Belirli bir olayı destekleyen vakaları doğrudan saymak zor olabilir. Bu nedenle bir olayın olasılığını belirlemek için bu olayı daha basit bazı olayların birleşimi olarak hayal etmek avantajlı olabilir. Ancak bu durumda olay kombinasyonlarındaki olasılıkları yöneten kuralları bilmeniz gerekir. Paragrafın başlığında bahsedilen teoremler bu kurallarla ilgilidir.

Bunlardan ilki, birden fazla olaydan en az birinin meydana gelme olasılığının hesaplanmasıyla ilgilidir.

Toplama teoremi.

A ve B birbiriyle bağdaşmayan iki olay olsun. O halde bu iki olaydan en az birinin meydana gelme olasılığı, olasılıklarının toplamına eşittir:

Kanıt. İkili uyumsuz olayların tam bir grubu olsun. O halde, bu temel olaylar arasında tam olarak A'nın lehine olaylar ve tam olarak B'nin lehine olaylar varsa. A ve B olayları uyumsuz olduğundan, hiçbir olay bu olayların her ikisinin de lehine olamaz. Bu iki olaydan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olay (A veya B), hem A lehine olan olayların her biri hem de olaylardan her biri tarafından açıkça tercih edilmektedir.

Uygun B. Bu nedenle, (A veya B) olayının lehine olan olayların toplam sayısı aşağıdaki toplama eşittir:

Q.E.D.

Yukarıda iki olay için formüle edilen toplama teoreminin herhangi bir sonlu sayıda olaya kolaylıkla aktarılabileceğini görmek kolaydır. Tam olarak ikili olarak uyumsuz olaylar varsa, o zaman

Örneğin üç olay için şunu yazabilirsiniz:

Toplama teoreminin önemli bir sonucu şu ifadedir: eğer olaylar ikili olarak uyumsuz ve benzersiz bir şekilde mümkünse, o zaman

Aslında olay ya ya da ya da varsayım gereği kesindir ve § 1'de belirtildiği gibi olasılığı bire eşittir. Özellikle, eğer bunlar birbirine zıt iki olayı kastediyorsa, o zaman

Toplama teoremini örneklerle açıklayalım.

Örnek 1. Bir hedefe atış yaparken mükemmel bir atış yapma olasılığı 0,3, “iyi” dereceli bir atış yapma olasılığı ise 0,4'tür. Bir atışta en az “iyi” puan alma olasılığı nedir?

Çözüm. A olayı "mükemmel" bir derecelendirme almak anlamına geliyorsa ve B olayı "iyi" bir derecelendirme almak anlamına geliyorsa, o zaman

Örnek 2. Beyaz, kırmızı ve siyah topların bulunduğu bir torbada beyaz toplar ve kırmızı toplar var. Siyah olmayan bir topun çekilme olasılığı nedir?

Çözüm. A olayı beyaz bir topun ortaya çıkmasından ve B olayı kırmızı bir topun ortaya çıkmasından oluşuyorsa, o zaman topun görünümü siyah değildir

beyaz veya kırmızı bir topun ortaya çıkması anlamına gelir. Olasılığın tanımı gereği

o zaman toplama teoremine göre siyah olmayan bir topun ortaya çıkma olasılığı eşittir;

Bu sorun bu şekilde çözülebilir. C olayı siyah bir top görünümünde olsun. Siyah topların sayısı eşittir, böylece P (C) Siyah olmayan bir topun ortaya çıkışı C'nin tersi olaydır, bu nedenle yukarıdaki toplama teoreminden elde edilen sonuca dayanarak şunu elde ederiz:

daha önce olduğu gibi.

Örnek 3. Nakit paralı bir piyangoda, 1000 biletlik bir seri için 120 nakit ve 80 maddi kazanç vardır. Bir piyango biletinden herhangi bir şey kazanma olasılığı nedir?

Çözüm. A ile parasal kazanç ve B ile maddi kazançtan oluşan bir olayı belirtirsek, olasılık tanımından şu sonuç çıkar:

Bizi ilgilendiren olay (A veya B) ile temsil edilir, dolayısıyla toplama teoreminden çıkar

Yani herhangi bir kazanma olasılığı 0,2'dir.

Bir sonraki teoreme geçmeden önce, yeni ve önemli bir kavrama, koşullu olasılık kavramına aşina olmak gerekir. Bu amaçla aşağıdaki örneği ele alarak başlayacağız.

Bir depoda iki farklı fabrikada üretilen 400 ampul olduğunu ve ilkinin tüm ampullerin %75'ini, ikincinin ise %25'ini ürettiğini varsayalım. Birinci fabrikanın ürettiği ampullerin %83'ünün belirli bir standardın şartlarını sağladığını, ikinci fabrikanın ürünleri için bu oranın %63 olduğunu varsayalım. Depo standardın koşullarını sağlayacaktır.

Mevcut standart ampullerin toplam sayısının, ilk üretici tarafından üretilen ampullerden oluştuğunu unutmayın.

Fabrikada üretilen 63 ampul, yani 312'ye eşit. Herhangi bir ampulün seçiminin eşit derecede mümkün olduğu düşünüldüğünde, 400'den 312'si avantajlı durumda.

burada B olayı, seçtiğimiz ampulün standart olmasıdır.

Bu hesaplama sırasında seçtiğimiz ampulün hangi bitkiye ait olduğu konusunda herhangi bir varsayımda bulunulmamıştır. Bu tür varsayımlarda bulunursak ilgilendiğimiz olasılığın değişebileceği açıktır. Yani örneğin seçilen ampulün ilk tesiste üretildiği biliniyorsa (A olayı), o zaman standart olma olasılığı artık 0,78 değil 0,83 olacaktır.

Bu tür olasılığa, yani A olayının gerçekleşmesi durumunda B olayının olasılığına, A olayının gerçekleşmesi durumunda B olayının koşullu olasılığı denir ve şu şekilde gösterilir:

Bir önceki örnekte seçilen ampulün ilk tesiste üretilmesi olayını A ile belirtirsek, şunu yazabiliriz:

Artık olayların bir araya gelme olasılığının hesaplanmasıyla ilgili önemli bir teoremi formüle edebiliriz.

Çarpma teoremi.

A ve B olaylarını birleştirme olasılığı, ilkinin gerçekleştiğini varsayarak, olaylardan birinin olasılığı ile diğerinin koşullu olasılığının çarpımına eşittir:

Bu durumda A ve B olaylarının birleşmesi, her birinin gerçekleşmesi, yani hem A olayının hem de B olayının gerçekleşmesi anlamına gelir.

Kanıt. Her biri hem A olayı hem de B olayı için olumlu ya da olumsuz olabilen, eşit derecede olası ikili uyumsuz olayların tam bir grubunu ele alalım.

Tüm bu olayları aşağıdaki gibi dört farklı gruba ayıralım. İlk grup, hem A olayının hem de B olayının lehine olan olayları içerir; ikinci ve üçüncü grup bizi ilgilendiren iki olaydan birini tercih eden, diğerini desteklemeyen olayları içermektedir; örneğin ikinci grup, A lehine olup B lehine olmayan olayları, üçüncü grup ise bizi ilgilendiren olayları içermektedir. B'yi tercih et ama A'yı tercih etme; nihayet

Dördüncü grup, ne A'nın ne de B'nin lehine olmayan olayları içerir.

Olayların sayısı önemli olmadığı için bu dört gruba bölünmenin şu şekilde olduğunu varsayabiliriz:

Grup I:

Grup II:

III grubu:

IV grubu:

Böylece, eşit derecede olası ve ikili olarak uyumsuz olaylar arasında, hem A olayını hem de B olayını destekleyen olaylar, A olayını destekleyen ancak A olayını desteklemeyen olaylar, B'yi destekleyen ancak A olayını desteklemeyen olaylar vardır ve son olarak, ne A'nın ne de B'nin lehine olmayan olaylar.

Bu arada, ele aldığımız dört gruptan herhangi birinin (hatta birden fazlasının) tek bir olay içermeyebileceğini de belirtelim. Bu durumda böyle bir gruptaki olay sayısını gösteren karşılık gelen sayı sıfıra eşit olacaktır.

Gruplara ayrılmamız hemen yazmanıza olanak tanır

A ve B olaylarının birleşimi, birinci grubun olayları tarafından ve yalnızca onlar tarafından tercih edilir. A lehine olan olayların toplam sayısı, birinci ve ikinci gruptaki olayların toplam sayısına, B lehine olanlar ise birinci ve üçüncü gruptaki olayların toplam sayısına eşittir.

Şimdi A olayının gerçekleşmesi şartıyla B olayının olasılığını yani olasılığını hesaplayalım. Artık üçüncü ve dördüncü grupta yer alan olaylar, ortaya çıkmaları A olayının gerçekleşmesiyle çelişeceğinden ve olası durumların sayısı artık eşit olmadığından ortadan kaybolmaktadır. Bunlardan B olayı yalnızca birinci gruptaki olaylar tarafından tercih edilir, dolayısıyla şunu elde ederiz:

Teoremi kanıtlamak için artık açık özdeşliği yazmak yeterlidir:

ve her üç kesri de yukarıda hesaplanan olasılıklarla değiştirin. Teoremde belirtilen eşitliğe ulaşıyoruz:

Yukarıda yazdığımız özdeşliğin, A imkansız bir olay olmadığı sürece ancak her zaman doğru olması durumunda anlam kazanacağı açıktır.

A ve B olayları eşit olduğundan, yerlerini değiştirerek çarpma teoreminin başka bir formunu elde ederiz:

Ancak özdeşliğin kullanıldığını fark ederseniz, bu eşitlik öncekiyle aynı şekilde elde edilebilir.

P(A ve B) olasılığına ilişkin iki ifadenin sağ taraflarını karşılaştırarak yararlı bir eşitlik elde ederiz:

Şimdi çarpma teoremini gösteren örnekleri ele alalım.

Örnek 4. Belirli bir işletmenin ürünlerinde, ürünlerin %96'sı uygun kabul edilmektedir (A olayı). Uygun olan her yüz üründen 75'inin birinci sınıfa (B olayı) ait olduğu ortaya çıkıyor. Rastgele seçilen bir ürünün uygun ve birinci sınıfa ait olma olasılığını belirleyin.

Çözüm. Arzu edilen olasılık, A ve B olaylarının birleştirilmesi olasılığıdır. Koşullu olarak elimizde: . Bu nedenle çarpma teoremi şunu verir:

Örnek 5. Hedefi tek atışla vurma olasılığı (A olayı) 0,2'dir. Fitillerin %2'si arızalanırsa (yani atış yapılmayan vakaların %2'sinde) hedefi vurma olasılığı nedir?

Çözüm. B olayı bir atışın gerçekleşmesi olsun ve B de bunun tersi olayı ifade etsin. Daha sonra koşula göre ve toplama teoreminin sonucuna göre. Üstelik duruma göre.

Bir hedefi vurmak A ve B olaylarını birleştirmek anlamına gelir (atış ateşlenecek ve vurulacaktır), dolayısıyla çarpma teoremine göre

Çarpma teoreminin önemli bir özel durumu olayların bağımsızlığı kavramı kullanılarak elde edilebilir.

İki olaydan birinin gerçekleşmesi veya gerçekleşmemesi sonucu diğerinin olasılığı değişmiyorsa bu olaylara bağımsız denir.

Bağımsız olaylara örnek olarak, bir zar tekrar atıldığında farklı sayıda puanın ortaya çıkması veya bir kez daha para atıldığında paranın bir veya başka bir yüzünün ortaya çıkması gösterilebilir, çünkü ikinci atışta arma alma olasılığının şu şekilde olduğu açıktır: Armanın ilk sırada ortaya çıkıp çıkmadığına bakılmaksızın eşittir.

Benzer şekilde, çekilen ilk topun daha önce geri gönderilmesi durumunda, beyaz ve siyah topların bulunduğu bir torbadan ikinci kez beyaz top çekme olasılığı, topun ilk kez çekildiğine, beyaz veya siyah olmasına bağlı değildir. Bu nedenle birinci ve ikinci çıkarmanın sonuçları birbirinden bağımsızdır. Aksine, ilk çıkarılan top torbaya geri dönmezse, ikinci çıkarmanın sonucu birinciye bağlıdır, çünkü ilk çıkarmadan sonra torbadaki topların bileşimi sonuca bağlı olarak değişir. Burada bağımlı olayların bir örneğini görüyoruz.

Koşullu olasılıklar için benimsenen gösterimi kullanarak, A ve B olaylarının bağımsızlığının koşulunu şu şekilde yazabiliriz:

Bu eşitlikleri kullanarak bağımsız olaylar için çarpma teoremini aşağıdaki forma indirgeyebiliriz.

A ve B olayları bağımsızsa, bunların birleşiminin olasılığı bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir:

Aslında olayların bağımsızlığından çıkan çarpma teoreminin ilk ifadesini koymak yeterlidir ve gerekli eşitliği elde ederiz.

Şimdi birkaç olayı ele alalım: Herhangi birinin meydana gelme olasılığı, incelenen diğer olayların meydana gelip gelmemesine bağlı değilse, bunları toplu olarak bağımsız olarak adlandıracağız.

Toplamda bağımsız olaylar olması durumunda, çarpma teoremi herhangi bir sonlu sayıda olaya genişletilebilir ve bu nedenle aşağıdaki şekilde formüle edilebilir:

Bağımsız olayların toplamda birleşme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir:

Örnek 6. Bir işçi, makinenin durması durumunda arızayı düzeltmek için her birine yaklaşılması gereken üç otomatik makineye bakım yapıyor. İlk makinenin bir saat içinde durmama olasılığı 0,9'dur. Aynı olasılık ikinci makine için 0,8, üçüncü makine için ise 0,7'dir. İşçinin bir saat içinde bakımını yaptığı makinelere yaklaşma ihtiyacı duymama olasılığını belirleyin.

Örnek 7. Bir tüfeğin atışıyla bir uçağın düşürülmesi olasılığı Aynı anda 250 tüfek ateşlendiğinde bir düşman uçağının imha edilmesi olasılığı nedir?

Çözüm. Uçağın tek atışta düşürülmeme olasılığı toplama teoremine eşittir. Daha sonra çarpma teoremini kullanarak uçağın 250 atışta düşürülmeme olasılığını birleştirme olasılığı olarak hesaplayabiliriz. olaylar. Eşittir Bundan sonra yine toplama teoremini kullanarak uçağın düşürülme olasılığını ters olayın olasılığı olarak bulabiliriz.

Buradan, tek bir tüfek atışıyla bir uçağı düşürme olasılığının ihmal edilebilir olmasına rağmen, 250 tüfekle ateş edildiğinde bir uçağı düşürme olasılığının zaten çok belirgin olduğu görülmektedir. Tüfek sayısı artırılırsa önemli ölçüde artar. Yani, 500 tüfekle ateş ederken, bir uçağı düşürme olasılığı, hesaplaması kolay olduğu gibi, 1000 tüfekle ateş ederken eşittir - hatta.

Yukarıda kanıtlanan çarpma teoremi, toplama teoremini bir şekilde genişletmemize ve onu uyumlu olayların durumuna genişletmemize olanak tanır. A ve B olaylarının uyumlu olması durumunda, bunlardan en az birinin meydana gelme olasılığının, olasılıklarının toplamına eşit olmadığı açıktır. Örneğin A olayı çift sayı anlamına geliyorsa

zar atıldığında puan sayısı ve B olayı üçün katı sayıda puanın kaybı ise, bu durumda (A veya B) olayı 2, 3, 4 ve 6 puan kaybıyla tercih edilir, yani

Öte yandan, yani. Yani bu durumda

Buradan, uyumlu olaylar durumunda olasılıkların eklenmesi teoreminin değiştirilmesi gerektiği açıktır. Şimdi göreceğimiz gibi, hem uyumlu hem de uyumsuz olaylar için geçerli olacak şekilde formüle edilebilir, böylece daha önce ele alınan toplama teoremi yenisinin özel bir durumu olarak ortaya çıkar.

A.'nın lehine olmayan olaylar.

Bir olayı (A veya B) destekleyen tüm temel olaylar, yalnızca A'yı veya yalnızca B'yi veya hem A'yı hem de B'yi desteklemelidir. Dolayısıyla, bu tür olayların toplam sayısı şuna eşittir:

ve olasılık

Q.E.D.

Zar atarken ortaya çıkan puan sayısını gösteren yukarıdaki örneğe formül (9)'u uygulayarak şunu elde ederiz:

bu doğrudan hesaplamanın sonucuyla örtüşmektedir.

Açıkçası, formül (1), (9)'un özel bir durumudur. Aslında, eğer A ve B olayları uyumsuzsa, o zaman birleşme olasılığı

Örneğin. Elektrik devresine seri olarak iki sigorta bağlanır. İlk sigortanın arızalanma olasılığı 0,6, ikincisi ise 0,2'dir. Bu sigortalardan en az birinin arızalanması sonucu elektrik kesintisi olasılığını belirleyelim.

Çözüm. Birinci ve ikinci sigortaların arızasından oluşan A ve B olayları uyumlu olduğundan, gerekli olasılık formül (9) ile belirlenecektir:

Egzersizler

Olasılık teorisinin incelenmesi, olasılıkların toplanması ve çarpılmasıyla ilgili problemlerin çözümüyle başlar. Bir öğrencinin bu bilgi alanında uzmanlaşırken bir sorunla karşılaşabileceğini hemen belirtmekte fayda var: eğer fiziksel veya kimyasal süreçler görsel olarak temsil edilebiliyor ve ampirik olarak anlaşılabiliyorsa, o zaman matematiksel soyutlama düzeyi çok yüksektir ve burada anlayış sadece gelir. tecrübeyle.

Bununla birlikte, oyun mum değerindedir, çünkü formüller - hem bu makalede tartışılanlar hem de daha karmaşık olanlar - bugün her yerde kullanılmaktadır ve işte faydalı olabilir.

Menşei

İşin tuhafı, matematiğin bu dalının gelişmesinin itici gücü kumardı. Aslında zar, yazı tura, poker, rulet, olasılıkların toplanması ve çarpılmasının kullanıldığı tipik örneklerdir. Bu, herhangi bir ders kitabındaki problem örnekleri kullanıldığında açıkça görülebilir. İnsanlar kazanma şanslarını nasıl artıracaklarını öğrenmekle ilgileniyorlardı ve bazılarının bunu başardığını da söylemek gerekir.

Örneğin, zaten 21. yüzyılda, adını açıklamayacağımız bir kişi, yüzyıllar boyunca biriken bu bilgiyi kumarhaneyi kelimenin tam anlamıyla "temizlemek" için kullandı ve rulette birkaç on milyonlarca dolar kazandı.

Ancak konuya olan ilginin artmasına rağmen, “teoremi” tamamlayan teorik bir çerçeve ancak 20. yüzyılda geliştirildi. Bugün hemen hemen her bilim dalında olasılıksal yöntemleri kullanan hesaplamalar bulunabilir.

Uygulanabilirlik

Olasılıkları ve koşullu olasılığı toplamak ve çarpmak için formüller kullanırken önemli bir nokta, merkezi limit teoreminin karşılanabilirliğidir. Aksi takdirde öğrenci farkına varmasa da tüm hesaplamalar ne kadar akla yatkın görünürse görünsün hatalı olacaktır.

Evet, motivasyonu yüksek bir öğrenci her fırsatta yeni bilgiyi kullanma eğilimindedir. Ancak bu durumda biraz yavaşlamak ve uygulanabilirliğin kapsamını kesin olarak özetlemek gerekir.

Olasılık teorisi, ampirik açıdan deneylerin sonuçlarını temsil eden rastgele olaylarla ilgilenir: altı yüzlü bir zarı atabiliriz, desteden bir kart çekebiliriz, bir partideki kusurlu parçaların sayısını tahmin edebiliriz. Ancak bazı sorularda matematiğin bu bölümündeki formüllerin kullanılması kesinlikle yasaktır. Bir olayın olasılıklarını dikkate almanın özelliklerini, olayların toplama ve çarpma teoremlerini yazının sonunda ele alacağız, ancak şimdilik örneklere dönelim.

Temel Kavramlar

Rastgele bir olay, bir deneyin sonucunda ortaya çıkabilecek veya çıkmayabilecek bazı süreç veya sonuçları ifade eder. Örneğin, bir sandviçi fırlatıyoruz; tereyağlı kısmı yukarıya veya tereyağlı kısmı aşağıya düşebilir. Her iki sonuçtan biri rastgele olacaktır ve hangisinin gerçekleşeceğini önceden bilemeyiz.

Olasılıkların toplanması ve çarpımı üzerinde çalışırken iki kavrama daha ihtiyacımız olacak.

Birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini engellemeyen bu tür olaylara ortak denir. Diyelim ki iki kişi aynı anda hedefe ateş ediyor. Bunlardan biri başarılı bir tane üretirse, bu, ikincisinin hedefi vurma veya ıskalama yeteneğini hiçbir şekilde etkilemeyecektir.

Uyumsuz olaylar, aynı anda gerçekleşmesi imkansız olan olaylar olacaktır. Örneğin bir kutudan yalnızca bir top çıkarırsanız hem maviyi hem de kırmızıyı aynı anda alamazsınız.

Tanım

Olasılık kavramı Latin büyük harfi P ile gösterilir. Sonraki parantez içinde belirli olayları ifade eden argümanlar vardır.

Toplama teoremi, koşullu olasılık ve çarpma teoremi formüllerinde parantez içindeki ifadeleri göreceksiniz, örneğin: A+B, AB veya A|B. Çeşitli şekillerde hesaplanacaklar ve şimdi onlara döneceğiz.

Ek

Olasılıkları toplama ve çarpma formüllerinin kullanıldığı durumları ele alalım.

Uyumsuz olaylar için en basit toplama formülü uygundur: Rastgele sonuçlardan herhangi birinin olasılığı, bu sonuçların her birinin olasılıklarının toplamına eşit olacaktır.

Diyelim ki 2 mavi, 3 kırmızı ve 5 sarı bilyeden oluşan bir kutu var. Kutu içerisinde toplam 10 adet ürün bulunmaktadır. Mavi veya kırmızı bir top çekeceğimiz ifadesinin doğruluğu nedir? 2/10 + 3/10 yani yüzde elli olacaktır.

Uyumsuz olaylar durumunda, ek bir terim eklendiğinden formül daha karmaşık hale gelir. Başka bir formülü ele aldıktan sonra bir paragrafta buna dönelim.

Çarpma

Bağımsız olayların olasılıklarının toplanması ve çarpılması farklı durumlarda kullanılır. Deneyin koşullarına göre olası iki sonuçtan herhangi biri bizi tatmin ediyorsa toplamı hesaplayacağız; Eğer iki kesin sonucu arka arkaya elde etmek istiyorsak farklı bir formüle başvuracağız.

Önceki bölümdeki örneğe dönersek, önce mavi topu, sonra kırmızı topu çizmek istiyoruz. İlk sayıyı biliyoruz; 2/10. Sonra ne olacak? Geriye 9 top kaldı ve hala aynı sayıda kırmızı top var - üç. Hesaplamalara göre 3/9 veya 1/3 olacaktır. Peki şimdi iki sayıyla ne yapmalı? Doğru cevap 2/30 elde etmek için çarpmaktır.

Ortak etkinlikler

Artık ortak etkinlikler için tekrar toplam formülüne dönebiliriz. Konudan neden uzaklaştık? Olasılıkların nasıl çarpıldığını bulmak için. Şimdi bu bilgiye ihtiyacımız olacak.

İlk iki terimin ne olacağını zaten biliyoruz (daha önce tartışılan toplama formülündekiyle aynı), ancak şimdi hesaplamayı öğrendiğimiz olasılıkların çarpımını çıkarmamız gerekiyor. Açıklık sağlamak için şu formülü yazalım: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Olasılıkların hem toplanmasının hem de çarpımının tek bir ifadede kullanıldığı ortaya çıktı.

Diyelim ki kredi alabilmek için iki sorundan herhangi birini çözmemiz gerekiyor. Birincisini 0,3 olasılıkla, ikincisini ise 0,6 olasılıkla çözebiliriz. Çözüm: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Sadece buradaki sayıları toplamanın yeterli olmayacağını unutmayın.

Koşullu olasılık

Son olarak, argümanları parantez içinde gösterilen ve dikey bir çubukla ayrılan koşullu olasılık kavramı vardır. P(A|B) girişi şu şekildedir: "B olayı verildiğinde A olayının olasılığı."

Bir örneğe bakalım: Bir arkadaşınız size bir cihaz veriyor, telefon olsun. Kırık (%20) veya sağlam (%80) olabilir. Elinize geçen herhangi bir cihazı 0,4 olasılıkla onarırsınız veya onaramazsınız (0,6). Son olarak eğer cihaz çalışır durumda ise 0,7 olasılıkla doğru kişiye ulaşabilirsiniz.

Bu durumda koşullu olasılığın nasıl işlediğini görmek kolaydır: Telefonu bozuksa bir kişiye ulaşamazsınız, ancak çalışıyorsa onu tamir etmenize gerek yoktur. Bu nedenle, “ikinci seviyede” herhangi bir sonuç elde etmek için, ilkinde hangi olayın gerçekleştirildiğini bulmanız gerekir.

Hesaplamalar

Önceki paragraftaki verileri kullanarak olasılıkların toplanması ve çarpılmasıyla ilgili problem çözme örneklerine bakalım.

Öncelikle size verilen cihazı tamir etme olasılığınızı bulalım. Bunun için öncelikle arızalı olması, ikinci olarak ise onu düzeltebilmeniz gerekir. Bu, çarpma işleminin kullanıldığı tipik bir problemdir: 0,2 * 0,4 = 0,08 elde ederiz.

Hemen doğru kişiye ulaşma olasılığınız nedir? Bu kadar basit: 0,8*0,7 = 0,56. Bu durumda telefonun çalıştığını gördünüz ve aramayı başarıyla yaptınız.

Son olarak şu senaryoyu düşünün: Bozuk bir telefon alırsınız, tamir edersiniz, sonra bir numara çevirirsiniz ve karşı taraftaki kişi telefonu açar. Burada zaten üç bileşeni çarpmamız gerekiyor: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Aynı anda çalışmayan iki telefonunuz varsa ne yapmalısınız? Bunlardan en az birini düzeltme olasılığınız nedir? ortak olaylar kullanıldığından olasılıkların toplanması ve çarpılması üzerine. Çözüm: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Böylece, iki cihazınız bozulursa vakaların %64'ünde tamir edebileceksiniz.

Dikkatli Kullanım

Yazının başında da belirttiğimiz gibi olasılık teorisinin kullanımı bilinçli ve bilinçli olmalıdır.

Deney serisi ne kadar büyük olursa, teorik olarak tahmin edilen değer pratikte elde edilen değere o kadar yaklaşır. Örneğin bozuk para atıyoruz. Teorik olarak olasılıkları toplama ve çarpma formüllerinin varlığını bilerek, deneyi 10 kez yaparsak kaç kez yazı ve tura geleceğini tahmin edebiliriz. Bir deney yaptık ve tesadüfen çizilen kenarların oranı 3'e 7 oldu. Ancak 100, 1000 veya daha fazla deneme serisi yaparsak, dağılım grafiğinin teorik olana giderek yaklaştığı ortaya çıkıyor: 44'ten 56'ya, 482'den 518'e vb.

Şimdi bu deneyin madeni parayla değil, olasılığını bilmediğimiz bazı yeni kimyasal maddelerin üretimiyle yapıldığını hayal edin. 10 deney yapacağız ve başarılı bir sonuç alamadan şöyle bir genelleme yapabiliriz: “maddeyi elde etmek imkansızdır.” Ama kim bilir, on birinci denemeyi yapsaydık hedefe ulaşır mıydık?

Yani bilinmeyene, keşfedilmemiş bir alana gidiyorsanız olasılık teorisi geçerli olmayabilir. Bu durumda sonraki her girişim başarılı olabilir ve "X yoktur" veya "X imkansızdır" gibi genellemeler erken olacaktır.

Son söz

Böylece iki tür toplama işlemine, çarpma ve koşullu olasılıklara baktık. Bu alanın daha fazla incelenmesiyle, her bir özel formülün kullanıldığı durumları ayırt etmeyi öğrenmek gerekir. Ek olarak, olasılıksal yöntemlerin probleminizin çözümünde genel olarak uygulanabilir olup olmadığını da hayal etmeniz gerekir.

Pratik yaparsanız bir süre sonra gerekli tüm işlemleri yalnızca zihninizde yapmaya başlayacaksınız. Kart oyunlarıyla ilgilenenler için bu beceri son derece değerli sayılabilir - yalnızca belirli bir kartın veya rengin düşme olasılığını hesaplayarak kazanma şansınızı önemli ölçüde artıracaksınız. Ancak edinilen bilgilerin diğer faaliyet alanlarında kolaylıkla uygulanmasını bulabilirsiniz.

Olasılık toplama ve çarpma teoremleri

Toplama teoremi

Birbiriyle bağdaşmayan birkaç olaydan birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir.

İki uyumsuz A ve B olayı durumunda elimizde:

P(A+B) = P(A) + P(B) (7)

A olayının karşısındaki olay ile gösterilir. A olaylarının birleşimi güvenilir bir olay verir ve A olayları uyumsuz olduğundan, o zaman

P(A) + P() = 1 (8)

B olayının meydana geldiği varsayımıyla hesaplanan A olayının olasılığına denir. koşullu olasılık A olayı ve P B(A) sembolü ile gösterilir.

A ve B olayları bağımsızsa P(B) = P A (B) olur.

Olaylar A,B,C,... denir kolektif olarak bağımsız Diğer olayların ayrı ayrı veya bunların birleşimiyle ve herhangi bir sayıda meydana gelmesi veya gelmemesi nedeniyle her birinin olasılığı değişmiyorsa.

Çarpma teoremi

A, B ve C olaylarının meydana gelme olasılığı... bunların her birinden önceki tüm olayların gerçekleştiği varsayımı altında hesaplanan olasılıkların çarpımına eşittir;

P(AB) = P(A)PA (B)(9)

P A (B) gösterimi, A olayının halihazırda meydana geldiği varsayımı altında B olayının olasılığını belirtir.

A, B, C, ... olayları kolektif olarak bağımsızsa, bunların hepsinin meydana gelme olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir:

P(ABC) = P(A)P(B)P(C) (10)

Örnek 3.1. Torbanın içinde 10 adet beyaz, 15 adet siyah, 20 adet mavi ve 25 adet kırmızı top bulunmaktadır. Bir top çıkarıldı. Çekilen topun beyaz olma olasılığını bulunuz? siyah? Ve bir şey daha: beyaz mı siyah mı?

Çözüm.

Olası tüm denemelerin sayısı n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70;

Olasılık P(b) = 10/70 = 1/7, P(h) = 15/70 = 3/14.

Olasılık toplama teoremini uyguluyoruz:

R(b + h) = R(b) + R(h) = 1/7 + 3/14 = 5/14.

Not: Parantez içindeki büyük harfler sırasıyla problemin koşullarına göre her topun rengini belirtir.

Örnek 3.2İlk kutuda iki beyaz ve on siyah top bulunmaktadır. İkinci kutuda sekiz beyaz ve dört siyah top bulunmaktadır. Her kutudan bir top alındı. Her iki topun da beyaz olma olasılığını belirleyin.

Çözüm.

Olay A, ilk kutudan beyaz bir topun ortaya çıkmasıdır. Olay B, ikinci kutudan beyaz bir topun ortaya çıkmasıdır. A ve B olayları bağımsızdır.

Olasılıklar P(A) = 2/12 = 1/6, P(B) = 8/12 = 2/3.

Olasılık çarpımı teoremini uyguluyoruz:

P(AB) = P(A)P(B) = 2/18 = 1/9.

Soruları gözden geçirin

1 Faktöriyel nedir?

2 Kombinatoriğin ana görevlerini listeleyin.

3 Permütasyonlara ne denir?

4 Hareketlere ne denir?

5 Kombinasyonlara ne denir?

6 Hangi olaylara güvenilir denir?

7 Hangi olaylara uyumsuz denir?

8 Bir olayın gerçekleşme olasılığı nedir?

9 Koşullu olasılık ne denir?

10 Olasılıkların toplanması ve çarpımı için teoremler formüle etmek.

11 halkla ilişkiler.Yerleşimden itibaren N tarafından elemanlar k (k ≤ p ) aşağıdakilerden oluşan herhangi bir set var mı? İle verilerden belirli bir sırayla alınan öğeler N unsurlar.

Böylece iki yerleşim N tarafından elemanlar İle Öğelerin kendilerinde veya düzenlenme sıralarında farklılık olması durumunda farklı kabul edilirler. N tarafından elemanlar İle belirtmek bir p k ve formül kullanılarak hesaplanır

Bir p k =

Yerleşimler şuradan geliyorsa: N tarafından elemanlar N birbirlerinden yalnızca elemanların sırası bakımından farklılık gösterirlerse, bunlar permütasyonları temsil ederler. N elemanlar

Örnek1. İkinci sınıf öğrencileri 9 konuyu inceliyorlar. Bir gün için 4 farklı konuyu içerecek şekilde bir program kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm: 4 farklı konudan oluşan bir günlük program, konuların kümesi veya sunulma sırası bakımından diğerinden farklıdır. Bu, bu örnekte 4'ün 9 öğesinin yerleşiminden bahsettiğimiz anlamına gelir.

bir 9 4 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024

3024 şekilde bir program oluşturabilirsiniz

Örnek 2. 0,1,2,3,4,5,6 rakamlarından kaç tane üç basamaklı sayı (sayıda rakam tekrarı olmadan) yapılabilir?

Çözüm Yedi basamak arasında sıfır yoksa bu basamaklardan yapılabilecek üç basamaklı (tekrarlayan basamaksız) sayıların sayısı basamak sayısına eşittir.

22

Her biri 3'er adet olan 7 elementten oluşur. Ancak bu sayıların arasında üç basamaklı bir sayının başlayamayacağı 0 sayısı da vardır. Bu nedenle 7 elementin 3'e göre dizilişinden ilk elemanı 0 olanların hariç tutulması gerekir. Bunların sayısı 6 elementin 2'ye göre diziliş sayısına eşittir. =

Bu, gerekli üç basamaklı sayı sayısının olduğu anlamına gelir.

Bir 7 3 - Bir 6 2 = - = 5 ∙ 6 ∙ 7 - 5 ∙ 6 = 180.

3. Problem çözme sürecinde edinilen bilgilerin pekiştirilmesi

№754 . Kompartımanda başka yolcu yoksa, üç kişilik bir aile dört kişilik kompartımanda kaç farklı şekilde uyuyabilir?

Çözüm. Yol sayısı eşittir bir 4 3 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24

№755. 30 toplantı katılımcısından bir başkan ve sekreter seçilmelidir. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm. Katılımcılardan herhangi biri sekreter veya başkan olabildiği için onları seçme yollarının sayısı eşittir.

bir 30 2 = = = 29 ∙ 30 = 870

№762 Aşağıdaki rakamlardan rakamları aynı olmayan kaç tane dört basamaklı sayı oluşturulabilir: a) 1,3,5,7,9. b) 0,2,4,6,8?

Çözüm a) bir 5 4 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

B)) Bir 5 4 - Bir 4 3 = 5! – 4! = 120 – 24 = 96

Ödev No:756, No:757, No:758, No:759.

Ders 6 Konusu: “Kombinasyonlar”

Amaç: Kombinasyon kavramını vermek, kombinasyon hesaplama formülünü tanıtmak, kombinasyon sayısını saymak için bu formülün nasıl kullanılacağını öğretmek.

1 Ödev kontrolü.

№ 756 . İstasyonda 7 alternatif parkur bulunmaktadır. 4 tren üzerlerine kaç farklı şekilde yerleştirilebilir?

23

Çözüm : A 7 4 = = 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 20 ∙ 42 = 840 yol

№757 4x100 m bayrak yarışına katılmaya hazır 12 sporcudan hangisinin birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü etaplarda koşacağını bir antrenör kaç farklı şekilde belirleyebilir?

Çözüm: bir 12 4 = = 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙12 = 90 ∙132 = 11 880

№ 758. Pasta grafiğinde daire 5 sektöre bölünmüştür. 10 adet boyadan oluşan setten alınan farklı boyalarla sektörleri boyamaya karar verdik. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm: bir 10 5 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10 = 30 240

№759. Sınava girecek 6 öğrenci, 20 tekli masanın bulunduğu bir sınıfa kaç farklı şekilde yerleşebilir?

Çözüm: bir 20 6 = = 15∙ 16 ∙17∙ 18∙19 ∙20 = 27 907 200

Ödev kontrolünü farklı şekillerde düzenleyebilirsiniz: ev ödevi alıştırmalarının çözümlerini sözlü olarak kontrol edin, bazılarının çözümlerini tahtaya yazın ve çözümler kaydedilirken aşağıdaki sorularla ilgili öğrencilerle bir anket yapın:

1. Giriş ne anlama geliyor? P!

2. Permütasyona ne denir? N unsurlar?

3. Permütasyon sayısını hesaplamak için hangi formül kullanılır?

4. Yerleştirmeye ne denir? N tarafından elemanlar İle?

5. N tarafından elemanlar İle?

2 Yeni malzemenin açıklaması

5 adet farklı renkte karanfil olsun. Onları harflerle belirtelim a, c, c, d, f. Üç karanfilden oluşan bir buket yapmalısın. Hangi buketlerin oluşturulabileceğini öğrenelim.

Buket karanfil içeriyorsa A , ardından aşağıdaki buketleri yapabilirsiniz:

avs, avd, ave, asd, ace, ade.

Buket karanfil içermiyorsa A, ama karanfiller giriyor V , o zaman aşağıdaki buketleri alabilirsiniz:

hepsi, hepsi, her yerde.

Son olarak buket karanfil içermiyorsa A, karanfil değil V, o zaman bir buket oluşturmak için yalnızca bir seçenek mümkündür:

sde.

24

5 karanfilden üçünün farklı şekillerde birleştirildiği buket yapımının mümkün olan tüm yollarını belirttik. kombinasyonlar 5 elementten her birinde 3 tane bulduk C 5 3 = 10.

Kombinasyon sayısı formülünü şu şekilde türetelim: N k'deki elemanlar, burada k ≤ s.

Öncelikle C 5 3'ün A 5 3 ve P 3 aracılığıyla nasıl ifade edildiğini bulalım. 5 elementinin aşağıdaki 3 element kombinasyonuna dönüştürülebileceğini bulduk:

avs, avd, ave, asd, ase, ade, vsd, tümü, vde, sde.

Her kombinasyonda tüm permütasyonları gerçekleştireceğiz. 3 elementin permütasyon sayısı P3'e eşittir. Sonuç olarak, elemanların kendisinde veya elemanların sırasına göre farklılık gösteren 3'lü 5 elemanın tüm olası kombinasyonlarını elde ederiz, yani. 5 elementin tüm yerleşimlerinin her biri 3'tür. Toplamda A 5 3 yerleşim elde ederiz.

Araç , C 5 3 ∙ P 3 = A 5 3, dolayısıyla C 5 3 = A 5 3: P 3

Genel durumda akıl yürütme, şunu elde ederiz: C p k = A p k: P k,

A p k = olduğu gerçeğini kullanarak, burada k ≤ s., aldık Cpk = .

Bu, kombinasyon sayısını hesaplamak için kullanılan formüldür. N tarafından elemanlar İle herhangi bir zamanda

k ≤ s.

Örnek1. Kutuyu boyamak için 15 boyadan oluşan setten 3 renk seçmeniz gerekiyor. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm: Her üç renk seçeneği de en az bir renk bakımından diğerinden farklıdır. Bu, burada 3'ün 15 elementinin birleşiminden bahsettiğimiz anlamına gelir.

15'ten 3 = = (13∙ 14∙15) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 455

Prime2 Sınıfta 12 erkek, 10 kız var. Okulun etrafındaki alanı temizlemek için üç erkek ve iki kız gerekiyor. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm: 12 3 ile 12 erkekten 3'ünü, 10 2 ile 10 kızdan 2'sini seçebilirsiniz. Her erkek seçimi için kız seçmenin 10 2 yolu olduğundan, problemde tartışılan öğrenci seçimini yapabilirsiniz.

С 12 3 ∙ С 10 2 = ∙ = 220 ∙ 45 = 9900

3) Sorun çözme sürecinde yeni malzemenin pekiştirilmesi

25

Görev

Sasha'nın evinin kütüphanesinde 8 tarihi roman var. Petya ondan 2 romanı da almak istiyor. Bu seçim kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm: C 8 2 = = ( 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56: 2 = 28

№779 bir

Satranç kulübünde 16 kişi var. Bir antrenör bir sonraki turnuva için kendi içinden 4 kişilik bir takımı kaç farklı şekilde seçebilir?

Çözüm: C 16 4 = = ( 13∙ 14∙15 ∙16) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820

№774 Okulun tadilatını yapan ekip 12 boyacı ve 5 marangozdan oluşuyor. Bunlardan 4 boyacı ve 2 marangozun spor salonunun onarımı için ayrılması gerekiyor. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

С 12 4 ∙ С 5 2 = ∙ = 495 ∙ 10 = 4950

Ödev No:768, No:769, No:770, No:775

Ders 7 Konusu: “Hareket sayısını, yerleşimleri, kombinasyonları hesaplamak için formülleri kullanarak problemleri çözme”

Amaç: Öğrencilerin bilgilerinin pekiştirilmesi. Basit kombinatoryal problemleri çözmek için becerilerin oluşturulması

1 Ödevleri kontrol etme

№768 Sınıfta matematiği başarıyla yapan 7 kişi vardır. Matematik Olimpiyatına katılmak için bunlardan ikisini kaç farklı şekilde seçebilirsiniz?

Çözüm: C 7 2 = = (6∙ 7) : 2 = 21

№769 Filateli mağazasında spor temalarına adanmış 8 farklı pul seti satılıyor. Bunlardan 3 tanesini kaç farklı şekilde seçebilirsiniz?

Çözüm: C 8 3 = = ( 6 ∙ 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 56

26

№770 Öğrencilere tatilde okuyacakları 10 kitaptan oluşan liste dağıtıldı. Bir öğrenci bu kitaplardan 6 tanesini kaç farklı şekilde seçebilir?

Çözüm: C 10 6 = = ( 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210

№775 Kütüphane, okuyucuya yeni gelen 10 kitap ve 4 dergi arasından seçim yapma olanağı sundu. Bunlardan 3 kitap ve 2 dergiyi kaç farklı şekilde seçebilir?

Çözüm: C 10 3 ∙ C 4 2 = ∙ = 120 ∙ 6 = 720

Sınıf için sorular

1. Permütasyona ne denir? N unsurlar?

2. Permütasyon sayısını hesaplamak için hangi formül kullanılır?

3. Yerleştirmeye ne denir? N tarafından elemanlar İle?

4. Yerleşim sayısını hesaplamak için hangi formül kullanılır? N tarafından elemanlar İle?

5. Aşağıdakilerin birleşimine ne denir? N tarafından elemanlar İle?

6. Kombinasyon sayısını hesaplamak için hangi formül kullanılır? N tarafından elemanlar İle?

Ortak çözüme yönelik sorunlar

Her problemi çözerken öncelikle bir tartışma yapılır: Çalışılan üç formülden hangisinin cevaba ulaşmaya yardımcı olacağı ve bunun nedeni

1. 4,6,8,9 sayılarından tüm sayıların farklı olması koşuluyla kaç tane dört basamaklı sayı yapılabilir?

2. Bir grup öğrencideki 15 kişiden bir muhtar ve onun yardımcısı seçmelisiniz. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

3. Okuldaki en iyi 10 öğrenciden iki kişi liderler toplantısına gönderilmelidir.

Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

Yorum: 3 numaralı problemde kimi seçeceğiniz önemli değil: 10 kişiden 2'si, dolayısıyla kombinasyon sayısını sayma formülü burada işe yarıyor.

2 numaralı problemde sıralı bir ikili seçilmiştir çünkü Seçilen çiftte soyadları değiştirilirse farklı bir seçim olacaktır, dolayısıyla yerleşim sayısını hesaplama formülü burada çalışır

Ortak çözüm için sorunlara cevaplar:

24'ünde 1 numara. 2 210 yollu. 3 45 yol

Ortak tartışma ve bağımsız hesaplamalar için problemler

1 numara 6 arkadaş buluştu ve her biri birbiriyle el sıkıştı. Kaç el sıkışma oldu?

27

Hayır. 2 1.sınıf öğrencilerinin 7 dersi olduğuna ve o günde 4 ders olması gerektiğine göre bir günlük ders programını kaç farklı şekilde hazırlayabilirsiniz?

(Yerleştirme sayısı 7'den 4'e kadar)

No:3 Ailede 6 kişi var ve mutfaktaki masada 6 sandalye var. Her akşam yemekten önce bu 6 sandalyeye yeni bir şekilde oturmaya karar verildi. Aile bireyleri bunu tekrarlamadan kaç gün yapabilir?

4 No'lu misafirler A, B, C, D evin sahibine geldi. Yuvarlak masada beş farklı sandalye var. Kaç tane oturma yöntemi var?

(4 kişi ziyarete geldi + mal sahibi = 5 kişi 5 sandalyeye oturuyor, permütasyon sayısını saymanız gerekiyor)

5. Boyama kitabında kesişmeyen bir üçgen, kare ve daire çizilir. Her figür gökkuşağının renklerinden birine, farklı figürler ise farklı renklere boyanmalıdır. Kaç tane renklendirme yöntemi var?

(Yerleşim sayısını 7'den 3'e kadar sayın)

6 numara. Sınıfta 10 erkek ve 4 kız var. Aralarında 2 erkek ve 1 kız olacak şekilde 3 kişinin görevlendirilmesi gerekmektedir. Bu kaç farklı şekilde yapılabilir?

(10'a 2'lik kombinasyon sayısı, 4'e 1'lik kombinasyon sayısı ile çarpılır)

Kendi kendine hesaplama problemlerinin yanıtları

№1 15 el sıkışma

№2.840 yol

№3 720 gün

№5 120 yol

№6.180 yol

Ödev No. 835, No. 841

Ders 8 Konusu: “Bağımsız çalışma”

Amaç: Öğrencilerin bilgilerini test etmek

1. Ödev kontrolü

№^ 835 a) 1,2,3,7 sayıları kullanılarak rakamları tekrarlanmayan dört basamaklı kaç çift sayı yazılabilir. b) 1,2,3,4.

28

a) Sayılarımız çift rakamla bitmeli, böyle bir rakam birinci koşulda 2 rakamıdır, onu en sona koyacağız ve geri kalan 3 rakamı yeniden düzenleyeceğiz, bu tür permütasyonların sayısı 3! = 6. Yani 6 çift sayı yapabilirsiniz

b) a) örneğindeki gibi mantık yürütüyoruz: 2 sayısını son yere koyarsak 6 çift sayı elde ederiz, 4 sayısını son sıraya koyarsak 6 çift sayı daha elde ederiz,

bu sadece 12 çift sayı olduğu anlamına gelir

№841 24 kişilik bir sınıftan kaç farklı şekilde seçim yapabilirsiniz: a) iki katılımcı; b) muhtar ve yardımcısı?

a) çünkü 24 kişiden herhangi 2'si görevde olabilir, bu durumda çift sayısı eşittir

C 24 2 = = 23 ∙ 24:2 = 276

b) burada 24 elementten sıralı bir element çifti koparılır, bu tür çiftlerin sayısı A 24 2 = = 23 ∙ 24 = 552

Seçenek 1, 1,2,3,4,5 numaralı görevleri çözer.

Seçenek 2, 6,7,8,9,10 numaralı görevleri çözer.

En basit kombinatoryal problemleri çözme

(Nisan 2010'da K.R.'nin materyallerine dayanmaktadır)

1 . Farklı yazarların beş kitabı bir rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?

2. Menüde çay, kahve, kakao ve elmalı veya vişneli turtalar yer alıyorsa, bir içecek ve pastadan kaç farklı şekilde öğleden sonra atıştırmalıkları hazırlayabilirsiniz?

3. Çarşamba günü programa göre 9. sınıf “A” da 5 ders olması gerekiyor: kimya, fizik, cebir, biyoloji ve can güvenliği. Bu gün için kaç farklı şekilde program oluşturabilirsiniz?

4. 2 beyaz at ve 4 doru at vardır. Kaç farklı şekilde yapabilirsin

farklı renklerde bir çift at mı yapacaksınız?

5. 5 farklı parayı 5 farklı cebe kaç farklı şekilde koyabilirsiniz?

29

6. Dolaptaki rafta 3 adet farklı tarzda şapka ve 4 adet farklı renkte eşarp bulunmaktadır. Bir şapka ve bir atkıdan oluşan bir takım kaç farklı şekilde yapılabilir?

7. Güzellik yarışmasında 4 katılımcı finale yükseldi. Kaç şekilde

Güzellik finaline katılanların performans sırasını belirlemek mümkün mü?

^ 8 .4 ördek ve 3 kaz var. İki farklı kuşu kaç farklı şekilde seçebilirsiniz?

9. 5 farklı harf 5 farklı harfe kaç farklı şekilde bölünebilir?

zarflar, her zarfa yalnızca bir harf konulursa?

10. Bir kutuda 5 kırmızı ve 4 yeşil top bulunmaktadır. Farklı renkteki bir çift topu kaç farklı şekilde yapabilirsiniz?

Bağımsız çalışma görevlerine ilişkin yanıtlar

Ders türü: yeni materyal öğrenmek.
Eğitimsel görevler:
- rastgele bir olay kavramını, bir olayın olasılığını vermek;
- bir olayın olasılıklarının nasıl hesaplanacağını öğretmek; klasik tanıma göre rastgele olayların olasılıkları;
- problemleri çözmek için olasılıkların toplama ve çarpma teoremlerinin nasıl uygulanacağını öğretmek;
- olayların olasılıklarını doğrudan hesaplamak için klasik olasılık tanımını kullanarak problemleri çözerek matematiğe olan ilgiyi geliştirmeye devam etmek;
- tarihi materyalleri kullanarak matematiğe ilgi uyandırmak;
- Öğrenme sürecine karşı bilinçli bir tutum geliştirmek, bilginin kalitesi için sorumluluk duygusu aşılamak, egzersizleri çözme ve tasarlama süreci üzerinde öz kontrol uygulamak.

Sınıfların sağlanması:
- Bireysel sorgulamaya yönelik görev kartları;
- test çalışması için görev kartları;
- sunum.

Öğrenci şunları bilmelidir:
- permütasyon, yerleşim ve kombinasyon sayısına ilişkin tanımlar ve formüller;
- olasılığın klasik tanımı;
- olayların toplamını, olayların ürününü belirlemek; olasılıkların toplama ve çarpma teoremlerinin formülasyonları ve formülleri.

Öğrenci şunları yapabilmelidir:
- permütasyonları, yerleşimleri ve kombinasyonları hesaplamak;
- klasik tanım ve kombinatorik formülleri kullanarak bir olayın olasılığını hesaplamak;
- olasılıkların toplanması ve çarpılması teoremlerini kullanarak problemleri çözer.

Öğrencilerin bilişsel aktivitelerinin motivasyonu.
Öğretmen olasılık teorisinin ortaya çıkışının 17. yüzyılın ortalarına kadar dayandığını belirtiyor. B. Pascal, P. Fermat ve H. Huygens'in (1629-1695) araştırmalarıyla ilişkilendirilmiştir. Olasılık teorisinin gelişimindeki önemli bir adım, J. Bernoulli'nin (1654-1705) çalışmasıyla ilişkilidir. Olasılık teorisinin en önemli hükümlerinden biri olan büyük sayılar yasasını kanıtlayan ilk kişi oydu. Teorinin geliştirilmesindeki bir sonraki aşama, A. Moivre (1667-1754), C. Gauss, P. Laplace (1749-1827), S. Poisson (1781-1840) isimleriyle ilişkilidir. St.Petersburg okulunun bilim adamları arasında A.M. Lyapunov (1857-1918) ve A.A Markov (1856-1922). Bu matematikçilerin çalışmalarından sonra olasılık teorisi tüm dünyada “Rus bilimi” olarak anılmaya başlandı. 20'li yılların ortalarında A.Ya. Khinchin (1894-1959) ve A.N. Kolmogorov, Moskova Olasılık Teorisi Okulu'nu yarattı. Acad'ın katkısı. A.N. Kolmogorov - Lenin Ödülü sahibi, adını taşıyan uluslararası ödül. Çok sayıda yabancı akademisyenin üyesi olduğu B. Bolzano, modern matematik alanında muazzam bir isimdir. A.N. Kolmogorov'un değeri yalnızca yeni bilimsel teorilerin geliştirilmesinde değil, aynı zamanda yetenekli bilim adamlarından oluşan bir galaksinin tamamını eğitmiş olmasında yatmaktadır (Ukrayna SSR Bilimler Akademisi Akademisyeni B.V. Gnedenko, Akademisyen Yu.V. Prokhorov, B.A. Sevastyanov ve diğerleri).
Rastgele değişkenlerin kalıplarını inceleyen bir matematik bilimi olan olasılık teorisi, son on yılda modern bilim ve teknolojinin ana yöntemlerinden biri haline geldi. Otomatik kontrol teorisinin hızlı gelişimi, rastgele faktörlerden etkilenen süreçlerin olası seyrinin aydınlatılmasıyla ilgili çok sayıda sorunun çözülmesi ihtiyacını doğurmuştur. Olasılık teorisi, fizikçiler, biyologlar, doktorlar, ekonomistler, mühendisler, askeri personel, üretim yöneticileri vb. gibi çok çeşitli uzmanlar için gereklidir.

Dersin ilerleyişi.

BEN. Organizasyon anı.

II. Ödev kontrol ediliyor
Soruların cevapları şeklinde ön anket yapın:

Alıştırmaların çözümünü kontrol edin:

• 10 kişilik bir listeyi kaç farklı şekilde yapabilirsiniz?
• 15 işçiden her biri 5 kişilik ekipler oluşturmak için kaç farklı şekilde kullanılabilir?
• 30 öğrenci birbirleriyle fotoğraf kartı alışverişinde bulundu. Toplamda kaç adet fotoğraf kartı dağıtıldı?

III. Yeni materyal öğrenme.
S.I.'nin açıklayıcı sözlüğünde. Ozhegov ve N.Yu. Shvedova'yı okuyoruz: "Olasılık, gerçekleşme olasılığıdır, bir şeyin yapılabilirliğidir." Günlük yaşamda sıklıkla "muhtemelen", "büyük ihtimalle", "inanılmaz" ifadelerini kullanırız, bu gerçekleşme olasılığına ilişkin belirli niceliksel tahminleri hiç aklımızda tutmayız.
Modern olasılık teorisinin kurucusu A.N. Kolmogorov olasılık hakkında şunları yazdı: "Matematiksel olasılık, belirli belirli koşullarda herhangi bir belirli olayın sınırsız sayıda tekrarlanabilen ortaya çıkma olasılık derecesinin sayısal bir özelliğidir."
Yani matematikte olasılık bir sayıyla ölçülür. Çok yakında bunun tam olarak nasıl yapılabileceğini öğreneceğiz. Ancak hangi olayların “matematiksel olasılığa” sahip olduğunu ve bu “sınırsız sayıda tekrarlanabilen belirli koşulların” neler olduğunu tartışarak başlayacağız. Bu nedenle rastgele olayları ve rastgele deneyleri ele alacağız.
Olasılık teorisinin, matematiğin başka hiçbir alanı gibi çelişkiler ve paradokslarla dolu olmadığı söylenmelidir. Bunun açıklaması çok basit; bizi çevreleyen gerçek gerçeklikle çok yakından bağlantılı. Uzun bir süre, tamamen uygulamalı bilimler olarak kabul edilerek, matematiksel istatistikle birlikte matematiksel disiplinler olarak sınıflandırmak bile istemediler.
Sadece geçen yüzyılın ilk yarısında, esas olarak büyük yurttaşımız A.N.'nin çalışmaları sayesinde. Yukarıda adı geçen Kolmogorov, olasılık teorisinin matematiksel temellerini inşa ederek bilimin kendisini uygulamalarından ayırmayı mümkün kıldı. Kolmogorov tarafından önerilen yaklaşım artık genel olarak aksiyomatik olarak adlandırılıyor, çünkü içindeki olasılık (veya daha doğrusu olasılık alanı), belirli bir aksiyom sistemini karşılayan belirli bir matematiksel yapı olarak tanımlanıyor.
Mevcut tüm matematik öğretmenlerinin aynı anda geçtiği modern üniversite olasılık teorisi dersi bu yaklaşım üzerine inşa edilmiştir. Ancak okulda olasılık (ve genel olarak matematik) çalışmalarına böyle bir yaklaşım pek makul değildir. Bir üniversitede asıl vurgu olasılıksal modelleri incelemek için matematiksel aparatların incelenmesi ise, o zaman okulda öğrenci bu modelleri oluşturmayı öğrenmeli, analiz edin, gerçek durumlara uygunluklarını kontrol edin. Bu bakış açısı bugün okul matematik eğitimi sorunlarıyla ilgilenen bilim adamlarının çoğunluğu tarafından paylaşılmaktadır.
Modern okul ders kitaplarında aşağıdaki tanımı bulabilirsiniz: bir olaya denir rastgele Aynı koşullar altında gerçekleşebilir de olmayabilir de. Örneğin “Zar atıldığında 6 puan ortaya çıkacak” olayı rastgele olacaktır.
Yukarıdaki tanımda üstü kapalı olarak vurgulanması gereken önemli bir gereklilik vardır: Belirli bir olayın gözlemlendiği koşulların aynısını tekrar tekrar üretir(örneğin, bir küpü fırlatmak) - aksi takdirde rastgeleliğini yargılamak imkansızdır.
Bu nedenle, herhangi bir rastgele olaydan bahsederken, her zaman belirli koşulların varlığını kastediyoruz, bu olmadan bu olay hakkında konuşmanın hiçbir anlamı yok. Bu koşullar dizisine denir rastgele deneyim veya rastgele deney.
Gelecekte rastgele bir deneyle ilişkili herhangi bir olayı rastgele olarak adlandıracağız. Bir deneyden önce, kural olarak, belirli bir olayın gerçekleşip gerçekleşmeyeceğinden emin olmak imkansızdır - bu ancak tamamlandıktan sonra netleşir. Ancak "kural olarak" ifadesini koymamız sebepsiz değildir: Olasılık teorisinde, aşağıdakiler de dahil olmak üzere, rastgele bir deneyle ilişkili tüm olayların rastgele olduğunu düşünmek gelenekseldir:

• imkansız bu asla olamaz;
• güvenilir, bu tür her deneyde meydana gelen şey.

Örneğin “Zar 7 puan atacak” olayı imkansızdır ancak “Zar 7 puandan az atacak” olayı güvenilirdir. Tabii üzerinde 1'den 6'ya kadar sayıların yazılı olduğu bir küpten bahsediyorsak.
Olaylar denir uyumsuz, her seferinde yalnızca birinin görünmesi mümkünse. Olaylar denir eklem yeri, eğer verilen koşullar altında bu olaylardan birinin meydana gelmesi, aynı deneme sırasında diğerinin de meydana gelmesini dışlamıyorsa (Çantada iki top vardır - beyaz ve siyah, siyah bir topun ortaya çıkması olayın meydana gelmesini engellemez) aynı deneme sırasında beyaz olanın). Olaylar denir zıt, eğer testin koşulları altında, testin tek sonuçları olan bunlar uyumsuzsa. Bir olayın olasılığı, rastgele bir olayın meydana gelme olasılığının objektif bir ölçüsü olarak kabul edilir.

Tanımlar:
Rastgele olaylar (Latin alfabesinin büyük harfleriyle): A,B,C,D,.. (veya ). "Rastgele" atlanır ve sadece "olaylar" denir.
Belirli bir olayın meydana gelmesine elverişli sonuçların sayısı – m;
Tüm sonuçların (deneylerin) sayısı n'dir.
Olasılığın klasik tanımı.
Olasılık A olayı, bu olayın gerçekleşmesini destekleyen m sonuçlarının tüm sonuçların (tutarsız, yalnızca mümkün ve eşit derecede mümkün) n sayısına oranıdır;
– rastgele bir olayın olasılığı
Herhangi bir olayın olasılığı sıfırdan küçük ve birden büyük olamaz; 0≤P(A)≤1
İmkansız bir olay P(A)=0 olasılığına karşılık gelir ve güvenilir bir olay P(A)=1 olasılığına karşılık gelir

Olasılık toplama teoremleri.
Uyumsuz olayların olasılıklarını toplamak için teorem.
Hangisi olursa olsun, birkaç ikili uyumsuz olaydan birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(+ +…+=P(+P+…+P().

Ortak olayların olasılıklarının eklenmesine ilişkin teorem.
İki ortak olaydan en az birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların ortak gerçekleşme olasılıkları hariç olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Üç ortak etkinlik için formül geçerlidir:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

A olayının karşısındaki olay (yani A olayının gerçekleşmemesi) ile gösterilir. İki zıt olayın olasılıklarının toplamı bire eşittir: P(A)+P()=1

B olayının halihazırda meydana geldiği varsayımına göre hesaplanan A olayının gerçekleşme olasılığına denir. koşullu olasılık olaylar A, B'ye tabidir ve (A) veya P(A/B) ile gösterilir.
A ve B bağımsız olaylar ise, o zaman
P(B)-(B)=(B).

A,B,C,... olaylarına denir toplamda bağımsız, diğer olayların ayrı ayrı veya bunların birleşiminden dolayı her birinin olasılığı değişmiyorsa.

Olasılık çarpım teoremleri.
Bağımsız olayların olasılıklarının çarpılması için teorem.
İki bağımsız olayın birlikte meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir:
P(AB)=P(A) P(B)

Toplamda bağımsız olan birkaç olayın meydana gelme olasılığı aşağıdaki formülle hesaplanır:
P()=P() P()… P().

Bağımlı olayların olasılıklarının çarpılması için teorem.
İki bağımlı olayın birlikte meydana gelme olasılığı, bunlardan birinin çarpımına ve ikincisinin koşullu olasılığına eşittir:
P(AB)=P(A) (B)=P(B) (A)

IV. Tipik problemlerin çözümünde bilginin uygulanması
Görev 1.
1000 biletlik bir piyangoda 200 kazanan vardır. Bir bilet rastgele alınır. Bu biletin kazanma olasılığı nedir?
Çözüm: Etkinlik A bileti kazanıyor. Farklı sonuçların toplam sayısı n=1000'dir
Kazanmaya elverişli sonuçların sayısı m=200'dür. P(A)= formülüne göre P(A)== = 0,2 = 0,147 elde ederiz.

Sorun 4.
Kutu içerisinde 5'i standart olmak üzere rastgele düzenlenmiş 20 parça bulunmaktadır. Bir işçi rastgele 3 parça alıyor. Alınan parçalardan en az birinin standart olma olasılığını bulun.

Görev 5.
Rastgele seçilen iki basamaklı bir sayının 3'ün, 5'in veya her ikisinin katı olma olasılığını bulun

Görev 6.
Bir torbada 4 beyaz ve 8 siyah top, diğerinde ise 3 beyaz ve 9 siyah top bulunmaktadır. Her torbadan bir top alındı. Her iki topun da beyaz olma olasılığını bulun.
Çözüm: A, birinci torbadaki beyaz topun görünümü ve B, ikinci torbadaki beyaz topun görünümü olsun. A ve B olaylarının bağımsız olduğu açıktır. P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4'ü bulalım, şunu elde ederiz:
P(AB)=P(A) P(B)=(1/3) (1/4)=1/12=0,083

Görev 7.
Kutuda 8'i standart olmak üzere 12 parça bulunmaktadır. Bir işçi rastgele iki parçayı birbiri ardına alır. Her iki parçanın da standart olma olasılığını bulun.
Çözüm: Aşağıdaki gösterimi tanıtalım: A – alınan ilk kısım standarttır; B – alınan ikinci kısım standarttır. İlk parçanın standart olma olasılığı P(A)=8/12=2/3'tür. Birinci parçanın standart olması şartıyla, alınan ikinci parçanın standart olma olasılığı, yani. B olayının koşullu olasılığı (B)=7/11'e eşittir.
Her iki parçanın da standart çıkma olasılığı, bağımlı olayların olasılıklarını çarpma teoremi kullanılarak bulunur:
P(AB)=P(A) (B)=(2/3) (7/11)=14/33=0,424

Bilgi, beceri ve yeteneklerin bağımsız uygulanması.
Seçenek 1.

1. 40 ile 70 arasında rastgele seçilen bir tam sayının 6'nın katı olma olasılığı nedir?
2. Bir para beş kez atıldığında üç kez yere düşme olasılığı nedir?

Seçenek 2.

1. 1 ile 30 (dahil) arasında rastgele seçilen bir tam sayının 30'a bölen olma olasılığı nedir?
2. Araştırma enstitüsünde 70'i İngilizce, 60'ı Almanca ve 50'si her ikisini de bilen 120 kişi çalışıyor. Rastgele seçilen bir çalışanın tek bir yabancı dil bilmeme olasılığı nedir?

VI. Dersi özetlemek.

VII. Ev ödevi:
G.N. Yakovlev, matematik, kitap 2, § 24.1, 24.2, s. 365-386. Alıştırmalar 24.11, 24.12, 24.17

Önemli notlar!
1. Formüller yerine gobbledygook'u görürseniz önbelleğinizi temizleyin. Tarayıcınızda bunu nasıl yapacağınız burada yazılmıştır:
2. Makaleyi okumaya başlamadan önce, en yararlı kaynaklar için gezginimize dikkat edin.

Olasılık nedir?

Bu terimle ilk karşılaştığımda ne olduğunu anlamazdım. Bu nedenle net bir şekilde açıklamaya çalışacağım.

Olasılık, istediğimiz olayın gerçekleşme ihtimalidir.

Mesela bir arkadaşınızın evine gitmeye karar verdiniz, girişini, hatta oturduğu katı hatırlıyorsunuz. Ama dairenin numarasını ve yerini unuttum. Ve şimdi merdivende duruyorsunuz ve önünüzde seçebileceğiniz kapılar var.

İlk kapı zilini çaldığınızda arkadaşınızın kapıyı sizin yerinize açma şansı (olasılığı) nedir? Sadece daireler var ve sadece birinin arkasında bir arkadaş yaşıyor. Eşit şansla herhangi bir kapıyı seçebiliriz.

Peki bu şans nedir?

Kapı, sağ kapı. İlk kapıyı çalarak tahmin etme olasılığı: . Yani üçte birinden birini doğru tahmin edeceksiniz.

Bir kez aradıktan sonra kapıyı ne sıklıkla tahmin edeceğimizi bilmek istiyoruz. Tüm seçeneklere bakalım:

1. aradın 1. kapı
2. aradın 2. kapı
3. aradın 3. kapı

Şimdi bir arkadaşın olabileceği tüm seçeneklere bakalım:

A. İçin 1. kapı
B. İçin 2. kapı
V. İçin 3. kapı

Tüm seçenekleri tablo biçiminde karşılaştıralım. Seçiminiz bir arkadaşınızın konumuyla çakıştığında bir onay işareti seçenekleri, çakışmadığında ise bir çarpı işareti gösterir.

Herşeyi nasıl görüyorsun Belki seçenekler arkadaşınızın konumu ve hangi kapıyı çalacağınızın seçimi.

A her şey için olumlu sonuçlar . Yani kapı zilini bir kez çalarak bir kez tahmin edeceksiniz, yani. .

Bu olasılıktır; olumlu bir sonucun (seçiminiz arkadaşınızın konumuyla örtüştüğünde) olası olayların sayısına oranıdır.

Tanım formüldür. Olasılık genellikle p ile gösterilir, dolayısıyla:

Böyle bir formül yazmak pek uygun değil, bu yüzden olumlu sonuçların sayısını ve toplam sonuçların sayısını alacağız.

Bunu yapmak için olasılık yüzde olarak yazılabilir; elde edilen sonucu şu şekilde çarpmanız gerekir:

“Sonuçlar” kelimesi muhtemelen dikkatinizi çekmiştir. Matematikçiler çeşitli eylemlere (bizim durumumuzda böyle bir eylem kapı zilidir) deney adını verdikleri için, bu tür deneylerin sonucuna genellikle sonuç denir.

Evet, olumlu ve olumsuz sonuçlar var.

Örneğimize geri dönelim. Diyelim ki kapılardan birini çaldık ama kapıyı bir yabancı açtı. Doğru tahmin etmedik. Geriye kalan kapılardan birini çalarsak arkadaşımızın bize açma olasılığı nedir?

Eğer öyle düşündüysen bu bir hatadır. Hadi çözelim.

Geriye iki kapımız kaldı. Yani olası adımlarımız var:

1) Ara 1. kapı
2) Ara 2. kapı

Arkadaş tüm bunlara rağmen kesinlikle birinin arkasında (sonuçta bizim aradığımızın arkasında değildi):

a) Arkadaş için 1. kapı
b) Arkadaş için 2. kapı

Tabloyu tekrar çizelim:

Gördüğünüz gibi, yalnızca uygun olan seçenekler var. Yani olasılık eşittir.

Neden?

Düşündüğümüz durum şu bağımlı olaylara örnek Birinci olay birinci kapı zili, ikinci olay ise ikinci kapı zilidir.

Ve bağımlı olarak adlandırılırlar çünkü aşağıdaki eylemleri etkilerler. Sonuçta, eğer ilk çalıştan sonra kapı zili bir arkadaşınız tarafından açılsaydı, onun diğer ikisinden birinin arkasında olma olasılığı ne olurdu? Sağ, .

Ancak bağımlı olaylar varsa, o zaman aynı zamanda olması gerekir. bağımsız? Doğru, bunlar oluyor.

Bir ders kitabı örneği yazı tura atmaktır.

1. Bir kez yazı tura atın. Örneğin tura gelme olasılığı nedir? Bu doğru - çünkü tüm seçenekler var (ya tura ya da yazı, madalyonun kenarına düşme olasılığını ihmal edeceğiz), ancak bu yalnızca bize uyuyor.
2. Ama kafalar karıştı. Tamam, tekrar atalım. Şimdi tura gelme olasılığı nedir? Hiçbir şey değişmedi, her şey aynı. Kaç seçenek? İki. Kaç kişiden memnunuz? Bir.

Ve art arda en az bin kez tura gelmesine izin verin. Aynı anda tura gelme olasılığı aynı olacaktır. Her zaman seçenekler ve uygun olanlar vardır.

Bağımlı olayları bağımsız olaylardan ayırmak kolaydır:

1. Deney bir kez yapılırsa (bir kez yazı tura atarlar, bir kez kapı zilini çalarlar vb.), o zaman olaylar her zaman bağımsızdır.
2. Bir deney birkaç kez yapılırsa (bir kez para atılır, kapı zili birkaç kez çalınır), o zaman ilk olay her zaman bağımsızdır. Ve eğer olumlu olanların sayısı veya tüm sonuçların sayısı değişirse, o zaman olaylar bağımlıdır, değilse de bağımsızdır.

Olasılığı belirlemeye biraz çalışalım.

Örnek 1.

Para iki kez atılıyor. Art arda iki kez tura gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

Tüm olası seçenekleri ele alalım:

1. Kartal-kartal
2. Yazı-tura
3. Kuyruk-Kafalar
4. Kuyruk-kuyruk

Gördüğünüz gibi sadece seçenekler var. Bunlardan sadece memnunuz. Yani olasılık:

Koşul sizden yalnızca olasılığı bulmanızı isterse, yanıtın ondalık kesir biçiminde verilmesi gerekir. Cevabın yüzde olarak verilmesi gerektiği belirtilmiş olsaydı, o zaman çarpardık.

Cevap:

Örnek 2.

Bir kutu çikolatada tüm çikolatalar aynı ambalajda paketlenir. Ancak şekerlerden - fındıklı, konyaklı, kirazlı, karamelli ve nugalı.

Bir şeker alıp fındıklı bir şeker alma olasılığı nedir? Cevabınızı yüzde olarak verin.

Çözüm:

Kaç olası sonuç var? .

Yani, bir şeker alırsanız, kutuda bulunan şekerlerden biri olacaktır.

Kaç tane olumlu sonuç var?

Çünkü kutuda sadece fındıklı çikolatalar yer alıyor.

Cevap:

Örnek 3.

Bir kutu balonun içinde. bunlardan beyaz ve siyahtır.

1. Beyaz bir topun çekilme olasılığı nedir?
2. Kutuya daha fazla siyah top ekledik. Şimdi beyaz bir top çekme olasılığı nedir?

Çözüm:

a) Kutuda yalnızca toplar vardır. Bunlardan beyaz.

Olasılık:

b) Artık kutuda daha fazla top var. Ve bir o kadar da beyaz kaldı - .

Cevap:

Toplam olasılık

Diyelim ki bir kutuda kırmızı ve yeşil toplar var. Kırmızı topun çekilme olasılığı nedir? Yeşil top mu? Kırmızı mı yeşil top mu?

Kırmızı top çekme olasılığı

Yeşil top:

Kırmızı veya yeşil top:

Gördüğünüz gibi tüm olası olayların toplamı ()'ye eşittir. Bu noktayı anlamak birçok sorunu çözmenize yardımcı olacaktır.

Örnek 4.

Kutuda işaretleyiciler var: yeşil, kırmızı, mavi, sarı, siyah.

Kırmızı işaret DEĞİL çizme olasılığı nedir?

Çözüm:

Sayıyı sayalım olumlu sonuçlar.

Kırmızı bir işaret DEĞİLDİR, bu yeşil, mavi, sarı veya siyah anlamına gelir.

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı

Bağımsız olayların ne olduğunu zaten biliyorsunuz.

İki (veya daha fazla) bağımsız olayın arka arkaya meydana gelme olasılığını bulmanız gerekiyorsa ne olur?

Diyelim ki parayı bir kez atarsak iki kez tura gelme olasılığının ne olduğunu bilmek istiyoruz?

Zaten düşündük - .

Bir kez yazı tura atarsak ne olur? Bir kartalı iki kez üst üste görme olasılığı nedir?

Toplam olası seçenekler:

1. Kartal-kartal-kartal
2. Yazı-tura-yazı
3. Yazı-yazı-tura
4. Yazı-yazı-yazı
5. Kuyruk-tura-kafa
6. Yazı-tura-yazı
7. Kuyruk-yazı-kafa
8. Kuyruk-kuyruk-kuyruk

Sizi bilmem ama ben bu listeyi derlerken birkaç kez hata yaptım. Vay! Ve yalnızca (ilk) seçenek bize uygundur.

5 atış için olası sonuçların bir listesini kendiniz yapabilirsiniz. Ama matematikçiler sizin kadar çalışkan değiller.

Bu nedenle, belirli bir bağımsız olaylar dizisinin olasılığının her seferinde bir olayın olasılığı kadar azaldığını önce fark ettiler ve sonra kanıtladılar.

Başka bir deyişle,

Aynı talihsiz madalyonun örneğine bakalım.

Bir meydan okumada kafa alma olasılığı? . Şimdi parayı bir kez çeviriyoruz.

Art arda tura gelme olasılığı nedir?

Bu kural yalnızca aynı olayın art arda birkaç kez meydana gelme olasılığını bulmamız istendiğinde işe yaramaz.

Ardışık atışlar için KUYRUK-KAFA-KUYRUK sırasını bulmak isteseydik aynısını yapardık.

Yazı gelme olasılığı - dir.

KUYRUK-KAFA-KUYRUK-KUYRUK dizisini alma olasılığı:

Bir tablo yaparak kendiniz kontrol edebilirsiniz.

Uyumsuz olayların olasılıklarını ekleme kuralı.

Öyleyse dur! Yeni tanım.

Hadi çözelim. Eskimiş paramızı alıp bir kez atalım.
Olası seçenekler:

1. Kartal-kartal-kartal
2. Yazı-tura-yazı
3. Yazı-yazı-tura
4. Yazı-yazı-yazı
5. Kuyruk-tura-kafa
6. Yazı-tura-yazı
7. Kuyruk-yazı-kafa
8. Kuyruk-kuyruk-kuyruk

Yani uyumsuz olaylar belirli, belirli bir olaylar dizisidir. - bunlar uyumsuz olaylardır.

İki (veya daha fazla) uyumsuz olayın olasılığını belirlemek istiyorsak, bu olayların olasılıklarını toplarız.

Yazı ve turaların iki bağımsız olay olduğunu anlamalısınız.

Bir dizinin (veya başka herhangi bir dizinin) meydana gelme olasılığını belirlemek istiyorsak, olasılıkları çarpma kuralını kullanırız.
İlk atışta tura, ikinci ve üçüncü atışta yazı gelme olasılığı nedir?

Ancak eğer birkaç diziden birini alma olasılığının ne olduğunu bilmek istersek, örneğin tura tam olarak bir kez geldiğinde, yani; seçenekleri ve sonra bu dizilerin olasılıklarını toplamamız gerekir.

Toplam seçenekler bize uygundur.

Her bir dizinin oluşma olasılığını toplayarak aynı sonucu elde edebiliriz:

Bu nedenle, belirli, tutarsız olay dizilerinin olasılığını belirlemek istediğimizde olasılıkları ekliyoruz.

Ne zaman çarpacağınız ve ne zaman ekleyeceğiniz konusunda kafa karışıklığından kaçınmanıza yardımcı olacak harika bir kural vardır:

Bir kez yazı tura attığımız ve bir kez tura gelme olasılığını bilmek istediğimiz örneğe geri dönelim.
Ne olmalı?

Düşmeli:
(tura VE yazı VE yazı) VEYA (yazı VE yazı VE yazı) VEYA (yazı VE yazı VE yazı).
Şu şekilde ortaya çıkıyor:

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 5.

Kutunun içinde kalemler var. kırmızı, yeşil, turuncu ve sarı ve siyah. Kırmızı veya yeşil kalem çekme olasılığı nedir?

Çözüm:

Örnek 6.

Bir zar iki kez atıldığında toplamının 8 gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm.

Nasıl puan alabiliriz?

(ve) veya (ve) veya (ve) veya (ve) veya (ve).

Bir (herhangi) yüz alma olasılığı.

Olasılığı hesaplıyoruz:

Eğitim.

Sanırım artık olasılıkları ne zaman hesaplamanız gerektiğini, ne zaman eklemeniz gerektiğini ve ne zaman çarpmanız gerektiğini anladınız. Değil mi? Biraz pratik yapalım.

Görevler:

Maça, kupa, 13 sinek ve 13 karo içeren kartların bulunduğu bir kart destesini alalım. Her renkten As'a kadar.

1. Sineklerin art arda çekilmesi olasılığı nedir (çıkarılan ilk kartı desteye geri koyarız ve karıştırırız)?
2. Siyah kart (maça veya sinek) çekme olasılığı nedir?
3. Bir resmin (vale, kız, papaz veya as) çekilme olasılığı nedir?
4. Arka arkaya iki resim çekme olasılığı nedir (desteden çekilen ilk kartı çıkarırız)?
5. İki kart alarak bir kombinasyon (vale, kız veya papaz) ve bir as toplama olasılığı nedir? Kartların çekilme sırası önemli değildir.

Cevaplar:

Tüm sorunları kendiniz çözebildiyseniz, o zaman harikasınız! Artık Birleşik Devlet Sınavında olasılık teorisi problemlerini deli gibi çözeceksiniz!

OLASILIK TEORİSİ. ORTA SEVİYE

Bir örneğe bakalım. Diyelim ki bir zar attık. Bu ne tür bir kemik biliyor musun? Buna, yüzlerinde sayılar bulunan küp diyorlar. Kaç tane yüz, şu kadar çok sayı: kaçtan kaça kadar? İle.

Yani zar atıyoruz ve gelmesini istiyoruz. Ve anlıyoruz.

Olasılık teorisinde ne olduğunu söylüyorlar hayırlı olay(müreffeh ile karıştırılmamalıdır).

Eğer öyle olsaydı, olay da olumlu olurdu. Toplamda yalnızca iki olumlu olay gerçekleşebilir.

Kaç tanesi olumsuz? Olası olayların tamamı mevcut olduğundan, bu, olumsuz olanların olaylar olduğu anlamına gelir (bu, if veya fallout'tur).

Tanım:

Olasılık, olumlu olayların sayısının tüm olası olayların sayısına oranıdır. Yani olasılık, olası tüm olayların ne kadarının olumlu olduğunu gösterir.

Olasılığı bir Latin harfiyle belirtirler (görünüşe göre İngilizce olasılık - olasılık kelimesinden).

Olasılığı yüzde olarak ölçmek gelenekseldir (bkz. konular ve). Bunu yapmak için olasılık değerinin çarpılması gerekir. Zar örneğinde olasılık.

Ve yüzde olarak: .

Örnekler (kendiniz karar verin):

1. Bir madeni para atıldığında tura gelme olasılığı nedir? Yazıların gelme olasılığı nedir?
2. Bir zar atıldığında çift sayı gelme olasılığı kaçtır? Peki hangisi tuhaf?
3. Basit, mavi ve kırmızı kalemlerden oluşan bir kutuda. Rastgele bir kalem çiziyoruz. Basit bir tane alma olasılığı nedir?

Çözümler:

1. Kaç seçenek var? Yazı ve tura - sadece iki. Bunlardan kaçı olumlu? Yalnızca biri kartaldır. Yani olasılık

   Kuyruklar için de durum aynıdır: .

2. Toplam seçenekler: (küpün kaç tarafı var, şu kadar farklı seçenek). Olumlu olanlar: (bunların hepsi çift sayılardır :).
   Olasılık. Elbette tek sayılarda da durum aynı.
3. Toplam: . Uygun: . Olasılık: .

Toplam olasılık

Kutudaki tüm kalemler yeşildir. Kırmızı kalem çizme olasılığı nedir? Şans yok: olasılık (sonuçta olumlu olaylar -).

Böyle bir olaya imkansız denir.

Yeşil kalem çizme olasılığı nedir? Toplam olay sayısıyla tam olarak aynı sayıda olumlu olay vardır (tüm olaylar olumludur). Yani olasılık veya'ya eşittir.

Böyle bir olaya güvenilir denir.

Bir kutuda yeşil ve kırmızı kalemler varsa, yeşil veya kırmızı kalemlerin çizilme olasılığı nedir? Tekrar. Şunu not edelim: Yeşili çekme olasılığı eşittir, kırmızı da eşittir.

Özetle bu olasılıklar tamamen eşittir. Yani, Tüm olası olayların olasılıklarının toplamı veya'ya eşittir.

Örnek:

Bir kutu kalemin içinde mavi, kırmızı, yeşil, düz, sarı, geri kalanlar ise turuncu renktedir. Yeşil çizilmeme olasılığı nedir?

Çözüm:

Tüm olasılıkların toplandığını hatırlıyoruz. Ve yeşile dönme olasılığı eşittir. Bu, yeşil çizilmeme olasılığının eşit olduğu anlamına gelir.

Bu hileyi unutmayın: Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, olayın meydana gelme olasılığının eksisine eşittir.

Bağımsız olaylar ve çarpma kuralı

Bir kez yazı tura atıyorsunuz ve her iki seferde de tura gelmesini istiyorsunuz. Bunun olasılığı nedir?

Tüm olası seçenekleri gözden geçirelim ve kaç tane olduğunu belirleyelim:

Yazı-tura, yazı-tura, yazı-yazı, yazı-yazı. Başkaları ne?

Toplam seçenekler. Bunlardan bize yakışan sadece biri: Kartal-Kartal. Toplamda olasılık eşittir.

İyi. Şimdi bir kez yazı tura atalım. Matematiği kendiniz yapın. İşe yaradı mı? (cevap).

Sonraki her atışın eklenmesiyle olasılığın yarı yarıya azaldığını fark etmiş olabilirsiniz. Genel kural denir çarpma kuralı:

Bağımsız olayların olasılıkları değişir.

Bağımsız olaylar nelerdir? Her şey mantıklı: bunlar birbirine bağlı olmayanlar. Örneğin, birkaç kez para attığımızda, her defasında yeni bir atış yapılır ve bunun sonucu önceki atışların tümüne bağlı değildir. Aynı anda iki farklı parayı da kolaylıkla atabiliyoruz.

Daha fazla örnek:

1. Zarlar iki kez atılır. Her iki seferde de gelme olasılığı nedir?
2. Para bir kez atılıyor. İlk seferde tura, sonra iki kez yazı gelme olasılığı nedir?
3. Oyuncu iki zar atar. Üzerlerindeki sayıların toplamının eşit olma olasılığı nedir?

Cevaplar:

1. Olaylar bağımsızdır, yani çarpma kuralı çalışır: .
2. Tura olasılığı eşittir. Yazı gelme olasılığı aynıdır. Çarp:
3. 12 yalnızca iki -ki yuvarlanırsa elde edilebilir: .

Uyumsuz olaylar ve ekleme kuralı

Birbirini tam olasılık noktasına kadar tamamlayan olaylara uyumsuz denir. Adından da anlaşılacağı gibi aynı anda gerçekleşemezler. Örneğin, bir parayı havaya attığımızda yazı ya da tura gelebilir.

Örnek.

Bir kutu kalemin içinde mavi, kırmızı, yeşil, düz, sarı, geri kalanlar ise turuncu renktedir. Yeşil veya kırmızı çizme olasılığı nedir?

Çözüm .

Yeşil kalem çekme olasılığı eşittir. Kırmızı - .

Genel olarak olumlu olaylar: yeşil + kırmızı. Bu, yeşil veya kırmızı çekme olasılığının eşit olduğu anlamına gelir.

Aynı olasılık şu biçimde temsil edilebilir: .

Bu ekleme kuralıdır: uyumsuz olayların olasılıkları artar.

Karışık tip problemler

Örnek.

Para iki kez atılıyor. Zar atışlarının sonuçlarının farklı olma olasılığı nedir?

Çözüm .

Bu, ilk sonucun tura olması durumunda ikincisinin yazı olması gerektiği ve bunun tersinin de geçerli olduğu anlamına gelir. İki çift bağımsız olay olduğu ve bu çiftlerin birbiriyle uyumsuz olduğu ortaya çıktı. Nerede çarpılacağı ve nereye ekleneceği konusunda kafanız nasıl karışmaz?

Bu tür durumlar için basit bir kural vardır. “VE” veya “VEYA” bağlaçlarını kullanarak ne olacağını açıklamaya çalışın. Örneğin, bu durumda:

Yukarı gelmelidir (turalar ve yazılar) veya (yazılar ve yazılar).

“Ve” bağlacının olduğu yerde çarpma, “veya” bağlacının olduğu yerde ise toplama yapılır:

Kendiniz deneyin:

1. Bir madeni para iki kez havaya atıldığında her ikisinde de aynı yüze gelme olasılığı kaçtır?
2. Zarlar iki kez atılır. Toplam puan alma olasılığı nedir?

Çözümler:

Başka bir örnek:

Bir kez yazı tura atın. En az bir kez tura gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

OLASILIK TEORİSİ. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Olasılık, olumlu olayların sayısının tüm olası olayların sayısına oranıdır.

Bağımsız etkinlikler

Birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa iki olay bağımsızdır.

Toplam olasılık

Tüm olası olayların olasılığı eşittir ().

Bir olayın gerçekleşmeme olasılığı, olayın meydana gelme olasılığının eksisine eşittir.

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı

Belirli bir bağımsız olaylar dizisinin olasılığı, her bir olayın olasılıklarının çarpımına eşittir

Uyumsuz olaylar

Uyumsuz olaylar, bir deneyin sonucunda aynı anda meydana gelmesi mümkün olmayan olaylardır. Bir dizi uyumsuz olay, tam bir olaylar grubunu oluşturur.

Uyumsuz olayların olasılıkları artar.

Ne olması gerektiğini anlattıktan sonra, "VE" veya "VEYA" bağlaçlarını kullanarak "VE" yerine çarpma işareti, "VEYA" yerine ise toplama işareti koyuyoruz.

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle girmek ve EN ÖNEMLİSİ ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı sorunları çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
2. Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 499 RUR

Evet, ders kitabımızda buna benzer 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Ve sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!