tanım: Standart sapma σ(X) Rastgele değişken X'e varyansın karekökü denir:

Görev No.2. Ayrık rastgele değişken X, dağıtım yasasıyla belirtilir:

P2'yi, F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve M(X), D(X), σ(X)'in yanı sıra grafiğini çizin.

Çözüm: X rastgele değişkeninin olası değerlerinin olasılıklarının toplamı 1'e eşit olduğundan, o zaman

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

F(x)=P(X dağılım fonksiyonunu bulalım.

Geometrik olarak bu eşitlik şu şekilde yorumlanabilir: F(x), rastgele değişkenin sayı ekseninde x noktasının solunda yer alan bir nokta ile temsil edilen değeri alma olasılığıdır.

Eğer x≤-1 ise F(x)=0 olur, çünkü bu rastgele değişkenin (-∞;x) üzerinde tek bir değeri yoktur;

-1 ise<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

0 ise<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) x1=-1 ve x2=0 olmak üzere iki değer vardır;

Eğer 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

2 ise<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Eğer x>3 ise F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, çünkü dört değer x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 (-∞;x) ve x5=3 aralığına düşer.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0, x≤-1'de,

-1'de 0,1<х≤0,

0,2'de 0<х≤1,

F(x)= 0,5, 1'de<х≤2,

2'de 0,7<х≤3,

x>3'te 1

F(x) fonksiyonunu grafiksel olarak temsil edelim (Şekil 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Binom dağılım yasası

ayrık rastgele değişken, Poisson yasası.

Tanım: Binom ayrı bir rastgele değişken X'in dağılım yasası olarak adlandırılır - A olayının n bağımsız tekrarlanan denemede meydana gelme sayısı; her birinde A olayı p olasılığıyla meydana gelebilir veya q = 1-p olasılığıyla gerçekleşmeyebilir. Daha sonra P(X=m) - A olayının n denemede tam olarak m kez meydana gelme olasılığı Bernoulli formülü kullanılarak hesaplanır:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

İkili yasaya göre dağıtılan X rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi, dağılımı ve standart sapması sırasıyla aşağıdaki formüller kullanılarak bulunur:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> A olayının olasılığı - her denemede "beş atma" aynı ve 1/6'ya eşittir , yani P(A)=p=1/6, sonra P(A)=1-p=q=5/6, burada

- “A alamamak.”

Rastgele değişken X şu değerleri alabilir: 0;1;2;3.

Bernoulli formülünü kullanarak X'in olası değerlerinin her birinin olasılığını buluyoruz:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

O. X rastgele değişkeninin dağılım yasası şu şekildedir:

Kontrol: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

X rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini bulalım:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Görev No.4. Otomatik bir makine parçaları damgalar. Üretilen bir parçanın arızalı olma olasılığı 0,002'dir. Seçilen 1000 parça arasında aşağıdakilerin olma olasılığını bulun:

a) 5 kusurlu;

b) en az biri kusurlu.

Çözüm: n=1000 sayısı büyüktür, kusurlu bir parça üretme olasılığı p=0,002 küçüktür ve söz konusu olaylar (parçanın kusurlu olduğu ortaya çıkar) bağımsızdır, dolayısıyla Poisson formülü geçerlidir:

Pn(m)= e- λ λm

λ=np=1000 0,002=2'yi bulalım.

a) 5 adet hatalı parçanın olma olasılığını bulun (m=5):

Р1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) En az bir parçanın arızalı olma olasılığını bulun.

A olayı - "seçilen parçalardan en az biri arızalı" olayı - "seçilen parçaların tümü arızalı değil" olayının tersidir. Bu nedenle, P(A) = 1-P(). Dolayısıyla istenen olasılık şuna eşittir: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2 20 = 1-e-2=1-0,13534≈0,865.

Bağımsız çalışma için görevler.

1.1

1.2. Dağınık rastgele değişken X, dağıtım yasasıyla belirtilir:

p4'ü, F(X) dağılım fonksiyonunu bulun ve M(X), D(X), σ(X)'in yanı sıra grafiğini çizin.

1.3. Kutuda 2 tanesi artık yazmayan 9 adet kalem bulunmaktadır. Rastgele 3 işaretçi alın. Rastgele değişken X, alınanlar arasındaki yazı işaretlerinin sayısıdır. Rasgele bir değişkenin dağılım yasasını çizin.

1.4. Bir kütüphane rafında 4'ü ciltli olmak üzere rastgele dizilmiş 6 ders kitabı bulunmaktadır. Kütüphaneci rastgele 4 ders kitabı alır. Rastgele değişken X, alınanlar arasında ciltli ders kitaplarının sayısıdır. Rasgele bir değişkenin dağılım yasasını çizin.

1.5. Bilette iki görev var. İlk problemi doğru çözme olasılığı 0,9, ikincisi ise 0,7'dir. Rastgele değişken X, biletteki doğru çözülmüş problemlerin sayısıdır. Bir dağılım yasası çizin, bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayın ve ayrıca F(x) dağılım fonksiyonunu bulun ve grafiğini oluşturun.

1.6. Üç atıcı bir hedefe ateş ediyor. Tek atışta hedefi vurma olasılığı birinci atışta 0,5, ikinci atışta 0,8, üçüncü atışta ise 0,7'dir. Rastgele değişken X, atıcıların bir kerede tek atış yapması durumunda hedefe isabet eden isabet sayısıdır. Dağıtım yasasını bulun, M(X),D(X).

1.7. Bir basketbolcu, her atışta isabet olasılığı 0,8 olan topu sepete atıyor. Her vuruşta 10 puan alır, kaçırırsa puan verilmez. Bir basketbolcunun 3 atışta aldığı puanların sayısı olan X rastgele değişkeni için bir dağılım kanunu çizin. M(X),D(X)'i ve 10'dan fazla puan alma olasılığını bulun.

1.8. Kartların üzerine toplam 5 sesli ve 3 sessiz harf olmak üzere harfler yazılmaktadır. Rastgele 3 kart seçilir ve her seferinde alınan kart geri verilir. Rastgele değişken X, alınanlar arasındaki sesli harflerin sayısıdır. Bir dağılım kanunu çizin ve M(X),D(X),σ(X)'i bulun.

1.9. Ortalama olarak, sözleşmelerin %60'ında sigorta şirketi, sigorta konusu olayın meydana gelmesiyle bağlantılı olarak sigorta tutarlarını öder. Rastgele seçilen dört sözleşme arasında sigorta tutarının ödendiği sözleşme sayısı olan X rastgele değişkeni için bir dağıtım yasası hazırlayın. Bu miktarın sayısal özelliklerini bulun.

1.10. Radyo istasyonu, iki yönlü iletişim sağlanana kadar belirli aralıklarla (en fazla dört) çağrı işareti gönderir. Bir çağrı işaretine yanıt alma olasılığı 0,3'tür. Rastgele değişken X, gönderilen çağrı işaretlerinin sayısıdır. Bir dağıtım yasası çizin ve F(x)'i bulun.

1.11. 3 anahtar var ve bunlardan sadece biri kilide uyuyor. Denenen anahtar sonraki denemelere katılmazsa, kilidi açmaya yönelik X sayısı rastgele değişkeninin dağılımı için bir yasa hazırlayın. M(X),D(X)'i bulun.

1.12. Üç cihazın ardışık bağımsız güvenilirlik testleri gerçekleştirilir. Sonraki her cihaz, yalnızca bir öncekinin güvenilir olduğu ortaya çıktığında test edilir. Her cihazın testi geçme olasılığı 0,9’dur. Test edilen cihazların rastgele değişken X sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın.

1.13 .Ayrık rasgele değişken X'in üç olası değeri vardır: x1=1, x2, x3 ve x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Elektronik cihaz bloğu 100 özdeş eleman içerir. T süresi boyunca her bir elemanın arızalanma olasılığı 0,002'dir. Elemanlar bağımsız olarak çalışır. T süresi boyunca en fazla iki elemanın arızalanma olasılığını bulun.

1.15. Ders kitabı 50.000 adet basıldı. Ders kitabının yanlış ciltlenme olasılığı 0,0002'dir. Dolaşımın aşağıdakileri içerme olasılığını bulun:

a) Dört kusurlu kitap,

b) ikiden az kusurlu kitap.

1 .16. PBX'e her dakikada gelen çağrıların sayısı Poisson yasasına göre λ=1,5 parametresiyle dağıtılır. Bir dakika içinde aşağıdakilerin gelme olasılığını bulun:

a) iki çağrı;

b) en az bir çağrı.

1.17.

Z=3X+Y ise M(Z),D(Z)'yi bulun.

1.18. İki bağımsız rastgele değişkenin dağılım yasaları verilmiştir:

Z=X+2Y ise M(Z),D(Z)'yi bulun.

Cevaplar:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0.4; x≤-2'de 0,

-2'de 0,3<х≤0,

0'da F(x)= 0,5<х≤2,

2'de 0,9<х≤5,

1 x>5'te

1.2. p4=0.1; x≤-1'de 0,

-1'de 0,3<х≤0,

0'da 0,4<х≤1,

1'de F(x)= 0,6<х≤2,

2'de 0,7<х≤3,

x>3'te 1

M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0, x≤0'da,

0,03, 0'da<х≤1,

1'de F(x)= 0,37<х≤2,

x>2 için 1

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈

M(X)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. a)0,0189; b) 0,00049

1.16. a)0,0702; b)0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Bölüm 2. Sürekli rastgele değişken

Tanım: Sürekli Tüm olası değerleri sayı doğrusunda sonlu veya sonsuz bir aralığı tamamen dolduran bir miktara denir.

Açıkçası, sürekli bir rastgele değişkenin olası değerlerinin sayısı sonsuzdur.

Sürekli bir rastgele değişken, bir dağılım fonksiyonu kullanılarak belirtilebilir.

Tanım: F dağıtım fonksiyonu sürekli bir rastgele değişken X'e, her x değeri için xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> değerini belirleyen F(x) fonksiyonu adı verilir. R

Dağıtım fonksiyonuna bazen kümülatif dağılım fonksiyonu denir.

Dağıtım fonksiyonunun özellikleri:

1)1≤ F(x) ≤1

2) Sürekli bir rastgele değişken için, dağılım fonksiyonu herhangi bir noktada süreklidir ve bireysel noktalar dışında her yerde türevlenebilir.

3) X rastgele değişkeninin (a;b), [a;b], [a;b] aralıklarından birine düşme olasılığı, F(x) fonksiyonunun değerleri arasındaki farka eşittir. a ve b noktalarında, yani R(a)<Х

4) Sürekli bir rastgele değişken olan X'in ayrı bir değer alma olasılığı 0'dır.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Bir dağıtım fonksiyonunu kullanarak sürekli bir rastgele değişken belirlemek tek yol değildir. Olasılık dağılım yoğunluğu (dağıtım yoğunluğu) kavramını tanıtalım.

Tanım : Olasılık dağılım yoğunluğu F ( X ) sürekli bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonunun türevidir, yani:

Olasılık yoğunluk fonksiyonuna bazen diferansiyel dağılım fonksiyonu veya diferansiyel dağılım yasası denir.

Olasılık yoğunluk dağılımı f(x) grafiğine denir olasılık dağılım eğrisi .

Olasılık yoğunluk dağılımının özellikleri:

1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height adresinde ="62 src="> 0, x≤2'de,

2'de f(x)= c(x-2)<х≤6,

x>6 için 0.

Bul: a) c'nin değeri; b) dağılım fonksiyonu F(x) ve grafiğini çizin; c) P(3≤x<5)

Çözüm:

+ ∞

a) c'nin değerini normalleştirme koşulundan buluyoruz: ∫ f(x)dx=1.

Bu nedenle -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height = "38 src = "> -∞ 2 2 x

eğer 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" genişlik = "14" yükseklik = "62"> 0, x≤2'de,

F(x)= (x-2)2/16, 2'de<х≤6,

x>6 için 1.

F(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 3'te gösterilmektedir.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width = "14" height = "62 src = "> x≤0'da 0,

F(x)= (3 arktan x)/π 0'da<х≤√3,

x>√3 için 1.

Diferansiyel dağılım fonksiyonunu f(x) bulun

Çözüm: f(x)= F’(x) olduğuna göre, o zaman

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Daha önce dağılmış rastgele değişkenler için tartışılan matematiksel beklenti ve dağılımın tüm özellikleri, sürekli olanlar için de geçerlidir.

Görev No.3. Rastgele değişken X, f(x) diferansiyel fonksiyonu ile belirtilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Bağımsız çözüm için problemler.

2.1. Sürekli bir rastgele değişken X, dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilir:

x≤0'da 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 için 0,

F(x)= - çünkü π/6'da 3x<х≤ π/3,

x> π/3 için 1.

Diferansiyel dağılım fonksiyonunu f(x) bulun ve ayrıca

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

x≤2'de 0,

f(x)= c x 2'de<х≤4,

x>4 için 0.

2.4. Sürekli bir rastgele değişken X, dağıtım yoğunluğuyla belirtilir:

x≤0'da 0,

0'da f(x)= c √x<х≤1,

x>1 için 0.

Bul: a) c sayısı; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x'te,

x'te 0.

Şunu bulun: a) F(x) ve grafiğini çizin; b) M(X),D(X), σ(X); c) Dört bağımsız denemede X değerinin (1;4) aralığına ait değerin tam olarak 2 katını alma olasılığı.

2.6. Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu verilmiştir:

x'te f(x)= 2(x-2),

x'te 0.

Şunu bulun: a) F(x) ve grafiğini çizin; b) M(X),D(X), σ(X); c) Üç bağımsız denemede X'in değerinin segmente ait değerin tam olarak 2 katını alma olasılığı.

2.7. f(x) fonksiyonu şu şekilde verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" genişlik = "43" yükseklik = "38 src = ">.jpg" genişlik = "16" yükseklik = "15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. f(x) fonksiyonu şu şekilde verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" genişlik = "45" yükseklik = "36 src = "> .jpg" genişlik = "16" yükseklik = "15">[- π /4 ; π /4].

Bul: a) fonksiyonun bazı rastgele değişken X'in olasılık yoğunluğu olacağı sabit c'nin değeri; b) dağılım fonksiyonu F(x).

2.9. (3;7) aralığında yoğunlaşan rastgele değişken X, F(x)= dağılım fonksiyonu tarafından belirtilir. olasılığını bulun

Rastgele değişken X şu değeri alacaktır: a) 5'ten az, b) 7'den az değil.

2.10. Rastgele değişken X, (-1;4) aralığına yoğunlaşmıştır,

F(x)= dağılım fonksiyonu ile verilir. olasılığını bulun

Rastgele değişken X şu değeri alacaktır: a) 2'den küçük, b) 4'ten az değil.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" genişlik = "43" yükseklik = "44 src = "> .jpg" genişlik = "16" yükseklik = "15">.

Bul: a) c sayısı; b) M(X); c) olasılık P(X> M(X))

2.12. Rastgele değişken diferansiyel dağılım fonksiyonu ile belirlenir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width = "60" height = "38 src = ">.jpg" width = "16 yükseklik = 15" yükseklik = "15"> .

Bul: a) M(X); b) olasılık P(X≤M(X))

2.13. Rem dağılımı olasılık yoğunluğu ile verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0 için.

f(x)'in gerçekten bir olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğunu kanıtlayın.

2.14. Sürekli bir rastgele değişken X'in olasılık dağılım yoğunluğu verilmiştir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width = "174" height = "136 src = ">(Şek. 4) (Şekil 5)

2.16. Rastgele değişken X, (0;4) aralığında “dik üçgen” yasasına göre dağıtılır (Şekil 5). Tüm sayı doğrusundaki f(x) olasılık yoğunluğu için analitik bir ifade bulun.

Cevaplar

x≤0'da 0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 için 0,

F(x)= 3sin 3x, π/6'da<х≤ π/3,

x> π/3 için 0. Sürekli bir rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğu f(x) bu aralıkta sabitse ve dışarıda 0'a eşitse, X'in tüm olası değerlerinin ait olduğu belirli bir aralıkta (a;b) düzgün bir dağılım yasasına sahiptir. o, yani

x≤a için 0,

f(x)= a için<х

x≥b için 0.

f(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 2’de gösterilmektedir. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a için 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Görev No.1. Rastgele değişken X, segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Bulmak:

a) olasılık dağılım yoğunluğu f(x) ve grafiğini çizin;

b) dağılım fonksiyonu F(x) ve grafiğini çizin;

c) M(X),D(X), σ(X).

Çözüm: Yukarıda tartışılan formülleri kullanarak a=3, b=7 ile şunları buluruz:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7'de,

x>7 için 0

Grafiğini oluşturalım (Şekil 3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width = "14" height = "86 src = "> x≤3'te 0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width = "203" height = "119 src = ">Şek. 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width = "14" height = "49 src = "> 0, x'te<0,

x≥0 için f(x)= λе-λх.

Üstel yasaya göre dağıtılan X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu aşağıdaki formülle verilir:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" genişlik = "191" yükseklik = "126 src = ">fig..jpg" genişlik = "22" yükseklik = "30">, D(X)=, σ (Х)=

Dolayısıyla üstel dağılımın matematiksel beklentisi ve standart sapması birbirine eşittir.

X'in (a;b) aralığına düşme olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanır:

P(bir<Х

Görev No.2. Cihazın ortalama arızasız çalışma süresi 100 saattir. Cihazın arızasız çalışma süresinin üstel dağılım yasasına sahip olduğunu varsayarak, şunu bulun:

a) olasılık dağılım yoğunluğu;

b) dağıtım işlevi;

c) Cihazın arızasız çalışma süresinin 120 saati aşma ihtimali.

Çözüm: Koşula göre, x'te M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 matematiksel dağılımı<0,

a) x≥0 için f(x)= 0,01e -0,01x.

b) x'te F(x)= 0<0,

x≥0'da 1-e -0,01x.

c) İstenilen olasılığı dağılım fonksiyonunu kullanarak buluruz:

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3.

§ 3.Normal dağıtım kanunu

Tanım: Sürekli bir rastgele değişken X'in sahip olduğu normal dağılım yasası (Gauss yasası), dağıtım yoğunluğu şu şekilde ise:

burada m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Normal dağılım eğrisi denir normal veya Gauss eğrisi (Şek.7)

Normal eğri x=m düz çizgisine göre simetriktir, x=a'da maksimuma sahiptir, eşittir.

Normal yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişken X'in dağılım fonksiyonu, aşağıdaki formüle göre Laplace fonksiyonu Ф (x) aracılığıyla ifade edilir:

Laplace fonksiyonu nerede.

Yorum: Ф(x) fonksiyonu tektir (Ф(-х)=-Ф(х)) ayrıca x>5 için Ф(х) ≈1/2 olduğunu varsayabiliriz.

F(x) dağılım fonksiyonunun grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" genişlik = "218" yükseklik = "33">

Sapmanın mutlak değerinin pozitif bir δ sayısından küçük olma olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanır:

Özellikle m=0 için aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

"Üç Sigma Kuralı"

Eğer bir X rastgele değişkeni m ve σ parametreleriyle normal bir dağılım yasasına sahipse, bu durumda değerinin (a-3σ; a+3σ) aralığında yer alması neredeyse kesindir, çünkü

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width = "157" height = "57 src = ">a)

b) Formülü kullanalım:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" genişlik = "369" yükseklik = "38 src = ">

Ф(х) fonksiyon değerleri tablosundan Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413'ü buluyoruz.

Yani istenilen olasılık:

P(28

Bağımsız çalışma için görevler

3.1. Rastgele değişken X, (-3;5) aralığında düzgün bir şekilde dağıtılır. Bulmak:

b) dağılım fonksiyonu F(x);

c) sayısal özellikler;

d) olasılık P(4)<х<6).

3.2. Rastgele değişken X, segment üzerinde eşit olarak dağıtılır. Bulmak:

a) dağılım yoğunluğu f(x);

b) dağılım fonksiyonu F(x);

c) sayısal özellikler;

d) olasılık P(3≤х≤6).

3.3. Otoyolda, yeşil ışığın araçlar için 2 dakika, sarı ışığın 3 saniye ve kırmızı ışığın 30 saniye yandığı vb. Otomatik bir trafik ışığı kuruludur. Bir araba, otoyolda rastgele bir anda ilerlemektedir. Bir arabanın trafik ışığından durmadan geçme olasılığını bulun.

3.4. Metro trenleri düzenli olarak 2 dakikalık aralıklarla çalışmaktadır. Bir yolcu platforma rastgele bir zamanda giriyor. Bir yolcunun tren için 50 saniyeden fazla beklemek zorunda kalma olasılığı nedir? Rastgele değişken X'in (tren için bekleme süresi) matematiksel beklentisini bulun.

3.5. Dağılım fonksiyonu tarafından verilen üstel dağılımın varyansını ve standart sapmasını bulun:

x'te F(x)= 0<0,

x≥0 için 1.-8x.

3.6. Sürekli bir rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğuyla belirtilir:

x'te f(x)= 0<0,

x≥0'da 0,7 e-0,7x.

a) Söz konusu rastgele değişkenin dağılım yasasını adlandırın.

b) F(X) dağılım fonksiyonunu ve X rastgele değişkeninin sayısal özelliklerini bulun.

3.7. Rastgele değişken X, olasılık dağılım yoğunluğu tarafından belirlenen üstel yasaya göre dağıtılır:

x'te f(x)= 0<0,

0,4 e-0,4 x, x≥0'da.

Test sonucunda X'in (2.5;5) aralığından bir değer alma olasılığını bulun.

3.8. Sürekli bir rastgele değişken X, dağıtım fonksiyonu tarafından belirtilen üstel yasaya göre dağıtılır:

x'te F(x)= 0<0,

x≥0'da 1.-0,6x

Test sonucunda X'in parçadan değer alma olasılığını bulun.

3.9. Normal dağılım gösteren bir rastgele değişkenin beklenen değeri ve standart sapması sırasıyla 8 ve 2'dir.

a) dağılım yoğunluğu f(x);

b) Test sonucunda X'in (10;14) aralığından bir değer alma olasılığı.

3.10. Rastgele değişken X, 3,5'lik bir matematiksel beklenti ve 0,04'lük bir varyansla normal olarak dağıtılır. Bulmak:

a) dağılım yoğunluğu f(x);

b) Test sonucunda X'in segmentten bir değer alma olasılığı.

3.11. Rastgele değişken X, M(X)=0 ve D(X)=1 ile normal olarak dağıtılır. |X|≤0,6 veya |X|≥0,6 olaylarından hangisinin olasılığı daha yüksektir?

3.12. X rastgele değişkeni M(X)=0 ve D(X)=1 ile normal dağılım gösterir. Hangi aralıktan (-0.5;-0.1) veya (1;2) bir test sırasında değer alma olasılığı daha yüksektir?

3.13. Hisse başına cari fiyat normal dağılım kanunu kullanılarak M(X)=10 den modellenebilir. birimler ve σ(X)=0,3 den. birimler Bulmak:

a) Mevcut hisse fiyatının 9,8 den olma olasılığı. birimler 10,4 güne kadar birimler;

b) “üç sigma kuralını” kullanarak mevcut hisse senedi fiyatının yer alacağı sınırları bulun.

3.14. Madde sistematik hatalar olmadan tartılır. Rastgele tartım hataları, ortalama kare oranı σ=5g olan normal yasaya tabidir. Dört bağımsız deneyde, üç tartımda 3r mutlak değerinde bir hata oluşmama olasılığını bulun.

3.15. Rastgele değişken X, M(X)=12.6 ile normal olarak dağıtılır. Bir rastgele değişkenin (11.4;13.8) aralığına düşme olasılığı 0.6826'dır. Standart sapmayı σ bulun.

3.16. X rastgele değişkeni M(X)=12 ve D(X)=36 ile normal dağılım göstermektedir. Test sonucunda X rastgele değişkeninin düşeceği aralığı 0,9973 olasılıkla bulunuz.

3.17. Otomatik bir makine tarafından üretilen bir parça, kontrol edilen parametresinin nominal değerden X sapması modulo 2 ölçüm birimini aşarsa hatalı olarak kabul edilir. X rastgele değişkeninin M(X)=0 ve σ(X)=0,7 ile normal dağıldığı varsayılmaktadır. Makine kusurlu parçaların yüzde kaçını üretiyor?

3.18. Parçanın X parametresi, nominal değere eşit 2 matematiksel beklentisi ve 0,014 standart sapması ile normal olarak dağıtılır. X'in nominal değerden sapmasının nominal değerin %1'ini aşmama olasılığını bulun.

Cevaplar

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" genişlik = "14" yükseklik = "110 src = ">

b) x≤-3 için 0,

F(x)= sol">

3.10. a)f(x)= ,

b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1.2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

Ayrık bir rastgele değişkenin dağılım serisi verilmiştir. Eksik olasılığı bulun ve dağılım fonksiyonunu çizin. Bu miktarın matematiksel beklentisini ve varyansını hesaplayın.

X rastgele değişkeni yalnızca dört değer alır: -4, -3, 1 ve 2. Bu değerlerin her birini belirli bir olasılıkla alır. Tüm olasılıkların toplamı 1'e eşit olması gerektiğinden eksik olasılık şuna eşittir:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonunu oluşturalım. Dağılım fonksiyonunun bilindiği takdirde:

Buradan,

Fonksiyonun grafiğini çizelim F(X) .

Ayrık bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, rastgele değişkenin değerinin ve karşılık gelen olasılığın çarpımlarının toplamına eşittir;

Ayrık bir rastgele değişkenin varyansını aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:

BAŞVURU

Kombinatorik elemanları

Burada: - bir sayının faktöriyeli

Etkinliklerle ilgili eylemler

Bir olay, bir deneyimin sonucu olarak gerçekleşebilecek veya gerçekleşmeyebilecek herhangi bir olgudur.

Etkinlikleri Birleştirme A Ve İÇİNDE- bu bir olay İLE bir görünüm veya olaydan oluşan A veya olaylar İÇİNDE veya her iki olay aynı anda.

Tanım:
;

Geçiş Etkinlikleri A Ve İÇİNDE- bu bir olay İLE her iki olayın aynı anda meydana gelmesinden oluşur.

Tanım:
;

Olasılığın klasik tanımı

Olayın olasılığı A deney sayısının oranıdır
bir olayın meydana gelmesine elverişli A, toplam deney sayısına göre
:

Olasılık çarpma formülü

Olayın olasılığı
aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

- olayın olasılığı A,

- olayın olasılığı İÇİNDE,

- olayın olasılığı İÇİNDE olayın gerçekleşmesi şartıyla A zaten oldu.

A ve B olayları bağımsızsa (birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini etkilemiyorsa), olayın olasılığı şuna eşittir:

Olasılıkları ekleme formülü

Olayın olasılığı
aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Olayın olasılığı A,

Olayın olasılığı İÇİNDE,

- olayların bir arada meydana gelme olasılığı A Ve İÇİNDE.

A ve B olayları uyumsuzsa (aynı anda meydana gelemiyorsa), olayın olasılığı şuna eşittir:

Toplam Olasılık Formülü

Hadi olay A olaylardan biriyle aynı anda gerçekleşebilir
,
, …,
- bunlara hipotez diyelim. Ayrıca biliniyor
- infaz olasılığı Ben-th hipotezi ve
- yürütme sırasında A olayının meydana gelme olasılığı Ben-th hipotezi. O zaman olayın olasılığı A aşağıdaki formülle bulunabilir:

Bernoulli şeması

n tane bağımsız test olsun. Bir olayın meydana gelme (başarı) olasılığı A her birinde sabit ve eşittir P başarısızlık olasılığı (yani olayın gerçekleşmemesi) A) Q = 1 - P. O zaman gerçekleşme olasılığı k başarı N Bernoulli formülü kullanılarak testler bulunabilir:

Büyük olasılıkla başarı sayısı Bernoulli şemasında bu, belirli bir olayın en yüksek olasılığa sahip gerçekleşme sayısıdır.

Aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Rastgele değişkenler

ayrık sürekli

(örneğin 5 çocuklu bir ailedeki kız sayısı) (örneğin su ısıtıcının düzgün çalışma süresi)

Ayrık rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri

Bir dağılım serisi tarafından ayrı bir miktar verilsin:
X

R , , …, - rastgele bir değişkenin değerleri;

, , …, karşılık gelen olasılık değerleridir.

Dağıtım işlevi , , …, - rastgele bir değişkenin değerleri Rastgele bir değişkenin dağılım fonksiyonu , , …, - rastgele bir değişkenin değerleri sayı doğrusu üzerinde tanımlanan ve olasılığına eşit olan bir fonksiyondur. daha az olacak:

X

Sınav soruları

Etkinlik. Rastgele olaylar üzerinde işlemler.

Olay olasılığı kavramı.

Olasılıkları toplama ve çarpma kuralları.

Koşullu olasılıklar.

Toplam olasılık formülü. Bayes'in formülü.

Bernoulli şeması.

Rastgele değişken, dağılım fonksiyonu ve dağılım serisi.

Dağıtım fonksiyonunun temel özellikleri.

Matematiksel beklenti. Matematiksel beklentinin özellikleri.

Dağılım. Dispersiyonun özellikleri.

Tek boyutlu bir rastgele değişkenin olasılık dağılım yoğunluğu.

Dağılım türleri: düzgün, üstel, normal, binom ve Poisson dağılımı.

Moivre-Laplace'ın yerel ve integral teoremleri.

İki rastgele değişkenli bir sistemin kanunu ve dağılım fonksiyonu.

İki rastgele değişkenden oluşan bir sistemin dağılım yoğunluğu.

Örnek. Örnek işleme. Çokgen ve frekans histogramı. Ampirik dağılım fonksiyonu.

Dağıtım parametrelerini tahmin etme kavramı.

Değerlendirme gereksinimleri. Güven aralığı. Matematiksel beklenti ve standart sapmayı tahmin etmek için aralıkların oluşturulması.

İstatistiksel hipotezler. Onay kriterleri.

Tanım 1

Bir rastgele değişken $X$, değerlerinin kümesi sonsuz veya sonlu ancak sayılabilirse ayrık (süreksiz) olarak adlandırılır.

Başka bir deyişle, değerleri numaralandırılabiliyorsa bir miktara ayrık denir.

Rastgele bir değişken dağıtım yasası kullanılarak tanımlanabilir.

Ayrık bir rastgele değişken $X$'ın dağılım yasası, ilk satırı rastgele değişkenin tüm olası değerlerini artan sırada gösteren ve ikinci satır bunların karşılık gelen olasılıklarını içeren bir tablo şeklinde belirtilebilir. değerler:

Şekil 1.

burada $р1+ р2+ ... + рn = 1$. Bu tablo.

ayrık bir rastgele değişkenin dağılımına yakın

Rastgele bir değişkenin olası değerleri kümesi sonsuzsa, o zaman $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ dizisi yakınsar ve toplamı $1$'a eşit olur. dağıtım poligonu.

Ayrık bir rastgele değişken olan $X$'ın dağıtım yasası, $(xi;pi), i=1,2, koordinatlarına sahip noktaları sırayla bağlayan (dikdörtgen) bir koordinat sisteminde kesikli bir çizginin oluşturulduğu grafiksel olarak temsil edilebilir. ..n$. Aldığımız hattın adı

Şekil 2.

Ayrık bir rastgele değişken olan $X$'ın dağılım yasası analitik olarak da temsil edilebilir (formül kullanılarak):

$P(X=xi)= \varphi (xi),i =1,2,3 ... n$.

Ayrık olasılıklar üzerinde işlemler

Olasılık teorisinde birçok problemi çözerken, ayrık bir rastgele değişkeni bir sabitle çarpma, iki rastgele değişkeni toplama, çarpma, yerine bir kuvvet koyma işlemlerini gerçekleştirmek gerekir. Bu durumlarda, rastgele ayrık miktarlar için aşağıdaki kurallara uymak gerekir:

Tanım 3Çarpma

ayrık bir rastgele değişken $X$'ın bir $K$ sabitine oranı, ayrık bir rastgele değişken $Y=KX,$ olup, şu eşitliklerle belirlenir: $y_i=Kx_i,\ \ p\left(y_i\right)=p\ left(x_i\right)= p_i,\ \ i=\overline(1,\ n).$

Tanım 4 İki rastgele değişken $x$ ve $y$ çağrılır bağımsız

Bunlardan birinin dağıtım yasası, ikinci miktarın elde ettiği olası değerlere bağlı değilse.

Tanım 5 iki bağımsız ayrık rastgele değişken $X$ ve $Y$, rastgele değişken $Z=X+Y olarak adlandırılır,$ eşitliklerle belirlenir: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij) )\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$ , $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Tanım 6

Tanım 3 iki bağımsız ayrık rastgele değişken $X$ ve $Y$ rastgele değişken olarak adlandırılır $Z=XY,$ şu eşitliklerle belirlenir: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right) =P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\ left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Bazı $x_(i\ \ \ \ \ )y_j$ çarpımlarının birbirine eşit olabileceğini dikkate alalım. Bu durumda bir çarpımın eklenmesi olasılığı karşılık gelen olasılıkların toplamına eşittir.

Örneğin, eğer $x_2\ \ y_3=x_5\ \ y_7,\ $o zaman $x_2y_3$ (veya aynı $x_5y_7$) olasılığı $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7'ye eşit olacaktır .$

Yukarıdakiler miktar için de geçerlidir. Eğer $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ ise, o zaman $x_1+\ y_2$ (veya aynı $x_4+\ y_6$) olasılığı $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6'ya eşit olacaktır. $

$X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri dağıtım yasalarıyla belirtilir:

Şekil 3.

Burada $p_1+p_2+p_3=1,\ \ \ p"_1+p"_2=1.$ O zaman $X+Y$ toplamının dağıtım yasası şu şekle sahip olacaktır:

Şekil 4.

Ve $XY$ ürününün dağıtım yasası şu şekilde olacaktır:

Şekil 5.

Dağıtım işlevi

Rastgele bir değişkenin tam bir açıklaması da dağıtım fonksiyonu tarafından verilmektedir.

Geometrik olarak dağılım fonksiyonu, $X$ rastgele değişkeninin sayı doğrusunda $x$ noktasının solunda yer alan nokta tarafından temsil edilen değeri alma olasılığı olarak açıklanır.

“Rastgele değişkenler” konusundaki problem çözme örnekleri.

Görev 1 . Piyango için 100 bilet basıldı. 50 USD değerinde bir kazanç elde edildi. ve her biri 10 USD tutarında on galibiyet. X değerinin dağıtım yasasını bulun - olası kazançların maliyeti.

Çözüm. X için olası değerler: x 1 = 0; X 2 = 10 ve x 3 = 50. 89 adet “boş” bilet olduğuna göre p 1 = 0,89, 10$ kazanma olasılığı. (10 bilet) – p 2 = 0,10 ve 50 USD kazanmak için -P 3 = 0,01. Böylece:


	0,89	0,10	0,01

Kontrolü kolay: .

Görev 2. Alıcının ürün reklamını önceden okumuş olma olasılığı 0,6'dır (p=0,6). Reklamın kalitesinin seçici kontrolü, reklamı önceden inceleyen ilk kişiden önce alıcılara anket yapılarak gerçekleştirilir. Ankete katılan alıcıların sayısına göre bir dağıtım serisi hazırlayın.

Çözüm. Problem koşullarına göre p=0,6. Gönderen: q=1 -p = 0,4. Bu değerleri yerine koyarsak şunu elde ederiz: ve bir dağıtım serisi oluşturun:


ben		0,24

Görev 3. Bir bilgisayar bağımsız olarak çalışan üç öğeden oluşur: sistem birimi, monitör ve klavye. Gerilimdeki tek bir keskin artışla, her bir elemanın arızalanma olasılığı 0,1'dir. Bernoulli dağılımına dayanarak, ağdaki bir güç dalgalanması sırasında arızalanan elemanların sayısı için bir dağıtım yasası hazırlayın.

Çözüm. düşünelim Bernoulli dağılımı(veya binom): olasılık N testlerde A olayı tam olarak görünecek k bir kere: , veya:


	Q N					P N

İÇİNDE Göreve geri dönelim.

X için olası değerler (arıza sayısı):

x 0 =0 – hiçbir öğe başarısız olmadı;

x 1 =1 – bir elemanın arızası;

x 2 =2 – iki elemanın arızası;

x 3 =3 – tüm elemanların arızası.

Koşullu olarak p = 0,1 olduğundan, q = 1 – p = 0,9 olur. Bernoulli formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

, ,

, .

Kontrol: .

Bu nedenle gerekli dağıtım kanunu:


	0,729	0,243	0,027	0,001

Sorun 4. 5.000 mermi üretildi. Kartuşlardan birinin arızalı olma olasılığı . Tüm partide tam olarak 3 adet hatalı fişek olma olasılığı nedir?

Çözüm. Uygulanabilir Poisson dağılımı: Bu dağılım çok büyük olasılıkları belirlemek için kullanılır.

Her birinde A olayının olasılığı çok küçük olan test sayısı (toplu testler), A olayı k kez meydana gelecektir: , Nerede .

Burada n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Bulduğumuzda istenilen olasılık: .

Sorun 5. Vuruş olasılığı p olan ilk vuruşa kadar ateş ederken = 0,6 atış yaparken üçüncü atışta isabet olma olasılığını bulmanız gerekir.

Çözüm. Geometrik bir dağılım uygulayalım: Her birinde A olayının gerçekleşme olasılığı p olan (ve gerçekleşmeme q = 1 – p) olan bağımsız denemeler yapılsın. Test, A olayı meydana gelir gelmez sona erer.

Bu koşullar altında, A olayının k. denemede meydana gelme olasılığı aşağıdaki formülle belirlenir: . Burada p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Dolayısıyla .

Sorun 6. Bir X rastgele değişkeninin dağılım yasası verilsin:

Matematiksel beklentiyi bulun.

Çözüm. .

Matematiksel beklentinin olasılıksal anlamının bir rastgele değişkenin ortalama değeri olduğuna dikkat edin.

Sorun 7. Rastgele değişken X'in varyansını aşağıdaki dağıtım yasasıyla bulun:

Çözüm. Burada .

X'in kare değeri için dağıtım yasası 2 :

X 2

Gerekli varyans: .

Dağılım, bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının (dağılımının) ölçüsünü karakterize eder.

Sorun 8. Dağılım tarafından rastgele bir değişken verilsin:

			10m

Sayısal özelliklerini bulun.

Çözüm: m, m 2 ,

M 2 , M.

X rastgele değişkeni hakkında şunu söyleyebiliriz: Matematiksel beklentisi 6,4 m ve varyansı 13,04 m'dir. 2 veya – matematiksel beklentisi m sapmayla 6,4 m'dir. İkinci formülasyon açıkça daha açıktır.

Görev 9. Rastgele değişken X dağıtım fonksiyonu tarafından verilir:
.