Bu yazıda bir doğrusal cebirsel denklem sistemini çözmek için matris yönteminden bahsedeceğiz, tanımını bulacağız ve çözüm örnekleri vereceğiz.
Tanım 1
Ters matris yöntemi bilinmeyenlerin sayısı denklem sayısına eşitse SLAE'leri çözmek için kullanılan bir yöntemdir.
Örnek 1
n bilinmeyenli n doğrusal denklem sisteminin çözümünü bulun:
a 11 x 1 + a 12 x 2 +. . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n
Matris kayıt türü : Bir × X = B
burada A = a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n sistemin matrisidir.
X = x 1 x 2 ⋮ x n - bilinmeyenler sütunu,
B = b 1 b 2 ⋮ b n - serbest katsayıların sütunu.
Aldığımız denklemden X'i ifade etmek gerekiyor. Bunu yapmak için soldaki matris denkleminin her iki tarafını A - 1 ile çarpmanız gerekir:
A - 1 × A × X = A - 1 × B.
A - 1 × A = E olduğundan, E × X = A - 1 × B veya X = A - 1 × B.
Yorum
A matrisine ters matris, yalnızca d e t A sıfıra eşit değildir koşulu karşılandığında var olma hakkına sahiptir. Bu nedenle SLAE'leri ters matris yöntemini kullanarak çözerken öncelikle d e t A bulunur.
d e t A'nın sıfıra eşit olmaması durumunda sistemin tek bir çözüm seçeneği vardır: ters matris yöntemini kullanmak. Eğer d e t A = 0 ise sistem bu yöntemle çözülemez.
Ters matris yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme örneği
Örnek 2SLAE'yi ters matris yöntemini kullanarak çözüyoruz:
2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2
Nasıl çözülür?
- Sistemi A X = B matris denklemi biçiminde yazıyoruz;
A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.
- X'i bu denklemden ifade ediyoruz:
- A matrisinin determinantını bulun:
d e t A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25
d e t A 0'a eşit olmadığından ters matris çözüm yöntemi bu sistem için uygundur.
- Müttefik matrisi kullanarak ters A - 1 matrisini buluyoruz. A matrisinin karşılık gelen elemanlarına A i j cebirsel tamamlayıcılarını hesaplıyoruz:
A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,
A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,
A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,
A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,
A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,
A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,
A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,
A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,
bir 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.
- A matrisinin cebirsel tamamlayıcılarından oluşan müttefik matris A *'yı yazıyoruz:
bir * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0
- Ters matrisi aşağıdaki formüle göre yazıyoruz:
A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 ,
- Ters matris A - 1'i serbest B terimleri sütunuyla çarparız ve sisteme bir çözüm elde ederiz:
X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1
Cevap : x1 = -1; x2 = 0; x 3 = 1
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Tekil olmayan herhangi bir A matrisi için benzersiz bir A-1 matrisi vardır, öyle ki
A*A -1 =A -1 *A = E,
burada E, A ile aynı mertebeden birim matristir. A-1 matrisine A matrisinin tersi denir.
Birinin unutması durumunda, birim matriste, birlerle dolu köşegen hariç, diğer tüm konumlar sıfırlarla doldurulur, bir birim matris örneği:
Ek matris yöntemini kullanarak ters matrisi bulma
Ters matris aşağıdaki formülle tanımlanır:
burada A ij - a ij öğeleri.
Onlar. Ters matrisi hesaplamak için bu matrisin determinantını hesaplamanız gerekir. Daha sonra tüm elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını bulun ve onlardan yeni bir matris oluşturun. Daha sonra bu matrisi taşımanız gerekiyor. Ve yeni matrisin her elemanını orijinal matrisin determinantına bölün.
Birkaç örneğe bakalım.
Bir matris için A -1'i bulun
Çözüm A -1'i ek matris yöntemini kullanarak bulalım. Elimizde det A = 2 var. A matrisinin elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını bulalım. Bu durumda, matris elemanlarının cebirsel tamamlayıcıları, formüle göre bir işaretle alınan, matrisin kendisine karşılık gelen elemanları olacaktır.
A 11 = 3, A 12 = -4, A 21 = -1, A 22 = 2'ye sahibiz. Ek matrisi oluşturuyoruz
A*: matrisini taşıyoruz
Ters matrisi aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:
Şunu elde ederiz:
Eş matris yöntemini kullanarak, eğer A -1'i bulun:
Çözüm: Öncelikle ters matrisin varlığını doğrulamak için bu matrisin tanımını hesaplıyoruz. Sahibiz
Burada ikinci satırın elemanlarına daha önce (-1) ile çarptığımız üçüncü satırın elemanlarını ekledik ve ardından ikinci satırın determinantını genişlettik. Bu matrisin tanımı sıfırdan farklı olduğundan ters matrisi mevcuttur. Birleşik matrisi oluşturmak için bu matrisin elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarını buluruz. Sahibiz
Formüle göre
taşıma matrisi A*:
Daha sonra formüle göre
Temel dönüşüm yöntemini kullanarak ters matrisi bulma
Formülden çıkan ters matrisi bulma yöntemine (ek matris yöntemi) ek olarak, temel dönüşümler yöntemi adı verilen ters matrisi bulma yöntemi de vardır.
Temel matris dönüşümleri
Aşağıdaki dönüşümlere temel matris dönüşümleri denir:
1) satırların (sütunların) yeniden düzenlenmesi;
2) bir satırın (sütun) sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması;
3) bir satırın (sütun) elemanlarına, daha önce belirli bir sayı ile çarpılmış başka bir satırın (sütun) karşılık gelen elemanlarının eklenmesi.
A -1 matrisini bulmak için, (n; 2n) dereceli dikdörtgen bir B = (A|E) matrisi oluştururuz ve sağdaki A matrisine bir bölme çizgisi aracılığıyla E birim matrisini atarız:
Bir örneğe bakalım.
Temel dönüşüm yöntemini kullanarak, eğer A -1'i bulun:
Çözüm B matrisini oluşturuyoruz:
B matrisinin satırlarını α 1, α 2, α 3 ile gösterelim. B matrisinin satırları üzerinde aşağıdaki dönüşümleri yapalım.
Belirli bir matris için ters matris, orijinal matrisi çarparak kimlik matrisini veren böyle bir matristir: Ters bir matrisin varlığı için zorunlu ve yeterli koşul, orijinalin determinantının eşit olmamasıdır. sıfıra (bu da matrisin kare olması gerektiği anlamına gelir). Bir matrisin determinantı sıfıra eşitse buna tekil denir ve böyle bir matrisin tersi yoktur. Yüksek matematikte ters matrisler önemlidir ve bir takım problemleri çözmek için kullanılır. Örneğin, ters matrisi bulma denklem sistemlerini çözmek için bir matris yöntemi oluşturuldu. Hizmet sitemiz izin verir ters matrisi çevrimiçi hesapla iki yöntem: Gauss-Jordan yöntemi ve cebirsel toplamalar matrisinin kullanılması. Birincisi matris içinde çok sayıda temel dönüşümü içerir, ikincisi ise tüm elemanlara determinant ve cebirsel toplamaların hesaplanmasını içerir. Bir matrisin determinantını çevrimiçi hesaplamak için diğer hizmetimizi kullanabilirsiniz - Bir matrisin determinantının çevrimiçi olarak hesaplanması
.Sitenin ters matrisini bulun
web sitesi bulmanı sağlar ters matris çevrimiçi hızlı ve ücretsiz. Sitede hizmetimiz kullanılarak hesaplamalar yapılmakta ve sonuç, bulma konusunda ayrıntılı bir çözüm ile verilmektedir. ters matris. Sunucu her zaman yalnızca doğru ve doğru bir cevap verir. Tanım gereği görevlerde ters matris çevrimiçi determinantının olması gerekir matrisler sıfır değildi, aksi halde web sitesi orijinal matrisin determinantının sıfıra eşit olması nedeniyle ters matrisin bulunmasının imkansızlığını bildirecektir. Bulmak görevi ters matris Matematiğin birçok dalında bulunan, cebirin en temel kavramlarından biri ve uygulamalı problemlerde matematiksel bir araçtır. Bağımsız ters matrisin tanımı Hesaplamalarda yazım hatalarından veya küçük hatalardan kaçınmak için büyük çaba, çok zaman, hesaplamalar ve büyük özen gerektirir. Bu nedenle hizmetimiz ters matrisi çevrimiçi bulma işinizi çok kolaylaştıracak ve matematik problemlerinin çözümünde vazgeçilmez bir araç haline gelecektir. Sen bile ters matrisi bul kendiniz, çözümünüzü sunucumuzda kontrol etmenizi öneririz. Orijinal matrisinizi web sitemize girin Ters matrisi çevrimiçi hesaplayın ve cevabınızı kontrol edin. Sistemimiz asla hata yapmaz ve bulmaz ters matris modunda verilen boyut çevrimiçi aniden! Web sitesinde web sitesiÖğelerde karakter girişlerine izin verilir matrisler, bu durumda ters matris çevrimiçi genel sembolik biçimde sunulacaktır.
n'inci dereceden bir kare matris olsun
Matris A-1 denir ters matris A matrisine göre, eğer A*A -1 = E ise, burada E, n'inci dereceden birim matristir.
Kimlik matrisi- sol üst köşeden sağ alt köşeye geçen ana köşegen boyunca tüm elemanların bir olduğu ve geri kalanının sıfır olduğu böyle bir kare matris, örneğin:
Ters matris var olabilir yalnızca kare matrisler için onlar. satır ve sütun sayısının çakıştığı matrisler için.
Ters bir matrisin varoluş koşulu için teorem
Bir matrisin ters matris olabilmesi için tekil olmaması gerekli ve yeterlidir.
A = (A1, A2,...A n) matrisine denir dejenere olmayan, eğer sütun vektörleri doğrusal olarak bağımsızsa. Bir matrisin doğrusal bağımsız sütun vektörlerinin sayısına matrisin rütbesi denir. Dolayısıyla ters bir matrisin var olabilmesi için matrisin rütbesinin boyutuna eşit olması gerekli ve yeterlidir diyebiliriz. r = n.
Ters matrisi bulmak için algoritma
- Denklem sistemlerini Gauss yöntemini kullanarak çözmek için A matrisini tabloya yazın ve E matrisini sağ tarafa (denklemlerin sağ tarafları yerine) atayın.
- Jordan dönüşümlerini kullanarak A matrisini birim sütunlardan oluşan bir matrise azaltın; bu durumda E matrisini eş zamanlı olarak dönüştürmek gerekir.
- Gerekirse, son tablonun satırlarını (denklemlerini), orijinal tablonun A matrisi altında E birim matrisini elde edecek şekilde yeniden düzenleyin.
- Orijinal tablonun E matrisinin altına son tabloda bulunan ters matris A -1'i yazın.
A matrisi için ters A -1 matrisini bulun
Çözüm: A matrisini yazıp E birim matrisini sağa atarız. Jordan dönüşümlerini kullanarak A matrisini E birim matrisine indirgeriz. Hesaplamalar Tablo 31.1'de verilmiştir.
Orijinal matris A ile ters matris A -1'i çarparak hesaplamaların doğruluğunu kontrol edelim.
Matris çarpımı sonucunda birim matris elde edildi. Bu nedenle hesaplamalar doğru yapılmıştır.
Cevap: 
Matris denklemlerini çözme
Matris denklemleri şöyle görünebilir:
AX = B, HA = B, AXB = C,
burada A, B, C belirtilen matrislerdir, X istenen matristir.
Matris denklemleri, denklemin ters matrislerle çarpılmasıyla çözülür.
Örneğin denklemden matrisi bulmak için bu denklemi soldaki ile çarpmanız gerekir.
Bu nedenle denklemin çözümünü bulmak için ters matrisi bulup denklemin sağ tarafındaki matrisle çarpmanız gerekir.
Diğer denklemler de benzer şekilde çözülür.
AX = B denklemini çözün, eğer 
Çözüm: Ters matris eşit olduğundan (bkz. örnek 1)
Ekonomik analizde matris yöntemi
Diğerlerinin yanı sıra onlar da kullanılır matris yöntemleri. Bu yöntemler doğrusal ve vektör matris cebirine dayanmaktadır. Bu tür yöntemler, karmaşık ve çok boyutlu ekonomik olayların analiz edilmesi amacıyla kullanılmaktadır. Çoğu zaman bu yöntemler, kuruluşların işleyişinin ve yapısal bölümlerinin karşılaştırmalı bir değerlendirmesini yapmak gerektiğinde kullanılır.
Matris analiz yöntemlerinin uygulanması sürecinde birkaç aşama ayırt edilebilir.
İlk aşamada bir ekonomik göstergeler sistemi oluşturuluyor ve buna dayanarak, sistem numaralarının ayrı satırlarda gösterildiği bir tablo olan bir ilk veri matrisi derleniyor (i = 1,2,....,n) ve dikey sütunlarda - göstergelerin sayısı (j = 1,2,....,m).
İkinci aşamada Her dikey sütun için mevcut gösterge değerlerinden en büyüğü tanımlanır ve bu değer bir olarak alınır.
Daha sonra bu sütuna yansıyan tüm tutarlar en büyük değere bölünerek standartlaştırılmış katsayılardan oluşan bir matris oluşturulur.
Üçüncü aşamada matrisin tüm bileşenlerinin karesi alınır. Farklı önemleri varsa, her matris göstergesine belirli bir ağırlık katsayısı atanır. k. İkincisinin değeri uzman görüşüne göre belirlenir.
Sonuncusunda, dördüncü aşama bulunan derecelendirme değerleri RJ artış veya azalış sırasına göre gruplandırılmıştır.
Ana hatlarıyla belirtilen matris yöntemleri, örneğin çeşitli yatırım projelerinin karşılaştırmalı analizinde ve kuruluşların faaliyetlerinin diğer ekonomik göstergelerinin değerlendirilmesinde kullanılmalıdır.
Matrislerle yapılan eylemler hakkındaki konuşmaya devam edelim. Yani bu dersi incelerken ters matrisin nasıl bulunacağını öğreneceksiniz. Öğrenmek. Matematik zor olsa bile.
Ters matris nedir? Burada ters sayılarla bir benzetme yapabiliriz: örneğin iyimser sayı 5'i ve onun ters sayısını düşünün. Bu sayıların çarpımı bire eşittir: . Matrislerde her şey benzer! Bir matrisin ve ters matrisinin çarpımı şuna eşittir: kimlik matrisi sayısal birimin matris analogudur. Ancak, ilk önce önemli bir pratik sorunu çözelim, yani bu çok ters matrisin nasıl bulunacağını öğrenelim.
Ters matrisi bulmak için neyi bilmeniz ve yapabilmeniz gerekiyor? Karar verebilmelisin elemeler. Ne olduğunu anlamalısın matris ve onlarla bazı eylemler gerçekleştirebiliriz.
Ters matrisi bulmanın iki ana yöntemi vardır:
kullanarak cebirsel eklemeler Ve temel dönüşümleri kullanma.
Bugün ilk, daha basit yöntemi inceleyeceğiz.
En korkunç ve anlaşılmaz olanla başlayalım. düşünelim kare matris. Ters matris aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Matrisin determinantı nerede, matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının aktarılmış matrisidir.
Ters matris kavramı yalnızca kare matrisler için mevcuttur, matrisler “ikiye iki”, “üçe üç” vb.
Tanımlar: Daha önce fark etmiş olabileceğiniz gibi, ters matris bir üst simge ile gösterilir
En basit durumla başlayalım; ikiye ikilik bir matris. Elbette çoğu zaman "üçe üç" gereklidir, ancak yine de çözümün genel prensibini anlamak için daha basit bir görev üzerinde çalışmanızı şiddetle tavsiye ederim.
Örnek:
Bir matrisin tersini bulun
Karar verelim. Eylem sırasını noktadan noktaya ayırmak uygundur.
1) İlk önce matrisin determinantını buluyoruz.
Bu eylemi anlamanız iyi değilse materyali okuyun Determinant nasıl hesaplanır?
Önemli! Matrisin determinantı eşitse SIFIR– ters matris MEVCUT DEĞİL.
Söz konusu örnekte, ortaya çıktığı gibi, bu her şeyin yolunda olduğu anlamına geliyor.
2) Küçüklerin matrisini bulun.
Sorunumuzu çözmek için reşit olmayanın ne olduğunu bilmenize gerek yok ancak makaleyi okumanız tavsiye edilir. Determinant nasıl hesaplanır.
Küçüklerin matrisi matrisle aynı boyutlara sahiptir, yani bu durumda.
Geriye kalan tek şey dört rakamı bulup yıldız işareti yerine koymak.
Matrisimize dönelim
Önce sol üstteki öğeye bakalım:
Nasıl bulunur? küçük?
Ve bu şu şekilde yapılır: Bu öğenin bulunduğu satır ve sütunu ZİHİNSEL olarak çizin:
Geriye kalan sayı bu elementin küçük, bunu minörler matrisimize yazıyoruz:
Aşağıdaki matris elemanını göz önünde bulundurun:
Bu öğenin göründüğü satır ve sütunu zihinsel olarak çizin:
Geriye kalan, matrisimize yazdığımız bu elemanın minörüdür:
Benzer şekilde ikinci satırın elemanlarını da göz önünde bulundurup küçüklerini buluyoruz:
Hazır.
Çok basit. Küçüklerin matrisinde ihtiyacınız var İŞARETLERİ DEĞİŞTİR iki sayı:
Bunlar daire içine aldığım rakamlar!
– Matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel toplamlarının matrisi.
Ve sadece...
4) Cebirsel toplamaların devrik matrisini bulun.
– matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının transpoze matrisi.
5) Cevap.
Formülümüzü hatırlayalım
Her şey bulundu!
Yani ters matris: 
Cevabı olduğu gibi bırakmak daha iyidir. GEREK YOK sonuç kesirli sayılar olduğundan matrisin her elemanını 2'ye bölün. Bu nüans aynı makalede daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Matrislerle eylemler.
Çözüm nasıl kontrol edilir?
Matris çarpımı yapmanız gerekir veya
Muayene: 
Daha önce bahsedildiği gibi alındı kimlik matrisi birleri olan bir matristir ana diyagonal ve diğer yerlerde sıfırlar.
Böylece ters matris doğru bir şekilde bulunur.
Eylemi gerçekleştirirseniz sonuç aynı zamanda bir kimlik matrisi olacaktır. Bu, matris çarpımının değişmeli olduğu birkaç durumdan biridir; daha fazla ayrıntıyı makalede bulabilirsiniz. Matrislerdeki işlemlerin özellikleri. Matris İfadeleri. Ayrıca kontrol sırasında sabitin (kesir) öne çıkarıldığını ve matris çarpımından sonra en sonunda işlendiğini unutmayın. Bu standart bir tekniktir.
Pratikte daha yaygın bir duruma geçelim: üçe üç matris:
Örnek:
Bir matrisin tersini bulun 
Algoritma “ikiye iki” durumuyla tamamen aynıdır.
Ters matrisi şu formülü kullanarak buluyoruz: matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının yer değiştirmiş matrisi burada.
1) Matrisin determinantını bulun.
Burada belirleyici ortaya çıkıyor ilk satırda.
Ayrıca şunu da unutmayın, bu her şeyin yolunda olduğu anlamına gelir. ters matris mevcut.
2) Küçüklerin matrisini bulun.
Küçüklerin matrisi “üçe üç” boyutundadır 
ve dokuz sayı bulmamız gerekiyor.
Birkaç küçük çocuğa daha yakından bakacağım:
Aşağıdaki matris elemanını göz önünde bulundurun: 
Bu öğenin bulunduğu satırı ve sütunu ZİHİNSEL olarak çizin: 
Kalan dört sayıyı “ikiye iki” determinantına yazıyoruz. 
Bu ikiye ikilik determinant ve bu elementin küçüğüdür. Hesaplanması gerekiyor: 
İşte bu kadar, küçük bulundu, bunu küçükler matrisimize yazıyoruz: 
Muhtemelen tahmin ettiğiniz gibi dokuz adet ikiye iki determinantı hesaplamanız gerekir. Süreç elbette sıkıcı ama durum en ağır değil, daha da kötü olabilir.
Peki, pekiştirmek için - resimlerde başka bir yan dal bulmak: 
Kalan reşit olmayanları kendiniz hesaplamaya çalışın.
Nihai sonuç: 
– matrisin karşılık gelen elemanlarının küçüklerinin matrisi.
Reşit olmayanların tamamının negatif çıkması tamamen bir kazadır.
3) Cebirsel toplamaların matrisini bulun.
Küçüklerin matrisinde gereklidir İŞARETLERİ DEĞİŞTİR kesinlikle aşağıdaki unsurlar için: 
Bu durumda:
"Dörde dört" matris için ters matris bulmayı düşünmüyoruz, çünkü böyle bir görev yalnızca sadist bir öğretmen tarafından verilebilir (öğrencinin bir "dörde dört" determinantı ve 16 "üçe üç" determinantı hesaplaması için) ). Uygulamamda böyle tek bir durum vardı ve testin müşterisi işkencemin bedelini oldukça pahalı ödedi =).
Bazı ders kitaplarında ve kılavuzlarda ters matrisi bulmaya yönelik biraz farklı bir yaklaşım bulabilirsiniz, ancak yukarıdaki çözüm algoritmasını kullanmanızı öneririm. Neden? Çünkü hesaplamalarda ve işaretlerde karıştırılma ihtimali çok daha azdır.
