Ortak bir kesri bir sayıya bölmek. Bir kesri bir kesire bölmek

En son kesirlerde toplama ve çıkarma yapmayı öğrendik (“Kesirlerde toplama ve çıkarma” dersine bakın). Bu eylemlerin en zor kısmı kesirleri ortak paydada buluşturmaktı.

Şimdi çarpma ve bölmeyle uğraşmanın zamanı geldi. İyi haber şu ki bu işlemler toplama ve çıkarma işlemlerinden bile daha basit. İlk olarak, ayrılmış bir tam sayı kısmı olmayan iki pozitif kesirin olduğu en basit durumu ele alalım.

İki kesri çarpmak için pay ve paydalarını ayrı ayrı çarpmanız gerekir. İlk sayı yeni kesrin payı, ikincisi ise paydası olacaktır.

İki kesri bölmek için, ilk kesri "tersine çevrilmiş" ikinci kesirle çarpmanız gerekir.

Tanım:

Tanımdan, kesirlerin bölünmesinin çarpma işlemine indirgendiği anlaşılmaktadır. Bir kesri "çevirmek" için pay ve paydayı değiştirmeniz yeterlidir. Bu nedenle ders boyunca ağırlıklı olarak çarpma işlemini ele alacağız.

Çarpmanın bir sonucu olarak, indirgenebilir bir kesir ortaya çıkabilir (ve sıklıkla ortaya çıkar) - elbette azaltılması gerekir. Tüm azaltmalardan sonra kesirin yanlış olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısım vurgulanmalıdır. Ancak çarpma işleminde kesinlikle gerçekleşmeyecek olan şey, ortak bir paydaya indirgemedir: çapraz yöntem yok, en büyük çarpanlar ve en küçük ortak katlar.

Tanım gereği elimizde:

Kesirlerin tam parçalarla ve negatif kesirlerle çarpılması

Kesirler bir tamsayı kısmı içeriyorsa, bunların yanlış olanlara dönüştürülmesi ve ancak daha sonra yukarıda belirtilen şemalara göre çarpılması gerekir.

Bir kesrin payında, paydasında veya önünde bir eksi varsa, aşağıdaki kurallara göre çarpmadan çıkarılabilir veya tamamen çıkarılabilir:

1. Artı eksi eksi verir;
2. İki olumsuz bir olumlu yapar.

Şimdiye kadar bu kurallarla ancak negatif kesirlerde toplama ve çıkarma yaparken, bütünden kurtulmak gerektiğinde karşılaşılıyordu. Bir iş için, birkaç dezavantajı aynı anda "yakmak" amacıyla genelleştirilebilirler:

1. Negatifleri tamamen ortadan kaybolana kadar çiftler halinde çiziyoruz. Aşırı durumlarda, bir eksi hayatta kalabilir - eşi olmayan;
2. Eksi kalmadıysa işlem tamamlanmıştır - çarpmaya başlayabilirsiniz. Eğer son eksinin üzeri çizilmemişse, bunun için bir çift olmadığından, onu çarpma sınırlarının dışına çıkarırız. Sonuç negatif bir kesirdir.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürüyoruz ve ardından eksileri çarpma işleminden çıkarıyoruz. Geriye kalanları alışılmış kurallara göre çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

Tam kısmı vurgulanmış bir kesirin önünde görünen eksi işaretinin, yalnızca kesrin tamamına değil, özellikle kesrin tamamına atıfta bulunduğunu bir kez daha hatırlatmama izin verin (bu, son iki örnek için geçerlidir).

Negatif sayılara da dikkat edin: çarparken parantez içine alınırlar. Bu, eksileri çarpma işaretlerinden ayırmak ve tüm gösterimi daha doğru hale getirmek için yapılır.

Kesirlerin anında azaltılması

Çarpma oldukça emek yoğun bir işlemdir. Buradaki sayılar oldukça büyük çıkıyor ve sorunu basitleştirmek için kesri daha da azaltmayı deneyebilirsiniz çarpmadan önce. Aslında kesirlerin payları ve paydaları aslında sıradan faktörlerdir ve bu nedenle kesirin temel özelliği kullanılarak azaltılabilirler. Örneklere bir göz atın:

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Tanım gereği elimizde:

Tüm örneklerde azaltılan sayılar ve kalanlar kırmızıyla işaretlenmiştir.

Lütfen unutmayın: İlk durumda çarpanlar tamamen azaltıldı. Bunların yerine genel anlamda yazılması gerekmeyen birimler kalmıştır. İkinci örnekte tam bir azalma elde etmek mümkün olmadı ancak toplam hesaplama miktarı yine de azaldı.

Ancak kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken asla bu tekniği kullanmayın! Evet, bazen azaltmak istediğiniz benzer sayılar vardır. İşte, bakın:

Bunu yapamazsın!

Hata, toplama sırasında bir kesrin payının sayıların çarpımı değil, bir toplam üretmesi nedeniyle oluşur. Sonuç olarak kesrin temel özelliğini uygulamak imkansızdır çünkü bu özellik özellikle sayıların çarpımı ile ilgilidir.

Kesirleri azaltmanın başka hiçbir nedeni yoktur, bu nedenle önceki problemin doğru çözümü şöyle görünür:

Doğru çözüm:

Gördüğünüz gibi doğru cevabın o kadar da güzel olmadığı ortaya çıktı. Genel olarak dikkatli olun.

Kesir, bir bütünün bir veya daha fazla parçası olup genellikle bir (1) olarak alınır. Doğal sayılarda olduğu gibi kesirlerle de tüm temel aritmetik işlemleri (toplama, çıkarma, bölme, çarpma) gerçekleştirebilirsiniz; bunun için kesirlerle çalışmanın özelliklerini bilmeniz ve türlerini ayırt etmeniz gerekir. Birkaç kesir türü vardır: ondalık ve sıradan veya basit. Her kesir türünün kendine has özellikleri vardır, ancak bunları nasıl ele alacağınızı iyice anladığınızda, kesirlerle aritmetik hesaplamalar yapmanın temel ilkelerini bileceğiniz için kesirlerle her türlü örneği çözebileceksiniz. Farklı kesir türlerini kullanarak bir kesirin bir tam sayıya nasıl bölüneceğine ilişkin örneklere bakalım.

Ondalık sayı bir tam sayıya nasıl bölünür?
Ondalık sayı, bir birimin on, bin vb. parçalara bölünmesiyle elde edilen kesirdir. Ondalık sayılarla aritmetik işlemler oldukça basittir.

Bir kesirin bir tam sayıya nasıl bölüneceğine ilişkin bir örneğe bakalım. Diyelim ki 0,925 ondalık kesirini 5 doğal sayısına bölmemiz gerekiyor.

• ondalık kesri bir doğal sayıya bölmek için uzun bölme kullanılır;
  
• Payın tamamının bölünmesi tamamlandığında bölüme virgül konur.
  

Sıradan kesirli sayılar ilk olarak 5. sınıfta okul çağındaki çocuklarla tanışır ve onlara hayatları boyunca eşlik eder, çünkü günlük yaşamda çoğu zaman bir nesneyi bir bütün olarak değil, ayrı parçalar halinde düşünmek veya kullanmak gerekir. Bu konuyu incelemeye başlayın - paylaşımlar. Hisseler eşit parçadır, şu veya bu nesnenin bölündüğü. Sonuçta, örneğin bir ürünün uzunluğunu veya fiyatını tam sayı olarak ifade etmek her zaman mümkün değildir; bir miktar ölçünün parçaları veya payları dikkate alınmalıdır. "Bölmek" fiilinden oluşan - parçalara bölmek ve Arapça köklere sahip olan "kesir" kelimesinin kendisi 8. yüzyılda Rus dilinde ortaya çıktı.

Kesirli ifadeler uzun zamandır matematiğin en zor dalı olarak kabul ediliyor. 17. yüzyılda matematikle ilgili ilk ders kitapları ortaya çıktığında bunlara “kırık sayılar” adı veriliyordu ve bu durum insanların anlaması oldukça zordu.

Parçaları yatay bir çizgiyle ayrılan basit kesirli kalıntıların modern biçimi ilk olarak Fibonacci - Pisa Leonardo tarafından desteklendi. Eserleri 1202 yılına tarihlenmektedir. Ancak bu makalenin amacı okuyucuya farklı paydalara sahip karışık kesirlerin nasıl çarpıldığını basit ve net bir şekilde açıklamaktır.

Paydaları Farklı Kesirlerle Çarpma

Başlangıçta belirlemeye değer kesir türleri:

• doğru;
• yanlış;
• karışık.

Daha sonra, aynı paydalara sahip kesirli sayıların nasıl çarpıldığını hatırlamanız gerekir. Bu sürecin kuralını bağımsız olarak formüle etmek zor değildir: basit kesirleri aynı paydalarla çarpmanın sonucu, payı payların çarpımı olan kesirli bir ifadedir ve payda bu kesirlerin paydalarının çarpımıdır. . Yani aslında yeni payda mevcut olanlardan birinin karesidir.

Çarpma sırasında farklı paydalara sahip basit kesirler iki veya daha fazla faktör için kural değişmez:

A/B * C/D = a*c / b*d.

Tek fark, kesir çizgisinin altında oluşan sayının farklı sayıların çarpımı olacağı ve doğal olarak tek bir sayısal ifadenin karesi olarak adlandırılamayacağıdır.

Örnekleri kullanarak farklı paydalara sahip kesirlerin çarpımını düşünmeye değer:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Örneklerde kesirli ifadelerin azaltılmasına yönelik yöntemler kullanılmaktadır. Pay sayılarını yalnızca payda sayılarıyla azaltabilirsiniz; kesir çizgisinin üstündeki veya altındaki bitişik faktörler azaltılamaz.

Basit kesirlerin yanı sıra karışık kesirler kavramı da vardır. Karışık sayı bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşur, yani bu sayıların toplamıdır:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Çarpma nasıl çalışır?

Dikkate alınması için çeşitli örnekler verilmiştir.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Örnekte bir sayının çarpımı kullanılıyor sıradan kesirli kısım Bu eylemin kuralı şu şekilde yazılabilir:

A* B/C = a*b /C.

Aslında böyle bir çarpım aynı kesirli kalanların toplamıdır ve terim sayısı bu doğal sayıyı gösterir. Özel durum:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

Bir sayıyı kesirli bir kalanla çarpmanın başka bir çözümü daha var. Paydayı bu sayıya bölmeniz yeterlidir:

D* e/F = e/f: d.

Bu teknik, paydanın kalansız bir doğal sayıya veya dedikleri gibi bir tam sayıya bölünmesi durumunda kullanışlıdır.

Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürün ve ürünü daha önce açıklanan şekilde elde edin:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Bu örnek, karışık bir kesri uygunsuz bir kesir olarak temsil etmenin bir yolunu içerir ve aynı zamanda genel bir formül olarak da temsil edilebilir:

A BC = a*b+ c / c, burada yeni kesrin paydası, tüm parçanın paydayla çarpılması ve orijinal kesirli kalanın payı ile eklenmesiyle oluşturulur ve payda aynı kalır.

Bu süreç aynı zamanda ters yönde de çalışır. Tam kısmı ve kesirli kalanı ayırmak için, uygunsuz bir kesrin payını bir "köşe" kullanarak paydasına bölmeniz gerekir.

Bilinmeyen Kesirlerin Çarpılması genel kabul görmüş bir şekilde üretilir. Tek kesir çizgisi altında yazarken bu yöntemi kullanarak sayıları azaltmak ve sonucu hesaplamayı kolaylaştırmak için kesirleri gerektiği kadar azaltmanız gerekir.

İnternette, çeşitli program varyasyonlarındaki karmaşık matematik problemlerini bile çözmek için birçok yardımcı vardır. Bu tür hizmetlerin yeterli sayıda olması, paydalarda farklı sayılara sahip kesirlerin çarpımının hesaplanmasında yardım sağlar - kesirleri hesaplamak için çevrimiçi hesap makineleri denir. Sadece çarpmakla kalmayıp, aynı zamanda sıradan kesirler ve karışık sayılarla diğer tüm basit aritmetik işlemleri de gerçekleştirebilirler. Çalışmak zor değil; web sitesi sayfasındaki uygun alanları dolduruyor, matematiksel işlemin işaretini seçiyor ve "hesapla"ya tıklıyorsunuz. Program otomatik olarak hesaplama yapar.

Kesirlerle aritmetik işlemler konusu ortaokul ve lise öğrencilerinin eğitimi boyunca geçerlidir. Lisede artık en basit türleri dikkate almıyorlar, ancak tamsayı kesirli ifadeler ancak daha önce elde edilen dönüşüm ve hesaplama kurallarının bilgisi orijinal haliyle uygulanır. İyi derecede hakim olunan temel bilgi, en karmaşık sorunları başarıyla çözme konusunda tam bir güven sağlar.

Sonuç olarak, Lev Nikolaevich Tolstoy'un şu sözlerinden alıntı yapmak mantıklıdır: “İnsan bir kesirdir. Payını - meziyetlerini - artırmak insanın elinde değildir ama herkes paydasını - kendisi hakkındaki görüşünü azaltabilir ve bu azalmayla mükemmelliğine yaklaşabilir.

Matematik ve fizik derslerindeki çeşitli problemleri çözmek için kesirleri bölmeniz gerekir. Bu matematiksel işlemi gerçekleştirmek için belirli kuralları biliyorsanız, bunu yapmak çok kolaydır.

Kesirleri bölme kuralını formüle etmeye geçmeden önce bazı matematik terimlerini hatırlayalım:

1. Kesrin üst kısmına pay, alt kısmına ise payda denir.
2. Bölme işleminde sayılar şu şekilde adlandırılır: bölen: bölen = bölüm

Kesirler nasıl bölünür: basit kesirler

İki basit kesri bölmek için bölüneni bölenin tersiyle çarpmanız gerekir. Bu kesre aynı zamanda pay ve paydanın değiştirilmesiyle elde edildiği için ters çevrilmiş kesir de denir. Örneğin:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Kesirler nasıl bölünür: karışık kesirler

Karışık kesirleri bölmemiz gerekiyorsa, buradaki her şey de oldukça basit ve açıktır. Öncelikle karışık kesri normal bileşik kesire dönüştürüyoruz. Bunu yapmak için, böyle bir kesrin paydasını bir tam sayı ile çarpın ve payı elde edilen ürüne ekleyin. Sonuç olarak, karışık fraksiyonun yeni bir payını aldık, ancak paydası değişmeden kalacak. Ayrıca kesirlerin bölünmesi, basit kesirlerin bölünmesiyle tamamen aynı şekilde gerçekleştirilecektir. Örneğin:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Bir kesir bir sayıya nasıl bölünür

Basit bir kesri bir sayıya bölmek için sayının kesir (düzensiz) olarak yazılması gerekir. Bunu yapmak çok kolaydır: bu sayı payın yerine yazılır ve böyle bir kesrin paydası bire eşittir. Daha fazla bölme olağan şekilde gerçekleştirilir. Buna bir örnekle bakalım:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Ondalık sayılar nasıl bölünür

Çoğu zaman bir yetişkin, bir hesap makinesinin yardımı olmadan bir tam sayıyı veya ondalık kesri ondalık kesire bölmede zorluk çeker.

Yani ondalık sayıları bölmek için bölendeki virgülün üzerini çizmeniz ve ona dikkat etmeyi bırakmanız yeterlidir. Bölünmede virgül, bölenin kesirli kısmında olduğu kadar sağa kaydırılmalı ve gerekirse sıfır eklenmelidir. Ve sonra bir tamsayıya göre olağan bölme işlemini gerçekleştirirler. Bunu daha açık hale getirmek için aşağıdaki örneği inceleyin.

Er ya da geç okuldaki tüm çocuklar kesirleri öğrenmeye başlar: toplama, bölme, çarpma ve kesirlerle yapılabilecek tüm olası işlemler. Çocuğa uygun yardımı sağlamak için ebeveynlerin kendileri tam sayıları kesirlere nasıl böleceklerini unutmamalıdır, aksi takdirde ona hiçbir şekilde yardım edemezsiniz, sadece kafasını karıştırırsınız. Bu eylemi hatırlamanız gerekiyorsa ancak kafanızdaki tüm bilgileri tek bir kurala sığdıramıyorsanız, bu makale size yardımcı olacaktır: bir sayıyı kesire nasıl böleceğinizi öğrenecek ve net örnekler göreceksiniz.

Bir sayı kesre nasıl bölünür

Örneğinizi kaba bir taslak olarak yazın, böylece notlar alabilir ve silebilirsiniz. Tam sayıların hücrelerin arasına, kesişme noktalarına, kesirli sayıların ise her birinin kendi hücresine yazıldığını unutmayın.

• Bu yöntemde kesri ters çevirmeniz yani payın içine paydayı, paydanın içine de payı yazmanız gerekiyor.
• Bölme işareti çarpma olarak değiştirilmelidir.
• Şimdi tek yapmanız gereken daha önce öğrendiğiniz kurallara göre çarpma işlemini yapmak: pay bir tamsayı ile çarpılır, ancak paydaya dokunmazsınız.

Elbette bu işlemin sonucunda payda çok büyük bir sayı elde edeceksiniz. Bu durumda bir kesir bırakamazsınız - öğretmen bu cevabı kesinlikle kabul etmeyecektir. Payı paydaya bölerek kesri azaltın. Ortaya çıkan tam sayıyı hücrelerin ortasındaki kesrin soluna yazın, geri kalan yeni pay olacaktır. Payda değişmeden kalır.

Bu algoritma bir çocuk için bile oldukça basittir. Beş veya altı kez tamamladıktan sonra çocuk işlemi hatırlayacak ve bunu herhangi bir kesire uygulayabilecektir.

Bir sayı ondalık sayıya nasıl bölünür

Başka kesir türleri de vardır - ondalık sayılar. Onlara bölünme tamamen farklı bir algoritmaya göre gerçekleşir. Böyle bir örnekle karşılaşırsanız talimatları izleyin:

• Öncelikle her iki sayıyı da ondalık sayıya dönüştürün. Bunu yapmak kolaydır: böleniniz zaten bir kesir olarak temsil edilir ve doğal sayıyı virgülle bölerek ondalık kesir elde edersiniz. Yani, eğer temettü 5 ise, 5,0 kesirini elde edersiniz. Bir sayıyı virgülden ve bölenden sonraki basamak sayısı kadar ayırmanız gerekir.
• Bundan sonra her iki ondalık kesri de doğal sayı haline getirmelisiniz. İlk başta biraz kafa karıştırıcı görünebilir, ancak bölmenin en hızlı yoludur ve birkaç pratik seansından sonra saniyeler sürecektir. 5.0 kesri 50, 6.23 kesri 623 olacak.
• Bölmeyi yapın. Sayılar büyükse veya bölme kalanla yapılacaksa bunu bir sütunda yapın. Bu şekilde bu örneğin tüm eylemlerini açıkça görebilirsiniz. Uzun bölme işlemi sırasında kendiliğinden ortaya çıkacağı için bilerek virgül koymanıza gerek yoktur.

Bu tür bir bölme işlemi başlangıçta çok kafa karıştırıcı görünebilir, çünkü böleni ve böleni kesire, ardından tekrar doğal sayılara dönüştürmeniz gerekir. Ancak kısa bir uygulamadan sonra, sadece birbirine bölmeniz gereken sayıları hemen görmeye başlayacaksınız.

Kesirleri ve tam sayıları onlara göre doğru bir şekilde bölme yeteneğinin hayatta birçok kez işe yarayabileceğini unutmayın; bu nedenle, bir çocuğun bu kuralları ve basit ilkeleri mükemmel bir şekilde bilmesi gerekir, böylece daha yüksek sınıflarda tökezleyen bir blok haline gelmezler. çocuk daha karmaşık görevleri çözemez.