Paralelkenarın orta çizgisinin uzunluğu için formül. Üçgen, dörtgen, paralelkenar

Orta çizgi planimetride şekiller - belirli bir şeklin iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir bölüm. Konsept şu şekiller için kullanılır: üçgen, dörtgen, yamuk.

Üçgenin orta çizgisi

Özellikler

üçgenin orta çizgisi tabana paralel ve yarısına eşittir.
orta çizgi, orijinaline benzer ve homotetik olan ve 1/2 katsayılı bir üçgeni keser; alanı orijinal üçgenin alanının dörtte birine eşittir.
ortadaki üç çizgi orijinal üçgeni dört eşit üçgene böler. Bu üçgenlerin merkezine tamamlayıcı veya orta üçgen denir.

İşaretler

eğer bir doğru parçası üçgenin kenarlarından birine paralelse ve üçgenin bir tarafının orta noktasını üçgenin diğer tarafında bulunan bir noktaya bağlıyorsa, o zaman bu orta çizgidir.

Bir dörtgenin orta çizgisi

Bir dörtgenin orta çizgisi- Bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir bölüm.

Özellikler

İlk çizgi 2 karşı tarafı birbirine bağlar. İkincisi diğer 2 karşı tarafı birbirine bağlar. Üçüncüsü, iki köşegenin merkezlerini birbirine bağlar (tüm dörtgenlerde köşegenler kesişme noktasında ikiye bölünmez).

Dışbükey bir dörtgende orta çizgi, dörtgenin köşegenleriyle eşit açılar oluşturuyorsa, köşegenler eşittir.
Bir dörtgenin orta çizgisinin uzunluğu, diğer iki kenarın toplamının yarısından azdır veya bu kenarların paralel olması durumunda ona eşittir ve yalnızca bu durumda.
Rastgele bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir paralelkenarın köşeleridir. Alanı dörtgenin alanının yarısına eşittir ve merkezi orta çizgilerin kesişme noktasında yer alır. Bu paralelkenara Varignon paralelkenarı denir;
Son nokta şu anlama gelir: Dışbükey bir dörtgende dört tane çizebilirsiniz. ikinci türden orta hatlar. İkinci türden orta hatlar- Bir dörtgenin içinde, köşegenlere paralel bitişik kenarlarının orta noktalarından geçen dört parça. Dört ikinci türden orta hatlar Dışbükey bir dörtgeni dört üçgene ve bir merkezi dörtgene bölün. Bu merkezi dörtgen bir Varignon paralelkenarıdır.
Bir dörtgenin orta çizgilerinin kesişme noktası ortak orta noktasıdır ve köşegenlerin orta noktalarını birleştiren parçayı ikiye böler. Ayrıca dörtgenin köşelerinin ağırlık merkezidir.
Rastgele bir dörtgende orta çizginin vektörü taban vektörlerinin toplamının yarısına eşittir.

Yamuğun orta çizgisi

Yamuğun orta çizgisi- bu yamuğun kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir segment. Yamuğun tabanlarının orta noktalarını birleştiren parçaya yamuğun ikinci orta çizgisi denir.

Aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır: E F = A D + B C 2 (\displaystyle EF=(\frac (AD+BC)(2))), Nerede reklam Ve M.Ö.- yamuğun tabanı.

Üçgenin orta çizgisi

Özellikler

Üçgenin orta çizgisi üçüncü kenara paralel ve yarısına eşittir.
üç orta çizginin tamamı çizildiğinde, 1/2 katsayılı orijinaline benzer (hatta homotetik) 4 eşit üçgen oluşur.
orta çizgi buna benzer bir üçgeni kesiyor ve alanı orijinal üçgenin alanının dörtte birine eşit.

Dörtgenin orta çizgisi

Dörtgenin orta çizgisi- Bir dörtgenin karşılıklı kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir bölüm.

Özellikler

İlk çizgi 2 karşı tarafı birbirine bağlar. İkincisi diğer 2 karşı tarafı birbirine bağlar. Üçüncüsü iki köşegenin merkezlerini birbirine bağlar (tüm dörtgenlerin kesişen merkezleri yoktur)

Dışbükey bir dörtgende orta çizgi, dörtgenin köşegenleriyle eşit açılar oluşturuyorsa, köşegenler eşittir.
Bir dörtgenin orta çizgisinin uzunluğu, diğer iki kenarın toplamının yarısından azdır veya bu kenarların paralel olması durumunda ona eşittir ve yalnızca bu durumda.
Rastgele bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir paralelkenarın köşeleridir. Alanı dörtgenin alanının yarısına eşittir ve merkezi orta çizgilerin kesişme noktasında yer alır. Bu paralelkenara Varignon paralelkenarı denir;
Bir dörtgenin orta çizgilerinin kesişme noktası ortak orta noktasıdır ve köşegenlerin orta noktalarını birleştiren parçayı ikiye böler. Ayrıca dörtgenin köşelerinin ağırlık merkezidir.
Rastgele bir dörtgende orta çizginin vektörü taban vektörlerinin toplamının yarısına eşittir.

Yamuğun orta çizgisi

Özellikler

orta çizgi tabanlara paralel ve yarı toplamlarına eşittir.

Ayrıca bakınız

Notlar

Wikimedia Vakfı.

2010.

Diğer sözlüklerde “Orta Hat” ın ne olduğuna bakın: ORTA HAT - (1) yamuğun yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir yamuk parçası. Yamuğun orta çizgisi tabanlarına paralel ve yarı toplamlarına eşittir; (2) bir üçgenin, bu üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren bir doğru parçası: bu durumda üçüncü kenar... ...

Bir üçgen (yamuk), bir üçgenin iki tarafının (yamuğun kenarları) orta noktalarını birleştiren bir segmenttir... Büyük Ansiklopedik Sözlük

orta hat- 24 merkez çizgisi: Omuz kalınlığı oluğun genişliğine eşit olacak şekilde diş profilinden geçen hayali bir çizgi. Kaynak … Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı

Üçgen (yamuk), üçgenin iki tarafının orta noktalarını (yamuk kenarları) birleştiren bir parça. * * * ORTA ÇİZGİ Bir üçgenin (yamuk) ORTA ÇİZGİSİ, bir üçgenin iki tarafının orta noktalarını (bir yamuğun yan kenarları) birleştiren bir doğru parçası ... Ansiklopedik Sözlük

orta hat- tenis kortu, 3 mm tenis kortu ve spor apibrėžtis, paviršių išilgai pusiau oldu. atitikmenys: İngilizce. merkez çizgisi; orta hat hattı vok. Mittellinie, kusura bakma. orta çizgi…Spor terminų žodynas

orta hat- Linija'nın kültürel durumu ve spor apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. atitikmenys: İngilizce. merkez çizgisi; orta hat hattı vok. Mittellinie, kusura bakma. orta çizgi…Spor terminų žodynas

orta hat- Linija'nın durumu T sritis Kuno kultura ve sportas apibrėžtis Linija, spor dalijanti aikšt(el)ę siau. atitikmenys: İngilizce. merkez çizgisi; orta hat hattı vok. Mittellinie, kusura bakma. orta çizgi…Spor terminų žodynas

1) S. l. üçgen, bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına (üçüncü kenara taban denir). S. l. üçgenin uzunluğu tabana paralel ve yarısına eşittir; c'nin onu böldüğü üçgenin parçalarının alanı. ben... ... Büyük Sovyet Ansiklopedisi

Üçgenin iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir üçgen parçası. Üçgenin üçüncü kenarına denir üçgenin tabanı. S. l. Bir üçgenin uzunluğu tabana paralel ve uzunluğunun yarısına eşittir. Herhangi bir üçgende S.l. ...'den kesiliyor. Matematik Ansiklopedisi

Üçgen (yamuk), üçgenin iki tarafının orta noktalarını (yamuk kenarları) birleştiren bir parça ... Doğa bilimi. Ansiklopedik Sözlük

Gomel Matematik, Uygulamaları ve Bilgi Teknolojileri “Arama” Konulu Okul Çocukları Bilimsel ve Pratik Konferansı

Eğitim ve araştırma çalışmaları

Geometrik şekillerin merkez çizgileri

Morozova Elizaveta

Gomel'in 2010

giriiş

1.Orta hattın özellikleri

2. Üçgen, dörtgen, paralelkenar

3. Dörtgen, tetrahedron. Kütle merkezleri

4. Tetrahedron, oktahedron, paralelyüzlü, küp

Çözüm

Kullanılmış literatür listesi

Başvuru

giriiş

Geometri genel kültürün ayrılmaz bir parçasıdır ve geometrik yöntemler dünyayı anlamak için bir araç görevi görür, çevredeki alan hakkında bilimsel fikirlerin oluşmasına, Evrenin uyumunun ve mükemmelliğinin keşfedilmesine katkıda bulunur. Geometri bir üçgenle başlar. İki bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur, ancak bir sembol değildir. Üçgen geometrinin bir atomudur. Üçgen tükenmez; yeni özellikleri sürekli keşfediliyor. Bilinen tüm özelliklerinden bahsetmek için Büyük Ansiklopedi ile karşılaştırılabilecek bir cilde ihtiyacınız var. Geometrik şekillerin orta çizgilerinden ve özelliklerinden bahsetmek istiyoruz.

Çalışmamız tüm geometri dersini kapsayan bir teoremler zincirinin izini sürüyor. Bir üçgenin orta çizgileriyle ilgili bir teoremle başlıyor ve tetrahedronun ve diğer çokyüzlülerin ilginç özelliklerine yol açıyor.

Bir şeklin orta çizgisi, belirli bir şeklin iki tarafının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir.

1. Orta hattın özellikleri

Bir üçgenin özellikleri:

Ortadaki üç çizginin tamamı çizildiğinde orijinaline benzer 1/2 katsayılı 4 eşit üçgen oluşur.

orta çizgi üçgenin tabanına paralel ve yarısına eşittir;

orta çizgi buna benzer bir üçgeni kesiyor ve alanı alanının dörtte biri kadar.

Bir dörtgenin özellikleri:

dışbükey bir dörtgende orta çizgi dörtgenin köşegenleriyle eşit açılar oluşturuyorsa, köşegenler eşittir.

bir dörtgenin orta çizgisinin uzunluğu, diğer iki kenarın toplamının yarısından azdır veya bu kenarlar paralelse ona eşittir ve yalnızca bu durumda.

rastgele bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir paralelkenarın köşeleridir.

Alanı dörtgenin alanının yarısına eşittir ve merkezi orta çizgilerin kesişme noktasında yer alır. Bu paralelkenara Varignon paralelkenarı denir;

Bir dörtgenin orta çizgilerinin kesişme noktası ortak orta noktasıdır ve köşegenlerin orta noktalarını birleştiren parçayı ikiye böler. Ayrıca dörtgenin köşelerinin ağırlık merkezidir.

Yamuk özellikleri:

orta çizgi yamuğun tabanlarına paraleldir ve yarı toplamlarına eşittir;

Bir ikizkenar yamuğun kenarlarının orta noktaları eşkenar dörtgenin köşeleridir.

Herhangi bir KLM üçgenine, her biri KLM üçgeni ile birlikte bir paralelkenar oluşturan üç eşit AKM, BLK, CLM üçgeni eklenebilir (Şekil 1). Bu durumda, AK = ML = KB ve K köşesi üçgenin üç farklı açısına eşit üç açıya bitişik olup toplamı 180°'dir, dolayısıyla K AB doğru parçasının ortasıdır; benzer şekilde L, BC doğru parçasının orta noktasıdır ve M, CA doğru parçasının orta noktasıdır.

Teorem 1. Herhangi bir üçgenin kenarlarının orta noktalarını birleştirirsek, dört eşit üçgen elde ederiz; ortadaki, diğer üçünün her biriyle paralelkenar oluşturur.

Bu formülasyon üçgenin üç orta çizgisinin tamamını aynı anda içerir.

Teorem 2. Üçgenin iki tarafının orta noktalarını birleştiren doğru parçası üçgenin üçüncü kenarına paralel ve yarısına eşittir (bkz. Şekil 1).

Sorunları çözerken en çok ihtiyaç duyulan şey, bu teorem ve bunun tersidir - tabana paralel ve bir üçgenin bir tarafının ortasından geçen düz bir çizginin diğer tarafı ikiye bölmesi.

Bir üçgenin orta çizgilerine ilişkin teoremden, bir yamuğun orta çizgisinin özelliği (Şekil 2) ve ayrıca keyfi bir dörtgenin kenarlarının orta noktalarını birleştiren bölümlere ilişkin teoremler gelir.

Teorem 3. Bir dörtgende kenarların orta noktaları paralelkenarın köşeleridir. Bu paralelkenarın kenarları dörtgenin köşegenlerine paraleldir ve uzunlukları köşegen uzunluklarının yarısına eşittir.

Aslında, eğer K ve L, AB ve BC kenarlarının orta noktalarıysa (Şekil 3), o zaman KL, ABC üçgeninin orta çizgisidir, dolayısıyla KL parçası AC köşegenine paraleldir ve onun yarısına eşittir; M ve N, CD ve AD kenarlarının orta noktalarıysa, MN parçası da AC'ye paralel ve AC/2'ye eşittir. Dolayısıyla KL ve MN parçaları paralel ve birbirine eşittir, bu da KLMN dörtgeninin bir paralelkenar olduğu anlamına gelir.

Teorem 3'ün bir sonucu olarak ilginç bir gerçek elde ediyoruz (Bölüm 4).

Teorem 4. Herhangi bir dörtgende karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçaları kesişme noktası ile ikiye bölünür.

Bu bölümlerde paralelkenarın köşegenlerini görebilirsiniz (bkz. Şekil 3) ve paralelkenarda köşegenler kesişme noktasına göre ikiye bölünmüştür (bu nokta paralelkenarın simetri merkezidir).

Teorem 3 ve 4'ün ve mantığımızın hem dışbükey olmayan bir dörtgen hem de kendi kendini kesen bir dörtgen kapalı kesikli çizgi için doğru kaldığını görüyoruz (Şekil 4; ikinci durumda KLMN paralelkenarının "dejenere" olduğu ortaya çıkabilir) - K, L, M, N noktaları aynı düz çizgi üzerindedir).

Bir üçgenin kenarortaylarına ilişkin ana teoremi Teorem 3 ve 4'ten nasıl türetebileceğimizi gösterelim.

Teorem5 . Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve buna 2:1 oranında bölünür (medyanın çizildiği tepe noktasından itibaren sayılır).

ABC üçgeninin iki medyanı AL ve SC'yi çizelim. Bunların kesişme noktası O olsun. Dışbükey olmayan bir dörtgen ABCO'nun kenarlarının orta noktaları K, L, M ve N noktalarıdır (Şekil 5) - paralelkenarın köşeleri ve konfigürasyonumuz için KM ve LN köşegenlerinin kesişme noktası olacaktır. O ortancalarının kesişme noktası. Yani, AN = NO = OL ve CM = MO = OK, yani O noktası AL ve CK ortancalarının her birini 2:1 oranında böler.

Medyan SC yerine, B köşesinden çizilen medyanı dikkate alabiliriz ve medyan AL'yi 2:1 oranında böldüğünden, yani aynı O noktasından geçtiğinden emin olabiliriz.

3. Dörtgen ve tetrahedron. Kütle merkezleri

Teorem 3 ve 4 aynı zamanda A, B, C, D köşeleri aynı düzlemde olmayan dört AB, BC, CD, DA bağlantısından oluşan herhangi bir uzamsal kapalı kesikli doğru için de doğrudur.

Böyle bir uzamsal dörtgen, kağıttan bir ABCD dörtgeninin kesilip belirli bir açıyla çapraz olarak bükülmesiyle elde edilebilir (Şekil 6, a). ABC ve ADC üçgenlerinin KL ve MN orta çizgilerinin orta çizgileri olarak kalacağı ve AC doğru parçasına paralel ve AC/2'ye eşit olacağı açıktır. (Burada paralel doğruların temel özelliğinin uzay için de geçerli olduğu gerçeğini kullanıyoruz: Eğer iki doğru KL ve MN üçüncü doğruya AC paralelse, o zaman KL ve MN aynı düzlemde yer alır ve birbirlerine paraleldir.)

Böylece K, L, M, N noktaları paralelkenarın köşeleridir; Böylece KM ve LN doğru parçaları kesişir ve kesişme noktasıyla ikiye bölünür. Dörtgen yerine, bir tetrahedron - ABCD üçgen piramitinden bahsedebiliriz: AB, AC, CD ve DA kenarlarının K, L, M, N orta noktaları her zaman aynı düzlemde bulunur. Tetrahedronu bu düzlem boyunca keserek (Şekil 6, b), iki tarafı AC kenarına paralel ve eşit olan bir paralelkenar KLMN elde ederiz.

AC/2 ve diğer ikisi BD kenarına paralel ve BD/2'ye eşittir.

Aynı paralelkenar - tetrahedronun "orta kısmı" - diğer zıt kenar çiftleri için de oluşturulabilir. Bu üç paralelkenarın her ikisinin de ortak bir köşegeni vardır. Bu durumda köşegenlerin orta noktaları çakışır. Böylece ilginç bir sonuca ulaşıyoruz:

Teorem 6. Tetrahedronun karşıt kenarlarının orta noktalarını birleştiren üç bölüm bir noktada kesişir ve onunla ikiye bölünür (Şekil 7).

Yukarıda tartışılan bu ve diğer gerçekler, doğal olarak mekaniğin dilinde, kütle merkezi kavramı kullanılarak açıklanmaktadır. Teorem 5, üçgenin dikkat çekici noktalarından biri olan medyanların kesişme noktasından bahseder; Teorem 6'da - bir tetrahedronun dört köşesi için dikkate değer bir nokta hakkında. Bu noktalar sırasıyla üçgenin ve tetrahedronun kütle merkezleridir. Önce medyanlarla ilgili Teorem 5'e dönelim.

Üçgenin köşelerine üç adet özdeş ağırlık yerleştirelim (Şekil 8).

Her birinin kütlesini bir olarak alalım. Bu yük sisteminin kütle merkezini bulalım.

Öncelikle A ve B köşelerinde yer alan iki ağırlığı ele alalım: bunların kütle merkezleri AB doğru parçasının ortasında yer alır, dolayısıyla bu ağırlıkların yerine AB doğru parçasının K ortasına yerleştirilen 2 kütleli bir ağırlık gelebilir. (Şekil 8, a). Şimdi iki yükten oluşan bir sistemin kütle merkezini bulmanız gerekiyor: biri C noktasında 1 kütleli, ikincisi ise K noktasında 2 kütleli. Kaldıraç kuralına göre, böyle bir sistemin kütle merkezi şu konumda bulunur: O noktası, SC segmentini 2:1 oranında böler (daha büyük kütleli K noktasındaki yüke daha yakın - Şekil 8, b).

Önce B ve C noktalarındaki yükleri, sonra da BC parçasının L ortasındaki kütle 2'nin yükünü A noktasındaki yükle birleştirebiliriz. Veya önce A ve C yüklerini birleştiririz, a. sonra B'yi ekleyin. Her iki durumda da aynı sonucu elde etmeliyiz. Kütle merkezi bu nedenle O noktasında bulunur ve ortancaların her birini tepe noktasından sayarak 2:1 oranında böler. Benzer düşünceler Teorem 4'ü açıklayabilir - bir dörtgenin karşıt kenarlarının orta noktalarını birleştiren bölümlerin birbirini ortaladığı gerçeği (paralelkenarın köşegenleri olarak hizmet eder): dörtgenin köşelerine aynı ağırlıkları yerleştirmek ve bunları birleştirmek yeterlidir iki şekilde çiftleşir (Şekil 9).

Elbette, bir düzlemde veya uzayda (tetrahedronun köşelerinde) bulunan dört birim ağırlık, üç şekilde iki çifte bölünebilir; kütle merkezi, bu nokta çiftlerini birleştiren bölümlerin orta noktalarının ortasında bulunur (Şekil 10) - Teorem 6'nın açıklaması. (Düz bir dörtgen için elde edilen sonuç şuna benzer: orta noktalarını birbirine bağlayan iki bölüm) karşı taraflar ve köşegenlerin orta noktalarını birleştiren bir bölüm, bir Oh noktasında kesişir ve onu ikiye böler).

Dört özdeş yükün kütle merkezi olan O noktasından, her birini diğer üçünün kütle merkezine bağlayan dört bölüm daha geçer. Bu dört parça O noktasına 3:1 oranında bölünür. Bu gerçeği açıklamak için önce üç ağırlığın kütle merkezini bulmalı, sonra dördüncüyü eklemelisiniz.

4. Tetrahedron, oktahedron, paralelyüzlü, küp

Çalışmanın başında orta çizgilerle dört özdeş üçgene bölünmüş bir üçgene baktık (bkz. Şekil 1). Aynı yapıyı rastgele bir üçgen piramit (dört yüzlü) için yapmaya çalışalım. Tetrahedronu şu şekilde parçalara ayıralım: Her tepe noktasından çıkan üç kenarın ortasından düz bir kesim çiziyoruz (Şekil 11, a). Daha sonra dörtyüzlüden dört özdeş küçük tetrahedron kesilecek. Bir üçgene benzetilecek olursa, ortada başka bir benzer tetrahedronun olacağı düşünülebilir. Ancak bu böyle değildir: Dört küçük olanı çıkardıktan sonra büyük tetrahedrondan kalan çokyüzlü, altı köşeye ve sekiz yüze sahip olacaktır - buna oktahedron denir (Şekil 11.6). Bunu test etmenin uygun bir yolu, tetrahedron şeklinde bir parça peynir kullanmaktır. Ortaya çıkan oktahedronun bir simetri merkezi vardır, çünkü tetrahedronun karşıt kenarlarının orta noktaları ortak bir noktada kesişir ve bu nokta tarafından ikiye bölünür.

İlginç bir yapı, orta çizgilerle dört üçgene bölünmüş bir üçgenle ilişkilidir: Bu şekli belirli bir tetrahedronun gelişimi olarak düşünebiliriz.

Kağıttan kesilmiş bir dar üçgen hayal edelim. Köşeler bir noktada birleşecek şekilde orta çizgiler boyunca bükerek ve bu noktada birleşen kağıdın kenarlarını yapıştırarak, dört yüzün de eşit üçgen olduğu bir tetrahedron elde ederiz; karşıt kenarları eşittir (Şekil 12). Böyle bir tetrahedron yarı düzenli olarak adlandırılır. Bu tetrahedronun üç "orta bölümünün" her biri - kenarları zıt kenarlara paralel ve yarılarına eşit olan paralelkenarlar - bir eşkenar dörtgen olacaktır.

Bu nedenle, bu paralelkenarların köşegenleri (karşılıklı kenarların orta noktalarını birleştiren üç bölüm) birbirine diktir. Yarı düzgün bir tetrahedronun sayısız özelliği arasında şunu not ediyoruz: her bir köşede birleşen açıların toplamı 180°'ye eşittir (bu açılar sırasıyla orijinal üçgenin açılarına eşittir). Özellikle eşkenar üçgenle başlarsak düzgün bir dörtyüzlü elde ederiz.

Çalışmanın başında her üçgenin daha büyük bir üçgenin orta çizgilerinden oluşan bir üçgen olarak değerlendirilebileceğini gördük. Böyle bir yapının uzayda doğrudan bir benzetmesi yoktur. Ancak herhangi bir tetrahedronun, tetrahedronun altı kenarının tamamının yüzlerin köşegenleri olarak hizmet ettiği bir paralel yüzün "çekirdeği" olarak kabul edilebileceği ortaya çıktı. Bunun için uzayda aşağıdaki inşaatı yapmanız gerekiyor. Dört yüzlünün her bir kenarından karşı kenara paralel bir düzlem çiziyoruz. Tetrahedronun karşıt kenarlarından çizilen düzlemler birbirine paralel olacaktır ("orta bölüm" düzlemine paraleldirler - köşeleri tetrahedronun diğer dört kenarının ortasında olan bir paralelkenar). Bu, kesişimi istenen paralel boruyu oluşturan üç çift paralel düzlem üretir (iki paralel düzlem, paralel düz çizgiler boyunca üçüncüsü ile kesişir). Dört yüzlünün köşeleri, inşa edilmiş paralel borunun bitişik olmayan dört köşesi görevi görür (Şekil 13). Aksine, herhangi bir paralel boruda, bitişik olmayan dört köşeyi seçebilir ve her üçünden geçen düzlemlerle köşe tetrahedronlarını kesebilirsiniz. Bundan sonra, bir "çekirdek" kalacak - kenarları paralel borunun yüzlerinin köşegenleri olan bir tetrahedron.

Orijinal tetrahedron yarı düzenli ise, oluşturulan paralel borunun her yüzü eşit köşegenlere sahip bir paralelkenar olacaktır, yani. dikdörtgen.

Bunun tersi de doğrudur: Dikdörtgen paralel borunun "çekirdeği" yarı düzenli bir tetrahedrondur. Üç eşkenar dörtgen - böyle bir tetrahedronun orta bölümleri - karşılıklı üç dik düzlemde uzanır. Köşeleri keserek böyle bir tetrahedrondan elde edilen oktahedronun simetri düzlemleri görevi görürler.

Düzenli bir tetrahedron için, etrafında açıklanan paralelyüzlü bir küp olacaktır (Şekil 14) ve bu küpün yüzlerinin merkezleri - tetrahedronun kenarlarının ortaları - normal bir oktahedronun köşeleri olacaktır, hepsi yüzleri düzgün üçgen olan. (Oktahedronun üç simetri düzlemi tetrahedronu kareler halinde keser.)

Böylece, Şekil 14'te beş Platonik katıdan (düzenli çokyüzlüler) üçünü hemen görüyoruz: küp, tetrahedron ve oktahedron.

Çözüm

Yapılan çalışmalara dayanarak aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir:

Orta çizgiler geometrik şekillerde çeşitli kullanışlı özelliklere sahiptir.

Bir teorem, şekillerin merkez çizgisi kullanılarak kanıtlanabilir ve ayrıca kütle merkezi kavramı kullanılarak mekaniğin diliyle açıklanabilir.

Orta çizgileri kullanarak çeşitli planimetrik (paralelkenar, eşkenar dörtgen, kare) ve stereometrik şekiller (küp, oktahedron, tetrahedron, vb.) oluşturabilirsiniz.

Orta hatların özellikleri, her seviyedeki problemlerin rasyonel olarak çözülmesine yardımcı olur.

Kullanılan kaynakların ve literatürün listesi

SSCB Bilimler Akademisi ve Edebiyat Pedagojik Bilimler Akademisi'nin aylık popüler bilim fiziği ve matematik dergisi. “Kuantum No. 6 1989 s. 46.

S. Aksimova. Eğlenceli matematik. – St. Petersburg, “Trigon”, 1997 s. 526.

V.V.

Shlykov, L.E. Zezetko. Geometride pratik dersler, 10. sınıf: öğretmenler için bir el kitabı - Mn.: TetraSystems, 2004 s.

68.76, 78.

Başvuru

Yamuğun orta çizgisi neden köşegenlerin kesişme noktasından geçemiyor?

BCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralel borulu.

E ve F noktaları yüzlerin köşegenlerinin kesişme noktalarıdır. Sırasıyla AA1B 1 B ve BB 1 C 1 C ve K ve T noktaları sırasıyla AD ve DC kaburgalarının orta noktalarıdır.

EF ve CT doğrularının paralel olduğu doğru mu? ABCA 1 B 1 C 1 üçgen prizmasında O ve F noktaları sırasıyla AB ve BC kenarlarının ortasıdır. T ve K noktaları sırasıyla AB 1 ve BC 1 doğru parçalarının ortasıdır. TK ve OF direkt hatları nasıl bulunur? ABCA 1 B 1 C 1, tüm kenarları birbirine eşit olan düzenli bir üçgen prizmadır. O noktası CC 1 kenarının ortasıdır ve F noktası BB] kenarında yer alır, böylece BF: FB X =1:3 olur. TK ve OF direkt hatları nasıl bulunur? AO düz çizgisine paralel F noktasından geçen l düz çizgisinin ABC düzlemiyle kesiştiği bir K noktası oluşturun. KF = 1 cm ise prizmanın toplam yüzey alanını hesaplayın. figür Daha önce. 2. Bu geometrik figür . Bu kapalı bir yapıdan oluşur

astar

. Dışbükey ve dışbükey olmayanlar vardır. sen

rakamlar

kenarlar var..., sektör, küre, segment, sinüs, orta,

ortalama

astar

Bu dörtgeni iki eşit üçgene bölen bir \(AC\) köşegeni çizelim: \(ABC\) ve \(CDA\) . Bu üçgenlerin iki tarafı eşit olup aralarındaki açı (\(AC\) ortak kenardır, \(AB = CD\) koşula göre, \(\angle 1 = \angle 2\) kesişme noktasındaki çapraz açılardır. paralel çizgiler \ (AB\) ve \(CD\) kesen \(AC\) ), yani \(\angle 3 = \angle 4\) . Ancak \(3\) ve \(4\) açıları, \(AD\) ve \(BC\) doğrularının \(AC\) sekantıyla kesiştiği noktada çapraz olarak uzanır, dolayısıyla \(AD\paralel BC) \). Böylece, \(ABCD\) dörtgeninde karşıt kenarlar ikili olarak paraleldir ve dolayısıyla \(ABCD\) dörtgeni bir paralelkenardır.

Teorem (paralelkenarın ikinci işareti)

Bir dörtgende karşılıklı kenarlar çiftler halinde eşitse, bu dörtgen bir paralelkenardır.

ortalama

Bu dörtgen \(ABCD\)'nin köşegenini \(AC\) çizelim ve onu \(ABC\) ve \(CDA\) üçgenlerine bölelim.

Bu üçgenler üç kenarda eşittir (\(AC\) – ortak, \(AB = CD\) ve \(BC = DA\) koşula göre), dolayısıyla \(\angle 1 = \angle 2\) – çapraz uzanır \(AB\) ve \(CD\) ve sekant \(AC\) konumunda. Bunu takip eder \(AB\paralel CD\) . \(AB = CD\) ve \(AB\paralel CD\) olduğundan, paralelkenarın ilk kriterine göre, \(ABCD\) dörtgeni bir paralelkenardır.

Teorem (paralelkenarın üçüncü işareti)

Bir dörtgenin köşegenleri kesişiyorsa ve kesişme noktası tarafından ikiye bölünüyorsa, o zaman dörtgen bir paralelkenardır.

ortalama

Köşegenlerin \(AC\) ve \(BD\) \(O\) noktasında kesiştiği ve bu nokta tarafından ikiye bölündüğü bir \(ABCD\) dörtgeni düşünün.

\(AOB\) ve \(COD\) üçgenleri, üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretine göre (\(AO = OC\), \(BO = OD\) koşula göre eşittir, \(\angle AOB = \angle) COD\) dikey açılar olarak), yani \(AB = CD\) ve \(\angle 1 = \angle 2\) . \(1\) ve \(2\) açılarının eşitliğinden (\(AB\) ve \(CD\)'de çapraz olarak uzanan ve \(AC\) sekantından, \(AB\paralel CD) sonucu çıkar \).

Yani, \(ABCD\) dörtgeninde \(AB\) ve \(CD\) kenarları eşit ve paraleldir; bu, paralelkenarın ilk kriterine göre \(ABCD\) dörtgeninin bir paralelkenar olduğu anlamına gelir. .

Paralelkenarın özellikleri:

1. Paralelkenarda karşılıklı kenarlar eşittir ve zıt açılar eşittir.

2. Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür.

Paralelkenarın açıortayının özellikleri:

1. Bir paralelkenarın açıortayı ondan bir ikizkenar üçgeni keser.

2. Bir paralelkenarın komşu açılarının açıortayları dik açılarda kesişir.

3. Zıt açılı açıortay parçaları eşit ve paraleldir.

ortalama

1) \(ABCD\) bir paralelkenar, \(AE\) \(BAD\) açısının açıortayı olsun.

\(1\) ve \(2\) açıları eşittir, \(AD\) ve \(BC\) paralel çizgileri ve \(AE\) keseniyle çapraz olarak uzanırlar. \(AE\) bir açıortay olduğundan \(1\) ve \(3\) açıları eşittir. Sonunda \(\açı 3 = \açı 1 = \açı 2\) Bu da \(ABE\) üçgeninin ikizkenar olduğu anlamına gelir.

2) \(ABCD\) bir paralelkenar olsun, \(AN\) ve \(BM\) sırasıyla \(BAD\) ve \(ABC\) açılarının açıortayı olsun.

Paralel doğrular ve bir çapraz için tek taraflı açıların toplamı \(180^(\circ)\)'a eşit olduğundan, o zaman \(\angle DAB + \angle ABC = 180^(\circ)\).

\(AN\) ve \(BM\) bisektör olduğundan, o zaman \(\angle BAN + \angle ABM = 0,5(\angle DAB + \angle ABC) = 0,5\cdot 180^\circ = 90^(\circ)\), Neresi \(\angle AOB = 180^\circ - (\angle BAN + \angle ABM) = 90^\circ\).

3. \(AN\) ve \(CM\) paralelkenarın \(ABCD\) açılarının ortaortayları olsun.

Paralelkenarda karşılıklı açılar eşit olduğundan \(\açı 2 = 0,5\cdot\angle BAD = 0,5\cdot\angle BCD = \açı 1\). Ek olarak, \(1\) ve \(3\) açıları eşittir, \(AD\) ve \(BC\) paralel çizgileri ve \(CM\) sekantıyla çapraz olarak uzanırlar, sonra \(\angle 2 = \angle 3\) , bu da \(AN\paralel CM\) anlamına gelir. Ayrıca, \(AM\paralel CN\) , bu durumda \(ANCM\) bir paralelkenardır, dolayısıyla \(AN = CM\) .

Sadece iki kenarı paralel olan dörtgene denir yamuk.

Yamuğun paralel kenarlarına denir sebepler ve paralel olmayan kenarlara denir taraflar. Kenarlar eşitse, böyle bir yamuk ikizkenardır. Tabanlar arasındaki mesafeye yamuğun yüksekliği denir.

Orta Hat Yamuk

Orta çizgi, yamuğun yan kenarlarının orta noktalarını birleştiren bir segmenttir. Yamuğun orta çizgisi tabanlarına paraleldir.

Teorem:

Bir tarafın ortasından geçen düz çizgi yamuğun tabanlarına paralelse, yamuğun ikinci kenarını ikiye böler.

Teorem:

Orta çizginin uzunluğu taban uzunluklarının aritmetik ortalamasına eşittir

MN || AB || DC
AM = MD; BN=NC

MN orta hat, AB ve CD - tabanlar, AD ve BC - yan taraflar

MN = (AB + DC)/2

Teorem:

Bir yamuğun orta çizgisinin uzunluğu, taban uzunluklarının aritmetik ortalamasına eşittir.

Ana görev: Bir yamuğun orta çizgisinin, uçları yamuğun tabanlarının ortasında bulunan bir parçayı ikiye böldüğünü kanıtlayın.

Üçgenin Orta Çizgisi

Bir üçgenin iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına üçgenin orta çizgisi denir. Üçüncü kenara paralel olup uzunluğu üçüncü kenarın yarısı kadardır.
Teorem: Üçgenin bir kenarının orta noktasını kesen bir doğru, üçgenin diğer kenarına paralel ise üçüncü kenarı ikiye böler.

AM = MC ve BN = NC =>

Bir Üçgenin ve Yamuğun Orta Hat Özelliklerini Uygulamak

Bir parçayı belirli sayıda eşit parçaya bölmek.
Görev: AB parçasını 5 eşit parçaya bölün.
Çözüm:
P, kökeni A noktası olan ve AB düz çizgisi üzerinde bulunmayan rastgele bir ışın olsun. P AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5 üzerinde sırayla 5 eşit parça ayırdık.
A 5'i B'ye bağlarız ve A 4, A 3, A 2 ve A 1 üzerinden A 5 B'ye paralel çizgiler çizeriz. AB'yi sırasıyla B 4, B 3, B 2 ve B 1 noktalarında keserler. Bu noktalar AB parçasını 5 eşit parçaya böler. Aslında yamuktan BB 3 A 3 A 5'ten BB 4 = B 4 B 3 olduğunu görüyoruz. Aynı şekilde yamuktan B 4 B 2 A 2 A 4'ten B 4 B 3 = B 3 B 2 elde ederiz.

Yamuktan B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Daha sonra B 2 AA 2'den B 2 B 1 = B 1 A sonucu çıkar. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
AB parçasını başka sayıda eşit parçaya bölmek için, aynı sayıda eşit parçayı p ışınına yansıtmamız gerektiği açıktır. Daha sonra yukarıda anlattığımız şekilde devam edin.