Fonksiyon çeşitli şekillerde belirtilebilir. Bunu belirtmek için kullanılan kurala bağlıdır. Fonksiyonu belirtmenin açık biçimi y = f(x) şeklindedir. Açıklamasının imkansız veya uygunsuz olduğu zamanlar vardır. (a; b) aralığı boyunca t parametresi için hesaplanması gereken çok sayıda (x; y) çifti varsa. 0 ≤ t ile x = 3 cos t y = 3 sin t sistemini çözmek için< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .
Parametrik fonksiyonun tanımı
Buradan x = φ (t), y = ψ (t)'nin bir t ∈ (a; b) değeri için tanımlandığını ve x = φ (t) için ters bir t = Θ (x) fonksiyonuna sahip olduğumuzu elde ederiz, o zaman y = ψ (Θ (x)) formundaki bir fonksiyonun parametrik denklemini belirtmekten bahsediyoruz.
Bir fonksiyonu incelemek için x'e göre türevi aramanın gerekli olduğu durumlar vardır. y x " = ψ " (t) φ " (t) formunda parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevinin formülünü ele alalım, 2. ve n. mertebeden türev hakkında konuşalım.
Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevinin formülünün türetilmesi
t ∈ a için tanımlanmış ve türevlenebilir x = φ (t), y = ψ (t)'ye sahibiz; b, burada x t " = φ " (t) ≠ 0 ve x = φ (t), bu durumda t = Θ (x) formunun ters bir fonksiyonu vardır.
Başlangıç olarak parametrik bir görevden açık bir göreve geçmelisiniz. Bunu yapmak için, x argümanının olduğu y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) formunda karmaşık bir fonksiyon elde etmeniz gerekir.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma kuralına dayanarak, y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x sonucunu elde ederiz.
Bu, t = Θ (x) ve x = φ (t)'nin ters fonksiyon formülü Θ " (x) = 1 φ " (t)'den ters fonksiyonlar olduğunu gösterir, bu durumda y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .
Farklılaşma kuralına göre bir türev tablosu kullanarak birkaç örneği çözmeyi düşünelim.
Örnek 1
x = t 2 + 1 y = t fonksiyonunun türevini bulun.
Çözüm
Koşul olarak φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, buradan φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1 sonucunu elde ederiz. Türetilmiş formülü kullanmalı ve cevabı forma yazmalısınız:
y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t
Cevap: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .
Bir h fonksiyonunun türevi ile çalışırken, t parametresi, türevin değerleri ile argümanla parametrik olarak belirtilen fonksiyon arasındaki bağlantıyı kaybetmemek için, aynı t parametresi aracılığıyla x argümanının ifadesini belirtir. bu değerlerin karşılık geldiği.
Parametrik olarak verilen bir fonksiyonun ikinci dereceden türevini belirlemek için, elde edilen fonksiyonun birinci dereceden türevinin formülünü kullanmanız gerekir, sonra şunu elde ederiz:
y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .
Örnek 2
Verilen x = cos (2 t) y = t 2 fonksiyonunun 2. ve 2. dereceden türevlerini bulun.
Çözüm
Koşullu olarak φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 olduğunu elde ederiz.
Daha sonra dönüşümden sonra
φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t
Bundan şu sonuç çıkar: y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .
1. dereceden türevin formunun x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) olduğunu elde ederiz.
Çözmek için ikinci dereceden türev formülünü uygulamanız gerekir. Formun bir ifadesini alıyoruz
y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " sin (2 t) - t (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 günah (2 t) = = 1 günah (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 günah 3 (2 t) = günah (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 günah 3 (2 t)
Daha sonra parametrik bir fonksiyon kullanarak 2. dereceden türevi belirleme
x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)
Benzer bir çözüm başka bir yöntem kullanılarak çözülebilir. Daha sonra
φ " t = (çünkü (2 t)) " = - günah (2 t) 2 t " = - 2 günah (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 günah (2 t) " = - 2 günah (2 t) " = - 2 çünkü (2 t) · (2 t) " = - 4 çünkü (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t)" = 2
Buradan şunu anlıyoruz
y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 günah (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 günah 2 t 3 = = günah (2 t) - 2 t çünkü (2 t) 2 s ben n 3 (2 t)
Cevap: y "" x = sin (2 t) - 2 t çünkü (2 t) 2 s ben n 3 (2 t)
Parametrik olarak tanımlanmış fonksiyonlara sahip yüksek dereceli türevler de benzer şekilde bulunur.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Logaritmik farklılaşma
Temel fonksiyonların türevleri
Farklılaşmanın temel kuralları
Fonksiyon diferansiyeli
Fonksiyon artışının ana doğrusal kısmı A D X bir fonksiyonun diferansiyellenebilirliğini belirlemede
D f=f(X)-F(X 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0
fonksiyonun diferansiyeli denir F(X) bu noktada X 0 ve gösterilir
df(X 0)=f¢(X 0)D x=A D X.
Diferansiyel noktaya bağlıdır X 0 ve D artışından X. D'de X aynı zamanda bağımsız bir değişken olarak da bakıyorlar, yani her noktada diferansiyel, D artışının doğrusal bir fonksiyonudur X.
Bir fonksiyon olarak düşünürsek F(X)=x, sonra elde ederiz dx= D x,dy=Adx. Bu Leibniz'in notasyonuyla tutarlıdır.
Bir teğetin ordinatının artışı olarak diferansiyelin geometrik yorumu.
Pirinç. 4.3
1) f= yapı , f¢= 0,df= 0 gün x= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.
Sonuçlar. (bkz.(X))¢=cf¢(X), (C 1 F 1 (X)+…+c n f n(X))¢=c 1 f¢ 1 (X)+…+ c n f¢ n(X)
4) f=u/v, v(X 0)¹0 ve türevi mevcutsa, o zaman f¢=(u¢v-v¢ sen)/v 2 .
Kısaltmak için şunu belirteceğiz sen=sen(X)sen 0 =sen(X 0), sonra
D'deki sınıra geçme x® 0 Gerekli eşitliği elde ederiz.
5) Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
Teorem. f¢ varsa(X 0), g¢(X 0)ve x 0 =g(T 0), sonra bir mahallede t 0 karmaşık fonksiyon f tanımlanır(G(T))t noktasında türevlenebilir 0 Ve
Kanıt.
F(X)-F(X 0)=f¢(X 0)(x-x 0)+ A( X)(x-x 0), XÎ sen(X 0).
F(G(T))-F(G(T 0))= f¢(X 0)(G(T)- G(T 0))+ A( G(T))(G(T)- G(T 0)).
Bu eşitliğin her iki tarafını da ( t - t 0) ve hadi şu sınıra gidelim t®t 0 .
6) Ters fonksiyonun türevinin hesaplanması.
Teorem. F'nin sürekli ve kesinlikle monoton olmasına izin verin[a,b]. x noktasında olsun 0 Î( a,b)f¢ var(X 0)¹ 0 , sonra ters fonksiyon x=f -1 (sen)y noktasında var 0 türev eşittir
Kanıt. sayıyoruz F kesinlikle monoton olarak artıyor, o zaman F -1 (sen) süreklidir, monoton olarak [ kadar artar F(A),F(B)]. Hadi koyalım sen 0 =f(X 0), y=f(X), x - x 0 =D X,
y - y 0 =D sen. Ters D fonksiyonunun sürekliliğinden dolayı sen®0 Ş D X®0, elimizde
Limite geçerek gerekli eşitliği elde ederiz.
7) Çift bir fonksiyonun türevi tektir, tek bir fonksiyonun türevi çifttir.
Gerçekten eğer x® - x 0 , O - x®x 0 , Bu yüzden
Çift işlev için Tek işlev için
1) f= yapı, f¢(X)=0.
2) F(X)=x,f¢(X)=1.
3) F(X)= e x, f¢(X)= e x ,
4) F(X)=a x ,(bir x)¢ = balta içinde A.
5) içinde A.
6) F(X)=ln X,
Sonuçlar. (çift bir fonksiyonun türevi tektir)
7) (X M )¢= M X m -1 , X>0, X M =e M içinde X .
8) (günah X)¢= çünkü X,
9) (çünkü X)¢=- günah X,(çünkü X)¢= (günah( x+ p/2)) ¢= çünkü( x+ p/2)=-sin X.
10) (tg) X)¢= 1/çünkü 2 X.
11) (ctg X)¢= -1/günah 2 X.
16)sh X, ch X.
f(x),, bundan şu sonuç çıkıyor f¢(X)=f(X)(in F(X))¢ .
Aynı formül farklı şekilde elde edilebilir F(X)=e içinde F(X) , f¢=e içinde F(X) (in F(X))¢.
Örnek. Bir fonksiyonun türevini hesaplama f=xx .
=x x = x x = x x = x x(in x+ 1).
Düzlemdeki noktaların geometrik konumu
buna bir fonksiyonun grafiği diyeceğiz, parametrik olarak verilmiştir. Ayrıca bir fonksiyonun parametrik spesifikasyonundan da bahsediyorlar.
Not 1. Eğer x, y için sürekli [a,b] Ve X(T) segmentte kesinlikle monoton (örneğin, kesinlikle monoton bir şekilde artar), sonra [ a,b], a=x(A) , b=x(B) fonksiyon tanımlanmış F(X)=y(T(X)), nerede(X) – x(t)'ye ters fonksiyon. Bu fonksiyonun grafiği fonksiyonun grafiğiyle çakışıyor
Tanım alanı ise parametrik olarak verilen bir fonksiyon sonlu sayıda parçaya bölünebilir ,k= 1,2,...,N, her birinde bir fonksiyon var X(T) kesinlikle monotonsa, parametrik olarak tanımlanmış fonksiyon sonlu sayıda sıradan fonksiyona ayrışır fk(X)=y(T -1 (X)) alan adlarıyla [ X(A k), X(B k)] bölümleri artırmak için X(T) ve alan adlarıyla [ X(B k), X(A k)] fonksiyonu azalan alanlar için X(T). Bu şekilde elde edilen fonksiyonlara parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tek değerli dalları denir.
Şekilde parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun grafiği gösterilmektedir
Seçilen parametrelendirmeyle tanımlama alanı sin(2) fonksiyonunun katı monotonluğuna sahip beş bölüme ayrılmıştır T), Kesinlikle: TÎ TÎ ,TÎ ,TÎ , ve buna göre grafik, bu bölümlere karşılık gelen beş net dala bölünecektir.
Pirinç. 4.4
Pirinç. 4.5
Noktaların aynı geometrik konumu için farklı bir parametrelendirme seçebilirsiniz.
Bu durumda bu türden yalnızca dört dal olacaktır. Katı monotonluk alanlarına karşılık gelecekler TÎ ,TÎ ,TÎ ,TÎ işlevler günah(2 T).
Pirinç. 4.6
Sin(2) fonksiyonunun monotonluğunun dört bölümü T) uzun bir segmentte.
Pirinç. 4.7
Her iki grafiğin tek bir şekilde gösterilmesi, parametrik olarak belirlenmiş bir fonksiyonun grafiğini, her iki fonksiyonun monotonluk alanlarını kullanarak yaklaşık olarak tasvir etmenize olanak tanır.
Örnek olarak segmente karşılık gelen ilk dalı düşünün TÎ . Bu bölümün sonundaki fonksiyon x= günah(2 T) -1 değerlerini alır ve 1 yani bu dal [-1,1]'de tanımlanacaktır. Bundan sonra ikinci fonksiyonun monotonluk alanlarına bakmanız gerekiyor. y=çünkü( T), üzerinde var monotonluğun iki bölümü . Bu da bize ilk dalın iki monotonluk bölümü olduğunu söylememizi sağlıyor. Grafiğin uç noktalarını bulduktan sonra, grafiğin monotonluğunun doğasını belirtmek için bunları düz çizgilerle birleştirebilirsiniz. Bunu her dalda yaptıktan sonra grafiğin belirgin dallarının monotonluk alanlarını elde ederiz (bunlar şekilde kırmızıyla vurgulanmıştır)
Pirinç. 4.8
İlk tek değerli dal F 1 (X)=y(T(X)) , siteye karşılık gelen için belirlenecek XО[-1,1] . İlk tek değerli dal TÎ , XО[-1,1].
Diğer üç dalın tümü de bir tanım alanına sahip olacaktır [-1,1] .
Pirinç. 4.9
İkinci şube TÎ XО[-1,1].
Pirinç. 4.10
Üçüncü şube TÎ XО[-1,1]
Pirinç. 4.11
Dördüncü şube TÎ XО[-1,1]
Pirinç. 4.12
Yorum 2. Aynı fonksiyonun farklı parametrik ayarları olabilir. Farklılıklar her iki fonksiyonun kendisiyle de ilgili olabilir X(T), sen(T) , ve tanım alanı bu işlevler.
Aynı fonksiyon için farklı parametrik atamalara örnek
Ve TО[-1, 1] .
Not 3. Eğer x,y sürekli ise , X(T)- segmentte kesinlikle monoton ve türevleri var y¢(T 0),x¢(T 0)¹0, o zaman var f¢(X 0)= .
Gerçekten mi, .
Son ifade aynı zamanda parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun tek değerli dalları için de geçerlidir.
4.2 Yüksek dereceli türevler ve diferansiyeller
Daha yüksek türevler ve diferansiyeller. Parametrik olarak belirtilen fonksiyonların türevi. Leibniz'in formülü.
Şu ana kadar bu doğruların noktalarının güncel koordinatlarını doğrudan birleştiren bir düzlem üzerindeki doğruların denklemlerini ele aldık. Bununla birlikte, bir çizgiyi tanımlamanın başka bir yöntemi sıklıkla kullanılır; burada mevcut koordinatlar, üçüncü bir değişkenin fonksiyonları olarak kabul edilir.
Bir değişkenin iki fonksiyonu verilsin
t'nin aynı değerleri için kabul edilir. O zaman bu t değerlerinden herhangi biri belirli bir değere ve belirli bir y değerine ve dolayısıyla belirli bir noktaya karşılık gelir. T değişkeni, fonksiyonların tanım alanındaki (73) tüm değerleri geçtiğinde, nokta düzlemdeki belirli bir C çizgisini tanımlar. Denklemlere (73) bu doğrunun parametrik denklemleri denir ve değişken denir. bir parametre.
Fonksiyonun ters bir fonksiyona sahip olduğunu varsayalım. Bu fonksiyonu denklemlerin (73) ikincisinde yerine koyarsak denklemi elde ederiz.
y'yi bir fonksiyon olarak ifade etmek
Bu fonksiyonun parametrik olarak denklemler (73) ile verildiğini kabul edelim. Bu denklemlerden denklem (74)'e geçişe parametre eliminasyonu adı verilir. Parametrik olarak tanımlanan işlevler göz önüne alındığında, parametrenin hariç tutulması hem gerekli değildir hem de pratik olarak her zaman mümkün değildir.
Çoğu durumda, parametrenin farklı değerleri göz önüne alındığında, daha sonra formüller (73) kullanılarak bağımsız değişkenin ve fonksiyonun karşılık gelen değerlerinin ve y fonksiyonunun hesaplanması çok daha uygundur.
Örneklere bakalım.
Örnek 1. Merkezi orijinde ve yarıçapı R olan bir daire üzerinde rastgele bir nokta olsun. Bu noktanın Kartezyen koordinatları x ve y, burada t ile gösterdiğimiz kutup yarıçapı ve kutup açısı aracılığıyla aşağıdaki gibi ifade edilir ( bkz. Bölüm I, § 3, paragraf 3):
Denklemlere (75) bir dairenin parametrik denklemleri denir. İçlerindeki parametre 0 ila 0 arasında değişen kutup açısıdır.
Denklemlerin (75) terimin karesi alınır ve eklenirse, o zaman özdeşlik sayesinde parametre elimine edilir ve iki temel fonksiyonu tanımlayan Kartezyen koordinat sistemindeki bir dairenin denklemi elde edilir:
Bu fonksiyonların her biri denklemler (75) ile parametrik olarak belirtilir, ancak bu fonksiyonların parametre aralıkları farklıdır. Bunlardan ilki için; Bu fonksiyonun grafiği üstteki yarım dairedir. İkinci fonksiyonun grafiği alt yarım dairedir.
Örnek 2. Aynı anda bir elips düşünün
ve merkezi orijinde ve yarıçapı a olan bir daire (Şekil 138).
Elipsin her M noktasına, M noktasıyla aynı apsise sahip olan ve Ox ekseninin aynı tarafında bulunan dairenin bir N noktasını ilişkilendiririz. N noktasının ve dolayısıyla M noktasının konumu tamamen noktanın kutup açısı t tarafından belirlenir. Bu durumda ortak apsisleri için şu ifadeyi elde ederiz: x = a. M noktasındaki koordinatı elipsin denkleminden buluyoruz:
İşaret, M noktasının koordinatı ile N noktasının koordinatının aynı işaretlere sahip olması gerektiği için seçilmiştir.
Böylece elips için aşağıdaki parametrik denklemler elde edilir:
Burada t parametresi 0 ila 0 arasında değişir.
Örnek 3. Merkezi a) noktasında ve yarıçapı a olan ve orijin noktasında x eksenine açıkça değen bir daire düşünün (Şekil 139). Bu çemberin x ekseni boyunca kaymadan yuvarlandığını varsayalım. Daha sonra, ilk anda koordinatların başlangıcına denk gelen dairenin M noktası, sikloid adı verilen bir çizgiyi tanımlar.
Sabit noktasını O konumundan M konumuna hareket ettirirken dairenin dönme açısı MSV'yi t parametresi olarak alarak sikloidin parametrik denklemlerini türetelim. Daha sonra M noktasının koordinatları ve y'si için aşağıdaki ifadeleri elde ederiz:
Çemberin eksen boyunca kaymadan yuvarlanması nedeniyle OB parçasının uzunluğu BM yayının uzunluğuna eşittir. BM yayının uzunluğu a yarıçapı ile t merkez açısının çarpımına eşit olduğundan, o zaman . Bu yüzden . Ama Bu nedenle,
Bu denklemler sikloidin parametrik denklemleridir. T parametresi 0'dan değiştiğinde daire bir tam dönüş yapacaktır. M noktası sikloidin bir yayını tanımlayacaktır.
Burada t parametresinin hariç tutulması hantal ifadelere yol açar ve pratik olarak pratik değildir.
Çizgilerin parametrik tanımı özellikle mekanikte sıklıkla kullanılır ve parametrenin rolü zaman tarafından oynanır.
Örnek 4. Yatayla a açısında başlangıç hızıyla bir toptan ateşlenen merminin yörüngesini belirleyelim. Maddi bir nokta olduğunu düşünerek hava direncini ve merminin boyutlarını ihmal ediyoruz.
Bir koordinat sistemi seçelim. Koordinatların başlangıç noktası olarak merminin namludan çıkış noktasını alalım. Silahın namlusu ile aynı düzleme yerleştirerek Ox eksenini yatay, Oy eksenini ise dikey olarak yönlendirelim. Eğer yerçekimi kuvveti olmasaydı, mermi Ox ekseniyle bir açı yaparak düz bir çizgide hareket ederdi ve t süresi boyunca merminin t zamanındaki koordinatları sırasıyla şuna eşit olurdu: . Yerçekimi nedeniyle merminin bu ana kadar dikey olarak bir miktar alçalması gerekir. Bu nedenle gerçekte t zamanında merminin koordinatları aşağıdaki formüllerle belirlenir:
Bu denklemler sabit miktarlar içerir. T değiştiğinde mermi yörünge noktasındaki koordinatlar da değişecektir. Denklemler, parametrenin zaman olduğu mermi yörüngesinin parametrik denklemleridir.
İlk denklemden ifade etmek ve onu yerine koymak
ikinci denklemde mermi yörüngesinin denklemini şu şekilde elde ederiz: Bu bir parabol denklemidir.
Fonksiyonun parametrik bir şekilde belirtilmesine izin verin:
(1)
parametre adı verilen bazı değişkenler nerede? Ve fonksiyonların değişkenin belirli bir değerinde türevleri olsun.
(2)
Üstelik fonksiyon noktanın belirli bir komşuluğunda da ters fonksiyona sahiptir.
;
.
O halde fonksiyon (1)'in, parametrik formda aşağıdaki formüllerle belirlenen noktada bir türevi vardır:
Burada ve fonksiyonların ve değişkene (parametreye) göre türevleridir.
Genellikle şu şekilde yazılırlar:
.
O halde sistem (2) şu şekilde yazılabilir:
.
Kanıt
.
Koşul gereği, fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. olarak belirtelim
O zaman orijinal fonksiyon karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilebilir:
Karmaşık ve ters fonksiyonların diferansiyel kurallarını kullanarak türevini bulalım:
.
Kural kanıtlandı.
.
İkinci şekilde kanıt
.
Fonksiyonun noktadaki türevinin tanımına dayanarak türevi ikinci şekilde bulalım:
Gösterimi tanıtalım:
;
;
;
.
Daha sonra önceki formül şu şekli alır:
.
Fonksiyonun noktanın komşuluğunda ters fonksiyona sahip olmasından yararlanalım.
.
Koşul gereği, fonksiyonun ters fonksiyonu vardır. olarak belirtelim
Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:
Kesrin payını ve paydasını şuna bölün:
(1)
, tarihinde. Daha sonra
(2)
Yüksek dereceli türevler
.
Daha yüksek dereceli türevleri bulmak için farklılaşmanın birkaç kez yapılması gerekir. Diyelim ki parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun ikinci dereceden türevini aşağıdaki biçimde bulmamız gerekiyor:
(3)
Formül (2)'yi kullanarak yine parametrik olarak belirlenen birinci türevi buluruz:
Birinci türevi değişkenle gösterelim:
.
Daha sonra bir fonksiyonun değişkene göre ikinci türevini bulmak için, fonksiyonun değişkene göre birinci türevini bulmanız gerekir.
.
Bir değişkenin bir değişkene bağımlılığı da parametrik bir şekilde belirtilir:
(3)'ü formül (1) ve (2) ile karşılaştırdığımızda şunu buluruz:
.
Şimdi sonucu ve fonksiyonları aracılığıyla ifade edelim.
Türev için bir notasyon eklememiz gerekmediğine dikkat edin.
;
.
Bunu şu şekilde yazabilirsiniz:
Örnek 1
Parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini bulun:
Çözüm
göre türevlerini buluyoruz.
;
.
Türev tablosundan şunları buluyoruz:
.
Uygularız:
.
Uygularız:
Burada .
.
Gerekli türev:
Cevap
Örnek 2
Parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini bulun:
Parametre aracılığıyla ifade edilen fonksiyonun türevini bulun:
.
Güç fonksiyonları ve kökleri için formüller kullanarak parantezleri genişletelim:
.
Türevi bulma:
.
Türevi bulma.
.
Gerekli türev:
Bunu yapmak için bir değişken tanıtıyoruz ve karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin formülü uyguluyoruz.
İstenilen türevi buluyoruz:
Parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevini bulun:
Örnek 3
Örnek 1'de parametrik olarak tanımlanan fonksiyonun ikinci ve üçüncü dereceden türevlerini bulun:
Örnek 1'de birinci dereceden türevi bulduk:
Tanımı tanıtalım.
.
O halde fonksiyon 'a göre türevdir.
.
Parametrik olarak belirtilir:
.
'ye göre ikinci türevi bulmak için, 'ye göre birinci türevi bulmamız gerekir.
ile ayırt edelim.
Örnek 1'de türevini bulduk:
.
göre ikinci dereceden türev, aşağıdakilere göre birinci dereceden türeve eşittir:
.
Böylece parametrik forma göre ikinci dereceden türevi bulduk:
.
Şimdi üçüncü dereceden türevi buluyoruz. Tanımı tanıtalım.
Daha sonra fonksiyonun parametrik bir şekilde belirtilen birinci dereceden türevini bulmamız gerekiyor:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Gerekli türev:
'ye göre türevini bulun.
Bunu yapmak için eşdeğer biçimde yeniden yazıyoruz:
