Bu makale hakkındadır ortak kesirler. Burada bir bütünün kesri kavramını tanıtacağız, bu da bizi ortak bir kesrin tanımına götürecektir. Daha sonra sıradan kesirler için kabul edilen gösterim üzerinde duracağız ve kesir örnekleri vereceğiz, diyelim ki bir kesrin payı ve paydası hakkında. Bundan sonra doğru ve yanlış kesirlerin, pozitif ve negatif kesirlerin tanımlarını vereceğiz ve ayrıca kesirli sayıların koordinat ışınındaki konumunu ele alacağız. Sonuç olarak ana işlemleri kesirlerle listeliyoruz.
Sayfada gezinme.
Bütünün payları
İlk önce tanıtıyoruz paylaşma kavramı.
Tamamen aynı (yani eşit) birkaç parçadan oluşan bir nesnemiz olduğunu varsayalım. Netlik sağlamak için, örneğin birkaç eşit parçaya bölünmüş bir elmayı veya birkaç eşit dilimden oluşan bir portakalı hayal edebilirsiniz. Bir cismin bütününü oluşturan bu eşit parçaların her birine ne ad verilir? bütünün parçaları ya da sadece hisseler.
Paylaşımların farklı olduğunu unutmayın. Bunu açıklayalım. İki elmamız olsun. İlk elmayı iki eşit parçaya, ikincisini ise 6 eşit parçaya bölün. Birinci elmanın payının ikinci elmanın payından farklı olacağı açıktır.
Nesnenin tamamını oluşturan paylaşımların sayısına bağlı olarak bu paylaşımların kendi isimleri vardır. Hadi halledelim vuruş isimleri. Bir nesne iki parçadan oluşuyorsa bunlardan herhangi birine tüm nesnenin ikinci parçası denir; eğer bir nesne üç parçadan oluşuyorsa, bunlardan herhangi birine üçüncü parça denir vb.
Bir saniyelik paylaşımın özel bir adı vardır - yarım. Üçte biri denir üçüncü ve çeyrek kısım - çeyrek.
Kısaltmak adına aşağıdakiler tanıtıldı: sembolleri yenmek. İkinci bir pay veya 1/2, üçüncü bir pay veya 1/3 olarak belirlenir; dörtte bir pay - beğen veya 1/4 vb. Yatay çubuklu gösterimin daha sık kullanıldığını unutmayın. Konuyu pekiştirmek için bir örnek daha verelim: Madde bütünün yüz altmış yedinci parçasını ifade ediyor.
Paylaşım kavramı doğal olarak nesnelerden miktarlara kadar uzanır. Örneğin uzunluk ölçülerinden biri metredir. Bir metreden daha kısa uzunlukları ölçmek için bir metrenin kesirleri kullanılabilir. Yani örneğin yarım metreyi veya metrenin onda birini veya binde birini kullanabilirsiniz. Diğer miktarların payları da benzer şekilde uygulanır.
Ortak kesirler, kesirlerin tanımı ve örnekleri
Kullandığımız hisse sayısını açıklamak için ortak kesirler. Adi kesirlerin tanımına yaklaşmamızı sağlayacak bir örnek verelim.
Portakalın 12 parçadan oluşmasına izin verin. Bu durumda her pay bir tam portakalın on ikide birini temsil eder, yani. İki atım olarak, üç atım olarak ve bu şekilde 12 atım olarak belirtiyoruz. Verilen girdilerin her birine sıradan kesir denir.
Şimdi bir genel bilgi verelim ortak kesirlerin tanımı.
Sıradan kesirlerin sesli tanımı şunu vermemizi sağlar: ortak kesir örnekleri: 5/10, , 21/1, 9/4, . Ve işte kayıtlar 
sıradan kesirlerin belirtilen tanımına uymazlar, yani sıradan kesirler değildirler.
Pay ve payda
Kolaylık sağlamak için sıradan kesirler ayırt edilir pay ve payda.
Tanım.
Pay ortak kesir (m/n) bir m doğal sayısıdır.
Tanım.
Payda ortak kesir (m/n) bir doğal sayıdır n.
Yani pay, kesir çizgisinin üstünde (eğik çizginin solunda) ve payda, kesir çizgisinin altında (eğik çizginin sağında) bulunur. Örneğin 17/29 ortak kesirini ele alalım, bu kesrin payı 17, paydası ise 29 sayısıdır.
Sıradan bir kesirin pay ve paydasında yer alan anlamı tartışmaya devam ediyor. Bir kesrin paydası bir nesnenin kaç parçadan oluştuğunu gösterir ve pay da bu parçaların sayısını gösterir. Örneğin 12/5 kesirinin paydası 5, bir nesnenin beş paydan oluştuğunu, payı 12 ise bu tür 12 payın alındığı anlamına gelir.
Paydası 1 olan kesir olarak doğal sayı
Ortak bir kesrin paydası bire eşit olabilir. Bu durumda nesnenin bölünemez olduğunu yani bir bütünü temsil ettiğini düşünebiliriz. Böyle bir kesrin payı kaç tane tam nesnenin alındığını gösterir. Dolayısıyla m/1 formundaki sıradan bir kesir, m doğal sayısı anlamına gelir. m/1=m eşitliğinin geçerliliğini bu şekilde kanıtladık.
Son eşitliği şu şekilde yeniden yazalım: m=m/1. Bu eşitlik herhangi bir m doğal sayısını sıradan bir kesir olarak temsil etmemizi sağlar. Örneğin 4 sayısı 4/1 kesridir ve 103.498 sayısı 103.498/1 kesrine eşittir.
Bu yüzden, herhangi bir m doğal sayısı, m/1 olarak paydası 1 olan sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir ve m/1 formundaki herhangi bir sıradan kesir, bir m doğal sayısı ile değiştirilebilir..
Bölme işareti olarak kesir çubuğu
Orijinal nesneyi n pay şeklinde temsil etmek, n eşit parçaya bölmekten başka bir şey değildir. Bir öğe n hisseye bölündükten sonra, onu n kişiye eşit olarak bölebiliriz - her biri bir pay alacaktır.
Başlangıçta her biri n parçaya bölünmüş m adet özdeş nesnemiz varsa, o zaman bu m nesneyi n kişi arasında eşit olarak bölebilir ve her kişiye m nesnenin her birinden bir pay verebiliriz. Bu durumda, her kişi m adet 1/n hisseye sahip olacaktır ve m adet 1/n hisse, m/n ortak kesirini verecektir. Böylece, m/n ortak kesri, m öğenin n kişi arasında bölünmesini belirtmek için kullanılabilir.
Sıradan kesirler ve bölme arasında açık bir bağlantıyı bu şekilde elde ettik (doğal sayıları bölmenin genel fikrine bakın). Bu bağlantı şu şekilde ifade edilir: kesir çizgisi bir bölme işareti olarak anlaşılabilir, yani m/n=m:n.
Sıradan bir kesir kullanarak, tam bölme işlemi yapılamayan iki doğal sayının bölünmesinin sonucunu yazabilirsiniz. Örneğin 5 elmayı 8 kişiye bölmenin sonucu 5/8 olarak yazılabilir, yani herkes bir elmanın sekizde beşini alacaktır: 5:8 = 5/8.
Eşit ve eşit olmayan kesirler, kesirlerin karşılaştırılması
Oldukça doğal bir eylem kesirleri karşılaştırmaÇünkü bir portakalın 1/12'sinin 5/12'sinden farklı olduğu ve bir elmanın 1/6'sının bu elmanın diğer 1/6'sıyla aynı olduğu açıktır.
İki sıradan kesirin karşılaştırılması sonucunda şu sonuçlardan biri elde edilir: Kesirler ya eşittir ya da eşit değildir. İlk durumda elimizde eşit ortak kesirler ve ikincisinde – eşit olmayan sıradan kesirler. Eşit ve eşit olmayan sıradan kesirlerin tanımını verelim.
Tanım.
eşit a·d=b·c eşitliği doğruysa.
Tanım.
İki ortak kesir a/b ve c/d eşit değil a·d=b·c eşitliği sağlanmıyorsa.
İşte eşit kesirlerin bazı örnekleri. Örneğin, 1·4=2·2 olduğundan ortak kesir 1/2, 2/4 kesrine eşittir (gerekirse, doğal sayılarla çarpma kurallarına ve örneklerine bakın). Netlik sağlamak için, iki özdeş elmayı hayal edebilirsiniz, birincisi ikiye bölünmüş, ikincisi ise 4 parçaya bölünmüştür. Bir elmanın dörtte ikisinin 1/2 paya eşit olduğu açıktır. Eşit ortak kesirlerin diğer örnekleri 4/7 ve 36/63 kesirleri ve 81/50 ve 1.620/1.000 kesir çiftidir.
Ancak 4/13 ve 5/14 sıradan kesirleri eşit değildir, çünkü 4·14=56 ve 13·5=65, yani 4·14≠13·5. Eşit olmayan ortak kesirlerin diğer örnekleri 17/7 ve 6/4 kesirleridir.
İki ortak kesiri karşılaştırırken eşit olmadıkları ortaya çıkarsa, bu ortak kesirlerden hangisinin olduğunu bulmanız gerekebilir. az farklı ve hangisi - Daha. Bunu bulmak için, sıradan kesirleri karşılaştırma kuralı kullanılır; bunun özü, karşılaştırılan kesirleri ortak bir paydaya getirmek ve ardından payları karşılaştırmaktır. Bu konuyla ilgili ayrıntılı bilgi, kesirlerin karşılaştırılması makalesinde toplanmıştır: kurallar, örnekler, çözümler.
Kesirli sayılar
Her kesir bir gösterimdir kesirli sayı. Yani, kesir, kesirli bir sayının sadece "kabuğudur", görünümüdür ve tüm anlamsal yük kesirli sayıda bulunur. Bununla birlikte, kısalık ve kolaylık sağlamak için kesir ve kesirli sayı kavramları birleştirilir ve basitçe kesir olarak adlandırılır. Burada iyi bilinen bir sözü başka kelimelerle ifade etmek yerinde olacaktır: Kesir diyoruz - kesirli bir sayıyı kastediyoruz, kesirli bir sayı diyoruz - bir kesiri kastediyoruz.
Koordinat ışınındaki kesirler
Sıradan kesirlere karşılık gelen tüm kesirli sayıların kendine özgü bir yeri vardır, yani kesirler ile koordinat ışınının noktaları arasında bire bir yazışma vardır.
Koordinat ışınında m/n oranına karşılık gelen noktaya ulaşmak için, uzunluğu bir birim parçanın 1/n kesri kadar olan m parçayı orijinden pozitif yönde ayırmanız gerekir. Bu tür bölümler, bir birim parçanın n eşit parçaya bölünmesiyle elde edilebilir; bu her zaman bir pergel ve bir cetvel kullanılarak yapılabilir.
Örneğin koordinat ışınında 14/10 kesrine karşılık gelen M noktasını gösterelim. Uçları O noktasında ve ona en yakın nokta olan küçük çizgi ile işaretlenmiş bir doğru parçasının uzunluğu, bir birim parçanın 1/10'udur. 14/10 koordinatına sahip nokta, başlangıç noktasından bu tür 14 parça uzaklıkta kaldırılır.
Eşit kesirler aynı kesirli sayıya karşılık gelir, yani eşit kesirler koordinat ışınındaki aynı noktanın koordinatlarıdır. Örneğin, 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 koordinatları, tüm yazılı kesirler eşit olduğundan koordinat ışınındaki bir noktaya karşılık gelir (bir birim parçanın yarısı kadar bir mesafede bulunur) orijinden pozitif yönde).
Yatay ve sağa yönlendirilmiş bir koordinat ışınında, koordinatı daha büyük olan nokta, koordinatı daha küçük olan noktanın sağında yer alır. Benzer şekilde koordinatı daha küçük olan bir nokta, koordinatı daha büyük olan bir noktanın solunda yer alır.
Doğru ve yanlış kesirler, tanımlar, örnekler
Sıradan kesirler arasında şunlar vardır: doğru ve yanlış kesirler. Bu bölme pay ve paydanın karşılaştırılmasına dayanmaktadır.
Doğru ve yanlış sıradan kesirleri tanımlayalım.
Tanım.
Uygun kesir payı paydasından küçük olan sıradan bir kesirdir, yani eğer m Tanım.
Uygunsuz kesir payın paydadan büyük veya paydaya eşit olduğu sıradan bir kesirdir; yani m≥n ise sıradan kesir uygunsuzdur. İşte bazı doğru kesir örnekleri: 1/4, , 32,765/909,003. Aslında, yazılı sıradan kesirlerin her birinde pay, paydadan küçüktür (gerekirse, doğal sayıları karşılaştıran makaleye bakın), dolayısıyla tanım gereği doğrudurlar. İşte uygunsuz kesirlerin örnekleri: 9/9, 23/4, . Nitekim yazılı adi kesirlerden birincisinin payı paydaya eşittir, geri kalan kesirlerde ise pay paydadan büyüktür. Kesirlerin bir ile karşılaştırılmasına dayanan doğru ve yanlış kesirlerin tanımları da vardır. Tanım. doğru birden küçükse. Tanım. Sıradan bir kesir denir yanlış 1'e eşit veya 1'den büyükse. Yani 7/11 ortak kesri doğrudur, çünkü 7/11<1
, а обыкновенные дроби 14/3
и 27/27
– неправильные, так как 14/3>1 ve 27/27=1. Paydası paydadan büyük veya paydaya eşit olan sıradan kesirlerin nasıl böyle bir adı hak ettiğini düşünelim - "uygunsuz". Örneğin 9/9 bileşik kesirini ele alalım. Bu kesir, dokuz parçadan oluşan bir cismin dokuz parçasının alınması anlamına gelir. Yani elimizdeki dokuz parçadan bütün bir nesneyi oluşturabiliriz. Yani bileşik kesir 9/9 esasen nesnenin tamamını verir, yani 9/9 = 1. Genel olarak, payı paydaya eşit olan uygunsuz kesirler bir tam nesneyi belirtir ve böyle bir kesir, doğal sayı 1 ile değiştirilebilir. Şimdi 7/3 ve 12/4 bileşik kesirlerini düşünün. Bu yedi üçüncü parçadan iki tam nesne oluşturabileceğimiz oldukça açıktır (bir tam nesne 3 parçadan oluşur, o zaman iki tam nesneyi birleştirmek için 3 + 3 = 6 parçaya ihtiyacımız olacaktır) ve yine de üçte bir parça olacaktır. kısmı kaldı. Yani uygunsuz kesir 7/3, esasen 2 nesne ve ayrıca böyle bir nesnenin 1/3'ü anlamına gelir. Ve on iki çeyrek parçadan üç tam nesne (her biri dört parçalı üç nesne) yapabiliriz. Yani 12/4 kesri aslında 3 tam nesne anlamına gelir. Ele alınan örnekler bizi şu sonuca götürüyor: uygunsuz kesirler, pay paydaya eşit olarak bölündüğünde doğal sayılarla (örneğin, 9/9=1 ve 12/4=3) veya toplamla değiştirilebilir. Payın paydaya tam olarak bölünemediği durumlarda bir doğal sayı ve uygun kesir (örneğin, 7/3=2+1/3). Belki de tam da bu, uygunsuz kesirlere "düzensiz" adını kazandıran şeydir. Özellikle ilgi çekici olan, uygun olmayan bir kesrin bir doğal sayı ile bir uygun kesirin (7/3=2+1/3) toplamı olarak temsil edilmesidir. Bu işleme, tüm parçayı uygunsuz bir kesirden ayırmak denir ve ayrı ve daha dikkatli bir değerlendirmeyi hak eder. Uygunsuz kesirler ile karışık sayılar arasında çok yakın bir ilişki olduğunu da belirtmekte fayda var. Her ortak kesir, pozitif bir kesirli sayıya karşılık gelir (pozitif ve negatif sayılar hakkındaki makaleye bakın). Yani sıradan kesirler pozitif kesirler. Örneğin 1/5, 56/18, 35/144 sıradan kesirler pozitif kesirlerdir. Bir kesrin pozitifliğini vurgulamanız gerektiğinde önüne bir artı işareti yerleştirilir, örneğin +3/4, +72/34. Ortak bir kesrin önüne eksi işareti koyarsanız, bu giriş negatif bir kesirli sayıya karşılık gelecektir. Bu durumda konuşabiliriz negatif kesirler. Negatif kesirlerin bazı örnekleri şunlardır: −6/10, −65/13, −1/18. Pozitif ve negatif kesirler m/n ve −m/n zıt sayılardır. Örneğin 5/7 ve −5/7 kesirleri zıt kesirlerdir. Pozitif kesirler, genel olarak pozitif sayılar gibi, bir eklemeyi, geliri, herhangi bir değerdeki yukarı doğru değişimi vb. ifade eder. Negatif kesirler gidere, borca veya herhangi bir miktardaki azalmaya karşılık gelir. Örneğin, negatif kesir −3/4, değeri 3/4'e eşit olan bir borç olarak yorumlanabilir. Yatay ve sağa doğru negatif kesirler orijinin solunda bulunur. Koordinatları pozitif kesir m/n ve negatif kesir -m/n olan koordinat çizgisinin noktaları, orijinden aynı uzaklıkta, ancak O noktasının zıt taraflarında bulunur. Burada 0/n formundaki kesirlerden bahsetmeye değer. Bu kesirler sıfır sayısına eşittir yani 0/n=0. Pozitif kesirler, negatif kesirler ve 0/n kesirler birleşerek rasyonel sayılar oluşturur. Yukarıda sıradan kesirlerle ilgili bir eylemi - kesirleri karşılaştırarak - tartışmıştık. Dört aritmetik fonksiyon daha tanımlandı kesirlerle işlemler– Kesirlerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme. Her birine bakalım. Kesirli işlemlerin genel özü, doğal sayılarla karşılık gelen işlemlerin özüne benzer. Bir benzetme yapalım. Kesirlerin Çarpılması kesirden kesir bulma eylemi olarak düşünülebilir. Açıklığa kavuşturmak için bir örnek verelim. Diyelim ki bir elmanın 1/6'sı var ve 2/3'ünü almamız gerekiyor. İhtiyacımız olan kısım 1/6 ve 2/3 kesirlerinin çarpılması sonucudur. İki sıradan kesirin çarpılmasının sonucu, sıradan bir kesirdir (özel bir durumda bu, bir doğal sayıya eşittir). Daha sonra Kesirlerde Çarpma - Kurallar, Örnekler ve Çözümler makalesindeki bilgileri incelemenizi öneririz. Referanslar. § 1 Ondalık kesirler Bu derste ondalık kesir kavramını öğrenecek, tarihini tanıyacak, ondalık kesirleri nasıl okuyacağınızı ve yazacağınızı öğrenecek, paydası 10, 100, 1000 vb. olan ortak kesirleri dönüştüreceksiniz. ondalık sayıya ve tam tersi. Peki ondalık sayı nedir? Bunun paydanın 10, 100, 1000, 10000 vb. olduğu sıradan bir kesir yazma biçimi olduğu ortaya çıktı. 1'de birkaç sıfır var. Önce tam kısmı, sonra kesirli kısmın payını yazın ve tam kısmı kesirden virgülle ayırın. Örneğin 12 nokta 7, 12,7 olarak yazılır. Başka bir örnek: 8 nokta 156 binde biri 8,156'ya eşittir. Peki ya bir parçanın tamamı eksikse? Yani kesir doğru mu? O halde parçanın tamamı 0 olarak yazılır! Örneğin yüzde 17 = 0,17. § 2 Paydası 10, 100, 1000 vb. olan ortak kesirlerin çevirisi. ondalık sayıya ve tam tersi Dikkat! Bir ondalık sayının doğru yazılması için kesrin payının, paydasındaki sıfır sayısı kadar rakama sahip olması gerekir. Yani kesir Başka bir örnek: 3 milyonuncu kesir ondalık gösterimle nasıl yazılır? Ondalık sayıları doğru okumak için kesirli kısımdaki her rakamın adını hatırlamanız gerekir. Ondalıklar virgülden sonra ilk sıraya, yüzde birlikler ikinci sıraya, sonra binde birlere, sonra on binde birlere, sonra yüz binde birlere vb. yazılır. Örneğin bu sayı (1234.5678) şu şekilde okunur: 1234 nokta 5678 on binde biri. Artık bir kesri ondalık sayıya nasıl dönüştüreceğinizi biliyorsunuz. Peki ya tam tersi? Oldukça da basit! Örneğin, 1,5 ondalık kesirini bir virgül beş olarak okuruz ve şu şekilde yazılabilir: 1,05 kesri bir virgül beş olarak okunur ve şöyle yazılır: 1 1,005 kesri ise binde beşlik bir nokta olarak okunur ve şöyle yazılır: § 3 Ondalık kesirlerin ortaya çıkış tarihi Zaten eski Çin'de ondalık ölçü sistemini kullandıkları ve kesirleri uzunluk ölçülerini kullanan kelimelerle gösterdikleri ortaya çıktı: chi, tsuni, kesirler, sıralı, kıllar, en ince, örümcek ağları. 2.135436 formunun bir kısmı şuna benziyordu: 2 chi, 1 cun, 3 lob, 5 sıralı, 4 saç, 3 en iyi, 6 örümcek ağı. Kesirler iki yüzyıldır bu şekilde yazılıyor. Daha sonra 15. yüzyılda dönemin önemli bilim adamlarından Cemşid Gıyaseddin el-Kaşi, ondalık kesirler öğretisini ilk kez açıkladı; tam ve kesirli kısımların tek satırda yazıldığı ve ayrıldığı ondalık kesirler için yeni bir gösterim getirdi. birbirinden dikey bir çizgiyle veya farklı renklerde mürekkeple. Aynı sıralarda Avrupa'daki matematikçiler ondalık kesir için uygun bir gösterim bulmaya çalışıyorlardı. Kullanılan literatürün listesi: Ortak kesrin tanımı Tanım 1 Parça sayısını tanımlamak için ortak kesirler kullanılır. Ortak bir kesri tanımlamak için kullanılabilecek bir örneğe bakalım. Elma 8$$ hisseye bölündü. Bu durumda her pay bir elmanın sekizde birini temsil eder, yani $\frac(1)(8)$. İki hisse $\frac(2)(8)$ ile, üç hisse $\frac(3)(8)$ vb. ile ve $8$ hisseler $\frac(8)(8)$ ile gösterilir. Sunulan girişlerin her birine denir sıradan kesir. Sıradan bir kesrin genel bir tanımını verelim. Tanım 2 Ortak kesir$\frac(m)(n)$ biçiminde bir notasyon olarak adlandırılır; burada $m$ ve $n$ herhangi bir doğal sayıdır. Yaygın bir kesir için sıklıkla şu gösterimi bulabilirsiniz: $m/n$. Örnek 1 Ortak kesir örnekleri: \[(3)/(4), \frac(101)(345),\ \ (23)/(5), \frac(15)(15), (111)/(81).\] Not 1 Sayılar $\frac(\sqrt(2))(3)$, $-\frac(13)(37)$, $\frac(4)(\frac(2)(7))$, $\frac( 2,4)(8,3)$ sıradan kesirler değildir çünkü yukarıdaki tanıma uymuyor. Ortak bir kesir bir pay ve bir paydadan oluşur. Tanım 3 Pay Sıradan bir kesir $\frac(m)(n)$, tek bir bütünden alınan eşit parçaların sayısını gösteren $m$ doğal sayısıdır. Tanım 4 Payda Sıradan bir kesir $\frac(m)(n)$, bütünün kaç eşit parçaya bölündüğünü gösteren $n$ doğal sayısıdır. Şekil 1. Pay kesir çizgisinin üstünde, payda ise kesir çizgisinin altında bulunur. Örneğin, $\frac(5)(17)$ ortak kesirinin payı $5$ sayısıdır ve paydası $17$ sayısıdır. Payda, ürünün 17$$'lık hisselere bölündüğünü, pay ise 5$$'lık hisselerin alındığını gösterir. Ortak bir kesrin paydası bir olabilir. Bu durumda nesnenin bölünemez olduğu kabul edilir. tek bir bütünü temsil eder. Böyle bir kesrin payı kaç tane tam nesnenin alındığını gösterir. $\frac(m)(1)$ formunun sıradan bir kesri, $m$ doğal sayısı anlamına gelir. Böylece, sağlam temellere dayanan $\frac(m)(1)=m$ eşitliğini elde ederiz. Eşitliği $m=\frac(m)(1)$ biçiminde yeniden yazarsak, bu, herhangi bir $m$ doğal sayısını sıradan bir kesir olarak temsil etmeyi mümkün kılacaktır. Örneğin, $5$ sayısı $\frac(5)(1)$ kesiriyle temsil edilebilir, $123\456$ sayısı $\frac(123\456)(1)$ kesiriyle temsil edilebilir. Dolayısıyla, herhangi bir $m$ doğal sayısı, paydası $1$ olan sıradan bir kesir olarak temsil edilebilir ve $\frac(m)(1)$ biçimindeki herhangi bir sıradan kesir, bir $m$ doğal sayısı ile değiştirilebilir. Bir nesneyi $n$ parça biçiminde temsil etmek, $n$ eşit parçaya bölmek demektir. Bir öğeyi $n$ hisselere böldükten sonra, $n$ kişi arasında eşit olarak paylaştırılabilir - her biri bir hisse alacaktır. $n$ parçaya bölünmüş $m$ özdeş nesneler olsun. Bu $m$ öğeler, her kişiye $m$ öğelerin her birinden bir pay verilerek $n$ kişi arasında eşit olarak bölünebilir. Bu durumda, her kişi $\frac(1)(n)$'ın $m$ hissesini alacaktır, bu da $\frac(m)(n)$ ortak kesirini verir. $\frac(m)(n)$ ortak kesirinin, $m$ öğelerin $n$ kişiler arasında bölünmesini belirtmek için kullanılabileceğini bulduk. Sıradan kesirler ile bölme arasındaki bağlantı, kesir çubuğunun bölme işareti olarak anlaşılabilmesiyle ifade edilir; $\frac(m)(n)=m:n$. Sıradan bir kesir, tam bölme işlemi yapılmayan iki doğal sayının bölünmesinin sonucunu yazmayı mümkün kılar. Örnek 2 Örneğin, 7$ elmanın 9$ kişiye bölünmesinin sonucu $\frac(7)(9)$ olarak yazılabilir, yani. herkes bir elmanın dokuzda yedisini alacak: $7:9=\frac(7)(9)$. İki sıradan kesri karşılaştırmanın sonucu, bunların eşitliği veya eşitsizliği olabilir. Adi kesirler eşit olduğunda bunlara eşit, aksi takdirde adi kesirlere eşit olmadığı denir. eşit, eğer $a\cdot d=b\cdot c$ eşitliği doğruysa. $\frac(a)(b)$ ve $\frac(c)(d)$ sıradan kesirlerine denir eşit olmayan, eğer $a\cdot d=b\cdot c$ eşitliği sağlanmıyorsa. Örnek 3 $\frac(1)(3)$ ve $\frac(2)(6)$ kesirlerinin eşit olup olmadığını öğrenin. Eşitlik sağlandı, bu da $\frac(1)(3)$ ve $\frac(2)(6)$ kesirlerinin eşit olduğu anlamına gelir: $\frac(1)(3)=\frac(2)( 6)$. Bu örnek elmalar kullanılarak düşünülebilir: iki özdeş elmadan biri üç eşit paya, ikincisi ise 6$ paya bölünür. Bir elmanın altıda ikisinin $\frac(1)(3)$ pay oluşturduğu görülmektedir. Örnek 4 $\frac(3)(17)$ ve $\frac(4)(13)$ normal kesirlerinin eşit olup olmadığını kontrol edin. $a\cdot d=b\cdot c$ eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığını kontrol edelim:
\ \ Eşitlik geçerli değil, yani $\frac(3)(17)$ ve $\frac(4)(13)$ kesirleri eşit değildir: $\frac(3)(17)\ne \frac( 4)(13) $. İki ortak kesri karşılaştırıp eşit olmadıklarını tespit ederek hangisinin diğerinden daha büyük, hangisinin daha küçük olduğunu bulabilirsiniz. Bunu yapmak için, sıradan kesirleri karşılaştırma kuralını kullanın: kesirleri ortak bir paydaya getirmeniz ve ardından paylarını karşılaştırmanız gerekir. Hangi kesrin payı büyükse o kesir de büyük olacaktır. Sıradan kesirlere karşılık gelen tüm kesirli sayılar bir koordinat ışınında görüntülenebilir. Koordinat ışınında $\frac(m)(n)$ kesrine karşılık gelen bir noktayı işaretlemek için, koordinatların orijininden uzunluğu $\ olan $m$ parçalarını pozitif yönde çizmek gerekir. frac(1)(n)$ bir birim segmentin kesri . Bu tür bölümler, bir birim bölümün $n$ eşit parçaya bölünmesiyle elde edilir. Koordinat ışınında kesirli bir sayı görüntülemek için birim parçasını parçalara bölmeniz gerekir. Şekil 2. Eşit kesirler aynı kesirli sayı ile tanımlanır; eşit kesirler koordinat ışınındaki aynı noktanın koordinatlarını temsil eder. Örneğin, $\frac(1)(3)$, $\frac(2)(6)$, $\frac(3)(9)$, $\frac(4)(12)$ koordinatları şunu tanımlar: Tüm yazılı kesirler eşit olduğundan koordinat ışınında aynı nokta. Bir nokta daha büyük bir kesirli bir koordinatla tanımlanırsa, o zaman koordinatı daha küçük bir kesirli olan noktadan sağa yönlendirilen yatay koordinat ışınının sağında yer alacaktır. Örneğin, çünkü $\frac(5)(6)$ kesri $\frac(2)(6)$ kesirinden büyüktür, bu durumda $\frac(5)(6)$ koordinatına sahip nokta sağında bulunur $\frac(2) (6)$ koordinatına sahip nokta. Benzer şekilde, koordinatı daha küçük olan bir nokta, koordinatı daha büyük olan bir noktanın solunda yer alacaktır. Bir birimin kesirleri ve şu şekilde temsil edilir: \frac(a)(b). Kesir payı (a)- Kesir çizgisinin üzerinde yer alan ve birimin bölündüğü hisse sayısını gösteren sayı. Kesir paydası (b)- Kesir çizgisinin altında bulunan ve birimin kaç parçaya bölündüğünü gösteren sayı. Gösteriyi Gizle
ad=bc ise iki kesir \frac(a)(b) Ve \frac(c)(d) eşit kabul edilir. Örneğin kesirler eşit olacak \frac35 Ve \frac(9)(15), 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 olduğundan, \frac(12)(7) Ve \frac(24)(14) 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 olduğundan. Kesirlerin eşitliği tanımından kesirlerin eşit olacağı sonucu çıkar \frac(a)(b) Ve \frac(am)(bm) a(bm)=b(am) doğal sayılarla çarpmanın ilişkisel ve değişmeli özelliklerinin kullanımının açık bir örneği olduğundan, eylemde. Araç \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- böyle görünüyor bir kesrin temel özelliği. Yani orijinal kesrin pay ve paydasını aynı doğal sayıyla çarparak veya bölerek verilen kesre eşit bir kesir elde ederiz. Bir kesirin azaltılması yeni kesrin orijinaline eşit olduğu ancak pay ve paydası daha küçük olan bir kesirin değiştirilmesi işlemidir. Kesirlerin temel özelliklerine göre kesirleri azaltmak gelenekseldir. Örneğin, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(pay ve payda 3 sayısına bölünür); elde edilen kesir yine 5'e bölünerek azaltılabilir, yani \frac(15)(20)=\frac 34. İndirgenemez kesir formun bir kısmıdır \frac 34 burada pay ve payda karşılıklı asal sayılardır. Bir kesri azaltmanın asıl amacı kesri indirgenemez hale getirmektir. Örnek olarak iki kesri ele alalım: \frac(2)(3) Ve \frac(5)(8) farklı paydaları olan 3 ve 8. Bu kesirleri ortak paydaya getirmek için öncelikle kesrin payını ve paydasını çarparız. \frac(2)(3) 8'e kadar. Aşağıdaki sonucu elde ederiz: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Daha sonra kesrin payını ve paydasını çarpıyoruz. \frac(5)(8) 3'e kadar. Sonuç olarak şunu elde ederiz: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Böylece orijinal kesirler ortak bir paydaya (24) indirgenir. a) Paydalar aynı ise, birinci kesrin payı ikinci kesrin payına eklenir ve payda aynı kalır. Örnekte görebileceğiniz gibi: \frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b); b) Farklı paydalar için kesirler önce ortak bir paydaya indirgenir ve daha sonra paylar kural a'ya göre toplanır: \frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12). a) Paydalar aynıysa, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarın ve paydayı aynı bırakın: \frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b); b) Kesirlerin paydaları farklı ise önce kesirler ortak paydaya getirilir, sonra a) maddesindeki gibi işlemler tekrarlanır. Kesirlerin çarpılması aşağıdaki kurala uyar: \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d), yani pay ve paydaları ayrı ayrı çarparlar. Örneğin: \frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40). Kesirler şu şekilde bölünür: \frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc), yani bir kesir \frac(a)(b) bir kesirle çarpılır \frac(d)(c). Örnek: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2). ab=1 ise b sayısı karşılıklı sayı a numarası için Örnek: 9 sayısı için karşılıklılık şöyledir: \frac(1)(9), Çünkü 9\cdot\frac(1)(9)=1, 5 sayısı için - \frac(1)(5), Çünkü 5\cdot\frac(1)(5)=1. Ondalık Paydası 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n olan uygun kesir denir. Örneğin: \frac(6)(10)=0,6;\enspace \frac(44)(1000)=0,044. Paydası 10^n olan düzensiz sayılar veya karışık sayılar da aynı şekilde yazılır. Örneğin: 5\frac(1)(10)=5,1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7,63. Paydası 10'un belirli bir üssü olan herhangi bir sıradan kesir, ondalık kesir olarak temsil edilir. Örnek: 5, 100'ün böleni olduğundan kesirlidir \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0,2. İki ondalık kesir eklemek için bunları birbirinin altında aynı rakamlar ve virgülün altında virgül olacak şekilde düzenlemeniz ve ardından kesirleri sıradan sayılar gibi eklemeniz gerekir. Ekleme ile aynı şekilde gerçekleştirilir. Ondalık sayıları çarparken verilen sayıları virgüllere dikkat etmeden (doğal sayılar gibi) çarpmak yeterlidir ve ortaya çıkan cevapta her iki faktörde de virgülden sonraki rakam sayısı kadar rakamı sağdaki virgül ayırır. toplamda. 2,7'yi 1,3 ile çarpalım. Elimizde 27 \cdot 13=351 var. Sağdaki iki rakamı virgülle ayırıyoruz (birinci ve ikinci rakamlarda virgülden sonra bir rakam var; 1+1=2). Sonuç olarak, 2,7 \cdot 1,3=3,51 elde ederiz. Ortaya çıkan sonuç, virgülle ayrılması gerekenden daha az rakam içeriyorsa, eksik sıfırlar öne yazılır, örneğin: 10, 100, 1000 ile çarpmak için ondalık noktayı 1, 2, 3 rakamını sağa kaydırmanız gerekir (gerekirse sağa belirli sayıda sıfır atanır). Örneğin: 1,47\cdot 10\,000 = 14.700. Ondalık kesirin bir doğal sayıya bölünmesi, bir doğal sayının bir doğal sayıya bölünmesiyle aynı şekilde yapılır. Bölümdeki virgül, tam parçanın bölünmesi tamamlandıktan sonra konur. Bölünmenin tam sayı kısmı bölenden küçükse cevap sıfır tam sayıdır, örneğin: Bir ondalık sayıyı ondalık sayıya bölmeye bakalım. Diyelim ki 2,576'yı 1,12'ye bölmemiz gerekiyor. Öncelikle kesrin bölenini ve bölenini 100 ile çarpalım, yani bölen ve bölendeki virgülünü, virgülden sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydıralım (bu örnekte, iki). Daha sonra 257.6 kesirini 112 doğal sayısına bölmeniz gerekir, yani sorun daha önce ele alınan duruma indirgenir: Bir sayıyı diğerine bölerken son ondalık kesrin her zaman elde edilemediği görülür. Sonuç sonsuz bir ondalık kesirdir. Bu gibi durumlarda sıradan kesirlere geçiyoruz. 2,8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31\frac( 1)(9). Kesir- matematikte sayıları temsil etmenin bir biçimi. Kesir çubuğu bölme işlemini gösterir. Pay kesir temettü olarak adlandırılır ve payda- bölücü. Örneğin bir kesirde pay 5, payda 7'dir. Doğru Payı paydasından büyük olan kesire kesir denir. Bir kesir uygunsa, değerinin modülü her zaman 1'den küçüktür. Diğer tüm kesirler yanlış. Kesir denir karışık tam sayı ve kesir olarak yazılırsa. Bu, bu sayının ve kesrin toplamı ile aynıdır: Bir kesrin pay ve paydası aynı sayı ile çarpılırsa kesrin değeri değişmez, yani; İki kesri ortak bir paydaya getirmek için şunlara ihtiyacınız vardır: Ek.İki kesir eklemek için ihtiyacınız olan Örnek: Çıkarma. Bir kesri diğerinden çıkarmak için yapmanız gerekenler Örnek: Çarpma. Bir kesri diğeriyle çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız gerekir: Bölüm. Bir kesri diğerine bölmek için, birinci kesrin payını ikincinin paydasıyla çarpın ve birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla çarpın:Pozitif ve negatif kesirler
Kesirlerle işlemler
Fransız matematikçi Francois Viète, “Matematiksel Kanon” kitabında ondalık kesir yazarken kesirli kısmın altını çizmiş ve bunu sayının tam sayı kısmının satırının üstüne yazmıştır. Rusya'da ondalık kesirlerle ilgili ilk sistematik bilgiye Magnitsky Aritmetiği'nde rastlanmaktadır. Kesirlerin gösteriminde virgül ilk kez 1592'de ve 1617'de kullanıldı. İskoç matematikçi John Napier, ondalık sayıları bir tam sayıdan virgül veya noktayla ayırmayı önerdi. Ondalık Johannes Kepler kesirlerinin modern gösterimi, yani Johannes Kepler tarafından önerilen, tamsayı kısmının kesirli virgülden ayrılması. İngilizce konuşulan ülkelerde artık virgül yerine nokta yazılıyor.Pay ve payda
Paydası 1 olan kesir olarak doğal sayı
Bölme işareti olarak kesirli çubuk
Eşit ve eşit olmayan kesirler, kesirlerin karşılaştırılması
Koordinat ışınındaki kesirler
Bir kesrin temel özelliği
Kesirleri ortak paydaya indirgemek
Sıradan kesirler üzerinde aritmetik işlemler
Sıradan kesirlerin eklenmesi
Kesirleri çıkarma
Ortak Kesirlerin Çarpılması
Kesirleri bölme
Karşılıklı sayılar
Ondalık Sayılar
Ondalık sayılarda aritmetik işlemler
Ondalık Sayıları Ekleme
Ondalık Sayıları Çıkarma
Ondalık Sayıların Çarpılması
Ondalık bölme
.png)
.png)
Bir kesrin temel özelliği
Kesirleri ortak paydaya indirgemek
Kesirlerle işlemler
