Serilerin yakınsaması için gerekli bir kriter (kanıt).
Teorem 1.(bir sayı serisinin yakınsaması için gerekli bir koşul). sayı serisi ise yakınsar, O .
Kanıt. Seri yakınsaktır, yani. bir sınır var. Dikkat .
Düşünelim. Daha sonra . Buradan, .
Sonuç 1.Koşul karşılanmıyorsa, ardından seri ayrışır.
Not 1. Bir sayı serisinin yakınsaması için bu koşul yeterli değildir. Örneğin, harmonik serisi gerçekleşmesine rağmen farklılık göstermektedir.
Tanım 1. Sayı serisi BİR +1 +BİR+2 +…=, belirli bir satırdan ilk satırın atılmasıyla elde edilir Nüyeler çağrılır N- M geri kalan bu satırın ve belirlenmiş Rn.
Teorem 2.sayı serisi ise yakınsarsa, kalanlar yakınsar. Geri:Eğer serinin kalanlarından en az biri yakınsaksa serinin kendisi de yakınsaktır. Ayrıca herhangi bir n için AÇIK eşitlik S=Sn+Rn .
Sonuç 2.İlk birkaç terimi çıkarırsanız veya eklerseniz sayı serisinin yakınsaklığı veya ıraksaması değişmeyecektir.
Sonuç 3..
32. Pozitif seriler için karşılaştırma kriterleri ve işaret
Teorem 1(eşitsizliklerde serileri pozitif terimlerle karşılaştırmanın bir işareti) . İzin vermekVe - Negatif olmayan terimler içeren seriler, ve her n için AÇIK a n koşulu sağlandı£ bn. Daha sonra:
1) serinin yakınsamasındanbüyük terimlerle seri yakınsardaha küçük üyelerle;
2) serinin farklılığındandaha küçük terimlerle seri ıraksarbüyük yaraklarla.
Not 1. Koşul şu durumda teorem doğrudur: ve n£ bn bazı numaralardan idam edildi NÎ N .
Teorem 2(Pozitif terimli serilerin limit formunda karşılaştırılmasının bir işareti) .
İzin vermekVe - Negatif olmayan terimler içeren seriler ve 
. O zaman bu seriler aynı anda yakınsar veya ıraksar .
33. Pozitif işaretli serilerin yakınsaklığı için D'Alembert testi
Teorem 1(D'Alembert'in işareti). İzin vermek - pozitif terimleri olan bir seri mevcut .
O halde seri q noktasında yakınsar<1 ve q noktasında ıraksar>1 .
Kanıt.İzin vermek Q<1. Зафиксируем число RÖyle ki Q<P< 1. По определению
bazı numaralardan sayı dizisinin sınırı NÎ N eşitsizlik geçerli BİR +1
/BİR<P, onlar. BİR +1 <p×a n . Daha sonra BİR +1 < p×a N , a N +2 <p 2 ×a N . Tümevarım yoluyla bunu herhangi bir kişi için göstermek kolaydır. kÎ N eşitsizlik doğru , bir N + k<p k ×a N . Ancak seri geometrik bir seri gibi yakınsaktır ( P<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд 
da birleşiyor. Sonuç olarak seri de yakınsar (Teorem 2.2'ye göre).
İzin vermek Q>1. Daha sonra bazı numaralardan NÎ N eşitsizlik doğru BİR +1 /BİR>1, yani BİR +1 >BİR. Bu nedenle numaradan N sonraki dizi ( BİR) artıyor ve koşul sağlanmıyor. Buradan, Sonuç 2.1'e göre serinin şu noktada ıraksadığı sonucu çıkıyor: Q>1.
Not 1.İntegral testini kullanarak sayı serisinin doğru olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. eğer yakınsarsa A>1 ve eğer ıraksarsa A 1 sterlin. Sıra isminde harmonik serisi ve seri keyfi olarak AÎ R isminde genelleştirilmiş harmonik seriler.
34. Alternatif satırlar. Alternatif serilerin işaretlerinin yakınsaması için Leibniz testi
Serilerin keyfi işaretlerle incelenmesi daha zor bir iştir, ancak iki durumda uygun işaretler vardır: alternatif işaretler serisi için - Leibniz teoremi; Mutlak yakınsak seriler için, negatif olmayan terimleri olan serileri incelemenin herhangi bir işaretini uygularız.
Tanım 1. Sayı dizisi denir sinyal dönüşümlü, herhangi iki bitişik terimin zıt işaretleri varsa, yani seri şu şekildedir veya , burada BİR>0 her biri için NÎ N .
Teorem 1(Leibniz). Alternatif bir seri şu durumlarda yakınsar:
1) (BİR) - artmayan dizi;
2) en.
Bu durumda, alternatif serilerin toplamının modülü, ilk teriminin modülünü aşmaz;|S|£ A 1 .
Harmonik serisi- doğal serinin ardışık sayılarının tersi olan sonsuz sayıda terimden oluşan bir toplam:
texvc bulunamadı; Math/README'ye bakın - kurulumla ilgili yardım.): \sum_(k=1)^\mathcal(\infty) \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1 ) (3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(k) + \cdots
.
Serinin ilk n teriminin toplamı
Serinin bireysel üyeleri sıfır olma eğilimindedir ancak toplamları ıraksamaktadır. Bir harmonik serinin n'inci kısmi toplamı sn, n'inci harmonik sayıdır:
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): s_n=\sum_(k=1)^n \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1)(3 ) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(n)
Kısmi toplamların bazı anlamları
Euler'in formülü
Şu tarihte: İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc Anlam İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \varepsilon _n \rightarrow 0 bu nedenle büyük için İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc
:
texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): s_n\approx \ln(n) + \gamma- Birincinin toplamı için Euler formülü İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): n Harmonik serinin üyeleri. Harmonik serinin kısmi toplamı için daha doğru bir asimptotik formül:
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \frac(1)(12n^2) + \frac(1)( 120n ^4) - \frac(1)(252n^6) \dots = \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \sum_(k=1)^(\infty) \frac ( B_(2k))(2k\,n^(2k)), Nerede İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU'ya bakın - kurulumla ilgili yardım.): B_(2k)- Bernoulli sayıları. Bu seri ıraksaktır ancak hesaplama hatası asla ilk atılan terimin yarısını geçmez.
Kısmi toplamların sayı teorik özellikleri
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Math/README - kurulum yardımına bakın.): \forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb(N)
Serinin ıraksaması
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): s_n\rightarrow \infty en İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): n\rightarrow \infty
Harmonik seri ıraksarçok yavaş (kısmi toplamın 100'ü aşması için serinin yaklaşık 1043 elemanına ihtiyaç vardır).
Harmonik serinin ıraksaması teleskopik seriyle karşılaştırılarak gösterilebilir:
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac(1)(n)\right)\underset(+\infty ) (\sim)\frac (1)(n)
,
kısmi toplamı açıkça şuna eşittir:
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): \sum_(i=1)^(n-1) v_i= \ln n \sim H_n
.
Oresme'nin kanıtı
Farklılığın kanıtı, terimlerin aşağıdaki gibi gruplandırılmasıyla oluşturulabilir:
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \begin(align) \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k) & () = 1 + \left[\frac(1)( 2) \right] + \left[\frac(1)(3) + \frac(1)(4)\right] + \left[\frac(1)(5) + \frac(1)(6) + \ frac(1)(7) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(9)+\cdots\right] +\cdots \\ & () > 1 + \left [\frac(1)(2)\sağ] + \left[\frac(1)(4) + \frac(1)(4)\right] + \left[\frac(1)(8) + \ frac(1)(8) + \frac(1)(8) + \frac(1)(8)\right] + \left[\frac(1)(16)+\cdots\right] +\ cdots \ \ & () = 1 + \ \frac(1)(2)\ \ \ + \quad \frac(1)(2) \ \quad + \ \qquad\quad\frac(1)(2)\ qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac(1)(2) \ \quad + \ \cdots. \end(hizala)
Son sıra açıkça farklılaşıyor. Bu kanıt ortaçağ bilim adamı Nicholas Orem'den (c. 1350) geliyor.
Farklılığın alternatif kanıtı
Arasındaki fark İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): n Harmonik sayı ve doğal logaritma İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): n Euler-Mascheroni sabitine yakınsar.
Farklı harmonik sayılar arasındaki fark hiçbir zaman bir tam sayıya eşit değildir ve hiçbir harmonik sayıya eşit değildir. İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): H_1=1, bir tam sayı değildir.
İlgili seri
Dirichlet serisi
Genelleştirilmiş bir harmonik seri (veya Dirichlet serisi) bir seridir
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k^\alpha)=1 + \frac(1)(2^\alpha) + \frac ( 1)(3^\alpha) + \frac(1)(4^\alpha) + \cdots +\frac(1)(k^\alpha) + \cdots
.
Genelleştirilmiş harmonik seri şu noktada ıraksar: İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): \alpha \leqslant 1 ve birleşir İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \alpha > 1
.
Genelleştirilmiş harmonik sıra serilerinin toplamı İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \alpha Riemann zeta fonksiyonunun değerine eşittir:
texvc bulunamadı; Math/README - kurulum yardımına bakın.): \sum_(k=1)^\mathcal(1) \frac(1)(k^\alpha)=\zeta(\alpha)
Çift sayılar için bu değer açıkça pi cinsinden ifade edilir, örneğin: İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \zeta(2)=\frac(\pi^2)(6) ve zaten α=3 için değeri analitik olarak bilinmiyor.
Harmonik serilerin ıraksamasının bir başka örneği de şu ilişki olabilir: İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): \zeta(1+\frac(1)(n)) \sim n
.
Alternatif seri
Tüm terimlerin “+” işaretiyle alındığı harmonik serilerden farklı olarak seri
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): \sum_(n = 1)^\infty \frac((-1)^(n + 1))(n) \;=\; 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1) (5) \,-\, \cdots
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)( 4) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \cdots \;=\; \n 2.
Bu formül Mercator serisinin özel bir durumudur ( İngilizce), doğal logaritma için Taylor serisi.
Arktanjant için Taylor serisinden benzer bir seri türetilebilir:
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): \sum_(n = 0)^\infty \frac((-1)^(n))(2n+1) \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac(1)(3) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \frac(1)(7) \,+\, \cdots \;\ ;=\;\; \frac(\pi)(4).
Bu ilişki Leibniz serisi olarak bilinir.
Rastgele harmonik seri
2003 yılında rastgele bir serinin özellikleri incelendi
İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosyatexvc bulunamadı; Matematik/BENİOKU - kurulum yardımına bakın.): \sum_(n=1)^(\infty)\frac(s_(n))(n),
Nerede İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Math/README'ye bakın - kurulumla ilgili yardım.): s_n- aynı olasılıkla +1 ve −1 değerlerini alan bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenler. Bu serinin 1 olasılıkla yakınsak olduğu ve serinin toplamının ilginç özelliklere sahip bir rastgele değişken olduğu gösterilmiştir. Örneğin, +2 veya −2 noktalarında hesaplanan olasılık yoğunluk fonksiyonu şu değere sahiptir:
⅛'den 10 −42'den az farklılık gösterir.
“İnceltilmiş” harmonik seriler
Kempner serisi ( İngilizce)Paydaları 9 sayısını içermeyen yalnızca terimlerin kaldığı bir harmonik seriyi düşünürsek, kalan toplamın sayıya yakınlaştığı ortaya çıkar.<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе İfade ayrıştırılamıyor (Yürütülebilir dosya texvc bulunamadı; Kurulum yardımı için math/README'ye bakın.): n, "inceltilmiş" serilerin toplamı için giderek daha az terim alınır. Yani sonuçta, harmonik serilerin toplamını oluşturan terimlerin büyük çoğunluğu, yukarıdan sınırlanan geometrik ilerlemeyi aşmayacak şekilde atılır.
"Harmonik Seriler" makalesi hakkında yorum yazın
Notlar
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Harmonik seriyi karakterize eden bir alıntı
Korkunç gün sona ermek üzereydi. Hiçbir şey hissetmeden ve duymadan açık pencerenin yanında oturdum. Dünya benim için donmuş ve keyifsiz hale gelmişti. Sanki ayrı ayrı var oldu, yorgun beynime girmiyor ve bana hiçbir şekilde dokunmuyor... Pencere kenarında oynayan huzursuz “Roma” serçeleri hâlâ ciyaklıyordu. Aşağıda insan sesleri ve hareketli bir şehrin olağan gündüz gürültüsü vardı. Ama tüm bunlar bana seslerin neredeyse geçmesine izin vermeyen çok yoğun bir "duvar" aracılığıyla geldi... Her zamanki iç dünyam boş ve sağırdı. Tamamen yabancı ve karanlık oldu... Tatlı, şefkatli babası artık yoktu. Girolamo'yu takip etti...Ama hâlâ Anna'm vardı. Ve en azından onu, kendisine "Tanrı'nın vekili", Kutsal Papa diyen sofistike bir katilden kurtarmak için yaşamam gerektiğini biliyordum... Caraffa'nın sadece onun "genel naibi" olduğunu hayal etmek bile zordu. "Peki o zaman onun bu sevgili Tanrısı nasıl bir canavara dönüşebilir?!. "Donmuş" durumumdan çıkmaya çalıştım, ancak ortaya çıktığı gibi o kadar kolay olmadı - vücut hiç itaat etmedi, canlanmak istemiyordu ve yorgun Ruh sadece huzur arıyordu.. Sonra hiçbir şeyin yolunda gitmediğini görünce kendimi rahat bırakmaya karar verdim ve her şeyin yolunda gitmesine izin verdim.
Başka hiçbir şey düşünmeden ve hiçbir şeye karar vermeden, kurtarılmak için yaralı Ruhumun çabaladığı yere "uçtum"... Dinlenmek ve en azından biraz unutmak, kötü "dünyevi" dünyadan uzaklaşmak sadece ışığın hüküm sürdüğü yere...
Caraffa'nın az önce yaşadıklarıma rağmen beni uzun süre yalnız bırakmayacağını biliyordum, aksine acının beni zayıflattığını ve silahsız bıraktığını düşünecek ve belki de şu anda beni teslim olmaya zorlayacaktı. bir tür başka korkunç darbe daha vuruyor...
Günler geçti. Ama en büyük sürprizim Caraffa'nın ortaya çıkmamasıydı... Bu büyük bir rahatlamaydı ama ne yazık ki rahatlamama izin vermedi. Çünkü her an onun karanlık, şeytani ruhunun benim için ne kadar yeni bir anlam bulacağını bekliyordum...
Ağrı, özellikle birkaç hafta önce meydana gelen ve beni tamamen şaşkına çeviren beklenmedik ve neşeli bir olay sayesinde, her geçen gün yavaş yavaş azaldı - merhum babamı duyma fırsatım oldu!..
Onu göremiyordum ama sanki babam yanımdaymış gibi her kelimesini çok net bir şekilde duydum ve anladım. İlk başta buna inanmadım, tamamen yorgunluktan delirdiğimi düşündüm. Ama arama tekrarlandı... Gerçekten de babasıydı.
Sevinçten kendime gelemiyordum ve hala aniden ortaya çıkıp ortadan kaybolmasından korkuyordum!.. Ama babam ortadan kaybolmadı. Biraz sakinleştikten sonra nihayet ona cevap verebildim...
– Gerçekten sen misin? Şimdi neredesin?.. Seni neden göremiyorum?
– Kızım… Tamamen bitkin olduğun için görmüyorsun canım. Anna onunla birlikte olduğumu görüyor. Ve göreceksin canım. Sadece sakinleşmek için zamana ihtiyacın var.
Saf, tanıdık bir sıcaklık tüm vücuduma yayıldı, beni neşe ve ışıkla sardı...
– Nasılsın baba!? Söyle bana, bu diğer hayat neye benziyor?.. Nasıl bir şey?
– Harika biri canım!.. Ama yine de sıra dışı. Ve bizim eski dünyevi dünyamızdan o kadar farklı ki!.. Burada insanlar kendi dünyalarında yaşıyorlar. Ve o kadar güzel ki bu “dünyalar”!.. Ama yine de yapamıyorum. Görünüşe göre benim için henüz çok erken... - sanki daha fazla konuşup konuşmamaya karar veriyormuş gibi ses bir anlığına sustu.
- Girolamo'n benimle tanıştı kızım... O, Dünya'daki kadar canlı ve sevgi dolu... Seni çok özlüyor ve özlüyor. Ve benden seni orada da aynı kadar sevdiğini söylememi istedi... Ve her geldiğinde seni bekliyor... Annen de bizimle. Hepimiz seni seviyoruz ve bekliyoruz canım. Seni gerçekten çok özledik... Kendine iyi bak kızım. Karaffa'nın seninle alay etme zevkini yaşamasına izin verme.
– Bir daha yanıma gelir misin baba? Seni bir daha duyabilecek miyim? – aniden ortadan kaybolmasından korkarak dua ettim.
- Sakin ol kızım. Artık burası benim dünyam. Ve Caraffa'nın gücü onu kapsamıyor. Seni ya da Anna'yı asla bırakmayacağım. Ne zaman çağırsan yanına geleceğim. Sakin ol canım.
- Nasıl hissediyorsun baba? Bir şey hissediyor musun?.. – saf sorumdan biraz utanarak yine de sordum.
– Dünya'da hissettiğim her şeyi hissediyorum, sadece çok daha parlak. Bir anda renklerle dolan bir karakalem hayal edin; tüm duygularım, tüm düşüncelerim çok daha güçlü ve daha renkli. Ve bir şey daha... Özgürlük hissi muhteşem!.. Her zaman olduğum gibiyim ama aynı zamanda tamamen farklıyım... Bunu sana nasıl açıklayacağımı bilmiyorum. daha doğrusu canım... Sanki dünyadaki her şeyi hemen kucaklayabilirim, ya da çok uzaklara, yıldızlara uçabilirim... Her şey mümkün görünüyor, sanki istediğim her şeyi yapabilirmişim gibi! Anlatmak, kelimelere dökmek çok zor... Ama inan kızım, harika! Ve bir şey daha... Artık tüm yaşamlarımı hatırlıyorum! Bir zamanlar başıma gelen her şeyi hatırlıyorum... Hepsi muhteşem. Bu “öteki” hayatın o kadar da kötü olmadığı ortaya çıktı... Bu yüzden korkma kızım, eğer buraya gelmek zorunda kalırsan hepimiz seni bekliyor olacağız.
– Söyle baba... Caraffa gibileri orada da gerçekten harika bir hayat mı bekliyor?.. Ama bu durumda yine büyük bir haksızlık!.. Gerçekten her şey yine Dünya'daki gibi olacak mı?!. Gerçekten asla intikam almayacak mı?!!
- Hayır, sevincim, burada Karaffa'ya yer yok. Onun gibi insanların berbat bir dünyaya gittiğini duydum ama henüz oraya gitmedim. Hak ettiklerinin bu olduğunu söylüyorlar!.. Görmek istedim ama henüz zamanım olmadı. Merak etme kızım, buraya geldiğinde hak ettiğini alacak.
"Bana oradan yardım edebilir misin baba?" diye sordum gizli bir umutla.
– Bilmiyorum canım… Bu dünyayı henüz anlayamadım. İlk adımlarını atan bir çocuk gibiyim... Sana cevap verebilmem için önce 'yürümeyi öğrenmem' gerekiyor... Ve artık gitmem gerekiyor. Üzgünüm tatlım. İlk önce iki dünyamız arasında yaşamayı öğrenmeliyim. Bundan sonra sana daha sık geleceğim. Cesaretini topla Isidora ve asla Karaffa'ya teslim olma. Kesinlikle hak ettiğini alacaktır, inanın bana.
Babamın sesi giderek azaldı, ta ki tamamen zayıflayıp yok olana kadar... Ruhum sakinleşti. Gerçekten O'ydu!.. Ve yeniden yaşadı, ancak şimdi, bana hâlâ yabancı olan, ölümden sonraki dünyada... Ama kendisinin de söylediği gibi, hâlâ düşünüyor ve hissediyordu - hatta yaşadığı zamandan çok daha parlaktı. Toprak. Artık onu asla öğrenemeyeceğimden... Beni sonsuza dek terk etmiş olmasından korkamıyordum.
Ama kadınsı ruhum her şeye rağmen hâlâ onun acısını çekiyordu... Yalnız hissettiğimde ona bir insan gibi sarılamadığımı... Melankolimi ve korkumu gizleyemediğimi... geniş göğsü, huzur isteyen... Güçlü, yumuşak avuçlarının artık yorgun başımı okşayamadığını, sanki her şeyin yoluna gireceğini, her şeyin kesinlikle düzeleceğini söylercesine... Bu küçük ve önemsiz görünenleri çok özledim ama öyle sevgili, tamamen "insani" sevinçler ve ruh onlara açtı, huzuru bulamıyordu. Evet, ben bir savaşçıydım... Ama aynı zamanda bir kadındım. En kötü şeyin bile olacağını önceden bilen tek kızı, babamın hep orada olacağını, hep yanımda olacağını... Ve tüm bunları acı bir şekilde özledim...
Bir şekilde artan üzüntüyü üzerimden atarak kendimi Karaffa'yı düşünmeye zorladım. Bu tür düşünceler beni anında ayılttı ve kendimi toparlamaya zorladı, çünkü bu "huzurun" sadece geçici bir soluklanma olduğunu çok iyi anlamıştım...
Ama en büyük sürprizim Caraffa'nın hâlâ ortaya çıkmamasıydı...
Günler geçti, endişeler arttı. Onun yokluğuna bir açıklama bulmaya çalıştım ama ne yazık ki aklıma ciddi bir şey gelmedi... Bir şeyler hazırladığını hissettim ama ne olduğunu tahmin edemedim. Yorgun sinirler teslim oldu. Ve beklemekten tamamen çıldırmamak için her gün sarayın etrafında dolaşmaya başladım. Dışarı çıkmam yasak değildi ama onaylanmadı, bu yüzden kilitlenmeye devam etmek istemediğim için kendim yürüyüşe çıkmaya karar verdim... belki birisi bundan hoşlanmayacak olsa da. Sarayın devasa ve alışılmadık derecede zengin olduğu ortaya çıktı. Odaların güzelliği hayal gücünü hayrete düşürdü ama şahsen ben asla bu kadar göz alıcı bir lüks içinde yaşayamazdım... Duvarların ve tavanların yaldızları baskıcıydı, muhteşem fresklerin işçiliğine aykırıydı, şehrin ışıltılı ortamında boğucuydu. altın tonları. Bu harika evi boyayan, eserlerine saatlerce hayranlıkla bakan ve en iyi işçiliğe içtenlikle hayranlık duyan sanatçıların yeteneklerini memnuniyetle anıyorum. Şu ana kadar kimse beni rahatsız etmedi, kimse beni durdurmadı. Gerçi her zaman tanışan, saygıyla eğilen ve yollarına devam eden, her biri kendi işine koşan insanlar vardı. Bu kadar sahte "özgürlüğe" rağmen tüm bunlar endişe vericiydi ve her yeni gün daha fazla endişeyi beraberinde getiriyordu. Bu “sakinlik” sonsuza kadar süremezdi. Ve bunun benim için kesinlikle korkunç ve acı verici bir talihsizliğe "doğuracağından" neredeyse emindim...
Harmonik seriler - sayı serileri
Bu şekilde adlandırılmasının nedeni, ikinciden başlayarak harmonik serinin her bir üyesinin, iki komşunun harmonik ortalamasına eşit olmasıdır (bkz. Ortalama değerler). Harmonik serinin terimleri artan sayılarla azalır ve sıfıra yaklaşır, ancak kısmi toplamlar sınırsız artar. Buna ikna olmak için şunu belirtmek yeterlidir.
,
, 
,
Bu argümanlara devam edersek, harmonik serinin terimlerinin toplamının 'den büyük olduğu sonucuna varıyoruz. Buradan harmonik serilerin kısmi toplamlarının sınırsız arttığı sonucu çıkar; harmonik seriler ıraksaktır (bkz. seriler). Ancak bu büyüme çok yavaştır. Harmonik serilerin özelliklerini inceleyen L. Euler şunu buldu:
A 
.
Üstelik Euler, bir harmonik serinin kısmi toplamları için dikkat çekici bir ilişki kurarak farkın bir sınırı olduğunu gösterdi; 
.
Onuruna verilen sayıya Euler sabiti denir, yaklaşık olarak 0,5772'ye eşittir (Euler'in kendisi, diğer hususlara dayanarak bunu 15 basamaklı bir doğrulukla hesaplamıştır).
Aynı tuğlalardan yapılmış bir “merdiven”i şu şekilde hayal edelim: İkinci tuğla, birincinin ağırlık merkezi ikincinin sağ kenarına gelecek şekilde birincinin altına yerleştirilir, ardından üçüncüsü bu iki tuğlanın altına yerleştirilir. ilk ikisinin ortak ağırlık merkezi üçüncünün sağ kenarına düşer, vb. (Şekil 1). Böyle bir "merdiven" için ağırlık merkezi noktaya yansıtılır, bu nedenle "merdiven" düşmeyecektir. Tuğlanın uzunluğu ise, o zaman 1., 2.'ye göre kaydırılacak, 2., 3.'ye göre, .., üçüncüye göre kaydırılacak ve tüm "merdiven", 3.'ye göre kaydırılacaktır. hemen yanında
.
Parantez içindeki ifade harmonik serinin kısmi toplamıdır. Sonuç olarak, bu yöntemi kullanarak, istediğiniz kadar sağa hareket ettirilmiş bir “merdiveni” katlayabilirsiniz. Ancak daha önce de belirtildiği gibi çok yavaş büyüyor. Örneğin, 1000 tuğlayı üst üste koyarsanız, bu yalnızca 3,8 tuğla uzunluğunda olacaktır.
alt limit fonksiyonunun monoton olarak arttığı yerde, o zamanveya
veya
Bir öncekinden harmonik serinin ıraksak bir seri olduğu açıktır, yani. ilk n teriminin toplamı alınan terim sayısıyla sınırsız olarak artar. Ancak diğer ıraksak serilerden farklı olarak terim sayısı arttıkça toplamın büyüme hızı yavaşlamaktadır. Harmonik serinin n'nin büyümesine kıyasla zayıf ıraksak olduğu söylenir. Bu bağlamda harmonik seriyi karakterize eden aşağıdaki teoremi kanıtlayalım.
Teorem. Herhangi bir n için yaklaşık bir eşitlik vardır
nerede 0< g
n < 1.
Kanıt. Asimptotlarla ilgili eşkenar bir hiperbol ile sınırlanan eğrisel bir yamuk aABb'nin alanı verilsin; denklemi, denklemleri x = 1 ve iki koordinatı aA ve bB tarafından y = 1/x'tir. x = n ve apsis ekseni. “Dikdörtgen formüllerini” kullanarak bu alanı eksik (Şekil 2) ve fazla (Şekil 1) olarak hesaplıyoruz. Tabanı n eşit parçaya bölerek aABb alanının şuna eşit olduğunu buluruz:
veya
|
|
|
|
Harmonik serinin terim sayısı arttıkça g n'nin değeri artar. Ama 0< g n < 1- 1/n. Поэтому существует предел g n , меньший или равный единицы, т.е.
Bu limite "Eulerian sabiti" denir. H n- 1 ve ln(n) hesaplamalarını kullanarak bu sayının değerini büyük bir doğrulukla bulmak ve C = 0,57721566490 elde etmek mümkün oldu...
