Gerçek sayılar, sayı eksenindeki görüntü. Gerçek sayılar, sayı eksenindeki görüntü Sayısal eşitsizlikler ve özellikleri

2 BİRİNCİ DERECE DENKLEMLER VE EŞİTSİZLİKLER
Bölüm 1'deki tekrar problemlerini çözerek konuyu incelemeye başlayın.

§ 4. EŞİTSİZLİKLER

Sayısal eşitsizlikler ve özellikleri

175. Sayıların arasına eşitsizlik işareti koyun A Ve B eğer biliniyorsa:
1) (a - b) - pozitif sayı;
2) (a - b) - negatif sayı;
3) (a - b) negatif olmayan bir sayıdır.

176. X, Eğer:
1) X> 0; 2) X < 0; 3) 1 < X; 4) X > -3,2?

177. Eşitsizlik işaretlerini kullanarak şunu yazın:
1) X- pozitif sayı;
2) en-negatif sayı;
3) | A| - sayı negatif değil;
4) iki pozitif sayının aritmetik ortalaması A Ve B geometrik ortalamalarından daha az değil;
5) İki rasyonel sayının toplamının mutlak değeri A Ve B terimlerin mutlak değerlerinin toplamından fazla değildir.

178. Sayıların işaretleri hakkında ne söyleyebilirsiniz? A Ve B, Eğer:

1) bir b> 0; 2) A / B > 0; 3) bir b< 0; 4) A / B < 0?

179. 1) Aşağıdaki sayıları bir eşitsizlik işaretiyle bağlayarak artan sırada düzenleyin: 0; -5; 2. Bu girdi nasıl okunmalı?

2) Aşağıdaki sayıları bir eşitsizlik işaretiyle bağlayarak azalan düzende düzenleyin: -10; 0,1;-2/3. Bu girişi nasıl okumalı?

180. Her biri 2 rakamını içeren üç basamaklı sayıların tümünü artan sırada yazın; 0; 5 ve bunları bir eşitsizlik işaretiyle bağlayın.

181. 1) Belirli bir uzunluğun tek bir ölçümü için ben 217 cm'den fazla, 218 cm'den az olduğunu tespit ederek bu sayıları uzunluk değeri için sınır olarak alarak ölçüm sonucunu yazın. ben.

2) Bir nesneyi tartarken 19,5 G'den ağır, 20,0 G'den hafif olduğu ortaya çıktı. Tartım sonucunu sınırları belirterek yazın.

182. Belirli bir nesneyi 0,05 kg hassasiyetle tartarken ağırlık elde edildi
P ≈ 26,4 kg. Bu öğe için ağırlık sınırlarını belirtin.

183. Sayı ekseninde sayıyı temsil eden noktanın bulunduğu yer X, Eğer:
1) 3 < X < 10; 2) - 2 < X < 7; 3) - 1 > X > - 6?

184. Sayı ekseninde tamsayı değerlerini bulun ve belirtin X, eşitsizlikleri tatmin etmek.

1) 0,2 < X <4;
2)-3 < X <2;
3) 1 / 2 < X< 5;
4) -1< X<;3.

185. 141 ile 152 arasında 9'un hangi katı bulunur? Sayı doğrusuna örnek veriniz.

186. Her birinin 103'ten büyük ve 115'ten küçük olduğu ve ilk sayının 13'ün katı, ikincisinin ise 3'ün katı olduğu bilinen iki sayıdan hangisinin büyük olduğunu belirleyin. Geometrik bir örnek veriniz.

187. Uygun kesirleri içeren en yakın tam sayılar nelerdir? Aralarındaki tüm uygunsuz kesirleri içeren iki tam sayıyı belirtmek mümkün müdür?

188. Matematik, fizik ve tarih üzerine 6 kitap satın aldı. Matematikte tarihten daha fazla ve fizikte tarihten daha az kitap satın alındıysa, her konuda kaç kitap satın alındı?

189. Bir cebir dersi sırasında üç öğrencinin bilgisi test edildi. Birincinin ikinciden, ikincinin üçüncüden daha yüksek puan aldığı ve her öğrencinin aldığı puanın ikiden fazla olduğu biliniyorsa, her öğrenci hangi notu almıştır?

190. Bir satranç turnuvasında en iyi sonuçlar A, B, C ve D satranç oyuncuları tarafından elde edildi. A'nın D'den daha fazla puan aldığı ve B'nin attığı biliniyorsa, turnuva katılımcılarının her birinin hangi sırayı aldığını bulmak mümkün müdür? C'den az mı?

191. Verilen eşitsizlik a > b. Her zaman mı a c > b c? Örnekler verin.

192. Verilen eşitsizlik A< B. Eşitsizlik doğru mu? A > - B?

193. Eşitsizlik işaretini değiştirmeden her iki tarafı da ifadeyle çarpmak mümkün mü? X 2 + 1, burada X- Herhangi bir rasyonel sayı var mı?

194. Eşitsizliğin her iki tarafını parantez içinde belirtilen faktörle çarpın.

1)-3 < 1 (5); 2) 2 < 5 (-1); 3) X > 2 (X);
4) A < - 1 (A); 5) B < - 3 (-B); 6)X -2 > 1 (X).

195. Tam bir eşitsizliğe yol açar:

196. Bir fonksiyon verildiğinde y = kx, Nerede k en artan argümanla X, eğer: 1) k> 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

197. Bir fonksiyon verildiğinde y = kx + b, Nerede k =/= 0, B=/= 0. Fonksiyon değerleri nasıl değişir? en azalan argüman değerleri ile X, eğer: 1) k > 0; 2) k < 0? Обосновать ответы.

198. Bunu kanıtla a > b Ve İle> 0 ise A / C > B / C; Eğer a > b Ve İle< 0, то A / C < B / C .

199. Eşitsizliğin her iki tarafını parantez içinde belirtilen sayılara bölün:

1) - 6 < 3 (1 / 3); 2) 4 > -1,5 (-1); 3) A < - 2A 2 (A);
4) A > A 2 (A); 5) A 3 > A 2 (-A).

200. Eşitsizlikleri terim terim ekleyin:

1) 12 > 11 ve 1 > -3;
2) -5 < 2 и 4 < 8,2;
3) A - 2 < 8 + B ve 5 - 2 A < 2 - B;
4) X 2 + 1 > 2X Ve X - 3 < 9 - X 2 .

201. Dışbükey bir dörtgenin her köşegeninin yarı çevresinden küçük olduğunu kanıtlayın.

202. Bir dışbükey dörtgenin karşılıklı iki kenarının toplamının köşegenlerinin toplamından küçük olduğunu kanıtlayın.

203. İkinci eşitsizlik terimini terim bazında birinciden çıkarın:

1)5 > 2; -3 < 1;
2) 0,2 < 3; 0,3 > -2;
3) 7 < 11; -4 < -3;
4) 2A- 1 > 3B; 2B > 3.

204. Bunu kanıtla | x |< а , O - A< х < а .

205. Aşağıdaki eşitsizlikleri çift eşitsizlik olarak yazın:
1) | T |< 1; 2) | X - 2 | < 2.

206. Tüm değerlerin kümesini bir sayı ekseninde belirtin X, eşitsizliklerin karşılanması: 1) | X |< 2; 2) | X | < 1; 3) | X | > 3; 4) | X - 1 | < 1.

207. Bunu kanıtlayın: A< х < а , sonra | x |< A.

208. Çift eşitsizlikleri kısa gösterimle değiştirin:
1) -2 < A < 2; 2) -1 < 2N < 1; 3) 1 < X < 3.

209. Yaklaşık uzunluk ben= 24,08(±0,01) mm. Uzunluk sınırlarını ayarlayın ben.

210. Aynı mesafenin metre cetveli kullanılarak beş kez ölçülmesi şu sonuçları verdi: 21.56; 21.60; 21.59; 21.55; 21.61 (m). Mutlak ve bağıl hataların sınırlarını gösteren ölçüm sonuçlarının aritmetik ortalamasını bulun.

211. Yük tartıldığında P=16,7 (±%0,4) kg elde edildi. R ağırlığının sınırlarını bulun.

212. A≈ 16,4, bağıl hata ε = %0,5. Mutlak hatayı bulun
Δ A ve yaklaşık sayının arasında yer aldığı sınırları belirleyin.

213. Yaklaşık değer belirtilen sayıda doğru rakamla alınırsa, aşağıdaki sayıların her birinin yaklaşık değerinin göreceli hata sınırını belirleyin: 1) Üç doğru rakamla 11/6; 2) √5 dört doğru rakamla.

214. Harita kullanarak iki şehir arasındaki mesafeyi ölçerken, bunun 24,4 cm'den fazla, ancak 24,8 cm'den az olduğunu buldular. Harita ölçeği 1: 2.500.000 ise şehirler arasındaki gerçek mesafeyi ve mutlak hesaplama hatasını bulun.

215. Hesaplamalar yapın ve sonucun mutlak ve göreceli hatalarını belirleyin: x = a + b - c, Eğer A= 7,22 (±0,01); 3.14< B < 3,17; İle= 5,4(±0,05).

216. Eşitsizlik terimini terimle çarpın:

1) 7 > 5 ve 3 >2; 2) 3< 5 и 2 / 3 <2;

3) - 6 < - 2 и - 3 < - 1; 4)A> 2 ve B < -2.

217. Verilen eşitsizlik A > B. Her zaman mı A 2 > B 2? Örnekler verin.

218. Eğer a > b > 0 ve N bir doğal sayıdır o halde yukarı > B. Kanıtlamak.

219. Hangisi daha büyük: (0,3) 20 mi yoksa (0,1) 10 mu?

220. Eğer a > b > 0 veya B< а < 0, ardından 1 / A < 1 / B. Kanıtlamak.

221. Arsa uzunluğunu ölçerken ±2 m'lik bir hata mümkünse ve genişliği ölçerken bir hata varsa, 437 m uzunluğunda ve 162 m genişliğinde dikdörtgen bir arsanın alanını hesaplayın. ±1 m mümkündür.

Tanım 1. Sayı ekseni orijini, ölçeği ve yönü seçilmiş olan düz bir çizgiye denir.

Teorem 1. Sayı doğrusu üzerindeki noktalar ile reel sayılar arasında birebir örtüşme (eşleşme) vardır.

Gereklilik. Sayı doğrusu üzerindeki her noktanın bir gerçel sayıya karşılık geldiğini gösterelim. Bunu yapmak için birim uzunlukta bir ölçek parçasını bir kenara bırakalım.

eğer öyleyse, mesele bu noktanın solunda kalacak ve nokta
zaten daha sağa. Sonraki bölüm
böl
parçaları ayırın ve segmenti bir kenara koyun ve eğer öyleyse, mesele bu noktanın solunda kalacak ve nokta
zaten daha sağa. Böylece her aşamada sayı
,
... Bu prosedür bir noktada biterse numarayı alacağız
(nokta koordinatı sayı ekseninde). Değilse herhangi bir aralığın sol sınırına "sayı" diyelim dezavantajlı” ve doğru olan – “bir sayıyla fazla" veya "sayıya yakın" Eksikliği veya fazlalığı olan” ve sayının kendisi sonsuz, periyodik olmayan (neden?) bir ondalık kesir olacaktır. İrrasyonel bir sayıya rasyonel yaklaşımlar içeren tüm işlemlerin açık bir şekilde belirlenir.

Yeterlilik. Herhangi bir reel sayının sayı ekseninde tek bir noktaya karşılık geldiğini gösterelim. 

Tanım 2. Eğer
, ardından sayısal aralık
ismindebölüm , Eğer
, ardından sayısal aralık ismindearalık , Eğer
, ardından sayısal aralık
ismindeyarım aralık .

HAKKINDA
tanım 3. Bir segmentte ise
segmentler iç içe geçmiştir, böylece
, A
, o zaman böyle bir sisteme SHS denir (iç içe geçmiş bölümler sistemi ).

Tanım 4. Bunu söylüyorlar

(bölüm uzunluğu
sıfıra eğilimli , şu şartla
), Eğer.

Tanım 5. SBC, sahip olduğu
CSS (sözleşmeli segment sistemi) olarak adlandırılır.

Cantor-Dedekind aksiyomu: Herhangi bir SHS'de aynı anda hepsine ait en az bir nokta vardır.

Sayının rasyonel yaklaşımları nedeniyle bir daralma bölümü sistemi ile temsil edilebilirse, rasyonel sayı Daralan segmentler sisteminde hepsine aynı anda ait olan tek bir nokta varsa, sayısal eksende tek bir noktaya karşılık gelecektir ( Cantor teoremi). Bunu çelişkiyle gösterelim.

. İzin vermek Ve böyle iki nokta ve
,
. T
nasıl, nasıl,
, O
. Ama öte yandan,
ve yani. bir sayıdan başlayarak
,
herhangi bir sabitten daha az olacaktır. Bu çelişki neyin gerekli olduğunu kanıtlıyor.

■
Böylece sayı ekseninin sürekli olduğunu (“deliği” olmadığını) ve üzerine daha fazla sayı yerleştirilemeyeceğini göstermiş olduk. Ancak herhangi bir reel sayıdan (özellikle negatif olanlardan) nasıl kök çıkaracağımızı hala bilmiyoruz ve aşağıdaki gibi denklemleri nasıl çözeceğimizi bilmiyoruz.

. 5. paragrafta bu sorunu çözeceğiz.

3. 4. Kenarlar teorisi Tanım 1.
Birçok (yukarıdan sınırlı aşağıdan ), eğer bir sayı varsa
öyle ki . Sayıisminde (tepe ) alt .

Tanım 2. Tanım 1.kenar sınırlı

, eğer hem yukarıdan hem de aşağıdan sınırlıysa. Tanım 3. Tam üst kenar
reel sayılar kümesinin üzerinde sınırlı :

isminde (onlar.

isminde – üst yüzlerden biri);

- hareket edemez). Yorum.
Bir sayı kümesinin tam üst sınırı (SUB)
ile gösterilir (lat.üstün

- hareket edemez). - büyüklerin en küçüğü). TNG için karşılık gelen tanım ( tam alt kenar
Bir sayı kümesinin tam üst sınırı (SUB)
ile gösterilir ) kendini ver. TNG numarası seti sonsuz

- hareket edemez). - en küçüğün en büyüğü).
ait olabilir ya da belki de değil. Sayı negatif gerçek sayılar kümesinin bir TVG'si ve pozitif gerçek sayılar kümesinin bir TVG'sidir, ancak ne birine ne de diğerine ait değildir. Sayı

doğal sayılar kümesinin bir TNG'sidir ve bunları ifade eder.

Teorem 1. Şu soru ortaya çıkıyor: Herhangi bir sınırlı kümenin kesin sınırları var mıdır ve kaç tane vardır?

Yukarıda sınırlanan boş olmayan herhangi bir gerçek sayı kümesinin benzersiz bir TVG'si vardır. (benzer şekilde TNG teoremini kendiniz formüle edin ve kanıtlayın). Tasarım.
Birçok
Ve
yukarıda sınırlanmış boş olmayan bir gerçek sayılar kümesi. Daha sonra

. Segmenti böl
N
ikiye bölün ve buna segment adını verin

aşağıdaki özelliklere sahip olan biri:
bölüm
en az bir nokta içerir );

. (örneğin nokta
tüm kalabalık noktanın solunda yer alır
.

yani
Bu prosedüre devam ederek SSS alıyoruz . Dolayısıyla Cantor teoremine göre tek bir nokta vardır.
.

, aynı anda tüm segmentlere ait. Hadi bunu gösterelim
Hadi bunu gösterelim (onlar.
. Çünkü
, O
en kısa zamanda
,
noktanın solunda yer alır
noktanın solunda yer alır
. Nokta seçim kuralına göre
, nokta her zaman sola noktanın solunda yer alır
bu nedenle ve
. Ancak her şey olacak şekilde seçilmiştir
, A
yani Ve
. Bu çelişki teoremin bu kısmını kanıtlıyor.

Değişmezliği gösterelim noktanın solunda yer alır
. Haydi düzeltelim
ve numarayı bulun. Buna göre
segmentleri seçmek için kural 1 ile. Az önce bunu gösterdik
noktanın solunda yer alır
, veya
. Böylece
, veya
. ■

Eksen, iki olası yönden birinin pozitif olarak seçildiği (karşı yön negatif olarak kabul edilir) düz bir çizgidir. Pozitif yön genellikle bir okla gösterilir. Sayısal (veya koordinat) eksen, başlangıç noktasının (veya orijininin) O ve ölçek biriminin veya ölçek segmentinin OE seçildiği eksendir (Şekil 1).

Böylece sayı ekseni çizgi üzerinde yönü, orijini ve ölçeği belirtilerek belirtilir.

Gerçek sayılar sayı eksenindeki noktalar kullanılarak temsil edilir. Tamsayılar, ölçek segmentinin pozitif bir tamsayı durumunda O başlangıcından itibaren gerekli sayıda sağa, negatif bir tamsayı durumunda sola yerleştirilmesiyle elde edilen noktalarla temsil edilir. Sıfır, O başlangıç noktasıyla temsil edilir (O harfinin kendisi sıfırı anımsatır; “başlangıç” anlamına gelen origo kelimesinin ilk harfidir). Kesirli (rasyonel) sayılar da basitçe eksen noktalarıyla temsil edilir; örneğin, sayıya karşılık gelen bir nokta oluşturmak için, üç ölçek parçasını ve ölçek parçasının başka bir üçte birini O'nun soluna koymalısınız (Şekil 1'deki A noktası). Şekil 2'deki A noktasına ek olarak. Şekil 1 aynı zamanda sırasıyla -2 rakamlarını temsil eden B, C, D noktalarını da göstermektedir; 3/2; 4.

Sonsuz sayıda tamsayı vardır, ancak sayı ekseninde tamsayılar "seyrek" olarak konumlandırılmış noktalarla gösterilir; eksen üzerindeki tamsayı noktaları komşularından bir ölçek birimi kadar aralıklıdır. Rasyonel noktalar eksen üzerinde çok “yoğun” bir şekilde yerleştirilmiştir; eksenin ne kadar küçük olursa olsun herhangi bir kısmında rasyonel sayıları temsil eden sonsuz sayıda noktanın bulunduğunu göstermek zor değildir. Ancak sayı doğrusu üzerinde rasyonel sayıların görüntüsü olmayan noktalar da vardır. Dolayısıyla, sayı ekseninde, OEC dik üçgeninin hipotenüs OS'sine eşit bir OA segmentini bacaklarla inşa edersek, bu segmentin uzunluğu (Pisagor teoremine göre, paragraf 216) eşit olacaktır ve A noktası olmayacaktır. rasyonel bir sayının resmi.

Tarihsel olarak, irrasyonel sayıların ortaya çıkmasına yol açan şey, uzunlukları sayılarla (rasyonel sayılar!) ifade edilemeyen bölümlerin varlığıydı.

Rasyonel sayılarla birlikte tüm gerçek sayılar kümesini oluşturan irrasyonel sayıların tanıtılması, sayı eksenindeki her noktanın, görüntüsüne hizmet ettiği tek bir gerçek sayıya karşılık gelmesine yol açar. Aksine her reel sayı, sayı ekseninde çok spesifik bir nokta ile temsil edilir. Reel sayılar ile sayı eksenindeki noktalar arasında birebir ilişki kurulur.

Sayı eksenini sürekli bir doğru olarak düşündüğümüzden ve noktaları reel sayılar ile birebir örtüştüğünden reel sayılar kümesinin süreklilik özelliğinden bahsediyoruz (madde 6).

Şunu da belirtelim ki, bir bakıma (belirtmiyoruz) irrasyonel sayıların rasyonel sayılarla kıyaslanamayacak kadar fazla olduğunu.

Görüntüsü sayısal eksenin bu A noktası olan sayıya bu noktanın koordinatı denir; a'nın A noktasının koordinatı olduğu gerçeği şu şekilde yazılır: A(a). Herhangi bir A noktasının koordinatı, OA segmentinin OA/OE'sinin OE ölçek segmentine oranı olarak ifade edilir ve O orijininden negatif yönde uzanan noktalara bir eksi işareti atanır.

Şimdi düzlemde dikdörtgen Kartezyen koordinatları tanıtalım. Ortak bir O kökenine ve eşit ölçek bölümlerine sahip, karşılıklı olarak dik iki sayısal eksen Ox ve Oy'u alalım (pratikte, farklı ölçek birimlerine sahip koordinat eksenleri sıklıkla kullanılır). Diyelim ki bu eksenler (Şekil 3) düzlemde Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi oluşturuyor. O noktasına koordinatların orijini, Ox ve Oy eksenlerine koordinat eksenleri denir (Ox eksenine apsis ekseni, Oy eksenine ordinat ekseni denir). Şek. 3, her zamanki gibi apsis ekseni yatay, ordinat ekseni dikeydir. Koordinat sisteminin belirtildiği düzleme koordinat düzlemi denir.

Düzlemdeki her noktaya bir çift sayı atanır - bu noktanın belirli bir koordinat sistemine göre koordinatları. Yani, M noktasının Ox ve Oy eksenleri üzerindeki dikdörtgen izdüşümlerini alalım; Ox ve Oy eksenleri üzerindeki karşılık gelen noktalar Şekil 2'de gösterilmiştir. 3'ten

Bir nokta, sayısal eksen üzerinde bir nokta olarak bir x koordinatına (apsis) sahiptir ve sayısal eksen üzerinde bir nokta olarak bir nokta, bir y koordinatına (koordinat) sahiptir. Bu iki y sayısına (belirtilen sırayla yazılan) M noktasının koordinatları denir.

Aynı zamanda şunu yazıyorlar: (x, y).

Dolayısıyla, düzlemdeki her nokta, sıralı bir gerçek sayı çifti (x, y) - bu noktanın Kartezyen dikdörtgen koordinatları - ile ilişkilidir. "Sıralı çift" terimi, çiftin ilk sayısı olan apsis ile ikincisi olan ordinat arasında ayrım yapılması gerektiğini belirtir. Aksine, her bir sayı çifti (x, y), x'in apsis, y'nin ise ordinat görevi gördüğü tek bir M noktasını tanımlar. Bir düzlemde dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sisteminin belirtilmesi, düzlemdeki noktalar ile sıralı reel sayı çiftleri arasında bire bir yazışma sağlar.

Koordinat eksenleri koordinat düzlemini dört parçaya, dört çeyreğe böler. Çeyrekler Şekil 2'de gösterildiği gibi numaralandırılmıştır. 3, Romen rakamlarıyla.

Bir noktanın koordinatlarının işaretleri, aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi, hangi çeyrekte bulunduğuna bağlıdır:

Eksen üzerinde yer alan noktaların y koordinatı sıfıra eşittir, Oy ekseni üzerindeki noktaların apsisi ise sıfıra eşittir. O orjininin her iki koordinatı da sıfıra eşittir: .

Örnek 1. Düzlemde noktalar oluşturun

Çözüm Şekil 2'de verilmiştir. 4.

Belirli bir noktanın koordinatları biliniyorsa, Ox, Oy eksenlerine göre simetrik olan noktaların koordinatlarını ve koordinatların kökenini belirtmek kolaydır: Ox eksenine göre M ile simetrik bir nokta, koordinatlara sahip olacaktır. Koordinata göre M ile simetrik bir noktanın ve son olarak orijine göre M ile simetrik bir noktanın koordinatları (-x, -y) olacaktır.

Koordinat açılarının açıortayına göre simetrik olan bir çift noktanın koordinatları arasındaki ilişkiyi de belirtebilirsiniz (Şekil 5); bu M noktalarından birinin x ve y koordinatları varsa, o zaman ikincinin apsisi birinci noktanın ordinatına, ordinatı da birinci noktanın apsisine eşittir.

Başka bir deyişle, koordinat açılarının açıortayına göre M ile simetrik olan bir N noktasının koordinatları olacaktır. Bu konumu kanıtlamak için O AM ve OBN dik üçgenlerini düşünün. Koordinat açısının açıortayına göre simetrik olarak bulunurlar ve bu nedenle eşittirler. Karşılık gelen bacaklarını karşılaştırarak ifademizin doğruluğuna ikna olacağız.

Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemi, eksenlerin yönünü ve ölçek parçasının boyutunu değiştirmeden, O orjinini yeni bir O noktasına taşıyarak dönüştürülebilir. Şek. Şekil 6 aynı anda iki koordinat sistemini göstermektedir: O merkezli "eski" ve O merkezli "yeni". Artık rastgele bir M noktasının iki koordinat çifti vardır; biri eski koordinat sistemine göreli, diğeri göreli yenisine. Eski sistemdeki yeni orijinin koordinatları ile gösterilirse, M noktasının eski koordinatları ile yeni koordinatları (x, y) arasındaki bağlantı formüllerle ifade edilecektir.

Bu formüllere koordinat sistemi transfer formülleri denir; Şekil 2'ye göre bunları çizerken. Şekil 6'da hem eski hem de yeni sistemlerin ilk çeyreğinde yer alan M noktasının en uygun konumu seçildi.

M noktasının herhangi bir konumu için formüllerin (8.1) doğru kalmasını sağlayabilirsiniz.

M noktasının düzlem üzerindeki konumu yalnızca Kartezyen dikdörtgen koordinatları y ile değil, aynı zamanda başka yollarla da belirlenebilir. Örneğin M noktasını O'nun başlangıcına bağlayalım (Şekil 7) ve şu iki sayıyı ele alalım: parçanın uzunluğu ve bu parçanın eksenin pozitif yönüne eğim açısı. Eksenin OM ile hizalanmadan önce döndürülmesi gereken açı olarak tanımlanır ve dönüş saat yönünün tersine yapılırsa pozitif, aksi takdirde trigonometride geleneksel olduğu gibi negatif kabul edilir. Segmente M noktasının kutupsal yarıçapı denir. açı kutup açısıdır, sayı çifti ise M noktasının kutupsal koordinatlarıdır. Gördüğünüz gibi, bir noktanın kutupsal koordinatlarını belirlemek için yalnızca bir koordinat ekseni Ox belirtmeniz gerekir (bu durumda Ox olarak adlandırılır). kutup ekseni). Bununla birlikte, Şekil 1'de yapıldığı gibi hem kutupsal hem de Kartezyen dikdörtgen koordinatları aynı anda dikkate almak uygundur. 7.

Bir noktanın kutup açısı, noktanın belirsiz bir şekilde belirtilmesiyle belirlenir: eğer noktanın kutup açılarından biri ise, o zaman her açı

onun kutup açısı olacaktır. Kutupsal yarıçapın ve açının belirtilmesi, noktanın konumunu benzersiz bir şekilde belirler. O orijini (kutupsal koordinat sisteminin kutbu olarak adlandırılır) sıfıra eşit bir yarıçapa sahiptir; O noktasına belirli bir kutup açısı atanmamıştır.

Bir noktanın Kartezyen ve kutupsal koordinatları arasında aşağıdaki ilişkiler vardır:

trigonometrik fonksiyonların tanımından doğrudan takip edilir (madde 97). Bu ilişkiler, verilen kutupsal koordinatlardan Kartezyen koordinatları bulmanızı sağlar. Aşağıdaki formüller:

ters problemi çözmenize izin verir: bir noktanın verilen Kartezyen koordinatlarını kullanarak kutupsal koordinatlarını bulun.

Bu durumda, (veya) değerine göre, ilk daire içindeki açının iki olası değeri bulunabilir; bunlardan biri işaret soef tarafından seçilir. Açıyı teğetine göre de belirleyebilirsiniz: ancak bu durumda bulunduğu çeyrek soef veya işaretiyle belirtilir.

Kutupsal koordinatları ile belirlenen bir nokta, kutup açısına ve yarıçapına göre (Kartezyen koordinatları hesaplanmadan) oluşturulur.

Örnek 2. Noktaların Kartezyen koordinatlarını bulun.

$R$ gerçek sayılar kümesinin rasyonel ve irrasyonel sayılardan oluştuğunu zaten biliyoruz.

Rasyonel sayılar her zaman ondalık kesirler (sonlu veya sonsuz periyodik) olarak temsil edilebilir.

İrrasyonel sayılar sonsuz fakat periyodik olmayan ondalık kesirler olarak yazılır.

$R$ gerçek sayılar kümesi aynı zamanda $-\infty $ ve $+\infty $ öğelerini de içerir; bunlar için $-\infty eşitsizlikleri geçerlidir

Gerçek sayıları temsil etmenin yollarına bakalım.

Ortak kesirler

Ortak kesirler iki doğal sayı ve bir yatay kesir çizgisi kullanılarak yazılır. Kesir çubuğu aslında bölme işaretinin yerini alır. Çizginin altındaki sayı kesrin paydasını (bölen), üstündeki sayı ise payını (bölünen) gösterir.

Tanım

Bir kesirin payı paydasından küçükse bu kesirlere tam sayı denir. Tersine, payı paydadan büyük veya ona eşitse bir kesire uygunsuz kesir denir.

Sıradan kesirler için basit, neredeyse açık karşılaştırma kuralları vardır ($m$,$n$,$p$ - doğal sayılar):

paydaları aynı olan iki kesirden payı büyük olan daha büyüktür, yani $m>n$ için $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $;
Payları aynı olan iki kesirden paydası küçük olan daha büyüktür, yani $ m için $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $
uygun bir kesir her zaman birden küçüktür; uygunsuz bir kesir her zaman birden büyüktür; payın paydaya eşit olduğu bir kesir bire eşittir;
Her yanlış kesir, her doğru kesirden daha büyüktür.

Ondalık sayılar

Ondalık sayının (ondalık kesir) gösterimi şu şekildedir: tam sayı kısmı, ondalık nokta, kesirli kısım. Ortak bir kesrin ondalık gösterimi, payın paydaya “açı” ile bölünmesiyle elde edilebilir. Bu, sonlu bir ondalık kesir veya sonsuz bir periyodik ondalık kesir ile sonuçlanabilir.

Tanım

Kesirli kısmın rakamlarına ondalık sayı denir. Bu durumda, ondalık basamaktan sonraki ilk basamağa ondalık basamak, ikinciye yüzde birlik basamak, üçüncüye binde birlik basamak vb. denir.

Örnek 1

3,74 ondalık sayısının değerini belirleyin. Şunu elde ederiz: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Ondalık sayı yuvarlanabilir. Bu durumda yuvarlamanın yapılacağı rakamı belirtmeniz gerekir.

Yuvarlama kuralı aşağıdaki gibidir:

bu rakamın sağındaki tüm rakamlar sıfırlarla değiştirilir (eğer bu rakamlar virgülden önceyse) veya atılır (eğer bu rakamlar virgülden sonraysa);
Bir rakamdan sonraki ilk rakam 5'ten küçükse bu rakamın rakamı değişmez;
Bir rakamdan sonraki ilk rakam 5 veya daha fazla ise bu rakamın rakamı bir artırılır.

Örnek 2

17302 sayısını binliğe yuvarlayalım: 17000.
17378 sayısını yüze yuvarlayalım: 17400.
17378,45 sayısını onluğa yuvarlayalım: 17380.
378.91434 sayısını en yakın yüzlüğe yuvarlayalım: 378.91.
378.91534 sayısını en yakın yüzlüğe yuvarlayalım: 378.92.

Ondalık bir sayıyı kesire dönüştürün.

Durum 1

Ondalık sayı, sonlanan bir ondalık kesri temsil eder.

Aşağıdaki örnek dönüştürme yöntemini göstermektedir.

Örnek 2

Elimizde: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Bunu ortak bir paydaya indiririz ve şunu elde ederiz:

Kesir azaltılabilir: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Durum 2

Ondalık sayı sonsuz bir periyodik ondalık kesri temsil eder.

Dönüşüm yöntemi, periyodik bir ondalık kesirin periyodik kısmının, sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı olarak değerlendirilebileceği gerçeğine dayanmaktadır.

Örnek 4

$0,\left(74\right)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. İlerlemenin ilk terimi $a=0.74$'dır, ilerlemenin paydası $q=0.01$'dır.

Örnek 5

$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . İlerlemenin ilk terimi $a=0.08$'dır, ilerlemenin paydası $q=0.1$'dır.

Sonsuz azalan geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamı $s=\frac(a)(1-q) $ formülüyle hesaplanır; burada $a$ ilk terimdir ve $q$ ilerlemenin paydasıdır $ \sol (0

Örnek 6

Sonsuz periyodik ondalık kesir $0,\left(72\right)$'ı normal kesir haline dönüştürelim.

İlerlemenin ilk terimi $a=0.72$'dır, ilerlemenin paydası $q=0.01$'dır. Şunu elde ederiz: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,72)(1-0,01) =\frac(0,72)(0,99) =\frac(72)( 99) =\frac(8) )(11) $. Böylece, $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Örnek 7

Sonsuz periyodik ondalık kesir $0,5\left(3\right)$'ı normal kesre dönüştürelim.

İlerlemenin ilk terimi $a=0.03$'dır, ilerlemenin paydası $q=0.1$'dır. Şunu elde ederiz: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30) $.

Böylece, $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)( 30) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Gerçek sayılar sayı eksenindeki noktalarla temsil edilebilir.

Bu durumda, sayı eksenini, üzerinde kökenin ($O$ noktası), pozitif yönün (bir okla gösterilen) ve ölçeğin (değerleri görüntülemek için) seçildiği sonsuz bir düz çizgi olarak adlandırırız.

Tüm reel sayılar ile sayı eksenindeki tüm noktalar arasında birebir bir ilişki vardır: her nokta tek bir sayıya, her sayı da tek bir noktaya karşılık gelir. Sonuç olarak, tıpkı sayı doğrusunun sürekli ve sonsuz olması gibi, reel sayılar kümesi de sürekli ve sonsuzdur.

Reel sayılar kümesinin bazı alt kümelerine sayısal aralıklar denir. Sayısal bir aralığın elemanları, belirli bir eşitsizliği karşılayan $x\in R$ sayılarıdır. $a\in R$, $b\in R$ ve $a\le b$ olsun. Bu durumda aralık türleri şu şekilde olabilir:

Aralık $\left(a,\; b\right)$. Aynı zamanda $a
$\left$ segmentine ayırın. Üstelik $a\le x\le b$.
Yarım segmentler veya yarım aralıklar $\left$. Üstelik $ a \le x
Sonsuz aralıklar, örneğin $a

Bir noktanın komşuluğu adı verilen aralık türü de önemlidir. Belirli bir $x_(0) \in R$ noktasının komşuluğu, bu noktayı kendi içinde içeren rastgele bir $\left(a,\; b\right)$ aralığıdır, yani $a 0$ onun yarıçapıdır.

Bir sayının mutlak değeri

$x$ gerçek sayısının mutlak değeri (veya modülü), negatif olmayan bir gerçek sayı $\left|x\right|$ olup, şu formülle belirlenir: $\left|x\right|=\left\(\ begin(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm at)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm at)\; \; x

Geometrik olarak $\left|x\right|$, sayı doğrusunda $x$ ile 0 noktaları arasındaki mesafe anlamına gelir.

Mutlak değerlerin özellikleri:

tanımdan şu sonuç çıkıyor: $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
iki sayının toplamının modülü ve farkının modülü için aşağıdaki eşitsizlikler geçerlidir: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right| $, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, ayrıca $\left|x+y\right|\ge \left|x\right |-\left|y\right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
çarpımın modülü ve iki sayının bölümünün modülü için aşağıdaki eşitlikler doğrudur: $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right| $ ve $\left|\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

Rastgele bir $a>0$ sayısı için mutlak değerin tanımına dayanarak, aşağıdaki eşitsizlik çiftlerinin denkliği de kurulabilir:

if $\sol|x\sağ|
eğer $\left|x\right|\le a$ ise $-a\le x\le a$;
eğer $\left|x\right|>a$ ise, o zaman ya $xa$;
$\left|x\right|\ge a$ ise, o zaman ya $x\le -a$ ya da $x\ge a$.

Örnek 8

$\left|2\cdot x+1\right| eşitsizliğini çözün

Bu eşitsizlik $-7 eşitsizliğine eşdeğerdir.

Buradan şunu elde ederiz: $-8